Lors de la construction axiomatique d'une théorie mathématique, certaines règles sont observées :

Certains concepts de la théorie sont choisis comme principal et sont acceptés sans définition ;

Chaque concept de la théorie qui ne figure pas dans la liste des concepts de base reçoit une définition, sa signification y est expliquée à l'aide de concepts de base et précédents ;

Sont formulés axiomes- des propositions acceptées sans preuve dans cette théorie ; ils révèlent les propriétés des concepts de base ;

Toute proposition d'une théorie qui n'est pas contenue dans la liste des axiomes doit être prouvée ; de telles propositions sont appelées théorèmes et sont prouvées sur la base d'axiomes et de théorèmes précédant celui considéré.

Si la construction d'une théorie est réalisée selon la méthode axiomatique, c'est-à-dire selon les règles mentionnées ci-dessus, alors ils disent que la théorie est construite déductivement.

Dans la construction axiomatique d’une théorie, essentiellement toutes les affirmations sont dérivées par preuve d’axiomes. Par conséquent, des exigences particulières sont imposées au système d’axiomes. Tout d’abord, elle doit être cohérente et indépendante.

Le système d'axiomes s'appelle cohérent, si deux phrases mutuellement exclusives ne peuvent en être logiquement déduites.

Si un système d’axiomes ne possède pas cette propriété, il ne peut pas convenir à la justification d’une théorie scientifique.

Un système cohérent d’axiomes est appelé indépendant, si aucun des axiomes de ce système n'est une conséquence d'autres axiomes de ce système.

Lors de la construction axiomatique de la même théorie, différents systèmes d’axiomes peuvent être utilisés. Mais ils doivent être équivalents. De plus, lors du choix d'un système particulier d'axiomes, les mathématiciens tiennent compte de la manière dont les preuves des théorèmes pourront être obtenues simplement et clairement à l'avenir. Mais si le choix des axiomes est conditionnel, alors la science elle-même ou une théorie distincte ne dépend d'aucune condition - elles sont le reflet du monde réel.

La construction axiomatique d'un système de nombres naturels s'effectue selon les règles formulées. En étudiant ce matériel, nous devons voir comment toute l’arithmétique des nombres naturels peut être dérivée de concepts et d’axiomes de base. Bien entendu, sa présentation dans notre cours ne sera pas toujours stricte - nous omettons certaines preuves en raison de leur grande complexité, mais nous discuterons de chacun de ces cas.

Exercice

1. Quelle est l'essence de la méthode axiomatique de construction d'une théorie ?

2. Est-il vrai qu’un axiome est une proposition qui ne nécessite pas de preuve ?

3. Nommez les concepts de base du cours de planimétrie scolaire. Rappelez-vous quelques axiomes de ce cours. Les propriétés de quels concepts y sont décrites ?

4. Définir un rectangle en choisissant un parallélogramme comme concept générique. Nommez trois concepts qui devraient précéder le concept de « parallélogramme » dans un cours de géométrie.

5. Quelles phrases sont appelées théorèmes ? Rappelez-vous quelle est la structure logique du théorème et ce que signifie prouver le théorème.

Concepts de base et axiomes. Définition de l'entier naturel

Comme concept de base dans la construction axiomatique de l'arithmétique des nombres naturels, on prend la relation « suivre directement », définie sur un ensemble non vide N. Le concept d'ensemble, d'élément d'un ensemble et d'autres concepts de la théorie des ensembles, ainsi que les règles de la logique, sont également considérés comme bien connus.

L'élément qui suit immédiatement l'élément UN, dénoter UN".

L’essence de l’attitude « suivre directement » est révélée dans les axiomes suivants.

Axiome 1. Dans l'ensemble N il y a un élément qui ne suit immédiatement aucun élément de cet ensemble. Nous l'appellerons unité et la désignerons par le symbole 1.

Axiome 2. Pour chaque élément et de N il n'y a qu'un seul élément un", immédiatement après UN.

Axiome 3. Pour chaque élément UN Il y a au plus un élément dans N qui est immédiatement suivi de UN.

Axiome 4. Chaque sous-ensemble M ensembles N coïncide avec N, s'il a les propriétés suivantes : 1) 1 est contenu dans M; 2) du fait que UN contenu dans M, il s'ensuit que UN" contenu dans M.

Les axiomes formulés sont souvent appelés axiomes de Peano.

En utilisant la relation « suivre immédiatement » et les axiomes 1 à 4, nous pouvons donner la définition suivante d'un nombre naturel.

Définition. Un tas de N, pour les éléments dont la relation « suivre directement » est établie, satisfaisant les axiomes 1 à 4, est appelé un ensemble de nombres naturels, et ses éléments- nombres naturels.

Cette définition ne dit rien sur la nature des éléments de l'ensemble N. Donc ça peut être n'importe quoi. Choisir comme

l'ensemble N est un ensemble spécifique sur lequel une relation spécifique « suivre directement » est spécifiée, satisfaisant les axiomes 1 à 4, nous obtenons modèle d’un système d’axiomes donné. Il a été prouvé en mathématiques qu'une correspondance biunivoque peut être établie entre tous ces modèles, en préservant la relation « suivre directement », et tous ces modèles ne différeront que par la nature des éléments, leur nom et leur désignation. Le modèle standard du système d'axiome de Peano est une série de nombres apparus au cours du processus de développement historique de la société :

Chaque numéro de cette série a sa propre désignation et son propre nom, que nous considérerons comme connus.

Considérant la série naturelle de nombres comme l'un des modèles des axiomes 1 à 4, il convient de noter qu'ils décrivent le processus de formation de cette série, et cela se produit lorsque les propriétés de la relation « suivent directement » sont révélées dans les axiomes. . Ainsi, la série naturelle commence par le chiffre 1 (axiome 1) ; tout nombre naturel est immédiatement suivi d'un seul nombre naturel (axiome 2) ; tout nombre naturel suit immédiatement au plus un nombre naturel (axiome 3) ; en partant du nombre 1 et en passant par les nombres naturels qui se suivent immédiatement, on obtient l'ensemble de ces nombres (axiome 4). Notez que l'axiome 4 décrit formellement l'infinité des séries naturelles et que la preuve des affirmations sur les nombres naturels est basée sur lui.

En général, le modèle du système d'axiome de Peano peut être n'importe quel ensemble dénombrable, par exemple : !..

Considérons, par exemple, une séquence d'ensembles dans laquelle l'ensemble (oo) est l'élément initial, et chaque ensemble suivant est obtenu à partir du précédent en ajoutant un autre cercle (Fig. 108, a). Alors N il existe un ensemble composé d'ensembles de la forme décrite, et c'est un modèle du système d'axiomes de Peano. En effet, dans l'ensemble N il y a un élément (oo) qui ne suit immédiatement aucun élément de cet ensemble, c'est-à-dire

il existe un ensemble unique qui peut être obtenu auprès de UN en ajoutant un cercle, c'est-à-dire que l'axiome 2 est satisfait. Pour chaque ensemble UN il y a au plus un ensemble à partir duquel un ensemble est formé UN en ajoutant un cercle, c'est-à-dire L’axiome 3 est valable. MÌ N et on sait que beaucoup UN contenu dans M, il s'ensuit qu'un ensemble dans lequel il y a un cercle de plus que dans l'ensemble UN,également contenu dans M, Que M = N(et donc l’axiome 4 est satisfait).

Notez que dans la définition d'un nombre naturel, aucun des axiomes ne peut être omis - pour chacun d'entre eux, il est possible de construire un ensemble dans lequel les trois autres axiomes sont satisfaits, mais cet axiome n'est pas satisfait. Cette position est clairement confirmée par les exemples donnés dans les figures 109 et 110. La figure 109a montre un ensemble dans lequel les axiomes 2 et 3 sont satisfaits, mais l'axiome 1 ne l'est pas (l'axiome 4 n'aura aucun sens, puisqu'il n'y a aucun élément dans l'ensemble). ensemble, directement sans suivre aucun autre). La figure 109b montre un ensemble dans lequel les axiomes 1, 3 et 4 sont satisfaits, mais derrière l'élément UN deux éléments suivent immédiatement, et non un, comme l'exige l'axiome 2. La figure 109c montre un ensemble dans lequel les axiomes 1, 2, 4 sont satisfaits, mais l'élément Avec suit immédiatement comme élément UN, et derrière l'élément b. La figure 110 montre un ensemble dans lequel les axiomes 1, 2, 3 sont satisfaits, mais l'axiome 4 n'est pas satisfait - un ensemble de points situés sur le rayon, il contient le nombre qui le suit immédiatement, mais il ne coïncide pas avec l'ensemble des points points indiqués sur la figure.

Le fait que les théories axiomatiques ne parlent pas de la « vraie » nature des concepts étudiés rend ces théories trop abstraites et formelles à première vue - il s'avère que les mêmes axiomes sont satisfaits par différents ensembles d'objets et différentes relations entre eux. Cependant, cette abstraction apparente fait la force de la méthode axiomatique : chaque énoncé dérivé logiquement de ces axiomes est applicable à n'importe quel ensemble d'objets, pour autant que des relations qui satisfont les axiomes y soient définies.

Ainsi, nous avons commencé la construction axiomatique d’un système de nombres naturels en choisissant la relation de base « suivre immédiatement » et les axiomes qui décrivent ses propriétés. La construction ultérieure de la théorie implique la prise en compte des propriétés connues des nombres naturels et des opérations sur ceux-ci. Ils doivent être divulgués dans des définitions et des théorèmes, c'est-à-dire sont dérivés purement logiquement de la relation « suivre directement » et des axiomes 1 à 4.

Le premier concept que nous introduirons après avoir défini l’entier naturel est la relation « précède immédiatement », qui est souvent utilisée lorsqu’on considère les propriétés de l’entier naturel.

Définition. Si un nombre naturel b suit immédiatement un nombre naturel a, alors on dit que le nombre a précède (ou précède) immédiatement le nombre b.

La relation « précède » possède un certain nombre de propriétés. Ils sont formulés sous forme de théorèmes et prouvés à l’aide des axiomes 1 à 4.

Théorème 1. L'unité n'a pas d'entier naturel précédent.

La vérité de cette affirmation découle immédiatement de l’axiome 1.

Théorème 2. Chaque nombre naturel UN, différent de 1, a un numéro précédent b, tel que b ¢ = une.

Preuve. Notons par M l'ensemble des nombres naturels composé du chiffre 1 et de tous les nombres qui ont un prédécesseur. Si le numéro UN contenu dans M, c'est le numéro UN"également disponible en M, puisqu'il précède pour UN" est le numéro UN. Cela signifie que beaucoup M contient 1, et du fait que le nombre UN appartient à l'ensemble M, il s'ensuit que le nombre UN" fait parti M. Alors, d’après l’axiome 4, l’ensemble M coïncide avec l’ensemble de tous les nombres naturels. Cela signifie que tous les nombres naturels sauf 1 sont précédés d’un nombre.

Notez qu'en vertu de l'Axiome 3, les nombres autres que 1 sont précédés d'un seul nombre.

La construction axiomatique de la théorie des nombres naturels n’est envisagée ni dans les écoles primaires ni dans les écoles secondaires. Cependant, les propriétés de la relation « suivre directement », qui se reflètent dans les axiomes de Peano, font l’objet d’études dans le cours initial de mathématiques. Déjà en première année, lorsque l'on considère les nombres des dix premiers, il devient clair comment chaque nombre peut être obtenu. Les concepts « suit » et « précède » sont utilisés. Chaque nouveau nombre agit comme une continuation du segment étudié de la série naturelle des nombres. Les étudiants sont convaincus que chaque nombre est suivi du suivant et, de plus, d'une seule chose, que la série naturelle des nombres est infinie. Et bien sûr, la connaissance de la théorie axiomatique aidera l’enseignant à organiser méthodiquement et avec compétence l’assimilation par les enfants des caractéristiques de la série naturelle des nombres.

Des exercices

1. L’axiome 3 peut-il être formulé ainsi : « Pour chaque élément UN depuis N il y a un seul élément qui est immédiatement suivi d'un "?

2. Sélectionnez la condition et la conclusion de l'axiome 4, écrivez-les à l'aide des symboles О, =>.

3.Poursuivre la définition d'un nombre naturel : « Un nombre naturel est un élément de l'ensemble Î, Þ.

