Dans cet article, nous commencerons à explorer nombres rationnels. Nous donnerons ici des définitions des nombres rationnels, donnerons les explications nécessaires et donnerons des exemples de nombres rationnels. Après cela, nous nous concentrerons sur la façon de déterminer si un nombre donné est rationnel ou non.

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Définition et exemples de nombres rationnels

Dans cette section, nous donnerons plusieurs définitions des nombres rationnels. Malgré les différences de formulation, toutes ces définitions ont la même signification : les nombres rationnels unissent les entiers et les fractions, tout comme les nombres entiers unissent les nombres naturels, leurs opposés et le nombre zéro. En d’autres termes, les nombres rationnels généralisent les nombres entiers et fractionnaires.

Commençons avec définitions des nombres rationnels, ce qui est perçu le plus naturellement.

De la définition énoncée, il s'ensuit qu'un nombre rationnel est :

• Tout nombre naturel n. En effet, vous pouvez représenter n’importe quel nombre naturel sous la forme d’une fraction ordinaire, par exemple 3=3/1.
• Tout entier, en particulier le nombre zéro. En fait, tout nombre entier peut être écrit sous la forme d’une fraction positive, d’une fraction négative ou de zéro. Par exemple, 26=26/1, .
• Toute fraction commune (positive ou négative). Ceci est directement confirmé par la définition donnée des nombres rationnels.
• N’importe quel nombre mixte. En effet, on peut toujours représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre. Par exemple, et.
• Toute fraction décimale finie ou fraction périodique infinie. Cela est dû au fait que les fractions décimales indiquées sont converties en fractions ordinaires. Par exemple, , et 0,(3)=1/3.

Il est également clair que toute fraction décimale non périodique infinie n’est PAS un nombre rationnel, puisqu’elle ne peut pas être représentée comme une fraction commune.

Maintenant, nous pouvons facilement donner exemples de nombres rationnels. Les nombres 4, 903, 100,321 sont des nombres rationnels car ce sont des nombres naturels. Les entiers 58, −72, 0, −833 333 333 sont également des exemples de nombres rationnels. Les fractions communes 4/9, 99/3 sont également des exemples de nombres rationnels. Les nombres rationnels sont aussi des nombres.

D’après les exemples ci-dessus, il est clair qu’il existe des nombres rationnels positifs et négatifs, et que le nombre rationnel zéro n’est ni positif ni négatif.

La définition ci-dessus des nombres rationnels peut être formulée sous une forme plus concise.

Définition.

Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction z/n, où z est un nombre entier et n est un nombre naturel.

Montrons que cette définition des nombres rationnels est équivalente à la définition précédente. Nous savons que nous pouvons considérer la ligne d'une fraction comme un signe de division, puis des propriétés de division des nombres entiers et des règles de division des nombres entiers, la validité des égalités suivantes découle et. Voilà donc la preuve.

Donnons des exemples de nombres rationnels basés sur cette définition. Les nombres −5, 0, 3 et sont des nombres rationnels, puisqu'ils peuvent être écrits sous forme de fractions avec un numérateur entier et un dénominateur naturel de la forme et, respectivement.

La définition des nombres rationnels peut être donnée dans la formulation suivante.

Définition.

Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction décimale périodique finie ou infinie.

Cette définition est également équivalente à la première définition, puisque toute fraction ordinaire correspond à une fraction décimale finie ou périodique et vice versa, et tout nombre entier peut être associé à une fraction décimale avec des zéros après la virgule.

Par exemple, les nombres 5, 0, −13 sont des exemples de nombres rationnels car ils peuvent être écrits sous la forme des fractions décimales suivantes 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 et −7, (18).

Terminons la théorie de ce point par les affirmations suivantes :

• les nombres entiers et les fractions (positives et négatives) constituent l'ensemble des nombres rationnels ;
• chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction avec un numérateur entier et un dénominateur naturel, et chacune de ces fractions représente un certain nombre rationnel ;
• chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction décimale périodique finie ou infinie, et chacune de ces fractions représente un nombre rationnel.

Ce chiffre est-il rationnel ?

Dans le paragraphe précédent, nous avons découvert que tout nombre naturel, tout entier, toute fraction ordinaire, tout nombre fractionnaire, toute fraction décimale finie, ainsi que toute fraction décimale périodique est un nombre rationnel. Cette connaissance nous permet de « reconnaître » des nombres rationnels à partir d’un ensemble de nombres écrits.

