Formules de racines. Propriétés des racines carrées.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Dans la leçon précédente, nous avons découvert ce qu’est une racine carrée. Il est temps de découvrir lesquels existent formules pour les racines que sont propriétés des racines, et que peut-on faire avec tout cela.

Formules de racines, propriétés des racines et règles de travail avec les racines- c'est essentiellement la même chose. Formules pour racines carréesétonnamment peu. Ce qui me fait certainement plaisir ! Ou plutôt, vous pouvez écrire de nombreuses formules différentes, mais pour un travail pratique et confiant avec les racines, trois seulement suffisent. Tout le reste découle de ces trois-là. Bien que beaucoup de gens soient confus dans les trois formules de racines, oui...

Commençons par le plus simple. Elle est là:

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Il est temps de faire le tri méthodes d'extraction de racines. Ils reposent sur les propriétés des racines, en particulier sur l'égalité, ce qui est vrai pour tout Pas nombre négatif b.

Ci-dessous, nous examinerons les principales méthodes d'extraction des racines une par une.

Commençons par le cas le plus simple : extraire des racines de nombres naturels à l'aide d'un tableau de carrés, d'un tableau de cubes, etc.

Si des tableaux de carrés, cubes, etc. Si vous ne l’avez pas sous la main, il est logique d’utiliser la méthode d’extraction de la racine, qui consiste à décomposer le nombre radical en facteurs premiers.

Il convient de mentionner spécialement ce qui est possible pour les racines avec des exposants impairs.

Enfin, considérons une méthode qui nous permet de trouver séquentiellement les chiffres de la valeur racine.

Commençons.

Utiliser un tableau de carrés, un tableau de cubes, etc.

Dans les cas les plus simples, des tableaux de carrés, de cubes, etc. permettent d'extraire des racines. Quels sont ces tableaux ?

Le tableau des carrés d'entiers de 0 à 99 inclus (illustré ci-dessous) se compose de deux zones. La première zone du tableau est située sur fond gris ; en sélectionnant une ligne spécifique et une colonne spécifique, elle permet de composer un nombre de 0 à 99. Par exemple, sélectionnons une ligne de 8 dizaines et une colonne de 3 unités, avec cela nous fixons le nombre 83. La deuxième zone occupe le reste du tableau. Chaque cellule est située à l'intersection d'une certaine ligne et d'une certaine colonne et contient le carré du nombre correspondant de 0 à 99. À l’intersection de la ligne de 8 dizaines et de la colonne 3 de unités, il y a une cellule avec le nombre 6 889, qui est le carré du nombre 83.

Les tables de cubes, les tables de puissances quatrièmes de nombres de 0 à 99, etc. sont similaires aux tables de carrés, sauf qu'elles contiennent des cubes, des puissances quatrièmes, etc. dans la deuxième zone. numéros correspondants.

Tableaux de carrés, cubes, puissances quatrièmes, etc. vous permettent d'extraire des racines carrées, des racines cubiques, des quatrièmes racines, etc. en conséquence des chiffres de ces tableaux. Expliquons le principe de leur utilisation lors de l'extraction des racines.

Disons que nous devons extraire la nième racine du nombre a, alors que le nombre a est contenu dans le tableau des nièmes puissances. En utilisant ce tableau, nous trouvons le nombre b tel que a=b n. Alors , par conséquent, le nombre b sera la racine souhaitée du nième degré.

À titre d'exemple, montrons comment utiliser une table cubique pour extraire la racine cubique de 19 683. On retrouve le nombre 19 683 dans le tableau des cubes, à partir de là on constate que ce nombre est le cube du nombre 27, donc, .

Il est clair que les tables de puissances nièmes sont très pratiques pour extraire des racines. Cependant, ils ne sont souvent pas disponibles et leur compilation nécessite un certain temps. De plus, il est souvent nécessaire d'extraire des racines de nombres qui ne sont pas contenus dans les tableaux correspondants. Dans ces cas, vous devez recourir à d’autres méthodes d’extraction de racines.

Factoriser un nombre radical en facteurs premiers

Un moyen assez pratique d'extraire la racine d'un nombre naturel (si, bien sûr, la racine est extraite) consiste à décomposer le nombre radical en facteurs premiers. Son le point est le suivant: après il est assez simple de le représenter comme une puissance avec l'exposant souhaité, ce qui permet d'obtenir la valeur de la racine. Précisons ce point.