Ajout

Selon les règles de construction d'une théorie axiomatique, la définition de l'addition d'entiers naturels doit être introduite en utilisant uniquement la relation « suivre immédiatement », et les notions d'« nombre naturel » et de « nombre précédent ».

Commençons par faire précéder la définition de l’addition des considérations suivantes. Si à n'importe quel nombre naturel UN ajoutez 1, nous obtenons le nombre UN", immédiatement après a, c'est-à-dire UN + 1 = UN", et, par conséquent, nous obtenons la règle pour ajouter 1 à tout nombre naturel. Mais comment ajouter à un nombre UN entier naturel b, différent de 1 ? Utilisons le fait suivant : si l'on sait que 2 + 3 = 5, alors la somme 2 + 4 est égale au nombre 6, qui suit immédiatement le nombre 5. Cela se produit parce que dans la somme 2 + 4 le deuxième terme est le chiffre qui suit immédiatement le chiffre 3 Ainsi, le montant UN+ b" peut être trouvé si le montant est connu UN+ b. Ces faits constituent la base de la définition de l’addition de nombres naturels dans la théorie axiomatique. De plus, il utilise la notion d’opération algébrique.

Définition. L'addition de nombres naturels est une opération algébrique qui possède les propriétés suivantes :

1) ("UN Î N ) une + 1=une",

2) (" UN, b Î) a + b" = (a + b)".

Nombre UN+ b appelé la somme des nombres UN Et b, et les chiffres eux-mêmes UN Et b-termes.

Comme on le sait, la somme de deux nombres naturels est également un nombre naturel, et pour tout nombre naturel UN Et b somme UN+ b- le seul. Autrement dit, la somme des nombres naturels existe et est unique. La particularité de la définition est qu'on ne sait pas à l'avance s'il existe une opération algébrique qui possède les propriétés spécifiées, et si elle existe, est-elle unique ? Par conséquent, lors de la construction de la théorie axiomatique des nombres naturels, les affirmations suivantes sont prouvées :

Théorème 3. L'addition de nombres naturels existe et elle est unique.

Ce théorème se compose de deux énoncés (deux théorèmes) :

1) l'addition de nombres naturels existe ;

2) l'addition de nombres naturels est unique.

En règle générale, l’existence et l’unicité sont liées, mais elles sont le plus souvent indépendantes l’une de l’autre. L'existence d'un objet n'implique pas son unicité. (Par exemple, si vous dites que vous avez un crayon, cela ne signifie pas qu'il n'y en a qu'un.) Une déclaration d'unicité signifie qu'il ne peut pas y avoir deux objets avec des propriétés données. L'unicité est souvent prouvée par la contradiction : on suppose qu'il existe deux objets qui satisfont à une condition donnée, puis on construit une chaîne d'inférences déductives qui mène à une contradiction.

Pour vérifier la véracité du théorème 3, nous prouvons d’abord que si dans l’ensemble N il existe une opération avec les propriétés 1 et 2, alors cette opération est unique ; puis nous prouverons que l'opération d'addition avec les propriétés 1 et 2 existe.

Preuve du caractère unique de l'addition. Supposons que dans l'ensemble N Il existe deux opérations d'addition qui ont les propriétés 1 et 2. Nous désignons l'une d'elles par le signe + et l'autre par le signe Å. Pour ces opérations nous avons :

1) un + 1 = UN"; 1) UNÅ =un"\

2) a + b" = (a + b)" 2) UNÅ b" = (uneÅ b)".

Prouvons que

("un BÎ N )un + b = unÅ b. (1)

Laissez le numéro UN choisi au hasard, et b M b, pour laquelle l’égalité (1) est vraie.

Il est facile de vérifier que 1 О M. En effet, du fait que UN+ 1 = UN"=UNÅ 1 il s'ensuit que un + 1 =unÅ 1.

Montrons maintenant que si bÎ M, Que b" О М, ceux. Si une + b = uneÅ b, Que UN+ b" = uneÅ b". Parce que une + b - uneÅ b, alors selon l'axiome 2 (une + b)" = (uneÅ b)", et puis a + b" - (a + b)" = (aÅ b)" = uneÅ b". Puisque beaucoup M contient 1 et avec chaque numéro b contient également un numéro b¢ alors d'après l'axiome 4, l'ensemble M coïncide avec N, ce qui signifie égalité (1) b. Depuis le numéro UN a été choisi arbitrairement, alors l'égalité (1) est vraie pour tout UN Et b, ceux. opérations + et Å sur un ensemble N ne peuvent différer les uns des autres que par leurs désignations.

Preuve de l'existence de l'addition. Montrons qu'il existe une opération algébrique avec les propriétés 1 et 2 spécifiées dans la définition de l'addition.

Laisser M- l'ensemble de ces et seulement ces nombres UN, pour lequel il est possible de déterminer a + b de sorte que les conditions 1 et 2 soient satisfaites. Montrons que 1 О M. Pour ce faire, pour tout b mettons

1+b=b¢.(2)

1)1 + 1 = 1¢ - selon la règle (2), c'est-à-dire l'égalité est vraie un + 1 = UN"à UN= 1.

2)1 + b"= (b")¢b= (1 + b)" - selon la règle (2), c'est-à-dire l'égalité a + b"= (a + b)"à une = 1.

Donc 1 appartient à l'ensemble M.

Faisons comme si UN fait parti M. Partant de cette hypothèse, nous montrerons que UN" contenu dans M, ceux. cet ajout peut être défini UN" et n'importe quel numéro b pour que les conditions 1 et 2 soient satisfaites. Pour ce faire, on pose :

UN"+ b =(un + b)".(3)

Puisque par hypothèse le nombre a + b est défini, puis par l'axiome 2, le nombre est également déterminé de manière unique (UN+ b)". Vérifions que les conditions 1 et 2 sont remplies :

1)un" + 1 = (un + 1)" = (UN")". Ainsi, UN"+ 1 = (un")".

2)a" + b" = (a+ b¢)"= ((a + b)")"= (une" + b)". Ainsi, a" + b" = = (a" + b)".

Nous avons donc montré que l’ensemble M contient 1 et avec chaque numéro UN contient un numéro UN". D’après l’axiome 4, nous concluons que l’ensemble M il existe de nombreux nombres naturels. Il existe donc une règle qui autorise tous les nombres naturels UN Et b trouver de manière unique un tel nombre naturel un + b, que les propriétés 1 et 2 formulées dans la définition de l'addition sont satisfaites.

Montrons comment, à partir de la définition de l'addition et du théorème 3, on peut déduire le tableau bien connu d'addition de nombres à un chiffre.

Mettons-nous d'accord sur la notation suivante : 1" = 2 ; 2" = 3 ; 3¢ =4; 4"=5, etc.

Nous compilons un tableau dans l'ordre suivant : nous ajoutons d'abord un à n'importe quel nombre naturel à un chiffre, puis le nombre deux, puis trois, etc.

1 + 1 = 1 ¢ basé sur la propriété 1 de la définition de l'addition. Mais nous avons convenu de noter 1 ¢ par 2, donc 1 + 1 = 2.

De même 2+1=2" = 3 ; 3 + 1=3" = 4, etc.

Considérons maintenant les cas impliquant l'ajout du nombre 2 à tout nombre naturel à valeur unique.

1+2 = 1 + 1¢ - nous avons utilisé la notation acceptée. Mais 1 + 1¢ = = (1 + 1)" selon la propriété 2 de la définition de l'addition, 1 + 1 vaut 2, comme indiqué ci-dessus. Ainsi,

1 +2 = 1 + 1" = (1 +1)" = 2" = 3.

De même 2 + 2 = 2 + 1" = (2 + 1)" = 3" = 4 ; 3 + 2 = 3 + 1¢= (3 + 1)" = = 4" = 5, etc.

Si nous continuons ce processus, nous obtenons le tableau complet d'addition de nombres à un chiffre.

La prochaine étape dans la construction axiomatique d'un système de nombres naturels est la preuve des propriétés d'addition, et la propriété d'associativité est considérée en premier, puis la commutativité, etc.

Théorème 4.(" abcО N )(a + b)+ Avec= UN+ (b+ Avec).

Preuve. Laissez les nombres naturels UN Et b choisi au hasard, et Avec prend diverses significations naturelles. Notons par M l'ensemble de tous ceux et seulement de ces nombres naturels c pour lesquels l'égalité (une+b) +c = une+(b+c) droite.

Montrons d'abord que 1 О M, ceux. veillons à ce que l'égalité soit juste (UN+ b)+ 1 = UN+ (b+ 1) En effet, par la définition de l'addition, on a (une + b)+ 1 = (UN+ b)"= UN+ b"= UN+ (b+ 1).

Montrons maintenant que si c О М, alors c" О M, ceux. de l'égalité (UN+ b)+ c = une+ (b + c) l'égalité suit (UN+ b)+ Avec"= UN+ (b + c"). (UN+ b)+ Avec"= ((UN + b)+ Avec)". Alors, sur la base de l'égalité (UN+ b) +c= une + (b + c) peut s'écrire : ((UN+ b)+ c)" = (une+ (b+ Avec))". D'où, par la définition de l'addition, on obtient : ( un + (b+ c))" = a + (b + c)" = a + (b + c") .

M contient 1, et du fait que Avec contenu dans M, il s'ensuit que Avec" contenu dans M. Ainsi, d’après l’axiome 4, M= N, ceux. égalité ( UN + b)+ Avec= une + (b + c) vrai pour tout nombre naturel Avec, et puisque les chiffres UN Et b ont été choisis arbitrairement, alors c'est vrai pour tous les nombres naturels UN Et b, Q.E.D.

Théorème 5.(" un BÎ N / A+ b= b+ UN.

Preuve. Il se compose de deux parties : d'abord, ils prouvent que (" unО N) UN+1 = 1+un et maintenant quoi(" un BО N ) une + b=b+ UN.

1 .Prouvons cela (" UN SUR) un+ 1=1+une. Laisser M- l'ensemble de tous ces et seulement ces nombres UN, pour quelle égalité UN+ 1 = 1 + UN vrai.

Puisque 1+1=1 + 1 est une vraie égalité, alors 1 appartient à l’ensemble M.

Montrons maintenant que si UNÎ M, Que UN"Î M, c'est-à-dire de l'égalité un + 1 = 1 + UN l'égalité suit un" + 1 = 1 + UN". Vraiment, un" + 1 = (un + 1) + 1 par la première propriété d'addition. Ensuite, l'expression (a + 1) + 1 peut être convertie en expression (1 + a) + 1, en utilisant l'égalité UN+ 1 = 1 + UN. Alors, d'après la loi associative, on a : (1 + UN)+ 1 = 1 + (UN+ 1). Et finalement, par la définition de l'addition, on obtient : 1 +(un + 1) = 1 +un".

Ainsi, nous avons montré que l’ensemble M contient 1 et avec chaque numéro UN contient également un numéro UN". Donc, d’après l’axiome A, M = je, ceux. égalité UN+ 1 = 1 + UN vrai pour tout naturel UN.

2 . Prouvons-le (" un BÎ N ) UN+ b = b+ UN. Laisser UN - un nombre naturel arbitrairement choisi, et b prend diverses significations naturelles. Notons par M l'ensemble de tous ces et seulement ces nombres naturels b, pour quelle égalité a + b =b+ UN vrai.

Depuis quand b = 1 on obtient l'égalité UN+ 1 = 1 + UN, dont la véracité est prouvée au paragraphe 1, alors 1 est contenu dans M.

Montrons maintenant que si b fait parti M, puis et b" appartient également M, ceux. de l'égalité UN+ b =b+ UN l'égalité suit UN+ b"= b"+ UN. En effet, par la définition de l'addition, on a : UN+ b"= (UN+ b)". Parce que UN+ b= b+ UN, Que (UN+ b)" =(b+ UN)". Ainsi, par définition de l'addition : (b+ UN)"= b+ UN"= b+ (un+ 1). Basé sur le fait que un + 1 = 1 + UN, on a: b+ (une + 1) = b+ (1 + UN). En utilisant la propriété associative et la définition de l'addition, nous effectuons les transformations : b + (1 + a) = (b+1) + a = b" + a.

