Déterminer la dérivée d’une fonction est l’opération inverse de l’intégration d’une fonction. Pour les fonctions élémentaires, le calcul de la dérivée n’est pas difficile ; il suffit d’utiliser la table des dérivées. Si nous avons besoin trouver la dérivéeà partir d’une fonction complexe, la différenciation sera alors beaucoup plus difficile et nécessitera plus de soin et de temps. En même temps, il est très facile de faire une faute de frappe ou une erreur mineure qui entraînera une réponse finale incorrecte. Il est donc toujours important de pouvoir vérifier votre décision. Vous pouvez le faire en utilisant cette calculatrice en ligne, qui vous permet de trouver les dérivées de n'importe quelle fonction en ligne avec solution détaillée gratuit, sans inscription sur le site. Trouver la dérivée d'une fonction (différenciation) est le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument (numériquement, la dérivée est égale à la tangente de la tangente au graphique de la fonction). Si vous devez calculer la dérivée d'une fonction à un point précis, vous avez besoin de la réponse reçue au lieu d'un argument x l'installer valeur numérique et calcule l'expression. À solution dérivée en ligne vous devez saisir la fonction dans le champ approprié : l'argument doit être une variable x, puisque la différenciation se produit précisément le long de celui-ci. Pour calculer la dérivée seconde, vous devez différencier la réponse résultante.
L’opération consistant à trouver la dérivée est appelée différenciation.
À la suite de la résolution des problèmes de recherche des dérivées des fonctions les plus simples (et pas très simples) en définissant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, un tableau de dérivées et des règles de différenciation précisément définies sont apparus . Les premiers à travailler dans le domaine de la recherche de dérivés furent Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée d'une fonction, vous n'avez pas besoin de calculer la limite mentionnée ci-dessus du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, mais il vous suffit d'utiliser le tableau de dérivés et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.
Pour trouver la dérivée, il vous faut une expression sous le signe premier décomposer des fonctions simples en composants et déterminer quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. Ensuite, on retrouve les dérivées des fonctions élémentaires dans le tableau des dérivées, et les formules des dérivées du produit, de la somme et du quotient - dans les règles de différenciation. La table des dérivées et les règles de différenciation sont données après les deux premiers exemples.
Exemple 1. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. À partir des règles de différenciation, nous découvrons que la dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées de fonctions, c'est-à-dire
À partir du tableau des dérivées, nous découvrons que la dérivée de « X » est égale à un et que la dérivée du sinus est égale au cosinus. Nous substituons ces valeurs dans la somme des dérivées et trouvons la dérivée requise par la condition du problème :
Exemple 2. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. On différencie comme dérivée d'une somme dont le deuxième terme a un facteur constant il peut être soustrait du signe de la dérivée :
Si des questions se posent encore quant à l'origine de quelque chose, elles sont généralement résolues après s'être familiarisé avec le tableau des dérivées et les règles de différenciation les plus simples. Nous passons à eux en ce moment.
Tableau des dérivées de fonctions simples
| 1. Dérivée d'une constante (nombre). N'importe quel nombre (1, 2, 5, 200...) présent dans l'expression de fonction. Toujours égal à zéro. Il est très important de s’en souvenir, car cela est très souvent nécessaire. | |
| 2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent « X ». Toujours égal à un. Il est également important de s'en souvenir longtemps | |
| 3. Dérivé du degré. Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez convertir des racines non carrées en puissances. | |
| 4. Dérivée d'une variable à la puissance -1 | |
| 5. Dérivé racine carrée | |
| 6. Dérivée du sinus | |
| 7. Dérivée du cosinus |  |
| 8. Dérivée de la tangente |  |
| 9. Dérivée de cotangente |  |
| 10. Dérivée de l'arc sinus |  |
| 11. Dérivée de l'arccosinus |  |
| 12. Dérivée de l'arctangente |  |
| 13. Dérivée de l'arc cotangent |  |
| 14. Dérivée du logarithme népérien | |
| 15. Dérivée d'une fonction logarithmique |  |
| 16. Dérivée de l'exposant | |
| 17. Dérivé fonction exponentielle |
Règles de différenciation
| 1. Dérivée d'une somme ou d'une différence |  |
| 2. Dérivé du produit |  |
| 2a. Dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant | |
| 3. Dérivée du quotient |  |
| 4. Dérivée d'une fonction complexe |  |
Règle 1.Si les fonctions
sont différentiables à un moment donné, alors les fonctions sont différentiables au même point
et
ceux. la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à somme algébrique dérivées de ces fonctions.
Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent par un terme constant, alors leurs dérivées sont égales, c'est-à-dire
Règle 2.Si les fonctions
sont différentiables à un moment donné, alors leur produit est différentiable au même point
et
ceux. La dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et de la dérivée de l'autre.
Corollaire 1. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée:
Corollaire 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions différentiables est égale à la somme des produits de la dérivée de chaque facteur et de tous les autres.
Par exemple, pour trois multiplicateurs :
Règle 3.Si les fonctions
différenciable à un moment donné Et , alors à ce stade leur quotient est également dérivableu/v, et
ceux. la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et le numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur.
Où chercher des choses sur d'autres pages
Pour trouver la dérivée d'un produit et d'un quotient dans des problèmes réels, il est toujours nécessaire d'appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, il y a donc plus d'exemples sur ces dérivées dans l'article"Dérivée du produit et quotient des fonctions".
Commentaire. Il ne faut pas confondre une constante (c'est-à-dire un nombre) avec un terme dans une somme et comme un facteur constant ! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas d'un facteur constant, elle est soustraite du signe des dérivées. Ce erreur typique, ce qui se produit au stade initial de l'étude des dérivées, mais à mesure que l'étudiant moyen résout plusieurs exemples en une ou deux parties, il ne commet plus cette erreur.
Et si, pour différencier un produit ou un quotient, vous disposez d'un terme toi"v, dans lequel toi- un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et, par conséquent, le terme entier sera égal à zéro (ce cas est abordé dans l'exemple 10).
Une autre erreur courante consiste à résoudre mécaniquement la dérivée d’une fonction complexe comme la dérivée d’une fonction simple. C'est pourquoi dérivée d'une fonction complexe un article séparé est consacré. Mais nous allons d’abord apprendre à trouver les dérivées de fonctions simples.
En chemin, on ne peut pas se passer de transformer les expressions. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir le manuel dans une nouvelle fenêtre. Des actions avec des pouvoirs et des racines Et Opérations avec des fractions .
Si vous cherchez des solutions aux dérivées de fractions avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à 
, puis suivez la leçon « Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines ».
Si vous avez une tâche comme 
, alors vous suivrez la leçon « Dérivées de fonctions trigonométriques simples ».
Exemples étape par étape - comment trouver la dérivée
Exemple 3. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Nous définissons les parties de l'expression de fonction : l'expression entière représente un produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde desquelles l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits : la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions par la dérivée de l'autre :
Ensuite, on applique la règle de différenciation de la somme : la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, dans chaque somme le deuxième terme a un signe moins. Dans chaque somme, nous voyons à la fois une variable indépendante dont la dérivée est égale à un et une constante (nombre) dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, « X » devient un et moins 5 devient zéro. Dans la deuxième expression, « x » est multiplié par 2, nous multiplions donc deux par la même unité que la dérivée de « x ». On obtient les valeurs dérivées suivantes :
Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition du problème :
Et vous pouvez vérifier la solution au problème de dérivée sur .
Exemple 4. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Nous devons trouver la dérivée du quotient. On applique la formule de différenciation du quotient : la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et du numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l’ancien numérateur. On obtient :
Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oublions pas non plus que le produit, qui est le deuxième facteur au numérateur dans l'exemple actuel, est pris avec un signe moins :
Si vous cherchez des solutions à des problèmes dans lesquels vous devez trouver la dérivée d'une fonction, où il y a un tas continu de racines et de puissances, comme, par exemple, 
, alors bienvenue en classe "Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines" .
Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , alors une leçon pour toi "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .
Exemple 5. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Dans cette fonction, nous voyons un produit dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous avons pris connaissance de la dérivée dans le tableau des dérivées. En utilisant la règle de différenciation du produit et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, on obtient :
Vous pouvez vérifier la solution au problème de dérivée sur calculateur de dérivés en ligne .
