DANS cours scolaire En stéréométrie, l'une des figures les plus simples, qui a des dimensions non nulles le long de trois axes spatiaux, est un prisme quadrangulaire. Voyons dans l'article de quel type de figure il s'agit, de quels éléments elle se compose et également comment vous pouvez calculer sa surface et son volume.

Le concept de prisme

En géométrie, un prisme est une figure spatiale formée de deux bases identiques et de surfaces latérales qui relient les côtés de ces bases. Notez que les deux bases sont transférées l'une à l'autre en utilisant l'opération de transfert parallèle vers un certain vecteur. Cette définition d'un prisme conduit au fait que tous ses côtés sont toujours des parallélogrammes.

Le nombre de côtés de la base peut être arbitraire, à partir de trois. À mesure que ce nombre tend vers l'infini, le prisme se transforme progressivement en cylindre, puisque sa base devient un cercle et que les parallélogrammes latéraux, se connectant, forment une surface cylindrique.

Comme tout polyèdre, un prisme est caractérisé par des côtés (plans qui limitent la figure), des arêtes (segments le long desquels deux côtés se coupent) et des sommets (points de rencontre de trois côtés, pour un prisme deux d'entre eux sont latéraux, et le troisième est la base). Les quantités des trois éléments nommés de la figure sont liées entre elles par l'expression suivante :

Ici, P, C et B sont respectivement le nombre d’arêtes, de côtés et de sommets. Cette expression est une représentation mathématique du théorème d'Euler.

Ci-dessus, une image montrant deux prismes. A la base de l'un d'eux (A) se trouve un hexagone régulier, et les côtés latéraux sont perpendiculaires aux bases. La figure B montre un autre prisme. Ses côtés ne sont plus perpendiculaires aux bases, et la base est pentagone régulier.

quadrangulaire?

Comme il ressort de la description ci-dessus, le type de prisme est principalement déterminé par le type de polygone qui forme la base (les deux bases sont identiques, nous pouvons donc parler de l'une d'elles). Si ce polygone est un parallélogramme, alors on obtient un prisme quadrangulaire. Donc tous les côtés sont des parallélogrammes. Un prisme quadrangulaire a son propre nom - parallélépipède.

Le nombre de côtés d’un parallélépipède est de six, chaque côté ayant un parallélépipède parallèle qui lui ressemble. Puisque les bases du parallélépipède sont deux côtés, les quatre autres sont latérales.

Le nombre de sommets d'un parallélépipède est huit, ce qui est facile à voir si l'on se souvient que les sommets d'un prisme ne sont formés qu'aux sommets des polygones de base (4x2=8). En appliquant le théorème d'Euler, on obtient le nombre d'arêtes :

P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12

Sur les 12 nervures, seules 4 sont formées indépendamment par les côtés latéraux. Les 8 autres se trouvent dans les plans des bases de la figurine.

Types de parallélépipèdes

Le premier type de classification réside dans les caractéristiques du parallélogramme situé à la base. Cela peut ressembler à ceci :

• ordinaire, dont les angles ne sont pas égaux à 90 o ;
• rectangle;
• un carré est un quadrilatère régulier.

Le deuxième type de classification est l'angle auquel le côté coupe la base. Deux cas différents sont possibles ici :

• cet angle n'est pas droit, alors le prisme est dit oblique ou incliné ;
• l'angle est de 90°, alors un tel prisme est rectangulaire ou simplement droit.

Le troisième type de classification est lié à la hauteur du prisme. Si le prisme est rectangulaire et a un carré ou un rectangle à sa base, alors on l'appelle un cuboïde. S'il y a un carré à la base, que le prisme est rectangulaire et que sa hauteur est égale à la longueur du côté du carré, on obtient alors la figure bien connue d'un cube.

Surface et zone du prisme

L'ensemble de tous les points qui se trouvent sur les deux bases du prisme (parallélogrammes) et sur ses côtés (quatre parallélogrammes) forment la surface de la figure. L'aire de cette surface peut être calculée en calculant l'aire de la base et cette valeur pour la surface latérale. Ensuite, leur somme donnera la valeur souhaitée. Mathématiquement, cela s'écrit ainsi :

Ici S o et S b sont respectivement l'aire de la base et de la surface latérale. Le chiffre 2 avant S o apparaît car il y a deux bases.

Notez que la formule écrite est valable pour n'importe quel prisme, et pas seulement pour l'aire d'un prisme quadrangulaire.

