Logarithme - propriétés, formules, graphique. Logarithme - propriétés, formules, graphique Relation avec les fonctions trigonométriques inverses et hyperboliques

La fonction exponentielle d'une variable réelle (de base positive) est déterminée en plusieurs étapes. Premièrement, pour les valeurs naturelles - en tant que produit de facteurs égaux. La définition s'étend ensuite aux entiers négatifs et aux valeurs non nulles pour les règles. Ensuite, nous considérons les exposants fractionnaires dans lesquels la valeur de la fonction exponentielle est déterminée à l'aide des racines : . Pour les valeurs irrationnelles, la définition est déjà liée au concept de base de l'analyse mathématique – au passage à la limite, pour des raisons de continuité. Toutes ces considérations ne sont en aucun cas applicables aux tentatives d'étendre la fonction exponentielle à des valeurs complexes de l'indicateur, et de quoi il s'agit, par exemple, n'est absolument pas clair.

Pour la première fois, une puissance avec un exposant complexe avec une base naturelle a été introduite par Euler sur la base d'une analyse d'un certain nombre de constructions du calcul intégral. Des expressions algébriques parfois très similaires, une fois intégrées, donnent des réponses complètement différentes :

En même temps, ici la deuxième intégrale est formellement obtenue à partir de la première lorsqu'elle est remplacée par

De là, nous pouvons conclure qu'avec la définition appropriée d'une fonction exponentielle avec un exposant complexe, les fonctions trigonométriques inverses sont liées aux logarithmes et donc la fonction exponentielle est liée aux fonctions trigonométriques.

Euler a eu le courage et l'imagination de donner une définition raisonnable d'une fonction exponentielle avec une base, à savoir :

Il s'agit d'une définition, et donc cette formule ne peut pas être prouvée ; on ne peut que rechercher des arguments en faveur du caractère raisonnable et de l'opportunité d'une telle définition. L'analyse mathématique fournit de nombreux arguments de ce type. Nous nous limiterons à un seul.

On sait qu'en réalité il existe une relation limite : . Sur le côté droit se trouve un polynôme qui a également du sens pour les valeurs complexes de . La limite d’une séquence de nombres complexes est déterminée naturellement. Une séquence est considérée comme convergente si les séquences de parties réelles et imaginaires convergent et sont acceptées

Trouvons-le. Pour ce faire, passons à la forme trigonométrique et pour l'argument nous sélectionnerons des valeurs dans l'intervalle. Avec ce choix, il est clair que pour . Plus loin,

Pour aller à la limite, il faut vérifier l'existence de limites pour et et trouver ces limites. Il est clair que

Ainsi, dans l'expression

la partie réelle tend à , la partie imaginaire tend à ainsi

Ce raisonnement simple fournit l'un des arguments en faveur de la définition d'Euler de la fonction exponentielle.

Établissons maintenant qu'en multipliant les valeurs d'une fonction exponentielle, les exposants s'additionnent. Vraiment:

2. Les formules d'Euler.

Mettons la définition de la fonction exponentielle. On a:

En remplaçant b par -b, on obtient

En additionnant et en soustrayant ces égalités terme par terme, on retrouve les formules

appelées formules d'Euler. Ils établissent un lien entre les fonctions trigonométriques et les fonctions exponentielles à exposants imaginaires.

3. Logarithme naturel d'un nombre complexe.

Un nombre complexe donné sous forme trigonométrique peut être écrit sous la forme. Cette forme d'écriture d'un nombre complexe est appelée exponentielle. Il conserve toutes les bonnes propriétés de la forme trigonométrique, mais est encore plus concis. De plus, il est donc naturel de supposer que la partie réelle du logarithme d'un nombre complexe est le logarithme de son module et que la partie imaginaire est son argument. Ceci explique dans une certaine mesure la propriété « logarithmique » de l'argument - l'argument du produit est égal à la somme des arguments des facteurs.

Preuve de la formule .

= =

puisque le sinus et le cosinus ne dépendent pas de l'ajout d'un angle qui est un multiple de

Et cette égalité est déjà évidente, puisqu’il s’agit de la forme trigonométrique d’un nombre complexe.

Ainsi, le logarithme existe pour tous les points du plan sauf zéro. Pour un nombre réel positif, l'argument est 0, donc cet ensemble infini de points a la forme , c'est-à-dire que l'une des valeurs, à savoir at , tombera sur l'axe réel. Si nous calculons le logarithme d'un nombre négatif, nous obtenons , c'est-à-dire que l'ensemble des points est décalé vers le haut et aucun d'entre eux ne tombe sur l'axe réel.

Il ressort clairement de la formule que ce n'est que lorsque l'argument du nombre d'origine est nul que l'une des valeurs du logarithme tombe sur l'axe réel. Et cela correspond au demi-axe droit, et c'est pourquoi dans le cours de mathématiques scolaire, seuls les logarithmes des nombres positifs ont été pris en compte. Il existe également des logarithmes de nombres négatifs et imaginaires, mais ils n'ont pas une seule valeur sur l'axe réel.

Le dessin suivant montre où se trouvent toutes les valeurs du logarithme d'un nombre positif dans le plan. L'un d'eux est sur l'axe réel, les autres sont au-dessus et en dessous sur , , et ainsi de suite. Pour un nombre négatif ou complexe, l'argument est différent de zéro, donc cette séquence de points est décalée verticalement, ce qui n'entraîne aucun point sur l'axe réel.

Exemple. Calculer.

Solution. Définissons le module du nombre (égal à 2) et l'argument 180 0, c'est-à-dire. Alors = .

Annexe 1. Questions de preuve (pour les billets).

