Sinus, cosinus, tangente - en prononçant ces mots en présence d'élèves du secondaire, vous pouvez être sûr que les deux tiers d'entre eux se désintéresseront de la poursuite de la conversation. La raison réside dans le fait que les bases de la trigonométrie à l'école sont enseignées dans un isolement complet de la réalité et que les étudiants ne voient donc pas l'intérêt d'étudier des formules et des théorèmes.

En fait, après un examen plus approfondi, ce domaine de connaissances s'avère très intéressant, ainsi qu'appliqué - la trigonométrie est utilisée dans l'astronomie, la construction, la physique, la musique et bien d'autres domaines.

Faisons connaissance avec les concepts de base et citons plusieurs raisons d'étudier cette branche de la science mathématique.

Histoire

On ne sait pas à quel moment l’humanité a commencé à créer la future trigonométrie à partir de zéro. Cependant, il est documenté que déjà au deuxième millénaire avant JC, les Égyptiens connaissaient les bases de cette science : les archéologues ont trouvé un papyrus avec pour tâche de trouver l'angle d'inclinaison de la pyramide sur deux côtés connus.

Les scientifiques de l’ancienne Babylone ont obtenu des succès plus sérieux. Au fil des siècles, étudiant l'astronomie, ils ont maîtrisé un certain nombre de théorèmes, introduit des méthodes spéciales de mesure des angles, que nous utilisons d'ailleurs aujourd'hui : les degrés, les minutes et les secondes ont été empruntés par la science européenne à la culture gréco-romaine, dans laquelle ces unités venaient des Babyloniens.

On suppose que le célèbre théorème de Pythagore, relatif aux bases de la trigonométrie, était connu des Babyloniens il y a près de quatre mille ans.

Nom

Littéralement, le terme « trigonométrie » peut être traduit par « mesure de triangles ». L'objet principal d'étude dans cette section de la science pendant de nombreux siècles a été le triangle rectangle, ou plus précisément, la relation entre les grandeurs des angles et les longueurs de ses côtés (aujourd'hui, l'étude de la trigonométrie commence à partir de cette section) . Il existe souvent des situations dans la vie où il est pratiquement impossible de mesurer tous les paramètres requis d'un objet (ou la distance à l'objet), et il devient alors nécessaire d'obtenir les données manquantes par des calculs.

Par exemple, dans le passé, les gens ne pouvaient pas mesurer la distance par rapport aux objets spatiaux, mais des tentatives pour calculer ces distances ont eu lieu bien avant l'avènement de notre ère. La trigonométrie jouait également un rôle crucial dans la navigation : avec quelques connaissances, le capitaine pouvait toujours naviguer par les étoiles la nuit et ajuster le cap.

Concepts de base

Maîtriser la trigonométrie à partir de zéro nécessite de comprendre et de mémoriser plusieurs termes de base.

Le sinus d'un certain angle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse. Précisons que la jambe opposée est le côté opposé à l'angle que nous considérons. Ainsi, si un angle est de 30 degrés, le sinus de cet angle sera toujours, quelle que soit la taille du triangle, égal à ½. Le cosinus d'un angle est le rapport entre la jambe adjacente et l'hypoténuse.

La tangente est le rapport du côté opposé au côté adjacent (ou, ce qui revient au même, le rapport du sinus au cosinus). La cotangente est l'unité divisée par la tangente.

Il convient de mentionner le fameux nombre Pi (3,14...), qui correspond à la moitié de la longueur d'un cercle de rayon une unité.

Erreurs populaires

Les personnes qui apprennent la trigonométrie à partir de zéro commettent un certain nombre d'erreurs, principalement dues à l'inattention.

Premièrement, lorsque vous résolvez des problèmes de géométrie, vous devez vous rappeler que l’utilisation des sinus et des cosinus n’est possible que dans un triangle rectangle. Il arrive qu'un élève prenne « automatiquement » le côté le plus long d'un triangle comme hypoténuse et obtienne des résultats de calcul incorrects.

Deuxièmement, au début il est facile de confondre les valeurs du sinus et du cosinus pour l'angle sélectionné : rappelons que le sinus de 30 degrés est numériquement égal au cosinus de 60, et vice versa. Si vous remplacez un nombre incorrect, tous les autres calculs seront incorrects.

Troisièmement, jusqu'à ce que le problème soit complètement résolu, vous ne devez arrondir aucune valeur, extraire les racines, écrire fraction commune sous forme décimale. Souvent, les élèves s'efforcent d'obtenir un « beau » nombre dans un problème de trigonométrie et d'en extraire immédiatement la racine de trois, bien qu'après exactement une action, cette racine puisse être réduite.

Étymologie du mot « sinus »

L’histoire du mot « sinus » est vraiment inhabituelle. Le fait est que la traduction littérale de ce mot du latin signifie « creux ». En effet, la compréhension correcte du mot a été perdue lors de la traduction d'une langue à une autre.

Les noms des fonctions trigonométriques de base proviennent de l'Inde, où le concept de sinus était désigné par le mot « corde » en sanskrit - le fait est que le segment, ainsi que l'arc de cercle sur lequel il reposait, ressemblaient à un arc. . À l'apogée de la civilisation arabe, les réalisations indiennes dans le domaine de la trigonométrie ont été empruntées et le terme est passé en arabe sous forme de transcription. Il se trouve que cette langue avait déjà un mot similaire désignant une dépression, et si les Arabes comprenaient la différence phonétique entre le mot indigène et le mot emprunté, alors les Européens, traduisant des traités scientifiques en latin, traduisaient par erreur littéralement le mot arabe, qui n'avait rien. à voir avec le concept de sinus. Nous l'utilisons encore aujourd'hui.

Tableaux de valeurs

Il existe des tableaux qui contiennent des valeurs numériques pour les sinus, les cosinus et les tangentes de tous les angles possibles. Nous présentons ci-dessous les données pour les angles de 0, 30, 45, 60 et 90 degrés, qui doivent être apprises comme une section obligatoire de la trigonométrie pour les « nuls » ; heureusement, elles sont assez faciles à retenir.

Si c'est arrivé ça valeur numérique le sinus ou le cosinus d'un angle "est sorti de ma tête", il existe un moyen de le dériver soi-même.

Représentation géométrique

Traçons un cercle et traçons les axes des abscisses et des ordonnées passant par son centre. L'axe des abscisses est horizontal, l'axe des ordonnées est vertical. Ils sont généralement signés respectivement « X » et « Y ». Nous allons maintenant tracer une ligne droite à partir du centre du cercle afin d'obtenir l'angle dont nous avons besoin entre celui-ci et l'axe X. Enfin, à partir du point où la droite coupe le cercle, nous déposons une perpendiculaire à l'axe X. La longueur du segment résultant sera égale à la valeur numérique du sinus de notre angle.

Cette méthode est très pertinente si vous avez oublié la valeur requise, par exemple lors d'un examen, et que vous n'avez pas de manuel de trigonométrie sous la main. Vous n’obtiendrez pas un nombre exact de cette façon, mais vous verrez certainement la différence entre ½ et 1,73/2 (sinus et cosinus d’un angle de 30 degrés).

Application

Certains des premiers experts à utiliser la trigonométrie étaient des marins qui n'avaient d'autre point de référence en haute mer que le ciel au-dessus de leurs têtes. Aujourd'hui, les capitaines des navires (avions et autres moyens de transport) ne recherchent pas le chemin le plus court à l'aide des étoiles, mais recourent activement à la navigation GPS, ce qui serait impossible sans l'utilisation de la trigonométrie.

