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Objectifs de la leçon:

1. Développer les compétences et les capacités nécessaires pour utiliser des formules trigonométriques pour simplifier les expressions trigonométriques.
2. Mise en œuvre du principe d’une approche active dans l’enseignement aux étudiants, développant les capacités de communication et de tolérance des étudiants, la capacité d’écouter et d’entendre les autres et d’exprimer leurs opinions.
3. Accroître l'intérêt des élèves pour les mathématiques.

Type de cours : entraînement.

Type de cours : leçon sur les compétences et les capacités.

Forme d'étude: groupe

Type de groupes: groupe assis ensemble. Des étudiants de différents niveaux de formation, une sensibilisation à une matière donnée, des étudiants compatibles, ce qui leur permet de se compléter et de s'enrichir mutuellement.

Équipement: conseil; craie; tableau « Trigonomètre » ; feuilles de route ; des cartes avec des lettres (A, B, C.) pour passer le test ; plaques avec les noms des équipages ; feuilles de pointage; des tableaux avec les noms des étapes du voyage ; aimants, complexe multimédia.

Pendant les cours

Les étudiants s'assoient en groupes : 4 groupes de 5-6 personnes. Chaque groupe est un équipage d'une voiture dont les noms correspondent aux noms de fonctions trigonométriques, dirigée par un volant. Chaque équipage reçoit une feuille de route et un objectif est déterminé : terminer avec succès l'itinéraire donné, sans erreurs. La leçon est accompagnée d'une présentation.

I. Moment organisationnel.

Le professeur renseigne le sujet du cours, le but du cours, le déroulement du cours, le plan de travail des groupes, le rôle des timoniers.

Mot d'ouverture du professeur :

– Les gars! Notez le numéro et le sujet de la leçon : « Fonctions trigonométriques d'un argument numérique ».

Aujourd'hui, en classe, nous apprendrons :

1. Calculer les valeurs des fonctions trigonométriques ;
2. Simplifiez les expressions trigonométriques.

Pour ce faire, vous devez savoir :

1. Définitions des fonctions trigonométriques
2. Relations trigonométriques (formules).

On sait depuis longtemps qu'une tête c'est bien, mais deux c'est mieux, c'est pourquoi aujourd'hui, vous travaillez en groupe. On sait aussi que celui qui marche maîtrisera la route. Mais nous vivons à une époque de vitesse et le temps est précieux, ce qui signifie que nous pouvons dire ceci : « La route sera maîtrisée par ceux qui conduisent », c'est pourquoi aujourd'hui notre leçon se déroulera sous la forme d'un jeu « Rallye Mathématique ». Chaque groupe est constitué d'un équipage de véhicule, dirigé par un volant.

But du jeu :

• terminer avec succès le parcours pour chaque équipage ;
• identifier les champions de rallye.

Le nom des équipages correspond à la marque de la voiture que vous conduisez.

Les équipages et leurs barreurs sont présentés :

• Equipage – « sinusoïdal »
• Equipage – « cosinus »
• Equipage - "tangente"
• Équipage – « cotangente »

La devise de la course : « Dépêchez-vous doucement !

Vous devez parcourir un « terrain mathématique » avec de nombreux obstacles.

Des feuilles de route ont été remises à chaque équipage. Les équipages connaissant les définitions et les formules trigonométriques sauront surmonter les obstacles.

Pendant le parcours, chaque barreur guide l'équipage, assiste et évalue la contribution de chaque membre d'équipage au franchissement du parcours sous forme de « pour » et de « contre » sur la feuille de score. Pour chaque bonne réponse, le groupe reçoit un « + » et une mauvaise réponse « - ».

Vous devez surmonter les étapes suivantes du voyage :

Étape I. SDA (règles de circulation).
Étape II. Inspection technique.
Stade III. Course de cross-country.
Stade IV. Un arrêt brusque est un accident.
Étape V. Arrêt.
Étape VI. Finition.
VIIe étape. Résultats.

Et c'est parti !

Étape I. SDA (règles de circulation).

1) Dans chaque équipage, les barreurs distribuent des tickets avec des questions théoriques à chaque membre d'équipage :

1. Expliquez la définition du sinus de t et ses signes par quarts.
2. Expliquer la définition du cosinus du nombre t et ses signes par quarts.
3. Indiquez les valeurs les plus petites et les plus grandes de sin t et cos t.
4. Expliquer la définition de la tangente du nombre t et ses signes par quarts.
5. Expliquer la définition de la cotangente du nombre t et ses signes par quarts.
6. Dites-nous comment trouver la valeur de la fonction sin t à partir d'un nombre t connu.

2) Récupérez les formules « dispersées ». Il y a une table sur le tableau secret (voir ci-dessous). Les équipages doivent aligner les formules. Chaque équipe écrit la réponse au tableau sous la forme d'une ligne de lettres correspondantes (par paires).

