Sujet : Révision générale du cours de mathématiques. Préparation aux examens

Leçon : Lecture d'un graphique de fonctions. Résolution de problèmes B2

Dans notre vie, on trouve assez souvent des graphiques, prenons, par exemple, une prévision météorologique, qui se présente sous la forme d'un graphique de l'évolution de certains indicateurs, par exemple la température ou la force du vent au fil du temps. Nous n’y réfléchissons pas à deux fois lorsque nous lisons ce tableau, même si c’est peut-être la première fois que nous lisons un tableau de notre vie. Vous pouvez également donner un exemple de graphique de l'évolution des taux de change au fil du temps et bien d'autres exemples.

Donc, le premier graphique que nous allons examiner.

Riz. 1. Illustration du graphique 1

Comme vous pouvez le voir, le graphique comporte 2 axes. L'axe pointant vers la droite (horizontal) est appelé l'axe . L'axe pointant vers le haut (vertical) est appelé l'axe .

Tout d'abord, regardons l'axe. Dans ce graphique, le nombre de tours par minute d'un certain moteur automobile est tracé le long de cet axe. Cela peut être égal, etc. Il y a aussi des divisions sur cet axe, certaines d'entre elles sont indiquées par des chiffres, certaines sont intermédiaires et ne sont pas indiquées. Il est facile de deviner que la première division à partir de zéro est , la troisième est, etc.

Regardons maintenant l'axe. Dans ce graphique, le long de cet axe sont tracés valeurs numériques des valeurs Newton par mètre (), des valeurs de couple égales, etc. Dans ce cas, le prix de division est égal à .

Passons maintenant à la fonction elle-même (à la ligne présentée sur le graphique). Comme vous pouvez le voir, cette ligne reflète le nombre de Newtons par mètre, c'est-à-dire le couple, à un régime moteur spécifique par minute. Si l'on prend la valeur 1000 tr/min. et à partir de ce point sur le graphique on va vers la gauche, on verra que la droite passe par le point 20, c'est-à-dire la valeur du couple à 1000 tr/min sera égale (Figure 2.2).

Si nous prenons la valeur de 2000 tr/min, alors la ligne passera déjà au point (Figure 2.2).

Riz. 2. Détermination du couple par le nombre de tours par minute

Imaginez maintenant que notre tâche consiste à trouver la plus grande valeur de ce graphique. Nous recherchons le plus point haut(), par conséquent, la valeur de couple la plus basse dans ce graphique sera considérée comme 0. Pour trouver la valeur la plus élevée de la fonction à partir du graphique, vous devez considérer le plus grande importance, que la fonction atteint le long de l'axe vertical. Nous regardons quelle valeur est la plus élevée et regardons le long de l’axe vertical quel sera le nombre le plus élevé atteint. Si nous parlons de la plus petite valeur, alors nous prenons au contraire le point le plus bas et regardons sa valeur le long de l'axe vertical.

Riz. 3. La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction selon le graphique

La plus grande valeur dans ce cas est , et la plus petite valeur, respectivement, est 0. Il est important de ne pas confondre et d'indiquer correctement la valeur maximale, certains indiquent la valeur maximale de 4000 tr/min, ce n'est pas la valeur maximale, mais le point à laquelle la valeur maximale est prise (point maximum), la plus grande valeur est exactement .

Il faut également faire attention à l'axe vertical, à ses unités de mesure, c'est-à-dire, par exemple, si au lieu de Newtons par mètre () étaient indiqués des centaines de Newtons par mètre (), la valeur maximale devrait être multipliée par cent , etc.

Les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sont très étroitement liées à la dérivée de la fonction.

Si une fonction augmente sur le segment considéré, alors la dérivée de la fonction sur ce segment est positive ou égale à zéro en un nombre fini de points, le plus souvent elle est simplement positive. De même, si une fonction décroît sur le segment considéré, alors la dérivée de la fonction sur ce segment est négative ou égale à zéro en un nombre fini de points. L’inverse est vrai dans les deux cas.

L'exemple suivant présente quelques difficultés en raison de la contrainte de l'axe horizontal. Il est nécessaire de trouver la valeur la plus grande et la plus petite sur le segment spécifié.

Le graphique montre l'évolution de la température au fil du temps. Sur l’axe horizontal, nous voyons l’heure et les jours, et sur l’axe vertical, la température. Il est nécessaire de déterminer la température de l'air la plus élevée le 22 janvier, c'est-à-dire que nous devons considérer non pas l'ensemble du graphique, mais la partie concernant le 22 janvier, c'est-à-dire de 00h00 le 22 janvier à 00h00 le 23 janvier.

Riz. 4. Graphique de changement de température

En limitant le graphique, il nous apparaît évident que la température maximale correspond au point .

Un graphique des changements de température sur trois jours est donné. Sur l'axe ox - l'heure du jour et le jour du mois, sur l'axe oy - la température de l'air en degrés Celsius.