Conférence n°1

1. Prouver la formule d'intégration par parties.

Conférence n°2

1. Montrer que le remplacement , où r = LCM (r 1 ,...,rk) réduit l'intégrale à l'intégrale d'une fraction rationnelle.

2. Prouver que le remplacement réduit l'intégrale de la forme à l'intégrale d'une fraction rationnelle.

3. Dériver des formules pour convertir le sinus et le cosinus

Pour la substitution trigonométrique universelle.

4. Montrer que dans le cas où la fonction est impaire par rapport au cosinus, le remplacement réduit l'intégrale à une fraction rationnelle.

5. Prouver que dans le cas où

substitution : réduit l’intégrale à une fraction rationnelle.

6. Montrer que pour une intégrale de la forme

7. Prouvez la formule

8. Prouver que pour une intégrale de la forme le remplacement produit une intégrale à une fraction rationnelle.

9. Montrer que pour une intégrale de la forme le remplacement réduit l'intégrale à une fraction rationnelle.

Conférence n°3

1. Prouver que la fonction est une primitive de la fonction .

2. Démontrer la formule de Newton-Leibniz : .

3. Démontrer la formule pour la longueur d'une courbe explicitement donnée :

4. Prouver la formule de la longueur d'une courbe donnée en coordonnées polaires

Conférence n°4

Démontrer le théorème : converge, converge.

Conférence n°5

1. Dériver (prouver) la formule pour l'aire d'une surface explicitement donnée .

2. Dérivation de formules pour la transition vers les coordonnées polaires.

3. Dérivation du déterminant jacobien des coordonnées polaires.

4. Dérivation de formules pour la transition vers les coordonnées cylindriques.

5. Dérivation du déterminant jacobien des coordonnées cylindriques.

6. Dérivation de formules pour le passage aux coordonnées sphériques :

Conférence n°6

1. Montrer que la substitution réduit une équation homogène à une équation à variables séparables.

2. Dérivez la forme générale de la solution d’une équation linéaire homogène.

3. Dérivez la forme générale de la solution d'une équation linéaire inhomogène par la méthode de Lagrange.

4. Montrer que la substitution réduit l’équation de Bernoulli à une équation linéaire.

Conférence n°7.

1. Montrer que le remplacement réduit l'ordre de l'équation de k.

2. Montrer que le remplacement réduit l'ordre de l'équation d'un .

3. Démontrer le théorème : La fonction est une solution d'une équation différentielle homogène linéaire et a une racine caractéristique.

4. Démontrer le théorème selon lequel une combinaison linéaire de solutions à un diff homogène linéaire. l'équation est aussi sa solution.

5. Démontrer le théorème sur l'imposition de solutions : Si est une solution d'une équation différentielle inhomogène linéaire avec le membre droit, et est une solution de la même équation différentielle, mais avec le membre droit, alors la somme est une solution de l’équation avec le membre de droite.

Conférence n°8.

1. Démontrer le théorème selon lequel le système de fonctions est linéairement dépendant.

2. Démontrer le théorème selon lequel il existe n solutions linéairement indépendantes d’une équation différentielle homogène linéaire d’ordre n.

3. Montrer que si 0 est la racine de la multiplicité , alors le système de solutions correspondant à cette racine a la forme .

Conférence n°9.

1. Prouver sous forme exponentielle que lors de la multiplication de nombres complexes, les modules sont multipliés et les arguments sont ajoutés.

2. Démontrer la formule de Moivre pour le degré n

3. Prouver la formule de la racine d'un nombre complexe d'ordre n

4. Prouvez que Et

sont des généralisations du sinus et du cosinus, c'est-à-dire pour les nombres réels, ces formules donneront un sinus (cosinus).

5. Démontrer la formule du logarithme d'un nombre complexe :

Annexe 2.

Questions mineures et orales sur la connaissance de la théorie (pour colloques).

Conférence n°1

1. Que sont les primitives et les intégrales indéfinies, en quoi diffèrent-elles ?

2. Expliquez pourquoi c'est aussi une primitive.

3. Écrivez la formule d'intégration par parties.

4. Quel remplacement est requis dans la forme intégrale et comment élimine-t-il les racines ?

5. Notez le type de décomposition de l'intégrande d'une fraction rationnelle en les plus simples dans le cas où toutes les racines sont différentes et réelles.

6. Écrivez le type de décomposition de l'intégrande d'une fraction rationnelle en les plus simples dans le cas où toutes les racines sont réelles et qu'il existe une racine multiple de multiplicité k.

Conférence n°2.

1. Écrivez quelle est la décomposition d'une fraction rationnelle en fractions les plus simples dans le cas où le dénominateur a un facteur de 2 degrés avec un discriminant négatif.

2. Quelle substitution réduit l'intégrale à une fraction rationnelle ?

3. Que sont les substitutions trigonométriques universelles ?

4. Quels remplacements sont effectués dans les cas où la fonction sous le signe intégral est impaire par rapport au sinus (cosinus) ?

5. Quels remplacements sont effectués si l'intégrande contient les expressions , , ou .

Conférence n°3.

1. Définition d'une intégrale définie.

2. Énumérez quelques-unes des propriétés fondamentales de l’intégrale définie.

3. Écrivez la formule de Newton-Leibniz.

4. Écrivez la formule du volume d’un corps en rotation.

5. Écrivez une formule pour la longueur d’une courbe explicitement donnée.

6. Écrivez la formule pour la longueur d’une courbe définie paramétriquement.

Conférence n°4.

