Solution graphiqueéquations

Apogée, 2009

Introduction

La nécessité de résoudre des équations quadratiques dans les temps anciens était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche d'aires. terrains et avec les travaux de terrassement à caractère militaire, ainsi qu'avec le développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les Babyloniens étaient capables de résoudre des équations quadratiques vers 2000 avant JC. La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec les règles modernes, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle.

Les formules permettant de résoudre des équations quadratiques en Europe ont été présentées pour la première fois dans le Livre de l'Abacus, écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens.

Mais règle générale les solutions aux équations quadratiques pour toutes les combinaisons possibles de coefficients b et c n'ont été formulées en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.

En 1591 François Viet introduit des formules pour résoudre des équations quadratiques.

Dans l’ancienne Babylone, ils pouvaient résoudre certains types d’équations quadratiques.

Diophante d'Alexandrie Et Euclide, Al-Khwarizmi Et Omar Khayam résoudre des équations à l'aide de méthodes géométriques et graphiques.

En 7e année, nous avons étudié les fonctions y = C, y =kx, y =kx+ m, y =X 2,y = –X 2, en 8e année – y = √X, y =|X|, y =hache2 + bx+ c, y =k/ X. Dans le manuel d'algèbre de 9e, j'ai vu des fonctions qui ne m'étaient pas encore connues : y =X 3, y =X 4,y =X 2n, y =X- 2n, y = 3√X, (X– un) 2 + (oui –b) 2 = r 2 et autres. Il existe des règles pour construire des graphiques de ces fonctions. Je me demandais s'il existait d'autres fonctions qui obéissaient à ces règles.

Mon travail consiste à étudier les graphiques de fonctions et à résoudre graphiquement des équations.

1. Quelles sont les fonctions ?

Le graphique d'une fonction est l'ensemble de tous les points avion coordonné, dont les abscisses sont égales aux valeurs des arguments, et les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction.

Fonction linéaire donné par l'équation y =kx+ b, Où k Et b- quelques chiffres. Le graphique de cette fonction est une ligne droite.

Fonction proportionnalité inverse y =k/ X, où k ¹ 0. Le graphique de cette fonction est appelé une hyperbole.

Fonction (X– un) 2 + (o –b) 2 = r2 , Où UN, b Et r- quelques chiffres. Le graphique de cette fonction est un cercle de rayon r de centre au point A ( UN, b).

Fonction quadratique oui= hache2 + bx+ c Où UN,b, Avec– quelques chiffres et UN¹ 0. Le graphique de cette fonction est une parabole.

L'équation à2 (un– X) = X2 (un+ X) . Le graphique de cette équation sera une courbe appelée strophoïde.

/>Équation (X2 + oui2 ) 2 = un(X2 – oui2 ) . Le graphique de cette équation est appelé lemniscate de Bernoulli.

L'équation. Le graphique de cette équation s’appelle un astéroïde.

Courbe (X2 oui2 – 2 haches)2 =4a2 (X2 + oui2 ) . Cette courbe est appelée cardioïde.

Les fonctions: y =X 3 – parabole cubique, y =X 4, y = 1/X 2.

2. Le concept d'équation et sa solution graphique

L'équation– une expression contenant une variable.

Résous l'équation- cela signifie retrouver toutes ses racines, ou prouver qu'elles n'existent pas.

Racine de l'équation est un nombre qui, lorsqu'il est substitué dans une équation, produit une égalité numérique correcte.

Résoudre des équations graphiquement permet de trouver la valeur exacte ou approximative des racines, permet de trouver le nombre de racines de l'équation.

Lors de la construction de graphiques et de la résolution d'équations, les propriétés d'une fonction sont utilisées, c'est pourquoi la méthode est souvent appelée fonctionnelle-graphique.

Pour résoudre l'équation, nous la « divisons » en deux parties, introduisons deux fonctions, construisons leurs graphiques et trouvons les coordonnées des points d'intersection des graphiques. Les abscisses de ces points sont les racines de l'équation.

3. Algorithme pour tracer un graphe de fonctions

Connaître le graphique d'une fonction y =F(X) , vous pouvez construire des graphiques de fonctions y =F(X+ m) ,y =F(X)+ je Et y =F(X+ m)+ je. Tous ces graphiques sont obtenus à partir du graphique de la fonction y =F(X) en utilisant la transformation de report parallèle : pour │ m│ unités d'échelle à droite ou à gauche le long de l'axe des x et sur │ je│ unités d'échelle vers le haut ou vers le bas le long d'un axe oui.

4. Solution graphique de l'équation quadratique

En utilisant une fonction quadratique comme exemple, nous considérerons la solution graphique d'une équation quadratique. Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole.

Que savaient les anciens Grecs de la parabole ?

Moderne symbolisme mathématique est originaire du 16ème siècle.

Les mathématiciens grecs anciens ne savaient pas méthode de coordonnées, il n’y avait aucune notion de fonction. Néanmoins, les propriétés de la parabole ont été étudiées en détail par eux. L'ingéniosité des mathématiciens anciens est tout simplement incroyable - après tout, ils ne pouvaient utiliser que des dessins et descriptions verbales dépendances.

La plus complète exploration de la parabole, de l'hyperbole et de l'ellipse Apollonius de Perge, qui vécut au 3ème siècle avant JC. Il a donné des noms à ces courbes et indiqué à quelles conditions satisfont les points situés sur telle ou telle courbe (après tout, il n'y avait pas de formules !).

Il existe un algorithme pour construire une parabole :

Trouver les coordonnées du sommet de la parabole A (x0 ; y0) : X=- b/2 un;

y0=axo2+in0+s;

Trouver l'axe de symétrie de la parabole (droite x=x0) ;

SAUT DE PAGE--

Nous compilons un tableau de valeurs pour construire des points de contrôle ;

Nous construisons les points résultants et construisons des points qui leur sont symétriques par rapport à l'axe de symétrie.

1. À l'aide de l'algorithme, nous allons construire une parabole oui= X2 – 2 X– 3 . Abscisses des points d'intersection avec l'axe X et il y a des racines de l'équation quadratique X2 – 2 X– 3 = 0.

Il existe cinq façons de résoudre graphiquement cette équation.