Supposons que la racine nième d'un nombre naturel a soit prise et que sa valeur soit égale à b. Dans ce cas, l'égalité a=b n est vraie. Numéro b comme n'importe quel autre entier naturel peut être représenté comme le produit de tous ses facteurs premiers p 1 , p 2 , …, p m sous la forme p 1 · p 2 · … · p m , et le nombre radical a dans ce cas est représenté par (p 1 · p 2 · … · p m) n. La décomposition d'un nombre en facteurs premiers étant unique, la décomposition du nombre radical a en facteurs premiers aura la forme (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ce qui permet de calculer la valeur de la racine comme .

Notez que si la décomposition en facteurs premiers d'un nombre radical a ne peut pas être représentée sous la forme (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, alors la nième racine d'un tel nombre a n'est pas complètement extraite.

Voyons cela en résolvant des exemples.

Exemple.

Prenez la racine carrée de 144.

Solution.

Si vous regardez le tableau des carrés donné dans le paragraphe précédent, vous voyez clairement que 144 = 12 2, d'où il ressort clairement que la racine carrée de 144 est égale à 12.

Mais à la lumière de ce point, nous nous intéressons à la manière dont la racine est extraite en décomposant le nombre radical 144 en facteurs premiers. Regardons cette solution.

Décomposons 144 aux facteurs premiers :

Autrement dit, 144=2·2·2·2·3·3. Sur la base de la décomposition résultante, les transformations suivantes peuvent être effectuées : 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Ainsi, .

En utilisant les propriétés du degré et les propriétés des racines, la solution pourrait être formulée un peu différemment : .

Répondre:

Pour consolider le matériel, considérons les solutions de deux autres exemples.

Exemple.

Calculez la valeur de la racine.

Solution.

La factorisation première du nombre radical 243 a la forme 243=3 5 . Ainsi, .

Répondre:

Exemple.

La valeur racine est-elle un entier ?

Solution.

Pour répondre à cette question, factorisons le nombre radical en facteurs premiers et voyons s'il peut être représenté comme le cube d'un nombre entier.

Nous avons 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. L'expansion résultante ne peut pas être représentée comme le cube d'un nombre entier, puisque la puissance du facteur premier 7 n'est pas un multiple de trois. Par conséquent, la racine cubique de 285 768 ne peut pas être extraite complètement.

Répondre:

Non.

Extraire les racines des nombres fractionnaires

Il est temps de comprendre comment extraire la racine de nombre fractionnaire. Laissez le nombre radical fractionnaire s’écrire p/q. D’après la propriété de la racine d’un quotient, l’égalité suivante est vraie. De cette égalité il résulte règle pour extraire la racine d'une fraction: La racine d'une fraction est égale au quotient de la racine du numérateur divisé par la racine du dénominateur.

Regardons un exemple d'extraction d'une racine d'une fraction.

Exemple.

Quelle est la racine carrée de fraction commune 25/169 .

Solution.

En utilisant le tableau des carrés, on constate que la racine carrée du numérateur de la fraction originale est égale à 5, et la racine carrée du dénominateur est égale à 13. Alors . Ceci termine l'extraction de la racine de la fraction commune 25/169.

Répondre:

La racine d'une fraction décimale ou d'un nombre fractionnaire est extraite après avoir remplacé les nombres radicaux par des fractions ordinaires.

Exemple.

Prenez la racine cubique de la fraction décimale 474,552.

Solution.

Imaginons l'original décimal comme fraction commune : 474,552=474552/1000. Alors . Il reste à extraire les racines cubiques qui sont au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante. Parce que 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 et 1 000 = 10 3, alors Et . Il ne reste plus qu'à terminer les calculs .

Répondre:

.

Prendre la racine d'un nombre négatif

Il vaut la peine de s'attarder sur l'extraction des racines des nombres négatifs. En étudiant les racines, nous avons dit que lorsque l’exposant racine est un nombre impair, alors il peut y avoir un nombre négatif sous le signe racine. Nous avons donné à ces entrées la signification suivante : pour un nombre négatif −a et un exposant impair de la racine 2 n−1, . Cette égalité donne règle pour extraire les racines impaires des nombres négatifs: pour extraire la racine d'un nombre négatif, il faut prendre la racine du nombre positif opposé, et mettre un signe moins devant le résultat.

Regardons l'exemple de solution.

Exemple.

Trouvez la valeur de la racine.

Solution.

Transformons l'expression originale pour qu'il y ait un nombre positif sous le signe racine : . Maintenant nombre mixte remplacez-le par une fraction ordinaire : . On applique la règle d'extraction de la racine d'une fraction ordinaire : . Il reste à calculer les racines au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante : .

