Une onde est le processus de propagation d'une oscillation (ou d'un autre signal) dans l'espace.

Imaginons par exemple qu'en tout point du plan YOZ quelques paramètre physique change avec le temps selon la loi harmonique

Laissez les oscillations de ce paramètre abstrait se propager le long de l'axe BŒUF avec rapidité v(Fig. 13.1.). Puis dans le plan de coordonnée X les vibrations initiales se répéteront à nouveau, mais avec un délai de quelques secondes :

Riz. 13.1.

La fonction (13.1) est appelée équation d'onde plane. Ce fonction importante souvent écrit de cette façon

Ici: E 0 et w - amplitude et fréquence des oscillations de l'onde,

(w t – kx+ - phase d'onde,

a - phase initiale,

Numéro de vague,

v- la vitesse de propagation des ondes.

L'ensemble de tous les points de l'espace où des oscillations se produisent dans la même phase détermine surface de phase. Dans notre exemple, il s'agit d'un avion.

(w t – kx+ = F = const - équation du mouvement de la surface de phase lors de la propagation des ondes. Prenons la dérivée de cette équation par rapport au temps :

w – k= 0.

Ici = v f - vitesse de déplacement de la surface de phase - vitesse de phase.

= v f = .

Ainsi, la vitesse de phase est égale à la vitesse de propagation des ondes.

La surface de phase séparant l'espace couvert par le processus ondulatoire de la partie où l'onde n'a pas encore atteint est appelée front d'onde. Le front d'onde, en tant qu'une des surfaces de phase, se déplace également avec la vitesse de phase. Cette vitesse, par exemple, d'une onde acoustique dans l'air est de 330 m/s, et celle d'une onde lumineuse (électromagnétique) dans le vide est de 3×10 8 m/s.

Équation d'onde E = E 0 ×cos(w t – kx+ j) représente la solution équation d'onde différentielle. Pour trouver ça équation différentielle, on différencie l'équation d'onde (13.2) deux fois par rapport au temps, puis deux fois par rapport à la coordonnée :

,

En comparant ces deux expressions, on trouve que

.

Mais le numéro d'onde k= , donc

. (13.3)

C'est l'équation différentielle du processus ondulatoire - équation d'onde.

Notons encore une fois que équation d'onde(13.2) il existe une solution équation d'onde (13.3).

L’équation des ondes peut bien entendu s’écrire ainsi :

Or, il est évident que dans l’équation d’onde, le coefficient de la dérivée seconde par rapport à la coordonnée est égal au carré de la vitesse de phase de l’onde.

Si, en résolvant le problème du mouvement, on obtient une équation différentielle du type

alors cela signifie que le mouvement étudié est oscillations naturelles amorties…

Si, lors de la résolution d'un problème régulier, une équation différentielle apparaît

alors cela signifie qu'une enquête est en cours processus de vague, et la vitesse de propagation de cette onde.

Pour la plupart des problèmes impliquant des ondes, il est important de connaître l'état d'oscillation de différents points du milieu à un moment ou à un autre. Les états des points du milieu seront déterminés si les amplitudes et les phases de leurs oscillations sont connues. Pour les ondes transversales, il faut également connaître la nature de la polarisation. Pour une onde plane polarisée linéairement, il suffit d'avoir une expression qui permet de déterminer le déplacement c(x, t)à partir de la position d'équilibre de n'importe quel point du milieu avec la coordonnée X,à tout moment t. Cette expression s'appelle équation des vagues.

Riz. 2.21.

Considérons ce qu'on appelle vague courante, ceux. une onde avec un front d'onde plan se propageant dans une direction spécifique (par exemple, le long de l'axe des x). Laissez les particules du milieu immédiatement adjacentes à la source d'ondes planes osciller selon la loi harmonique ; %(0, /) = = LsobsoG (Fig. 2.21). Dans la figure 2.21, UNà ^(0, t) indique le déplacement des particules du milieu se trouvant dans un plan perpendiculaire au dessin et ayant une coordonnée dans le système de coordonnées sélectionné X= 0 à la fois t. L'origine du temps est choisie pour que la phase initiale des oscillations, définie grâce à la fonction cosinus, soit égale à zéro. Axe X compatible avec le faisceau, c'est-à-dire avec la direction de propagation des vibrations. Dans ce cas, le front d’onde est perpendiculaire à l’axe X, de sorte que les particules situées dans ce plan oscilleront en une seule phase. Le front d'onde lui-même dans un milieu donné se déplace le long de l'axe X avec rapidité Et propagation des ondes dans un milieu donné.

Trouvons une expression ? (x, t) déplacement des particules du milieu éloignées de la source à une distance x. C'est la distance parcourue par le front d'onde

dans le temps Par conséquent, les oscillations de particules situées dans un plan éloigné de la source à une distance X, sera en retard dans le temps d'une quantité m par rapport aux oscillations des particules directement adjacentes à la source. Ces particules (de coordonnée x) feront également vibrations harmoniques. En l'absence d'amortissement, l'amplitude UN les oscillations (dans le cas d'une onde plane) ne dépendront pas de la coordonnée x, c'est-à-dire

C'est l'équation requise la mélancolie d'une vague qui coule(à ne pas confondre avec l'équation d'onde discutée ci-dessous !). L'équation, comme déjà noté, nous permet de déterminer le déplacement % particules du milieu avec la coordonnée x à l'instant t. La phase d'oscillation dépend

sur deux variables : sur la coordonnée x de la particule et le temps t. A un instant donné, les phases d'oscillations des différentes particules seront généralement différentes, mais il est possible d'identifier des particules dont les oscillations se produiront dans la même phase (en phase). On peut également supposer que la différence de phase entre les oscillations de ces particules est égale à 2 points(Où t = 1, 2, 3,...). Distance la plus courte entre deux particules à ondes progressives oscillant dans la même phase est appelé longueur d'onde X.

Trouvons la relation de longueur d'onde X avec d'autres grandeurs caractérisant la propagation des oscillations dans le milieu. Conformément à la définition introduite de la longueur d’onde, nous pouvons écrire

ou après les abréviations Depuis , alors

Cette expression permet de donner une définition différente de la longueur d'onde : La longueur d'onde est la distance sur laquelle les vibrations des particules du milieu ont le temps de se propager en un temps égal à la période des vibrations.

