Démontrons les capacités du théorème d'Ostrogradsky-Gauss à l'aide de plusieurs exemples.

Champ d'un plan infini uniformément chargé

La densité de charge de surface sur un plan arbitraire de l'aire S est déterminée par la formule :

où dq est la charge concentrée sur la zone dS ; dS est une surface physiquement infinitésimale.

Soit σ le même en tous points du plan S. La charge q est positive. La tension en tous points aura une direction perpendiculaire au plan S(Fig. 2.11).

Il est évident qu’aux points symétriques par rapport au plan, la tension sera de même ampleur et de direction opposée.

Imaginons un cylindre de génératrices perpendiculaires au plan et de bases Δ S, situé symétriquement par rapport au plan (Fig. 2.12).

	Riz. 2.11	Riz. 2.12

Appliquons le théorème d'Ostrogradsky-Gauss. Le flux F E traversant le côté de la surface du cylindre est nul, car pour la base du cylindre

Le débit total à travers une surface fermée (cylindre) sera égal à :

Il y a une charge à l’intérieur de la surface. Par conséquent, à partir du théorème d’Ostrogradsky-Gauss, nous obtenons :

;

d'où l'on voit que l'intensité du champ du plan S est égale à :

(2.5.1)

Le résultat obtenu ne dépend pas de la longueur du cylindre. Cela signifie qu'à n'importe quelle distance de l'avion

Champ de deux avions uniformément chargés

Supposons que deux plans infinis soient chargés de charges opposées de même densité σ (Fig. 2.13).

Le champ résultant, comme mentionné ci-dessus, se présente comme une superposition des champs créés par chacun des plans.

Alors à l'intérieur des avions

(2.5.2)

Hors des avions intensité de champ

Le résultat obtenu est également valable pour des plans de dimensions finies, si la distance entre les plans est très inférieure aux dimensions linéaires des plans (condensateur plat).

Il existe une force d'attraction mutuelle entre les plaques du condensateur (par unité de surface des plaques) :

où S est l'aire des plaques du condensateur. Parce que , Que

.

(2.5.5)

C'est la formule pour calculer la force pondermotrice.

Champ d'un cylindre chargé infiniment long (fil)

Que le champ soit créé infini surface cylindrique rayon R, chargé d'une densité linéaire constante, où dq est la charge concentrée sur un segment du cylindre (Fig. 2.14).

Des considérations de symétrie, il s'ensuit que E en tout point sera dirigé le long du rayon perpendiculaire à l'axe du cylindre.

Imaginez autour d'un cylindre (fil) coaxial surface fermée ( cylindre dans un cylindre) rayon r et de longueur l (les bases des cylindres sont perpendiculaires à l'axe). Pour les bases de cylindre pour la surface latérale, c'est-à-dire ça dépend de la distance r.

Par conséquent, le flux vectoriel traversant la surface considérée est égal à

Quand il y aura une charge à la surface D'après le théorème d'Ostrogradsky-Gauss, d'où

.

(2.5.6)

Si, parce que Il n'y a aucune charge à l'intérieur de la surface fermée (Fig. 2.15).

Si vous diminuez le rayon du cylindre R (en ), alors vous pouvez obtenir un champ de très forte intensité près de la surface et, en , obtenir un fil.

Le champ de deux cylindres coaxiaux de même densité linéaire λ, mais signe différent

Il n'y aura pas de champ à l'intérieur des petits cylindres et à l'extérieur des plus grands cylindres (Fig. 2.16).

Dans l'intervalle entre les cylindres, le champ est déterminé de la même manière que dans le cas précédent :

Cela est vrai aussi bien pour un cylindre infiniment long que pour des cylindres de longueur finie si l'écart entre les cylindres est bien inférieur à la longueur des cylindres (condensateur cylindrique).

Champ d'une balle creuse chargée

Une boule (ou sphère) creuse de rayon R est chargée d'une charge positive de densité superficielle σ. Dans ce cas, le terrain sera symétrique au centre - à tout moment, il passe par le centre du ballon. ,Et les lignes électriques perpendiculaire à la surface en tout point. Imaginons une sphère de rayon r autour de la balle (Fig. 2.17).

Potentiel de terrain

Potentiel de terrain

Potentiel de terrain

potentiels de champ

Potentiel champ électrique charge ponctuelle Q en un point :

Champ d'un cylindre chargé infiniment long (fil)

Laissez le champ être créé par un cylindre infini surface de rayon R, chargé de densité linéaire constante, où d q– charge concentrée sur une section du cylindre (Fig. 2.14).

Des considérations de symétrie, il s'ensuit que E en tout point sera dirigé le long du rayon perpendiculaire à l’axe du cylindre.

Imaginez autour d'un cylindre (fil) coaxial surface fermée ( cylindre dans un cylindre) rayon r et longueur je(les bases des cylindres sont perpendiculaires à l'axe). Pour les bases de cylindre pour la surface latérale, c'est-à-dire ça dépend de la distance r.

Par conséquent, le flux vectoriel traversant la surface considérée est égal à

Quand il y aura une charge à la surface D'après le théorème d'Ostrogradsky-Gauss, d'où

.

(2.5.6)

Si, parce que Il n'y a aucune charge à l'intérieur de la surface fermée (Fig. 2.15).