Voici un bref résumé de la solution : .

Répondre:

.

Détermination au niveau du bit de la valeur racine

DANS cas général sous la racine se trouve un nombre qui, en utilisant les techniques décrites ci-dessus, ne peut pas être représenté comme la nième puissance d'un nombre quelconque. Mais en même temps, il faut connaître le sens racine donnée, au moins jusqu'à un certain signe. Dans ce cas, pour extraire la racine, vous pouvez utiliser un algorithme qui permet d'obtenir séquentiellement un nombre suffisant de valeurs numériques du nombre souhaité.

La première étape de cet algorithme consiste à déterminer quel est le bit le plus significatif de la valeur racine. Pour ce faire, les nombres 0, 10, 100, ... sont successivement élevés à la puissance n jusqu'à l'obtention du moment où un nombre dépasse le nombre radical. Ensuite, le nombre que nous avons élevé à la puissance n à l'étape précédente indiquera le chiffre le plus significatif correspondant.

Par exemple, considérons cette étape de l’algorithme lors de l’extraction de la racine carrée de cinq. Prenez les nombres 0, 10, 100, ... et mettez-les au carré jusqu'à obtenir un nombre supérieur à 5. Nous avons 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ce qui signifie que le chiffre le plus significatif sera celui des unités. La valeur de ce bit, ainsi que les valeurs inférieures, seront retrouvées dans les prochaines étapes de l'algorithme d'extraction de racine.

Toutes les étapes suivantes de l'algorithme visent à clarifier séquentiellement la valeur de la racine en trouvant les valeurs des bits suivants de la valeur souhaitée de la racine, en commençant par la plus élevée et en passant aux plus basses. Par exemple, la valeur de la racine au premier pas s'avère être 2, au deuxième – 2,2, au troisième – 2,23, et ainsi de suite 2,236067977…. Décrivons comment sont trouvées les valeurs des chiffres.

Les chiffres se trouvent en recherchant leurs valeurs possibles 0, 1, 2, ..., 9. Dans ce cas, les nièmes puissances des nombres correspondants sont calculées en parallèle et comparées au nombre radical. Si à un moment donné la valeur du degré dépasse le nombre radical, alors la valeur du chiffre correspondant à la valeur précédente est considérée comme trouvée et la transition vers l'étape suivante de l'algorithme d'extraction de racine est effectuée ; si cela ne se produit pas, alors la valeur de ce chiffre est 9.

Expliquons ces points en utilisant le même exemple d'extraction de la racine carrée de cinq.

Nous trouvons d’abord la valeur du chiffre des unités. Nous allons parcourir les valeurs 0, 1, 2, ..., 9, en calculant respectivement 0 2, 1 2, ..., 9 2, jusqu'à obtenir une valeur supérieure au nombre radical 5. Il convient de présenter tous ces calculs sous forme de tableau :

Donc la valeur du chiffre des unités est 2 (puisque 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Passons à la recherche de la valeur des dixièmes. Dans ce cas, nous mettrons au carré les nombres 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, en comparant les valeurs obtenues avec le nombre radical 5 :

Depuis 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, alors la valeur de la dixième place est 2. Vous pouvez procéder à la recherche de la valeur des centièmes :

C'est ainsi qu'a été trouvée la valeur suivante de la racine de cinq, elle est égale à 2,23. Et ainsi vous pouvez continuer à trouver des valeurs : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pour consolider le matériel, nous analyserons l'extraction de la racine avec une précision au centième en utilisant l'algorithme considéré.

Nous déterminons d’abord le chiffre le plus significatif. Pour ce faire, on cube les nombres 0, 10, 100, etc. jusqu'à ce que nous obtenions un nombre supérieur à 2 151 186. Nous avons 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , donc le chiffre le plus significatif est le chiffre des dizaines.

Déterminons sa valeur.

Depuis 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, alors la valeur de la place des dizaines est 1. Passons aux unités.

Ainsi, la valeur du chiffre des unités est 2. Passons aux dixièmes.

Puisque même 12,9 3 est inférieur au nombre radical 2 151,186, alors la valeur de la dixième place est 9. Il reste à effectuer la dernière étape de l'algorithme, elle nous donnera la valeur de la racine avec la précision requise.

A ce stade, la valeur de la racine est trouvée au centième près : .