Répondre: ab, vg, de, hérisson, zi, yk.

Étape II. Inspection technique.

Travail oral : test.

Sur le tableau secret il est écrit : tâche : simplifier l'expression.

Les options de réponse sont écrites à côté d'eux. Les équipes déterminent les bonnes réponses en 1 minute. et récupérez le jeu de lettres correspondant.

Réponse : CVA.

Stade III. Course de cross-country.

Les équipages disposent de 3 minutes pour une réunion afin de décider de la tâche, puis les représentants de l'équipage écrivent la décision au tableau. Lorsque les représentants de l'équipage ont fini d'écrire la solution à la première tâche, tous les élèves (avec l'enseignant) vérifient l'exactitude et la rationalité des solutions et les notent dans un cahier. Les barreurs évaluent la contribution de chaque membre de l'équipage à l'aide des signes « + » et « – » présents sur les fiches d'évaluation.

Tâches du manuel :

• Équipage – « sinus » : n° 118 g ;
• Équipage – « cosinus » : n° 122 a ;
• Équipage – « tangente » : n° 123 g ;
• Equipage – « cotangente » : N°125

Stade IV. Un arrêt brusque est un accident.

– Votre voiture est en panne. Votre voiture a besoin d'être réparée.

Des déclarations sont données pour chaque équipage, mais elles contiennent des erreurs. Trouvez ces erreurs et expliquez pourquoi elles ont été commises. Les déclarations sont utilisées fonctions trigonométriques, correspondant aux marques de vos voitures.

Étape V. Arrêt.

Vous êtes fatigué et avez besoin de vous reposer. Pendant que l'équipage se repose, les timoniers font la synthèse des résultats préliminaires : ils comptent les « pour » et les « contre » des membres de l'équipage et de l'équipage dans son ensemble.

Pour les étudiants :

3 « + » ou plus – score « 5 » ;
2 « + » – note « 4 » ;
1 « + » – note « 3 ».

Pour les équipages :"+" et "-" s'annulent. Seuls les caractères restants sont comptés.

Devinez la mascarade.

Des chiffres tu prends ma première syllabe,
Le second vient du mot « fier ».
Et tu conduiras les troisièmes chevaux,
Le quatrième sera le bêlement d'un mouton.
Ma cinquième syllabe est la même que la première
La dernière lettre de l'alphabet est la sixième,
Et si vous devinez tout correctement,
Ensuite, en mathématiques, vous obtiendrez une section comme celle-ci.
(Trigonométrie)

Le mot « trigonométrie » (du grec « trigonon » – triangle et « meteo » – mesure) signifie « mesure de triangles ». L'émergence de la trigonométrie est associée au développement de la géographie et de l'astronomie - la science du mouvement des corps célestes, de la structure et du développement de l'Univers.

À la suite des observations astronomiques effectuées, il est devenu nécessaire de déterminer la position des luminaires, de calculer les distances et les angles. Étant donné que certaines distances, par exemple entre la Terre et d'autres planètes, ne pouvaient pas être mesurées directement, les scientifiques ont commencé à développer des techniques permettant de trouver des relations entre les côtés et les angles d'un triangle dans lequel deux sommets sont situés sur la Terre et le troisième. est une planète ou une étoile. De telles relations peuvent être dérivées de l’étude de divers triangles et de leurs propriétés. C’est pourquoi les calculs astronomiques ont conduit à la solution (c’est-à-dire à la recherche des éléments) du triangle. C'est ce que fait la trigonométrie.

Les débuts de la trigonométrie ont été découverts dans l’ancienne Babylone. Les scientifiques babyloniens étaient capables de prédire les éclipses solaires et lunaires. Certaines informations de nature trigonométrique se trouvent dans les monuments antiques d'autres peuples anciens.

Étape VI. Finition.

Pour réussir à franchir la ligne d’arrivée, il suffit de se mettre à rude épreuve et de faire un « sprint ». Il est très important en trigonométrie de pouvoir déterminer rapidement les valeurs de sin t, cost, tgt, ctg t, où 0 ≤ t ≤ . Fermez les manuels.

Les équipages nomment alternativement les valeurs des fonctions sin t, cost, tgt, ctg t si :

VIIe étape. Résultats.

Résultats du jeu.

Les timoniers remettent les fiches d'évaluation. L'équipage qui est devenu champion du « Rallye Mathématique » est déterminé et le travail des groupes restants est caractérisé. Viennent ensuite les noms de ceux qui ont reçu les notes « 5 » et « 4 ».

Résumé de la leçon.

- Les gars! Qu’as-tu appris en classe aujourd’hui ? (simplifier les expressions trigonométriques ; trouver les valeurs des fonctions trigonométriques). Que devez-vous savoir pour cela ?