Nous ne devons pas considérer l'ensemble du programme, mais la partie concernant le 13 juillet, c'est-à-dire de 00h00 le 13 juillet à 00h00 le 14 juillet.

Riz. 5. Illustration pour un exemple supplémentaire

Si vous ne saisissez pas les restrictions décrites ci-dessus, vous risquez d'obtenir une réponse incorrecte, mais à un intervalle donné, la valeur maximale est évidente : , et elle est atteinte à 12h00 le 13 juillet.

Exemple 3 : déterminer à quelle date cinq millimètres de pluie sont tombés pour la première fois :

Le graphique montre les précipitations quotidiennes à Kazan du 3 au 15 février 1909. Les jours du mois sont affichés horizontalement et la quantité de précipitations en millimètres est affichée verticalement.

Riz. 6. Précipitations quotidiennes

Commençons dans l'ordre. Le 3, on voit qu'un peu plus de 0 est tombé, mais moins de 1 mm. précipitations, 4 mm de précipitations sont tombés le 4, etc. Le chiffre 5 apparaît pour la première fois le 11e jour. Pour plus de commodité, vous pourriez pratiquement tracer une ligne droite en face du cinq ; pour la première fois, elle traversera le graphique le 11 février, c'est la bonne réponse.

Exemple 4 : déterminer à quelle date le prix de l’once d’or était le plus bas

Le graphique montre le prix de l'or à la clôture des opérations boursières pour chaque jour du 5 au 28 mars 1996. Les jours du mois sont affichés horizontalement, verticalement,

par conséquent, le prix de l’once d’or en dollars américains.

Les lignes entre les points sont tracées uniquement pour plus de clarté ; les informations sont véhiculées uniquement par les points eux-mêmes.

Riz. 7. Graphique de l'évolution du prix de l'or en bourse

Exemple supplémentaire : déterminez à quel point du segment la fonction prend la plus grande valeur :

La dérivée d'une certaine fonction est donnée sur le graphique.

Riz. 8. Illustration pour un exemple supplémentaire

La dérivée est définie sur l'intervalle

Comme vous pouvez le voir, la dérivée de la fonction sur un segment donné est négative et égale zéro au point limite gauche. Comme nous le savons, si la dérivée d'une fonction est négative, alors la fonction sur l'intervalle considéré diminue, donc notre fonction diminue sur tout l'intervalle considéré, dans ce cas, elle prend la plus grande valeur dans la limite la plus à gauche. Réponse : point final.

Nous avons donc examiné le concept de graphique d'une fonction, étudié quels sont les axes d'un graphique, comment trouver la valeur d'une fonction à partir d'un graphique, comment trouver la valeur la plus grande et la plus petite.

1. Mordkovitch A.G. Algèbre et début de l'analyse mathématique. - M. : Mnémosyne.
2. Muravin G.K., Muravin O.V. Algèbre et début de l'analyse mathématique. - M. : Outarde.
3. Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. L'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique. - M. : Lumières.

1. Examen d'État unifié ().
2. Festival des idées pédagogiques ().
3. Étudier est facile.RF ().

1. Le diagramme (Figure 9) montre la température mensuelle moyenne de l'air à Ekaterinbourg (Sverdlovsk) pour chaque mois de 1973. L'axe horizontal indique les mois et l'axe vertical indique la température en degrés Celsius. Déterminez à partir du diagramme la température mensuelle moyenne la plus basse pendant la période de mai à décembre 1973 inclus. Donne ta réponse en degrés Celsius.

Riz. 9. Tableau de température

1. À l’aide du même graphique (Figure 9), déterminez la différence entre les températures mensuelles moyennes les plus élevées et les plus basses en 1973. Donne ta réponse en degrés Celsius.
2. Le graphique (Figure 10) montre le processus de chauffage d'un moteur à combustion interne à une température ambiante de 15 degrés. L'axe des abscisses indique le temps en minutes écoulé depuis le démarrage du moteur et l'axe des y indique la température du moteur en degrés Celsius. La charge peut être connectée au moteur lorsque la température du moteur atteint 45 degrés. Quel est le nombre minimum de minutes à attendre avant de connecter la charge au moteur ?

Riz. 10. Programme de réchauffement du moteur

Diapositive 12

Symétrie par rapport à la droite y=x

Les graphiques de ces fonctions augmentent à > 1 et diminuent à 0

Diapositive 13

L'une des figures montre un graphique de la fonction y=2-x. Veuillez indiquer ce dessin. Calendrier fonction exponentielle Le graphique de la fonction exponentielle passe par le point (0, 1). Puisque la base du degré est inférieure à 1, cette fonction doit être décroissante.