En conclusion de cet article, je voudrais dire qu’il existe de nombreuses autres façons d’extraire les racines. Mais pour la plupart des tâches, celles que nous avons étudiées ci-dessus suffisent.

Bibliographie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. les établissements d'enseignement.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les classes 10 - 11 des établissements d'enseignement général.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).

Une expression radicale est une expression algébrique placée sous le signe d’une racine (carrée, cubique ou d’ordre supérieur). Parfois, les significations de différentes expressions peuvent être les mêmes, par exemple 1/(√2 - 1) = √2 + 1. La simplification de l'expression radicale vise à l'amener à une forme canonique de notation. Si deux expressions écrites sous forme canonique sont encore différentes, leurs valeurs ne sont pas égales. En mathématiques, on pense que la forme canonique d'écriture des expressions radicales (ainsi que des expressions avec racines) correspond aux règles suivantes :

• Si possible, supprimez la fraction sous le signe racine
• Débarrassez-vous des expressions avec des exposants fractionnaires
• Si possible, débarrassez-vous des racines du dénominateur
• Débarrassez-vous de l’opération de multiplication racine par racine
• Sous le signe racine, vous ne devez laisser que les termes dont il est impossible d'extraire une racine entière

Ces règles peuvent être appliquées aux tâches de test. Par exemple, si vous avez résolu un problème, mais que le résultat ne correspond à aucune des réponses données, écrivez le résultat sous forme canonique. Gardez à l'esprit que les réponses aux tâches de test sont données sous forme canonique, donc si vous écrivez le résultat sous la même forme, vous pouvez facilement déterminer la bonne réponse. Si un problème nécessite de « simplifier la réponse » ou de « simplifier les expressions radicales », il est nécessaire d'écrire le résultat sous forme canonique. De plus, la forme canonique facilite la résolution des équations, même si certaines équations sont plus faciles à résoudre si l'on oublie la notation canonique pendant un certain temps.

Pas

Se débarrasser des carrés pleins et des cubes pleins

Se débarrasser d'une expression avec un exposant fractionnaire

Convertissez l'expression avec un exposant fractionnaire en une expression radicale. Ou, si nécessaire, convertissez l'expression radicale en expression fractionnaire, mais ne mélangez jamais ces expressions dans une seule équation, par exemple, comme ceci : √5 + 5^(3/2). Disons que vous décidez de travailler avec les racines ; Nous désignerons la racine carrée de n par √n, et la racine cubique de n par le cube√n.

Se débarrasser des fractions sous le signe racine

Selon la forme canonique de notation, la racine d’une fraction doit être représentée comme une division des racines d’entiers.

Regardez l'expression radicale. S'il s'agit d'une fraction, passez à l'étape suivante.

Remplacez la racine de la fraction par le rapport des deux racines selon l'identité suivante :√(une/b) = √une/√b.

• N'utilisez pas cette identité si le dénominateur est négatif ou comprend une variable qui peut être négative. Dans ce cas, simplifiez d’abord la fraction.

1. Simplifiez les carrés parfaits (si vous les avez). Par exemple, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Élimination de l'opération de multiplication des racines

Se débarrasser des facteurs qui sont des carrés parfaits

Mise en page nombre radical en facteurs. Les facteurs sont des nombres qui, une fois multipliés, produisent le nombre d'origine. Par exemple, 5 et 4 sont deux facteurs du nombre 20. Si une racine entière ne peut être extraite d'un nombre radical, factorisez le nombre en facteurs possibles et trouvez un carré parfait parmi eux.

• Par exemple, notez tous les facteurs de 45 : 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 est un facteur de 45 (9 x 5 = 45) et un carré parfait (9 = 3^2).

1. Prenez le multiplicateur, qui est un carré parfait, au-delà du signe racine. 9 est un carré parfait car 3 x 3 = 9. Supprimez le 9 sous le signe racine et écrivez un 3 avant le signe racine ; sous le signe racine il y aura 5. Si vous mettez le chiffre 3 sous le signe racine, il sera multiplié par lui-même et par le chiffre 5, soit 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Ainsi, 3 √ 5 est une forme simplifiée de notation √45.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Trouvez le carré parfait dans l'expression radicale avec la variable. Rappelez-vous : √(a^2) = |a|. Une telle expression peut être simplifiée en « a », mais seulement si la variable prend des valeurs positives. √(a^3) peut être décomposé en √a * √(a^2), car lorsque des variables identiques sont multipliées, leurs exposants s'additionnent (a * a^2 = a^3).

   • Ainsi, dans l’expression a^3, le carré parfait est a^2.