• définitions et propriétés sin t, cost t, tg t, ctg t ;
• relations reliant les valeurs de diverses fonctions trigonométriques ;
• signes de fonctions trigonométriques sur les quarts du cercle numérique.
• valeurs des fonctions trigonométriques du premier quart du cercle numérique.

– Je pense que vous comprenez qu’il faut bien connaître les formules pour les appliquer correctement. Vous avez également réalisé que la trigonométrie est une partie très importante des mathématiques, car elle est utilisée dans d’autres sciences : astronomie, géographie, physique, etc.

Devoirs:

• pour les élèves ayant reçu « 5 » et « 4 » : §6, n° 128a, 130a, 134a.
• pour les autres élèves : §6, n° 119g, n° 120g, n° 121g.

Fonctions trigonométriques d'un argument numérique.

Fonctions trigonométriques de l'argument numériquet sont des fonctions de la forme oui= coût t,
oui= péché t, oui= tg t, oui= ctg t.

En utilisant ces formules, grâce à la valeur connue d'une fonction trigonométrique, vous pouvez trouver les valeurs inconnues d'autres fonctions trigonométriques.

Explications.

1) Prenez la formule cos 2 t + sin 2 t = 1 et utilisez-la pour dériver une nouvelle formule.

Pour ce faire, divisez les deux côtés de la formule par cos 2 t (pour t ≠ 0, c'est-à-dire t ≠ π/2 + π k). Donc:

cos 2 t péché 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Le premier terme est égal à 1. On sait que le rapport sinus sur conis est tangent, ce qui signifie que le deuxième terme est égal à tg 2 t. En conséquence, nous obtenons une nouvelle formule (et déjà connue de vous) :

2) Divisez maintenant cos 2 t + sin 2 t = 1 par sin 2 t (pour t ≠ π k):

cos 2 t péché 2 t 1
--- + --- = ---, où t ≠ π k + π k, k– entier
péché 2 t péché 2 t péché 2 t

Le rapport cosinus/sinus est la cotangente. Moyens:

Connaissant les principes de base des mathématiques et ayant appris les formules de base de la trigonométrie, vous pouvez facilement dériver par vous-même la plupart des autres identités trigonométriques. Et c'est encore mieux que de simplement les mémoriser : ce qu'on apprend par cœur est vite oublié, mais ce qu'on comprend est retenu longtemps, voire pour toujours. Par exemple, il n'est pas nécessaire de mémoriser à quoi est égale la somme de un et du carré de la tangente. Si vous avez oublié, vous vous en souviendrez facilement si vous connaissez la chose la plus simple : la tangente est le rapport du sinus au cosinus. De plus, appliquez la règle simple d'addition de fractions avec des dénominateurs différents et obtenez le résultat :

péché 2 t 1 péché 2 t cos 2 t + péché 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

De la même manière, vous pouvez facilement trouver la somme de un et du carré de la cotangente, ainsi que de nombreuses autres identités.

Fonctions trigonométriques de l'argument angulaire.

Dans les fonctionsà = parce quet, à = péchét, à = tgt, à = CTGt variableCela peut être plus qu'un simple argument numérique. Il peut également être considéré comme une mesure d'angle, c'est-à-dire l'argument angulaire.

À l’aide du cercle numérique et du système de coordonnées, vous pouvez facilement trouver le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente de n’importe quel angle. Pour ce faire, deux conditions importantes doivent être remplies :
1) le sommet de l'angle doit être le centre du cercle, qui est également le centre de l'axe des coordonnées ;

2) l'un des côtés de l'angle doit être un faisceau d'axe positif X.

Dans ce cas, l'ordonnée du point d'intersection du cercle et du deuxième côté de l'angle est le sinus de cet angle, et l'abscisse de ce point est le cosinus de cet angle.

Explication. Traçons un angle dont un côté est le rayon positif de l'axe X, et le deuxième côté sort de l'origine de l'axe des coordonnées (et du centre du cercle) sous un angle de 30º (voir figure). Alors le point d’intersection du deuxième côté avec le cercle correspond à π/6. On connaît l'ordonnée et l'abscisse de ce point. Ce sont aussi le cosinus et le sinus de notre angle :

√3 1
--; --
2 2

Et connaissant le sinus et le cosinus d'un angle, vous pouvez facilement trouver sa tangente et sa cotangente.

Ainsi, le cercle numérique, situé dans un système de coordonnées, est un moyen pratique de trouver le sinus, le cosinus, la tangente ou la cotangente d'un angle.

Mais il existe un moyen plus simple. Vous n’êtes pas obligé de dessiner un cercle ni un système de coordonnées. Vous pouvez utiliser des formules simples et pratiques :

Exemple : trouver le sinus et le cosinus d'un angle égal à 60º.

