Équations trigonométriques. Les équations trigonométriques les plus simples Résoudre l'équation trigonométrique sinx 1 2

Principales méthodes de solution équations trigonométriques sont : réduire les équations au plus simple (en utilisant formules trigonométriques), introduction de nouvelles variables, factorisation. Regardons leur utilisation avec des exemples. Faites attention au format d'écriture des solutions aux équations trigonométriques.

Une condition nécessaire solution réussie les équations trigonométriques sont la connaissance des formules trigonométriques (thème 13 du travail 6).

Exemples.

1. Équations réduites au plus simple.

1) Résoudre l'équation

Solution:

Répondre:

2) Trouver les racines de l'équation

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, appartenant au segment.

Solution:

Répondre:

2. Équations qui se réduisent au quadratique.

1) Résolvez l’équation 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Solution: En utilisant formule du péché 2 x = 1 – cos 2 x, on obtient

Répondre:

2) Résoudre équation du cos 2x = 1 + 4 cosx.

Solution: En utilisant la formule cos 2x = 2 cos 2 x – 1, on obtient

Répondre:

3) Décidez équation tgx– 2ctgx + 1 = 0

Solution:

Répondre:

3. Équations homogènes

1) Résolvez l’équation 2sinx – 3cosx = 0

Solution : Soit cosx = 0, puis 2sinx = 0 et sinx = 0 – une contradiction avec le fait que sin 2 x + cos 2 x = 1. Cela signifie cosx ≠ 0 et nous pouvons diviser l'équation par cosx. On a

Répondre:

2) Résolvez l'équation 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Solution:

On utilise les formules 1 = sin 2 x + cos 2 x et sin 2x = 2 sinxcosx, on obtient

péché 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6 péchéxcosx
péché 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Soit cosx = 0, alors sin 2 x = 0 et sinx = 0 – une contradiction avec le fait que sin 2 x + cos 2 x = 1.
Cela signifie cosx ≠ 0 et on peut diviser l'équation par cos 2 x . On a

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Notons tgx = y
oui 2 – 6 oui + 8 = 0
oui 1 = 4 ; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Répondre: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 ok, ok

4. Équations de la forme un péché + b cosx = s, s≠ 0.

1) Résolvez l’équation.

Solution:

Répondre:

5. Équations résolues par factorisation.

1) Résolvez l’équation sin2x – sinx = 0.

Racine de l'équation F (X) = φ ( X) ne peut servir que de nombre 0. Vérifions ceci :

cos 0 = 0 + 1 – l'égalité est vraie.

Le nombre 0 est la seule racine de cette équation.

Répondre: 0.

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Les équations trigonométriques les plus simples sont généralement résolues à l'aide de formules. Permettez-moi de vous rappeler que les équations trigonométriques les plus simples sont :

sinx = un

cosx = un

tgx = un

ctgx = un

x est l'angle à trouver,
a est n’importe quel nombre.

Et voici les formules avec lesquelles vous pouvez immédiatement écrire les solutions de ces équations les plus simples.

Pour le sinus :

Pour le cosinus :

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pour la tangente :

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Pour la cotangente :

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

En fait, c'est ça partie théorique résoudre des équations trigonométriques simples. D'ailleurs, tout !) Rien du tout. Cependant, le nombre d’erreurs sur ce sujet est tout simplement hors du commun. Surtout si l'exemple s'écarte légèrement du modèle. Pourquoi?

Oui, parce que beaucoup de gens écrivent ces lettres, sans en comprendre du tout le sens ! Il écrit avec prudence, de peur que quelque chose n'arrive...) Il faut régler ce problème. Trigonométrie pour les gens, ou gens pour la trigonométrie, après tout !?)

Voyons ça ?

Un angle sera égal à arccos un, deuxième: -arccos a.

Et cela fonctionnera toujours ainsi. Pour toute UN.

Si vous ne me croyez pas, passez votre souris sur l'image ou touchez l'image sur votre tablette.) J'ai changé le numéro UN à quelque chose de négatif. Quoi qu'il en soit, nous avons un coin arccos un, deuxième: -arccos a.

Par conséquent, la réponse peut toujours s’écrire sous la forme de deux séries de racines :

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Combinons ces deux séries en une seule :

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Et c'est tout. Nous avons obtenu une formule générale pour résoudre l'équation trigonométrique la plus simple avec cosinus.