1. Définition d'une intégrale impropre (à l'aide d'une limite).

2. Quelle est la différence entre les intégrales impropres du 1er et du 2ème type.

3. Donnez des exemples simples d'intégrales convergentes de 1ère et 2ème espèces.

4. A quelles valeurs convergent les intégrales (T1) ?

5. Comment la convergence est-elle liée à la limite finie de la primitive (T2)

6. Qu'est-ce qu'un critère nécessaire à la convergence, sa formulation.

7. Test de comparaison sous forme définitive

8. Signe de comparaison sous forme extrême.

9. Définition de l'intégrale multiple.

Conférence n°5.

1. Changer l'ordre d'intégration, montrer avec un exemple simple.

2. Écrivez la formule pour la surface.

3. Que sont les coordonnées polaires, écrivez les formules de transition.

4. Quel est le jacobien du système de coordonnées polaires ?

5. Que sont les coordonnées cylindriques et sphériques, quelle est leur différence.

6. Quelle est la jacobienne des coordonnées cylindriques (sphériques) ?

Conférence n°6.

1. Qu'est-ce qu'une équation différentielle du 1er ordre (vue générale).

2. Qu'est-ce qu'une équation différentielle du 1er ordre résolue par rapport à la dérivée. Donnez un exemple.

3. Qu'est-ce qu'une équation à variables séparables.

4. Qu'est-ce qu'une solution générale, particulière, conditions de Cauchy.

5. Qu'est-ce qu'une équation homogène, quelle est la méthode générale pour la résoudre.

6. Qu'est-ce qu'une équation linéaire, quel est l'algorithme pour la résoudre, quelle est la méthode de Lagrange.

7. Qu'est-ce que l'équation de Bernoulli, un algorithme pour la résoudre.

Conférence n°7.

1. Quel remplacement est nécessaire pour une équation de la forme .

2. Quel remplacement est nécessaire pour une équation de la forme .

3. Montrez avec des exemples comment cela peut être exprimé sous la forme .

4. Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire d'ordre n.

5. Qu'est-ce qu'une équation polynomiale caractéristique.

6. Formulez un théorème expliquant en quoi r la fonction est une solution d'une équation différentielle homogène linéaire.

7. Formulez un théorème selon lequel une combinaison linéaire de solutions à une équation linéaire homogène est également sa solution.

8. Formuler le théorème sur l'imposition de solutions et ses conséquences.

9. Que sont les systèmes de fonctions linéairement dépendants et linéairement indépendants, donnez quelques exemples.

10. Quel est le déterminant de Wronski d'un système de n fonctions, donnez un exemple du déterminant de Wronski pour les systèmes LZS et LNS.

Conférence n°8.

1. Quelle propriété possède le déterminant de Wronski si la fonction du système est linéairement dépendante.

2. Combien de solutions linéairement indépendantes existent pour une équation différentielle homogène linéaire d’ordre n.

3. Détermination du FSR (système fondamental de solutions) d'une équation linéaire homogène d'ordre n.

4. Combien de fonctions le FSR contient-il ?

5. Notez la forme du système d'équations à trouver par la méthode de Lagrange pour n=2.

6. Notez le type de solution particulière dans le cas où

7. Qu'est-ce qu'un système linéaire d'équations différentielles, écrivez un exemple.

8. Qu'est-ce qu'un système autonome d'équations différentielles.

9. Signification physique du système d'équations différentielles.

10. Notez en quoi consiste le FSR du système d'équations, si les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice principale de ce système sont connus.

Conférence n°9.

1. Qu'est-ce qu'une unité imaginaire.

2. Qu'est-ce qu'un nombre conjugué et que se passe-t-il lorsque vous le multipliez par le nombre d'origine.

3. Quelle est la forme trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe.

4. Écrivez la formule d'Euler.

5. Quel est le module, l'argument d'un nombre complexe.

6. qu'arrive-t-il aux modules et aux arguments lors de la multiplication (division).

7. Écrivez la formule de Moivre pour le degré n.

8. Écrivez la formule d’une racine d’ordre n.

9. Écrivez des formules de sinus et de cosinus généralisées pour un argument complexe.

10. Écrivez la formule du logarithme d'un nombre complexe.

Annexe 3. Problèmes des cours magistraux.

Conférence n°1

Exemple. . Exemple. .

Exemple. Exemple. .

Exemple. . Exemple. .

Conférence n°2

Exemple. . Exemple. .

Exemple. . Exemple.. , où, numéro .

Exemple. Divisez de façon exponentielle.

Exemple. Trouvez en utilisant la formule de Moivre.

Exemple. Trouvez toutes les valeurs de la racine.

Plan:

1 Logarithme réel
- 1.1 Propriétés
- 1.2 Fonction logarithmique
- 1.3 Logarithmes naturels
- 1.4 Logarithmes décimaux
2 Logarithme complexe
- 2.1 Définition et propriétés
- 2.2 Exemples
- 2.3 Suite analytique
- 2.4 Surface de Riemann
3 Esquisse historique
- 3.1 Logarithme réel
- 3.2 Logarithme complexe
4 Tableaux logarithmiques
5 candidatures

Introduction

Riz. 1. Graphiques de fonctions logarithmiques

Logarithme d'un nombre b basé sur un (du grec λόγος - « mot », « attitude » et ἀριθμός - « nombre ») est défini comme un indicateur de la puissance à laquelle le socle doit être élevé un pour obtenir le numéro b. Désignation: . De la définition, il résulte que les enregistrements et sont équivalents.

Par exemple, parce que.

1. Logarithme réel

Logarithme d'un journal de nombres réels un b a du sens quand . Comme on le sait, la fonction exponentielle oui = un X est monotone et chaque valeur ne prend qu'une seule fois, et la plage de ses valeurs contient tous les nombres réels positifs. Il s'ensuit que la valeur du logarithme réel d'un nombre positif existe toujours et est déterminée de manière unique.

Les types de logarithmes les plus largement utilisés sont :

1.1. Propriétés

Preuve

Prouvons-le.

