Dans la tâche B14 de l'examen d'État unifié en mathématiques, vous devez trouver la valeur la plus petite ou la plus grande d'une fonction d'une variable. Il s'agit d'un problème assez trivial issu de l'analyse mathématique, et c'est pour cette raison que chaque diplômé peut et doit apprendre à le résoudre normalement. lycée. Examinons quelques exemples résolus par des écoliers lors d'un travail de diagnostic en mathématiques, organisé à Moscou le 7 décembre 2011.

En fonction de l'intervalle sur lequel vous souhaitez trouver la valeur maximale ou minimale d'une fonction, l'un des algorithmes standards suivants est utilisé pour résoudre ce problème.

I. Algorithme pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction sur un segment :

• Trouvez la dérivée de la fonction.
• Sélectionner parmi les points suspectés d'être un extremum ceux qui appartiennent à ce segment et le domaine de définition de la fonction.
• Calculer les valeurs les fonctions(pas dérivé !) à ces points.
• Parmi les valeurs obtenues, sélectionnez la plus grande ou la plus petite, ce sera celle souhaitée.

Exemple 1. Trouver la plus petite valeur de la fonction
oui = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 sur le segment.

Solution: Nous suivons l'algorithme pour trouver la plus petite valeur d'une fonction sur un segment :

• La portée d'une fonction n'est pas limitée : D(o) = R.
• La dérivée de la fonction est égale à : vous = 3X 2 – 36X+ 81. Le domaine de définition de la dérivée d'une fonction n'est pas non plus limité : D(y') = R.
• Zéros de la dérivée : vous = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, ce qui signifie X 2 – 12X+ 27 = 0, d'où X= 3 et X= 9, notre intervalle comprend uniquement X= 9 (un point suspect pour un extremum).
• On retrouve la valeur de la fonction en un point suspect d'un extremum et aux bords de l'écart. Pour faciliter le calcul, nous présentons la fonction sous la forme : oui = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
  • oui(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31 ;
  • oui(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23 ;
  • oui(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Ainsi, parmi les valeurs obtenues, la plus petite est 23. Réponse : 23.

II. Algorithme pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction :

• Trouvez le domaine de définition de la fonction.
• Trouvez la dérivée de la fonction.
• Identifiez les points suspects d'extremum (les points auxquels la dérivée de la fonction disparaît et les points auxquels il n'y a pas de dérivée finie bilatérale).
• Marquez ces points et le domaine de définition de la fonction sur la droite numérique et déterminez les signes dérivé(pas de fonctions !) sur les intervalles résultants.
• Définir des valeurs les fonctions(pas la dérivée !) aux points minimaux (ces points auxquels le signe de la dérivée passe de moins à plus), la plus petite de ces valeurs sera la plus petite valeur de la fonction. S'il n'y a pas de points minimum, alors la fonction n'a pas de valeur minimale.
• Définir des valeurs les fonctions(pas la dérivée !) aux points maximum (ces points auxquels le signe de la dérivée passe du plus au moins), la plus grande de ces valeurs sera la plus grande valeur de la fonction. S’il n’y a pas de maximum de points, alors la fonction n’a pas la plus grande valeur.

Exemple 2. Trouvez la plus grande valeur de la fonction.

Option 1. à

1. Graphique d'une fonction y=F(X) montré sur la figure.

Spécifiez la plus grande valeur pour cette fonction 1

sur le segment [ un; b]. UN 0 1 bx

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Fonctions y=F(X) donné sur le segment [ un; b]. à

La figure montre un graphique de sa dérivée

y=F ´(X). Explorez les extrêmes 1 b

fonction y=F(X). Veuillez indiquer la quantité dans votre réponse. un 0 1x

points minimum.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Trouvez la plus grande valeur de la fonction y= -2x2+8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Trouvez la plus petite valeur de la fonction sur le segment .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Trouvez la plus petite valeur de la fonction y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> a un minimum au point xo=1,5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.à

9. Spécifiez la plus grande valeur de la fonction y=F(X) ,

1 fois

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=LG(100 – X2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Trouvez la plus petite valeur de la fonction y=2péché-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Test 14. Extrêmes. La plus grande (la plus petite) valeur de la fonction.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Graphique de la fonction y=F(X) montré sur la figure.