2. Divisons l'équation en deux fonctions : oui= X2 Et oui= 2 X+ 3

3. Divisons l'équation en deux fonctions : oui= X2 –3 Et oui=2 X. Les racines de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite.

4. Transformez l'équation X2 – 2 X– 3 = 0 en isolant un carré complet en fonctions : oui= (X–1) 2 Et oui=4. Les racines de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite.

5. Divisez les deux côtés de l’équation terme par terme X2 – 2 X– 3 = 0 sur X, on a X– 2 – 3/ X= 0 , divisons cette équation en deux fonctions : oui= X– 2, oui= 3/ X. Les racines de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la droite et de l'hyperbole.

5. Solution graphique des équations de degrén

Exemple 1. Résous l'équation X5 = 3 – 2 X.

oui= X5 , oui= 3 – 2 X.

Répondre: x = 1.

Exemple 2. Résous l'équation 3 √ X= 10 – X.

Racines équation donnée est l'abscisse du point d'intersection des graphiques de deux fonctions : oui= 3 √ X, oui= 10 – X.

Répondre: x = 8.

Conclusion

Après avoir regardé les graphiques des fonctions : y =hache2 + bx+ c, y =k/ X, у = √X, y =|X|, y =X 3, y =X 4,y = 3√X, J'ai remarqué que tous ces graphiques sont construits selon la règle de translation parallèle par rapport aux axes X Et oui.

En utilisant l'exemple de résolution d'une équation quadratique, nous pouvons conclure que la méthode graphique est également applicable aux équations de degré n.

Les méthodes graphiques de résolution d'équations sont belles et compréhensibles, mais ne fournissent pas une garantie à 100 % de résolution d'une équation. Les abscisses des points d'intersection des graphiques peuvent être approximatives.

En 9ème et au lycée, je continuerai à me familiariser avec d'autres fonctions. Je souhaite savoir si ces fonctions obéissent aux règles de transfert parallèle lors de la construction de leurs graphiques.

L'année prochaine, j'aimerais également examiner les problèmes de résolution graphique de systèmes d'équations et d'inégalités.

Littérature

1. Algèbre. 7e année. Partie 1. Manuel pour les établissements d'enseignement/ A.G. Mordkovitch. M. : Mnémosyne, 2007.

2. Algèbre. 8e année. Partie 1. Manuel pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovitch. M. : Mnémosyne, 2007.

3. Algèbre. 9e année. Partie 1. Manuel pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovitch. M. : Mnémosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Histoire des mathématiques à l'école. Niveaux VII-VIII. – M. : Éducation, 1982.

5. Revue Mathématiques n° 5 2009 ; n° 8 2007 ; N° 23 2008.

6. Solution graphique d'équations sur Internet : Tol VIKI ; stimul.biz/ru ; wiki.iot.ru/images ; berdsk.edu ; page 3–6.htm.

L’une des méthodes les plus pratiques pour résoudre les inégalités quadratiques est la méthode graphique. Dans cet article, nous verrons comment les inégalités quadratiques sont résolues graphiquement. Tout d’abord, discutons de l’essence de cette méthode. Ensuite, nous présenterons l'algorithme et considérerons des exemples de résolution graphique d'inégalités quadratiques.

Navigation dans les pages.

L'essence de la méthode graphique

Du tout méthode graphique pour résoudre les inégalités avec une variable est utilisé non seulement pour résoudre des inégalités quadratiques, mais également d'autres types d'inégalités. L'essence méthode graphique des solutions aux inégalités ensuite : considérons les fonctions y=f(x) et y=g(x) qui correspondent à gauche et côté droit inégalités, construisez leurs graphiques dans un système de coordonnées rectangulaires et découvrez à quels intervalles le graphique de l'un d'eux est inférieur ou supérieur à l'autre. Ces intervalles où

• le graphe de la fonction f au-dessus du graphe de la fonction g sont des solutions à l'inégalité f(x)>g(x) ;
• le graphique de la fonction f non inférieur au graphique de la fonction g sont des solutions à l'inégalité f(x)≥g(x) ;
• le graphique de f sous le graphique de g sont des solutions à l'inégalité f(x)
• le graphique d'une fonction f non supérieur au graphique d'une fonction g sont des solutions à l'inégalité f(x)≤g(x) .

On dira aussi que les abscisses des points d'intersection des graphiques des fonctions f et g sont des solutions de l'équation f(x)=g(x) .

Transférons ces résultats à notre cas - pour résoudre l'inégalité quadratique a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

On introduit deux fonctions : la première y=a x 2 +b x+c (avec f(x)=a x 2 +b x+c) correspondant au côté gauche de l'inégalité quadratique, la seconde y=0 (avec g ( x)=0 ) correspond au côté droit de l’inégalité. Calendrier fonction quadratique f est une parabole et le graphique fonction constante g – ligne droite coïncidant avec l'axe des abscisses Ox.

Ensuite, selon la méthode graphique de résolution des inégalités, il est nécessaire d'analyser à quels intervalles le graphique d'une fonction se situe au-dessus ou en dessous d'une autre, ce qui nous permettra d'écrire la solution souhaitée à l'inégalité quadratique. Dans notre cas, il faut analyser la position de la parabole par rapport à l'axe Ox.

En fonction des valeurs des coefficients a, b et c, les six options suivantes sont possibles (pour nos besoins, une représentation schématique suffit, et nous n'avons pas besoin de représenter l'axe Oy, puisque sa position n'affecte pas le solutions aux inégalités) :

Sur ce dessin on voit une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, et qui coupe l'axe Ox en deux points dont les abscisses sont x 1 et x 2. Ce dessin correspond à l'option lorsque le coefficient a est positif (il est responsable du sens ascendant des branches de la parabole), et lorsque la valeur est positive discriminant d'un trinôme quadratique a x 2 +b x+c (dans ce cas, le trinôme a deux racines, que nous avons notées x 1 et x 2, et nous avons supposé que x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, X 1 =−2 , X 2 =3 .

Pour plus de clarté, représentons en rouge les parties de la parabole situées au-dessus de l’axe des x, et en bleu celles situées en dessous de l’axe des x.