Nous avons donc prouvé que 1 est contenu dans l’ensemble M et avec chaque numéro b un tas de M contient également un numéro b¢, immédiatement après b¢. Par l'axiome 4, nous obtenons que M= ET, ceux. égalité un+ b= b+ UN vrai pour tout nombre naturel b, ainsi que pour tout produit naturel UN, parce que son choix était arbitraire.

Théorème 6.("un BÎ N) a + b¹ b.

Preuve. Laisser UN - un nombre naturel choisi au hasard, et b prend diverses significations naturelles. Notons par M l'ensemble de ceux et seulement de ces nombres naturels b, pour lequel le théorème 6 est vrai.

Montrons que 1 О M. En effet, depuis UN+ 1 = UN"(par définition de l'addition), et 1 ne suit aucun nombre (axiome 1), alors UN+ 1 ¹ 1.

Montrons maintenant que si bÎ M, Que b"Î M, ceux. de quoi un +bÎ b il s'ensuit que a + b"¹ b". En effet, par la définition de l'addition, a + b" = (a + b)", mais parce que un +bÎ b, Que (a + b)"¹ b" et donc, a +b¢=b¢.

D'après l'axiome il y a 4 ensembles M Et N coïncident donc pour tout nombre naturel un +bÎ b, Q.E.D.

L'approche de l'addition, envisagée dans la construction axiomatique du système des nombres naturels, constitue la base de l'enseignement initial des mathématiques. L'obtention de nombres en ajoutant 1 est étroitement liée au principe de construction de la série naturelle, et la deuxième propriété de l'addition est utilisée dans les calculs, par exemple dans les cas suivants : 6 + 3 = (6+ 2)+ 1=8 + 1 = 9.

Toutes les propriétés éprouvées sont étudiées dans le cours initial de mathématiques et sont utilisées pour transformer des expressions.

Des exercices

1. Est-il vrai que chaque nombre naturel est obtenu à partir du précédent en en ajoutant un ?

2. A l'aide de la définition de l'addition, trouvez le sens des expressions :

une) 2 + 3 ; b) 3 + 3 ; c) 4 + 3.

3. Quelles transformations d'expressions peuvent être effectuées en utilisant la propriété d'associativité de l'addition ?

4. Transformez une expression en utilisant la propriété associative d'addition :

une) (12 + 3)+17 ; b) 24 + (6 + 19) ; c) 27+13+18.

5. Prouve-le (" un BÎ N) a + b¹ UN.

6. Découvrez comment les mathématiques sont formulées dans divers manuels scolaires du primaire :

a) la propriété commutative de l'addition ;

b) propriété associative d'addition.

7 .L'un des manuels de l'école primaire discute de la règle d'addition d'un nombre à une somme à l'aide d'un exemple précis (4 + 3) + 2 et suggère les manières suivantes pour trouver le résultat :

une) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9 ;

b) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9 ;

c) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9.

Justifiez les transformations effectuées. Est-il possible de dire que la règle d'addition d'un nombre à une somme est une conséquence de la propriété associative de l'addition ?

8 .Il est connu que a + b= 17. Ce qui est égal à :

UN) une + (b + 3); b) (UN+ 6) + b; c) (13+ b)+un?

9 .Décrire les manières possibles de calculer la valeur d'une expression de la forme a + b + c. Justifiez ces méthodes et illustrez-les par des exemples précis.

Multiplication

Selon les règles de construction d'une théorie axiomatique, la multiplication des nombres naturels peut être déterminée à l'aide de la relation « suivre directement » et des concepts introduits précédemment.

Commençons par faire précéder la définition de la multiplication des considérations suivantes. Si un nombre naturel UN multipliez par 1, vous obtenez UN, ceux. il y a l'égalité une × 1 = UN et nous obtenons la règle pour multiplier n'importe quel nombre naturel par 1. Mais comment multiplier un nombre UNà un nombre naturel b, différent de 1 ? Utilisons le fait suivant : si l'on sait que 7×5 = 35, alors pour trouver le produit 7×6 il suffit d'ajouter 7 à 35, puisque 7×6=7×(5 + 1) = 7×5 + 7. Ainsi, le travail a×b" peut être trouvé si l’œuvre est connue : a×b" = a×b+ UN.

Les faits notés constituent la base de la définition de la multiplication des nombres naturels. De plus, il utilise la notion d’opération algébrique.

Définition. La multiplication des nombres naturels est une opération algébrique qui possède les propriétés suivantes :

1) ("un Î N) une × 1= une;

2) ("un, Î N) a×b"= ×b+ UN.

Nombre ×b appelé travail Nombres UN Et b, et les chiffres eux-mêmes UN Et b-multiplicateurs.

La particularité de cette définition, ainsi que de la définition de l'addition d'entiers naturels, est qu'on ne sait pas à l'avance s'il existe une opération algébrique ayant les propriétés indiquées, et si elle existe, alors si elle est unique. À cet égard, il est nécessaire de prouver ce fait.

Théorème 7. La multiplication des nombres naturels existe et elle est unique.

La preuve de ce théorème est similaire à la preuve du théorème 3.

En utilisant la définition de la multiplication, le théorème 7 et la table d'addition, vous pouvez dériver une table de multiplication pour les nombres à un chiffre. On fait cela dans l'ordre suivant : on considère d'abord la multiplication par 1, puis par 2, etc.

Il est facile de voir que la multiplication par 1 est effectuée par la propriété 1 dans la définition de la multiplication : 1×1 = 1 ; 2 × 1 = 2 ; 3×1=3, etc.

Considérons maintenant les cas de multiplication par 2 : 1×2 = 1×1"= 1×1 + 1 = 1 + 1=2 - le passage du produit 1×2 au produit 1×1¢ s'effectue selon la notation précédemment acceptée ; le passage de l'expression 1×1 à l'expression 1×1+1 - basé sur la deuxième propriété de multiplication, le produit 1×1 est remplacé par le nombre 1 selon le résultat déjà obtenu dans le table, et enfin la valeur de l'expression 1+1 est trouvée selon la table d'addition.

2×2 = 2×1" = 2×1 +2 = 2 + 2 = 4 ;

3×2 = 3×1¢ = 3×1 + 3 = 3 + 3 = 6.

Si nous continuons ce processus, nous obtenons la table de multiplication complète pour les nombres à un chiffre.

Comme on le sait, la multiplication des nombres naturels est commutative, associative et distributive par rapport à l'addition. Lors de la construction axiomatique d’une théorie, il convient de prouver ces propriétés, en commençant par la distributivité.

Mais du fait que la propriété de commutativité sera démontrée plus tard, il faut considérer la distributivité à droite et à gauche par rapport à l'addition.

Théorème 8. ("abcÎ N) (UN+ b) × c = a × c+ b×с.

Preuve. Soit les nombres naturels a et b choisi au hasard, et Avec prend diverses significations naturelles. Notons par M l'ensemble de tous ceux et seulement de ces nombres naturels c pour lesquels l'égalité (a + b)×c = a×c+ b×с.

Montrons que 1 О M, ceux. cette égalité ( un + b) × 1 = UN×1+ b× 1 vrai. D’après la propriété 1 de la définition de la multiplication nous avons : (une + b)× 1=a+b=a× 1+ b×1.

Montrons maintenant que si AvecÎ M, Que Avec"Î M, ceux. qui de l'égalité ( un + b)c = a×c+ b×с l'égalité suit (UN+ b)×c" = a×c"+ b×с". Par définition de la multiplication, on a : ( a + b)×c"= (un + b)×s+ (un + b). Parce que (une + b) × c = une × c + b × c, Que ( une + b)×c+ (a+b)= (une×c + b×c) + (une+ b). En utilisant la propriété associative et commutative de l'addition, nous effectuons les transformations : ( un× Avec+ b×с)+ (UN+ b) =(un× Avec + b×с+ UN)+ b =(une×c + une + b×c)+ b= = ((une×c+ un) + b×с)+ b = (une×c+ un) + (b×с+ b). Et finalement, par la définition de la multiplication, on obtient : (une×c+a) + (b×с+ b) =a×c"+ b×с".

Nous avons donc montré que l’ensemble M contient 1, et comme il contient c, il s'ensuit que Avec" contenu dans M. Par l'axiome 4, nous obtenons que M= N. Cela signifie que l'égalité ( un + b)×c = a×c + b×c vrai pour tous les nombres naturels Avec, ainsi que pour tout produit naturel un Et b, puisqu'ils ont été choisis au hasard.

Théorème 9. (" une, b, cÎ N) une × (b + c) = une × b + une × c.

C'est la propriété de distributivité à gauche par rapport à l'addition. Cela est prouvé de la même manière que pour la juste distributivité.

Théorème 10.(" abcÎ N)(a×b)×c=a×(b×c).

C'est la propriété associative de la multiplication. Sa preuve est basée sur la définition de la multiplication et les théorèmes 4 à 9.

Théorème 11. ("un B,Î N) une×b.

La preuve de ce théorème est de forme similaire à la preuve de la propriété commutative d'addition.

L'approche de la multiplication, envisagée dans la théorie axiomatique, constitue la base de l'enseignement de la multiplication à l'école primaire. La multiplication par 1 est généralement définie et la deuxième propriété de la multiplication est utilisée dans les tables de multiplication et les calculs à un chiffre.

Dans le cours initial, nous étudions toutes les propriétés de multiplication que nous avons considérées : commutativité, associativité et distributivité.

Des exercices

1 . À l’aide de la définition de la multiplication, trouvez la signification des expressions :

une) 3×3 ; 6) 3x4 ; c) 4×3.

2. Écrivez la propriété distributive gauche de la multiplication par rapport à l'addition et prouvez-la. Quelles transformations d'expression sont possibles à partir de cela ? Pourquoi est-il devenu nécessaire de considérer la distributivité gauche et droite de la multiplication par rapport à l'addition ?

3. Démontrer la propriété associative de multiplication des nombres naturels. Quelles transformations d'expression sont possibles à partir de cela ? Cette propriété est-elle enseignée à l’école primaire ?

4. Démontrer la propriété commutative de la multiplication. Donnez des exemples de son utilisation dans un cours de mathématiques élémentaires.

5. Quelles propriétés de multiplication peuvent être utilisées pour trouver la valeur d'une expression :

une) 5×(10 + 4) ; 6)125×15×6 ; c) (8×379)×125 ?

6. On sait que 37 - 3 = 111. A l'aide de cette égalité, calculez :

une) 37×18 ; b)185×12.

Justifiez toutes les transformations effectuées.

7 . Déterminer la valeur d'une expression sans effectuer de calculs écrits. Justifiez votre réponse:

a) 8962×8 + 8962×2 ; b) 63402×3 + 63402×97 ; c) 849+ 849×9.

8 . Quelles propriétés de multiplication les élèves du primaire utiliseront-ils pour effectuer les tâches suivantes :

Est-il possible, sans calcul, de dire quelles expressions auront les mêmes valeurs :

a) 3×7 + 3×5 ; b) 7×(5 + 3) ; c) (7 + 5)×3 ?

Les égalités sont-elles vraies :

une) 18×5×2 = 18× (5×2) ; c) 5×6 + 5×7 = (6 + 7)×5 ;

b) (3×10)×17 = 3×10×17 ; d) 8×(7 + 9) = 8×7 + 9×8 ?

Est-il possible de comparer les valeurs des expressions sans effectuer de calculs :

une) 70×32+ 9×32... 79×30 + 79×2 ;

b) 87×70 + 87×8 ... 80×78 +7×78 ?