Mais que se passe-t-il si le nombre est donné sous la forme de certains , ou comme , etc., comment répondre à la question de savoir si ce nombre est rationnel ? Dans de nombreux cas, il est très difficile de répondre. Indiquons quelques pistes de réflexion.

Si un nombre est donné sous la forme d'une expression numérique qui contient uniquement des nombres rationnels et des signes arithmétiques (+, −, · et :), alors la valeur de cette expression est un nombre rationnel. Cela découle de la façon dont les opérations avec des nombres rationnels sont définies. Par exemple, après avoir effectué toutes les opérations dans l’expression, nous obtenons le nombre rationnel 18.

Parfois, après avoir simplifié les expressions et plus encore type complexe, il devient possible de déterminer si un nombre donné est rationnel.

Allons plus loin. Le nombre 2 est un nombre rationnel, puisque tout nombre naturel est rationnel. Et le numéro ? Est-ce rationnel ? Il s'avère que non, ce n'est pas un nombre rationnel, c'est un nombre irrationnel (la preuve de ce fait par contradiction est donnée dans le manuel d'algèbre de 8e année, listé ci-dessous dans la liste des références). Il a également été prouvé que la racine carrée d'un nombre naturel n'est un nombre rationnel que dans les cas où sous la racine se trouve un nombre qui est le carré parfait d'un nombre naturel. Par exemple, et sont des nombres rationnels, puisque 81 = 9 2 et 1 024 = 32 2, et les nombres et ne sont pas rationnels, puisque les nombres 7 et 199 ne sont pas des carrés parfaits de nombres naturels.

Le nombre est-il rationnel ou non ? Dans ce cas, il est facile de remarquer que ce nombre est donc rationnel. Le nombre est-il rationnel ? Il a été prouvé que la kième racine d'un entier est un nombre rationnel seulement si le nombre sous le signe racine est la kième puissance d'un entier. Ce n’est donc pas un nombre rationnel, puisqu’il n’existe pas d’entier dont la puissance cinquième est 121.

La méthode par contradiction permet de prouver que les logarithmes de certains nombres ne sont pas des nombres rationnels pour une raison quelconque. Par exemple, prouvons que - n'est pas un nombre rationnel.

Supposons le contraire, c'est-à-dire disons qu'il s'agit d'un nombre rationnel et qu'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction ordinaire m/n. On donne alors les égalités suivantes : . La dernière égalité est impossible, puisque du côté gauche il y a Pas nombre pair 5 n, et sur le côté droit se trouve le nombre pair 2 m. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte et ne constitue donc pas un nombre rationnel.

En conclusion, il convient particulièrement de noter que lors de la détermination de la rationalité ou de l'irrationalité des nombres, il convient de s'abstenir de tirer des conclusions soudaines.

Par exemple, il ne faut pas affirmer immédiatement que le produit des nombres irrationnels π et e est un nombre irrationnel ; cela est « apparemment évident », mais non prouvé. Cela soulève la question : « Pourquoi un produit serait-il un nombre rationnel ? » Et pourquoi pas, car vous pouvez donner un exemple de nombres irrationnels dont le produit donne un nombre rationnel : .

On ne sait pas non plus si les nombres et bien d’autres nombres sont rationnels ou non. Par exemple, il existe des nombres irrationnels dont le pouvoir irrationnel est un nombre rationnel. A titre d'illustration, nous présentons un degré de la forme , la base de ce degré et l'exposant ne sont pas des nombres rationnels, mais , et 3 est un nombre rationnel.

Bibliographie.

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• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.

Conférence: Fractions, pourcentages, nombres rationnels

Nombres rationnels sont ceux qui peuvent être exprimés sous forme de fraction commune.

Alors, que sont les fractions ?

Fraction- un nombre qui montre un certain nombre d'actions d'un tout, c'est-à-dire d'unités.

Les fractions peuvent être décimales ou ordinaires. En tant qu'opération mathématique, fraction- ce n'est rien d'autre qu'une division. Toute fraction est constituée de numérateur(divisible), qui est en haut, dénominateur(diviseur), qui se trouve en dessous, et la ligne de fraction, qui remplit directement la fonction de division. Le dénominateur d’une fraction indique en combien de parties égales un tout est divisé. Le numérateur indique combien de parties égales ont été retirées du tout.

Une fraction peut être mixte, c'est-à-dire qu'elle peut avoir à la fois une partie fractionnaire et une partie entière.

Par exemple, 1; 5,03.

Une fraction commune peut avoir un numérateur et un dénominateur arbitraires.

Par exemple, 1/5, 4/7, 7/11, etc.