Voyons maintenant à quels intervalles correspondent ces parties. Le dessin suivant vous aidera à les identifier (à l'avenir, nous ferons mentalement des sélections similaires sous forme de rectangles) :


Ainsi sur l'axe des abscisses deux intervalles (−∞, x 1) et (x 2 , +∞) ont été surlignés en rouge, sur eux la parabole est au dessus de l'axe Ox, ils constituent une solution de l'inégalité quadratique a x 2 +b x +c>0 , et l'intervalle (x 1 , x 2) est surligné en bleu, il y a une parabole sous l'axe Ox, elle représente la solution de l'inégalité a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Et maintenant brièvement : pour a>0 et D=b 2 −4 a c>0 (ou D"=D/4>0 pour un coefficient pair b)

• la solution de l'inégalité quadratique a x 2 +b x+c>0 est (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) ou dans une autre notation x x2 ;
• la solution de l'inégalité quadratique a x 2 +b x+c≥0 est (−∞, x 1 ]∪ ou dans une autre notation x 1 ≤x≤x 2 ,

où x 1 et x 2 sont les racines du trinôme quadratique a x 2 +b x+c, et x 1


Nous voyons ici une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut et qui touche l'axe des abscisses, c'est-à-dire qu'elle a un point commun avec elle ; nous désignons l'abscisse de ce point par x 0. Le cas présenté correspond à a>0 (branches dirigées vers le haut) et D=0 ( trinôme quadratique a une racine x 0 ). Par exemple, vous pouvez prendre fonction quadratique y=x 2 −4·x+4, ici a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 et x 0 =2.

Le dessin montre clairement que la parabole est située au dessus de l'axe Ox partout sauf au point de contact, c'est-à-dire sur les intervalles (−∞, x 0), (x 0, ∞). Pour plus de clarté, soulignons les zones du dessin par analogie avec le paragraphe précédent.


On tire des conclusions : pour a>0 et D=0

• la solution de l'inégalité quadratique a·x 2 +b·x+c>0 est (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) ou dans une autre notation x≠x 0 ;
• la solution de l'inégalité quadratique a·x 2 +b·x+c≥0 est (−∞, +∞) ou dans une autre notation x∈R ;
• inégalité quadratique une x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• l'inégalité quadratique a x 2 +b x+c≤0 a une unique solution x=x 0 (elle est donnée par le point de tangence),

où x 0 est la racine du trinôme carré a x 2 + b x + c.


Dans ce cas, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut et elle n'a pas de points communs avec l'axe des abscisses. On a ici les conditions a>0 (les branches sont dirigées vers le haut) et D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Évidemment, la parabole est située au-dessus de l'axe Ox sur toute sa longueur (il n'y a pas d'intervalles où elle se trouve en dessous de l'axe Ox, il n'y a pas de point de tangence).


Ainsi, pour a>0 et D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 et a x 2 +b x+c≥0 est l'ensemble de tous les nombres réels, et les inégalités a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Et il reste trois options pour l'emplacement de la parabole avec des branches dirigées vers le bas et non vers le haut, par rapport à l'axe Ox. En principe, il n’est pas nécessaire de les considérer, puisque multiplier les deux côtés de l’inégalité par −1 permet d’aboutir à une inégalité équivalente avec un coefficient positif pour x 2. Mais cela ne fait toujours pas de mal d’avoir une idée sur ces cas. Le raisonnement ici est similaire, nous n’écrirons donc que les principaux résultats.

Algorithme de solution

Le résultat de tous les calculs précédents est algorithme pour résoudre graphiquement les inégalités quadratiques:

Un dessin schématique est réalisé sur le plan de coordonnées, qui représente l'axe Ox (il n'est pas nécessaire de représenter l'axe Oy) et un croquis d'une parabole correspondant à la fonction quadratique y=a·x 2 +b·x+c. Pour dessiner une esquisse d'une parabole, il suffit de clarifier deux points :

• Premièrement, par la valeur du coefficient a, il est déterminé où ses branches sont dirigées (pour a>0 - vers le haut, pour a<0 – вниз).
• Et deuxièmement, par la valeur du discriminant du trinôme carré a x 2 + b x + c on détermine si la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points (pour D>0), le touche en un point (pour D=0) , ou n'a pas de points communs avec l'axe Ox (en D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Lorsque le dessin est prêt, utilisez-le dans la deuxième étape de l'algorithme

  • lors de la résolution de l'inégalité quadratique a·x 2 +b·x+c>0, les intervalles sont déterminés auxquels la parabole est située au-dessus de l'abscisse ;
  • lors de la résolution de l'inégalité a·x 2 +b·x+c≥0, les intervalles auxquels la parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses sont déterminés et les abscisses des points d'intersection (ou l'abscisse du point tangent) sont ajoutées à eux;
  • lors de la résolution de l'inégalité a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • enfin, lors de la résolution d'une inégalité quadratique de la forme a·x 2 +b·x+c≤0, on trouve des intervalles dans lesquels la parabole est en dessous de l'axe Ox et l'abscisse des points d'intersection (ou l'abscisse du point tangent ) leur est ajouté ;

  ils constituent la solution souhaitée à l'inégalité quadratique, et s'il n'y a pas de tels intervalles ni aucun point de tangence, alors l'inégalité quadratique originale n'a pas de solution.

Il ne reste plus qu'à résoudre quelques inégalités quadratiques à l'aide de cet algorithme.

Exemples avec solutions

Exemple.

Résoudre l'inégalité .

Solution.

Nous devons résoudre une inégalité quadratique, utilisons l'algorithme du paragraphe précédent. Dans un premier temps, nous devons dessiner le graphique de la fonction quadratique . Le coefficient de x 2 est égal à 2, il est positif donc les branches de la parabole sont dirigées vers le haut. Voyons également si la parabole a des points communs avec l'axe des x ; pour cela, nous calculerons le discriminant du trinôme quadratique . Nous avons . Le discriminant s'est avéré supérieur à zéro, le trinôme a donc deux racines réelles : Et , c'est-à-dire x 1 =−3 et x 2 =1/3.