L'équation des ondes révèle une double périodicité : en coordonnées et en temps : ^(x,t) = Z,(x + nk, t) = l,(x, t + mT) = ​​​​Tx + pX, ml), Où Pete - tous les entiers. Vous pouvez par exemple fixer les coordonnées des particules (mettre X = const) et considérons leur déplacement en fonction du temps. Ou, à l'inverse, fixer un moment dans le temps (accepter t = const) et considérer le déplacement des particules en fonction de coordonnées (l'état instantané des déplacements est une photographie instantanée d'une onde). Ainsi, lorsque vous êtes sur la jetée, vous pouvez utiliser un appareil photo à tout moment. t photographier la surface de la mer, mais vous pouvez le faire en jetant une puce dans la mer (c'est-à-dire en fixant les coordonnées X), surveiller ses fluctuations dans le temps. Ces deux cas sont représentés sous forme de graphiques sur la figure. 2.21, a-c.

L'équation des vagues (2.125) peut être réécrite différemment

La relation est notée À et s'appelle numéro d'onde

Parce que , Que

Le nombre d'onde montre ainsi combien de longueurs d'onde correspondent à un segment de 2 unités de longueur. En introduisant le nombre d'onde dans l'équation d'une onde, on obtient l'équation d'une onde se déplaçant dans le sens positif Oh vagues sous la forme la plus couramment utilisée

Trouvons une expression reliant la différence de phase Der des vibrations de deux particules appartenant à des surfaces d'onde différentes X et x2. En utilisant l’équation d’onde (2.131), on écrit :

Si on note ou d'après (2.130)

Une onde plane se propageant dans une direction arbitraire est décrite dans cas généraléquation

Où g-vecteur de rayon tracé depuis l'origine jusqu'à la particule se trouvant sur la surface de l'onde ; À - un vecteur d'onde égal en amplitude au nombre d'onde (2,130) et dont la direction coïncide avec la normale à la surface de l'onde dans la direction de propagation des ondes.

Il est également possible forme complexeécrire l’équation des ondes. Ainsi, par exemple, dans le cas d'une onde plane se propageant le long de l'axe X

et dans le cas général d'une onde plane de direction arbitraire

L'équation des ondes sous l'une des formes répertoriées peut être obtenue comme solution à une équation différentielle appelée équation des vagues. Si nous connaissons la solution de cette équation sous la forme (2.128) ou (2.135) - l'équation des ondes progressives, alors trouver l'équation des ondes elle-même n'est pas difficile. Dérivons 4(x, t) = % de (2.135) deux fois en coordonnées et deux fois en temps et on obtient

en exprimant ?, à travers les dérivées obtenues et en comparant les résultats, on obtient

En gardant à l’esprit la relation (2.129), on écrit

C'est l'équation des vagues pour le cas unidimensionnel.

DANS vue générale Pour?, = c(x, y, z,/) équation d'onde dans Coordonnées cartésiennes Ressemble à ça

ou sous une forme plus compacte :

où D est l'opérateur différentiel de Laplace

Vitesse de phase est la vitesse de propagation des points d'onde oscillant dans la même phase. Autrement dit, il s'agit de la vitesse de déplacement de la « crête », du « creux » ou de tout autre point de la vague dont la phase est fixe. Comme indiqué précédemment, le front d'onde (et donc toute surface d'onde) se déplace le long de l'axe Oh avec rapidité Et. Par conséquent, la vitesse de propagation des oscillations dans le milieu coïncide avec la vitesse de déplacement d'une phase d'oscillations donnée. Donc la vitesse Et, déterminé par la relation (2.129), c'est-à-dire

habituellement appelé vitesse de phase.

Le même résultat peut être obtenu en trouvant la vitesse des points dans le milieu qui satisfont à la condition de phase constante co/ - fee = const. De là on retrouve la dépendance de la coordonnée au temps (co/ - const) et la vitesse de déplacement de cette phase

ce qui coïncide avec (2.142).

Onde plane se propageant dans la direction de l'axe négatif Oh, décrit par l'équation

En effet, dans ce cas la vitesse de phase est négative

La vitesse de phase dans un milieu donné peut dépendre de la fréquence d'oscillation de la source. La dépendance de la vitesse de phase sur la fréquence est appelée dispersion, et les environnements dans lesquels cette dépendance se produit sont appelés disperser les médias. Il ne faut cependant pas penser que l’expression (2.142) soit la dépendance indiquée. Le fait est qu'en l'absence de dispersion, le nombre d'onde À en rapport direct

avec et donc . La dispersion ne se produit que lorsque ω dépend de À non linéaire).

Une onde plane voyageuse s’appelle monochromatique (ayant une fréquence), si les vibrations dans la source sont harmoniques. Les ondes monochromatiques correspondent à une équation de la forme (2.131).

Pour une onde monochromatique, la fréquence angulaire co et l'amplitude UN ne dépend pas du temps. Cela signifie qu'une onde monochromatique est illimitée dans l'espace et infinie dans le temps, c'est-à-dire est un modèle idéalisé. Toute onde réelle, quel que soit le soin avec lequel la constance de la fréquence et de l'amplitude est maintenue, n'est pas monochromatique. Une vague réelle ne dure pas indéfiniment, mais commence et se termine à certains moments et dans un certain endroit et, par conséquent, l'amplitude d'une telle vague est fonction du temps et des coordonnées de ce lieu. Cependant, plus l'intervalle de temps pendant lequel l'amplitude et la fréquence des oscillations sont maintenues constantes est long, plus cette onde est proche du monochromatique. Souvent, dans la pratique, une onde monochromatique est appelée un segment d'onde suffisamment grand, à l'intérieur duquel la fréquence et l'amplitude ne changent pas, tout comme un segment d'onde sinusoïdale est représenté sur la figure, et on l'appelle une onde sinusoïdale.

En tant que manuscrit

La physique

Notes de lecture

(Partie 5. Ondes, optique ondulatoire)

Pour les étudiants direction 230400

« Systèmes d'information et la technologie"

Ressource pédagogique électronique

Compilé par : Ph.D., professeur agrégé V.V. Konovalenko

Protocole n°1 du 09/04/2013

Processus de vagues

Concepts et définitions de base

Considérons un milieu élastique - solide, liquide ou gazeux. Si les vibrations de ses particules sont excitées en n'importe quel endroit de ce milieu, alors en raison de l'interaction entre les particules, les vibrations, transmises d'une particule du milieu à une autre, se propageront à travers le milieu à une certaine vitesse. Processus la propagation des vibrations dans l'espace est appelée vague .