Une fraction décimale a toujours les nombres 10, 100, 1000, 10000, etc. dans son dénominateur.

Par exemple, 1/10 = 0,1 ; 6/100 = 0,06, etc.

Vous pouvez effectuer les mêmes opérations mathématiques sur les fractions que sur les nombres entiers :

1. Addition et soustraction de fractions

Pour ces fractions, le plus petit nombre divisible par l'un et l'autre dénominateur est 30.

Pour amener les deux fractions à un dénominateur de 30, vous devez trouver un facteur supplémentaire. Pour obtenir le dénominateur de 30 dans la première fraction, il faut le multiplier par 6. Pour obtenir le dénominateur de 30 dans la deuxième fraction, il faut le multiplier par 5. Pour s'assurer que la valeur de la fraction ne change pas, on multiplie à la fois le numérateur et le dénominateur par ces nombres. En conséquence, nous obtenons :

Pour ajouter ou soustraire des nombres ayant les mêmes dénominateurs, laissez le dénominateur à 30 et ajoutez les numérateurs :

2. Multiplier des fractions

Lorsque vous multipliez deux fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs, puis multiplier les dénominateurs et écrire le résultat :

3. Division des fractions

Lorsque vous divisez deux fractions, vous devez retourner la deuxième fraction et effectuer l'opération de multiplication :

4. Réduire les fractions

Si le numérateur et le dénominateur sont des multiples d'un nombre identique, alors une telle fraction peut être réduite en divisant le numérateur et le dénominateur par le nombre donné.

Dans la fraction originale, le numérateur et le dénominateur sont divisibles par le nombre 3, donc la fraction entière peut être réduite de ce nombre.

5. Comparer des fractions

Lorsque vous comparez des fractions, vous devez utiliser plusieurs règles :

- Si une comparaison est faite entre des fractions qui ont le même dénominateur mais un numérateur différent, alors la fraction avec le plus grand numérateur sera plus grande. Autrement dit, cette comparaison se résume à une comparaison de numérateurs.

- Si les fractions ont les mêmes numérateurs mais des dénominateurs différents, alors les dénominateurs doivent être comparés. La fraction dont le dénominateur est le plus petit sera la plus grande.

- Si les fractions ont des numérateurs et des dénominateurs différents, elles doivent alors être réduites à un dénominateur commun.

Le dénominateur commun est 42, donc le facteur supplémentaire pour la première fraction est 7 et le facteur supplémentaire pour la deuxième fraction est 6. On obtient :

Maintenant, la comparaison se résume à la première règle. La fraction avec le plus grand dénominateur est plus grande :

Intérêt

Tout nombre qui vaut un centième d'un tout s'appelle un pourcentage.

1% = 1/100 = 0,01.

Pour convertir une fraction en pourcentage, il faut la convertir en décimale puis la multiplier par 100 %.

Par exemple,

Les pourcentages sont utilisés dans trois cas principaux :

1. Si vous avez besoin de trouver un certain pourcentage d'un nombre. Imaginez que vous recevez chaque mois 10 % du salaire de vos parents. Cependant, si vous ne connaissez pas les mathématiques, vous ne pourrez pas calculer à quoi correspondra votre revenu mensuel. C’est donc assez simple à faire.

Imaginons que vos parents reçoivent 100 000 roubles chaque mois. Pour trouver le montant que vous devriez recevoir mensuellement, vous devez diviser le bénéfice de vos parents par 100 et multiplier par 10 %, ce que vous devriez recevoir :

100 000 : 100 * 10 = 10 000 (roubles).

2. Si vous avez besoin de savoir combien vos parents reçoivent mensuellement, si vous savez qu'ils vous donnent 6 000 roubles, et que cela représente 3%, alors cette action avec intérêts s'appelle trouver le nombre par son pourcentage. Pour ce faire, vous devez multiplier le montant obtenu par 100 et diviser par votre pourcentage :

6000 * 100 : 3 = 200 000 (roubles).

3. Si vous buvez 1 litre d'eau pendant la journée et que vous devez, par exemple, boire 2 litres d'eau, vous pouvez facilement connaître le pourcentage d'eau que vous buvez. Pour ce faire, divisez 1 litre par 2 litres et multipliez par 100 %.

1: 2 * 100% = 50%.