Il en ressort clairement que la parabole coupe l'axe Ox en deux points d'abscisses −3 et 1/3. Nous représenterons ces points sur le dessin comme des points ordinaires, puisque nous résolvons une inégalité non stricte. Sur la base des données clarifiées, nous obtenons le dessin suivant (il correspond au premier modèle du premier paragraphe de l'article) :

Passons à la deuxième étape de l'algorithme. Puisque nous résolvons une inégalité quadratique non stricte de signe ≤, nous devons déterminer les intervalles auxquels la parabole est située en dessous de l'abscisse et y ajouter les abscisses des points d'intersection.

D'après le dessin, il est clair que la parabole est en dessous de l'axe des x sur l'intervalle (−3, 1/3) et on y ajoute les abscisses des points d'intersection, c'est-à-dire les nombres −3 et 1/3. En conséquence, nous arrivons à l'intervalle numérique [−3, 1/3] . C'est la solution que nous recherchons. Cela peut s'écrire sous la forme d'une double inégalité −3≤x≤1/3.

Répondre:

[−3, 1/3] ou −3≤x≤1/3 .

Exemple.

Trouver la solution de l'inégalité quadratique −x 2 +16 x−63<0 .

Solution.

Comme d'habitude, nous commençons par un dessin. Le coefficient numérique du carré de la variable est négatif, −1, donc les branches de la parabole sont dirigées vers le bas. Calculons le discriminant, ou mieux encore, sa quatrième partie : D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Sa valeur est positive, calculons les racines du trinôme carré : Et , x 1 =7 et x 2 =9. La parabole coupe donc l'axe Ox en deux points d'abscisses 7 et 9 (l'inégalité d'origine est stricte, nous allons donc représenter ces points avec un centre vide). Nous pouvons maintenant faire un dessin schématique :

Puisque nous résolvons une inégalité quadratique stricte de signe<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Le dessin montre que les solutions à l'inégalité quadratique d'origine sont deux intervalles (−∞, 7) , (9, +∞) .

Répondre:

(−∞, 7)∪(9, +∞) ou dans une autre notation x<7 , x>9 .

Lors de la résolution d'inégalités quadratiques, lorsque le discriminant d'un trinôme quadratique sur son côté gauche est nul, vous devez faire attention à inclure ou à exclure l'abscisse du point tangent de la réponse. Cela dépend du signe de l’inégalité : si l’inégalité est stricte, alors ce n’est pas une solution à l’inégalité, mais si elle n’est pas stricte, alors ça l’est.

Exemple.

L'inégalité quadratique 10 x 2 −14 x+4,9≤0 a-t-elle au moins une solution ?

Solution.

Traçons la fonction y=10 x 2 −14 x+4.9. Ses branches sont dirigées vers le haut, puisque le coefficient de x 2 est positif, et il touche l'axe des abscisses au point d'abscisse 0,7, puisque D"=(−7) 2 −10 4,9=0, d'où ou 0,7 sous la forme d'une fraction décimale. Schématiquement, cela ressemble à ceci :

Puisque nous résolvons une inégalité quadratique avec le signe ≤, sa solution sera les intervalles sur lesquels la parabole est en dessous de l'axe Ox, ainsi que l'abscisse du point tangent. D'après le dessin, il est clair qu'il n'y a pas un seul espace où la parabole serait en dessous de l'axe Ox, sa solution ne sera donc que l'abscisse du point tangent, c'est-à-dire 0,7.

Répondre:

cette inégalité a une solution unique 0,7.

Exemple.

Résoudre l'inégalité quadratique –x 2 +8 x−16<0 .

Solution.

Nous suivons l'algorithme de résolution des inégalités quadratiques et commençons par construire un graphique. Les branches de la parabole sont dirigées vers le bas, puisque le coefficient de x 2 est négatif, −1. Trouvons le discriminant du trinôme carré –x 2 +8 x−16, nous avons D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 et alors x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Ainsi, la parabole touche l'axe Ox au point abscisse 4. Faisons le dessin :

On regarde le signe de l'inégalité originelle, il est là<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Dans notre cas, ce sont des rayons ouverts (−∞, 4) , (4, +∞) . Par ailleurs, on note que 4 - l'abscisse du point de contact - n'est pas une solution, puisqu'au point de contact la parabole n'est pas inférieure à l'axe Ox.

Répondre:

(−∞, 4)∪(4, +∞) ou dans une autre notation x≠4 .

Portez une attention particulière aux cas où le discriminant du trinôme quadratique du côté gauche de l'inégalité quadratique est inférieur à zéro. Il n'est pas nécessaire de se précipiter ici et de dire que l'inégalité n'a pas de solution (nous avons l'habitude de tirer une telle conclusion pour les équations quadratiques à discriminant négatif). Le fait est que l’inégalité quadratique pour D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Exemple.

Trouvez la solution de l'inégalité quadratique 3 x 2 +1>0.

Solution.

Comme d'habitude, nous commençons par un dessin. Le coefficient a est 3, il est positif donc les branches de la parabole sont dirigées vers le haut. On calcule le discriminant : D=0 2 −4·3·1=−12 . Le discriminant étant négatif, la parabole n’a aucun point commun avec l’axe Ox. Les informations obtenues sont suffisantes pour un graphique schématique :

Nous résolvons une inégalité quadratique stricte avec un signe >. Sa solution sera tous les intervalles dans lesquels la parabole est au-dessus de l'axe Ox. Dans notre cas, la parabole est au-dessus de l’axe des x sur toute sa longueur, la solution souhaitée sera donc l’ensemble de tous les nombres réels.

Bœuf , et il faut également leur ajouter l'abscisse des points d'intersection ou l'abscisse de la tangence. Mais d'après le dessin, il est clairement visible qu'il n'y a pas de tels intervalles (puisque la parabole est partout en dessous de l'axe des abscisses), tout comme il n'y a pas de points d'intersection, tout comme il n'y a pas de points de tangence. Par conséquent, l’inégalité quadratique originale n’a pas de solution.

Répondre:

pas de solutions ou dans une autre entrée ∅.

Bibliographie.

• Algèbre: cahier de texte pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
• Algèbre: 9e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2009. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-021134-5.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich. - 11e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2009. - 215 p. : ill. ISBN978-5-346-01155-2.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 9e année. En 2 parties Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2011. - 222 p. : ill. ISBN978-5-346-01752-3.
• Mordkovitch A.G. Algèbre et début de l'analyse mathématique. 11e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveau profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2008. - 287 p. : ill. ISBN978-5-346-01027-2.