Dans presque toutes les sections de la physique, vous trouverez des calculs utilisant les sinus et les cosinus : qu'il s'agisse de l'application d'une force en mécanique, des calculs de la trajectoire des objets en cinématique, des vibrations, de la propagation des ondes, de la réfraction de la lumière - vous ne pouvez tout simplement pas vous passer de la trigonométrie de base. dans les formules.

Un autre métier impensable sans trigonométrie est celui de géomètre. À l'aide d'un théodolite et d'un niveau ou d'un appareil plus complexe - un tachymètre, ces personnes mesurent la différence de hauteur entre différents points de la surface terrestre.

Répétabilité

La trigonométrie ne traite pas seulement des angles et des côtés d’un triangle, même si c’est là qu’elle a commencé son existence. Dans tous les domaines où la cyclicité est présente (biologie, médecine, physique, musique, etc.), vous rencontrerez un graphique dont le nom vous est probablement familier : il s'agit d'une onde sinusoïdale.

Un tel graphique est un cercle déployé le long de l’axe du temps et ressemble à une vague. Si vous avez déjà travaillé avec un oscilloscope en cours de physique, vous comprendrez de quoi nous parlons. nous parlons de. L'égaliseur musical et le moniteur de fréquence cardiaque utilisent des formules trigonométriques dans leur travail.

Enfin

Lorsque l'on réfléchit à la façon d'apprendre la trigonométrie, la plupart des éléments secondaires et lycée ils commencent à la considérer comme une science complexe et peu pratique, puisqu'ils ne se familiarisent qu'avec les informations ennuyeuses d'un manuel.

Quant à l'impraticabilité, nous avons déjà vu que, à un degré ou à un autre, la capacité de gérer les sinus et les tangentes est requise dans presque tous les domaines d'activité. Quant à la complexité... Réfléchissez : si les gens utilisaient ces connaissances il y a plus de deux mille ans, alors qu'un adulte avait moins de connaissances que le lycéen d'aujourd'hui, est-il vraiment possible d'étudier cette zone la science sur niveau de baseà vous personnellement ? Quelques heures de pratique réfléchie pour résoudre des problèmes - et vous atteindrez votre objectif en étudiant le cours de base, ce qu'on appelle la trigonométrie pour les nuls.

Introduction

Les processus réels dans le monde environnant sont généralement associés à un grand nombre de variables et de dépendances entre elles. Ces dépendances peuvent être décrites à l'aide de fonctions. Le concept de « fonction » a joué et joue encore un rôle important dans la cognition monde réel. La connaissance des propriétés des fonctions permet de comprendre l'essence des processus en cours, de prédire le déroulement de leur développement et de les gérer. Les fonctions d'apprentissage sont pertinent Toujours.

Cible: identifier le lien entre les fonctions trigonométriques et les phénomènes du monde environnant et montrer que ces fonctions trouvent large application dans la vie.

Tâches:

1. Étudier la littérature et les ressources d'accès à distance sur le sujet du projet.

2. Découvrez quelles lois de la nature sont exprimées par des fonctions trigonométriques.

3. Trouvez des exemples d'utilisation de fonctions trigonométriques dans le monde extérieur.

4. Analyser et systématiser le matériel disponible.

5. Préparer le matériel conçu conformément aux exigences projet d'information.

6. Développer une présentation électronique en accord avec le contenu du projet.

7. Parlez à la conférence avec les résultats du travail effectué.

Au stade préparatoire J'ai trouvé du matériel sur ce sujet et je l'ai lu, émis des hypothèses et formulé l'objectif de mon projet. J'ai commencé à chercher information nécessaire, j'ai étudié la littérature sur mon sujet et les documents provenant de ressources d'accès à distance.

Sur la scène principale, les informations sur le sujet ont été sélectionnées et accumulées, et les documents trouvés ont été analysés. J'ai découvert les principales applications des fonctions trigonométriques. Toutes les données ont été résumées et systématisées. Ensuite, une version finale complète du projet d'information a été élaborée et une présentation sur le sujet de recherche a été compilée.

Au stade final La présentation des travaux pour le concours a été analysée. À ce stade, les activités devaient également mettre en œuvre toutes les tâches assignées, résumer les résultats, c’est-à-dire évaluer ses activités.

Lever et coucher du soleil, changements dans les phases de la lune, alternance des saisons, battements de cœur, cycles de la vie du corps, rotation de la roue, flux et reflux de la mer - les modèles de ces divers processus sont décrits par des fonctions trigonométriques.

Trigonométrie en physique.

Dans la technologie et dans le monde qui nous entoure, nous sommes souvent confrontés à des processus périodiques (ou presque périodiques) qui se répètent à intervalles réguliers. De tels processus sont appelés oscillatoires. Les phénomènes oscillatoires de diverses natures physiques sont soumis à des lois générales. Par exemple, les fluctuations actuelles de circuit électrique et les oscillations d'un pendule mathématique peuvent être décrites par les mêmes équations. La communauté des modèles oscillatoires nous permet de considérer les processus oscillatoires de nature différente d'un seul point de vue. Parallèlement aux progrès et mouvements de rotation En mécanique des corps, les mouvements oscillatoires présentent également un intérêt considérable.

Vibrations mécaniques sont des mouvements de corps qui se répètent exactement (ou approximativement) à intervalles de temps égaux. La loi du mouvement d'un corps oscillant est spécifiée à l'aide d'une certaine fonction périodique du temps x = f(t). Image graphique Cette fonction donne une représentation visuelle de l'évolution du processus oscillatoire au fil du temps. Un exemple d'onde de ce type est celui des ondes se déplaçant le long d'un élastique tendu ou le long d'une corde.

Des exemples de systèmes oscillatoires simples incluent une charge sur un ressort ou pendule mathématique(Fig. 1).

Fig. 1. Systèmes oscillatoires mécaniques.

Vibrations mécaniques, comme les processus oscillatoires de toute autre nature physique, peuvent être libres et forcés. Des vibrations libres se produisent sous l’influence des forces internes du système, après que celui-ci ait été déséquilibré. Les oscillations d'un poids sur un ressort ou les oscillations d'un pendule sont des oscillations libres. Les oscillations qui se produisent sous l'influence de forces externes changeant périodiquement sont appelées forcées.

La figure 2 montre des graphiques des coordonnées, de la vitesse et de l'accélération d'un corps effectuant vibrations harmoniques.

Le type de processus oscillatoire le plus simple est constitué par les oscillations harmoniques simples, qui sont décrites par l'équation :

x = m cos (ωt + f 0).

Figure 2 - Graphiques de coordonnées x(t), vitesse υ(t)

et l'accélération a(t) d'un corps effectuant des oscillations harmoniques.

Les ondes sonores ou simplement le son est le nom donné aux ondes perçues par l'oreille humaine.

Si les vibrations des particules sont excitées n'importe où dans un milieu solide, liquide ou gazeux, alors en raison de l'interaction des atomes et des molécules du milieu, les vibrations commencent à se transmettre d'un point à un autre avec une vitesse finie. Le processus de propagation des vibrations dans un milieu s’appelle une onde.