Si les particules dans un milieu oscillent dans le sens de propagation de l'onde, on parle alors de longitudinal Si les oscillations des particules se produisent dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde, alors l'onde est appelée transversal . Transversal ondes mécaniques ne peut apparaître que dans un milieu avec un module de cisaillement non nul. Ils peuvent donc se propager dans les milieux liquides et gazeux. uniquement des ondes longitudinales . La différence entre les ondes longitudinales et transversales est plus clairement visible dans l'exemple de la propagation des vibrations dans un ressort - voir figure.

Pour caractériser les vibrations transversales, il est nécessaire de situer la position dans l'espace plan passant par la direction d'oscillation et la direction de propagation des ondes - plan de polarisation .

La région de l’espace dans laquelle vibrent toutes les particules du milieu est appelée champ de vagues . La limite entre le champ d’ondes et le reste du milieu est appelée front de vague . Autrement dit, front d'onde - l'emplacement géométrique des points auxquels les oscillations ont atteint à un moment donné. Dans un milieu homogène et isotrope, la direction de propagation des ondes est perpendiculaire au front d’onde.

Lorsqu'une onde existe dans le milieu, les particules du milieu oscillent autour de leurs positions d'équilibre. Soit ces oscillations harmoniques, et la période de ces oscillations est T. Particules séparées par une distance

dans la direction de propagation des ondes, oscillez de la même manière, c'est-à-dire à un instant donné, leurs déplacements sont les mêmes. La distance s'appelle longueur d'onde . Autrement dit, longueur d'onde est la distance parcourue par une onde au cours d'une période d'oscillation .

La localisation géométrique des points qui oscillent dans la même phase est appelée surface des vagues . Front de vague – cas particulier surface des vagues. Longueur d'onde - le minimum la distance entre deux surfaces d'ondes dans lesquelles les points vibrent de la même manière, ou on peut dire que les phases de leurs oscillations diffèrent par .

Si les surfaces des vagues sont planes, alors la vague est appelée plat , et si par sphères, alors sphérique. Une onde plane est excitée dans un milieu continu homogène et isotrope par des oscillations plan infini. L'excitation d'une surface sphérique peut être représentée comme le résultat des pulsations radiales d'une surface sphérique, ainsi que comme le résultat de l'action source ponctuelle, dont les dimensions peuvent être négligées par rapport à la distance au point d'observation. Étant donné que toute source réelle a des dimensions finies, à une distance suffisamment grande de celle-ci, l'onde sera proche de la sphérique. Dans le même temps, la section de la surface d'onde d'une onde sphérique, à mesure que sa taille diminue, devient arbitrairement proche de la section de la surface d'onde d'une onde plane.

Équation d'une onde plane se propageant

Dans n'importe quelle direction

Nous l'aurons. Soit les oscillations dans un plan parallèle aux surfaces d'onde et passant par l'origine des coordonnées avoir la forme :

Dans un plan espacé de l'origine d'une distance je, les oscillations seront décalées dans le temps de . Par conséquent, l’équation des oscillations dans ce plan a la forme :

Depuis géométrie analytique on sait que la distance entre l'origine des coordonnées et un certain plan est égale à produit scalaire rayon vecteur d'un certain point du plan en un vecteur unitaire normal au plan : . La figure illustre cette situation pour un cas bidimensionnel. Remplaçons la valeur je dans l’équation (22.13) :

(22.14)

Un vecteur égal en amplitude au nombre d'onde et dirigé normalement à la surface de l'onde est appelé vecteur d'onde . L’équation de l’onde plane peut maintenant s’écrire :

La fonction (22.15) donne l'écart par rapport à la position d'équilibre d'un point avec un rayon vecteur à un instant donné t. Afin de représenter explicitement la dépendance aux coordonnées et au temps, il est nécessaire de prendre en compte que

. (22.16)

L’équation de l’onde plane prend maintenant la forme :

Souvent trouvé utile représenter l'équation des vagues sous forme exponentielle . Pour ce faire, nous utilisons la formule d'Euler :

où , on écrit l'équation (22.15) sous la forme :

. (22.19)

Équation d'onde

L'équation de toute onde est une solution d'une équation différentielle du second ordre appelée vague . Afin d'établir la forme de cette équation, on trouve les dérivées secondes par rapport à chacun des arguments de l'équation des ondes planes (22.17) :

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

Ajoutons les trois premières équations avec dérivées par rapport aux coordonnées :

. (22.24)

Exprimons à partir de l'équation (22.23) : , et tenez compte de ce qui suit :

(22.25)

Nous présentons la somme des dérivées secondes du membre gauche de (22.25) comme résultat de l'action de l'opérateur de Laplace sur , et sous la forme finale nous présentons équation d'onde comme:

(22.26)

Il est à noter que dans l'équation d'onde Racine carréeà partir de l'inverse du coefficient de la dérivée temporelle donne la vitesse de propagation de l'onde.

On peut montrer que l'équation d'onde (22.26) est satisfaite par toute fonction de la forme :

Et chacun d'eux estéquation d’onde et décrit une certaine onde.

Énergie des vagues élastiques

Considérons dans un milieu dans lequel se propage une onde élastique (22.10), un volume élémentaire suffisamment petit pour que la déformation et la vitesse des particules qui le composent puissent être considérées comme constantes et égales :

En raison de la propagation des ondes dans le milieu, le volume possède une énergie de déformation élastique

(22.38)

Conformément à (22.35), le module d'Young peut être représenté par . C'est pourquoi:

. (22.39)

Le volume considéré possède également de l'énergie cinétique :

. (22.40)

Énergie volumique totale :

Et la densité énergétique :

, UN (22.43)

Remplaçons ces expressions dans (22.42) et prenons en compte que :

Ainsi, la densité d'énergie est différente en différents points de l'espace et change dans le temps selon la loi du carré du sinus.

La valeur moyenne du carré du sinus est 1/2, ce qui signifie moyenne au fil du temps, la valeur de la densité énergétique en chaque point du milieu , dans lequel l'onde se propage :

. (22.45)

L'expression (22.45) est valable pour tous les types d'ondes.

Donc, le milieu dans lequel l'onde se propage dispose d'un apport d'énergie supplémentaire. Ainsi, la vague transporte de l'énergie avec elle .

X.6 Rayonnement dipolaire

Dipôle électrique oscillant, c'est à dire. un dipôle dont le moment électrique change périodiquement, par exemple selon une loi harmonique, est le système émetteur d'ondes électromagnétiques le plus simple. Un des exemples importants Un dipôle oscillant est un système constitué d'une charge négative qui oscille à proximité d'une charge positive. C’est exactement la situation qui se produit lorsqu’une onde électromagnétique agit sur un atome d’une substance, lorsque, sous l’influence du champ de l’onde, des électrons oscillent à proximité du noyau atomique.