3. Supprimez la variable qui est un carré parfait en dehors du signe racine. Débarrassez-vous du a^2 sous le signe racine et écrivez un « a » avant le signe racine. Ainsi, √(a^3) = a√a.

   Donnez des termes similaires et simplifiez toutes les expressions rationnelles.

Se débarrasser des racines dans le dénominateur (rationalisation du dénominateur)

Selon la forme canonique dénominateur, si possible, ne doit inclure que des entiers (ou un polynôme si une variable est présente).

• Si le dénominateur est un monôme radical, tel que [numérateur]/√5, multipliez le numérateur et le dénominateur par cette racine : ([numérateur] * √5)/(√5 * √5) = ([numérateur] * √5 )/5.
  • Pour une racine cubique ou une racine supérieure, multipliez le numérateur et le dénominateur par la racine avec le radical à la puissance appropriée pour rationaliser le dénominateur. Si, par exemple, le dénominateur est le cube de √5, multipliez le numérateur et le dénominateur par le cube de √(5^2).
• Si le dénominateur est une somme ou une différence de racines carrées, comme √2 + √6, multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué, c'est-à-dire l'expression avec le signe opposé entre ses termes. Par exemple : [numérateur]/(√2 + √6) = ([numérateur] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Utilisez ensuite la formule de la différence des carrés ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2) pour rationaliser le dénominateur : (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2 )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
  • La formule de la différence des carrés peut également être appliquée à une expression de la forme 5 + √3 car tout entier est la racine carrée d'un autre entier. Par exemple : 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
  • Cette méthode peut être appliquée à la somme de racines carrées telles que √5 - √6 + √7. Si vous regroupez cette expression sous la forme (√5 - √6) + √7 et que vous la multipliez par (√5 - √6) - √7, vous ne vous débarrasserez pas des racines, mais obtiendrez une expression de la forme a + b * √30, où " a" et "b" sont des monômes sans racine. Ensuite, l'expression résultante peut être multipliée par son conjugué : (a + b * √30)(a - b * √30) pour se débarrasser des racines. Autrement dit, si une expression conjuguée peut être utilisée une fois pour se débarrasser d’un certain nombre de racines, elle peut alors être utilisée autant de fois que nécessaire pour se débarrasser de toutes les racines.
  • Cette méthode s'applique également aux racines de puissances supérieures, comme l'expression « 4e racine de 3 plus 7e racine de 9 ». Dans ce cas, multipliez le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur. Mais ici l’expression conjuguée sera légèrement différente de celles décrites ci-dessus. Vous pouvez lire ce cas dans les manuels d’algèbre.

1. Simplifiez le numérateur après avoir supprimé les racines du dénominateur. Le numérateur est le produit de l’expression originale et de l’expression conjuguée.

Lors de la résolution de certains problèmes mathématiques, vous devez opérer avec racines carrées. Il est donc important de connaître les règles d’opérations avec les racines carrées et d’apprendre à transformer les expressions les contenant. Le but est d'étudier les règles d'opérations avec des racines carrées et les manières de transformer des expressions avec des racines carrées.

On sait que certains nombres rationnels s'expriment sous forme de fractions décimales périodiques infinies, comme le nombre 1/1998=0,000500500500... Mais rien n'empêche d'imaginer un nombre dont le développement décimal ne révèle aucune période. De tels nombres sont qualifiés d’irrationnels.

L'histoire des nombres irrationnels remonte à l'étonnante découverte des Pythagoriciens au 6ème siècle. avant JC e. Tout a commencé avec une question apparemment simple : quel nombre exprime la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 ?

La diagonale divise le carré en 2 triangles rectangles identiques, dans chacun desquels elle fait office d'hypoténuse. Par conséquent, comme il ressort du théorème de Pythagore, la longueur de la diagonale d'un carré est égale à

. La tentation est immédiate de sortir une microcalculatrice et d’appuyer sur la touche racine carrée. Sur le tableau d'affichage, nous verrons 1,4142135. Une calculatrice plus avancée qui effectue des calculs avec une grande précision affichera 1,414213562373. Et avec l’aide d’un ordinateur moderne et puissant, vous pouvez calculer avec une précision de centaines, de milliers, de millions de décimales. Mais même l’ordinateur le plus puissant, quelle que soit sa durée de fonctionnement, ne sera jamais capable de calculer tous les chiffres décimaux ni d’y détecter le moindre point.