Exemple 6. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Dans cette fonction on voit un quotient dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. En utilisant la règle de différenciation des quotients, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur tabulée de la dérivée de la racine carrée, on obtient :
Pour supprimer une fraction du numérateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par .
Date : 10/05/2015
Comment trouver la dérivée ?
Règles de différenciation.
Pour trouver la dérivée d'une fonction, vous n'avez besoin de maîtriser que trois concepts :
2. Règles de différenciation.
3. Dérivée d'une fonction complexe.
Exactement dans cet ordre. Ceci est un indice.)
Bien sûr, ce serait bien d'avoir une idée sur les produits dérivés en général). Ce qu'est une dérivée et comment travailler avec le tableau des dérivées est clairement expliqué dans la leçon précédente. Nous traiterons ici des règles de différenciation.
La différenciation est l'opération consistant à trouver la dérivée. Il n’y a plus rien de caché derrière ce terme. Ceux. expressions "trouver la dérivée d'une fonction" Et "différencier une fonction"- c'est la même chose.
Expression "règles de différenciation" fait référence à la recherche de la dérivée à partir d’opérations arithmétiques. Cette compréhension aide beaucoup à éviter toute confusion dans votre tête.
Concentrons-nous et rappelons-nous de tout, tout, tout opérations arithmétiques. Il y en a quatre). Addition (somme), soustraction (différence), multiplication (produit) et division (quotient). Les voici, les règles de différenciation :
La plaque montre cinq règles sur quatre opérations arithmétiques. Je n’ai pas été lésé.) C’est juste que la règle 4 est une conséquence élémentaire de la règle 3. Mais elle est si populaire qu’il est logique de l’écrire (et de s’en souvenir !) comme une formule indépendante.
Sous les appellations U Et V certaines fonctions (absolument toutes !) sont implicites U(x) Et V(x).
Regardons quelques exemples. Premièrement, les plus simples.
Trouver la dérivée de la fonction y=sinx - x 2
Ici nous avons différence deux fonctions élémentaires. Nous appliquons la règle 2. Nous supposerons que sinx est une fonction U, et x 2 est la fonction V. Nous avons parfaitement le droit d'écrire :
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
C’est mieux, non ?) Il ne reste plus qu’à trouver les dérivées du sinus et du carré de x. Il existe à cet effet un tableau des dérivés. Nous recherchons simplement les fonctions dont nous avons besoin dans le tableau ( péché Et x2), regardez quels dérivés ils ont et notez la réponse :
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
C'est ça. La règle 1 de différenciation des sommes fonctionne exactement de la même manière.
Et si nous avions plusieurs termes ? Pas de problème.) Nous divisons la fonction en termes et recherchons la dérivée de chaque terme indépendamment des autres. Par exemple:
Trouver la dérivée de la fonction y=sinx - x 2 +cosx - x +3
Nous écrivons hardiment :
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
À la fin de la leçon, je donnerai des conseils pour vous faciliter la vie lors de la différenciation.)
1. Avant la différenciation, voyez s'il est possible de simplifier la fonction d'origine.
2. Dans des exemples compliqués, nous décrivons la solution en détail, avec toutes les parenthèses et tirets.
3. Lors de la différenciation de fractions avec un nombre constant au dénominateur, nous transformons la division en multiplication et utilisons la règle 4.
Si vous suivez la définition, alors la dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction Δ ouià l'incrément d'argument Δ x:
Tout semble clair. Mais essayez d'utiliser cette formule pour calculer, disons, la dérivée de la fonction f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x péché x. Si vous faites tout par définition, après quelques pages de calculs, vous vous endormirez simplement. Il existe donc des moyens plus simples et plus efficaces.
Pour commencer, notons que parmi toute la variété des fonctions, on peut distinguer les fonctions dites élémentaires. C'est relatif expressions simples, dont les dérivés sont calculés depuis longtemps et répertoriés dans le tableau. De telles fonctions sont assez faciles à mémoriser – ainsi que leurs dérivées.