Les ondes harmoniques ou sinusoïdales simples présentent un intérêt considérable pour la pratique. Ils sont caractérisés par l'amplitude A des vibrations des particules, la fréquence f et la longueur d'onde λ. Les ondes sinusoïdales se propagent dans des milieux homogènes avec une certaine vitesse constanteυ.

Si la vision humaine avait la capacité de voir les ondes sonores, électromagnétiques et radio, nous verrions alors de nombreuses sinusoïdes de toutes sortes autour de nous.

Certes, tout le monde a observé plus d'une fois le phénomène selon lequel les objets plongés dans l'eau changent immédiatement de taille et de proportions. Un phénomène intéressant : vous plongez votre main dans l’eau et elle se transforme immédiatement en main d’une autre personne. Pourquoi cela arrive-t-il? La réponse à cette question et une explication détaillée de ce phénomène, comme toujours, sont données par la physique, une science qui peut expliquer presque tout ce qui nous entoure dans ce monde.

Ainsi, en effet, lorsqu'ils sont immergés dans l'eau, les objets, bien entendu, ne changent ni leur taille ni leur contour. Il s’agit simplement d’un effet optique, c’est-à-dire que nous percevons visuellement cet objet différemment. Cela est dû aux propriétés du faisceau lumineux. Il s'avère que la vitesse de propagation de la lumière est fortement influencée par ce que l'on appelle la densité optique du milieu. Plus ce milieu optique est dense, plus le faisceau lumineux se propage lentement.

Mais même un changement dans la vitesse d'un faisceau lumineux n'explique pas complètement le phénomène que nous envisageons. Il y a un autre facteur. Ainsi, lorsqu'un faisceau lumineux franchit la frontière entre un milieu optique moins dense, tel que l'air, et un milieu optique plus dense, tel que l'eau, une partie du faisceau lumineux ne pénètre pas à l'intérieur. nouvel environnement, mais est réfléchi par sa surface. L’autre partie du faisceau lumineux pénètre à l’intérieur, mais en changeant de direction.

Ce phénomène est appelé réfraction de la lumière, et les scientifiques sont depuis longtemps capables non seulement d'observer, mais aussi de calculer avec précision l'angle de cette réfraction. Il s'est avéré que le plus simple formules trigonométriques et la connaissance du sinus de l'angle d'incidence et de l'angle de réfraction permettent de connaître l'indice de réfraction constant pour le passage d'un rayon lumineux d'un milieu spécifique à un autre. Par exemple, l'indice de réfraction de l'air est extrêmement faible et s'élève à 1,0002926, celui de l'eau est légèrement plus élevé - 1,332986, le diamant réfracte la lumière avec un coefficient de 2,419 et le silicium - 4,010.

Ce phénomène est à l'origine de ce qu'on appelle Théories de l'arc-en-ciel. La théorie de l'arc-en-ciel a été proposée pour la première fois en 1637 par René Descartes. Il a expliqué les arcs-en-ciel comme un phénomène lié à la réflexion et à la réfraction de la lumière dans les gouttes de pluie.

Un arc-en-ciel se produit parce que la lumière du soleil est réfractée par les gouttelettes d'eau en suspension dans l'air selon la loi de la réfraction :

où n 1 =1, n 2 ≈1,33 sont respectivement les indices de réfraction de l'air et de l'eau, α est l'angle d'incidence et β est l'angle de réfraction de la lumière.

Application de la trigonométrie à l'art et à l'architecture.

Depuis que l’homme a commencé à exister sur Terre, la science est devenue la base pour améliorer la vie quotidienne et d’autres domaines de la vie. Les fondements de tout ce qui est créé par l'homme sont diverses directions naturelles et sciences mathématiques. L'un d'eux est la géométrie. L'architecture n'est pas le seul domaine scientifique dans lequel des formules trigonométriques sont utilisées. La plupart des décisions de composition et de construction des dessins ont eu lieu précisément à l'aide de la géométrie. Mais les données théoriques ne signifient pas grand-chose. Considérons un exemple de construction d'une sculpture par un maître français de l'âge d'or de l'art.

Le rapport proportionnel dans la construction de la statue était idéal. Cependant, lorsque la statue fut élevée sur un piédestal élevé, elle paraissait laide. Le sculpteur n'a pas tenu compte du fait qu'en perspective, vers l'horizon, de nombreux détails sont réduits et qu'en regardant de bas en haut, l'impression de son idéalité n'est plus créée. De nombreux calculs ont été effectués pour que le chiffre avec haute altitude semblait proportionné. Ils reposaient principalement sur la méthode d’observation, c’est-à-dire une mesure approximative à l’œil nu. Cependant, le coefficient de différence de certaines proportions a permis de rapprocher le chiffre de l'idéal. Ainsi, connaissant la distance approximative de la statue au point de vue, à savoir du haut de la statue aux yeux de la personne et la hauteur de la statue, on peut calculer le sinus de l'angle d'incidence du regard à l'aide d'un tableau, retrouvant ainsi le point de vue (Fig. 4).

Sur la figure 5, la situation change, puisque la statue s'élève à une hauteur AC et NS augmente, on peut calculer les valeurs du cosinus de l'angle C, et à partir du tableau on trouvera l'angle d'incidence du regard. Au cours du processus, vous pouvez calculer AN, ainsi que le sinus de l'angle C, ce qui vous permettra de vérifier les résultats à l'aide du principal identité trigonométrique cos 2 une+ péché 2 une = 1.

En comparant les mesures AN dans le premier et le deuxième cas, on peut trouver le coefficient de proportionnalité. Par la suite, nous recevrons un dessin, puis une sculpture, une fois soulevée, la figure sera visuellement plus proche de l'idéal

Les bâtiments emblématiques du monde entier ont été conçus grâce aux mathématiques, qui peuvent être considérées comme le génie de l’architecture. Quelques exemples célèbres de tels bâtiments : l'école pour enfants Gaudi à Barcelone, le gratte-ciel Mary Axe à Londres, la cave Bodegas Isios en Espagne, le restaurant à Los Manantiales en Argentine. Lors de la conception de ces bâtiments, la trigonométrie a été impliquée.

Trigonométrie en biologie.

Un des propriétés fondamentales la nature vivante est la nature cyclique de la plupart des processus qui s'y déroulent. Entre le mouvement corps célestes et les organismes vivants sur Terre, il existe un lien. Les organismes vivants captent non seulement la lumière et la chaleur du Soleil et de la Lune, mais disposent également de divers mécanismes qui déterminent avec précision la position du Soleil, réagissent au rythme des marées, aux phases de la Lune et au mouvement de notre planète.

Rythmes biologiques, les biorythmes, sont des changements plus ou moins réguliers dans la nature et l'intensité des processus biologiques. La capacité d’effectuer de tels changements dans l’activité vitale est héréditaire et se retrouve dans presque tous les organismes vivants. Ils peuvent être observés dans des cellules, des tissus et des organes individuels, des organismes entiers et des populations. Les biorythmes sont divisés en physiologique, ayant des périodes allant de fractions de seconde à plusieurs minutes et environnemental, durée coïncidant avec n'importe quel rythme environnement. Ceux-ci incluent les rythmes quotidiens, saisonniers, annuels, de marée et lunaires. Le rythme terrestre principal est quotidien, déterminé par la rotation de la Terre autour de son axe, donc presque tous les processus d'un organisme vivant ont une périodicité quotidienne.