Spécifiez la plus petite valeur pour cette fonction 1

sur le segment [ un; b]. UN b

0 1 X

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. à La figure montre le graphique de la fonction y=F(X).

Combien de points maximum la fonction a-t-elle ?

1

0 1x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. A quel moment la fonction est-elle y=2x2+24x -25 prend la plus petite valeur ?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> sur le segment [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> a un minimum au point xo= -2?

; 2) -6;; 4) 6.à

9. Spécifiez la plus petite valeur de la fonction y=F(X) ,

dont le graphique est représenté sur la figure. 1 fois

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Trouvez la plus grande valeur de la fonction y=enregistrer11 (121 – X2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Trouvez la plus grande valeur de la fonction y=2parce que+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Réponses :

Petite et jolie tâche simple de la catégorie de ceux qui servent de bouée de sauvetage à un étudiant flottant. Nous sommes à la mi-juillet dans la nature, il est donc temps de s'installer avec votre ordinateur portable sur la plage. Tôt le matin, le rayon de soleil de la théorie a commencé à jouer, pour bientôt se concentrer sur la pratique qui, malgré la facilité déclarée, contient des éclats de verre dans le sable. À cet égard, je vous recommande de considérer consciencieusement les quelques exemples de cette page. Pour des solutions tâches pratiques doit être capable de trouver des produits dérivés et comprendre le contenu de l'article Intervalles de monotonie et extrema de la fonction.

Tout d’abord, brièvement sur l’essentiel. Dans la leçon sur continuité de fonction J'ai donné la définition de la continuité en un point et de la continuité en un intervalle. L’exemple de comportement d’une fonction sur un segment est formulé de manière similaire. Une fonction est continue sur un intervalle si :

1) il est continu sur l'intervalle ;
2) continu en un point sur la droite et au point gauche.

Dans le deuxième paragraphe, nous avons parlé de ce qu'on appelle continuité unilatérale fonctionne en un point. Il existe plusieurs approches pour le définir, mais je m'en tiendrai à la ligne que j'ai commencée plus tôt :

La fonction est continue au point sur la droite, si elle est définie en un point donné et que sa limite droite coïncide avec la valeur de la fonction en un point donné : . C'est continu au point gauche, s'il est défini en un point donné et sa limite gauche égale à la valeurà ce point:

Imaginez que les points verts soient des ongles auxquels est attaché un élastique magique :

Prenez mentalement la ligne rouge entre vos mains. Évidemment, peu importe jusqu'où nous étirons le graphique de haut en bas (le long de l'axe), la fonction restera toujours limité– une clôture en haut, une clôture en bas, et notre produit broute dans le paddock. Ainsi, une fonction continue sur un intervalle est bornée sur celui-ci. Au cours de l’analyse mathématique, ce fait apparemment simple est énoncé et strictement prouvé. Premier théorème de Weierstrass....Beaucoup de gens sont contrariés par le fait que des affirmations élémentaires soient fastidieusement justifiées en mathématiques, mais cela a une signification importante. Supposons qu'un certain habitant du Moyen Âge éponge tire un graphique dans le ciel au-delà des limites de visibilité, celui-ci sera inséré. Avant l’invention du télescope, la fonction limitée dans l’espace n’était pas du tout évidente ! Franchement, comment savoir ce qui nous attend à l’horizon ? Après tout, la Terre était autrefois considérée comme plate, donc aujourd'hui même la téléportation ordinaire nécessite une preuve =)

Selon Deuxième théorème de Weierstrass, continu sur un segmentla fonction atteint son limite supérieure exacte et le vôtre bord inférieur exact .

Le numéro s'appelle aussi la valeur maximale de la fonction sur le segment et sont désignés par , et le nombre est la valeur minimale de la fonction sur le segment marqué .

Dans notre cas:

Note : en théorie, les enregistrements sont courants .

En gros, la plus grande valeur est celle où le plus point haut graphiques, et le plus petit est là où se trouve le point le plus bas.