L.A. Koustova

professeur de mathématiques

Voronej, Lycée MBOU n°5

Projet

«Avantages de la méthode graphique pour résoudre des équations et des inégalités.»

Classe:

7-11

Article:

Mathématiques

Objectif de recherche:

Se rendre compteavantages de la méthode graphique de résolution d'équations et d'inégalités.

Hypothèse:

Certaines équations et inégalités sont plus faciles et plus esthétiques à résoudre graphiquement.

Étapes de recherche :

Comparez les méthodes de résolution analytiques et graphiqueséquations et inégalités.

Découvrez dans quels cas la méthode graphique présente des avantages.

Envisagez de résoudre des équations avec module et paramètre.

Résultats de recherche:

1. La beauté des mathématiques est un problème philosophique.

2.Lors de la résolution de certaines équations et inégalités, une solution graphiquele plus pratique et le plus attrayant.

3. Vous pouvez appliquer l'attractivité des mathématiques à l'école à l'aide d'une solution graphiqueéquations et inégalités.

« Les sciences mathématiques ont fait l'objet d'une attention particulière depuis l'Antiquité,

Aujourd’hui, leur influence sur l’art et l’industrie suscite encore plus d’intérêt.

Pafnutiy Lvovitch Chebyshev.

À partir de la 7e année, diverses méthodes de résolution d'équations et d'inéquations sont envisagées, notamment graphiques. Ceux qui pensent que les mathématiques sont une science aride, je pense, changent d'avis lorsqu'ils voient à quel point certains types peuvent être magnifiquement résolus.équations et inégalités. Laissez-moi vous donner quelques exemples :

1).Résolvez l’équation : = .

Vous pouvez le résoudre analytiquement, c’est-à-dire élever les deux côtés de l’équation à la puissance trois et ainsi de suite.

La méthode graphique est pratique pour cette équation si vous avez simplement besoin d'indiquer le nombre de solutions.

Des tâches similaires sont souvent rencontrées lors de la résolution du bloc « géométrie » de l'OGE de 9e année.

2).Résolvez l'équation avec le paramètre :

││ X│- 4│= un

Ce n'est pas l'exemple le plus complexe, mais si vous le résolvez analytiquement, vous devrez ouvrir les supports du module deux fois et, pour chaque cas, considérer les valeurs possibles du paramètre. Graphiquement, tout est très simple. Nous dessinons des graphiques de fonctions et voyons que :

Sources:

Programme d'ordinateurGraphique avancé .

voir aussi Résolution graphique d'un problème de programmation linéaire, Forme canonique des problèmes de programmation linéaire

Le système de contraintes pour un tel problème est constitué d'inégalités en deux variables :
et la fonction objectif a la forme F = C 1 X + C 2 oui qui doit être maximisé.

Répondons à la question : quelles paires de nombres ( X; oui) les solutions au système d'inégalités, c'est-à-dire satisfont-elles simultanément chacune des inégalités ? En d’autres termes, que signifie résoudre graphiquement un système ?
Vous devez d’abord comprendre quelle est la solution à un inégalité linéaire avec deux inconnues.
Résoudre une inégalité linéaire à deux inconnues signifie déterminer toutes les paires de valeurs inconnues pour lesquelles l'inégalité est vraie.
Par exemple, l'inégalité 3 X – 5oui≥ 42 satisfont les paires ( X , oui) : (100, 2); (3, –10), etc. La tâche est de trouver toutes ces paires.
Considérons deux inégalités : hache + par≤ c, hache + par≥ c. Droit hache + par = c divise le plan en deux demi-plans pour que les coordonnées des points de l'un d'eux satisfassent à l'inégalité hache + par >c, et l'autre inégalité hache + +par <c.
En effet, prenons un point de coordonnée X = X 0 ; puis un point situé sur une droite et ayant une abscisse X 0, a une ordonnée

Laissez pour certitude un< 0, b>0, c>0. Tous les points en abscisse X 0 situé au-dessus P.(par exemple, point M), avoir et M>oui 0 , et tous les points en dessous du point P., en abscisse X 0 , avoir oui N<oui 0 . Parce que le X 0 est un point arbitraire, alors il y aura toujours des points d'un côté de la ligne pour lesquels hache+ par > c, formant un demi-plan, et de l'autre côté - les points pour lesquels hache + par< c.

Image 1

Le signe de l'inégalité dans le demi-plan dépend des nombres un, b , c.
Cela implique la méthode suivante pour résoudre graphiquement des systèmes d'inégalités linéaires à deux variables. Pour résoudre le système, vous avez besoin de :

1. Pour chaque inégalité, écrivez l'équation correspondant à cette inégalité.
2. Construisez des lignes droites qui sont des graphiques de fonctions spécifiées par des équations.
3. Pour chaque droite, déterminez le demi-plan donné par l’inégalité. Pour ce faire, prenez un point arbitraire qui ne se trouve pas sur une droite et remplacez ses coordonnées dans l'inégalité. si l'inégalité est vraie, alors le demi-plan contenant le point choisi est la solution de l'inégalité d'origine. Si l’inégalité est fausse, alors le demi-plan de l’autre côté de la ligne est l’ensemble des solutions à cette inégalité.
4. Pour résoudre un système d'inégalités, il faut trouver l'aire d'intersection de tous les demi-plans qui sont la solution de chaque inégalité du système.

Cet espace peut s'avérer vide, alors le système d'inégalités n'a pas de solutions et est incohérent. Autrement, le système est dit cohérent.
Il y a peut-être des solutions numéro final Et ensemble infini. La zone peut être un polygone fermé ou illimité.

Regardons trois exemples pertinents.

Exemple 1. Résolvez le système graphiquement :
X + oui – 1 ≤ 0;
–2X - 2oui + 5 ≤ 0.

• considérons les équations x+y–1=0 et –2x–2y+5=0 correspondant aux inégalités ;
• Construisons des droites données par ces équations.