Diapositive 14

L'une des figures montre un graphique de la fonction y=log5 (x-4). Indiquez le numéro de cet horaire. Calendrier fonction logarithmique y=log5x passe par le point (1;0), alors sih -4 =1, theny=0, x=1+4, x=5. (5;0) – le point d'intersection du graphique avec l'axe OX Si x -4 = 5, alors y = 1, x = 5 + 4, x = 9, Graphique de la fonction logarithmique 9 5 1.

Diapositive 15

La fonction y=f(x) est définie sur l'intervalle (-6;7). La figure montre un graphique de la dérivée de cette fonction. Toutes les tangentes parallèles à la droite y = 5-2x (ou coïncidant avec elle) sont tracées sur le graphique de la fonction. Indiquez le nombre de points sur le graphique de la fonction auxquels ces tangentes sont tracées. K = tga = f'(xo) Par condition k = -2. Donc f'(xo) = -2 On trace une droite y = -2 Elle coupe le graphique en deux points, ce qui signifie les tangentes à la fonction. sont dessinés en deux points. Trouver le nombre de tangentes au graphique d'une fonction à partir du graphique de sa dérivée

Diapositive 16

La fonction y=f(x) est définie sur l'intervalle [-7;3]. La figure montre un graphique de sa dérivée. Trouvez le nombre de points sur le graphique de la fonction y=f(x) auxquels les tangentes au graphique sont parallèles à l'axe des x ou coïncident avec lui. Facteur de pente les droites parallèles à l'abscisse ou coïncidant avec elle sont égales à zéro. Donc K=tg a = f `(xo)=0 L'axe OX coupe ce graphique en quatre points. Trouver le nombre de tangentes à une fonction à partir du graphique de sa dérivée

Diapositive 17

La fonction y=f(x) est définie sur l'intervalle (-6;6). La figure montre un graphique de sa dérivée. Trouvez le nombre de points sur le graphique de la fonction y=f(x) auxquels les tangentes au graphique sont inclinées d'un angle de 135 par rapport à la direction positive de l'axe des x. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 Donc f`(xo)=-1 Trace une droite y=-1 Elle coupe le graphique en trois points. , ce qui signifie des tangentes à la fonction réalisée en trois points. Trouver le nombre de tangentes à une fonction à partir du graphique de sa dérivée

Diapositive 18

La fonction y=f(x) est définie sur l'intervalle [-2;6]. La figure montre un graphique de la dérivée de cette fonction. Indiquer l'abscisse du point où la tangente au graphique de la fonction y=f(x) a le plus petit coefficient angulaire k=tg a=f'(xo) La dérivée de la fonction prend la plus petite valeur y=-3 au point x=2. Par conséquent, la tangente au graphique a la plus petite pente au point x=2 Trouver la pente de la tangente à partir du graphique de la dérivée de la fonction -3 2

Diapositive 19

La fonction y=f(x) est définie sur l'intervalle [-7;3]. La figure montre un graphique de la dérivée de cette fonction. Indiquer l'abscisse à laquelle la tangente au graphique de la fonction y=f(x) a la plus grande pente. k=tg a=f’(xo) La dérivée de la fonction prend sa plus grande valeur y=3 au point x=-5. Par conséquent, la tangente au graphique a la plus grande pente au point x = -5 Trouver la pente de la tangente à partir du graphique de la dérivée de la fonction 3 -5

Diapositive 20

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse xo. Trouver la valeur de la dérivée f `(x) au point xo f ’(xo) =tg a Puisque sur la figure a est un angle obtus, alors tan a

Diapositive 21

Trouver le minimum (maximum) d'une fonction à partir du graphique de sa dérivée

Au point x=4, la dérivée change de signe de moins à plus. Cela signifie que x = 4 est le point minimum de la fonction y = f (x) 4 Aux points x = 1, la dérivée change de signe de plus. minusMeanx=1 est le point maximum de la fonction y=f(x))

Diapositive 22

Travail indépendant

Fig.11) Trouver le domaine de définition de la fonction. 2) Résoudre l'inégalité f(x) ≥ 0 3) Déterminer les intervalles de décroissance de la fonction. Fig. 2 – graphique de la fonction dérivée y=f(x) 4) Trouver les points minimaux de la fonction. 5) Indiquer l'abscisse du point où la tangente au graphique de la fonction y=f(x) a le plus grand coefficient d'angle. Fig.11) Trouvez la plage de valeurs de la fonction. 2) Résoudre l'inégalité f(x)≤ 0 3) Déterminer les intervalles d'augmentation de la fonction. Fig. 2 – graphique de la fonction dérivée y=f(x) 4) Trouver les points maximum de la fonction. 5) Indiquer l'abscisse du point où la tangente au graphique de la fonction y=f(x) a la plus petite pente. 1 option 2 options

SUJET « LECTURE DU GRAPHE D’UNE FONCTION DÉRIVÉE »

Le but de la leçon: la formation de compétences pour déterminer les propriétés d'une dérivée à partir du graphe d'une fonction, les propriétés d'une fonction à partir du graphe d'une dérivée, en comparant le graphe d'une fonction et le graphe de sa dérivée.