Si vous comprenez qu'il ne s'agit pas d'une sorte de sagesse superscientifique, mais juste une version abrégée de deux séries de réponses, Vous serez également capable de gérer les tâches « C ». Avec des inégalités, avec une sélection de racines dans un intervalle donné... Là, la réponse avec un plus/moins ne fonctionne pas. Mais si vous traitez la réponse de manière pragmatique et la divisez en deux réponses distinctes, tout sera résolu.) En fait, c’est pourquoi nous l’examinons. Quoi, comment et où.

Dans l'équation trigonométrique la plus simple

sinx = un

on obtient également deux séries de racines. Toujours. Et ces deux séries peuvent aussi être enregistrées en une seule ligne. Seule cette ligne sera plus délicate :

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Mais l’essence reste la même. Les mathématiciens ont simplement conçu une formule pour créer une entrée au lieu de deux pour une série de racines. C'est tout!

Vérifions les mathématiciens ? Et on ne sait jamais...)

Dans la leçon précédente, la solution (sans aucune formule) d'une équation trigonométrique avec sinus a été discutée en détail :

La réponse a abouti à deux séries de racines :

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Si nous résolvons la même équation en utilisant la formule, nous obtenons la réponse :

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

En fait, c'est une réponse inachevée.) L'étudiant doit savoir que arcsin 0,5 = π /6. La réponse complète serait :

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Cela soulève une question intéressante. Répondre via x1 ; x2 (c'est la bonne réponse !) et par la solitude X (et c'est la bonne réponse !) - est-ce la même chose ou pas ? Nous le découvrirons maintenant.)

Nous remplaçons la réponse par x1 valeurs n =0; 1; 2 ; etc., on compte, on obtient une série de racines :

x 1 = π/6 ; 13π/6 ; 25π/6 et ainsi de suite.

Avec la même substitution en réponse avec x2 , on a:

x2 = 5π/6 ; 17π/6 ; 29π/6 et ainsi de suite.

Maintenant, remplaçons les valeurs n (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4...) dans la formule générale pour un seul X . C'est-à-dire que nous élevons moins un à la puissance zéro, puis à la première, à la seconde, etc. Eh bien, bien sûr, nous remplaçons 0 dans le deuxième terme ; 1; 2 3 ; 4, etc Et nous comptons. On obtient la série :

X = π/6 ; 5π/6 ; 13π/6 ; 17π/6 ; 25π/6 et ainsi de suite.

C'est tout ce que vous pouvez voir.) Formule générale nous donne exactement les mêmes résultats tout comme les deux réponses séparément. Juste tout à la fois, dans l'ordre. Les mathématiciens n'étaient pas dupes.)

Les formules de résolution d'équations trigonométriques avec tangente et cotangente peuvent également être vérifiées. Mais nous ne le ferons pas.) Ils sont déjà simples.

J'ai écrit toutes ces substitutions et vérifications spécifiquement. Il est important de comprendre une chose ici Chose simple: il existe des formules pour résoudre des équations trigonométriques élémentaires, juste un bref résumé des réponses. Pour cette brièveté, nous avons dû insérer plus/moins dans la solution cosinus et (-1) n dans la solution sinus.

Ces inserts ne gênent en rien les tâches où il suffit d'écrire la réponse à une équation élémentaire. Mais si vous avez besoin de résoudre une inégalité, ou si vous devez faire quelque chose avec la réponse : sélectionner des racines sur un intervalle, vérifier l'ODZ, etc., ces insertions peuvent facilement déstabiliser une personne.

Donc qu'est ce que je devrais faire? Oui, soit écrivez la réponse en deux séries, soit résolvez l'équation/inégalité à l'aide du cercle trigonométrique. Ensuite ces insertions disparaissent et la vie devient plus facile.)

Nous pouvons résumer.

Pour résoudre les équations trigonométriques les plus simples, il existe des formules de réponse toutes faites. Quatre pièces. Ils sont parfaits pour écrire instantanément la solution d’une équation. Par exemple, vous devez résoudre les équations :

sinx = 0,3

Facilement: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Aucun problème: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Facilement: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Un dernier: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cosx = 1,8

Si vous, brillant de connaissances, écrivez instantanément la réponse :

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

alors tu brilles déjà, ceci... cela... d'une flaque d'eau.) Bonne réponse : il n'y a pas de solutions. Vous ne comprenez pas pourquoi ? Lisez ce qu'est l'arc cosinus. De plus, si sur le côté droit de l'équation d'origine se trouvent les valeurs tabulaires du sinus, du cosinus, de la tangente, de la cotangente, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 et ainsi de suite. - la réponse à travers les arches sera inachevée. Les arches doivent être converties en radians.