Supposons que le moment dipolaire change selon une loi harmonique :

où est le rayon vecteur de la charge négative, je- amplitude d'oscillation, - vecteur unitaire dirigé le long de l'axe dipolaire.

Limitons-nous à considérer dipôle élémentaire , dont les dimensions sont petites par rapport à la longueur d'onde émise et considérer zone de vague dipôles, c'est-à-dire région de l'espace pour laquelle le module du rayon vecteur d'un point est . Dans la zone d'onde d'un milieu homogène et isotrope, le front d'onde sera sphérique - Figure 22.4.

Le calcul électrodynamique montre que le vecteur d'onde se situe dans un plan passant par l'axe dipolaire et le rayon vecteur du point considéré. Amplitudes et dépendent de la distance r et l'angle entre et l'axe du dipôle. Dans le vide

Puisque le vecteur de Poynting est

, (22.33)

et on peut affirmer que le dipôle rayonne le plus fortement dans les directions correspondant à , et Motif de radiation Le dipôle a la forme montrée sur la figure 22.5. Modèle directionnel appelé image graphique répartition de l'intensité du rayonnement dans diverses directions sous la forme d'une courbe construite de telle sorte que la longueur d'un segment de faisceau tiré d'un dipôle dans une certaine direction jusqu'à un point de la courbe soit proportionnelle à l'intensité du rayonnement.

Les calculs montrent également que pouvoir R. le rayonnement dipolaire est proportionnel au carré de la dérivée seconde de moment dipolaire :

Parce que le

, (22.35)

Que puissance moyenne

il s'avère que proportionnel au carré de l'amplitude du moment dipolaire et quatrième puissance de fréquence.

D’un autre côté, considérant que , on comprend ça la puissance du rayonnement est proportionnelle au carré de l'accélération:

Cette affirmation est vraie non seulement pour les oscillations de charge, mais également pour les mouvements de charge arbitraires.

Optique ondulatoire

Dans cette section, nous examinerons les phénomènes lumineux dans lesquels la nature ondulatoire de la lumière se manifeste. Rappelons que la lumière est caractérisée par la dualité onde-particule et qu'il existe des phénomènes qui ne peuvent être expliqués que sur la base de l'idée de la lumière comme flux de particules. Mais nous considérerons ces phénomènes en optique quantique.

informations généralesà propos de la lumière

Nous considérons donc la lumière comme une onde électromagnétique. DANS onde électromagnétique fluctue et . Il a été établi expérimentalement que les effets physiologiques, photochimiques, photoélectriques et autres de la lumière sont déterminés par le vecteur de l'onde lumineuse, c'est pourquoi on l'appelle lumière. En conséquence, nous supposerons que l'onde lumineuse est décrite par l'équation :

où est l'amplitude,

- numéro d'onde (vecteur d'onde),

Distance dans la direction de propagation.

Le plan dans lequel il oscille s'appelle plan d'oscillation. Une onde lumineuse se propage à grande vitesse

, (2)

appelé indice de réfraction et caractérise la différence entre la vitesse de la lumière dans un milieu donné et la vitesse de la lumière dans le vide (vide).

Dans la plupart des cas, les substances transparentes ont une perméabilité magnétique, et l'indice de réfraction peut presque toujours être considéré comme déterminé par la constante diélectrique du milieu :

Signification n utilisé pour caractériser densité optique Mercredi: plus n est grand, plus le milieu est optiquement dense. .

La lumière visible a des longueurs d'onde dans la gamme et fréquences

Hz

Les vrais récepteurs de lumière ne sont pas capables de suivre de tels processus éphémères et d'enregistrer flux d'énergie moyenné dans le temps . Prieuré A , intensité lumineuse est le module de la valeur moyenne dans le temps de la densité de flux d'énergie transférée par une onde lumineuse :

(4)

Puisque dans une onde électromagnétique

, (6)

Ι ~ ~ ~ (7)

Je ~ Un 2(8)

Des rayons nous appellerons les lignes le long desquelles l'énergie lumineuse se propage.

Le vecteur du flux d'énergie moyen est toujours dirigé tangentiellement au faisceau. En milieu isotrope coïncide en direction avec la normale aux surfaces des vagues.

Dans la lumière naturelle, il existe des ondes avec des orientations très différentes du plan de vibration. Ainsi, malgré le caractère transversal des ondes lumineuses, le rayonnement des sources lumineuses classiques ne présente pas d'asymétrie par rapport à la direction de propagation. Cette caractéristique de la lumière (naturelle) s’explique par ce qui suit : l’onde lumineuse résultante de la source est composée d’ondes émises par divers atomes. Chaque atome émet une onde en quelques secondes. Pendant ce temps, l'espace se forme train de vagues (une séquence de « bosses et creux ») d’environ 3 mètres de long.

Le plan d'oscillation de chaque train est bien défini. Mais en même temps, un très grand nombre d’atomes émettent leurs trains, et le plan de vibration de chaque train s’oriente indépendamment des autres, de manière aléatoire. C'est pourquoi dans la vague résultante du corps des oscillations dans différentes directions sont présentées avec probabilité égale. Cela signifie que, si vous utilisez un appareil pour étudier l'intensité de la lumière avec différentes orientations vectorielles, alors à la lumière naturelle, l'intensité ne dépend pas de l'orientation .

La mesure de l'intensité est un processus long par rapport à la période de l'onde, et les idées considérées sur la nature de la lumière naturelle sont pratiques pour décrire des processus assez longs.

Cependant, dans ce moment le temps à un point spécifique de l'espace, à la suite de l'ajout de vecteurs de trains individuels, un certain spécifique se forme. En raison de l'activation et de la désactivation aléatoires d'atomes individuels une onde lumineuse excite en un point donné une oscillation proche d'une harmonique, mais l'amplitude, la fréquence et la phase des oscillations dépendent du temps et changent de manière chaotique. L'orientation du plan d'oscillation change également de manière chaotique ay. Ainsi, les oscillations du vecteur lumière en un point donné du milieu peuvent être décrites par l'équation :

(9)

De plus, et il y a des fonctions qui varient de manière chaotique dans le temps ii. Cette idée de lumière naturelle est pratique si l’on considère des périodes de temps comparables à la période d’une onde lumineuse.

La lumière dans laquelle les directions des oscillations vectorielles sont ordonnées d'une manière ou d'une autre est appelée polarisé.