Dérivées de fonctions élémentaires
Les fonctions élémentaires sont toutes celles listées ci-dessous. Les dérivées de ces fonctions doivent être connues par cœur. De plus, il n'est pas du tout difficile de les mémoriser - c'est pourquoi ils sont élémentaires.
Ainsi, dérivées de fonctions élémentaires :
| Nom | Fonction | Dérivé |
| Constante | f(x) = C, C ∈ R. | 0 (oui, zéro !) |
| Puissance avec exposant rationnel | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinus | f(x) = péché x | parce que x |
| Cosinus | f(x) = cos x | −péché x(moins sinus) |
| Tangente | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Cotangente | f(x) = ctg x | − 1/péché 2 x |
| Logarithme népérien | f(x) = journal x | 1/x |
| Logarithme arbitraire | f(x) = journal un x | 1/(x dans un) |
| Fonction exponentielle | f(x) = e x | e x(rien n'a changé) |
Si une fonction élémentaire est multipliée par une constante arbitraire, alors la dérivée de la nouvelle fonction est également facilement calculée :
(C · f)’ = C · f ’.
En général, les constantes peuvent être soustraites du signe de la dérivée. Par exemple:
(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Bien évidemment, les fonctions élémentaires peuvent s’ajouter les unes aux autres, se multiplier, se diviser – et bien plus encore. C'est ainsi qu'apparaîtront de nouvelles fonctions, non plus particulièrement élémentaires, mais aussi différenciées selon certaines règles. Ces règles sont discutées ci-dessous.
Dérivée de la somme et de la différence
Soit les fonctions données f(x) Et g(x), dont les dérivés nous sont connus. Par exemple, vous pouvez prendre les fonctions élémentaires évoquées ci-dessus. Ensuite, vous pouvez trouver la dérivée de la somme et de la différence de ces fonctions :
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Ainsi, la dérivée de la somme (différence) de deux fonctions est égale à la somme (différence) des dérivées. Il peut y avoir plus de termes. Par exemple, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
À proprement parler, il n’existe pas de concept de « soustraction » en algèbre. Il existe une notion d'« élément négatif ». Donc la différence f − g peut être réécrit comme une somme f+ (−1) g, et il ne reste alors qu'une seule formule - la dérivée de la somme.
f(x) = x 2 + péché x ; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Fonction f(x) est la somme de deux fonctions élémentaires, donc :
f ’(x) = (x 2 + péché x)’ = (x 2)’ + (péché x)’ = 2x+ cosx ;
On raisonne de la même manière pour la fonction g(x). Seulement il y a déjà trois termes (du point de vue de l'algèbre) :
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Répondre:
f ’(x) = 2x+ cosx ;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Dérivé du produit
Les mathématiques sont une science logique, c'est pourquoi beaucoup de gens croient que si la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées, alors la dérivée du produit grève">égal au produit de dérivés. Mais allez vous faire foutre ! La dérivée d'un produit se calcule selon une toute autre formule. A savoir :
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
La formule est simple, mais elle est souvent oubliée. Et pas seulement les écoliers, mais aussi les étudiants. Le résultat est des problèmes mal résolus.
Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : f(x) = x 3 cosx ; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Fonction f(x) est le produit de deux fonctions élémentaires, donc tout est simple :
f ’(x) = (x 3 parce que x)’ = (x 3)' parce que x + x 3 (car x)’ = 3x 2 parce que x + x 3 (− péché x) = x 2 (3cos x − x péché x)
Fonction g(x) le premier multiplicateur est un peu plus compliqué, mais le schéma général ne change pas. Évidemment, le premier facteur de la fonction g(x) est un polynôme et sa dérivée est la dérivée de la somme. Nous avons:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Répondre:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x péché x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Veuillez noter qu'à la dernière étape, la dérivée est factorisée. Formellement, cela n'est pas nécessaire, mais la plupart des dérivées ne sont pas calculées seules, mais pour examiner la fonction. Cela signifie qu'en outre la dérivée sera assimilée à zéro, ses signes seront déterminés, et ainsi de suite. Dans un tel cas, il est préférable de factoriser une expression.