De nombreux facteurs environnementaux sur notre planète, principalement les conditions d'éclairage, la température, la pression et l'humidité de l'air, les champs atmosphériques et électromagnétiques, les marées, changent naturellement sous l'influence de cette rotation.

Nous sommes constitués à soixante-quinze pour cent d'eau, et si au moment de la pleine lune les eaux des océans du monde s'élèvent à 19 mètres au-dessus du niveau de la mer et que la marée commence, alors l'eau de notre corps se précipite également vers les parties supérieures de notre corps. Et les personnes souffrant d'hypertension artérielle subissent souvent des exacerbations de la maladie pendant ces périodes, et les naturalistes qui collectent des herbes médicinales savent exactement dans quelle phase de la lune récolter les « sommités - (fruits) » et dans laquelle récolter les « racines ».

Avez-vous remarqué qu'à certaines périodes votre vie fait des bonds inexplicables ? Soudain, sorties de nulle part, les émotions débordent. La sensibilité augmente, ce qui peut soudainement céder la place à une apathie totale. Des journées créatives et infructueuses, des moments heureux et malheureux, des sautes d'humeur soudaines. Il a été remarqué que les capacités du corps humain changent périodiquement. Cette connaissance est à la base de la « théorie des trois biorythmes ».

Biorythme physique– régule l’activité physique. Pendant la première moitié du cycle physique, une personne est énergique et obtient de meilleurs résultats dans ses activités (la seconde moitié - l'énergie cède la place à la paresse).

Rythme émotionnel – pendant les périodes de son activité, la sensibilité augmente et l'humeur s'améliore. Une personne devient sensible à diverses catastrophes extérieures. S'il est de bonne humeur, il construit des châteaux dans les airs, rêve de tomber amoureux et tombe amoureux. Lorsque le biorythme émotionnel diminue, la force mentale diminue, le désir et l'humeur joyeuse disparaissent.

Biorythme intellectuel - il contrôle la mémoire, la capacité d’apprendre et la pensée logique. Dans la phase d'activité, il y a une augmentation, et dans la deuxième phase, il y a une diminution de l'activité créatrice, il n'y a ni chance ni succès.

La théorie des trois rythmes.

· Cycle physique - 23 jours. Détermine l'énergie, la force, l'endurance, la coordination des mouvements

· Cycle émotionnel - 28 jours. État système nerveux et humeur

· Cycle intellectuel - 33 jours. Détermine la capacité créative de l'individu

La trigonométrie est également présente dans la nature. Mouvement des poissons dans l'eau se produit selon la loi du sinus ou du cosinus, si vous fixez un point sur la queue et considérez ensuite la trajectoire du mouvement. Lorsqu'il nage, le corps du poisson prend la forme d'une courbe qui ressemble au graphique de la fonction y=tgx.

Lorsqu'un oiseau vole, la trajectoire des battements d'ailes forme une sinusoïde.

Trigonométrie en médecine.

Grâce aux recherches menées par Vahid-Reza Abbasi, étudiant à l'Université iranienne de Chiraz, les médecins ont pu pour la première fois organiser les informations liées à activité électrique cœur ou, en d’autres termes, électrocardiographie.

La formule, baptisée Téhéran, a été présentée à la communauté scientifique générale lors de la 14e conférence de médecine géographique puis lors de la 28e conférence sur l'utilisation de l'informatique en cardiologie, organisée aux Pays-Bas.

Cette formule est une équation algébrique-trigonométrique complexe composée de 8 expressions, 32 coefficients et 33 paramètres principaux, dont plusieurs supplémentaires pour les calculs en cas d'arythmie. Selon les médecins, cette formule facilite grandement le processus de description des principaux paramètres de l'activité cardiaque, accélérant ainsi le diagnostic et le début du traitement lui-même.

Beaucoup de gens doivent faire un cardiogramme du cœur, mais peu savent que le cardiogramme du cœur humain est un graphique sinus ou cosinus.

La trigonométrie aide notre cerveau à déterminer les distances par rapport aux objets. Des scientifiques américains affirment que le cerveau estime la distance aux objets en mesurant l'angle entre le plan terrestre et le plan de vision. Cette conclusion a été tirée après une série d'expériences dans lesquelles les participants ont été invités à examiner le mondeà travers des prismes qui augmentent cet angle.

Cette distorsion a conduit au fait que les porteurs de prismes expérimentaux percevaient les objets éloignés comme plus proches et ne pouvaient pas faire face aux tests les plus simples. Certains des participants aux expériences se sont même penchés en avant, essayant d'aligner leur corps perpendiculairement à la surface de la terre mal imaginée. Cependant, après 20 minutes, ils se sont habitués à la perception déformée et tous les problèmes ont disparu. Cette circonstance indique la flexibilité du mécanisme par lequel le cerveau adapte le système visuel aux conditions extérieures changeantes. Il est intéressant de noter qu'après le retrait des prismes, l'effet inverse a été observé pendant un certain temps : une surestimation de la distance.

Comme on pourrait le supposer, les résultats de la nouvelle étude intéresseront les ingénieurs qui conçoivent des systèmes de navigation pour robots, ainsi que les spécialistes qui travaillent à la création des modèles virtuels les plus réalistes. Des applications dans le domaine médical sont également possibles, dans la rééducation des patients présentant des lésions dans certaines zones du cerveau.

Conclusion

Actuellement calculs trigonométriques sont utilisés dans presque tous les domaines de la géométrie, de la physique et de l’ingénierie. Grande importance dispose d'une technique de triangulation qui vous permet de mesurer les distances par rapport aux étoiles proches en astronomie, entre des points de repère en géographie et de contrôler les systèmes de navigation par satellite. Il convient également de noter l'application de la trigonométrie dans des domaines tels que la théorie musicale, l'acoustique, l'optique, l'analyse des marchés financiers, l'électronique, la théorie des probabilités, les statistiques, la médecine (y compris échographie(échographie) et tomodensitométrie), produits pharmaceutiques, chimie, théorie des nombres, sismologie, météorologie, océanologie, cartographie, nombreuses branches de la physique, topographie et géodésie, architecture, économie, génie électronique, génie mécanique, infographie, cristallographie.

Conclusions :

· Nous avons découvert que la trigonométrie est née de la nécessité de mesurer des angles, mais qu'au fil du temps, elle s'est développée pour devenir la science des fonctions trigonométriques.

· Nous avons prouvé que la trigonométrie est étroitement liée à la physique, à la biologie et se retrouve dans la nature, l'architecture et la médecine.

· Nous pensons que la trigonométrie a trouvé sa place dans nos vies et que les domaines dans lesquels elle joue un rôle important continueront à se développer.

Littérature

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6. Ucheba.ru

7. « Bibliothèque » Math.ru

Trigonométrie en médecine et biologie

Modèle de rythme bohrythmique peut être construit à l’aide de fonctions trigonométriques. Pour construire un modèle de biorythme, vous devez saisir la date de naissance de la personne, la date de référence (jour, mois, année) et la durée prévisionnelle (nombre de jours).

Formule coeur. Grâce à une étude menée par Vahid-Reza Abbasi, étudiant à l'université iranienne de Shiraz, les médecins ont pu pour la première fois organiser les informations liées à l'activité électrique du cœur, ou en d'autres termes, à l'électrocardiographie. La formule est une équation algébrique-trigonométrique complexe composée de 8 expressions, 32 coefficients et 33 paramètres principaux, dont plusieurs supplémentaires pour les calculs en cas d'arythmie. Selon les médecins, cette formule facilite grandement le processus de description des principaux paramètres de l'activité cardiaque, accélérant ainsi le diagnostic et le début du traitement lui-même.