(puisque par condition bc > 0). ■

Preuve

Prouvons que

(puisque par condition ■

Preuve

Nous utilisons l'identité pour le prouver. Logarithmonons les deux côtés de l'identité en base c. On a:

Preuve

Prouvons-le.

(parce que b p> 0 par condition). ■

Preuve

Prouvons que

Preuve

Logarithme des côtés gauche et droit à la base c :

Côté gauche : Côté droit :

L'égalité des expressions est évidente. Puisque les logarithmes sont égaux, alors, en raison de la monotonie de la fonction logarithmique, les expressions elles-mêmes sont égales. ■

1.2. Fonction logarithmique

Si l'on considère le nombre logarithmique comme une variable, on obtient fonction logarithmique oui=journal un X (voir fig. 1). Il est défini à . Plage de valeurs : .

La fonction est strictement croissante à un> 1 et strictement décroissant à 0< un < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Droit X= 0 est une asymptote verticale gauche, puisqu'à un> 1 et à 0< un < 1 .

La dérivée de la fonction logarithmique est égale à :

Preuve

I. Prouvons que

Écrivons l'identité e dans X = X et différencier ses côtés gauche et droit

Nous obtenons cela, d'où il résulte que

II. Prouvons que

La fonction logarithmique réalise un isomorphisme entre le groupe multiplicatif des nombres réels positifs et le groupe additif de tous les nombres réels.

1.3. Logarithmes naturels

Relation avec le logarithme décimal : .

Comme indiqué ci-dessus, la dérivée du logarithme népérien a une formule simple :

C’est pour cette raison que les logarithmes naturels sont principalement utilisés dans la recherche mathématique. Ils apparaissent souvent lors de la résolution d'équations différentielles, de l'étude de dépendances statistiques (par exemple, la distribution des nombres premiers), etc.

L'intégrale indéfinie du logarithme népérien peut être facilement trouvée par intégration par parties :

Le développement en série de Taylor peut être représenté comme suit :
quand l'égalité est vraie

(1)

En particulier,

Cette série converge plus rapidement et, de plus, le côté gauche de la formule peut désormais exprimer le logarithme de n'importe quel nombre positif.

1.4. Logarithmes décimaux

Riz. 2a. Échelle logarithmique

Riz. 2b. Échelle logarithmique avec symboles

Logarithmes en base 10 (symbole : lg un) avant l'invention des calculatrices, elles étaient largement utilisées pour les calculs. L'échelle inégale des logarithmes décimaux est généralement appliquée aux règles à calcul. Une échelle similaire est utilisée dans de nombreux domaines scientifiques, par exemple :

Physique - intensité sonore (décibels).
Astronomie - échelle de luminosité des étoiles.
Chimie - activité des ions hydrogène (pH).
Sismologie - Échelle de Richter.
Théorie musicale - une gamme de notes, en relation avec les fréquences des notes de musique.
L'histoire est une échelle de temps logarithmique.

L'échelle logarithmique est également largement utilisée pour identifier l'exposant dans les relations de puissance et le coefficient de l'exposant. Dans ce cas, un graphique construit sur une échelle logarithmique selon un ou deux axes prend la forme d’une droite, plus facile à étudier.

2. Logarithme complexe

2.1. Définition et propriétés

Pour les nombres complexes, le logarithme est défini de la même manière qu'un logarithme réel. En pratique, on utilise presque exclusivement le logarithme complexe naturel, que nous désignons et définissons comme l'ensemble de tous les nombres complexes z tel que e z = w . Le logarithme complexe existe pour tout , et sa partie réelle est déterminée de manière unique, tandis que la partie imaginaire a un nombre infini de valeurs. Pour cette raison, on parle de fonction à valeurs multiples. Si tu imagines w sous forme démonstrative :

alors le logarithme est trouvé par la formule :

Voici le vrai logarithme, r = | w | , k- entier arbitraire. La valeur obtenue lorsque k= 0, appelé importance principale logarithme naturel complexe ; il est d'usage de prendre la valeur de l'argument qu'il contient dans l'intervalle (− π,π]. La fonction correspondante (déjà à valeur unique) est appelée branche principale logarithme et est noté . Parfois, ils désignent également une valeur de logarithme qui ne figure pas sur la branche principale.

De la formule il résulte :

La partie réelle du logarithme est déterminée par la formule :

Le logarithme d'un nombre négatif se trouve par la formule :

Puisque les fonctions trigonométriques complexes sont liées à l'exposant (formule d'Euler), le logarithme complexe, en tant que fonction inverse de l'exponentielle, est lié aux fonctions trigonométriques inverses. Un exemple d'une telle connexion :

2.2. Exemples

Donnons la valeur principale du logarithme pour quelques arguments :

Vous devez être prudent lors de la conversion de logarithmes complexes, en tenant compte du fait qu'ils sont à valeurs multiples et que, par conséquent, l'égalité des logarithmes de toutes expressions n'implique pas l'égalité de ces expressions. Exemple de raisonnement erroné :

jeπ = ln(− 1) = ln((− je) 2) = 2ln(− je) = 2(− jeπ / 2) = − jeπ - pure absurdité.

Notez qu'à gauche se trouve la valeur principale du logarithme et à droite la valeur de la branche sous-jacente ( k= − 1 ). La cause de l'erreur est l'utilisation imprudente de la propriété, qui, d'une manière générale, implique dans le cas complexe l'ensemble infini des valeurs du logarithme, et pas seulement la valeur principale.