Polysémie

La polysémie, ou polysémie des mots, naît du fait que le langage représente un système limité par rapport à l'infinie variété de la réalité réelle, de sorte que, selon les mots de l'académicien Vinogradov, « le langage est obligé de distribuer d'innombrables significations sous un ou plusieurs une autre rubrique de concepts de base. (Vinogradov « langue russe » 1947). Il est nécessaire de distinguer les différents usages des mots dans une variante lexico-sémantique et la différence réelle du mot. Ainsi, par exemple, le mot (das)Ol peut désigner de nombreuses huiles différentes, à l'exception de celle de vache (pour laquelle il existe un mot Beurre). Cependant, il ne s'ensuit pas que, désignant des huiles différentes, le mot Ol aura à chaque fois un sens différent : dans tous les cas sa signification sera la même, à savoir l'huile (tout sauf celle de vache). Tout comme par exemple la signification du mot table Tisch quel que soit le type de table que le mot désigne dans ce cas particulier. La situation est différente lorsque le mot Ol signifie pétrole. Ici, ce qui vient au premier plan n'est plus la similitude de l'huile en termes d'onctuosité avec différents types d'huile, mais la qualité particulière de l'huile - l'inflammabilité. Et parallèlement, des mots désignant différents types de carburant seront associés au mot Ol : Kohl, Holz, etc. Cela nous donne l'occasion de distinguer deux sens du mot Ol (ou, en d'autres termes, deux options lexico-sémantiques) : 1) huile (pas un animal) 2) huile.
En règle générale, de nouvelles significations apparaissent en transférant l'un des mots existants à un nouvel objet ou phénomène. C'est ainsi que se forment les significations figuratives. Ils reposent soit sur la similitude des objets, soit sur la connexion d'un objet avec un autre. Plusieurs types de transfert de nom sont connus. Les plus importantes d'entre elles sont la métaphore ou la métonymie.
Dans la métaphore, le transfert est basé sur la similitude des choses en termes de couleur, de forme, de nature du mouvement, etc. Malgré tous les changements métaphoriques, certains signes du concept original demeurent

Homonymie

La polysémie d'un mot est un problème si important et si multiforme qu'une grande variété de problèmes de lexicologie y sont liés d'une manière ou d'une autre. En particulier, le problème de l’homonymie entre en contact avec ce problème sous certains aspects.
Les homonymes sont des mots qui se prononcent de la même manière mais qui ont des significations différentes. Dans certains cas, les homonymes résultent d’une polysémie ayant subi un processus de destruction. Mais les homonymes peuvent aussi résulter de coïncidences sonores aléatoires. La clé qui ouvre la porte, et la clé - un ressort ou une faux - une coiffure et une faux - un outil agricole - ces mots ont des significations et des origines différentes, mais par coïncidence dans leur son.
Les homonymes se distinguent par le lexical (ils se rapportent à une partie du discours, par exemple, une clé sert à ouvrir une serrure et une clé est un ressort. source), morphologique (ils se rapportent à différentes parties du discours, par exemple, trois est un chiffre, trois est un verbe au mode impératif), lexico-grammatical, qui sont créés à la suite d'une conversion, lorsqu'un mot donné passe dans une autre partie du discours. par exemple en anglais regarde-regarde et regarde-regarde. Il existe surtout de nombreux homonymes lexicaux et grammaticaux dans la langue anglaise.
Les homophones et les homographes doivent être distingués des homonymes. Les homophones sont des mots différents qui, bien que différents dans leur orthographe, sont identiques dans leur prononciation, par exemple : oignon - prairie, Seite - page et Saite - chaîne.
Les homographes sont des mots tellement différents qui ont la même orthographe, bien qu'ils soient prononcés différemment (à la fois en termes de composition sonore et de place d'accentuation dans le mot), par exemple, Château - château.

Synonymie

Les synonymes sont des mots dont le sens est proche, mais qui sonnent différemment, exprimant les nuances d'un concept.
Il existe trois types de synonymes :
1. Conceptuel ou idéographique. Ils diffèrent les uns des autres par leur signification lexicale. Cette différence se manifeste dans les degrés variables de l'attribut désigné (gel - froid, fort, puissant, puissant), dans la nature de sa désignation (doudoune - doudoune - doudoune), dans le volume du concept exprimé (bannière - drapeau, audacieux - gras), dans le degré de cohérence des sens lexicaux (marron - noisette, noir - corbeau).
2. Les synonymes sont stylistiques ou fonctionnels. Ils diffèrent les uns des autres par le domaine d'utilisation, par exemple yeux - yeux, visage - visage, front - front. Synonymes émotionnellement - évaluatif. Ces synonymes expriment ouvertement l’attitude du locuteur envers la personne, l’objet ou le phénomène désigné. Par exemple, un enfant peut être solennellement appelé un enfant, affectueusement un petit garçon et un petit garçon, avec mépris un garçon et un meunier, et aussi intensifié et méprisant un chiot, un meunier, un gosse.
3. Antonymes - combinaisons de mots opposés dans leur sens lexical, par exemple : haut - bas, blanc - noir, parler - silencieux, fort - silencieux.

Antonymie

Il existe trois types d'antonymes :
1. Antonymes d'opposition progressive et coordonnée, par exemple blanc - noir, calme - fort, proche - lointain, bien - mal, etc. Ces antonymes ont quelque chose de commun dans leur sens, ce qui permet de les opposer. Ainsi, les concepts noir et blanc désignent des concepts de couleurs opposés.
2. Antonymes d'opposés complémentaires et de conversion : guerre - paix, mari - femme, marié - célibataire, possible - impossible, fermé - ouvert.
3. Antonymes de la division dichotomique des concepts. Ce sont souvent les mêmes racines : populaire – antinational, légal – illégal, humain – inhumain.
Ce qu'on appelle ce qui est intéressant est antonymie intra-mot, lorsque les significations de mots qui ont la même coque matérielle sont contrastées. Par exemple, en russe, le verbe prêter de l’argent à quelqu’un signifie « prêter », et emprunter de l’argent à quelqu’un signifie déjà emprunter de l’argent à quelqu’un. L’opposition des significations intra-mots est appelée énantiosémie.

6. Construction axiomatique d'un système de nombres naturels. Méthode axiomatique de construction d'une théorie mathématique. Exigences pour le système d'axiomes : cohérence, indépendance, exhaustivité. L'axiomatique de Peano. Le concept d'un nombre naturel à partir d'une position axiomatique. Modèles du système d'axiome de Peano. Addition et multiplication de nombres naturels à partir de positions axiomatiques. Ordre de l'ensemble des nombres naturels. Propriétés de l'ensemble des nombres naturels. Soustraction et division d'un ensemble de nombres naturels à partir de positions axiomatiques. Méthode d'induction mathématique. Introduction du zéro et construction d'un ensemble d'entiers non négatifs. Théorème de la division avec reste.

Concepts et définitions de base

Nombre - c'est l'expression d'une certaine quantité.

Entier naturelélément d’une séquence continue indéfiniment.

Nombres naturels (nombres naturels) - nombres qui surviennent naturellement lors du comptage (à la fois au sens de l'énumération et au sens du calcul).

Il existe deux approches pour définir les nombres naturels - les nombres utilisés dans :

lister (numéroter) les éléments (premier, deuxième, troisième, ...) ;

désignation du nombre d'éléments (aucun élément, un élément, deux éléments, ...).

Axiome – ce sont les points de départ fondamentaux (principes évidents) d'une théorie particulière, à partir desquels le reste du contenu de cette théorie est extrait par déduction, c'est-à-dire par des moyens purement logiques.

Un nombre qui n'a que deux diviseurs (le nombre lui-même et un) s'appelle - un nombre premier.

Nombre composé est un nombre qui a plus de deux diviseurs.

§2. Axiomatiques des nombres naturels

Les nombres naturels sont obtenus en comptant des objets et en mesurant des quantités. Mais si, lors de la mesure, des nombres autres que les nombres naturels apparaissent, alors compter ne conduit qu'à des nombres naturels. Pour compter, il faut une séquence de chiffres qui commence par un et qui permet de passer d'un chiffre à l'autre autant de fois que nécessaire. En d’autres termes, nous avons besoin d’un segment de la série naturelle. Par conséquent, lors de la résolution du problème de la justification du système des nombres naturels, il était tout d'abord nécessaire de répondre à la question de savoir ce qu'est un nombre en tant qu'élément d'une série naturelle. La réponse à cette question a été donnée dans les travaux de deux mathématiciens : l'Allemand Grassmann et l'Italien Peano. Ils ont proposé une axiomatique dans laquelle l'entier naturel était justifié comme élément d'une séquence indéfiniment continue.

La construction axiomatique d'un système de nombres naturels s'effectue selon les règles formulées.

Les cinq axiomes peuvent être considérés comme une définition axiomatique de concepts de base :

1 est un nombre naturel ;

Le nombre naturel suivant est un nombre naturel ;

1 ne suit aucun nombre naturel ;

Si un nombre naturel UN suit un nombre naturel b et au-delà de l'entier naturel Avec, Que b Et Avec sont identiques;

Si une proposition est prouvée pour 1 et si à partir de l’hypothèse qu’elle est vraie pour un nombre naturel n, il s'ensuit que c'est vrai pour ce qui suit n nombre naturel, alors cette phrase est vraie pour tous les nombres naturels.

Unité– c'est le premier nombre de la série naturelle , ainsi que l'un des chiffres du système de numération décimal.

On pense que la désignation d'une unité de n'importe quelle catégorie avec le même signe (assez proche du signe moderne) est apparue pour la première fois dans l'ancienne Babylone environ 2 000 ans avant JC. e.

Les Grecs de l’Antiquité, qui considéraient que seuls les nombres naturels étaient des nombres, considéraient chacun d’eux comme un ensemble d’unités. L'unité elle-même occupe une place particulière : elle n'est pas considérée comme un numéro.

I. Newton a écrit : « … par nombre, nous entendons moins un ensemble d'unités qu'une relation abstraite d'une quantité à une autre quantité, conventionnellement acceptée par nous comme une unité. Ainsi, l’un a déjà pris la place qui lui revient parmi d’autres numéros.

Les opérations arithmétiques sur les nombres ont diverses propriétés. Ils peuvent être décrits avec des mots, par exemple : « La somme ne change pas en changeant la place des termes. » Vous pouvez l'écrire en lettres : a+b = b+a. Peut être exprimé en termes spéciaux.

Nous appliquons les lois fondamentales de l’arithmétique souvent par habitude, sans nous en rendre compte :

1) loi commutative (commutativité), - la propriété d'addition et de multiplication des nombres, exprimée par des identités :

a+b = b+a a*b = b*a;

2) loi combinatoire (associativité), - la propriété d'addition et de multiplication des nombres, exprimée par des identités :

(une+b)+c = une+(b+c) (une*b)*c = une*(b*c);

3) loi distributive (distributivité), - une propriété qui relie l'addition et la multiplication des nombres et s'exprime par des identités :

a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.

Après avoir prouvé les lois d'action commutatives, combinatoires et distributives (par rapport à l'addition) de la multiplication, la poursuite de la construction de la théorie des opérations arithmétiques sur les nombres naturels ne présente pas de difficultés fondamentales.

Actuellement, dans nos têtes ou sur une feuille de papier, nous effectuons uniquement les calculs les plus simples, confiant de plus en plus des travaux de calcul plus complexes aux calculatrices et aux ordinateurs. Cependant, le fonctionnement de tous les ordinateurs - simples et complexes - repose sur l'opération la plus simple : l'addition de nombres naturels. Il s'avère que les calculs les plus complexes peuvent être réduits à l'addition, mais cette opération doit être effectuée plusieurs millions de fois.

Méthodes axiomatiques en mathématiques

L'une des principales raisons du développement de la logique mathématique est la généralisation méthode axiomatique dans la construction de diverses théories mathématiques, d'abord la géométrie, puis l'arithmétique, la théorie des groupes, etc. Méthode axiomatique peut être défini comme une théorie construite sur un système présélectionné de concepts non définis et de relations entre eux.

Dans la construction axiomatique d'une théorie mathématique, un certain système de concepts indéfinis et de relations entre eux est préalablement sélectionné. Ces concepts et relations sont appelés fondamentaux. Ensuite, entrez axiomes ceux. les principales dispositions de la théorie considérée, acceptées sans preuve. Tout le reste du contenu de la théorie découle logiquement des axiomes. Pour la première fois, la construction axiomatique d'une théorie mathématique a été entreprise par Euclide dans la construction de la géométrie.

GOUVPO

Université pédagogique d'État de Toula

Nommé d'après L.N. Tolstoï

SYSTÈMES NUMÉRIQUES

Toula 2008

Systèmes numériques

Le manuel est destiné aux étudiants des spécialités mathématiques d'une université pédagogique et a été élaboré conformément à la norme de l'État pour le cours « Systèmes numériques ». Du matériel théorique est présenté. Les solutions aux tâches typiques sont analysées. Des exercices à résoudre en cours pratiques sont proposés.