Il est utile de rappeler que l'aire d'un parallélogramme S p est calculée par la formule :

Où les symboles a et h désignent respectivement la longueur de l'un de ses côtés et la hauteur tracée de ce côté.

Aire d'un prisme rectangulaire à base carrée

La base est un carré. Pour plus de précision, désignons son côté par la lettre a. Pour calculer l'aire d'un prisme quadrangulaire régulier, vous devez connaître sa hauteur. Selon la définition de cette valeur, elle est égale à la longueur de la perpendiculaire tombée d'une base à l'autre, c'est-à-dire égale à la distance qui les sépare. Notons-le par la lettre h. Puisque toutes les faces latérales sont perpendiculaires aux bases pour le type de prisme considéré, la hauteur d'un prisme quadrangulaire régulier sera égale à la longueur de son bord latéral.

La formule générale de la surface d'un prisme comporte deux termes. L'aire de la base dans ce cas est facile à calculer, elle est égale à :

Pour calculer l'aire de la surface latérale, on raisonne de la manière suivante : cette surface est formée de 4 rectangles identiques. De plus, les côtés de chacun d’eux sont égaux à a et h. Cela signifie que l'aire S b sera égale à :

Notez que le produit 4*a est le périmètre de la base carrée. Si l'on généralise cette expression au cas d'une base arbitraire, alors pour un prisme rectangulaire surface latérale peut être calculé comme ceci :

Où P o est le périmètre de la base.

Revenant au problème du calcul de l'aire d'un prisme quadrangulaire régulier, on peut écrire la formule finale :

S = 2*S o + S b = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

Aire d'un parallélépipède oblique

C'est un peu plus difficile à calculer que pour un rectangle. Dans ce cas, l'aire de la base d'un prisme quadrangulaire est calculée selon la même formule que pour un parallélogramme. Les changements concernent la méthode de détermination de la surface latérale.

Pour ce faire, utilisez la même formule sur le périmètre que celle donnée dans le paragraphe ci-dessus. Seulement maintenant, il aura des multiplicateurs légèrement différents. Formule générale pour S b dans le cas d'un prisme oblique a la forme :

Ici c est la longueur du bord latéral de la figure. La valeur P sr est le périmètre de la coupe rectangulaire. Cet environnement est construit de la manière suivante : il faut couper toutes les faces latérales avec un plan pour qu'il soit perpendiculaire à toutes. Le rectangle obtenu sera la coupe souhaitée.

La figure ci-dessus montre un exemple de parallélépipède oblique. Sa section ombrée avec les côtés forme des angles droits. Le périmètre de la section est P sr. Il est formé de quatre hauteurs de parallélogrammes latéraux. Pour ce prisme quadrangulaire, la surface latérale est calculée à l'aide de la formule ci-dessus.

Longueur diagonale d'un parallélépipède rectangle

La diagonale d'un parallélépipède est un segment qui relie deux sommets qui n'ont pas de côtés communs qui les forment. Tout prisme quadrangulaire n'a que quatre diagonales. Pour un parallélépipède rectangle avec un rectangle à sa base, les longueurs de toutes les diagonales sont égales les unes aux autres.

La figure ci-dessous montre la figure correspondante. Le segment rouge est sa diagonale.

ré = √(UNE 2 + B 2 + C 2)

Ici D est la longueur de la diagonale. Les symboles restants sont les longueurs des côtés du parallélépipède.

Beaucoup de gens confondent la diagonale d’un parallélépipède avec les diagonales de ses côtés. Vous trouverez ci-dessous un dessin où les diagonales des côtés de la figure sont représentées par des segments colorés.

La longueur de chacun d'eux est également déterminée par le théorème de Pythagore et est égale à racine carréeà partir de la somme des carrés des longueurs correspondantes des côtés.

Volume du prisme

En plus de l'aire d'un prisme quadrangulaire régulier ou d'autres types de prismes, pour résoudre certains problèmes géométriques vous devez également connaître leur volume. Cette valeur pour absolument n'importe quel prisme est calculée en utilisant la formule suivante:

Si le prisme est rectangulaire, il suffit alors de calculer l'aire de sa base et de la multiplier par la longueur du bord latéral pour obtenir le volume de la figure.

Si le prisme est quadrangulaire régulier, alors son volume sera égal à :

Il est facile de voir que cette formule se transforme en expression du volume d’un cube si la longueur du bord latéral h est égale au côté de la base a.