Important! Comme déjà souligné dans l'article sur extrema de la fonction, plus grande valeur de fonction Et plus petite valeur de fonction – PAS LE MÊME, Quoi fonction maximale Et fonction minimale. Ainsi, dans l'exemple considéré, le nombre est le minimum de la fonction, mais pas la valeur minimale.

Au fait, que se passe-t-il en dehors du segment ? Oui, même une inondation, dans le contexte du problème considéré, cela ne nous intéresse pas du tout. La tâche consiste uniquement à trouver deux nombres et c'est tout!

De plus, la solution est purement analytique, donc pas besoin de faire un dessin!

L’algorithme se trouve en surface et se suggère à partir de la figure ci-dessus :

1) Trouver les valeurs de la fonction dans points critiques, qui appartiennent à ce segment.

Attrapez un autre petit pain : ici, pas besoin de vérifier condition suffisante extremum, puisque, comme nous venons de le montrer, la présence d'un minimum ou d'un maximum ne garantit pas encore, quelle est la valeur minimale ou maximale. La fonction de démonstration atteint un maximum et, par la volonté du destin, ce même nombre est la plus grande valeur de la fonction sur le segment. Mais bien entendu, une telle coïncidence ne se produit pas toujours.

Ainsi, dans un premier temps, il est plus rapide et plus facile de calculer les valeurs de la fonction aux points critiques appartenant au segment, sans se soucier de savoir s'il y a des extrema ou non.

2) On calcule les valeurs de la fonction aux extrémités du segment.

3) Parmi les valeurs de fonction trouvées dans les 1er et 2ème paragraphes, sélectionnez la plus petite et la plus grand nombre, écrivez la réponse.

Nous nous asseyons au bord de la mer bleue et frappons les eaux peu profondes avec nos talons :

Exemple 1

Trouvez le meilleur et plus petite valeur fonctionne sur un intervalle

Solution:
1) Calculons les valeurs de la fonction aux points critiques appartenant à ce segment :

Calculons la valeur de la fonction au deuxième point critique :

2) Calculons les valeurs de la fonction aux extrémités du segment :

3) Des résultats « audacieux » ont été obtenus avec des exposants et des logarithmes, ce qui complique considérablement leur comparaison. Pour cette raison, armons-nous d’une calculatrice ou d’Excel et calculons des valeurs approximatives, sans oublier que :

Maintenant, tout est clair.

Répondre:

Instance fractionnaire-rationnelle pour solution indépendante :

Exemple 6

Trouver les valeurs maximales et minimales d'une fonction sur un segment

\(\blacktriangleright\) Afin de trouver la plus grande/plus petite valeur d'une fonction sur le segment \(\) , il est nécessaire de représenter schématiquement le graphique de la fonction sur ce segment.
Dans les problèmes de ce sous-thème, cela peut être fait en utilisant la dérivée : trouvez les intervalles croissants (\(f">0\) ) et décroissants (\(f"<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\(\blacktriangleright\) N'oubliez pas que la fonction peut prendre la plus grande/plus petite valeur non seulement aux points internes du segment \(\), mais aussi à ses extrémités.

\(\blacktriangleright\) La valeur la plus grande/la plus petite de la fonction est la valeur de coordonnée \(y=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) La dérivée d'une fonction complexe \(f(t(x))\) se trouve selon la règle : \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(array)\]

Tâche 1 #2357

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouvez la plus petite valeur de la fonction \(y = e^(x^2 - 4)\) sur le segment \([-10; -2]\) .

ODZ : \(x\) – arbitraire.

1) \

\ Ainsi, \(y" = 0\) pour \(x = 0\) .

3) Trouvons des intervalles de signe constant \(y"\) sur le segment considéré \([-10; -2]\) :

4) Esquisse d'un graphe sur le segment \([-10; -2]\) :

Ainsi, la fonction atteint sa plus petite valeur à \([-10; -2]\) à \(x = -2\) .

\ Total : \(1\) – la plus petite valeur de la fonction \(y\) sur \([-10; -2]\) .

Réponse 1

Tâche 2 #2355

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) sur le segment \([-1; 1]\) .