S'il y a deux fonctions f(x) Et g(x), et g(x) ≠ 0 sur l'ensemble qui nous intéresse, on peut définir une nouvelle fonction h(x) = f(x)/g(x). Pour une telle fonction vous pouvez également trouver la dérivée :
Pas faible, non ? D'où vient le moins ? Pourquoi g 2 ? Et ainsi! C’est l’une des formules les plus complexes – vous ne pouvez pas la comprendre sans bouteille. Il est donc préférable de l'étudier sur exemples spécifiques.
Tâche. Trouver des dérivées de fonctions :
Le numérateur et le dénominateur de chaque fraction contiennent des fonctions élémentaires, il suffit donc de connaître la formule de la dérivée du quotient :
Selon la tradition, factorisons le numérateur - cela simplifiera grandement la réponse :
Une fonction complexe n’est pas nécessairement une formule d’un demi-kilomètre. Par exemple, il suffit de prendre la fonction f(x) = péché x et remplacez la variable x, disons, sur x 2 + ln x. Ça va marcher f(x) = péché ( x 2 + ln x) - ça y est fonction complexe. Il a également un dérivé, mais il ne sera pas possible de le trouver en utilisant les règles évoquées ci-dessus.
Que dois-je faire? Dans de tels cas, remplacer une variable et une formule par la dérivée d'une fonction complexe permet de :
f ’(x) = f ’(t) · t', Si x est remplacé par t(x).
En règle générale, la situation concernant la compréhension de cette formule est encore plus triste qu'avec la dérivée du quotient. Par conséquent, il est également préférable de l'expliquer avec des exemples précis, avec description détaillée chaque étape.
Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = péché ( x 2 + ln x)
Notez que si dans la fonction f(x) au lieu de l'expression 2 x+ 3 sera facile x, alors ça ira fonction élémentaire f(x) = e x. Par conséquent, nous effectuons un remplacement : soit 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. On recherche la dérivée d'une fonction complexe à l'aide de la formule :
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Et maintenant, attention ! Nous effectuons le remplacement inverse : t = 2x+ 3. On obtient :
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Voyons maintenant la fonction g(x). Il faut évidemment le remplacer x 2 + ln x = t. Nous avons:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (péché t)’ · t' = cos t · t ’
Remplacement inversé : t = x 2 + ln x. Alors:
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
C'est ça! Comme le montre la dernière expression, tout le problème a été réduit au calcul de la somme dérivée.
Répondre:
f ’(x) = 2 · e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) parce que ( x 2 + ln x).
Très souvent dans mes cours, au lieu du terme « dérivé », j'utilise le mot « premier ». Par exemple, une prime du montant égal à la somme coups. Est-ce plus clair ? Eh bien, c'est bien.
Ainsi, calculer la dérivée revient à s'affranchir de ces mêmes coups selon les règles évoquées ci-dessus. Comme dernier exemple, revenons à la puissance dérivée avec un exposant rationnel :
(x n)’ = n · x n − 1
Peu de gens savent que dans le rôle n pourrait bien agir nombre fractionnaire. Par exemple, la racine est x 0,5. Et s’il y avait quelque chose d’extraordinaire sous la racine ? Encore une fois, le résultat sera une fonction complexe - ils aiment donner de telles constructions à essais et les examens.
Tâche. Trouvez la dérivée de la fonction :
Tout d’abord, réécrivons la racine sous la forme d’une puissance avec un exposant rationnel :
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Maintenant, nous effectuons un remplacement : laissez x 2 + 8x − 7 = t. On trouve la dérivée à l'aide de la formule :
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.
Faisons le remplacement inverse : t = x 2 + 8x− 7. Nous avons :
f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Enfin, revenons aux sources :
Très facile à retenir.
Bon, n'allons pas loin, regardons ça tout de suite fonction inverse. Quelle fonction est l'inverse de la fonction exponentielle ? Logarithme:
Dans notre cas, la base est le nombre :
Un tel logarithme (c'est-à-dire un logarithme avec une base) est appelé « naturel », et nous utilisons pour cela une notation spéciale : nous l'écrivons à la place.
A quoi est-ce égal ? Bien sûr.
La dérivée du logarithme népérien est également très simple :
Exemples :
- Trouvez la dérivée de la fonction.
- Quelle est la dérivée de la fonction ?