Problème avec un parallélépipède rectangle

Pour consolider le matériau étudié, nous allons résoudre le problème suivant : il existe un parallélépipède rectangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm et 5 cm. Il faut calculer sa surface, sa longueur diagonale et son volume.

S = 2*S o + S b = 2*12 + 5*14 = 24 + 70 = 94 cm 2

Pour déterminer la longueur de la diagonale et le volume de la figure, vous pouvez directement utiliser les expressions ci-dessus :

D = √(3 2 +4 2 +5 2) = 7,071 cm ;

V = 3*4*5 = 60 cm3.

Problème de parallélépipède oblique

La figure ci-dessous montre un prisme oblique. Ses côtés sont égaux : a = 10 cm, b = 8 cm, c = 12 cm. Il faut trouver la surface de cette figure.

Tout d'abord, déterminons la superficie de la base. D'après la figure, il ressort clairement que angle vifégal à 50 o. Alors son aire est égale à :

S o = h*a = sin(50 o)*b*a

Pour déterminer la surface latérale, trouvez le périmètre du rectangle ombré. Les côtés de ce rectangle sont a*sin(45 o) et b*sin(60 o). Alors le périmètre de ce rectangle est :

P sr = 2*(a*sin(45 o)+b*sin(60 o))

La superficie totale de ce parallélépipède est :

S = 2*S o + S b = 2*(sin(50 o)*b*a + a*c*sin(45 o) + b*c*sin(60 o))

Nous substituons les données des conditions du problème aux longueurs des côtés de la figure, et nous obtenons la réponse :

De la solution à ce problème, il ressort clairement que les fonctions trigonométriques sont utilisées pour déterminer les aires des figures obliques.

A l'aide de cette leçon vidéo, chacun pourra se familiariser de manière autonome avec le thème « Le concept de polyèdre. Prisme. Surface du prisme." Pendant la leçon, l'enseignant parlera de ce qu'est un tel figures géométriques, comme un polyèdre et un prisme, donnera les définitions correspondantes et expliquera leur essence dans exemples spécifiques.

A l'aide de cette leçon, chacun pourra se familiariser de manière autonome avec le thème « Le concept de polyèdre. Prisme. Surface du prisme."

Définition. Une surface composée de polygones et délimitant certains corps géométrique, nous l’appellerons surface polyédrique ou polyèdre.

Considérons les exemples de polyèdres suivants :

1. Tétraèdre A B C D est une surface composée de quatre triangles : abc, A.D.B., BDC Et CDA(Fig. 1).

Riz. 1

2. Parallélépipède ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est une surface composée de six parallélogrammes (Fig. 2).

Riz. 2

Les principaux éléments d’un polyèdre sont les faces, les arêtes et les sommets.

Les faces sont les polygones qui composent un polyèdre.

Les bords sont les côtés des faces.

Les sommets sont les extrémités des arêtes.

Considérons un tétraèdre A B C D(Fig. 1). Indiquons ses principaux éléments.

Bords: Triangles ABC, BAD, BDC, ADC.

Côtes: AB, AC, BC, DC, ANNONCE, BD.

Pics: A B C D.

Considérons un parallélépipède ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Fig.2).

Bords: parallélogrammes AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1.

Côtes: AA 1 , BB 1 , SS 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Pics: A, B, C, D, A1,B1,C1,D1.

Un cas particulier important d'un polyèdre est un prisme.

ABCA 1 EN 1 AVEC 1(Fig. 3).

Riz. 3

Triangles égaux abc Et A1B1C1 situé dans plans parallèlesα et β de sorte que les arêtes AA 1, BB 1, SS 1 parallèle.

C'est ABCA 1 EN 1 AVEC 1- prisme triangulaire si :

1) Triangles abc Et A1B1C1 sont égaux.

2) Triangles abc Et A1B1C1 situés dans des plans parallèles α et β : abc║A1B1C (α ║ β).

3) Côtes levées AA 1, BB 1, SS 1 parallèle.

abc Et A1B1C1- base du prisme.

AA 1, BB 1, SS 1- les nervures latérales du prisme.

Si d'un point arbitraire H1 un plan (par exemple β) laisse tomber la perpendiculaire NN 1 au plan α, alors cette perpendiculaire est appelée hauteur du prisme.