ODZ : \(x\) – arbitraire.

1) \

Trouvons les points critiques (c'est-à-dire les points internes du domaine de définition de la fonction auxquels sa dérivée est égale à \(0\) ou n'existe pas) : \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] La dérivée existe pour tout \(x\) .

2) Trouvons des intervalles de signe constant \(y"\) :

3) Trouvons des intervalles de signe constant \(y"\) sur le segment considéré \([-1; 1]\) :

4) Esquisse d'un graphe sur le segment \([-1; 1]\) :

Ainsi, la fonction atteint sa plus grande valeur à \([-1; 1]\) à \(x = -1\) ou à \(x = 1\) . Comparons les valeurs de la fonction à ces points.

\ Total : \(2\) – la plus grande valeur de la fonction \(y\) sur \([-1; 1]\) .

Réponse : 2

Tâche 3 #2356

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver la plus petite valeur de la fonction \(y = \cos 2x\) sur le segment \(\) .

ODZ : \(x\) – arbitraire.

1) \

Trouvons les points critiques (c'est-à-dire les points internes du domaine de définition de la fonction auxquels sa dérivée est égale à \(0\) ou n'existe pas) : \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] La dérivée existe pour tout \(x\) .

2) Trouvons des intervalles de signe constant \(y"\) :

(il y a ici un nombre infini d'intervalles dans lesquels alternent les signes de la dérivée).

3) Trouvons des intervalles de signe constant \(y"\) sur le segment considéré \(\) :

4) Esquisse d'un graphe sur le segment \(\) :

Ainsi, la fonction atteint sa plus petite valeur sur \(\) à \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .

\ Total : \(-1\) – la plus petite valeur de la fonction \(y\) sur \(\) .

Réponse 1

Tâche 4 #915

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver la plus grande valeur de la fonction

\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).

ODZ : \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Décidons d'ODZ :

1) Notons \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , alors \(y(t)=-\log_(17)t\) .

Trouvons les points critiques (c'est-à-dire les points internes du domaine de définition de la fonction auxquels sa dérivée est égale à \(0\) ou n'existe pas) : \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– sur l’ODZ, d’où l’on retrouve la racine \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . La dérivée de la fonction \(y\) n'existe pas pour \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) , mais équation donnée discriminant négatif, il n’a donc pas de solutions. Afin de trouver la plus grande/la plus petite valeur d’une fonction, vous devez comprendre à quoi ressemble schématiquement son graphique.

2) Trouvons des intervalles de signe constant \(y"\) :

3) Esquisse du graphique :

Ainsi, la fonction atteint sa plus grande valeur à \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :

\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),

Total : \(0\) – la plus grande valeur de la fonction \(y\) .

Réponse : 0

Tâche 5 #2344

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver la plus petite valeur de la fonction

\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).

ODZ : \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Décidons d'ODZ :

1) Notons \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , alors \(y(t)=\log_(3)t\) .

Trouvons les points critiques (c'est-à-dire les points internes du domaine de définition de la fonction auxquels sa dérivée est égale à \(0\) ou n'existe pas) : \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– sur l’ODZ, d’où l’on retrouve la racine \(x = -4\) . La dérivée de la fonction \(y\) n'existe pas lorsque \(x^2 + 8x + 19 = 0\), mais cette équation a un discriminant négatif, elle n'a donc pas de solutions. Afin de trouver la plus grande/la plus petite valeur d’une fonction, vous devez comprendre à quoi ressemble schématiquement son graphique.

2) Trouvons des intervalles de signe constant \(y"\) :

3) Esquisse du graphique :

Ainsi, \(x = -4\) est le point minimum de la fonction \(y\) et la plus petite valeur y est atteinte :

\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .

Total : \(1\) – la plus petite valeur de la fonction \(y\) .

Réponse 1

Tâche 6 #917

Niveau de tâche : plus difficile que l'examen d'État unifié

Trouver la plus grande valeur de la fonction

\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).

Nous devons souvent résoudre des problèmes dans lesquels il est nécessaire de trouver la valeur la plus grande ou la plus petite parmi l'ensemble des valeurs que prend une fonction sur un segment.