2.3. Suite analytique

Riz. 3. Logarithme complexe (partie imaginaire)

Le logarithme d'un nombre complexe peut également être défini comme l'extension analytique du logarithme réel à l'ensemble du plan complexe. Laissez la courbe Γ commencer à l'unité, ne pas passer par zéro et ne pas couper la partie négative de l'axe réel. Alors la valeur principale du logarithme au point final w la courbe Γ peut être déterminée par la formule :

Si Γ est une courbe simple (sans auto-intersections), alors pour les nombres qui s'y trouvent, des identités logarithmiques peuvent être appliquées sans crainte, par exemple

Si la courbe Γ peut couper la partie négative de l'axe réel, alors la première de ces intersections transfère le résultat de la branche de valeur principale à la branche adjacente, et chaque intersection suivante provoque un décalage similaire le long des branches de la fonction logarithmique ( voir figure).

De la formule de continuation analytique, il s'ensuit que sur n'importe quelle branche du logarithme

Pour n'importe quel cercle S, couvrant le point 0 :

L'intégrale est prise dans le sens positif (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre). Cette identité sous-tend la théorie des résidus.

Vous pouvez également définir la suite analytique du logarithme complexe à l'aide de la série (1) ci-dessus, généralisée au cas d'un argument complexe. Cependant, du type d'expansion, il résulte qu'à l'unité, il est égal à zéro, c'est-à-dire que la série ne concerne que la branche principale de la fonction multivaluée du logarithme complexe.

2.4. Surface de Riemann

Une fonction logarithmique complexe est un exemple de surface de Riemann ; sa partie imaginaire (fig. 3) est constituée d'une infinité de branches tordues en forme de spirale. Cette surface est simplement connectée ; son seul zéro (du premier ordre) est obtenu à z= 1, points singuliers : z= 0 et (points de branchement d'ordre infini).

La surface de Riemann du logarithme est la couverture universelle du plan complexe sans le point 0.

3. Esquisse historique

3.1. Logarithme réel

Le besoin de calculs complexes s'est rapidement accru au XVIe siècle, et une grande partie de la difficulté consistait à multiplier et diviser des nombres à plusieurs chiffres et à s'enraciner. À la fin du siècle, plusieurs mathématiciens ont eu l'idée, presque simultanément, de remplacer la multiplication laborieuse par une simple addition, en utilisant des tableaux spéciaux pour comparer les progressions géométriques et arithmétiques, la géométrique étant celle d'origine. Ensuite, la division est automatiquement remplacée par la soustraction infiniment plus simple et plus fiable, et l'extraction de la racine du degré n revient à diviser le logarithme de l'expression radicale par n. Il fut le premier à publier cette idée dans son livre « Arithmétique intégrale"Michael Stiefel, qui n'a cependant fait aucun effort sérieux pour mettre en œuvre son idée.

En 1614, le mathématicien amateur écossais John Napier publia un essai en latin intitulé « Description de l'étonnante table des logarithmes"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Il contenait une brève description des logarithmes et de leurs propriétés, ainsi que des tableaux à 8 chiffres de logarithmes de sinus, cosinus et tangentes, avec un pas de 1". Terme logarithme, proposé par Napier, s'est imposé dans la science. Napier a exposé la théorie des logarithmes dans son autre livre « Construire une étonnante table de logarithme"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publié à titre posthume en 1619 par son fils.

Le concept de fonction n'existait pas encore et Napier a défini le logarithme cinématiquement, en comparant le mouvement uniforme et logarithmiquement lent ; par exemple, il a défini le logarithme du sinus comme suit :

Le logarithme d'un sinus donné est un nombre qui a toujours augmenté arithmétiquement au même rythme auquel le sinus total a commencé à diminuer géométriquement.

En notation moderne, le modèle cinématique de Napier peut être représenté par l’équation différentielle : dx/x = -dy/M, où M est un facteur d'échelle introduit pour garantir que la valeur s'avère être un entier avec le nombre de chiffres requis (les fractions décimales n'étaient pas encore largement utilisées). Napier a pris M = 1 000 000.

À proprement parler, Napier a tabulé la mauvaise fonction, qui est maintenant appelée logarithme. Si nous désignons sa fonction LogNap(x), alors elle est liée au logarithme népérien comme suit :

Évidemment, LogNap(M) = 0, c'est-à-dire que le logarithme du « sinus complet » est nul - c'est ce que Napier a réalisé avec sa définition. .

Propriété principale du logarithme Napier : si les quantités forment une progression géométrique, alors leurs logarithmes forment une progression arithmétique. Cependant, les règles du logarithme de la fonction néper différaient des règles du logarithme moderne.

Par exemple, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Malheureusement, toutes les valeurs du tableau de Napier contenaient une erreur de calcul après le sixième chiffre. Cependant, cela n'a pas empêché la nouvelle méthode de calcul de gagner en popularité et de nombreux mathématiciens européens, dont Kepler, ont commencé à compiler des tableaux logarithmiques. À peine cinq ans plus tard, en 1619, John Spidell, professeur de mathématiques à Londres ( John Speidell) a réédité les tableaux de Napier, transformés de telle sorte qu'ils deviennent effectivement des tableaux de logarithmes naturels (bien que Spidell ait conservé la mise à l'échelle en nombres entiers). Le terme « logarithme naturel » a été proposé par le mathématicien italien Pietro Mengoli ( Pietro Mengli)) au milieu du XVIe siècle.

Dans les années 1620, Edmund Wingate et William Oughtred inventèrent la première règle à calcul, avant l'avènement des calculatrices de poche, un outil indispensable pour l'ingénieur.

Une compréhension proche de la logarithmisation moderne – en tant qu’opération inverse d’élévation à une puissance – est apparue pour la première fois avec Wallis et Johann Bernoulli, et a finalement été légitimée par Euler au XVIIIe siècle. Dans le livre « Introduction à l'analyse des infinis » (1748), Euler a donné des définitions modernes des fonctions exponentielles et logarithmiques, les a développées en séries entières et a particulièrement souligné le rôle du logarithme naturel.