La trigonométrie aide également notre cerveau à déterminer les distances par rapport aux objets.

1) La trigonométrie aide notre cerveau à déterminer les distances par rapport aux objets.

Des scientifiques américains affirment que le cerveau estime la distance aux objets en mesurant l'angle entre le plan terrestre et le plan de vision. À proprement parler, l'idée de « mesurer les angles » n'est pas nouvelle. Plus d'artistes La Chine ancienne ils dessinaient des objets éloignés plus haut dans le champ de vision, négligeant quelque peu les lois de la perspective. La théorie de la détermination de la distance en estimant les angles a été formulée par le scientifique arabe Alhazen du XIe siècle. Après une longue période d'oubli au milieu du siècle dernier, l'idée a été relancée par le psychologue James

2)Mouvement des poissons dans l'eau se produit selon la loi du sinus ou du cosinus, si vous fixez un point sur la queue et considérez ensuite la trajectoire du mouvement. Lorsqu'il nage, le corps du poisson prend la forme d'une courbe qui ressemble au graphique de la fonction y=tg(x)
5. Conclusion

À la suite de l'exécution travail de recherche:

· Je me suis familiarisé avec l'histoire de la trigonométrie.

· Méthodes systématisées pour résoudre des équations trigonométriques.

· Découverte des applications de la trigonométrie en architecture, biologie et médecine.

TRIGONOMÉTRIE– (du grec trigwnon – triangle et mètrew – je mesure) – discipline mathématique, qui étudie les relations entre les angles et les côtés des triangles et fonctions trigonométriques.

Le terme « trigonométrie » a été introduit en 1595 par le mathématicien et théologien allemand Bartholomew Pitiscus, auteur d'un manuel sur la trigonométrie et les tables trigonométriques. Vers la fin du XVIe siècle. La plupart des fonctions trigonométriques étaient déjà connues, même si le concept lui-même n’existait pas encore.

En trigonométrie, il existe trois types de relations : 1) entre les fonctions trigonométriques elles-mêmes ; 2) entre les éléments d'un triangle plan (trigonométrie sur un plan) ; 3) entre les éléments d'un triangle sphérique, c'est-à-dire une figure sculptée sur une sphère par trois plans passant par son centre. La trigonométrie a commencé précisément avec la partie sphérique la plus complexe. Cela répondait avant tout à des besoins pratiques. Les anciens observaient le mouvement corps célestes. Les scientifiques ont traité les données de mesure pour tenir un calendrier et déterminer correctement l'heure de début des semis et de la récolte, ainsi que les dates des fêtes religieuses. Les étoiles servaient à calculer la position d'un navire en mer ou la direction de déplacement d'une caravane dans le désert. Observations sur ciel étoilé Depuis des temps immémoriaux, les astrologues ont également dirigé.

Naturellement, toutes les mesures liées à la localisation des luminaires dans le ciel sont des mesures indirectes. Des lignes droites ne pouvaient être tracées qu'à la surface de la Terre, mais même ici, il n'était pas toujours possible de déterminer directement la distance entre certains points, puis ils ont de nouveau eu recours à mesures indirectes. Par exemple, ils calculaient la hauteur d’un arbre en comparant la longueur de son ombre avec la longueur de l’ombre d’un poteau dont la hauteur était connue. La taille de l’île dans la mer a été calculée de la même manière. De tels problèmes se résument à l’analyse d’un triangle dans lequel certains de ses éléments s’expriment à travers d’autres. C'est ce que fait la trigonométrie. Et comme les étoiles et les planètes étaient représentées par les anciens comme des points sur sphère céleste, puis c'est la trigonométrie sphérique qui a commencé à se développer en premier. Elle était considérée comme une branche de l’astronomie.

Et tout a commencé il y a très longtemps. Les premières informations fragmentaires sur la trigonométrie ont été conservées sur des tablettes cunéiformes de l'ancienne Babylone. Les astronomes de Mésopotamie ont appris à prédire la position de la Terre et du Soleil, et c'est d'eux que nous est parvenu le système de mesure des angles en degrés, minutes et secondes, car les Babyloniens ont adopté un système numérique sexagésimal.

Cependant, les premières réalisations véritablement importantes appartenaient aux scientifiques grecs antiques. Par exemple, les 12ème et 13ème théorèmes du deuxième livre A commencé Euclide (fin IVe-IIIe siècles avant JC) exprime essentiellement le théorème du cosinus. Au IIe siècle. AVANT JC. l'astronome Hipparque de Nicée (180-125 avant JC) a dressé un tableau pour déterminer les relations entre les éléments des triangles. De tels tableaux sont nécessaires car les valeurs des fonctions trigonométriques ne peuvent pas être calculées à partir des arguments utilisant opérations arithmétiques. Les fonctions trigonométriques devaient être calculées à l'avance et stockées dans des tableaux. Hipparque calculait la longueur des cordes dans un cercle d'un rayon donné, correspondant à tous les angles de 0 à 180°, multiples de 7,5°. Il s’agit essentiellement d’une table de sinus. Les œuvres d'Hipparque ne nous sont pas parvenues, mais de nombreuses informations qu'elles contiennent sont incluses dans Almageste(IIe siècle) - une œuvre célèbre en 13 livres de l'astronome et mathématicien grec Claudius Ptolémée (décédé vers 160 après JC). Les Grecs de l'Antiquité ne connaissaient pas les sinus, les cosinus et les tangentes ; au lieu de tables de ces quantités, ils utilisaient des tables qui permettaient de trouver la corde d'un cercle le long d'un arc sous-tendu. DANS Almageste l'auteur fournit un tableau des longueurs de cordes d'un cercle de rayon 60 unités, calculées par incréments de 0,5° avec une précision de 1/3600 d'unité, et explique comment ce tableau a été établi. Les travaux de Ptolémée ont servi d'introduction à la trigonométrie aux astronomes pendant plusieurs siècles.

Pour comprendre comment les anciens scientifiques compilaient tables trigonométriques, vous devez vous familiariser avec la méthode de Ptolémée. La méthode est basée sur le théorème : le produit des diagonales d'un quadrilatère inscrit dans un cercle est égal à la somme des produits de ses côtés opposés.

Laisser A B C D quadrilatère inscrit , ANNONCE - diamètre d'un cercle et d'un point Ô– son centre (Fig. 1). Si vous savez calculer les accords sous-tendant les angles DOCUMENT= un et date de naissance = b, c'est-à-dire côté CD et en diagonale B, alors, selon le théorème de Pythagore, à partir de triangles rectangles ADV Et CDA peut être trouvé AB et AC, et puis, selon le théorème de Ptolémée, - AVANT JC. = (CA· ВD – АВ· CD) /ANNONCE, c'est à dire. accord sous-tendant un angle VOS=b - un. Certaines cordes, comme les côtés d'un carré, d'un hexagone régulier et d'un octogone correspondant à des angles de 90, 60 et 45°, sont faciles à déterminer. On connaît également le côté d'un pentagone régulier, qui sous-tend un arc de 72°. La règle ci-dessus vous permet de calculer des cordes pour les différences de ces angles, par exemple pour 12° = 72° – 60°. De plus, on peut trouver des cordes de demi-angles, mais cela ne suffit pas pour calculer à quoi est égale la corde d'un arc de 1°, ne serait-ce que parce que tous ces angles sont des multiples de 3°. Pour la corde 1°, Ptolémée a trouvé une estimation, montrant qu'elle est supérieure aux 2/3 de la corde (3/2)° et inférieure aux 4/3 de la corde (3/4)° - deux nombres qui coïncident avec suffisamment précision pour ses tableaux.