Figure 2

Définissons les demi-plans définis par les inégalités. Prenons un point arbitraire, soit (0 ; 0). Considérons X+ oui– 1 0, remplacez le point (0 ; 0) : 0 + 0 – 1 ≤ 0. Cela signifie que dans le demi-plan où se trouve le point (0 ; 0), X + oui – 1 ≤ 0, c'est-à-dire le demi-plan situé en dessous de la droite est une solution à la première inégalité. En remplaçant ce point (0 ; 0) par le second, on obtient : –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, c'est-à-dire dans le demi-plan où se trouve le point (0 ; 0), –2 X – 2oui+ 5≥ 0, et on nous a demandé où –2 X – 2oui+ 5 ≤ 0 donc dans l'autre demi-plan - dans celui au-dessus de la droite.
Trouvons l'intersection de ces deux demi-plans. Les lignes sont parallèles, donc les plans ne se coupent nulle part, ce qui signifie que le système de ces inégalités n'a pas de solutions et est incohérent.

Exemple 2. Trouver graphiquement des solutions au système d'inégalités :

figure 3
1. Écrivons les équations correspondant aux inégalités et construisons des droites.
X + 2oui– 2 = 0

X	2	0
oui	0	1

oui – X – 1 = 0

X	0	2
oui	1	3

oui + 2 = 0;
oui = –2.
2. Après avoir choisi le point (0 ; 0), on détermine les signes des inégalités dans les demi-plans :
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, c'est-à-dire X + 2oui– 2 ≤ 0 dans le demi-plan situé au-dessous de la droite ;
0 – 0 – 1 ≤ 0, c'est-à-dire oui –X– 1 ≤ 0 dans le demi-plan situé au-dessous de la droite ;
0 + 2 =2 ≥ 0, c'est-à-dire oui+ 2 ≥ 0 dans le demi-plan au-dessus de la droite.
3. L’intersection de ces trois demi-plans sera une aire qui est un triangle. Il n'est pas difficile de trouver les sommets de la région comme points d'intersection des lignes correspondantes


Ainsi, UN(–3; –2), DANS(0; 1), AVEC(6; –2).

Considérons un autre exemple dans lequel le domaine de solution résultant du système n'est pas limité.

De nombreuses tâches que nous avons l'habitude de calculer de manière purement algébrique peuvent être résolues beaucoup plus facilement et plus rapidement ; l'utilisation de graphiques de fonctions nous y aidera. Vous dites "comment ça?" dessiner quelque chose, et que dessiner ? Croyez-moi, c'est parfois plus pratique et plus facile. On commence ? Commençons par les équations !

Solution graphique des équations

Solution graphique d'équations linéaires

Comme vous le savez déjà, le graphique d'une équation linéaire est une ligne droite, d'où le nom de ce type. Les équations linéaires sont assez faciles à résoudre algébriquement : nous transférons toutes les inconnues d'un côté de l'équation, tout ce que nous savons de l'autre, et le tour est joué ! Nous avons trouvé la racine. Maintenant, je vais vous montrer comment faire graphiquement.

Vous avez donc l'équation :

Comment le résoudre?
Option 1, et la plus courante consiste à déplacer les inconnues d’un côté et les connues de l’autre, on obtient :

Maintenant, construisons. Qu'est-ce que vous obtenez?

Selon vous, quelle est la racine de notre équation ? C'est vrai, la coordonnée du point d'intersection des graphiques est :

Notre réponse est

C'est toute la sagesse de la solution graphique. Comme vous pouvez facilement le vérifier, la racine de notre équation est un nombre !

Comme je l'ai dit plus haut, c'est l'option la plus courante, proche de solution algébrique, mais vous pouvez le résoudre différemment. Pour envisager une solution alternative, revenons à notre équation :

Cette fois, nous ne déplacerons rien d’un côté à l’autre, mais construirons directement les graphiques, tels qu’ils sont actuellement :

Construit? Voyons!

Quelle est la solution cette fois-ci ? C'est exact. La même chose - la coordonnée du point d'intersection des graphiques :

Et encore une fois, notre réponse est la suivante.

Comme vous pouvez le constater, avec équations linéaires tout est extrêmement simple. Il est temps de regarder quelque chose de plus complexe... Par exemple, solution graphique d'équations quadratiques.

Solution graphique d'équations quadratiques

Alors maintenant, commençons à résoudre l’équation quadratique. Disons que vous devez trouver les racines de cette équation :

Bien sûr, vous pouvez maintenant commencer à compter via le discriminant, ou selon le théorème de Vieta, mais beaucoup de gens, par nerfs, font des erreurs en multipliant ou en quadrature, surtout si l'exemple est avec grands nombres, et, comme vous le savez, vous n'aurez pas de calculatrice pour l'examen... Essayons donc de nous détendre un peu et de dessiner tout en résolvant cette équation.

Les solutions à cette équation peuvent être trouvées graphiquement de différentes manières. Considérons diverses options, et vous pouvez choisir celui que vous préférez.

Méthode 1. Directement

On construit simplement une parabole en utilisant cette équation :

Pour y parvenir rapidement, je vais vous donner un petit indice : Il est pratique de commencer la construction en déterminant le sommet de la parabole. Les formules suivantes aideront à déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole :

Vous direz « Stop ! La formule pour est très similaire à la formule pour trouver le discriminant », oui, c'est le cas, et c'est un énorme inconvénient de construire « directement » une parabole pour trouver ses racines. Cependant, comptons jusqu'au bout, et ensuite je vous montrerai comment le faire beaucoup (beaucoup !) plus facilement !

As-tu compté ? Quelles coordonnées avez-vous obtenues pour le sommet de la parabole ? Voyons cela ensemble :

Exactement la même réponse ? Bien joué! Et maintenant, nous connaissons déjà les coordonnées du sommet, mais pour construire une parabole, nous avons besoin de plus... de points. De combien de points minimum pensez-vous que nous avons besoin ? Droite, .

Vous savez qu'une parabole est symétrique par rapport à son sommet, par exemple :

En conséquence, nous avons besoin de deux points supplémentaires sur la branche gauche ou droite de la parabole, et à l'avenir nous refléterons symétriquement ces points sur le côté opposé :

Revenons à notre parabole. Pour notre cas, point final. Nous avons besoin de deux points supplémentaires, pour pouvoir en prendre des positifs, ou des négatifs ? Quels points vous conviennent le mieux ? C'est plus pratique pour moi de travailler avec des positifs, donc je vais calculer en et.