Définition. Si les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases, alors le prisme est dit droit, sinon il est dit incliné.

Considérons un prisme triangulaire ABCA 1 EN 1 AVEC 1(Fig. 4). Ce prisme est droit. C'est-à-dire que ses nervures latérales sont perpendiculaires aux bases.

Par exemple, la côte AA1 perpendiculaire au plan abc. Bord AA1 est la hauteur de ce prisme.

Riz. 4

Notez que la face latérale AA1B1B perpendiculaire aux bases abc Et A1B1C1, puisqu'il passe par la perpendiculaire AA1 aux bases.

Considérons maintenant un prisme incliné ABCA 1 EN 1 AVEC 1(Fig.5). Ici le bord latéral n'est pas perpendiculaire au plan de la base. Si omis du point Un 1 perpendiculaire Un 1N sur abc, alors cette perpendiculaire sera la hauteur du prisme. Notez que le segment UN est la projection du segment AA1à l'avion abc.

Alors l'angle entre la droite AA1 et avion abc est l'angle entre une droite AA1 et elle UN projection sur un plan, c'est-à-dire un angle Un 1 AN.

Riz. 5

Considérons un prisme quadrangulaire ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Fig.6). Voyons comment cela se passe.

1) Quadrangle A B C Dégal à un quadrilatère A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Quadrilatères A B C D Et A 1 B 1 C 1 D 1 abc║A1B1C (α ║ β).

3) Quadrilatères A B C D Et A 1 B 1 C 1 D 1 situés de manière à ce que les nervures latérales soient parallèles, soit : AA 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Définition. La diagonale d'un prisme est un segment reliant deux sommets d'un prisme n'appartenant pas à la même face.

Par exemple, CA 1- diagonale d'un prisme quadrangulaire ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Définition. Si le bord latéral AA1 perpendiculaire au plan de la base, alors un tel prisme est appelé une ligne droite.

Riz. 6

Un cas particulier de prisme quadrangulaire est le parallélépipède que nous connaissons. Parallélépipède ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 montré sur la fig. 7.

Voyons comment cela fonctionne :

1) Les fondations reposent chiffres égaux. Dans ce cas - parallélogrammes égaux A B C D Et A 1 B 1 C 1 D 1: A B C D = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Parallélogrammes A B C D Et A 1 B 1 C 1 D 1 se situent dans des plans parallèles α et β : abc║A1B1C1 (α ║ β).

3) Parallélogrammes A B C D Et A 1 B 1 C 1 D 1 disposés de telle manière que les nervures latérales soient parallèles entre elles : AA 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Riz. 7

Du point Un 1 laissons tomber la perpendiculaire UNà l'avion abc. Segment de ligne Un 1N est la hauteur.

Regardons comment est structuré un prisme hexagonal (Fig. 8).

1) La base contient des hexagones égaux A B C D E F Et A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: A B C D E F= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Plans d'hexagones A B C D E F Et A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 parallèles, c'est-à-dire que les bases se trouvent dans des plans parallèles : abc║A1B1C (α ║ β).

3) Hexagones A B C D E F Et A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 disposés de manière à ce que toutes les nervures latérales soient parallèles les unes aux autres : AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Riz. 8

Définition. Si un bord latéral est perpendiculaire au plan de la base, alors un tel prisme hexagonal est appelé droit.

Définition. Un prisme droit est dit régulier si ses bases sont des polygones réguliers.

Considérons un prisme triangulaire régulier ABCA 1 EN 1 AVEC 1.

Riz. 9

Prisme triangulaire ABCA 1 EN 1 AVEC 1- régulier, cela signifie que les bases contiennent des triangles réguliers, c'est-à-dire que tous les côtés de ces triangles sont égaux. De plus, ce prisme est droit. Cela signifie que le bord latéral est perpendiculaire au plan de la base. Cela signifie que toutes les faces latérales sont des rectangles égaux.

Donc, si un prisme triangulaire ABCA 1 EN 1 AVEC 1- est correct, alors :

1) Le bord latéral est perpendiculaire au plan de la base, c'est-à-dire qu'il s'agit de la hauteur : AA1 ⊥ abc.

2) La base est un triangle régulier : ∆ abc- correct.

Définition. Zone toute la surface Un prisme est la somme des aires de toutes ses faces. Désigné S plein.

Définition. La surface latérale est la somme des aires de toutes les faces latérales. Désigné Côté S.