Si des oscillations du vecteur lumière se produisent seulement dans un avion traversant le faisceau, alors la lumière est appelée plat - ou polarisé linéairement. En d’autres termes, dans la lumière polarisée plane, le plan de vibration a une position strictement fixe. D'autres types d'ordonnancement sont également possibles, c'est-à-dire des types de polarisation de la lumière.

Le principe de Huygens

Dans l'approximation de l'optique géométrique, la lumière ne doit pas pénétrer dans la région d'ombre géométrique. En effet, la lumière pénètre dans cette zone, et ce phénomène devient d'autant plus important que les obstacles sont petits. Si les dimensions des trous ou des fentes sont comparables à la longueur d'onde, alors optique géométrique n'est pas applicable.

Qualitativement, le comportement de la lumière derrière un obstacle s'explique par le principe de Huygens qui permet de construire le front d'onde à un instant à partir d'une position connue à un instant.

Selon le principe de Huygens, chaque point atteint par le mouvement des vagues devient une source ponctuelle d'ondes secondaires. L'enveloppe le long des fronts des ondes secondaires donne la position du front d'onde.

Interférence de la lumière

Supposons qu'à un moment donné dans le milieu, deux ondes (polarisées dans le plan) excitent deux oscillations même fréquence et même direction:

Et . (24.14)

L'amplitude de l'oscillation résultante est déterminée par l'expression :

Pour les ondes incohérentes, cela change de manière aléatoire et toutes les valeurs sont également probables. Par conséquent, de (24.15) il résulte :

6 Si les ondes sont cohérentes et , alors

Mais cela dépend : - de la longueur du trajet depuis les sources d'ondes jusqu'à un point donné et différent pour différents points de l'environnement. Ainsi, lorsque des ondes cohérentes se superposent, une redistribution se produit flux lumineux dans l'espace, de sorte qu'en certains points du milieu l'intensité de la lumière augmente et en d'autres elle diminue -. Ce phénomène est appelé ingérence.

L'absence d'interférences dans la vie quotidienne lors de l'utilisation de plusieurs sources lumineuses s'explique par leur incohérence. Les atomes individuels émettent des impulsions pour c et la longueur du train est ≈ 3 mètres. Pour le nouveau train, non seulement l’orientation du plan de polarisation est aléatoire, mais la phase est également imprévisible.

En réalité, les ondes cohérentes sont obtenues en divisant le rayonnement d'une source en deux parties. Lorsque les pièces sont superposées, des interférences peuvent être observées. Mais dans ce cas, la séparation des longueurs optiques ne doit pas être de l'ordre de la longueur du train. Sinon, il n'y aura aucune interférence, car divers trains se superposent.

Supposons que la séparation se produise au point O et la superposition au point P. Les oscillations sont excitées en P.

Et (24.17)

Vitesse de propagation des ondes dans les médias concernés.

Phases séparées en un point R.:

où est la longueur d’onde de la lumière dans le vide.

La valeur, c'est-à-dire égal à la différence des longueurs de trajet optique entre les points considérés est appelé différence de chemin optique.

alors , dans (24.16) égal à un, et l'intensité lumineuse sera maximale.

(24.20)

Que , les oscillations en un point se produisent en antiphase, ce qui signifie que l'intensité lumineuse est minime.

LA COHÉRENCE

La cohérence - apparition coordonnée de deux ou plusieurs processus ondulatoires. Il n’y a jamais de cohérence absolue, on peut donc parler de différents degrés de cohérence.

Il y a une cohérence temporelle et spatiale.

Cohérence temporelle

Équation de vague réelle

Nous avons considéré l'interférence des ondes décrite par des équations de la forme :

(1)

Cependant, de telles ondes sont une abstraction mathématique, puisque l’onde décrite par (1) doit être infinie dans le temps et dans l’espace. Ce n’est que dans ce cas que les quantités peuvent être des constantes définies.

Une onde réelle, résultant de la superposition de trains de différents atomes, contient des composants dont les fréquences se situent dans une plage de fréquences finie (respectivement les vecteurs d'onde dans ), et A et a subissent des changements chaotiques continus. Oscillations excitées à un moment donné par chevauchement réel vagues, peut être décrite par l’expression :

Et (2)

De plus, les changements chaotiques des fonctions au fil du temps dans (2) sont indépendants.

Pour simplifier l'analyse, nous supposons que les amplitudes des ondes sont constantes et identiques (cette condition est mise en œuvre expérimentalement tout simplement) :

Les changements de fréquence et de phase peuvent être réduits à des changements de fréquence uniquement ou de phase uniquement. Supposons en effet que l'inharmonicité des fonctions (2) soit due à des sauts de phase. Mais d’après ce qui peut être prouvé en mathématiques Théorème de Fourier, toute fonction non harmonique peut être représentée comme une somme de composantes harmoniques dont les fréquences sont contenues dans certaines . Dans le cas limite, la somme devient une intégrale : toute fonction finie et intégrable peut être représentée par l'intégrale de Fourier :

, (3)

Où est l'amplitude de la composante harmonique de la fréquence, analytiquement déterminé par la relation :

(4)

Ainsi, une fonction non harmonique en raison d’un changement de phase peut être représentée comme une superposition de composantes harmoniques avec des fréquences égales à certaines.

En revanche, une fonction à fréquence et phase variables peut être réduite à une fonction à phase variable uniquement :

Par conséquent, pour apprivoiser une analyse plus approfondie, nous supposerons :

c'est-à-dire que nous mettons en œuvre approche par phases au concept de « cohérence temporelle ».

Bandes à pente égale

Laissez une fine plaque plane parallèle être éclairée par diffusion monochromatique lumière. Placer une lentille collectrice parallèlement à la plaque, dans son plan focal - écran. La lumière diffusée contient des rayons provenant d’une grande variété de directions. Les rayons incidents sous un angle produisent 2 rayons réfléchis, qui convergeront au point . Cela est vrai pour tous les rayons incidents sur la surface de la plaque sous un angle donné, en tous points de la plaque. La lentille garantit que tous ces rayons convergent vers un point, puisque les rayons parallèles incidents sur la lentille sous un certain angle sont collectés par celle-ci en un point du plan focal, c'est-à-dire sur l'écran. Au point O, l’axe optique de la lentille coupe l’écran. À ce stade, les rayons parallèles à l’axe optique sont collectés.