Une fraction commune est un nombre de la forme dont le type est entiers, par exemple, Le nombre s'appelle le numérateur d'une fraction, - le dénominateur. En particulier, peut-être que dans ce cas la fraction a la forme, mais le plus souvent elle est écrite simplement. Cela signifie que tout nombre naturel peut être représenté comme une fraction ordinaire avec un dénominateur de 1. Notation - une autre version de la notation

Les fractions communes sont divisées en fractions appropriées et impropres

fractions Une fraction est dite propre si son numérateur est inférieur à son dénominateur, et impropre si son numérateur est supérieur ou égal au dénominateur.

Chaque fraction impropre peut être représentée comme la somme d'un nombre naturel et fraction propre(ou sous la forme d'un nombre naturel, si la fraction est telle qu'elle est un multiple de par ex.

Exemple. Représenter une fraction impropre comme la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre : a)

Solution a)

Il est d'usage d'écrire la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre sans le signe d'addition, c'est-à-dire au lieu d'écrire au lieu d'écrire, un nombre écrit sous cette forme est appelé nombre fractionnaire. Il se compose de deux parties : entière et fractionnaire. Donc, pour le numéro 3 - partie entière est égal à 3, et la fraction - Toute fraction impropre peut s'écrire sous la forme nombre mixte(ou comme nombre naturel). L’inverse est également vrai : tout nombre mixte ou naturel peut s’écrire sous la forme d’une fraction impropre. Par exemple, .

Transcription

2 VAGUE PRINCIPALE 2013 CENTRE URAL SIBÉRIE EST : fractions pourcentages nombres rationnels Théorie : Ensemble de nombres rationnels 1 1 ~ HOD ge N Z Propriété de base 0 0. La proportion est l'égalité de deux rapports. Propriété : conséquences Le schéma est direct dépendance proportionnelle. Propriétés de base 1. Ordre : 0 ; 0 ; Opération d'addition : ; HOK 3. Opération de multiplication et de division : 4. Transitivité de la relation d'ordre : 5. Commutativité : 6. Associativité : 7. Distributivité : 8. Présence de zéro : Présence de nombres opposés : Présence d'un : Présence nombres réciproques: R R. 12. Liaison de la relation d'ordre avec l'opération d'addition. Le même nombre rationnel peut être ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle. 2B1

3 13. Connexion de la relation d'ordre avec l'opération de multiplication. Les côtés gauche et droit d'une inégalité rationnelle peuvent être multipliés par le même nombre rationnel positif.Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel, vous pouvez prendre tellement d’unités que leur somme dépasse a. Nk Inégalités rationnelles d'un signe peut être ajouté terme par terme. Toute fraction rationnelle peut être convertie en sa fraction décimale équivalente en divisant le numérateur par le dénominateur. 1 reste peut s'avérer égal à zéro et le quotient sera exprimé comme une fraction décimale finie, par exemple 3:4 = zéro dans le reste ne fonctionnera jamais puisque les restes seront répétés à l'infini et le quotient sera exprimé comme une fraction décimale périodique infinie. Par exemple 2:3=0666 =06 7:13= = :15=21333 = ? Intérêt. La centième partie d’un nombre s’appelle son pourcentage. Trois types de problèmes impliquant des pourcentages A 100% 1. Trouver des pourcentages de numéro donné Un p% x. x p% 100% Pour trouver p% du nombre « A » vous devez trouver 1% de « A » A : 100 % et multiplier par p%. 2. Trouver un nombre à partir d'un autre nombre et sa valeur en pourcentage du nombre souhaité. x 100 % 100 % x. p% p% Pour trouver un nombre pour une valeur donnée « a » son p% vous devez trouver 1% du nombre souhaité en divisant la valeur donnée « a » par p% et multiplier le résultat par 100 % A 100 % 3 .Trouver le pourcentage de nombres. 100% x% x% A Vous devez trouver le rapport entre le nombre « a » et le nombre « A » et multiplier par 100 %. 3