Matériels et équipements: présentation informatique.

Plan de cours

1. Organisation du temps.
2. Comptage oral « Détecter une erreur »
3. Répétition du matériel théorique sur le thème « Votre propre support »
4. Formation professionnelle
5. Jeu "Compétence"
6. Résumer.

Pendant les cours.

1. Organisation du temps. Au cours de l'étude du thème « Étudier les fonctions à l'aide de dérivées », les compétences ont été développées pour trouver les points critiques d'une fonction, la dérivée, déterminer les propriétés de la fonction avec son aide et construire son graphique. Aujourd'hui, nous allons aborder ce sujet sous un angle différent : comment déterminer les propriétés de la fonction elle-même à travers le graphique de la dérivée d'une fonction. Notre tâche : apprendre à naviguer dans la variété des tâches de l'examen d'État unifié liées aux graphiques de fonctions et à leurs dérivées.
2. Comptage verbal

(2x2) / =2x; (3x-x3) / =3-3x ; X / =1 X

1. Répétition du matériel théorique sur le sujet. (dessinez un petit bonhomme dans votre cahier pour représenter l'ambiance du début de la leçon)

Répétons quelques propriétés de la fonction : augmentation et diminution, extrema de la fonction.

Un signe suffisant de fonction croissante (décroissante). Ça lit:

1. Si la dérivée d'une fonction est positive en chaque point de l'intervalle X, alors la fonction augmente sur l'intervalle X.
2. Si la dérivée d'une fonction est négative en chaque point de l'intervalle X, alors la fonction décroît sur l'intervalle X.

Conditions suffisantes pour un extremum :

Soit la fonction y=f(x) continue sur l'intervalle X et ait un point critique x 0 à l'intérieur de l'intervalle. Alors si, en passant par le point x 0, la dérivée est :

a) change de signe de « + » à « - », alors x 0 est le point maximum de la fonction,

b) change le signe de « - » en « + », puis x0– point minimum de la fonction,

c) ne change pas de signe, alors au point x0 il n'y a pas d'extrême.

La dérivée d'une fonction est elle-même une fonction. Cela signifie qu'elle a son propre emploi du temps.

X(nous avons un segment [ UN; b]) est situé au dessus de l’axe des x, alors la fonction augmente sur cet intervalle.

Si le graphique de la dérivée sur l'intervalle X est situé en dessous de l'axe des x, alors la fonction décroît sur cet intervalle. De plus, les options des graphiques dérivés peuvent être différentes.

Ainsi, ayant un graphique de la dérivée d'une fonction, nous pouvons tirer des conclusions sur les propriétés de la fonction elle-même.

1. Développement de compétence. Considérons le problème :
2. Jeu "Compétence"
3. Résumer. (dessiner un petit bonhomme dans un cahier, indiquant l'ambiance à la fin de la leçon) Le rôle de « résumer » (il dira quelle pensée (conclusion, résultat...) dans la leçon était, à son avis, la principale un)

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Légendes des diapositives :

LECTURE DU GRAPHIQUE D'UNE FONCTION DÉRIVÉE et si en route vers l'examen d'État unifié

Plan de cours Moment d'organisation. Calcul oral « Attraper une erreur » Répétition du matériel théorique sur le sujet, notes « Votre soutien » Développement des compétences Jeu « Compétence » Résumation.

Comptage oral « Trouver l'erreur » (2x 2) / = x (3x-x 3) / = 3-3 2 4 x 2 - -5

Répétition du matériel théorique sur le sujet f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 Un signe suffisant d'augmentation (diminution) d'une fonction : Si la dérivée d'une fonction est positive en chaque point de l'intervalle X, alors la fonction augmente sur l'intervalle X. Si la dérivée de la fonction est négative en chaque point de l'intervalle X, alors la fonction diminue sur l'intervalle X. Si le graphique de la dérivée sur l'intervalle X est situé au dessus de l'axe des x, alors la fonction augmente sur cet intervalle. Si le graphique de la dérivée sur l'intervalle X est situé en dessous de l'axe des X, alors la fonction décroît sur cet intervalle.