Les rayons incidents sous un angle , mais pas dans le plan du dessin, mais dans d'autres plans, convergeront en des points situés à la même distance du point que le point . Du fait de l'interférence de ces rayons, un cercle avec une certaine intensité de lumière incidente se forme à une certaine distance du point. Les rayons incidents sous un angle différent forment un cercle sur l’écran avec un éclairage différent, qui dépend de leur différence de chemin optique. En conséquence, des bandes alternées sombres et claires en forme de cercles se forment sur l’écran. Chacun des cercles est formé de rayons incidents sous un certain angle, et ils sont appelés rayures d'égale pente. Ces bandes sont localisées à l'infini.

Le rôle de cristallin peut être joué par le cristallin, et le rôle d'écran peut être joué par la rétine. Dans ce cas, l’œil doit s’accommoder à l’infini. En lumière blanche, des rayures multicolores sont obtenues.

Rayures d'égale épaisseur

Prenons une assiette en forme de coin. Laisse tomber sur elle faisceau de lumière parallèle. Considérons les rayons réfléchis par les faces supérieure et inférieure de la plaque. Si ces rayons sont rassemblés par une lentille en un point, ils vont interférer. Avec un petit angle entre les faces des plaques, la différence de trajectoire des rayons peut être calculée à l'aide du formulaire
le pour une plaque plan-parallèle. Les rayons formés par l'incidence du faisceau en un autre point de la plaque seront collectés par la lentille en ce point. La différence de leur course est déterminée par l'épaisseur de la plaque à l'endroit correspondant. On peut prouver que tous les points de type P se trouvent dans le même plan passant par le sommet du coin.

Si vous positionnez l'écran de manière à ce qu'il soit conjugué avec la surface dans laquelle se trouvent les points P, P 1 P 2, alors un système de bandes claires et sombres apparaîtra dessus, dont chacune est formée en raison des réflexions de la plaque dans endroits d'une certaine épaisseur. Par conséquent, dans ce cas, les rayures sont appelées rayures d'égale épaisseur.

Lorsqu'elles sont observées en lumière blanche, les rayures seront colorées. Des bandes d'égale épaisseur sont localisées près de la surface de la plaque. Avec une incidence normale de lumière - en surface.

En conditions réelles, lors de l'observation de la coloration des films de savon et d'huile, des rayures mixtes sont observées.

Diffraction de la lumière.

27.1. Diffraction de la lumière

Diffractionappelé un ensemble de phénomènes observés dans un milieu présentant de fortes inhomogénéités optiques et associés à des écarts dans la propagation de la lumière par rapport aux lois de l'optique géométrique .

Pour observer la diffraction, une barrière opaque est placée le long du trajet d'une onde lumineuse provenant d'une certaine source, couvrant une partie de la surface d'onde de l'onde émise par la source. Émergent diagramme de diffraction observé sur un écran situé dans le prolongement des rayons.

Il existe deux types de diffraction. Si les rayons provenant de la source et de l'obstacle jusqu'au point d'observation peuvent être considérés comme presque parallèles, alors on dit queDiffraction Fraunhofer, ou diffraction en faisceaux parallèles. Si les conditions de diffraction Fraunhofer ne sont pas remplies,parler de diffraction de Fresnel.

Il est nécessaire de bien comprendre qu’il n’existe pas de différence physique fondamentale entre interférence et diffraction. Les deux phénomènes sont causés par la redistribution de l’énergie d’ondes lumineuses cohérentes qui se chevauchent. Habituellement, lorsqu'on considère un nombre fini sources discrètes lumière, puis ils parlent de ingérence . Si la superposition des vagues de sources cohérentes distribuées en continu dans l'espace puis ils parlent de diffraction .

27.2. Principe de Huygens-Fresnel

Le principe de Huygens permet, en principe, d'expliquer la pénétration de la lumière dans la région d'une ombre géométrique, mais ne dit rien sur l'intensité des ondes qui se propagent dans diverses directions. Fresnel a complété le principe de Huygens en indiquant comment calculer l'intensité du rayonnement d'un élément de surface d'onde dans différentes directions, ainsi qu'en indiquant que les ondes secondaires sont cohérentes et lors du calcul de l'intensité de la lumière à un certain point, il faut tenir compte des interférences des ondes secondaires. .

Processus de vagues

Concepts et définitions de base

Considérons un milieu élastique - solide, liquide ou gazeux. Si les vibrations de ses particules sont excitées en n'importe quel endroit de ce milieu, alors en raison de l'interaction entre les particules, les vibrations, transmises d'une particule du milieu à une autre, se propageront à travers le milieu à une certaine vitesse. Processus la propagation des vibrations dans l'espace est appelée vague .

Si les particules dans un milieu oscillent dans le sens de propagation de l'onde, on parle alors de longitudinal Si les oscillations des particules se produisent dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde, alors l'onde est appelée transversal . Les ondes mécaniques transversales ne peuvent apparaître que dans un milieu ayant un module de cisaillement non nul. Ils peuvent donc se propager dans les milieux liquides et gazeux. uniquement des ondes longitudinales . La différence entre les ondes longitudinales et transversales est plus clairement visible dans l'exemple de la propagation des vibrations dans un ressort - voir figure.

Pour caractériser les vibrations transversales, il est nécessaire de situer la position dans l'espace plan passant par la direction d'oscillation et la direction de propagation des ondes - plan de polarisation .

La région de l’espace dans laquelle vibrent toutes les particules du milieu est appelée champ de vagues . La limite entre le champ d’ondes et le reste du milieu est appelée front de vague . Autrement dit, front d'onde - l'emplacement géométrique des points auxquels les oscillations ont atteint à un moment donné. Dans un milieu homogène et isotrope, la direction de propagation des ondes est perpendiculaire au front d’onde.

Lorsqu'une onde existe dans le milieu, les particules du milieu oscillent autour de leurs positions d'équilibre. Soit ces oscillations harmoniques, et la période de ces oscillations est T. Particules séparées par une distance

dans la direction de propagation des ondes, oscillez de la même manière, c'est-à-dire à un instant donné, leurs déplacements sont les mêmes. La distance s'appelle longueur d'onde . Autrement dit, longueur d'onde est la distance parcourue par une onde au cours d'une période d'oscillation .

La localisation géométrique des points qui oscillent dans la même phase est appelée surface des vagues . Un front d’onde est un cas particulier de surface d’onde. Longueur d'onde - le minimum la distance entre deux surfaces d'ondes dans lesquelles les points vibrent de la même manière, ou on peut dire que les phases de leurs oscillations diffèrent par .