Réponses : Exposant et logarithme népérien- les fonctions sont particulièrement simples en termes de dérivées. Les fonctions exponentielles et logarithmiques avec n'importe quelle autre base auront une dérivée différente, que nous analyserons plus tard, après avoir parcouru les règles de différenciation.
Règles de différenciation
Des règles de quoi ? Encore un nouveau terme, encore ?!...
Différenciation est le processus de recherche de la dérivée.
C'est tout. Comment pouvez-vous appeler ce processus en un mot ? Pas dérivé... Les mathématiciens appellent la différentielle le même incrément d'une fonction à. Ce terme vient du latin différentia – différence. Ici.
Lors de la dérivation de toutes ces règles, nous utiliserons deux fonctions, par exemple et. Nous aurons également besoin de formules pour leurs incréments :
Il y a 5 règles au total.
La constante est soustraite du signe dérivé.
Si - certains nombre constant(constant), alors.
Évidemment, cette règle fonctionne aussi pour la différence : .
Prouvons-le. Laissez-le être, ou plus simple.
Exemples.
Trouvez les dérivées des fonctions :
- à un moment donné ;
- à un moment donné ;
- à un moment donné ;
- au point.
Solutions :
- (la dérivée est la même en tous points, puisque cette fonction linéaire, souviens-toi?);
Dérivé du produit
Tout est similaire ici : introduisons une nouvelle fonction et trouvons son incrément :
Dérivé:
Exemples :
- Trouver les dérivées des fonctions et ;
- Trouvez la dérivée de la fonction en un point.
Solutions :
Dérivée d'une fonction exponentielle
Vos connaissances sont désormais suffisantes pour apprendre à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle, et pas seulement les exposants (avez-vous déjà oublié ce que c'est ?).
Alors, où est un certain nombre.
Nous connaissons déjà la dérivée de la fonction, essayons donc d'amener notre fonction à une nouvelle base :
Pour cela nous utiliserons règle simple: . Alors:
Eh bien, ça a fonctionné. Essayez maintenant de trouver la dérivée, et n'oubliez pas que cette fonction est complexe.
Est-ce que ça a marché ?
Ici, vérifiez vous-même :
La formule s'est avérée très similaire à la dérivée d'un exposant : telle qu'elle était, elle reste la même, seul un facteur est apparu, qui n'est qu'un nombre, mais pas une variable.
Exemples :
Trouvez les dérivées des fonctions :
Réponses :
Il s'agit simplement d'un nombre qui ne peut pas être calculé sans calculatrice, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit sous une forme plus simple. Par conséquent, nous le laissons sous cette forme dans la réponse.
Notez qu'il s'agit ici d'un quotient de deux fonctions, nous appliquons donc la règle de différenciation correspondante :
Dans cet exemple, le produit de deux fonctions :
Dérivée d'une fonction logarithmique
C’est pareil ici : vous connaissez déjà la dérivée du logarithme népérien :
Par conséquent, pour trouver un logarithme arbitraire avec une base différente, par exemple :
Nous devons réduire ce logarithme à la base. Comment changer la base d'un logarithme ? J'espère que vous vous souvenez de cette formule :
Seulement maintenant, nous écrirons à la place :
Le dénominateur est simplement une constante (un nombre constant, sans variable). La dérivée s’obtient très simplement :
Dérivées exponentielles et fonctions logarithmiques n'apparaissent presque jamais à l'examen d'État unifié, mais cela ne ferait pas de mal de les connaître.
Dérivée d'une fonction complexe.
Qu'est-ce qu'une « fonction complexe » ? Non, ce n'est pas un logarithme, ni une arctangente. Ces fonctions peuvent être difficiles à comprendre (même si si vous trouvez le logarithme difficile, lisez le sujet « Logarithmes » et tout ira bien), mais d'un point de vue mathématique, le mot « complexe » ne signifie pas « difficile ».
Imaginez un petit tapis roulant : deux personnes sont assises et effectuent des actions avec des objets. Par exemple, le premier enveloppe une barre de chocolat dans un emballage et le second l'attache avec un ruban. Le résultat est un objet composite : une barre de chocolat enveloppée et nouée avec un ruban. Pour manger une barre de chocolat, vous devez effectuer les étapes inverses dans l’ordre inverse.