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 -5 -4 - 3 -2 - 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 « Propre soutien » Augmentation Diminution Augmentation

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) y x + 1 E si, en passant par le point x 0, la dérivée : a) change de signe de « + » à « - », alors x 0 est le point maximum de la fonction, b) change de signe de « - » à « + », alors x 0 est le point minimum de la fonction, c) ne change pas de signe, alors il n'y a pas d'extremum au point x 0 . Répétition du matériel théorique sur le thème « Votre propre support » Condition nécessaire à l'existence d'un extremum : Si la fonction y=f (x) a un extremum au point x=x0, alors à ce stade la dérivée est soit égale à 0 ou n'existe pas. maximum minimum

Développement des compétences (résolution de problèmes de la banque ouverte d'examens d'État unifiés) intervalles croissants : (-5 ; -1), (2 ; 8), (11 ; 12) Réponse : 6 1 f(x) f / (x) + + +

Intervalles décroissants de développement des compétences : (-1 ; 0), (9 ; 12) Réponse : 3 2 f(x) f / (x) – – Développement des compétences (résolution de problèmes de la banque ouverte d'examens d'État unifiés)

Développement des compétences Réponse : -3 3 f(x) f / (x) Développement des compétences (résolution de problèmes de la banque ouverte d'examens d'État unifiés)

Développement des compétences Réponse : - 3 4 f(x) f / (x) Développement des compétences (résolution de problèmes de la banque ouverte d'examens d'État unifiés)

Développement des compétences 5 f(x) f / (x) Développement des compétences (résolution de problèmes de la banque ouverte d'examens d'État unifiés)

Jeu « Compétence » Participants : deux équipes - entreprises concurrentes Les équipes se proposent 3 tâches sur le thème de la leçon, échangent des tâches, les accomplissent et montrent la solution au tableau. Si l'adversaire échoue, l'équipe qui pose la question doit y répondre elle-même. Chaque entreprise évalue le travail d'une entreprise concurrente à l'aide d'un système en 5 points (chaque tâche et chaque réponse) Commanditaires de connaissances : Petrova Gelena et Semenova Kunnai

Résumer : Dessiner un homme Résumer : quel était l'essentiel de la leçon ? Qu’est-ce qui était intéressant ? Qu'as-tu appris? Critères d'évaluation : 28-30 points – score « 5 » 20-27 points – score « 4 » 10-19 points – score « 3 » En dessous de 10 points – recommandation pour un travail minutieux de préparation à l'examen d'État unifié

Leçon générale sur le sujet :

"Utiliser la dérivée et son graphe pour lire les propriétés d'une fonction"

Type de cours : un cours général utilisant les TIC sous forme de présentation.

Objectifs de la leçon:

Éducatif:

Favoriser la compréhension des étudiants sur l'utilisation des dérivés dans des tâches pratiques ;

Apprenez aux élèves à utiliser clairement les propriétés des fonctions et des dérivées.

Éducatif:

Développer la capacité d'analyser une question de tâche et de tirer des conclusions ;

Développer la capacité d'appliquer les connaissances existantes dans des tâches pratiques.

Éducatif:

Cultiver l'intérêt pour le sujet ;

La nécessité de ces compétences théoriques et pratiques pour continuer à étudier.

Objectifs de la leçon:

Développer des compétences spécifiques dans le travail avec le graphique d'une fonction dérivée pour leur utilisation lors de la réussite de l'examen d'État unifié ;

Préparez-vous pour l'examen.

Plan de cours.

1. Actualisation des connaissances de référence (BK).

2. Développement des connaissances, des compétences et des aptitudes sur le sujet.

3. Tests (B8 de l'examen d'État unifié).

4. Contrôle mutuel, remise de notes au « voisin ».

5. Résumer les leçons de la leçon.

Matériel : cours d'informatique, tableau, feutre, tests (2 options).

Pendant les cours.

Moment d’organisation.

Professeur . Bonjour, veuillez vous asseoir.

Au cours de l'étude du thème « Étudier les fonctions à l'aide de dérivées », les compétences ont été développées pour trouver les points critiques d'une fonction, la dérivée, déterminer les propriétés de la fonction avec son aide et construire son graphique. Aujourd'hui, nous allons aborder ce sujet sous un angle différent : comment déterminer les propriétés de la fonction elle-même à travers le graphique de la dérivée d'une fonction. Notre tâche : apprendre à naviguer dans la variété des tâches liées aux graphiques de fonctions et de leurs dérivées.

En préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques, les KIM se voient poser des problèmes sur l'utilisation du graphe dérivé pour étudier les fonctions. Par conséquent, dans cette leçon, nous devons systématiser nos connaissances sur ce sujet et apprendre à trouver rapidement des réponses aux questions des tâches B8.

Diapositive n°1.

Sujet: "Utiliser la dérivée et son graphe pour lire les propriétés des fonctions"

Objectifs de la leçon:

Développement des connaissances sur l'application de la dérivée, sa signification géométrique et le graphique de la dérivée pour déterminer les propriétés des fonctions.

Développement de l'efficacité dans l'exécution des tests d'examen d'État unifié.

Développer des qualités de personnalité telles que l'attention, la capacité à travailler avec du texte, la capacité à travailler avec des graphiques dérivés

2.Mise à jour des connaissances de base (BK). Diapositives n°4 à n°10.

Les questions de révision apparaîtront maintenant à l’écran. Votre tâche : donner une réponse claire et concise à chaque point. L'exactitude de votre réponse peut être vérifiée à l'écran.