Euler est également crédité d'avoir étendu la fonction logarithmique au domaine complexe.

3.2. Logarithme complexe

Les premières tentatives pour étendre les logarithmes aux nombres complexes ont été faites au tournant des XVIIe et XVIIIe siècles par Leibniz et Johann Bernoulli, mais elles n'ont pas réussi à créer une théorie holistique, principalement parce que le concept même de logarithme n'était pas encore clairement défini. La discussion sur cette question a eu lieu d'abord entre Leibniz et Bernoulli, et au milieu du XVIIIe siècle - entre d'Alembert et Euler. Bernoulli et d'Alembert pensaient qu'il fallait déterminer journal(-x) = journal(x). La théorie complète des logarithmes des nombres négatifs et complexes a été publiée par Euler en 1747-1751 et n'est fondamentalement pas différente de la théorie moderne.

Bien que la controverse se poursuive (D'Alembert défendit son point de vue et l'argumenta en détail dans un article de son Encyclopédie et dans d'autres ouvrages), le point de vue d'Euler fut rapidement reconnu universellement.

4. Tableaux logarithmiques

Tableaux logarithmiques

Des propriétés du logarithme, il s'ensuit qu'au lieu d'une multiplication fastidieuse de nombres à plusieurs chiffres, il suffit de trouver (à partir de tableaux) et d'ajouter leurs logarithmes, puis, en utilisant les mêmes tableaux, d'effectuer une potentialisation, c'est-à-dire trouver la valeur du résultat à partir de son logarithme. Faire une division ne diffère que par le fait que les logarithmes sont soustraits. Laplace a déclaré que l'invention des logarithmes « a prolongé la vie des astronomes » en accélérant considérablement le processus de calcul.

Lorsque vous déplacez le point décimal d'un nombre vers n chiffres, la valeur du logarithme décimal de ce nombre devient n. Par exemple, log8314.63 = log8.31463 + 3. Il s'ensuit qu'il suffit de dresser un tableau de logarithmes décimaux pour les nombres compris entre 1 et 10.

Les premiers tableaux de logarithmes ont été publiés par John Napier (1614), et ils ne contenaient que des logarithmes de fonctions trigonométriques, et avec des erreurs. Indépendamment de lui, Joost Burgi, ami de Kepler, publia ses tableaux (1620). En 1617, Henry Briggs, professeur de mathématiques à Oxford, publia des tableaux qui comprenaient déjà des logarithmes décimaux des nombres eux-mêmes, de 1 à 1 000, à 8 (plus tard 14) chiffres. Mais il y avait aussi des erreurs dans les tableaux de Briggs. La première édition sans erreur basée sur les tables de Vega (1783) n'est parue qu'en 1857 à Berlin (tables de Bremiwer).

En Russie, les premiers tableaux de logarithmes ont été publiés en 1703 avec la participation de L. F. Magnitsky. Plusieurs recueils de tables de logarithmes ont été publiés en URSS.

Bradis V. M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres. 44e édition, M., 1973.

Les tables de Bradis (1921) étaient utilisées dans les établissements d'enseignement et dans les calculs d'ingénierie qui n'exigeaient pas une grande précision. Ils contenaient des mantisses de logarithmes décimaux de nombres et de fonctions trigonométriques, des logarithmes naturels et quelques autres outils de calcul utiles.

Véga G. Tableaux de logarithmes à sept chiffres, 4e édition, M., 1971.

Collection professionnelle pour des calculs précis.

Tableaux à cinq chiffres des valeurs naturelles des grandeurs trigonométriques, leurs logarithmes et logarithmes de nombres, 6e éd., M. : Nauka, 1972.
Tableaux de logarithmes naturels, 2e édition, en 2 volumes, M. : Nauka, 1971.

De nos jours, avec la diffusion des calculatrices, la nécessité d’utiliser des tableaux de logarithmes a disparu.

M, Feature (analyse complexe).

Logarithmes naturels

Pour la dérivée du logarithme népérien, une formule simple est valable :

C’est pour cette raison que les logarithmes naturels sont principalement utilisés dans la recherche mathématique. Ils apparaissent souvent lors de la résolution d'équations différentielles équations, étude des dépendances statistiques (par exemple, distributions de simples chiffres) etc.

Quand l'égalité est vraie

Cette série converge plus rapidement et, de plus, le côté gauche de la formule peut désormais exprimer le logarithme de n'importe quel nombre positif.

Relation avec le logarithme décimal : .

Logarithmes décimaux

Riz. 2. Échelle logarithmique

Logarithmes en base 10 (symbole : lg un) avant l'invention calculatrices largement utilisé pour l'informatique. Échelle inégale Les logarithmes décimaux sont généralement tracés sur règles à calcul. Une échelle similaire est largement utilisée dans divers domaines scientifiques, par exemple :

La physique- l'intensité sonore ( décibels).

Astronomie- échelle luminosité des étoiles.

Chimie- activité hydrogène ions (pH).

Sismologie - échelle de Richter.

Théorie de la musique- échelle de notes, par rapport aux fréquences des sons de notes.

Histoire - échelle de temps logarithmique.