Compilé par -

Candidat en sciences physiques et mathématiques, professeur agrégé du Département d'algèbre et de géométrie, TSPU du nom. L. N. Tolstoï Yu. A. Ignatov

Réviseur -

Candidat en sciences physiques et mathématiques, professeur du Département d'analyse mathématique, TSPU du nom. L. N. Tolstoï I. V. Denisov

Édition pédagogique

Systèmes numériques

Compilé par

IGNATOV Youri Alexandrovitch

© Yu. Ignatov, 2008

SYSTÈMES NUMÉRIQUES

Ce cours couvre les fondements des mathématiques. Il fournit une construction axiomatique stricte des systèmes numériques de base : naturel, entier, rationnel, réel, complexe, ainsi que les quaternions. Il est basé sur la théorie des systèmes axiomatiques formels, discutée au cours de la logique mathématique.

Dans chaque paragraphe, les théorèmes sont numérotés en premier. S'il est nécessaire de faire référence à un théorème d'un autre paragraphe, une numérotation par étapes est utilisée : le numéro du paragraphe est placé avant le numéro du théorème. Par exemple, le théorème 1.2.3 est le théorème 3 du paragraphe 1.2.

Entiers

Théorie axiomatique des nombres naturels

La théorie axiomatique est définie par les éléments suivants :

Un ensemble de constantes ;

Un ensemble de symboles fonctionnels pour indiquer les opérations ;

Un ensemble de symboles de prédicat pour représenter les relations ;

Une liste d'axiomes reliant les éléments ci-dessus.

Pour une théorie axiomatique formelle, des règles d'inférence sont également indiquées, à l'aide desquelles les théorèmes sont prouvés. Dans ce cas, tous les énoncés sont écrits sous forme de formules dont le sens n'a pas d'importance, et des transformations sont effectuées sur ces formules selon des règles données. Dans une théorie axiomatique substantielle, les règles d'inférence ne sont pas spécifiées. Les preuves sont effectuées sur la base de constructions logiques ordinaires qui prennent en compte le sens des affirmations à prouver.

Ce cours construit des théories significatives sur les systèmes numériques de base.

La condition la plus importante pour une théorie axiomatique est sa cohérence. La preuve de cohérence s'effectue en construisant un modèle d'une théorie dans une autre théorie. La cohérence de la théorie considérée se réduit alors à la cohérence de la théorie dans laquelle le modèle est construit.

Pour un système d'entiers, le modèle est construit dans le cadre d'un système de nombres naturels, pour des nombres rationnels - dans un système d'entiers, etc. Le résultat est une chaîne de théories axiomatiques, dans laquelle chaque théorie est basée sur la précédente. Mais pour la première théorie de cette chaîne, à savoir la théorie des nombres naturels, il n’existe nulle part où construire un modèle. Par conséquent, pour un système de nombres naturels, il est nécessaire de construire une théorie pour laquelle l’existence d’un modèle ne fait aucun doute, bien qu’il soit impossible de le prouver strictement.

La théorie devrait être très simple. Pour cela, nous considérons le système des nombres naturels uniquement comme un outil de comptage d'objets. Les opérations d'addition, de multiplication et de relations d'ordre doivent être déterminées après que la théorie sous la forme indiquée a été construite.

Pour les besoins du comptage, le système de nombres naturels doit être une séquence dans laquelle le premier élément (unité) est défini et pour chaque élément le suivant est défini. Conformément à cela, nous obtenons la théorie suivante.

Constante: 1 unité).

Symbole de fonction: "¢". Désigne l'opération unaire de « suivi », c'est-à-dire UN¢ – le numéro suivant UN. Dans ce cas, le numéro UN appelé précédent Pour UN¢.

Il n'y a pas de caractères de prédicat spéciaux. La relation d'égalité habituelle et les relations de la théorie des ensembles sont utilisées. Les axiomes pour eux ne seront pas indiqués.

L'ensemble sur lequel repose la théorie est noté N.

Axiomes:

(N1) (" un) un¢ ¹ 1 (on ne suit aucun chiffre).

(N2) (" un)("b) (un¢ =b¢ ® une = b) (chaque numéro a au plus un prédécesseur).

(N3) M Í N, 1О M, ("un)(unÎ M ® un¢Î M) Þ M = N(axiome de l'induction mathématique).

Les axiomatiques ci-dessus ont été proposées (avec des modifications mineures) par le mathématicien italien Peano à la fin du XIXe siècle.

Il n’est pas difficile de déduire quelques théorèmes des axiomes.

Théorème 1. (Méthode d'induction mathématique). Laisser R.(n) – un prédicat défini sur un ensemble N. Que ce soit vrai R.(1) et (" n)(P.(n)® P.(n¢)). Alors R.(n) est un prédicat identiquement vrai sur N.

Preuve. Laisser M– ensemble de nombres naturels n, Pour qui R.(n) est vrai. Puis 1О M selon les conditions du théorème. Ensuite, si nÎ M, Que P.(n) vrai par définition M, P.(n¢) est vrai selon les conditions du théorème, et n¢Î M un prieuré M. Toutes les prémisses de l’axiome d’induction sont donc satisfaites : M = N. Selon la définition M, cela signifie que R.(n) est vrai pour tous les nombres de N. Le théorème a été prouvé.

Théorème 2. N'importe quel chiffre UN Le n°1 a un antécédent, et un seul.

Preuve. Laisser M– l'ensemble des nombres naturels contenant 1 et tous les nombres qui ont un prédécesseur. Puis 1О M. Si unÎ M, Que un¢Î M, parce que un¢ a un antécédent (la condition n'est même pas utilisée ici unÎ M). Donc, d'après l'axiome d'induction M = N. Le théorème a été prouvé.

Théorème 3. Tout numéro est différent du suivant.

Exercice. Après avoir déterminé les nombres naturels 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6, prouvez que 2 ¹ 6.

Ajout de nombres naturels

La définition récursive suivante est donnée pour l'addition de nombres naturels.

Définition. L'addition de nombres naturels est une opération binaire qui s'applique aux nombres naturels UN Et b correspond au numéro a+b, ayant les propriétés suivantes :

(S1) UN + 1 = UN¢ pour tout le monde UN;

(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ pour tout UN Et b.

Il est nécessaire de prouver que cette définition est correcte, c'est-à-dire qu'il existe une opération qui satisfait aux propriétés données. Cette tâche paraît très simple : il suffit de procéder à l'induction sur b, en comptant UN fixé. Dans ce cas, il faut sélectionner un ensemble M valeurs b, pour lequel l'opération a+b est défini et satisfait aux conditions (S1) et (S2). Lors de l'exécution d'une transition inductive, nous devons supposer que pour b l’opération est effectuée et prouver qu’elle est effectuée pour b¢. Mais dans la propriété (S2), qui doit être satisfaite pour b, il y a déjà un lien vers a+b¢. Cela signifie que cette propriété suppose automatiquement l'existence d'une opération pour a+b¢, et donc pour les nombres suivants : après tout, pour a+b La propriété ¢ (S2) doit également être satisfaite. On pourrait penser que cela ne fait que rendre le problème plus facile en rendant l'étape inductive triviale : l'énoncé à prouver répète simplement l'hypothèse inductive. Mais la difficulté ici réside dans la preuve de la base de l’induction. Pour la valeur b= 1, les propriétés (S1) et (S2) doivent également être satisfaites. Mais la propriété (S2), comme montré, présuppose l'existence d'une opération pour toutes les valeurs suivant 1. Cela signifie que vérifier la base d'induction présuppose une preuve non pas pour un, mais pour tous les nombres, et l'induction perd son sens : le la base d'induction coïncide avec l'énoncé à prouver.

Le raisonnement ci-dessus ne signifie pas que les définitions récursives sont incorrectes ou nécessitent à chaque fois une justification minutieuse. Pour les justifier, il faut utiliser les propriétés des nombres naturels, qui ne sont qu'en cours d'établissement à ce stade. Une fois celles-ci établies, la validité des définitions récursives peut être prouvée. Pour l’instant, prouvons l’existence de l’addition par induction sur UN: dans les formules (S1) et (S2) il n'y a aucun lien entre l'addition pour UN Et UN¢.

Théorème 1. L'addition de nombres naturels est toujours réalisable, et ce de manière unique.

Preuve. a) Nous prouvons d’abord l’unicité. Réparons-le UN. Puis le résultat de l'opération a+b il y a une fonction de b. Supposons qu'il existe deux de ces fonctions F(b) Et g(b), ayant les propriétés (S1) et (S2). Montrons qu'ils sont égaux.

Laisser M– ensemble de significations b, Pour qui F(b) = g(b). Par propriété (S1)
F(1) = UN + 1 = UN¢ et g(1) = UN + 1 = UN¢ signifie F(1) = g(1), et 1О M.

Laisse-le maintenant bÎ M, c'est F(b) = g(b). Par propriété (S2)

F(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= F(b)¢, g(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(b)¢ = F(b¢),

Moyens, b¢Î M. Par l'axiome de l'induction M = N. L'unicité a été prouvée.

b) Maintenant par induction sur UN prouvons l'existence de l'opération a+b. Laisser M– ensemble de ces valeurs UN, pour lequel l'opération a+b avec les propriétés (S1) et (S2) est défini pour tous b.

Laisser UN= 1. Donnons un exemple d'une telle opération. Par définition, nous supposons 1 + b == b¢. Montrons que cette opération satisfait les propriétés (S1) et (S2). (S1) a la forme 1 + 1 = 1¢, ce qui correspond à la définition. Vérification (S2) : 1 +b¢ =( b¢)¢ =
= (1+b)¢, et (S2) est satisfait. Donc, 1О M.

Laisse-le maintenant UNÎ M. Prouvons que UN¢Î M. Nous croyons par définition
un¢ +b = (une + b)¢. Alors

un¢ + 1 = (un+ 1)¢ = ( UN¢)¢,

un¢ +b¢ = ( une + b¢)¢ = (( une + b)¢)¢ = ( un¢ +b)¢,

et les propriétés (S1) et (S2) sont satisfaites.

Ainsi, M = N, et l'addition est définie pour tous les nombres naturels. Le théorème a été prouvé.

Théorème 2. L'addition de nombres naturels est associative, c'est-à-dire

(a+b) + c = une + (b+c).

Preuve. Réparons-le UN Et b et procéder à l'induction Avec. Laisser M- un ensemble de ces nombres Avec, pour lequel l’égalité est vraie. A partir des propriétés (S1) et (S2), on a :

(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = un +(b+ 1) Þ 1О M.

Laisse-le maintenant AvecÎ M. Alors

(a+b) + c¢ = (( a+b) + c)¢ = ( un +(b + c))¢ = un +(b + c)¢ = un +(b + c¢),

Et c¢Î M. D'après l'axiome (N3) M = N. Le théorème a été prouvé.

Théorème 3. L'addition des nombres naturels est commutative, c'est-à-dire

une + b = b + une. (1)

Preuve. Réparons-le UN et procéder à l'induction b.

Laisser b= 1, c'est-à-dire qu'il faut prouver l'égalité

UN + 1 = 1 + UN. (2)

Nous prouvons cette égalité par récurrence sur UN.

À UN= 1 l’égalité est triviale. Que ce soit fait pour UN, prouvons-le pour UN¢. Nous avons

UN¢ + 1 = ( UN + 1) + 1 = (1 + UN) + 1 = (1 + UN)¢ = 1 + UN¢.

La transition inductive est terminée. Par le principe de l'induction mathématique, l'égalité (2) est vraie pour tous UN. Cela prouve l'énoncé de la base de l'induction sur b.

Soit maintenant la formule (1) satisfaite pour b. Prouvons-le pour b¢. Nous avons

un +b¢ = ( un +b)¢ = ( b + un)¢ = b + un¢ = b + (un + 1) = b + (1 + un) = (b + 1) + un = b¢ + un.

En utilisant le principe de l'induction mathématique, le théorème est prouvé.

Théorème 4.un + b ¹ b.

La preuve est un exercice.