( Une question apparaît d'abord à l'écran, après que les élèves ont répondu, la bonne réponse apparaît pour vérification.)

Liste de questions pour AOD.

Définition du dérivé.

Signification géométrique dérivé.

La relation entre les valeurs de la dérivée, la pente de la tangente, l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe OX.

Utiliser la dérivée pour trouver les intervalles de monotonie d'une fonction.

Application de dérivée pour déterminer les points critiques, les points extremum

6 .Nécessaire et conditions suffisantes extrême

7 . Utiliser la dérivée pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction

(Les élèves répondent à chaque item en accompagnant leurs réponses de notes et de dessins au tableau. En cas de réponses erronées et incomplètes, les camarades de classe les corrigent et les complètent. Après la réponse des élèves, la bonne réponse apparaît à l'écran. Ainsi, les élèves peuvent immédiatement déterminer la justesse de leur réponse).

3. Développement des connaissances, des compétences et des capacités sur le sujet. Diapositives n°11 à n°15.

Les étudiants se voient proposer des tâches des KIM de l'examen d'État unifié de mathématiques des années précédentes, des sites Internet sur l'utilisation de la dérivée et de son graphe pour étudier les propriétés des fonctions. Les tâches apparaissent séquentiellement. Les élèves rédigent leurs solutions au tableau ou par raisonnement oral. La bonne solution apparaît alors sur la diapositive et est comparée à la solution des élèves. S’il y a une erreur dans la solution, elle est analysée par toute la classe.

Diapositives n°16 et n°17.

Ensuite, en classe, il convient d'envisager une tâche clé : à l'aide du graphique donné de la dérivée, les élèves doivent proposer (bien sûr, avec l'aide de l'enseignant) diverses questions liées aux propriétés de la fonction elle-même. Naturellement, ces questions sont discutées, corrigées si nécessaire, résumées, enregistrées dans un cahier, après quoi commence l'étape de résolution de ces tâches. Ici, il est nécessaire de s’assurer que les étudiants non seulement donnent la bonne réponse, mais qu’ils sont également capables de l’argumenter (de la prouver), en utilisant les définitions, propriétés et règles appropriées.

Tests (B8 de l'examen d'État unifié). Diapositives n° 18 à n° 29. Diapositive n° 30 – clés du test.

Professeur : Nous avons donc résumé vos connaissances sur ce sujet : nous avons répété les propriétés de base de la dérivée, résolu des problèmes liés au graphe de la dérivée, analysé les aspects complexes et problématiques de l'utilisation de la dérivée et du graphe de la dérivée pour étudier les propriétés de les fonctions.

Nous allons maintenant tester en 2 options. Les tâches apparaîtront à l'écran dans les deux versions en même temps. Vous étudiez la question, trouvez la réponse et l’écrivez sur votre feuille de réponses. Après avoir terminé le test, échangez des formulaires et vérifiez le travail de votre voisin à l'aide de réponses toutes faites. Donner une note(jusqu'à 10 points – « 2 », de 11 à 15 points – « 3 », de 16 à 19 points – « 4 », plus de 19 points – « 5 ».).

Résumer la leçon

Nous avons examiné la relation entre la monotonie d'une fonction et le signe de sa dérivée, et les conditions suffisantes pour l'existence d'un extremum. Nous avons examiné diverses tâches de lecture du graphique d'une fonction dérivée, que l'on retrouve dans les textes d'un seul Examen d'état. Toutes les tâches que nous avons envisagées sont bonnes car elles ne prennent pas beaucoup de temps à accomplir.

Lors de l'examen d'État unifié, ceci est très important : notez rapidement et correctement la réponse.

Remettez vos formulaires de réponse. La note du cours vous est déjà connue et sera inscrite dans le journal.

Je pense que la classe s'est préparée pour le test.

Devoirs sera créatif . Diapositive numéro 33 .