Fonction logarithmique

Une fonction logarithmique est une fonction de la forme F(X) = journal un X, défini à

Explorer la fonction logarithmique

Domaine:

Portée:

Le graphique de toute fonction logarithmique passe par le point (1;0)

La dérivée de la fonction logarithmique est égale à :

Preuve [montrer]

I. Prouvons que

Écrivons l'identité e dans X = X et différencier ses côtés gauche et droit

Nous obtenons cela , d'où il résulte que

II. Prouvons que

La fonction est strictement croissante à un> 1 et strictement décroissant à 0 a

Droit X= il reste 0 asymptote verticale, parce qu'à un> 1 et à 0 a

Logarithme complexe

Fonction à valeurs multiples

Pour nombres complexes Le logarithme est défini de la même manière qu'un logarithme réel. Commençons par le logarithme népérien, que nous désignons et définissons comme l'ensemble de tous les nombres complexes z tel que e z = w. Le logarithme complexe existe pour tout , et sa partie réelle est déterminée de manière unique, tandis que la partie imaginaire a un nombre infini de valeurs. Pour cette raison, on parle de fonction à valeurs multiples. Si tu imagines w sous forme démonstrative :

alors le logarithme est trouvé par la formule :

Voici le vrai logarithme, r = | w | , k- arbitraire entier. La valeur obtenue lorsque k= 0, appelé importance principale logarithme naturel complexe ; il est d'usage de prendre la valeur de l'argument dans l'intervalle (− π,π]. La fonction correspondante (déjà à valeur unique) est appelée branche principale logarithme et est noté . Parfois, ils désignent également une valeur de logarithme qui ne figure pas sur la branche principale.

De la formule il résulte :

La partie réelle du logarithme est déterminée par la formule :

Le logarithme d'un nombre négatif se trouve par la formule :

Exemples (la valeur principale du logarithme est donnée) :

Les logarithmes complexes avec une base différente sont traités de la même manière. Cependant, il faut être prudent lors de la conversion de logarithmes complexes, en tenant compte du fait qu'ils sont à plusieurs valeurs, et donc l'égalité des logarithmes de toutes expressions n'implique pas l'égalité de ces expressions. Exemple de raisonnement erroné :

jeπ = ln(− 1) = ln((− je) 2) = 2ln(− je) = 2(− jeπ / 2) = − jeπ est une absurdité évidente.

Notez qu'à gauche se trouve la valeur principale du logarithme et à droite la valeur de la branche sous-jacente ( k= − 1). La cause de l'erreur est l'utilisation imprudente de la propriété, qui, d'une manière générale, implique dans le cas complexe l'ensemble infini des valeurs du logarithme, et pas seulement la valeur principale.

Surface de Riemann

Fonction logarithmique complexe - exemple Surface de Riemann; sa partie imaginaire (fig. 3) est constituée d'un nombre infini de branches tordues comme une spirale. Cette surface simplement connecté; son seul zéro (du premier ordre) est obtenu à z= 1, points singuliers : z= 0 et (points de branchement d'ordre infini).

La surface de Riemann d'un logarithme est revêtement universel pour le plan complexe sans point 0.

Esquisse historique

Logarithme réel

La nécessité de calculs complexes dans XVIe siècle a augmenté rapidement et une grande partie des difficultés était liée à la multiplication et à la division de nombres à plusieurs chiffres. À la fin du siècle, plusieurs mathématiciens ont eu, presque simultanément, une idée : remplacer la multiplication laborieuse par une simple addition, en comparant à l'aide de tableaux spéciaux. géométrique Et arithmétique progression, tandis que la géométrique sera celle originale. La division est alors automatiquement remplacée par la soustraction infiniment plus simple et plus fiable. Il fut le premier à publier cette idée dans son livre « Arithmétique intégrale» Michael Stiefel, qui n'a cependant pas fait d'efforts sérieux pour mettre en œuvre son idée.

DANS 1614 Mathématicien amateur écossais John Napier a publié un essai en latin intitulé « Description de l'étonnante table des logarithmes" Il contenait une brève description des logarithmes et de leurs propriétés, ainsi que des tableaux de logarithmes à 8 chiffres. sinus, cosinus Et tangentes, par incréments de 1". Terme logarithme, proposé par Napier, s'est imposé dans la science.

Le concept de fonction n'existait pas encore et Napier définissait le logarithme cinématiquement, comparant un mouvement uniforme et logarithmiquement lent. En notation moderne, le modèle de Napier peut être représenté par l'équation différentielle : dx/x = -dy/M, où M est un facteur d'échelle introduit pour garantir que la valeur s'avère être un entier avec le nombre de chiffres requis (les fractions décimales n'étaient pas encore largement utilisées). Napier a pris M = 1 000 000.

Évidemment, LogNap(M) = 0, c'est-à-dire que le logarithme du « sinus complet » est nul - c'est ce que Napier a réalisé avec sa définition. LogNap(0) = ∞.

La propriété principale du logarithme Napier : si les quantités forment progression géométrique, alors leurs logarithmes forment une progression arithmétique. Cependant, les règles du logarithme de la fonction néper différaient des règles du logarithme moderne.

Par exemple, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Dans les années 1620, Edmund Wingate et William Devred a inventé le premier règle à calcul, avant l'avènement des calculatrices de poche, un outil d'ingénieur indispensable.

Proche de la compréhension moderne du logarithme - en tant qu'opération inverse exponentiation- apparu pour la première fois dans Valais Et Johann Bernoulli, et a finalement été légalisé Euler V XVIIIe siècle. Dans le livre "Introduction à l'analyse de l'infini" ( 1748 ) Euler a donné des définitions modernes comme indicatif, et les fonctions logarithmiques, ont amené leur expansion en séries entières, et ont surtout noté le rôle du logarithme népérien.

Euler est également crédité d'avoir étendu la fonction logarithmique au domaine complexe.