Créons un pipeline mathématique similaire : nous trouverons d'abord le cosinus d'un nombre, puis nous mettrons au carré le nombre obtenu. Donc, on nous donne un nombre (chocolat), je trouve son cosinus (emballage), et puis vous mettez au carré ce que j'ai obtenu (nouez-le avec un ruban). Ce qui s'est passé? Fonction. Ceci est un exemple de fonction complexe : lorsque, pour trouver sa valeur, on effectue une première action directement avec la variable, puis une deuxième action avec ce qui résulte de la première.
Autrement dit, une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction: .
Pour notre exemple, .
On peut facilement faire les mêmes étapes dans l'ordre inverse : d'abord on le met au carré, puis je cherche le cosinus du nombre obtenu : . Il est facile de deviner que le résultat sera presque toujours différent. Une caractéristique importante des fonctions complexes : lorsque l'ordre des actions change, la fonction change.
Deuxième exemple : (même chose). .
L'action que nous faisons en dernier sera appelée fonction "externe", et l'action effectuée en premier - en conséquence fonction "interne"(ce sont des noms informels, je les utilise uniquement pour expliquer le matériel dans un langage simple).
Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle interne :
Réponses : La séparation des fonctions internes et externes est très similaire à la modification de variables : par exemple, dans une fonction
- Quelle action allons-nous effectuer en premier ? Tout d’abord, calculons le sinus, puis cubez-le seulement. Cela signifie qu’il s’agit d’une fonction interne, mais externe.
Et la fonction originelle est leur composition : . - Interne: ; externe: .
Examen : . - Interne: ; externe: .
Examen : . - Interne: ; externe: .
Examen : . - Interne: ; externe: .
Examen : .
Nous changeons les variables et obtenons une fonction.
Eh bien, maintenant nous allons extraire notre barre de chocolat et chercher le dérivé. La procédure est toujours inversée : on cherche d’abord la dérivée de la fonction externe, puis on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction interne. Par rapport à l'exemple original, cela ressemble à ceci :
Autre exemple :
Alors, formulons enfin la règle officielle :
Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :
Cela semble simple, non ?
Vérifions avec des exemples :
Solutions :
1) Interne : ;
Externe: ;
2) Interne : ;
(N’essayez pas de le couper maintenant ! Rien ne sort sous le cosinus, vous vous souvenez ?)
3) Interne : ;
Externe: ;
Il est immédiatement clair qu'il s'agit d'une fonction complexe à trois niveaux : après tout, c'est déjà une fonction complexe en soi, et nous en extrayons également la racine, c'est-à-dire que nous effectuons la troisième action (mettre le chocolat dans un emballage et avec un ruban dans la mallette). Mais il n'y a aucune raison d'avoir peur : nous allons quand même « déballer » cette fonction dans le même ordre que d'habitude : depuis la fin.
Autrement dit, nous différencions d'abord la racine, puis le cosinus, et ensuite seulement l'expression entre parenthèses. Et puis on multiplie le tout.
Dans de tels cas, il est pratique de numéroter les actions. Autrement dit, imaginons ce que nous savons. Dans quel ordre effectuerons-nous les actions pour calculer la valeur de cette expression ? Regardons un exemple :
Plus l’action est réalisée tardivement, plus la fonction correspondante sera « externe ». La séquence d'actions est la même que précédemment :
Ici, la nidification est généralement à 4 niveaux. Déterminons l'ordre d'action.
1. Expression radicale. .
2. Racine. .
3. Sinus. .
4. Carré. .
5. Rassembler le tout :
DÉRIVÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES
Dérivée d'une fonction- le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument :
Dérivés de base :
Règles de différenciation :
La constante est soustraite du signe dérivé :
Dérivée de la somme :
Dérivé du produit :
Dérivée du quotient :
Dérivée d'une fonction complexe :
Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :
- Nous définissons la fonction « interne » et trouvons sa dérivée.
- Nous définissons la fonction « externe » et trouvons sa dérivée.
- Nous multiplions les résultats des premier et deuxième points.