Théorème 5. Pour tous les numéros UN Et b un et un seul des cas suivants se produit :

1) une = b.

2) Il y a un numéro k tel que une = b + k.

3) Il y a un numéro je tel que b = a + l.

Preuve. Il résulte du théorème 4 qu'au plus un de ces cas se produit, puisque, évidemment, les cas 1) et 2), ainsi que 1) et 3), ne peuvent pas se produire simultanément. Si les cas 2) et 3) se sont produits simultanément, alors une = b + k=
= (UN + je) + k = UN+ (je + k), ce qui contredit encore une fois le théorème 4. Montrons qu'au moins un de ces cas se produit toujours.

Laissez un nombre être choisi UN Et M – beaucoup d'entre eux b, pour chacun d'entre eux, étant donné un le cas 1), 2) ou 3) se produit.

Laisser b= 1. Si un= 1, alors nous avons le cas 1). Si UN¹ 1, alors d'après le théorème 1.1.2 on a

a = k" = k + 1 = 1 + k,

c'est-à-dire que nous avons le cas 2) pour b= 1. Donc 1 appartient M.

Laisser b fait parti M. Les cas suivants sont alors possibles :

- UN = b, Moyens, b" = b + 1 = UN+ 1, c'est-à-dire que nous avons le cas 3) pour b";

- UN = b+k, et si k= 1, alors UN = b+ 1 = b", c'est-à-dire que le cas 1) se produit pour b";

si k N°1, alors k = t" Et

a = b + t" = b + (t + 1)=b + (1+m) = (b+ 1)+ m = b¢ +m,

c'est-à-dire que le cas 2) se produit pour b";

- b = un + atterrir b" =(a + l)¢ = UN + je¢, c'est-à-dire que nous avons le cas 3) pour b".

Dans tous les cas b" fait parti M. Le théorème a été prouvé.

Exercice. Prouver, en se basant sur la définition de la somme, que 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.

Multiplication de nombres naturels

Définition. La multiplication des nombres naturels est une opération binaire qui s'applique aux nombres naturels UN Et b correspond au numéro un B(ou une×b), ayant les propriétés suivantes :

(P1) UN×1 = UN pour tout le monde UN;

(P2) ab" = ab + a pour toute UN Et b.

Concernant la définition de la multiplication, tous les commentaires qui ont été faits dans le paragraphe précédent concernant la définition de l'addition restent valables. En particulier, il n'en ressort pas encore clairement qu'il existe une correspondance avec les propriétés données dans la définition. Par conséquent, le théorème suivant, similaire au théorème 1.2.1, est d’une grande importance fondamentale.

Théorème 1. Il n’existe qu’une seule multiplication d’entiers naturels. En d’autres termes, la multiplication est toujours réalisable et sans ambiguïté.

La preuve est assez similaire à celle du théorème 1.2.1 et est proposée sous forme d'exercice.

Les propriétés de multiplication formulées dans les théorèmes suivants se démontrent facilement. La preuve de chaque théorème est basée sur les précédentes.

Théorème 2.(Loi distributive des droits): ( a+b)c = ac + avant JC.

Théorème 3. La multiplication est commutative : ab = ba.

Théorème 4.(Loi distributive de gauche) : c(a+b)= сa + сb.

Théorème 5. La multiplication est associative : un(avant JC) = (un B)c.

Définition. Un semi-anneau est un système où + et × sont des opérations binaires d'addition et de multiplication qui satisfont les axiomes :

(1) est un semi-groupe commutatif, c'est-à-dire que l'addition est commutative et associative ;

(2) – semi-groupe, c'est-à-dire que la multiplication est associative ;

(3) la distributivité droite et gauche est valable.

D'un point de vue algébrique, le système des nombres naturels par rapport à l'addition et à la multiplication forme un semi-anneau.

Exercice. Prouver à partir de la définition d'un produit que
2×2 = 4, 2×3 = 6.

Des exercices

Prouvez les identités :

1. 1 2 + 2 2 + ... + n 2 = .

2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .

Trouvez le montant :

3. .

4. .

5. .

6. 1x1 ! +2x2 ! + ... + n×n!.

Démontrer les inégalités :

7. n 2 < 2n для n > 4.

8. 2n < n! Pour n³ 4.

9. (1 + X)n³ 1 + nx, Où X > –1.

10. à n > 1.

11. à n > 1.

12. .

13. Trouvez l'erreur dans la preuve par récurrence que tous les nombres sont égaux. Nous prouvons une affirmation équivalente : dans tout ensemble de n nombres, tous les nombres sont égaux les uns aux autres. À n= 1 affirmation est vraie. Que ce soit vrai pour n = k, prouvons-le pour n = k+ 1. Prenez un ensemble arbitraire
(k+ 1) chiffres. Supprimons-en un numéro UN. Gauche k nombres, par hypothèse inductive ils sont égaux les uns aux autres. En particulier, deux nombres sont égaux b Et Avec. Maintenant, supprimons le numéro de l'ensemble Avec et allume-le UN. Dans l’ensemble résultant, il reste encore k nombres, ce qui signifie qu’ils sont également égaux les uns aux autres. En particulier, un = b. Moyens, une = b = c, et c'est tout ( k+ 1) les nombres sont égaux les uns aux autres. La transition inductive est terminée et l’énoncé est prouvé.

14. Démontrer le principe amélioré de l'induction mathématique :

Laisser UN(n) est un prédicat sur l'ensemble des nombres naturels. Laisser UN(1) vrai et issu de la vérité UN(k) pour tous les nombres k < m suit la vérité UN(m). Alors UN(n) vrai pour tout le monde n.

Ensembles commandés

Rappelons les définitions de base associées à la relation d'ordre.

Définition. Relation f (« ci-dessus ») sur un ensemble M appelé relation d'ordre, ou simplement en ordre, si cette relation est transitive et antisymétrique. Système b M, fñ s'appelle ensemble commandé.

Définition. ordre strict, s'il est anti-réflexif, et commande en vrac, si réflexif.

Définition. Une relation d'ordre f est appelée une relation ordre linéaire, s'il est connecté, c'est un ¹ bÞ un F bÚ b F un. Un ordre qui n’est pas linéaire s’appelle partiel.

Définition. Laissez un M UN– sous-ensemble M. Élément T ensembles UN appelé le plus petit, s'il est inférieur à tous les autres éléments de l'ensemble UN, c'est

("XÎ UN)(X ¹ T® X F T).

Définition. Laissez un M, fñ – ensemble ordonné, UN– sous-ensemble M. Élément T ensembles UN appelé minimal, si dans un ensemble UN il n'y a pas d'élément plus petit, c'est-à-dire (" XÎ UN)(X ¹ T® Ø T F X).

Les éléments les plus grands et les plus maximaux sont déterminés de la même manière.

Des exercices

1. Montrer que la relation transitive et anti-réflexive est une relation d'ordre.

2. Montrer que la relation de divisibilité M sur l'ensemble N il existe une relation d'ordre partiel.

3. Montrer qu’un ensemble peut avoir au plus un plus grand et au plus un plus petit élément.

4. Trouvez tous les éléments minimum, maximum, plus grand et plus petit de l'ensemble (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) pour la relation de divisibilité.

5. Montrer que si un ensemble a un plus petit élément, alors c'est le seul minimal.

6. De combien de manières pouvons-nous définir un ordre linéaire sur un ensemble de trois éléments ? linéaire et strict ? linéaire et laxiste ?

7. Laissez un M, fñ est un ensemble ordonné linéairement. Montrer que la relation > définie par la condition

un > b Û un F b & un¹ b

est une relation d'ordre linéaire strict.

8. Laissez un M, fñ est un ensemble ordonné linéairement. Montrer que la relation ³ définie par la condition

un ³ b Û un F b Ú un= b,

est une relation d'ordre linéaire non strict.

Définition. Ensemble b ordonné linéairement M, fñ, dans lequel chaque sous-ensemble non vide a le plus petit élément est appelé assez ordonné. La relation f dans ce cas est appelée la relation Complétez la commande.

D’après le théorème 1.4.6, le système d’entiers naturels est un ensemble complètement ordonné.

Définition. Laissez un M Un intervalle séparé par l'élément a, appelé un ensemble R une tous les éléments ci-dessous UN et différent de UN, c'est

R une = {X Î Mï un F X, X¹ un}.

En particulier, si UN est l'élément minimum, alors R une = Æ.

Théorème 1.(Principe d'induction transfinie). Laissez un M, fñ est un ensemble complètement ordonné et UN Í M. Soit pour chaque élément UN depuis M d'appartenir à UN tous les éléments de l'intervalle R une il s'ensuit que UNÎ UN. Alors A = M.

Preuve.

Laisser UN" = M\UN est la différence des ensembles selon la théorie des ensembles M Et UN. Si UN"= Æ, alors UN = M, et le théorème est vrai. Si UN"¹ Æ , alors, puisque M est un ensemble complètement ordonné, alors l'ensemble UN" contient le plus petit élément T. Dans ce cas, tous les éléments précédant T et différent de T, n'appartiens pas UN" et appartiennent donc UN. Ainsi, Р m Í UN. Donc, d'après les conditions du théorème T Î UN, et donc T Ï UN", contrairement à l’hypothèse.

Laissez un UN; fñ est un ensemble ordonné. Nous supposerons que UN– un ensemble fini. Avec chaque élément UN ensembles UN comparons un point T (UN) d'un plan donné de sorte que si un élément UN suit immédiatement l'élément b, puis pointez T (un) on placera au dessus du point T(b) et connectez-les avec un segment. En conséquence, nous obtenons un graphique correspondant à cet ensemble ordonné.

Des exercices

9. Laissez un M, fñ est un ensemble complètement ordonné, b Î MSÎ M. Prouver cela ou Pb = R s, ou Pb Ì R s, ou R s Ì Pb.

10. Laissez un M, f 1 с et b L, f 2 ñ sont des ensembles complètement ordonnés tels que
M Ç L=Æ . En quantité M È L Définissons une relation binaire f par les conditions suivantes :

1) si un BÎ M, Que, un F b Û un f1 b;

2) si un BÎ L, Que, un F b Û un f2 b;

3) si UNÎ M,bÎ L, Que, un F b.

Prouver que le système b MÈ L, fñ est un ensemble complètement ordonné.

Semi-groupes ordonnés

Définition.Semi-groupe appelé algèbre á UN, *ñ, où * est une opération binaire associative.

Définition. Semi-groupe á UN, *ñ est appelé un semigroupe avec réduction s'il satisfait les propriétés

un*c = b*c Þ une = b;c*une = c*b Þ une = b.

Définition.Semi-groupe ordonné appelé système b UN, +, fñ, où :

1) système b UN, +ñ – semi-groupe ;

2) système b UN, fñ – ensemble ordonné ;

3) la relation f est monotone par rapport à l'opération semi-groupe, c'est-à-dire
un F b Þ a+c F b + c, c + a F c+b.

Semigroupe ordonné á UN, +, fñ sont appelés groupe ordonné, si le système b UN, +ñ – groupe.

Conformément aux types de commandes, les relations sont déterminées semi-groupe ordonné linéairement, groupe ordonné linéairement, semi-groupe partiellement ordonné, semi-groupe strictement ordonné etc.

Théorème 1. Dans un semigroupe ordonné á UN, +, fñ des inégalités peuvent être ajoutées, c'est-à-dire un F avant JC F d Þ a+c F b+d.

Preuve. Nous avons

un F b Þ a+c F b + c, c F d Þ b+c F b + d,

d'où par transitivité a+c F b+d. Le théorème a été prouvé.

Exercice 1. Montrer que le système de nombres naturels est un semi-groupe partiellement ordonné par rapport à la multiplication et à la divisibilité.

Il est facile de voir que le système b N, +, >ñ – semi-groupe strictement ordonné, b N, +, ³ñ est un semigroupe non strictement ordonné. Nous pouvons donner un exemple d'un tel ordre du semigroupe á N, +ñ, dans lequel l'ordre n'est ni strict ni non strict.

Exercice 2. Définissons l'ordre f dans le système des nombres naturels comme suit : un F b Û un ³ b & un¹ 1. Prouver que b N, +, fñ est un semi-groupe ordonné dans lequel l'ordre n'est ni strict ni non strict.