Tournons-nous par exemple vers le graphique de la fonction f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 sur le segment [-1; 2]. Pour travailler avec une fonction, nous devons construire son graphe.

D'après le graphique tracé, il est clair que la fonction prend la plus grande valeur sur ce segment, égale à 2, aux points : x = -1 et x = 1 ; la fonction prend la plus petite valeur égale à -7 à x = 2.

Le point x = 0 est le point minimum de la fonction f(x) = 1 + 2x 2 – x 4. Cela signifie qu'il existe un voisinage du point x = 0, par exemple l'intervalle (-1/2 ; 1/2) - tel que dans ce voisinage la fonction prend sa plus petite valeur en x = 0. Cependant, sur un intervalle plus grand, par exemple, sur le segment [ -1 ; 2], la fonction prend sa plus petite valeur à la fin du segment, et non au point minimum.

Ainsi, pour trouver la plus petite valeur d'une fonction sur un certain segment, il faut comparer ses valeurs aux extrémités du segment et aux points minimaux.

De manière générale, supposons que la fonction f(x) est continue sur un intervalle et que la fonction possède une dérivée en chaque point intérieur de cet intervalle.

Pour trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction sur un segment, il faut :

1) trouver les valeurs de la fonction aux extrémités du segment, c'est-à-dire les nombres f(a) et f(b);

2) trouver les valeurs de la fonction en points stationnaires appartenant à l'intervalle (a ; b) ;

3) sélectionnez les valeurs les plus grandes et les plus petites parmi les valeurs trouvées.

Nous appliquerons les connaissances acquises dans la pratique et examinerons le problème.

Trouvez les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction f(x) = x 3 + x/3 sur le segment.

Solution.

1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 ½.

2) f´(x) = 3x 2 – 3/x 2 = (3x 4 – 3)/x 2, 3x 4 – 3 = 0 ; x1 = 1, x2 = -1.

L'intervalle (1/2 ; 2) contient un point stationnaire x 1 = 1, f(1) = 4.

3) Parmi les nombres 6 1/8, 9 ½ et 4, le plus grand est 9 ½, le plus petit est 4.

Répondre. La plus grande valeur de la fonction est 9 ½, la plus petite valeur de la fonction est 4.

Souvent, lors de la résolution de problèmes, il est nécessaire de trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction non pas sur un segment, mais sur un intervalle.

Dans les problèmes pratiques, la fonction f(x) n'a généralement qu'un seul point stationnaire sur un intervalle donné : soit un point maximum, soit un point minimum. Dans ces cas, la fonction f(x) prend la plus grande valeur sur un intervalle donné au point maximum, et au point minimum elle prend la plus petite valeur sur un intervalle donné. Passons au problème.

Écrivez le nombre 36 comme le produit de deux nombres positifs dont la somme est la plus petite.

Solution.

1) Soit le premier facteur x, alors le deuxième facteur est 36/x.

2) La somme de ces nombres est x + 36/x.

3) D’après les conditions du problème, x est un nombre positif. Le problème revient donc à trouver la valeur de x - telle que la fonction f(x) = x + 36/x prenne la plus petite valeur sur l'intervalle x > 0.

4) Trouvons la dérivée : f´(x) = 1 – 36/x 2 =((x + 6)(x – 6)) / x 2.

5) Points stationnaires x 1 = 6, x 2 = -6. Sur l'intervalle x > 0 il n'y a qu'un seul point stationnaire x = 6. En passant par le point x = 6, la dérivée change le signe « – » en signe « + », et donc x = 6 est le point minimum. Par conséquent, la fonction f(x) = x + 36/x prend sa plus petite valeur sur l'intervalle x > 0 au point x = 6 (cette valeur est f(6) = 12).

Répondre. 36 = 6 ∙ 6.

Lors de la résolution de certains problèmes où vous devez trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction, il est utile d'utiliser l'instruction suivante :

si les valeurs de la fonction f(x) sur un certain intervalle sont non négatives, alors cette fonction et la fonction (f(x)) n, où n est entier naturel, prenez la plus grande (la plus petite) valeur au même point.

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