4 CENTRE Option 1;8. Un comprimé du médicament pèse 70 mg et contient 4% substance active. Le médecin prescrit-il 105 mg de substance active à un enfant de moins de 6 mois et pesant 8 kg par jour ? Option 2. Un comprimé du médicament pèse 20 mg et contient 5 % de la substance active. Le médecin prescrit-il 04 mg de substance active à un enfant de moins de 6 mois pour chaque enfant âgé de trois mois et pesant 5 kg par jour ? Option 3. Un comprimé du médicament pèse 20 mg et contient 5 % de la substance active. Le médecin prescrit-il 1 mg de substance active à un enfant de moins de 6 mois et pesant 7 kg par jour ? Option 4 ; 5. Un comprimé du médicament pèse 20 mg et contient 9% de la substance active. Le médecin prescrit-il 135 mg de substance active à un enfant de moins de 6 mois et pesant 8 kg pour chaque enfant âgé de quatre mois et pesant 8 kg par jour ? Option 6. Un comprimé du médicament pèse 30 mg et contient 5 % de la substance active. Le médecin prescrit-il 075 mg de substance active à un enfant de moins de 6 mois tous les 5 mois et pesant 8 kg par jour ? Option 7. Un comprimé du médicament pèse 40 mg et contient 5 % de la substance active. Le médecin prescrit-il 125 mg de substance active à un enfant de moins de 6 mois et pesant 8 kg par jour pour chaque enfant âgé de trois mois et pesant 8 kg ? Notez que les huit options sont constituées de six problèmes avec des données numériques différentes mais le même contenu. Information nécessaire pour le calcul, ils l'ont noté dans le tableau : Poids d'un Pourcentage Options Recette mg Poids de l'enfant kg comprimés mg de substance active % 1 et et Solution de l'option 1. Idée : Le pourcentage de substance active dans un comprimé est connue, ce qui signifie que vous pouvez trouver la quantité correspondante de la substance en mg. Connaissant le poids de l’enfant et le dosage de la substance active pour 1 kg de poids, vous pouvez connaître la dose quotidienne de la substance active. Ensuite, le nombre de comprimés est le quotient de la norme quotidienne de substance active divisé par la quantité de substance active dans un comprimé. Actions : 1. Déterminez la quantité de substance active dans un comprimé. Faisons une proportion : prenons le poids d’un comprimé de 70 mg comme 100 % et 4 % de ce poids sera x mg la quantité de substance active dans un comprimé. Écrivons schématiquement cette proportion. De là on retrouve le terme inconnu de la proportion. Pour ce faire, il faut multiplier x 4 % les termes connus d'une diagonale et diviser par le terme connu de l'autre diagonale : 70 4 % x 28 mg. 100% 4

5 2. Déterminer la quantité de substance active prescrite par le médecin selon la prescription, en tenant compte du poids de l’enfant. La dose de la substance doit être multipliée par le poids de l’enfant : mg. Cela signifie que l'enfant doit prendre 84 mg de substance active par jour. Déterminez le nombre de comprimés contenant 84 mg de substance active. 3 onglets. 28 Réponse 3. D'autres options sont résolues de la même manière. DANS L'OURAL Option 1;5. Dans l'appartement où habite Anastasia, un débitmètre est installé eau froide comptoir. Le 1er septembre, le compteur indiquait une consommation de 122 mètres cubes d'eau et le 1er octobre, 142 mètres cubes. Quel montant Anastasia devrait-elle payer pour l'eau froide en septembre si le prix d'un mètre cube d'eau froide est de 9 roubles 90 kopecks ? Donnez votre réponse en roubles. Option 2. Dans l'appartement où habite Maxim, un compteur d'eau froide est installé. Le 1er février, le compteur indiquait une consommation de 129 mètres cubes d'eau et le 1er mars, 140 mètres cubes. Quel montant Maxim devrait-il payer pour l'eau froide en février si le prix d'un mètre cube d'eau froide est de 10 roubles, 60 kopecks ? Donnez votre réponse en roubles. Option 3. Dans l'appartement où habite Alexey, un compteur d'eau froide est installé. Le 1er juin, le compteur affichait une consommation de 151 mètres cubes d'eau et le 1er juillet, 165 mètres cubes. Quel montant Alexeï devrait-il payer pour l'eau froide en mars si le prix d'un mètre cube d'eau froide est de 20 roubles, 80 kopecks ? Donnez votre réponse en roubles. Option 4. Dans l'appartement où habite Asya, un débitmètre est installé eau chaude comptoir. Le 1er mai, le compteur indiquait une consommation de 84 mètres cubes d'eau et le 1er juin 965 mètres cubes. Quel montant Anastasia devrait-elle payer pour l'eau chaude en janvier si le prix d'un mètre cube d'eau chaude est de 72 roubles, 60 kopecks ? Donnez votre réponse en roubles. Option 6 ; 8. Dans l’appartement où habite Anfisa, un compteur d’eau chaude est installé. Le 1er septembre, le compteur indiquait une consommation de 239 mètres cubes d'eau et le 1er octobre, 349 mètres cubes. Quel montant Anfisa devrait-elle payer pour l'eau chaude en septembre si le prix d'un mètre cube d'eau chaude est de 78 roubles, 60 kopecks ? Donnez votre réponse en roubles. Option 7. Dans l'appartement où habite Alla, un compteur d'eau chaude est installé. Le 1er juillet, le compteur indiquait une consommation de 772 mètres cubes d'eau et le 1er août 797 mètres cubes. Quel montant Alla devrait-il payer pour l'eau chaude en juillet si le prix d'un mètre cube d'eau chaude est de 144 roubles, 80 kopecks ? Donnez votre réponse en roubles. La région de l'Oural a résolu le problème du paiement de la consommation d'eau à l'aide d'un compteur. Les données numériques pour le calcul des options ont été saisies dans le tableau : Vari Relevés du compteur au début Relevés du compteur au début Prix 1 mètre cube ante du mois civil mètre cube du mois civil suivant mètre cube 1 et rouble 90 kopecks rouble 60 kopecks rouble 80 kopecks rouble 60 kopecks 6 et rouble 60 kopecks rouble 80 kopecks Solution à l'option 1. Idée : Les relevés des compteurs sont connus au début du mois civil en mètres cubes et au début du mois civil suivant en mètres cubes. Cela signifie que vous pouvez connaître la consommation d'eau mensuelle à payer. Connaissant le nombre de mètres cubes d'eau consommés et le prix d'un mètre cube d'eau, vous pouvez connaître le montant que vous devez payer pour cette eau. 5