Exemple 1. Laisser UN– un ensemble de nombres naturels différents de un. Définissons le rapport f dans UN de la manière suivante :

un F b Û ($ kÎ N)(un = b+k) & b N ° 3.

Prouver que le système b UN, +, fñ est un semigroupe partiellement et strictement ordonné.

Preuve. Vérifions la transitivité :

un F b, b F c Þ une = b + k, b N ° 3, b = c + l, c¹ 3 Þ une = c +(k+l), c¹ 3 Þ un F c.

Parce que un F b Þ un > b, alors l'anti-réflexivité est satisfaite. De l’exercice 2.1.1 il résulte que f est une relation d’ordre strict. L'ordre est partiel car les éléments 3 et 4 ne sont en aucune relation.

La relation f est monotone par rapport à l'addition. En effet, la condition un F b Þ a+c F b+c ne pouvait être violé que lorsque
b+c= 3. Mais la somme peut être égale à 3, puisqu'il est possible UN pas d'unité.

Un groupe de deux éléments ne peut pas être ordonné linéairement et strictement. En fait, soit 0 et 1 ses éléments (0 est le zéro du groupe). Supposons que 1 > 0. Nous obtenons alors 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.

Théorème 2. Chaque semi-groupe annulable ordonné linéairement peut être ordonné linéairement et strictement.

Preuve. Laissez un UN, +, fñ est un semigroupe ordonné. La relation d'ordre strict > est définie comme dans l'exercice 2.1.5 : un > b Û un F b & un¹ b. Montrons que la condition 3) de la définition d'un semigroupe ordonné est satisfaite.

un > b Þ un F b, un¹ bÞ a+c F b+c.

Si a+c = b+c alors, en réduisant, on obtient une = b, ce qui contredit la condition
UN > b. Moyens, a+c ¹ b+c, Et a+c > b+c. La deuxième partie de la condition 3) est vérifiée de la même manière, ce qui prouve le théorème.

Théorème 3. Si b UN, +, fñ est un semigroupe linéairement et strictement ordonné, alors :

1) UN + Avec = b + c Û une = b Û c + un = Avec + b;

2) UN + Avec F b + c Û UN F b Û Avec + un F Avec + b.

Preuve. Laisser UN + Avec = b + c. Si un ¹ b, alors à cause de la connexion UN F b ou
b F un. Mais alors en conséquence UN + Avec F b+c ou b + Avec F a+c, ce qui contredit la condition UN + Avec = b + c. D'autres cas sont traités de la même manière.

Ainsi, tout semi-groupe linéairement et strictement ordonné est un semi-groupe annulable.

Définition. Laissez un UN, +, fñ est un semigroupe ordonné. Élément UN ensembles UN appelé positif (négatif) si un + un¹ UN Et un + un F UN(respectivement UN F un + un).

Exemple 2. Montrer qu'un élément d'un semigroupe commutatif ordonné avec une annulation supérieure à un élément positif n'est pas nécessairement positif.

Solution. Utilisons l'exemple 1. Nous avons 2 + 2 f 2, ce qui signifie que 2 est un élément positif. 3 = 2 + 1, ce qui signifie 3 f 2. En même temps, la relation 3 + 3 f 3 n'est pas vraie, ce qui signifie que 3 n'est pas un élément positif.

Théorème 4. La somme des éléments positifs d'un semigroupe commutatif avec annulation est positive.

Preuve. Si un + un F UN Et b+b F b, puis par le théorème 1

un + un+ b+b F a + b Þ ( a + b)+ (a+b)F a + b.

Reste à vérifier que ( a + b)+ (a+b)¹ a + b. Nous avons:

b+b F b Þ a+b+b F a+b(1)

Imaginons que ( a + b)+ (a+b)=a + b. En remplaçant dans (1), on obtient

a+b+b F a+b+a+b Þ un F un + un.

En raison de l'antisymétrie une = une + une. Cela contredit le fait que l'élément UN positif.

Théorème 5. Si UN est un élément positif d'un semigroupe linéairement et strictement ordonné, alors pour tout b nous avons a+b F b, b + une F b.

Preuve. Nous avons un + un F UN Þ une+ une+ b F une + b. Si ce n'est pas vrai ça une + b F b, alors, en raison de la linéarité, il est vrai a+b=b ou b F une + b. Ajout depuis la gauche UN, on obtient en conséquence une+ une+ b= une + b ou une + b F une+ une+ b. Ces conditions contredisent l’antisymétrie et la rigueur de la relation d’ordre.

Théorème 6. Laissez un UN, +, fñ – semigroupe linéairement et strictement ordonné, UNÎ UN Et UN+ UN¹ un. Puis les éléments :

UN, 2*UN, 3*UN, ...

tout le monde est différent. Si dans ce cas le système b UN, +, fñ est un groupe, alors tous les éléments sont différents :

0, UN,–UN, 2*UN, - 2*un, 3*un, –3*UN, ...

(sous k*a, kÎ N , unÎ UN, désigne le montant une+ …+ une, contenant k termes)

Preuve. Si un + UN F UN, Que un + UN + UN F un + un, etc. En conséquence, nous obtenons une chaîne... f ka f…f 4 UN f3 UN f2 UN F UN. En raison de la transitivité et de l'antisymétrie, tous les éléments qui le composent sont différents. Dans un groupe, la chaîne peut être continuée dans l'autre sens en ajoutant un élément - UN.

Conséquence. Un semi-groupe fini avec annulation, si le nombre de ses éléments est au moins 2, ne peut pas être ordonné linéairement.

Théorème 7. Laissez un UN, +, fñ est un groupe ordonné linéairement. Alors

un F un Û b F b.

La preuve est un exercice.

Ainsi, tout groupe ordonné linéairement est strictement ou non strictement ordonné. Pour désigner ces ordres, nous utiliserons respectivement les signes > et ³.

Des exercices

3. Montrer que la somme des éléments positifs d’un semigroupe linéairement et strictement ordonné est positive.

4. Montrer que tout élément linéairement et strictement ordonné d’un semi-groupe supérieur à un élément positif est lui-même positif.

5. Montrer qu'un semigroupe ordonné est ordonné linéairement si et seulement si tout ensemble fini de ses éléments n'a qu'un seul plus grand élément.

6. Montrer que l’ensemble des éléments positifs d’un groupe ordonné linéairement n’est pas vide.

7. Laissez un UN, +, fñ est un groupe linéairement et strictement ordonné. Prouver que l'élément UN systèmes UN si et seulement si est positif si UN > 0.

8. Montrer qu'il n'existe qu'un seul ordre linéaire et strict dans le semi-groupe additif des nombres naturels, dans lequel l'ensemble des éléments positifs n'est pas vide.

9. Montrer que le semi-groupe multiplicatif d’entiers ne peut pas être ordonné linéairement.

Bagues commandées

Définition. Système b UN, +, ×, fñ est appelé semi-ring commandé, Si

1) système b UN, +, ×ñ – semi-anneau ;

2) système b UN, +, fñ – semi-groupe ordonné avec ensemble non vide UN+ éléments positifs ;

3) la monotonie est valable en ce qui concerne la multiplication par des éléments positifs, c'est-à-dire si AvecÎ UN+ et UN F b, Que ca F avant JC, Californie F CB.

Élément positif semi-ring commandé UN est tout élément positif d'un semigroupe ordonné á UN, +, fñ.

Semiring commandé b UN, +, ×, fñ est appelé bague commandée (champ), si le semiring b UN, +, ×ñ – anneau (respectivement champ).

Définition. Laissez un UN, +, ×, fñ – semi-anneau ordonné. Ordre f du système UN appelé Archimède, et le système UN - Archimède ordonna, si, quels que soient les éléments positifs UN Et b systèmes UN, vous pouvez spécifier un tel nombre naturel P, Quoi n / A F b.

Exemple 1. Un semi-anneau de nombres naturels avec la relation > (supérieur à) est un semi-anneau linéaire, strictement et archimédien.

Pour un anneau b ordonné linéairement UN, +, ×, 0, fñ système b UN, +, 0, fñ est un groupe ordonné linéairement. Cela implique, d'après le théorème 2.2.7, que l'ordre de f est soit strict, soit non strict. En quantité UN vous pouvez introduire (Exercices 2.1.5. et 2.1.6) un nouvel ordre linéaire, qui sera strict si l'ordre f est non strict, et non strict si l'ordre f est strict. En lien avec cette remarque, dans un anneau ordonné linéairement UN On considère généralement deux relations d'ordre binaire, dont l'une, stricte, est désignée par le signe >, et le second, non strict, est marqué d'un ³.

Pour ce qui suit, il est utile de rappeler que dans un anneau ordonné linéairement l’élément UN est positif si et seulement si UN> 0 (Exercice 2.2.7).

Théorème 1. Soit le système b UN,+,×,0,>ñ – anneau ordonné linéairement. Alors pour tout élément UN depuis UN ou UN = 0, ou UN> 0, ou – UN > 0.

Preuve. En raison de la linéarité et de la rigueur entre les éléments
un + un Et UN une et une seule des relations est vraie un + un>une, une+ une = une, une+ une < un. Dans le premier cas UN– élément positif. Dans la seconde, nous ajoutons aux deux parties - UN et nous obtenons UN= 0. Dans le troisième cas, on ajoute aux deux côtés – une – une – une et nous obtenons -un < -a-a, où -un– élément positif.

Théorème 2. La somme et le produit des éléments positifs d’un anneau ordonné linéairement sont positifs.

La preuve est un exercice.

Théorème 3. Dans un anneau ordonné linéairement, le carré de tout élément non nul est positif.

La preuve est un exercice.

Théorème 4. Dans un champ ordonné linéairement si un> 0, alors un –1 > 0.

La preuve est un exercice.

Théorème 5. ( Critère de commande) . Anneau à UN, +, ×, 0ñ si et seulement alors peut être ordonné linéairement et strictement (c'est-à-dire introduire un ordre linéaire et strict) si l'ensemble UN a un sous-ensemble UN+ , satisfaisant aux conditions :

1) UNÎ UN + Þ UN¹ 0 & – UNÏ UN + ;

UN¹ 0 Þ UNÎ UN + Ú – UNÎ UN + ;

2)un BÎ UN + Þ une + bÎ UN + & un BÎ UN + .

Preuve. Laissez d'abord á UN,+,×,0,>ñ – anneau ordonné linéairement. Comme sous-ensemble souhaité UN+ dans ce cas, grâce aux Théorèmes 1 et 2, de nombreux éléments positifs du système peuvent apparaître UN.

Laisse-le maintenant UN+ est un sous-ensemble de l'anneau b UN,+,×,0ñ, satisfaisant les conditions du théorème. Essayons d'introduire un ordre linéaire > dans l'anneau á UN,+,×,0ñ. Définissons cette relation comme suit :

UN > b Û un B Î UN + .

Il est facile de vérifier que la relation que nous avons introduite est connexe, anti-réflexive, antisymétrique, transitive et monotone par rapport à l'addition et à la multiplication par tout élément de UN + .

Un tas de UN+ avec les propriétés mentionnées dans les conditions du théorème 4 s'appellent partie positive de la bague á UN,+,×,0ñ. À l’avenir, lorsque nous mettrons de l’ordre dans n’importe quel anneau, nous y chercherons la « partie positive ». Si une telle partie existe dans l'anneau, alors l'anneau peut être commandé ; sinon, alors il ne peut pas ; s'il y a plusieurs de ces pièces positives non coïncidentes, alors il peut être commandé de plusieurs manières.

De ce qui précède, il s'ensuit que lors de la définition d'un anneau ordonné linéairement, au lieu de la relation binaire >, on peut prendre la relation unaire « partie positive » comme relation principale.

Théorème 6. ( Critère d'unicité de l'ordre linéaire) . Laisser UN+ et UN++ – parties positives de l'anneau b UN,+,×,0ñ. Alors

UN + = UN ++ Û UN + Í UN ++ .