Si les Grecs calculaient les accords à partir des angles, alors les astronomes indiens dans les travaux des IVe-Ve siècles. passé aux demi-accords du double arc, c'est-à-dire exactement aux lignes sinusoïdales (Fig. 2). Ils ont également utilisé les lignes du cosinus - ou plutôt, non pas le cosinus lui-même, mais le sinus « inversé », qui reçut plus tard le nom de « sinus contre » en Europe ; maintenant cette fonction est égale à 1 – cos a, n'est plus utilisé. Par la suite, la même approche a conduit à la définition de fonctions trigonométriques en termes de rapports de côtés triangle rectangle.

Par unité de mesure des segments Député,PO,Pennsylvanie La minute d'arc a été prise. Donc, la ligne sinusoïdale de l'arc UN B= 90° oui O.B.– rayon du cercle ; arc AL, égal au rayon, contient (arrondi) 57°18" = 3438".

Les tables indiennes des sinus qui nous sont parvenues (la plus ancienne a été compilée aux IVe-Ve siècles après JC) ne sont pas aussi précises que celles de Ptolémée ; ils sont composés à intervalles de 3°45" (c'est-à-dire au 1/24ème de l'arc du quadrant).

Les termes « sinus » et « cosinus » viennent des Indiens, non sans un curieux malentendu. Les Indiens appelaient le demi-accord « ardhajiva » (traduit du sanskrit par « la moitié de la corde de l'arc »), puis raccourcissaient ce mot en « jiva ». Les astronomes et mathématiciens musulmans, qui ont reçu des Indiens des connaissances en trigonométrie, l'ont pris comme « jiba », puis l'ont transformé en « jaib », qui en arabe signifie « convexité », « sinus ». Enfin, au VIIe siècle. « empannage » a été littéralement traduit en latin par « sinus » , ce qui n'a rien à voir avec le concept qu'il désigne. Le sanskrit « kotijiva » est le sinus du reste (jusqu'à 90°), et en latin c'est sinus complémenti, c'est-à-dire complément sine, au XVIIe siècle. abrégé au mot « cosinus ». Les noms « tangente » et « sécante » (traduit du latin signifiant « tangente » et « sécante ») ont été introduits en 1583 par le scientifique allemand Fink.

Les scientifiques arabes, comme Al-Battani (vers 900 après JC), ont grandement contribué au développement de la trigonométrie. Au 10ème siècle Le scientifique de Bagdad Muhammad de Bujan, connu sous le nom d'Abu-l-Vefa (940-997), a ajouté des lignes de tangentes, de cotangentes, de sécantes et de cosécantes aux lignes de sinus et de cosinus. Il leur donne les mêmes définitions que celles contenues dans nos manuels. Abul-Vefa établit également les relations fondamentales entre ces lignes.

Donc, à la fin du Xe siècle. les scientifiques du monde islamique exerçaient déjà, outre le sinus et le cosinus, quatre autres fonctions : tangente, cotangente, sécante et cosécante ; découvert et prouvé plusieurs théorèmes importants de la trigonométrie plane et sphérique ; ils utilisaient un cercle de rayon unité (ce qui permettait d'interpréter les fonctions trigonométriques au sens moderne) ; a inventé le triangle polaire d'un triangle sphérique. Les mathématiciens arabes ont compilé des tableaux précis, par exemple des tableaux de sinus et de tangentes avec un pas de 1" et une précision de 1/700 000 000. Une tâche appliquée très importante était la suivante : apprendre à déterminer la direction vers La Mecque pour les cinq prières quotidiennes, où que ce soit. le musulman l’était.

En particulier grande influence influencé le développement de la trigonométrie Traité sur le quadrilatère complet l'astronome Nasir-ed-Din de Tus (1201-1274), également connu sous le nom d'at-Tusi. Ce fut le premier ouvrage au monde dans lequel la trigonométrie était traitée comme une branche indépendante des mathématiques.

Au XIIe siècle a été transféré de arabeà une série d'ouvrages astronomiques latins, à partir desquels les Européens se sont familiarisés pour la première fois avec la trigonométrie.

Le traité de Nasir-ed-Din fit une grande impression sur l'astronome et mathématicien allemand Johann Muller (1436-1476). Ses contemporains le connaissaient mieux sous le nom de Regiomontana (c'est ainsi que son nom est traduit en latin). ville natale Koenigsberg, aujourd'hui Kaliningrad). Regiomontan a compilé de nombreux tableaux de sinus (en 1 minute, précis au septième chiffre significatif). Pour la première fois, il s'écarte de la division sexagésimale du rayon et prend un dix millionième partie du rayon comme unité de mesure de la ligne sinusoïdale. Ainsi, les sinus étaient exprimés en nombres entiers et non en fractions sexagésimales. Avant l'introduction décimales Il ne restait plus qu'un pas, mais cela a pris plus de 100 ans. Travail Régional Montana Cinq livres sur les triangles en tout genre a joué le même rôle dans les mathématiques européennes que les travaux de Nasir-ed-Din dans la science des pays musulmans.

Les tables de Regiomontanus furent suivies de nombreuses autres, encore plus détaillées. L'ami de Copernic, Rheticus (1514-1576), avec plusieurs assistants, travailla pendant 30 ans sur les tableaux achevés et publiés en 1596 par son élève Otto. Les angles passaient par 10 "", et le rayon était divisé en 1 000 000 000 000 000 de parties, de sorte que les sinus avaient 15 chiffres corrects.

Le développement ultérieur de la trigonométrie a suivi la voie de l'accumulation et de la systématisation des formules, de la clarification des concepts de base et du développement de la terminologie et de la notation. De nombreux mathématiciens européens ont travaillé dans le domaine de la trigonométrie. Parmi eux se trouvent de grands scientifiques comme Nicolas Copernic (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601) et Johannes Kepler (1571-1630). François Viète (1540-1603) complète et systématise divers cas de résolution de triangles plans et sphériques, découvre le théorème du cosinus « plat » et les formules des fonctions trigonométriques d'angles multiples. Isaac Newton (1643-1727) a étendu ces fonctions en séries et a ouvert la voie à leur utilisation en analyse mathématique. Leonhard Euler (1707-1783) a introduit à la fois le concept même de fonction et le symbolisme accepté aujourd'hui. Les quantités pèchent X, parce que X etc. il les considérait comme des fonctions de nombres X– mesure en radian de l'angle correspondant. Euler a donné le numéro X toutes sortes de significations : positives, négatives et même complexes. Il a également découvert le lien entre les fonctions trigonométriques et l'exposant d'un argument complexe, qui a permis de transformer de nombreuses formules trigonométriques souvent très complexes en simples conséquences des règles d'addition et de multiplication. nombres complexes. Il a également introduit les fonctions trigonométriques inverses.