Éléments d'analyse mathématique dans l'examen d'État unifié Malinovskaya Galina Mikhailovna [email protégé] Matériel de référence Tableau des dérivées des fonctions de base.  Règles de différenciation (dérivée d'une somme, produit, quotient de deux fonctions).  Dérivée d'une fonction complexe.  Signification géométrique de la dérivée.  Signification physique dérivé.  Matériel de référence Points extrêmes (maximum ou minimum) d'une fonction spécifiés graphiquement.  Trouver la plus grande (la plus petite) valeur d'une fonction continue sur un intervalle donné.  Primitive de fonction. Formule de Newton-Leibniz. Trouver l'aire d'un trapèze courbe.  Applications physiques  1.1 Point matériel se déplace rectiligne selon la loi 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23, où x est la distance du point de référence en mètres, t est le temps en secondes, mesuré depuis le début du mouvement. Trouvez sa vitesse (en mètres par seconde) au temps t= 3s.  1.2 Un point matériel se déplace 1 3 rectiligne selon la loi 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 3 3𝑡 2 − 5𝑡 + 3 , où x est la distance du point de référence en mètres, t est le temps en secondes, mesuré depuis le début de le mouvement. À quel moment (en secondes) sa vitesse était-elle égale à 2 m/s ? Solution : On cherche la dérivée de x(t) (fonction du chemin par rapport au temps).  Dans le problème 1.1, remplacez sa valeur par t et calculez la vitesse (Réponse : 59).  Dans le problème 1.2, nous assimilons la dérivée trouvée à numéro donné et résolvez l’équation par rapport à la variable t. (Réponse : 7).  Applications géométriques 2.1 La droite 𝑦 = 7𝑥 − 5 est parallèle à la tangente à la courbe 2 de la fonction 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 . Trouvez l'abscisse du point tangent. 2.2 La droite 𝑦 = 3𝑥 + 1 est tangente à la 2ème courbe de la fonction 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3. Trouver un. 2.3 La droite 𝑦 = −5𝑥 + 8 est tangente à la 2ème courbe de la fonction 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15. Trouvez b, étant donné que l’abscisse du point de tangence est supérieure à 0. 2.4 La droite 𝑦 = 3𝑥 + 4 est tangente à la courbe 2 de la fonction 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐. Trouvez c. Solution : Dans le problème 2.1, nous recherchons la dérivée de la fonction et l'assimilons à la pente de la droite (Réponse : 0,5).  Dans les problèmes 2.2-2.4, nous composons un système de deux équations. Dans l’un, nous assimilons les fonctions, dans l’autre, nous assimilons leurs dérivées. Dans un système à deux inconnues (variable x et paramètre), on recherche un paramètre. (Réponses : 2,2) a=0,125 ; 2.3)b=-33; 2.4)c=7).   2.5 La figure montre le graphique de la fonction y=f(x) et la tangente à celle-ci au point d'abscisse 𝑥0. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point 𝑥0.  2.6 La figure montre le graphique de la fonction y=f(x) et la tangente à celle-ci au point d'abscisse 𝑥0. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point 𝑥0.  2.7 La figure montre le graphique de la fonction y=f(x). La droite passant par l'origine touche le graphique de cette fonction au point d'abscisse 10. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction au point x=10. 𝑥0 = 0 Solution :     La valeur de la dérivée d'une fonction en un point est la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente au graphique de la fonction tracée en ce point. "Terminons le dessin" triangle rectangle et cherchons la tangente de l'angle correspondant, que l'on prend positive si la tangente forme un angle aigu avec la direction positive de l'axe Ox (la tangente « augmente ») et négative si l'angle est obtus (la tangente diminue). Dans le problème 2.7, vous devez tracer une tangente passant par le point spécifié et l'origine. Réponses : 2,5) 0,25 ; 2,6) -0,25 ; 2,7) -0,6. Lecture d'un graphique d'une fonction ou d'un graphique d'une dérivée d'une fonction  3.1 La figure montre un graphique de la fonction y=f(x), définie sur l'intervalle (6;8). Déterminez le nombre de points entiers auxquels la dérivée de la fonction est positive.  3.2 La figure montre un graphique de la fonction y=f(x), définie sur l'intervalle (-5;5). Déterminer le nombre de points entiers auxquels la dérivée de la fonction f(x) est négative. Solution : Le signe de la dérivée est lié au comportement de la fonction.  Si la dérivée est positive, alors nous sélectionnons la partie du graphique de la fonction où la fonction augmente. Si la dérivée est négative, alors où la fonction diminue. On sélectionne l'intervalle correspondant à cette partie sur l'axe Ox.  Conformément à la question du problème, soit on recalcule le nombre d'entiers inclus dans un intervalle donné, soit on trouve leur somme.  Réponses : 3.1) 4 ; 3.2) 8.   3.3 La figure montre un graphique de la fonction y=f(x), définie sur l'intervalle (-2;12). Trouver la somme des points extremum de la fonction f(x). Tout d’abord, regardons ce qu’il y a dans la figure : un graphique d’une fonction ou un graphique d’une dérivée.  S'il s'agit d'un graphique de la dérivée, alors on ne s'intéresse qu'aux signes de la dérivée et à l'abscisse des points d'intersection avec l'axe Ox.  Pour plus de clarté, vous pouvez dessiner une image plus familière avec les signes de la dérivée sur les intervalles résultants et le comportement de la fonction.  