Le prisme a deux bases. Alors la surface totale du prisme est :

S complet = côté S + 2S principal.

La surface latérale d'un prisme droit est égale au produit du périmètre de la base et de la hauteur du prisme.

Nous effectuerons la preuve en utilisant l'exemple d'un prisme triangulaire.

Donné: ABCA 1 EN 1 AVEC 1- prisme droit, c'est-à-dire AA1 ⊥ abc.

AA 1 = h.

Prouver: Côté S = P principal ∙ h.

Riz. dix

Preuve.

Prisme triangulaire ABCA 1 EN 1 AVEC 1- hétéro, ça veut dire AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - rectangles.

Trouvons l'aire de la surface latérale comme la somme des aires des rectangles AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C :

Côté S = AB∙ h + BC∙ h + CA∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P principal ∙ h.

On a Côté S = P principal ∙ h, Q.E.D.

Nous avons fait connaissance avec les polyèdres, les prismes et leurs variétés. Nous avons démontré le théorème sur la surface latérale d'un prisme. Dans la prochaine leçon, nous résoudrons les problèmes de prisme.

1. Géométrie. 10e-11e années : manuel pour les élèves les établissements d'enseignement(niveaux de base et profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e édition, corrigée et augmentée - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : je vais.
2. Géométrie. 10e-11e année : manuel pour l'enseignement général les établissements d'enseignement/ Sharygin I.F. - M. : Outarde, 1999. - 208 p. : ill.
3. Géométrie. 10e année : Manuel pour les établissements d'enseignement général avec étude approfondie et spécialisée des mathématiques /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6ème édition, stéréotype. - M. : Outarde, 008. - 233 p. :il.

1. Iclass().
2. Shkolo.ru ().
3. Vieille école ().
4. WikiHow().

1. Quel est le nombre minimum de faces qu’un prisme peut avoir ? Combien de sommets et d’arêtes possède un tel prisme ?
2. Existe-t-il un prisme qui a exactement 100 arêtes ?
3. La nervure latérale est inclinée par rapport au plan de base selon un angle de 60°. Trouvez la hauteur du prisme si le bord latéral est de 6 cm.
4. Dans un prisme triangulaire rectangle, toutes les arêtes sont égales. La superficie de sa surface latérale est de 27 cm 2. Trouvez la surface totale du prisme.

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Un prisme est une figure géométrique tridimensionnelle dont les caractéristiques et les propriétés sont étudiées dans les lycées. En règle générale, lors de son étude, des quantités telles que le volume et la surface sont prises en compte. Dans cet article nous aborderons une question légèrement différente : nous présenterons une méthode pour déterminer la longueur des diagonales d'un prisme en utilisant l'exemple d'une figure quadrangulaire.

Quelle forme s'appelle un prisme ?

En géométrie, on donne la définition suivante d'un prisme : c'est une figure tridimensionnelle délimitée par deux côtés polygonaux identiques et parallèles entre eux et un certain nombre de parallélogrammes. La figure ci-dessous montre un exemple de prisme correspondant à cette définition.

On voit que les deux pentagones rouges sont égaux entre eux et se trouvent dans deux plans parallèles. Cinq parallélogrammes roses relient ces pentagones en un objet solide : un prisme. Les deux pentagones sont appelés les bases de la figure et ses parallélogrammes sont les faces latérales.

Les prismes peuvent être droits ou obliques, également appelés rectangulaires ou obliques. La différence entre eux réside dans les angles entre la base et les bords latéraux. Pour un prisme rectangulaire, tous ces angles sont égaux à 90°.

En fonction du nombre de côtés ou de sommets du polygone à la base, on parle de prismes triangulaires, pentagonaux, quadrangulaires, etc. De plus, si ce polygone est régulier et que le prisme lui-même est droit, alors une telle figure est dite régulière.

Le prisme représenté sur la figure précédente est un prisme incliné pentagonal. Ci-dessous se trouve un prisme droit pentagonal, régulier.

Il est pratique d'effectuer tous les calculs, y compris la méthode de détermination des diagonales d'un prisme, notamment pour obtenir les chiffres corrects.

Quels éléments caractérisent un prisme ?

Les éléments d'une figure sont les composants qui la composent. Spécifiquement pour un prisme, on peut distinguer trois grands types d'éléments :

• hauts;
• bords ou côtés ;
• côtes

Les faces sont considérées comme les bases et les plans latéraux représentant les parallélogrammes dans cas général. Dans un prisme, chaque côté est toujours de deux types : soit il s'agit d'un polygone, soit d'un parallélogramme.