Vers la fin du XVIIIe siècle. la trigonométrie en tant que science a déjà pris forme. Les fonctions trigonométriques ont trouvé des applications dans l'analyse mathématique, la physique, la chimie, l'ingénierie - partout où l'on doit traiter des processus et des oscillations périodiques - que ce soit en acoustique, en optique ou dans le balancement d'un pendule.

Résoudre des triangles revient en fin de compte à résoudre des triangles rectangles (c'est-à-dire ceux dont l'un des angles est un angle droit). Puisque tous les triangles rectangles ayant un angle aigu donné sont semblables les uns aux autres, les rapports de leurs côtés respectifs sont les mêmes. Par exemple, dans un triangle rectangle abc le rapport de ses deux côtés, par exemple, jambe UNà l'hypoténuse Avec, dépend de la taille de l'un des angles aigus, par exemple UN. Les rapports des différentes paires de côtés d’un triangle rectangle sont appelés fonctions trigonométriques son angle aigu. Il existe six relations de ce type dans un triangle, et six fonctions trigonométriques leur correspondent (désignations des côtés et des angles du triangle sur la Fig. 3).

Parce que UN + DANS= 90°, alors

péché UN=cos B= cos(90° – UN),

UN=ctg B= ctg (90° – UN).

Des définitions découlent plusieurs égalités qui relient les fonctions trigonométriques du même angle entre elles :

Prise en compte du théorème de Pythagore un 2 + b 2 = c 2, vous pouvez exprimer les six fonctions en une seule. Par exemple, le sinus et le cosinus sont liés par l'identité trigonométrique de base

péché 2 UN+ parce que 2 UN = 1.

Quelques relations entre fonctions :

Ces formules sont également valables pour les fonctions trigonométriques de n'importe quel angle, mais elles doivent être utilisées avec précaution, car les côtés droit et gauche peuvent avoir différentes régions définitions.

Il n’y a que deux triangles rectangles qui ont aussi de « bons » angles (exprimés sous forme d’entier ou nombre rationnel degrés), et au moins une des relations des parties est rationnelle. Ce triangle isocèle(avec angles 45, 45 et 90°) et demi triangle équilatéral(avec des angles de 30, 60, 90°) - ce sont exactement les deux cas où les valeurs des fonctions trigonométriques peuvent être calculées directement par définition. Ces valeurs sont données dans le tableau

n	0	1	2	3	4
Coin	0	30°	45°	60°	90°
péché
parce que
tg
CTG			Les relations incluses dans le théorème des sinus ont une simple signification géométrique. Si vous décrivez un cercle autour d'un triangle abc(Fig. 4) et dessinez le diamètre BD, puis par le théorème de l'angle inscrit P BCD=P UN ou, si l'angle est obtus, 180° – UN. De toute façon un = AVANT JC. = BD péché UN = 2 R. péché UN ou Où R.– rayon du cercle circonscrit au triangle abc. Il s'agit d'un théorème sinus "renforcé", qui explique pourquoi les tables d'accords des anciens étaient essentiellement des tables sinusoïdales. Le théorème du cosinus est également prouvé Avec 2 = UN 2 + b 2 – 2un B parce que AVEC. vous permettant de trouver le côté d'un triangle à partir des deux autres côtés et l'angle entre eux, ainsi que les angles à trois côtés. Il existe par exemple un certain nombre d’autres relations entre les éléments d’un triangle. théorème de la tangente : où parce que (un + b ) = cos a cos b – péché un péché b, parce que (un – b) = cos a cos b + un péché un péché b. Définition générale des fonctions trigonométriques Laissez le point se déplacer à la vitesse unitaire le long cercle unitaire centré à l'origine À PROPOS dans le sens antihoraire (Fig. 5). Sur le moment t= 0 point réussi P0(dix). Pendant t un point passe par un arc de longueur t et prend le poste P t, ce qui signifie l'angle par lequel un rayon dirigé vers ce point depuis À PROPOS, est également égal t. Ainsi, nous comparons chaque instant dans le temps, c'est-à-dire indiquer t vraie ligne, point P t cercle unité. Cette cartographie d’une ligne sur un cercle est parfois appelée « enroulement ». Si l'on imagine l'axe réel comme un fil inextensible sans fin, appliquez un point t = 0 au point P0 cercle et commencez à enrouler les deux extrémités du fil autour du cercle, puis chaque point t je frapperai sur place P t. Où: 1) points d'axe espacés les uns des autres d'un nombre entier de longueurs de cercle, soit par 2 pk(k=±1, ±2, …)), tombent au même point du cercle ; 2) points t Et –t tomber en points symétriques par rapport à Bœuf; 3) à 0 ° tЈ p coin P. 0 Opter disposé en demi-plan à je 0 et égal t(Fig. 8). Ces trois conditions constituent la définition formelle d'une telle cartographie - enroulement. En raison de la condition 3 à 0 = tЈ p les coordonnées du point p sont égales à (cos t,péché t). Cette observation suggère la définition : cosinus et sinus d'un nombre arbitraire t l'abscisse et l'ordonnée d'un point sont appelées respectivement P t. La tangente peut également être déterminée grâce aux coordonnées. Traçons une tangente au cercle unité au point (1 ; 0) (Fig. 7). C'est ce qu'on appelle l'axe tangent. Point Qt intersection d'une droite Opter avec l'axe tangent a les coordonnées (1; sin t/cos t), et son ordonnée, par définition, est égale à tg t. Par valeur absolue est la longueur du segment tangent tiré de Qt au cercle. Ainsi, le nom même de « tangente » est pleinement justifié. D'ailleurs, comme la sécante : sur la Fig. 9 secondes t- segment de ligne OQt, qui pourtant n’est pas la sécante entière, mais une partie de celle-ci. Enfin, la cotangente peut être définie comme l'abscisse du point d'intersection Opter avec l'axe des cotangentes – tangente au cercle unité au point (0, 1) : ctg t=cos t/péché t. Désormais, les fonctions trigonométriques sont définies pour tous les nombres. Marina Fedosova

Travail de mathématiques
« La trigonométrie et ses applications pratiques »

Effectué :

étudiant en 2ème année

groupes KD-207

Souvorova Elena Viktorovna
Superviseur:

professeur de mathématiques

Orlova Galina Nikolaïevna

Introduction 3

Histoire de la trigonométrie 5

Architecture 6

La biologie. Médecine 7

Conclusion 11

Introduction 3

Histoire de la trigonométrie 5

Sinus, cosinus, tangente, cotangente 5

Architecture 6

La biologie. Médecine 7

Détermination de la distance jusqu'à un point inaccessible 8

Conclusion 11

Introduction

Trigonométrie -l'une des sciences les plus anciennes et les plus intéressantes qui étudie formes géométriques. Il est impossible d'imaginer notre monde sans leur existence. Cette science dispose d'une énorme quantité de divers théorèmes qui sont constamment utilisés à la fois pour résoudre problèmes mathématiques, donc dans la vie.

Beaucoup de gens posent des questions: Pourquoi la trigonométrie est-elle nécessaire ? Comment est-il utilisé dans notre monde ? À quoi peut être liée la trigonométrie ? Et voici les réponses à ces questions. La trigonométrie ou fonctions trigonométriques sont utilisées en astronomie (notamment pour calculer les positions des objets célestes) lorsque la trigonométrie sphérique est requise, en navigation maritime et aérienne, en solfège, en acoustique, en optique, en analyse des marchés financiers, en électronique, en probabilités. théorie, en statistiques, biologie, imagerie médicale comme la tomodensitométrie et l'échographie, pharmacie, chimie, théorie des nombres, météorologie, océanographie, bien d'autres sciences physiques, en arpentage et géodésie, en architecture, en phonétique, en économie, en génie électrique, en génie mécanique, en génie civil, en infographie, en cartographie, en cristallographie, en développement de jeux et bien d'autres domaines.