Si les surfaces des vagues sont planes, alors la vague est appelée plat , et si par sphères, alors sphérique. Une onde plane est excitée dans un milieu continu homogène et isotrope lorsqu'un plan infini oscille. L'excitation d'une surface sphérique peut être représentée comme le résultat des pulsations radiales d'une surface sphérique, ainsi que comme le résultat de l'action source ponctuelle, dont les dimensions peuvent être négligées par rapport à la distance au point d'observation. Étant donné que toute source réelle a des dimensions finies, à une distance suffisamment grande de celle-ci, l'onde sera proche de la sphérique. Dans le même temps, la section de la surface d'onde d'une onde sphérique, à mesure que sa taille diminue, devient arbitrairement proche de la section de la surface d'onde d'une onde plane.

Équations des ondes planes et sphériques

Équation d'onde est une expression qui détermine le déplacement d'un point oscillant en fonction des coordonnées de la position d'équilibre du point et du temps :

Si la source s'engage périodique oscillations, alors la fonction (22.2) doit être fonction périodique et les coordonnées et l'heure. La périodicité dans le temps découle du fait que la fonction décrit les oscillations périodiques d'un point avec des coordonnées ; périodicité en coordonnées - du fait que les points situés à distance dans la direction de propagation des ondes oscillent de la même manière

Limitons-nous à considérer les ondes harmoniques, lorsque des points du milieu effectuent des oscillations harmoniques. Il convient de noter que toute fonction non harmonique peut être représentée comme le résultat de la superposition d'ondes harmoniques. Ainsi, considérer uniquement les ondes harmoniques n’entraîne pas une détérioration fondamentale de la généralité des résultats obtenus.

Considérons une onde plane. Choisissons un système de coordonnées pour que l'axe Oh coïncidait avec la direction de propagation des ondes. Alors les surfaces d’onde seront perpendiculaires à l’axe Oh et, puisque tous les points de la surface de l'onde vibrent de la même manière, le déplacement des points du milieu par rapport aux positions d'équilibre ne dépendra que de x et t:

Soit les vibrations des points situés dans le plan sous la forme :

(22.4)

Oscillations dans un plan situé à distance X depuis l'origine, décalage dans le temps par rapport aux oscillations dans la période de temps nécessaire à l'onde pour parcourir la distance X, et sont décrits par l'équation

lequel est équation d’une onde plane se propageant dans la direction de l’axe Ox.

Lors de l’élaboration de l’équation (22.5), nous avons supposé que l’amplitude des oscillations était la même en tous points. Dans le cas d’une onde plane, cela est vrai si l’énergie des vagues n’est pas absorbée par le milieu.

Considérons une valeur de la phase dans l'équation (22.5) :

(22.6)

L'équation (22.6) donne la relation entre le temps t et lieu - X, dans lequel valeur spécifiée phase est en cours en ce moment. Après avoir déterminé à partir de l'équation (22.6), nous trouvons la vitesse à laquelle une valeur de phase donnée se déplace. En différenciant (22.6), on obtient :

Où suit (22.7)

Équation d'onde est une équation exprimant la dépendance du déplacement d'une particule oscillante participant à un processus ondulatoire sur la coordonnée de sa position d'équilibre et de son temps :

Cette fonction doit être périodique tant par rapport au temps que par rapport aux coordonnées. De plus, les points situés à distance je les uns des autres, oscillent de la même manière.

Trouvons le type de fonction X dans le cas d'une onde plane.

Considérons une onde harmonique plane se propageant dans le sens positif de l'axe dans un milieu qui n'absorbe pas d'énergie. Dans ce cas, les surfaces d'onde seront perpendiculaires à l'axe. Toutes les grandeurs caractérisant mouvement oscillatoire les particules du milieu dépendent uniquement du temps et des coordonnées. Le décalage dépendra uniquement de et : . Soit l'oscillation d'un point avec une coordonnée (la source de l'oscillation) soit donnée par la fonction. Tâche: trouver le type de vibration des points du plan correspondant à une valeur arbitraire. Pour voyager d’un plan à ce plan, une vague a besoin de temps. Par conséquent, les oscillations des particules situées dans le plan seront en retard d'un certain temps par rapport aux oscillations des particules dans le plan. Alors l'équation des oscillations des particules dans le plan aura la forme :

En conséquence, nous avons obtenu l’équation d’une onde plane se propageant dans le sens croissant :

. (3)

Dans cette équation, est l'amplitude de l'onde ; – fréquence cyclique; – la phase initiale, qui est déterminée par le choix du point de référence et ; – phase d’onde plane.

Soit la phase de l'onde une valeur constante (nous fixons la valeur de phase dans l'équation de l'onde) :

Réduisons cette expression de et différencions-la. En conséquence nous obtenons :

ou .

Ainsi, la vitesse de propagation d'une onde dans l'équation des ondes planes n'est rien de plus que la vitesse de propagation d'une phase fixe de l'onde. Cette vitesse est appelée vitesse de phase .

Pour une onde sinusoïdale, la vitesse de transfert d'énergie est égale à la vitesse de phase. Mais une onde sinusoïdale ne véhicule aucune information et tout signal est une onde modulée, c'est-à-dire pas sinusoïdal (pas harmonique). Lors de la résolution de certains problèmes, il s'avère que la vitesse de phase est supérieure à la vitesse de la lumière. Il n'y a pas de paradoxe ici, car... la vitesse de déplacement de phase n'est pas la vitesse de transmission (propagation) de l'énergie. L'énergie et la masse ne peuvent pas se déplacer à une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière c .

Habituellement, l’équation des ondes planes prend une forme relativement symétrique. Pour ce faire, saisissez la valeur , qui est appelée numéro d'onde . Transformons l'expression du nombre d'onde. Écrivons-le sous la forme (). Remplaçons cette expression dans l'équation des ondes planes :

Finalement on obtient

C’est l’équation d’une onde plane se propageant dans le sens croissant. Le sens opposé de propagation des ondes sera caractérisé par une équation dans laquelle le signe devant le terme changera.

Il est pratique d’écrire l’équation de l’onde plane sous la forme suivante.

Généralement un signe Concernant sont omis, ce qui implique que seule la partie réelle de l'expression correspondante est prise. De plus, un nombre complexe est introduit.

Ce nombre est appelé amplitude complexe. Le module de ce nombre donne l'amplitude, et l'argument donne phase initiale vagues.

Ainsi, l'équation plane vague non amortie peut être représenté sous la forme suivante.