6 Actions : Déterminer la consommation d'eau pour le mois Déterminer le montant à payer pour l'eau consommée pour le mois p Réponse 198. Les options restantes sont résolues de la même manière. VERS LA SIBÉRIE Option 1. 1 kilowattheure d'électricité coûte 1 rouble 40 kopecks. Le compteur d'électricité indiquait les kilowattheures le 1er juin et affichait les kilowattheures le 1er juillet. Combien devez-vous payer pour l’électricité pour juin ? Donnez votre réponse en roubles. Option 2. 1 kilowattheure d'électricité coûte 1 rouble 20 kopecks. Le 1er novembre, le compteur d'électricité indiquait 669 kilowattheures et le 1er décembre, 846 kilowattheures. Combien dois-je payer pour l’électricité pour novembre ? Donnez votre réponse en roubles. Option 3. 1 kilowattheure d'électricité coûte 2 roubles 40 kopecks. Le compteur d'électricité indiquait les kilowattheures le 1er octobre et les kilowattheures le 1er novembre. Combien dois-je payer pour l’électricité en octobre ? Donnez votre réponse en roubles. Option 4 ; 5. 1 kilowattheure d'électricité coûte 2 roubles 50 kopecks. Le 1er janvier, le compteur d'électricité indiquait des kilowattheures et le 1er février, il indiquait des kilowattheures. Combien dois-je payer pour l’électricité en janvier ? Donnez votre réponse en roubles. Option 6. 1 kilowattheure d'électricité coûte 1 rouble 30 kopecks. Le compteur d'électricité indiquait les kilowattheures le 1er septembre et affichait les kilowattheures le 1er octobre. Combien dois-je payer pour l’électricité pour septembre ? Donnez votre réponse en roubles. Option 7 ; 8. 1 kilowattheure d'électricité coûte 1 rouble 70 kopecks. Le 1er avril, le compteur d'électricité indiquait des kilowattheures et le 1er mai, il indiquait des kilowattheures. Combien dois-je payer pour l’électricité pour avril ? Donnez votre réponse en roubles. La région de SIBÉRIE a résolu le problème du paiement de la consommation d'électricité au compteur. Les données numériques pour le calcul selon les options ont été saisies dans le tableau : Options Relevés des compteurs au début du mois civil kWh Relevés des compteurs au début du mois civil suivant kWh Coût de 1 kilowattheure rouble 40 kopecks rouble 20 kopecks rouble 40 kopecks 4 et rouble 50 kopecks rouble 30 7 kopecks et 70 kopecks rouble Solution à l'option 1. Idée : Les relevés du compteur au début du mois civil du kilowattheure et au début du mois civil du kilowattheure suivant sont connus. Cela vous permet de connaître la consommation électrique mensuelle à payer. Connaissant le nombre de kilowattheures d'électricité consommés et le prix d'un kilowattheure, vous pouvez connaître le montant qu'il faut payer pour cette électricité. Actions : Déterminer la consommation d'électricité pour le mois Déterminer le montant à payer pour l'électricité consommée pour le mois. 6