Cible : être capable de prouver les théorèmes des cosinus et des sinus, de les appliquer pour résoudre des problèmes, de choisir la bonne solution lors de leur utilisation, de savoir où ces théorèmes sont appliqués dans la vie, d'examiner des problèmes avec un contenu pratique.

Histoire de la trigonométrie

Mot trigonométrie trouvé pour la première fois en 1505 dans le titre d'un livre du mathématicien allemand Pitiscus. Trigonométrie est un mot grec et signifie littéralement la mesure des triangles (« trigonan » - triangle, « meteo » - je mesure). L'émergence de la trigonométrie est associée à l'arpentage, à l'astronomie et à la construction. La plus grande incitation au développement de la trigonométrie est née en relation avec la solution de problèmes d'astronomie (pour résoudre des problèmes de détermination de l'emplacement d'un navire, de prévision de l'obscurité, etc.) à partir du XVIIe siècle. Les fonctions trigonométriques ont commencé à être utilisées pour résoudre des équations, des problèmes de mécanique, d'optique, d'électricité, d'ingénierie radio, pour décrire processus oscillatoires, propagation des ondes, mouvement de divers mécanismes, pour étudier des variables courant électrique etc.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente

Sinus L'angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse.

Cosinus L'angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse.

Tangente L'angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport entre le côté adjacent et le côté adjacent.

Cotangente L'angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé.

Architecture

Largement utilisé trigonométrie dans la construction, et surtout en architecture. La plupart des décisions de composition et de construction des dessins ont eu lieu précisément à l'aide de la géométrie. Mais les données théoriques ne signifient pas grand-chose. Je voudrais donner un exemple de la construction d'une sculpture d'un maître français de l'âge d'or de l'art.

Le rapport proportionnel dans la construction de la statue était idéal. Cependant, lorsque la statue fut élevée sur un piédestal élevé, elle paraissait laide. Le sculpteur n'a pas tenu compte du fait qu'en perspective, vers l'horizon, de nombreux détails sont réduits et qu'en regardant de bas en haut, l'impression de son idéalité n'est plus créée. De nombreux calculs ont été effectués pour garantir que le chiffre, vu d'une grande hauteur, paraisse proportionné. Ils reposaient principalement sur la méthode d’observation, c’est-à-dire une mesure approximative à l’œil nu. Cependant, le coefficient de différence de certaines proportions a permis de rapprocher le chiffre de l'idéal. Ainsi, connaissant la distance approximative de la statue au point de vue, à savoir du haut de la statue aux yeux de la personne et la hauteur de la statue, on peut calculer le sinus de l'angle d'incidence du regard à l'aide d'un tableau ( on peut faire la même chose avec le point de vue inférieur), retrouvant ainsi le point de vision

La situation change à mesure que la statue s’élève, donc la distance entre le sommet de la statue et les yeux de la personne augmente, et donc le sinus de l’angle d’incidence augmente. En comparant l'évolution de la distance du haut de la statue au sol dans le premier et le deuxième cas, on peut trouver le coefficient de proportionnalité. Par la suite, nous recevrons un dessin, puis une sculpture, une fois soulevée, la figure sera visuellement plus proche de l'idéal

La biologie. Médecine

Le mouvement du poisson dans l'eau se produit selon la loi du sinus ou du cosinus, si vous fixez un point sur la queue et considérez ensuite la trajectoire du mouvement. Lorsqu'il nage, le corps du poisson prend la forme d'une courbe qui ressemble au graphique de la fonction y=tgx.

Trigonométrie aide notre cerveau à déterminer les distances par rapport aux objets. Des scientifiques américains affirment que le cerveau estime la distance aux objets en mesurant l'angle entre le plan terrestre et le plan de vision. À proprement parler, l'idée de « mesurer les angles » n'est pas nouvelle. Même les artistes de la Chine ancienne peignaient des objets éloignés plus haut dans le champ de vision, négligeant quelque peu les lois de la perspective. La théorie de la détermination de la distance en estimant les angles a été formulée par le scientifique arabe Alhazen du XIe siècle. Après une longue période d'oubli, l'idée a été relancée au milieu du siècle dernier par le psychologue James Gibson, qui a fondé ses conclusions sur son expérience de travail avec des pilotes d'aviation militaire. Cependant, après cela, la théorie fut à nouveau oubliée.

Détermination de la distance jusqu'à un point inaccessible

Supposons que nous devions trouver la distance du point A à un point B inaccessible. Pour ce faire, sélectionnez le point C au sol, tracez un segment AC et mesurez-le. Ensuite, à l'aide d'un astrolabe, nous mesurons les angles A et C. Sur une feuille de papier, nous construisons une sorte de triangle A1B1C1, à partir duquel nous mesurons les longueurs des côtés A1B1 et AC1 de ce triangle. Puisque le triangle ABC est proportionnel au triangle A1B1C1, alors en utilisant les distances connues AC, A1C1 et A1B1, nous trouvons la distance AB. Pour simplifier les calculs, il est pratique de construire un triangle A1B1C1 tel que A1C1:AC = 1:1000. Par exemple, si AC = 130m, alors prenez la distance A1C1 égale à 130 mm. Dans ce cas

donc, après avoir mesuré la distance A1B1 en millimètres, on obtient immédiatement la distance AB en mètres. EXEMPLE. Construisons un triangle A1B1C1 pour mesurer le segment A1B1. Elle est égale à 153 mm, la distance requise est donc de 153 m.

Tâches

Tâche n°1

Le bateau traverse la rivière. Vitesse actuelle v1, vitesse du bateau par rapport à l'eau v2. Sous quel angle α par rapport au rivage le bateau doit-il aller pour traverser la rivière au-delà temps minimum; le chemin le plus court ?

v2

Solution:

Conclusion

Au cours de l'étude, il a été constaté que l'étude de la trigonométrie est intéressante et utile, car nous rencontrons souvent la trigonométrie dans la vie.

La résolution de problèmes de calcul contribue au développement de la pensée constructive, de la pensée analytique et logique, nécessaire dans la vie moderne.

Il a été établi que le travail systématique sur le développement des compétences dans la résolution de problèmes de géométrie à l'aide de la trigonométrie contribue au développement de connaissances générales. Développement intellectuel les étudiants, leurs capacités créatives, le potentiel de l'étudiant, la capacité de comprendre la situation, de tirer les conclusions nécessaires, alors que l'objectif principal n'est pas d'obtenir le résultat de la résolution du problème, mais de résoudre le problème lui-même, comme un ensemble d'étapes logiques conduisant à l’obtention d’une réponse. Il est très important d'apprendre à utiliser des méthodes optimales pour résoudre des problèmes, notamment méthode trigonométrique est le plus simple.

Objectif atteint : J'ai appris à prouver les théorèmes des cosinus et des sinus, à les appliquer pour résoudre des problèmes, à choisir la bonne solution lors de leur utilisation, j'ai appris où ces théorèmes sont utilisés dans la vie et j'ai examiné des problèmes avec un contenu pratique.