Tout ce qui a été discuté ci-dessus concernait un milieu dans lequel il n'y avait pas d'atténuation des ondes. Dans le cas de l'atténuation des vagues, conformément à la loi de Bouguer (Pierre Bouguer, scientifique français (1698 - 1758)), l'amplitude de l'onde va diminuer au fur et à mesure de sa propagation. L’équation de l’onde plane aura alors la forme suivante.

un– coefficient d'atténuation des vagues. Un 0 – amplitude des oscillations en un point de coordonnées . C'est l'inverse de la distance à laquelle l'amplitude de l'onde diminue de e une fois.

Trouvons l'équation d'une onde sphérique. Nous considérerons que la source des oscillations est ponctuelle. Ceci est possible si l’on se limite à considérer l’onde à une distance bien supérieure à la taille de la source. Une onde issue d’une telle source dans un milieu isotrope et homogène sera sphérique . Les points situés sur la surface d'onde du rayon oscilleront avec la phase

L'amplitude des oscillations dans ce cas, même si l'énergie des vagues n'est pas absorbée par le milieu, ne restera pas constante. Elle diminue avec la distance à la source selon la loi. Par conséquent, l’équation de l’onde sphérique a la forme :

ou

En raison des hypothèses formulées, l'équation n'est valable que pour , dépassant largement la taille de la source d'onde. L'équation (6) n'est pas applicable aux petites valeurs, car l'amplitude tendrait vers l'infini, et c'est absurde.

En présence d'atténuation dans le milieu, l'équation d'une onde sphérique s'écrira comme suit.

Vitesse de groupe

Une onde strictement monochromatique est une séquence infinie de « bosses » et de « vallées » dans le temps et dans l’espace.

La vitesse de phase de cette onde ou (2)

Il est impossible de transmettre un signal en utilisant une telle onde, car à tout moment de la vague, toutes les « bosses » sont les mêmes. Le signal doit être différent. Être un signe (une marque) sur la vague. Mais alors l’onde ne sera plus harmonique et ne sera pas décrite par l’équation (1). Un signal (impulsion) peut être représenté selon le théorème de Fourier comme une superposition d'ondes harmoniques avec des fréquences contenues dans un certain intervalle Dw . Superposition d'ondes peu différentes les unes des autres en fréquence,

appelé paquet de vagues ou groupe de vagues .

L’expression d’un groupe d’ondes peut s’écrire comme suit.

(3)

Icône w souligne que ces quantités dépendent de la fréquence.

Ce paquet d'ondes peut être une somme d'ondes de fréquences légèrement différentes. Là où les phases des ondes coïncident, on observe une augmentation de l'amplitude, et là où les phases sont opposées, on observe un amortissement de l'amplitude (résultat d'interférences). Cette image est montrée sur la figure. Pour que la superposition d’ondes soit considérée comme un groupe d’ondes, il faut effectuer condition suivante Dw<< w 0 .

Dans un milieu non dispersif, toutes les ondes planes formant un paquet d'ondes se propagent avec la même vitesse de phase v . La dispersion est la dépendance de la vitesse de phase d'une onde sinusoïdale dans un milieu à la fréquence. Nous reviendrons sur le phénomène de dispersion plus loin dans la section « Wave Optics ». En l'absence de dispersion, la vitesse de déplacement du paquet d'ondes coïncide avec la vitesse de phase v . Dans un milieu dispersif, chaque onde se disperse à sa propre vitesse. Par conséquent, le paquet d’ondes s’étale dans le temps et sa largeur augmente.

Si la dispersion est faible, le paquet d’ondes ne se propage pas trop rapidement. Par conséquent, une certaine vitesse peut être attribuée au mouvement de l'ensemble du colis. U .

La vitesse à laquelle se déplace le centre du paquet d’ondes (le point avec l’amplitude maximale) est appelée vitesse de groupe.

Dans un environnement dispersif v¹U . Parallèlement au mouvement du paquet d'ondes lui-même, les « bosses » à l'intérieur du paquet lui-même se déplacent. Les "bosses" se déplacent rapidement dans l'espace v , et le package dans son ensemble avec rapidité U .

Considérons plus en détail le mouvement d'un paquet d'ondes en prenant l'exemple d'une superposition de deux ondes de même amplitude et de fréquences différentes w (différentes longueurs d'onde je ).

Écrivons les équations de deux ondes. Pour simplifier, supposons les phases initiales j 0 = 0.

Ici

Laisser Dw<< w , respectivement Ne sait pas<< k .

Additionnons les vibrations et effectuons les transformations à l'aide de la formule trigonométrique de la somme des cosinus :

Dans le premier cosinus on négligera TPL Et Dkx , qui sont beaucoup plus petites que les autres quantités. Prenons en compte cela cos(–a) = cosa . Nous l'écrirons enfin.

(4)

Le multiplicateur entre crochets change avec le temps et se coordonne beaucoup plus lentement que le deuxième multiplicateur. Par conséquent, l'expression (4) peut être considérée comme une équation d'une onde plane d'amplitude décrite par le premier facteur. Graphiquement, l'onde décrite par l'expression (4) est présentée dans la figure ci-dessus.

L'amplitude résultante est obtenue grâce à l'ajout d'ondes, par conséquent, les maxima et les minima de l'amplitude seront observés.

L'amplitude maximale sera déterminée par la condition suivante.

(5)

m = 0, 1, 2…

xmax– coordonnée de l'amplitude maximale.

Le cosinus prend sa valeur modulo maximale par p .

Chacun de ces maxima peut être considéré comme le centre du groupe d’ondes correspondant.

Résoudre (5) relativement xmax nous l'obtiendrons.

Puisque la vitesse de phase est appelée vitesse de groupe. L'amplitude maximale du paquet d'ondes se déplace à cette vitesse. A la limite, l'expression de la vitesse de groupe aura la forme suivante.

(6)

Cette expression est valable pour le centre d'un groupe d'un nombre arbitraire d'ondes.

Il convient de noter que lorsque tous les termes du développement sont pris en compte avec précision (pour un nombre arbitraire d'ondes), l'expression de l'amplitude est obtenue de telle sorte qu'il s'ensuit que le paquet d'ondes s'étale dans le temps.
L’expression de la vitesse de groupe peut prendre une forme différente.

En l'absence d'écart

L'intensité maximale se produit au centre du groupe d'ondes. La vitesse de transfert d’énergie est donc égale à la vitesse de groupe.

La notion de vitesse de groupe n'est applicable que sous la condition que l'absorption des ondes dans le milieu soit faible. Avec une atténuation importante des ondes, la notion de vitesse de groupe perd son sens. Ce cas est observé dans la région de dispersion anormale. Nous y reviendrons dans la section « Wave Optics ».