Solution :

π 60 π √3
péché 60º = péché --- = péché -- = --
180 3 2

π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2

Explication : nous avons découvert que le sinus et le cosinus d'un angle de 60º correspondent aux valeurs d'un point sur un cercle π/3. Ensuite, nous trouvons simplement les valeurs de ce point dans le tableau - et résolvons ainsi notre exemple. Le tableau des sinus et cosinus des points principaux du cercle numérique se trouve dans la section précédente et sur la page « Tableaux ».

Définition. Les fonctions trigonométriques d'un argument numérique sont les fonctions trigonométriques du même nom d'un angle égal aux radians.

Expliquons cette définition avec des exemples précis.

Exemple 1. Calculons la valeur. Nous entendons ici un nombre irrationnel abstrait. Selon la définition. Donc, .

Exemple 2. Calculons la valeur. Ici, par 1,5, nous entendons un nombre abstrait. Tel que défini (voir Annexe II).

Exemple 3. Calculer la valeur On obtient la même chose que ci-dessus (voir Annexe II).

Ainsi, à l'avenir, par l'argument des fonctions trigonométriques, nous comprendrons un angle (arc) ou simplement un nombre, selon le problème que nous résolvons. Et dans certains cas, l'argument peut être une quantité qui a une autre dimension, par exemple le temps, etc. En appelant un argument un angle (arc), on peut entendre par là le nombre avec lequel il est mesuré en radians.

La principale identité trigonométrique dans les manuels de mathématiques russes est la relation sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1

Nous avons examiné les fonctions trigonométriques les plus élémentaires (ne vous y trompez pas, en plus du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, il existe de nombreuses autres fonctions, mais nous y reviendrons plus tard), mais pour l'instant, regardons quelques propriétés de base du fonctions déjà étudiées.

Fonctions trigonométriques de l'argument numérique

Quel que soit le nombre réel t pris, il peut être associé à un nombre sin(t) défini de manière unique. Certes, la règle de correspondance est assez complexe et comprend les éléments suivants.

Pour trouver la valeur de sin(t) à partir du nombre t, il vous faut :

1. positionner le cercle numérique sur le plan de coordonnées de sorte que le centre du cercle coïncide avec l'origine des coordonnées et que le point de départ A du cercle tombe au point (1 ; 0) ;
2. trouver un point sur le cercle correspondant au nombre t ;
3. trouver l'ordonnée de ce point.
4. cette ordonnée est le sin(t) souhaité.

En fait, nous parlons de la fonction s = sin(t) , où t est n'importe quel nombre réel. On peut calculer certaines valeurs de cette fonction (par exemple, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) etc.), on connaît certaines de ses propriétés.

De la même manière, nous pouvons considérer que nous avons déjà reçu quelques idées sur trois autres fonctions : s = cos(t) s = tan(t) s = ctg(t) Toutes ces fonctions sont appelées fonctions trigonométriques de l'argument numérique t .

Relation entre les fonctions trigonométriques

Comme vous pouvez, je l'espère, le deviner, toutes les fonctions trigonométriques sont interconnectées et même sans connaître la signification de l'une, on peut la trouver à travers une autre.

Par exemple, la formule la plus importante de toute trigonométrie est identité trigonométrique de base:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Comme vous pouvez le voir, connaissant la valeur du sinus, vous pouvez trouver la valeur du cosinus, et vice versa. Également des formules très courantes reliant le sinus et le cosinus avec la tangente et la cotangente :

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Des deux dernières formules on peut dériver une autre identité trigométrique, reliant cette fois tangente et cotangente :

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Voyons maintenant comment ces formules fonctionnent en pratique.

EXEMPLE 1. Simplifiez l'expression : a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Tout d’abord, écrivons la tangente en gardant le carré :

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Maintenant, mettons tout sous un dénominateur commun, et nous obtenons :

\[ \péché^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

Et enfin, comme on le voit, le numérateur peut être réduit à un par l'identité trigonométrique principale, on obtient ainsi : \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Avec la cotangente on effectue toutes les mêmes actions, seul le dénominateur ne sera plus un cosinus, mais un sinus, et la réponse sera comme ceci :

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Après avoir terminé cette tâche, nous avons dérivé deux autres formules très importantes qui relient nos fonctions, que nous devons également connaître sur le bout des doigts :

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Vous devez connaître toutes les formules présentées par cœur, sinon une étude plus approfondie de la trigonométrie sans elles est tout simplement impossible. À l'avenir, il y aura plus de formules et il y en aura beaucoup et je vous assure que vous vous en souviendrez certainement toutes pendant longtemps, ou peut-être que vous ne vous en souviendrez pas, mais TOUT LE MONDE devrait savoir ces six choses !