7 p Réponse Les options restantes sont résolues de la même manière. À L'EST Option1;5;8. Dans l'appartement où vit Ekaterina, un compteur d'eau froide est installé. Le 1er septembre, le compteur indiquait une consommation de 189 mètres cubes d'eau et le 1er octobre 204 mètres cubes. Quel montant Ekaterina devrait-elle payer pour l'eau froide en septembre si le prix d'un mètre cube d'eau froide est de 16 roubles 90 kopecks ? Donnez votre réponse en roubles. Option 2. Dans l'appartement où habite Valéry, un compteur d'eau froide est installé. Le 1er mars, le compteur indiquait une consommation de 182 mètres cubes d'eau et le 1er avril, 192 mètres cubes. Quel montant Valéry devrait-il payer pour l'eau froide en mars si le prix d'un mètre cube d'eau froide est de 23 roubles, 10 kopecks ? Donnez votre réponse en roubles. Option 3. Dans l'appartement où habite Marina, un compteur d'eau froide est installé. Le 1er juillet, le compteur indiquait une consommation de 120 mètres cubes d'eau et le 1er août, 131 mètres cubes. Quel montant Marina doit-elle payer pour l'eau froide en juillet si le prix d'un mètre cube d'eau froide est de 20 roubles 60 kopecks ? Donnez votre réponse en roubles. Option 4. Dans l'appartement où habite Egor, un compteur d'eau chaude est installé. Le 1er novembre, le compteur indiquait une consommation de 879 mètres cubes d'eau et le 1er décembre 969 mètres cubes. Quel montant Yegor devrait-il payer pour l'eau chaude en novembre si le prix d'un mètre cube d'eau chaude est de 108 roubles, 20 kopecks ? Donnez votre réponse en roubles. Option 6. Dans l'appartement où vit Mikhail, un compteur d'eau chaude est installé. Le 1er mars, le compteur indiquait une consommation de 708 mètres cubes d'eau et le 1er avril, 828 mètres cubes. Quel montant Mikhail devrait-il payer pour l'eau chaude en mars si le prix d'un mètre cube d'eau chaude est de 72 roubles, 20 kopecks ? Donnez votre réponse en roubles. Option 7. Dans l'appartement où habite Anastasia, un compteur d'eau chaude est installé. Le 1er janvier, le compteur indiquait une consommation de 894 mètres cubes d'eau et le 1er février 919 mètres cubes. Quel montant Anastasia devrait-elle payer pour l'eau chaude en janvier si le prix d'un mètre cube d'eau chaude est de 103 roubles, 60 kopecks ? Donnez votre réponse en roubles. Les tâches de la région VOSTOK coïncidaient avec celles de la région URAL avec une différence dans les données numériques. Options Relevés de compteur au début d'un mois civil, mètres cubes Relevés de compteur au début du mois civil suivant, mètres cubes Prix 1 mètre cube 1 et 5 et rouble 90 kopecks rouble 10 kopecks rouble 60 kopecks rouble 20 kopecks rouble 20 kopecks rouble 60 kopecks Par conséquent, l'idée de la solution et les actions seront similaires à celles évoquées précédemment pour la région de l'Oural. DANS

Section Opérations avec des fractions Section Conversion d'une fraction décimale en fraction ordinaire et vice versa Section Pourcentages (pourcentage d'un nombre, pourcentage de nombres, variation en pourcentage) Section Dépôts, simples et complexes

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ALGÈBRE : Nombres

2.2. Nombres entiers et rationnels. Intérêt

Fractions ordinaires.

Fraction commune

est un nombre de la forme , où m et n sont des nombres naturels. Le nombre m s'appelle numérateur de la fraction, n- dénominateur. Si n = 1, alors la fraction a la forme , mais le plus souvent ils écrivent simplement m, c'est-à-dire Tout nombre naturel peut être représenté comme une fraction commune avec un dénominateur de 1.

La fraction s'appelle correct, si son numérateur est inférieur à son dénominateur, et faux si son numérateur est supérieur ou égal au dénominateur. Chaque fraction impropre peut être représentée comme la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre (ou comme un nombre naturel si m est un multiple de n).

Il est d'usage d'écrire la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre sans le signe d'addition, c'est-à-dire au lieu d'écrire . Un nombre écrit sous cette forme s'appelle nombre mixte. Il se compose d’une partie entière et d’une partie fractionnaire.

Égalité des fractions. Réduire les fractions.

Deux fractions sont comptées égal si ad = bc. De la définition de l'égalité, il résulte que

= , parce que . La propriété principale d'une fraction :Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés ou divisés par le même nombre naturel, vous obtenez une fraction égale à celle donnée. En utilisant la propriété de base d'une fraction, il est parfois possible de remplacer une fraction donnée par une autre dont le numérateur et le dénominateur sont inférieurs à la donnée. Ce remplacement s'appelle réduction fractions Si le numérateur et le dénominateur sont mutuels nombres premiers, alors la réduction n'est pas possible et une telle fraction est appelée irréductible.