Logarithme complexe

Les premières tentatives pour étendre les logarithmes aux nombres complexes ont eu lieu au tournant des XVIIe et XVIIIe siècles. Leibniz Et Johann Bernoulli Cependant, ils n'ont pas réussi à créer une théorie complète - principalement parce que le concept même de logarithme n'était pas encore clairement défini. La discussion sur cette question a eu lieu d'abord entre Leibniz et Bernoulli, et au milieu du XVIIIe siècle - entre d'Alembert et Euler. Bernoulli et d'Alembert pensaient qu'il fallait déterminer journal(-x) = journal(x). La théorie complète des logarithmes des nombres négatifs et complexes a été publiée par Euler en 1747-1751 et n'est fondamentalement pas différente de la théorie moderne.

Tableaux logarithmiques

Des propriétés du logarithme, il s'ensuit qu'au lieu d'une multiplication fastidieuse de nombres à plusieurs chiffres, il suffit de trouver (à partir de tableaux) et d'ajouter leurs logarithmes, puis d'utiliser les mêmes tableaux pour effectuer potentialisation, c'est-à-dire trouver la valeur du résultat par son logarithme. Faire une division ne diffère que par le fait que les logarithmes sont soustraits. Laplace a déclaré que l'invention des logarithmes « a prolongé la vie des astronomes », accélérant plusieurs fois le processus de calcul.

Lorsque vous déplacez le point décimal d'un nombre vers n chiffres, la valeur du logarithme décimal de ce nombre devient n. Par exemple, log8314.63 = log8.31463 + 3. Il s'ensuit qu'il suffit de créer un tableau de logarithmes décimaux pour les nombres compris entre 1 et 10.

Les premiers tableaux de logarithmes ont été publiés par John Napier ( 1614 ), et ils ne contenaient que des logarithmes de fonctions trigonométriques, et avec des erreurs. Indépendamment de lui, Joost Bürgi, un ami, publia ses tableaux Kepler (1620 ). DANS 1617 Oxford professeur de mathématiques Henri Briggs des tableaux publiés qui comprenaient déjà des logarithmes décimaux des nombres eux-mêmes, de 1 à 1000, avec 8 (plus tard 14) chiffres. Mais il y avait aussi des erreurs dans les tableaux de Briggs. Première édition sans erreur basée sur les tables Vega ( 1783 ) n'est apparu que dans 1857à Berlin (tables Bremiwer).

En Russie, les premiers tableaux de logarithmes ont été publiés en 1703 mettant en vedette L.F. Magnitski. Plusieurs recueils de tables de logarithmes ont été publiés en URSS.

Bradis V.M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres. 44e édition, M., 1973.

Tableaux Bradis ( 1921 ) ont été utilisés dans les établissements d'enseignement et dans les calculs d'ingénierie qui ne nécessitent pas une grande précision. Ils contenaient mantisse logarithmes décimaux de nombres et fonctions trigonométriques, logarithmes naturels et quelques autres outils de calcul utiles.

Littérature

Uspensky Ya. V. Essai sur l'histoire des logarithmes. Pétrograd, 1923. −78 p.

Vygodsky M. Ya. Manuel de mathématiques élémentaires. - M. : AST, 2003. - ISBN5-17-009554-6

Histoire des mathématiques, édité par A. P. Iouchkevitch en trois volumes, M. : Nauka.

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Les propriétés de base du logarithme, du graphique logarithmique, du domaine de définition, de l'ensemble de valeurs, des formules de base, croissantes et décroissantes sont données. La recherche de la dérivée d'un logarithme est envisagée. Ainsi que l'expansion intégrale et la représentation en séries entières à l'aide de nombres complexes.

Contenu

Domaine, ensemble de valeurs, croissant, décroissant

Le logarithme est une fonction monotone, il n’a donc pas d’extrema. Les principales propriétés du logarithme sont présentées dans le tableau.


Domaine	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Plage de valeurs	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotone	augmente de façon monotone	diminue de façon monotone
Des zéros, y = 0	X = 1	X = 1
Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x = 0	Non	Non
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valeurs privées

Le logarithme en base 10 s'appelle logarithme décimal et est noté comme suit :

Logarithme en base e appelé un algorithme naturel:

Formules de base pour les logarithmes

Propriétés du logarithme découlant de la définition de la fonction inverse :

La propriété principale des logarithmes et ses conséquences

Formule de remplacement de base

Le logarithme est l'opération mathématique consistant à prendre un logarithme. Lors de la prise de logarithmes, les produits de facteurs sont convertis en sommes de termes.
La potentialisation est l'opération mathématique inverse du logarithme. Lors de la potentialisation, une base donnée est élevée jusqu'au degré d'expression sur lequel la potentialisation est effectuée. Dans ce cas, les sommes de termes sont transformées en produits de facteurs.

Preuve des formules de base pour les logarithmes

Les formules liées aux logarithmes découlent des formules pour fonctions exponentielles et de la définition d'une fonction inverse.

Considérons la propriété de la fonction exponentielle
.
Alors
.
Appliquons la propriété de la fonction exponentielle
:
.

Démontrons la formule de remplacement de base.
;
.
En supposant c = b, nous avons :

Fonction inverse

L'inverse d'un logarithme en base a est une fonction exponentielle d'exposant a.

Si donc

Dérivée du logarithme

Dérivée du logarithme du module x :
.
Dérivée du nième ordre :
.
Formules dérivées > > >

Pour trouver la dérivée d'un logarithme, il faut le réduire à la base e.
;
.

Intégral

L'intégrale du logarithme se calcule en intégrant par parties : .
Donc,

Expressions utilisant des nombres complexes

Considérons la fonction nombre complexe z:
.
Exprimons un nombre complexe z par module r et argumentation φ :
.
Alors, en utilisant les propriétés du logarithme, on a :
.
Ou

Cependant, l'argument φ pas défini de manière unique. Si tu mets
, où n est un nombre entier,
alors ce sera le même numéro pour différents n.