Maintenant que nous avons trois points, nous pouvons facilement construire notre parabole en réfléchissant les deux derniers points par rapport à son sommet :

Selon vous, quelle est la solution de l’équation ? C'est vrai, les points auxquels, c'est-à-dire et. Parce que.

Et si nous disons cela, cela signifie que cela doit aussi être égal, ou.

Juste? Nous avons fini de résoudre l'équation avec vous de manière graphique complexe, ou il y en aura plus !

Bien sûr, vous pouvez vérifier notre réponse algébriquement - vous pouvez calculer les racines en utilisant le théorème de Vieta ou le discriminant. Qu'est-ce que vous obtenez? Le même? Voilà, vous voyez ! Voyons maintenant une solution graphique très simple, je suis sûr que vous l'aimerez vraiment !

Méthode 2. Divisé en plusieurs fonctions

Reprenons notre même équation : , mais nous l'écrirons un peu différemment, à savoir :

Peut-on l'écrire ainsi ? Nous pouvons, puisque la transformation est équivalente. Regardons plus loin.

Construisons deux fonctions séparément :

1. - le graphique est une simple parabole, que l'on peut facilement construire même sans définir le sommet à l'aide de formules et sans dresser un tableau pour déterminer d'autres points.
2. - le graphique est une droite, que vous pouvez tout aussi bien construire en estimant les valeurs dans votre tête sans même recourir à une calculatrice.

Construit? Comparons avec ce que j'ai obtenu :

Selon vous, quelles sont les racines de l’équation dans ce cas ? Droite! Les coordonnées obtenues par l'intersection de deux graphiques et, soit :

La solution de cette équation est donc :

Que dites-vous? D'accord, cette méthode de solution est bien plus simple que la précédente et encore plus simple que de chercher des racines via un discriminant ! Si tel est le cas, essayez de résoudre l’équation suivante en utilisant cette méthode :

Qu'est-ce que vous obtenez? Comparons nos graphiques :

Les graphiques montrent que les réponses sont :

Avez-vous réussi ? Bien joué! Examinons maintenant les équations un peu plus compliquées, à savoir la résolution d'équations mixtes, c'est-à-dire d'équations contenant des fonctions de différents types.

Solution graphique d'équations mixtes

Essayons maintenant de résoudre les problèmes suivants :

Bien sûr, nous pouvons tout apporter dénominateur commun, trouvez les racines de l'équation résultante, sans oublier de prendre en compte l'ODZ, mais encore une fois, nous essaierons de la résoudre graphiquement, comme nous l'avons fait dans tous les cas précédents.

Cette fois, construisons les 2 graphiques suivants :

1. - le graphique est une hyperbole
2. - le graphique est une ligne droite, que vous pouvez facilement construire en estimant les valeurs dans votre tête sans même recourir à une calculatrice.

Vous l'avez compris ? Maintenant, commencez à construire.

Voici ce que j'ai obtenu :

En regardant cette image, dites-moi quelles sont les racines de notre équation ?

C'est vrai, et. Voici la confirmation :

Essayez de brancher nos racines dans l’équation. Arrivé?

C'est exact! D'accord, résoudre graphiquement de telles équations est un plaisir !

Essayez de résoudre l'équation graphiquement vous-même :

Je vais vous donner un indice : déplacez une partie de l’équation vers la droite pour que les fonctions les plus simples à construire soient des deux côtés. Avez-vous compris l'indice ? Passer à l'action!

Voyons maintenant ce que vous avez :

Respectivement:

1. - parabole cubique.
2. - une ligne droite ordinaire.

Eh bien, construisons :

Comme vous l'avez écrit il y a longtemps, la racine de cette équation est - .

Ayant décidé cela un grand nombre de exemples, je suis sûr que vous avez réalisé avec quelle facilité et rapidité vous pouvez résoudre des équations graphiquement. Il est temps de comprendre comment résoudre les systèmes de cette manière.

Solution graphique des systèmes

La résolution graphique de systèmes n’est fondamentalement pas différente de la résolution graphique d’équations. Nous construirons également deux graphiques, et leurs points d'intersection seront les racines de ce système. Un graphique est une équation, le deuxième graphique est une autre équation. Tout est extrêmement simple !

Commençons par la chose la plus simple : résoudre des systèmes d'équations linéaires.

Résolution de systèmes d'équations linéaires

Disons que nous avons le système suivant :

Tout d'abord, transformons-le pour qu'à gauche il y ait tout ce qui est lié, et à droite - tout ce qui est lié. En d’autres termes, écrivons ces équations sous forme de fonction sous notre forme habituelle :

Maintenant, nous construisons simplement deux lignes droites. Quelle est la solution dans notre cas ? Droite! Le point de leur intersection ! Et ici, il faut être très, très prudent ! Pensez-y, pourquoi ? Laissez-moi vous donner un indice : nous avons affaire à un système : dans le système il y a les deux, et... Vous avez compris ?

C'est exact! Lors de la résolution d’un système, il faut regarder les deux coordonnées, et pas seulement comme lors de la résolution d’équations ! Un autre point important est de les écrire correctement et de ne pas confondre où se trouve le sens et où se trouve le sens ! L'avez-vous écrit ? Comparons maintenant tout dans l'ordre :

Et les réponses : et. Faites une vérification - remplacez les racines trouvées dans le système et assurez-vous que nous l'avons résolu correctement graphiquement ?

Résolution de systèmes d'équations non linéaires

Et si, au lieu d'une ligne droite, nous avions équation quadratique? C'est bon! Vous construisez simplement une parabole au lieu d’une ligne droite ! Ne crois pas? Essayez de résoudre le système suivant :

Quelle est notre prochaine étape ? C'est vrai, écrivez-le pour qu'il soit pratique pour nous de créer des graphiques :

Et maintenant, tout n’est qu’une question de petites choses : construisez-le rapidement et voici votre solution ! Nous construisons :

Les graphiques se sont-ils révélés identiques ? Marquez maintenant les solutions du système sur la figure et notez correctement les réponses identifiées !