Opérations arithmétiques sur les fractions ordinaires.

Soit deux fractions données et

, . Vous pouvez remplacer ces fractions par d'autres qui leur sont égales, de telle sorte que les fractions résultantes auront mêmes dénominateurs. Cette transformation est appelée amener les fractions à un dénominateur commun. Habituellement, ils essaient de réduire les fractions à plus petit dénominateur commun, qui est égal à N.O.K.().

1.Ajout les fractions ordinaires se font comme ceci :

UN) si les dénominateurs sont les mêmes, alors les numérateurs s'additionnent et laissent le même dénominateur :;

2. Soustraction les fractions ordinaires s'effectuent comme suit :

UN) si les dénominateurs sont les mêmes, alors

b) si les dénominateurs des fractions sont différents, alors les fractions sont d'abord réduites au plus petit dénominateur commun, puis la règle a) est appliquée.

3. Multiplicationles fractions ordinaires s'effectuent comme suit :

4. La division des fractions ordinaires s'effectue comme suit :

.

Fractions décimales. Conversion d'une fraction décimale en fraction commune.

Un nombre décimal est une autre forme d'écriture d'une fraction avec un dénominateur. Par exemple, . Si le dénominateur d'une fraction est factorisé uniquement par 2 et 5, alors la fraction peut être écrite sous forme décimale ; Si la fraction est irréductible et que la décomposition de son dénominateur en facteurs premiers inclut d'autres facteurs premiers, alors cette fraction ne peut pas être écrite sous forme décimale.

Dans une fraction décimale, vous pouvez ajouter et supprimer des zéros à droite - vous obtenez une fraction égale.

Une fraction qui a un nombre infini de décimales est appelée fraction décimale infinie.

Théorème 10.

Toute fraction commune peut être représentée comme une fraction décimale infinie.

Un groupe de chiffres se répétant séquentiellement (minimum) après la virgule décimale dans la notation décimale d'un nombre est appelé point, et une fraction décimale infinie ayant un point est appelée périodique.

Supposons qu'il soit donné par une fraction décimale périodique : , où - un numéro à m chiffres, puis

, YU
YU - formule pour convertir une fraction décimale périodique en fraction ordinaire.

Intérêt.

Parmi les fractions décimales, la fraction la plus couramment utilisée est 0,01, appelée pourcentage et est noté 1

%. Donc 1% = 0,01 ; 25 % = 0,25 ; 450% = 4,5, etc.

EXEMPLE Un ouvrier devait produire 60 pièces par quart de travail. À la fin de la journée de travail, il s'est avéré qu'il avait accompli 125

% Tâches. Combien de pièces l’ouvrier a-t-il fabriquées ?

Solution : 1) 125

% = 1,25

2)60H 1,25 = 75.

RÉPONSE : 75 pièces.

Ligne de coordonnées.

Prenons une ligne droite l, marquons dessus un point O, que nous prendrons comme origine, fixons la direction et le segment unitaire. Dans ce cas, ils disent que étant donné ligne de coordonnées. Chaque nombre naturel ou fraction correspond à un point sur la droite l. Si un point M d'une droite l correspond à un certain nombre r, alors ce nombre est appelé coordonner point M et est noté M(r). Les nombres a et -a sont appelés opposé. Les nombres qui correspondent aux points situés sur une ligne de coordonnées dans une direction donnée sont appelés positif; les nombres qui correspondent à des points situés sur une ligne de coordonnées dans la direction opposée à une donnée sont appelés négatif. Le nombre 0 n’est considéré ni positif ni négatif. Le point O, correspondant au chiffre 0, sépare les points de coordonnées positives des points de coordonnées négatives sur la ligne de coordonnées.

Une direction donnée sur une ligne de coordonnées est appelée positif(généralement, il va vers la droite), et la direction opposée à celle donnée est négatif

.

Nombres entiers et rationnels.

Les nombres naturels 1, 2, 3, ... sont aussi appelés entiers positifs. Les nombres -1, -2, -3, ..., opposés aux nombres naturels, sont appelés entiers négatifs. Le nombre 0 est également un nombre entier. Nombres entiers- les nombres naturels, leurs opposés et 0.

Les nombres entiers et les fractions (positives et négatives) constituent l'ensemble nombres rationnels.

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