Et bien que Pythagore et ses étudiants n’avaient pas d’ordinateur, ce sont eux qui ont prouvé ce fait. Les Pythagoriciens ont prouvé que la diagonale d'un carré et son côté n'ont pas de mesure commune (c'est-à-dire un segment qui serait tracé un nombre entier de fois à la fois sur la diagonale et sur le côté). Le rapport de leurs longueurs est donc le nombre

– ne peut pas être exprimé comme le rapport de certains entiers m et n. Et puisqu’il en est ainsi, ajoutons-nous, le développement décimal d’un nombre ne révèle aucune régularité.

Suite à la découverte des Pythagoriciens

Comment prouver qu'un nombre

irrationnel? Supposons qu'il existe un nombre rationnel m/n=. Nous considérerons la fraction m/n irréductible, car une fraction réductible peut toujours être réduite à une fraction irréductible. En élevant les deux côtés de l'égalité, nous obtenons . De là, nous concluons que m est un nombre pair, c'est-à-dire m = 2K. Par conséquent et, par conséquent, , ou . Mais alors nous obtenons que n est un nombre pair, mais cela ne peut pas être le cas, puisque la fraction m/n est irréductible. Une contradiction surgit.

Il reste à conclure que notre hypothèse est incorrecte et que le nombre rationnel m/n est égal à

n'existe pas.

1. Racine carrée d'un nombre

Connaître l'heure t , vous pouvez retrouver le chemin en chute libre grâce à la formule :

Résolvons le problème inverse.

Tâche . Combien de secondes faudra-t-il pour qu'une pierre tombée d'une hauteur de 122,5 m tombe ?

Pour trouver la réponse, vous devez résoudre l'équation

De là, nous trouvons que Maintenant il reste à trouver un nombre positif t tel que son carré soit 25. Ce nombre est 5, puisque Donc la pierre tombera pendant 5 s.

Vous devez également rechercher un nombre positif par son carré lorsque vous résolvez d'autres problèmes, par exemple lorsque vous trouvez la longueur du côté d'un carré par son aire. Introduisons la définition suivante.

Définition . Un nombre non négatif dont le carré est égal à un nombre non négatif a est appelé racine carrée de a. Ce numéro représente

Ainsi

Exemple . Parce que

Vous ne pouvez pas prendre de racines carrées à partir de nombres négatifs, puisque le carré de n’importe quel nombre est soit positif, soit égal à zéro. Par exemple, l'expression

n'a aucune valeur numérique. le signe est appelé signe radical (du latin « radix » - racine), et le nombre UN- nombre radical. Par exemple, dans la notation, le nombre radical est 25. Puisque cela signifie que la racine carrée du nombre écrit par un et 2n zéros, est égal au nombre écrit par un et n zéros : = 10…0

2n zéros n zéros

De même, il est prouvé que

2n zéros n zéros

Par exemple,

2. Calcul des racines carrées

Nous savons qu’il n’existe pas de nombre rationnel dont le carré vaut 2. Cela signifie que

ne peut pas être un nombre rationnel. C'est un nombre irrationnel, c'est-à-dire s'écrit comme une fraction décimale infinie non périodique, et les premières décimales de cette fraction sont 1,414... Pour trouver la décimale suivante, vous devez prendre le nombre 1,414 X, Où X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, mettre ces nombres au carré dans l'ordre et trouver une telle valeur X, dans lequel le carré est inférieur à 2, mais le carré suivant est supérieur à 2. Cette valeur est x=2. Ensuite, nous répétons la même chose avec des nombres comme 1,4142. X. En poursuivant ce processus, on obtient l'un après l'autre les chiffres de la fraction décimale infinie égale à .

L’existence d’une racine carrée de tout nombre réel positif se prouve de la même manière. Bien entendu, la mise au carré séquentielle est une tâche qui prend beaucoup de temps et il existe donc des moyens de trouver rapidement les décimales de la racine carrée. À l'aide d'une microcalculatrice, vous pouvez trouver la valeur

avec huit nombres corrects. Pour ce faire, il suffit de saisir le numéro dans la microcalculatrice une>0 et appuyez sur la touche - 8 chiffres de la valeur seront affichés à l'écran. Dans certains cas, il est nécessaire d'utiliser les propriétés des racines carrées, que nous indiquerons ci-dessous.

Si la précision fournie par une microcalculatrice est insuffisante, vous pouvez utiliser la méthode d'affinement de la valeur de la racine donnée par le théorème suivant.

Théorème. Si a est un nombre positif et est une valeur approximative de par excès, alors

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