Et si vous rencontrez des inégalités, comme

alors la réponse est :

x πn, n ∈ Z

il y a des bêtises rares, oui...) Ici, vous devez cercle trigonométrique décider. Ce que nous ferons dans le sujet correspondant.

Pour ceux qui lisent héroïquement ces lignes. Je ne peux tout simplement pas m’empêcher d’apprécier vos efforts titanesques. Bonus pour vous.)

Prime:

Lorsqu'ils écrivent des formules dans une situation de combat alarmante, même les nerds chevronnés ne savent souvent pas où πn, Et où 2πn. Voici une astuce simple pour vous. Dans tout le monde des formules qui valent πn. Sauf pour la seule formule avec arc cosinus. Il est là 2πn. Deux panne. Mot-clé - deux. Dans cette même formule il y a deux signe au début. Plus et moins. Ici et là - deux.

Alors si tu écris deux signe avant l'arc cosinus, c'est plus facile de se rappeler ce qui va se passer à la fin deux panne. Et cela se produit aussi dans l'autre sens. La personne manquera le signe ± , arrive à la fin, écrit correctement deux Pien, et il reprendra ses esprits. Il y a quelque chose à venir deux signe! La personne reviendra au début et corrigera l’erreur ! Comme ça.)

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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

J'ai été témoin une fois d'une conversation entre deux candidats :

– Quand faut-il ajouter 2πn, et quand faut-il ajouter πn ? Je ne m'en souviens tout simplement pas !

– Et j'ai le même problème.

Je voulais juste leur dire : « Vous n’avez pas besoin de mémoriser, mais comprenez !

Cet article s'adresse principalement aux lycéens et, je l'espère, les aidera à résoudre les équations trigonométriques les plus simples avec « compréhension » :

Cercle de nombres

Outre le concept de droite numérique, il existe également le concept cercle numérique. Comme nous le savons, dans un système de coordonnées rectangulaires, un cercle dont le centre est le point (0; 0) et le rayon 1 est appelé cercle unité. Imaginons la droite numérique comme un fil fin et enroulons-la autour de ce cercle : l'origine (point 0), plaçons-la au « bon » point cercle unitaire, nous enroulerons le demi-axe positif dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et le négatif dans le sens (Fig. 1). Un tel cercle unitaire est appelé cercle numérique.

Propriétés du cercle numérique

Chaque nombre réel se trouve sur un point du cercle numérique.
Il existe une infinité de nombres réels en chaque point du cercle numérique. Puisque la longueur du cercle unité est de 2π, la différence entre deux nombres quelconques en un point du cercle est égale à l'un des nombres ±2π ; ±4π ; ±6π ; ...

Concluons : connaissant un des numéros du point A, on peut trouver tous les numéros du point A.

Dessinons le diamètre de l'AC (Fig. 2). Puisque x_0 est l'un des nombres du point A, alors les nombres x_0±π ; x_0 ± 3π ; x_0 ± 5π ; ... et eux seuls seront les numéros du point C. Choisissons un de ces nombres, disons, x_0+π, et utilisons-le pour noter tous les numéros du point C : x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Notez que les nombres aux points A et C peuvent être combinés en une seule formule : x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (pour k = 0 ; ±2 ; ±4 ; ... nous obtenons les nombres de point A, et pour k = ±1 ; ±3 ; ±5 ; … – numéros du point C).

Concluons : connaissant un des nombres en l'un des points A ou C du diamètre AC, on peut retrouver tous les nombres en ces points.