Répondez à la question du problème selon l'image. (Réponse : 3.3) 44).   3.4 La figure montre un graphique de ′ y=𝑓 (𝑥) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-7;14). Trouvez le nombre de points maximum de la fonction f(x ) appartenant au segment [-6;9]  3.5 La figure montre un graphique de y=𝑓 ′ (𝑥) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-11;11). nombre de points extremum de la fonction f(x) appartenant au segment [-10;10] . Solution : Nous recherchons les points d'intersection du graphe dérivé avec l'axe Ox, en mettant en évidence la partie de l'axe qui est indiquée dans. le problème  On détermine le signe de la dérivée sur chacun des intervalles résultants (si le graphique de la dérivée est en dessous de l'axe, alors « - », s'il est au dessus, alors « + »)  Les points maximum seront ceux où). le signe est passé de "+" à "-", le minimum - de "-" à "+". 3.5) 5.   3.6 La figure montre un graphique de y=𝑓 ′ (𝑥) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-8;3). A quel point du segment [-3;2] la fonction f(x) prend-elle la plus grande valeur.  3.7 La figure montre un graphique de ′ y=𝑓 (𝑥) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-8;4). A quel point du segment [-7;-3] la fonction f(x) prend-elle la plus petite valeur. Solution :    Si la dérivée change de signe sur le segment considéré, alors la solution est basée sur le théorème : si une fonction continue sur un segment a un seul point extremum sur elle et qu'il s'agit d'un point maximum (minimum), alors la valeur la plus grande (la plus petite) de la fonction sur ce segment est atteinte à ce stade. Si une fonction continue sur un intervalle est monotone, alors elle atteint son minimum et valeurs les plus élevées sur un segment donné à ses extrémités. Réponses : 3.6) -3 ; 3.7) -7.  3.8 La figure montre un graphique de la fonction y=f(x), définie sur l'intervalle (-5;5). Trouvez le nombre de points auxquels la tangente au graphique de la fonction est parallèle ou coïncide avec la droite y=6.  3.9 La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) et huit points sur l'axe des abscisses : 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . En combien de ces points la dérivée de f(x) est-elle positive ?  4.2 La figure montre un graphique de y=𝑓 ′ (𝑥) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-5;7). Trouver les intervalles de diminution de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la somme des points entiers compris dans ces intervalles.  4.5 La figure montre un graphique de y=𝑓 ′ (𝑥) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-4;8). Trouver le point extremum de la fonction f(x), appartenant au segment [-2;6].  4.6 La figure montre un graphique de y=𝑓 ′ (𝑥) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-10;2). Trouvez le nombre de points auxquels la tangente au graphique de la fonction f(x) est parallèle ou coïncide avec la droite y=-2x-11. Solution : 4.6 Puisque la figure montre un graphique de la dérivée et que la tangente est parallèle à cette droite, la dérivée de la fonction en ce point est égale à -2. Nous recherchons des points sur le graphique dérivé avec une ordonnée égale à -2 et comptons leur nombre. On obtient 5.  Réponses : 3.8) 4 ; 3.9)5; 4.2) 18 ; 4.5)4; 4.6) 5.   4.8 La figure montre un graphique de y=𝑓 ′ (𝑥) - la dérivée de la fonction f(x). Trouvez l'abscisse du point auquel la tangente au graphique y=f(x) est parallèle ou coïncide avec l'axe des x. Solution : Si une droite est parallèle à l’axe Ox, alors sa pente est nulle.  La pente de la tangente est nulle, ce qui signifie que la dérivée est nulle.  On cherche l'abscisse du point d'intersection du graphe dérivé avec l'axe Ox.  On obtient -3.   4.9 La figure montre un graphique de la fonction y=𝑓 ′ (x) dérivée de la fonction f(x) et huit points sur l'axe des abscisses : 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . En combien de ces points la dérivée de la fonction f(x) augmente-t-elle ? Signification géométrique de l'intégrale définie  5.1 La figure montre un graphique d'une fonction y=f(x) (deux rayons avec un point de départ commun). À l’aide de la figure, calculez F(8)-F(2), où F(x) est l’une des primitives de la fonction f(x). Solution :     L'aire d'un trapèze courbe est calculée par une intégrale définie. L'intégrale définie est calculée à l'aide de la formule de Newton-Leibniz comme incrément de la primitive. Dans le problème 5.1, nous calculons l'aire du trapèze en utilisant la formule de cours de géométrie bien connue (ce sera l'incrément de la primitive). Dans les tâches 5. 2 et 5.3 la primitive est déjà donnée. Il faut calculer ses valeurs aux extrémités du segment et calculer la différence.  5.2 La figure montre un graphique d'une fonction y=f(x). La fonction 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − est l'une des 8 primitives de la fonction f(x). Trouvez l'aire de la figure ombrée. Solution :     L'aire d'un trapèze courbe est calculée par une intégrale définie. L'intégrale définie est calculée à l'aide de la formule de Newton-Leibniz comme incrément de la primitive. Dans le problème 5.1, nous calculons l'aire du trapèze en utilisant la formule de cours de géométrie bien connue (ce sera l'incrément de la primitive). Dans le problème 5.2, la primitive est déjà donnée. Il faut calculer ses valeurs aux extrémités du segment et calculer la différence. Bonne chance à l'examen d'État unifié en mathématiques 