Les bords d'un prisme sont les segments qui limitent chaque côté de la figure. Comme les faces, les arêtes sont également de deux types : celles appartenant à la base et à la surface latérale ou celles appartenant uniquement à la surface latérale. Il y a toujours deux fois plus de premiers que de seconds, quel que soit le type de prisme.

Les sommets sont les points d'intersection de trois arêtes du prisme, dont deux se situent dans le plan de la base, et la troisième appartient aux deux faces latérales. Tous les sommets du prisme sont dans les plans des bases de la figure.

Les nombres des éléments décrits sont reliés en une seule égalité, qui a la forme suivante :

P = B + C - 2.

Ici P est le nombre d'arêtes, B - sommets, C - côtés. Cette égalité est appelée théorème d'Euler pour le polyèdre.

La figure montre un prisme régulier triangulaire. Tout le monde peut compter qu’il a 6 sommets, 5 côtés et 9 arêtes. Ces chiffres sont cohérents avec le théorème d'Euler.

Diagonales du prisme

Après des propriétés telles que le volume et la surface, dans les problèmes de géométrie, nous rencontrons souvent des informations sur la longueur d'une diagonale particulière de la figure en question, qui sont soit données, soit doivent être trouvées à l'aide d'autres paramètres connus. Considérons les diagonales d'un prisme.

Toutes les diagonales peuvent être divisées en deux types :

1. Allongé dans le plan des visages. Ils relient les sommets non adjacents soit d'un polygone à la base d'un prisme, soit d'un parallélogramme sur la surface latérale. La valeur des longueurs de ces diagonales est déterminée sur la base de la connaissance des longueurs des arêtes correspondantes et des angles entre elles. Pour déterminer les diagonales des parallélogrammes, les propriétés des triangles sont toujours utilisées.
2. Prismes situés à l'intérieur du volume. Ces diagonales relient les sommets différents de deux bases. Ces diagonales sont complètement à l’intérieur de la figure. Leurs longueurs sont un peu plus difficiles à calculer que pour le type précédent. La méthode de calcul consiste à prendre en compte les longueurs des nervures et de la base, ainsi que les parallélogrammes. Pour les prismes droits et réguliers, le calcul est relativement simple car il s'effectue à l'aide du théorème de Pythagore et des propriétés des fonctions trigonométriques.

Diagonales des côtés d'un prisme quadrangulaire droit

La figure ci-dessus montre quatre prismes droits identiques, et les paramètres de leurs arêtes sont donnés. Sur les prismes Diagonal A, Diagonal B et Diagonal C, la ligne pointillée rouge montre les diagonales de trois faces différentes. Puisque le prisme est une ligne droite d'une hauteur de 5 cm et que sa base est représentée par un rectangle de 3 cm et 2 cm de côté, il n'est pas difficile de retrouver les diagonales marquées. Pour ce faire, vous devez utiliser le théorème de Pythagore.

La longueur de la diagonale de la base du prisme (Diagonale A) est égale à :

ré A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 cm.

Pour la face latérale du prisme, la diagonale est égale (voir Diagonale B) :

ré B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.

Enfin, la longueur d'une autre diagonale latérale est (voir Diagonale C) :

D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 cm.

Longueur diagonale intérieure

Calculons maintenant la longueur de la diagonale du prisme quadrangulaire, illustrée dans la figure précédente (Diagonale D). Ce n'est pas si difficile à faire si l'on remarque qu'il s'agit de l'hypoténuse d'un triangle dont les pattes auront la hauteur du prisme (5 cm) et la diagonale D A représentée sur la figure en haut à gauche (Diagonale A). On obtient alors :

ré ré = √(ré A 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.

Prisme quadrangulaire régulier

La diagonale d'un prisme régulier dont la base est un carré se calcule de la même manière que dans l'exemple ci-dessus. La formule correspondante est :

D = √(2*a 2 +c 2).

Où a et c sont respectivement les longueurs du côté de la base et du bord latéral.

Notez que dans les calculs nous avons utilisé uniquement le théorème de Pythagore. Déterminer les longueurs des diagonales de prismes réguliers avec un grand nombre sommets (pentagonaux, hexagonaux, etc.) il faut déjà appliquer des fonctions trigonométriques.