Département de l'éducation de l'administration du district de Kirov de Volgograd

Établissement d'enseignement municipal

gymnase n°9

Section Mathématiques

Sur ce sujet:Entiers

élèves de 6ème

Shanina Lisa

Superviseur:

Professeur de mathématiques

Date de rédaction :

Signature du gérant :

Volgograd 2013

Présentation page 3

§1. Concepts de base et définitions p.4

§2. Axiomatiques des nombres naturels page 5

§3. « À PROPOS DE QUELQUES SECRETS QUE LES CHIFFRES GARDENT » p.8

§4. Grands mathématiciens page 10

Conclusion page 12

Références page 13

Introduction

Que sont les nombres naturels ? Tous! Oh, comme c'est bon. Et qui peut expliquer ? Hm, hm, "entiers positifs", non, ça ne fera pas l'affaire. Nous devrons expliquer ce que sont les « entiers », et c’est plus difficile. Existe-t-il d'autres versions ? Nombre de pommes ? Nous ne semblons pas comprendre pourquoi nous devons expliquer.

Les nombres naturels sont des objets mathématiques ; pour faire des déclarations à leur sujet, introduire des opérations sur eux (addition, multiplication), nous avons besoin d'une sorte de définition formelle. Sinon, l’opération d’addition restera la même informelle, du niveau « il y avait deux tas de pommes, on les mettait en un ». Et il deviendra impossible de prouver des théorèmes utilisant l’addition, ce qui est triste.

Oui, oui, il est tout à fait exact de rappeler que les points et les lignes sont des concepts indéfinissables. Mais nous avons des axiomes qui définissent des propriétés sur lesquelles nous pouvons nous appuyer dans les preuves. Par exemple, « passant par deux points quelconques d’un plan, vous pouvez tracer une ligne droite et, de plus, une seule ». Etc. J'aimerais quelque chose comme ça.

Dans ce travail, nous considérerons les nombres naturels, les axiomes de Peano et les secrets des nombres.

Pertinence et nouveauté de l'ouvrage est que le domaine des axiomes de Peano n'est pas divulgué dans les manuels scolaires et leur rôle n'est pas montré.

Le but de ce travail estétudier la question des nombres naturels et les secrets des nombres.

L'hypothèse principale du travail Ce sont les axiomes de Peano et les secrets des nombres.

§1. Concepts et définitions de base

Nombre - c'est l'expression d'une certaine quantité.

Entier naturel élément d’une séquence continue indéfiniment.

Nombres naturels (nombres naturels) - nombres qui surviennent naturellement lors du comptage (à la fois au sens de l'énumération et au sens du calcul).

Il existe deux approches pour définir les nombres naturels - les nombres utilisés dans :

lister (numéroter) les éléments (premier, deuxième, troisième, ...) ;

désignation du nombre d'éléments (aucun élément, un élément, deux éléments, ...).

Axiome – ce sont les points de départ fondamentaux (principes évidents) d'une théorie particulière, à partir desquels le reste du contenu de cette théorie est extrait par déduction, c'est-à-dire par des moyens purement logiques.

Un nombre qui n'a que deux diviseurs (le nombre lui-même et un) s'appelle - simple nombre.

Nombre composé est un nombre qui a plus de deux diviseurs.

§2. Axiomatiques des nombres naturels

Les nombres naturels sont obtenus en comptant des objets et en mesurant des quantités. Mais si, lors de la mesure, des nombres autres que les nombres naturels apparaissent, alors compter ne conduit qu'à des nombres naturels. Pour compter, il faut une séquence de chiffres qui commence par un et qui permet de passer d'un chiffre à l'autre autant de fois que nécessaire. En d’autres termes, nous avons besoin d’un segment de la série naturelle. Par conséquent, lors de la résolution du problème de la justification du système des nombres naturels, il était tout d'abord nécessaire de répondre à la question de savoir ce qu'est un nombre en tant qu'élément d'une série naturelle. La réponse à cette question a été donnée dans les travaux de deux mathématiciens : l'Allemand Grassmann et l'Italien Peano. Ils ont proposé une axiomatique dans laquelle l'entier naturel était justifié comme élément d'une séquence indéfiniment continue.

La construction axiomatique d'un système de nombres naturels s'effectue selon les règles formulées .

Les cinq axiomes peuvent être considérés comme une définition axiomatique de concepts de base :

1 est un nombre naturel ;

Le nombre naturel suivant est un nombre naturel ;

1 ne suit aucun nombre naturel ;

Si un nombre naturel UN suit un nombre naturel b et au-delà de l'entier naturel Avec, Que b Et Avec sont identiques;

Si une proposition est prouvée pour 1 et si à partir de l’hypothèse qu’elle est vraie pour un nombre naturel n, il s'ensuit que c'est vrai pour ce qui suit n nombre naturel, alors cette phrase est vraie pour tous les nombres naturels.

Unité– c'est le premier nombre de la série naturelle , ainsi que l'un des chiffres du système de numération décimal.

On pense que la désignation d'une unité de n'importe quelle catégorie avec le même signe (assez proche du signe moderne) est apparue pour la première fois dans l'ancienne Babylone environ 2 000 ans avant JC. e.

Les Grecs de l’Antiquité, qui considéraient que seuls les nombres naturels étaient des nombres, considéraient chacun d’eux comme un ensemble d’unités. L'unité elle-même occupe une place particulière : elle n'est pas considérée comme un numéro.

I. Newton a écrit : « … par nombre, nous entendons moins un ensemble d'unités qu'une relation abstraite d'une quantité à une autre quantité, conventionnellement acceptée par nous comme une unité. Ainsi, l’un a déjà pris la place qui lui revient parmi d’autres numéros.

Les opérations arithmétiques sur les nombres ont diverses propriétés. Ils peuvent être décrits avec des mots, par exemple : « La somme ne change pas en changeant la place des termes. » Vous pouvez l'écrire en lettres : a+b = b+a. Peut être exprimé en termes spéciaux.

Nous appliquons les lois fondamentales de l’arithmétique souvent par habitude, sans nous en rendre compte :

1) loi commutative (commutativité), - la propriété d'addition et de multiplication des nombres, exprimée par des identités :

a+b = b+a a*b = b*a;

2) loi combinatoire (associativité), - la propriété d'addition et de multiplication des nombres, exprimée par des identités :

(une+b)+c = une+(b+c) (une*b)*c = une*(b*c);

3) loi distributive (distributivité), - une propriété qui relie l'addition et la multiplication des nombres et s'exprime par des identités :

a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.

Après avoir prouvé les lois d'action commutatives, combinatoires et distributives (par rapport à l'addition) de la multiplication, la poursuite de la construction de la théorie des opérations arithmétiques sur les nombres naturels ne présente pas de difficultés fondamentales.

Actuellement, dans nos têtes ou sur une feuille de papier, nous effectuons uniquement les calculs les plus simples, confiant de plus en plus des travaux de calcul plus complexes aux calculatrices et aux ordinateurs. Cependant, le fonctionnement de tous les ordinateurs - simples et complexes - repose sur l'opération la plus simple : l'addition de nombres naturels. Il s'avère que les calculs les plus complexes peuvent être réduits à l'addition, mais cette opération doit être effectuée plusieurs millions de fois.

§3. .«À propos de QUELQUES SECRETS QUE LES CHIFFRES GARDENT»

Numéros de Mersenne.

La recherche des nombres premiers dure depuis plusieurs siècles.

Un nombre qui n'a que deux diviseurs (le nombre lui-même et un) est appelé nombre premier.

Un nombre composé est un nombre qui possède plus de deux diviseurs. Voici un exemple : le moine français Marin Mersenne (1 an) a écrit « par simplicité » la formule des nombres, appelés nombre de Mersenne.

Ce sont des nombres de la forme M p = 2P -1, où p = nombre premier.

J'ai vérifié si cette formule est valable pour tous les nombres premiers

À ce jour, les nombres supérieurs à 2 ont été testés pour déterminer le caractère premier de tout p jusqu'à 50 000.E. » En conséquence, plus de 30 nombres premiers de Mersenne ont été découverts.

3.1 Nombres parfaits.

Parmi les nombres composés, il existe un groupe de nombres qui sont dits parfaits si le nombre est égal à la somme de tous ses diviseurs (à l'exclusion du nombre lui-même). Par exemple:

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

3.2. Numéros amicaux

Le scientifique Pythagore a beaucoup voyagé dans les pays de l'Est : il s'est rendu en Egypte et à Babylone. Là, Pythagore se familiarisa également avec les mathématiques orientales. Pythagore croyait que le secret du monde était caché dans les schémas numériques ; les nombres avaient leur propre signification particulière dans la vie. Parmi les nombres composés, il existe des paires de nombres dont chacun est égal à la somme des diviseurs de l'autre.

Par exemple : 220 et 284

220=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

234=1+2+4+71+142=220

J'ai utilisé une calculatrice pour trouver quelques nombres plus conviviaux.

Par exemple : 1184 et 1210

1184=1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592=1210

1210=1+2+5+10+1,1+22+55+110+121+242+605=1184 et. etc.

Numéros amicaux- deux nombres naturels pour lesquels la somme de tous les diviseurs du premier nombre (sauf lui-même) est égale au deuxième nombre et la somme de tous les diviseurs du deuxième nombre (sauf lui-même) est égale au premier nombre. à propos des nombres amicaux, ils signifient des paires de deux différent Nombres.

Numéros amicaux

Les nombres amicaux sont une paire de nombres dont chacun est égal à la somme de ses diviseurs (par exemple, 220 et 284).

§4. Grands mathématiciens

Hermann Günter Grassmann ( Allemand Hermann Günther Grassmann, 1809-1877) - physicien, mathématicien et philologue.

Après avoir fait ses études à Stetin, Grassmann entre à la Faculté de théologie de l'Université de Berlin. Ayant réussi les deux examens de théologie, il n'abandonna pas longtemps l'idée de se consacrer au travail de prédicateur et conserva son désir de théologie jusqu'à la fin de sa vie. Parallèlement, il s’intéresse aux mathématiques. En 1840, il réussit un examen complémentaire pour acquérir le droit d'enseigner les mathématiques, la physique, la minéralogie et la chimie. .

Différentielles" href="/text/category/différentcial/" rel="bookmark">équations différentielles, définition et portée du concept de courbe, etc.) et justification logique formelle des mathématiques. Ses axiomatiques de la série naturelle des nombres est devenu d'usage général. On connaît son exemple d'une courbe continue (de Jordanie) qui remplit complètement un certain carré.

Monsieur Isaac Newton (eng. Sir Isaac Newton, 25 décembre 1642 - 20 mars 1727 selon le calendrier julien, qui était en vigueur en Angleterre jusqu'en 1752 ; ou 4 janvier 1643 - 31 mars 1727 selon le calendrier grégorien) - Physicien anglais , mathématicien et astronome, l'un des créateurs de la physique classique . L'auteur de l'ouvrage fondamental «Principes mathématiques de philosophie naturelle», dans lequel il expose la loi de la gravitation universelle et les trois lois de la mécanique, qui sont devenues la base de la mécanique classique. Il a développé le calcul différentiel et intégral, la théorie des couleurs et de nombreuses autres théories mathématiques et physiques.

Maren Mersenne (translittération obsolète Marin Mersenne ; français Marin Mersenne ; 8 septembre 1588 - 1er septembre 1648) - Mathématicien, physicien, philosophe et théologien français. Au cours de la première moitié du XVIIe siècle, il fut essentiellement le coordinateur de la vie scientifique européenne, entretenant une correspondance active avec presque tous les scientifiques éminents de l'époque. Il possède également de sérieuses réalisations scientifiques personnelles dans les domaines de l'acoustique, des mathématiques et de la théorie musicale.

Conclusion

Nous rencontrons des chiffres à chaque étape et nous y sommes tellement habitués que nous réalisons à peine à quel point ils sont importants dans nos vies. Les chiffres font partie de la pensée humaine.

Après avoir terminé ce travail, j'ai appris les axiomes des nombres naturels, les grands mathématiciens et quelques secrets sur les nombres. Il y a dix chiffres au total et les nombres qui peuvent être représentés avec leur aide sont infinis.

Les mathématiques sont impensables sans les chiffres. Différentes manières de représenter les nombres aident les scientifiques à créer des modèles mathématiques et des théories expliquant des phénomènes naturels non résolus.

Bibliographie

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7. Le dictionnaire Savin d’un jeune mathématicien. – M. : Pédagogie, 1985. – 352 p.