Deux nombres opposés sont situés sur des points du cercle symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Traçons une corde verticale AB (Fig. 2). Puisque les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe Ox, le nombre -x_0 est situé au point B et, par conséquent, tous les nombres du point B sont donnés par la formule : x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Nous écrivons les nombres aux points A et B en utilisant une formule : x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Concluons : connaissant un des nombres en l'un des points A ou B de la corde verticale AB, on peut retrouver tous les nombres en ces points. Considérons la corde horizontale AD et trouvons les numéros du point D (Fig. 2). Puisque BD est un diamètre et que le nombre -x_0 appartient au point B, alors -x_0 + π est l'un des nombres du point D et, par conséquent, tous les nombres de ce point sont donnés par la formule x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Les nombres aux points A et D peuvent être écrits en utilisant une formule : x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (pour k= 0 ; ±2 ; ±4 ; … on obtient les numéros du point A, et pour k = ±1 ; ±3 ; ±5 ; … – les numéros du point D).

Concluons : connaissant un des nombres en l'un des points A ou D de la corde horizontale AD, on peut retrouver tous les nombres en ces points.

Seize points principaux du cercle des nombres

En pratique, la résolution de la plupart des équations trigonométriques les plus simples implique seize points sur un cercle (Fig. 3). Quels sont ces points ? Les points rouges, bleus et verts divisent le cercle en 12 parts égales. Puisque la longueur du demi-cercle est π, alors la longueur de l’arc A1A2 est π/2, la longueur de l’arc A1B1 est π/6 et la longueur de l’arc A1C1 est π/3.

Nous pouvons désormais indiquer un numéro à la fois :

π/3 sur C1 et

Les sommets du carré orange sont les milieux des arcs de chaque quartier, donc la longueur de l'arc A1D1 est égale à π/4 et donc π/4 est l'un des nombres du point D1. En utilisant les propriétés du cercle numérique, nous pouvons utiliser des formules pour écrire tous les nombres sur tous les points marqués de notre cercle. Les coordonnées de ces points sont également marquées sur la figure (nous omettrons la description de leur acquisition).

Ayant appris ce qui précède, nous disposons désormais d'une préparation suffisante pour résoudre des cas particuliers (pour neuf valeurs du nombre un)équations les plus simples.

Résoudre des équations

1)péchéx=1⁄(2).

– Qu’est-ce qu’on attend de nous ?

– Trouvez tous ces nombres x dont le sinus est égal à 1/2.

Rappelons la définition du sinus : sinx – ordonnée du point sur le cercle numérique sur lequel se trouve le nombre x. On a deux points sur le cercle dont l'ordonnée est égale à 1/2. Ce sont les extrémités de la corde horizontale B1B2. Cela signifie que l'exigence « résoudre l'équation sinx=1⁄2 » est équivalente à l'exigence « trouver tous les nombres au point B1 et tous les nombres au point B2 ».

2)péchéx=-√3⁄2 .

Nous devons trouver tous les nombres aux points C4 et C3.

3) péchéx=1. Sur le cercle, nous n'avons qu'un seul point d'ordonnée 1 - le point A2 et, par conséquent, nous devons trouver uniquement tous les nombres de ce point.

Réponse : x=π/2+2πk, k∈Z.

4)péchéx=-1 .

Seul le point A_4 a pour ordonnée -1. Tous les nombres de ce point seront les chevaux de l'équation.

Réponse : x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) péchéx=0 .

Sur le cercle, nous avons deux points d'ordonnée 0 - les points A1 et A3. Vous pouvez indiquer les nombres en chacun des points séparément, mais étant donné que ces points sont diamétralement opposés, il est préférable de les combiner en une seule formule : x=πk,k∈Z.

Réponse : x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Rappelons la définition du cosinus : cosx est l'abscisse du point du cercle numérique sur lequel se trouve le nombre x. Sur le cercle, nous avons deux points d'abscisse √2⁄2 - les extrémités de la corde horizontale D1D4. Il faut retrouver tous les chiffres sur ces points. Écrivons-les en les combinant en une seule formule.

Réponse : x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Nous devons trouver les nombres aux points C_2 et C_3.

Réponse : x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Seuls les points A2 et A4 ont une abscisse de 0, ce qui signifie que tous les nombres en chacun de ces points seront des solutions de l'équation.
.

Les solutions de l'équation du système sont les nombres aux points B_3 et B_4. À l'inégalité cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Réponse : x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Notez que pour toute valeur admissible de x, le deuxième facteur est positif et, par conséquent, l'équation est équivalente au système

Les solutions de l'équation système sont le nombre de points D_2 et D_3. Les nombres du point D_2 ne satisfont pas à l'inégalité sinx≤0,5, mais les nombres du point D_3 le font.