J'ai tout fait ? Comparez avec mes notes :

Est-ce que tout va bien ? Bien joué! Vous êtes déjà en train de résoudre ce type de tâches comme un fou ! Si tel est le cas, donnons-nous un système plus compliqué :

Qu'est-ce que nous faisons? Droite! Nous écrivons le système de manière à ce qu'il soit pratique de construire :

Je vais vous donner un petit indice, car le système a l'air très compliqué ! Lorsque vous construisez des graphiques, construisez-les « plus » et surtout, ne soyez pas surpris par le nombre de points d'intersection.

Alors allons-y! Expiré ? Maintenant, commencez à construire !

Alors comment ? Beau? Combien de points d’intersection avez-vous obtenu ? J'ai trois! Comparons nos graphiques :

Aussi? Maintenant, notez soigneusement toutes les solutions de notre système :

Maintenant, regardez à nouveau le système :

Pouvez-vous imaginer que vous avez résolu ce problème en seulement 15 minutes ? D'accord, les mathématiques sont encore simples, surtout quand on regarde une expression, on n'a pas peur de se tromper, mais il suffit de la prendre et de la résoudre ! Tu es un grand garçon !

Solution graphique des inégalités

Solution graphique des inégalités linéaires

Après le dernier exemple, vous pouvez tout faire ! Maintenant, expirez – par rapport aux sections précédentes, celle-ci sera très, très facile !

Nous commencerons, comme d'habitude, par une solution graphique à une inégalité linéaire. Par exemple, celui-ci :

Commençons par effectuer les transformations les plus simples - ouvrons les parenthèses carrés pleins et donnez des termes similaires :

L'inégalité n'est pas stricte, donc elle n'est pas incluse dans l'intervalle, et la solution sera tous les points qui sont à droite, puisque plus, plus, et ainsi de suite :

Répondre:

C'est tout! Facilement? Résolvons une inégalité simple à deux variables :

Dessinons une fonction dans le système de coordonnées.

Avez-vous eu un tel horaire ? Examinons maintenant attentivement quelles inégalités nous avons là-bas ? Moins? Cela signifie que nous peignons tout ce qui se trouve à gauche de notre ligne droite. Et s'il y en avait plus ? C'est vrai, alors nous peindrions tout ce qui se trouve à droite de notre ligne droite. C'est simple.

Toutes les solutions à cette inégalité sont « ombragées » orange. Ça y est, l'inégalité à deux variables est résolue. Cela signifie que les coordonnées de n’importe quel point de la zone ombrée sont les solutions.

Solution graphique des inégalités quadratiques

Nous allons maintenant comprendre comment résoudre graphiquement les inégalités quadratiques.

Mais avant de passer aux choses sérieuses, passons en revue quelques éléments concernant la fonction quadratique.

De quoi est responsable le discriminant ? C'est vrai, pour la position du graphique par rapport à l'axe (si vous ne vous en souvenez pas, lisez absolument la théorie sur les fonctions quadratiques).

Dans tous les cas, voici un petit rappel pour vous :

Maintenant que nous avons rafraîchi tout le matériel dans notre mémoire, passons aux choses sérieuses : résolvez l'inégalité graphiquement.

Je vais vous dire tout de suite qu'il existe deux options pour le résoudre.

Option 1

On écrit notre parabole en fonction :

À l'aide des formules, nous déterminons les coordonnées du sommet de la parabole (exactement les mêmes que lors de la résolution d'équations quadratiques) :

As-tu compté ? Qu'est-ce que vous obtenez?

Prenons maintenant deux autres points différents et calculons-les :

Commençons par construire une branche de la parabole :

Nous réfléchissons symétriquement nos points sur une autre branche de la parabole :

Revenons maintenant à notre inégalité.

Nous avons besoin qu'il soit inférieur à zéro, respectivement :

Puisque dans notre inégalité le signe est strictement inférieur à, nous excluons les points finaux - « percer ».

Répondre:

Un long chemin, non ? Je vais maintenant vous montrer une version plus simple de la solution graphique en utilisant l'exemple de la même inégalité :

Option 2

Nous revenons à notre inégalité et marquons les intervalles dont nous avons besoin :

D'accord, c'est beaucoup plus rapide.

Écrivons maintenant la réponse :

Considérons une autre solution qui simplifie la partie algébrique, mais l'essentiel est de ne pas se tromper.

Multipliez les côtés gauche et droit par :

Essayez de résoudre vous-même l’inégalité quadratique suivante comme bon vous semble : .

Avez-vous réussi ?

Regardez comment mon graphique s'est avéré :

Répondre: .

Solution graphique des inégalités mixtes

Passons maintenant à des inégalités plus complexes !

Comment aimes-tu cela:

C'est effrayant, n'est-ce pas ? Honnêtement, je n'ai aucune idée de comment résoudre cela algébriquement... Mais ce n'est pas nécessaire. Graphiquement, cela n’a rien de compliqué ! Les yeux ont peur, mais les mains s'en sortent !

La première chose par laquelle nous commencerons est de construire deux graphiques :

Je n'écrirai pas de tableau pour chacun - je suis sûr que vous pouvez le faire parfaitement vous-même (wow, il y a tellement d'exemples à résoudre !).

L'as-tu peint ? Construisez maintenant deux graphiques.

Comparons nos dessins ?

Est-ce pareil chez vous ? Super! Maintenant, organisons les points d'intersection et utilisons la couleur pour déterminer quel graphique nous devrions avoir en théorie le plus grand. Regardez ce qui s'est passé à la fin :

Maintenant, regardons simplement où notre graphique sélectionné est plus haut que le graphique ? N'hésitez pas à prendre un crayon et à peindre dessus cette zone! Elle sera la solution à nos inégalités complexes !

À quels intervalles le long de l'axe nous trouvons-nous plus haut ? Droite, . C'est la réponse !

Eh bien, vous pouvez désormais gérer n’importe quelle équation, n’importe quel système, et encore plus n’importe quelle inégalité !

EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Algorithme de résolution d'équations à l'aide de graphiques de fonctions :

1. Exprimons-le à travers
2. Définissons le type de fonction
3. Construisons des graphiques des fonctions résultantes
4. Trouvons les points d'intersection des graphiques
5. Écrivons correctement la réponse (en tenant compte des signes ODZ et d'inégalité)
6. Vérifions la réponse (remplacez les racines dans l'équation ou le système)

Pour plus d'informations sur la construction de graphiques de fonctions, consultez la rubrique « ».

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