Si on diminue le rayon du cylindre R.(en ), alors il est possible d'obtenir un champ de très forte intensité à proximité de la surface et, en , d'obtenir un fil.

27. Potentiel de champ créé par un plan infini uniformément chargé.

Potentiel de terrain- c'est la caractéristique énergétique du champ, caractérise l'énergie potentielle dans laquelle une charge unitaire positive est placée ce point des champs.

Unité potentiel électrique- volts (V).

Potentiel de terrainégal au rapport de l'énergie potentielle d'une charge à cette charge :

Potentiel de terrain est une caractéristique énergétique du champ électrique et, en tant que quantité scalaire, peut prendre des valeurs positives ou négatives.

La différence a une signification physique potentiels de champ, puisque le travail des forces de terrain pour déplacer une charge s'exprime à travers lui.

Champ d'un plan infini uniformément chargé.

Introduisons la notion de densité de charge de surface >0, numériquement égale à la charge par unité de surface :

En raison de l'homogénéité et de l'isotropie de l'espace, les lignes de champ d'un plan infini uniformément chargé doivent lui être perpendiculaires et avoir une densité uniforme, ce qui correspond à la définition de l'uniformité du champ. E= const. Comme surface fermée « pratique », on choisit un cylindre droit, surface latérale qui est parallèle aux lignes de force (partout sur elle 0 et, par conséquent, le flux qui la traverse est égal à 0), et les surfaces d'extrémité de la zone S sont parallèles au plan chargé (donc partout sur elles 1):

Flux de champ uniforme Eà travers les deux surfaces d'extrémité qui lui sont perpendiculaires, S est simplement égal à E 2S, et la charge concentrée sur une zone S de la surface chargée est égale à S :

Densité de charge superficielle sur un plan arbitraire d'aire S déterminé par la formule :

où d q– charge concentrée sur la zone d S; d S– une zone de surface physiquement infiniment petite.

Soit σ en tous points du plan S est le même. Charge q- positif. La tension en tous points aura une direction perpendiculaire au plan S(Fig. 2.11).

Il est évident qu’aux points symétriques par rapport au plan, la tension sera de même ampleur et de direction opposée.

Imaginons un cylindre de génératrices perpendiculaires au plan et de bases Δ S, situé symétriquement par rapport au plan (Fig. 2.12).

	Riz. 2.11	Riz. 2.12

Appliquons le théorème d'Ostrogradsky-Gauss. Couler F Eà travers le côté de la surface du cylindre est égal à zéro, car . Pour base de cylindre

Le débit total à travers une surface fermée (cylindre) sera égal à :

Il y a une charge à l’intérieur de la surface. Par conséquent, à partir du théorème d’Ostrogradsky-Gauss, nous obtenons :

;

d'où on peut voir que l'intensité du champ de l'avion S est égal à:

Le champ électrostatique a propriété importante: Le travail des forces de champ électrostatique lors du déplacement d'une charge d'un point du champ à un autre ne dépend pas de la forme de la trajectoire, mais est déterminé uniquement par la position des points de départ et d'arrivée et l'ampleur de la charge. Le champ gravitationnel a également une propriété similaire, ce qui n'est pas surprenant puisque les forces gravitationnelles et coulombiennes sont décrites par les mêmes relations. Une conséquence de l'indépendance du travail par rapport à la forme de la trajectoire est l'énoncé suivant : le travail des forces de champ électrostatique lors du déplacement d'une charge le long d'une trajectoire fermée est égal à zéro. Les champs de force qui ont cette propriété sont appelés potentiel ou conservateur. En figue. 1.4.2 montre les lignes de champ du champ coulombien d'une charge ponctuelle Q et deux trajectoires différentes de mouvement de charge de test q du point de départ (1) au point d'arrivée (2). Sur une des trajectoires un petit déplacement Travail Δ est mis en évidence UN Les forces coulombiennes sur ce déplacement sont égales à Le résultat obtenu ne dépend pas de la forme de la trajectoire. Sur les trajectoires I et II représentées sur la Fig. 1.4.2, le travail des forces coulombiennes est le même. Si vous changez la direction du mouvement de la charge sur l'une des trajectoires q au contraire, alors l’œuvre changera de signe. Il s'ensuit que sur une trajectoire fermée le travail des forces coulombiennes est égal à zéro. Si le champ électrostatique est créé par un ensemble de charges ponctuelles, alors lorsque la charge d'essai se déplace q Emploi UN le champ résultant, conformément au principe de superposition, sera constitué du travail des champs coulombiens de charges ponctuelles : Puisque chaque terme de la somme ne dépend pas de la forme de la trajectoire, alors le travail total UN Le champ résultant est indépendant du chemin et est déterminé uniquement par la position des points de départ et d'arrivée. La propriété de potentialité du champ électrostatique nous permet d'introduire le concept énergie potentielle charger dans un champ électrique. Pour ce faire, un certain point (0) est sélectionné dans l'espace et l'énergie potentielle de la charge q, placé en ce point, est pris égal à zéro. Énergie de charge potentielle q, placé en tout point (1) de l'espace, par rapport à un point fixe (0) est égal au travail UN 10, que créera le champ électrostatique lors du déplacement d'une charge q du point (1) au point (0) : W p1 = UN 10 . (En électrostatique, l'énergie est généralement désignée par la lettre W, depuis la lettre E désignent l’intensité du champ.) Tout comme en mécanique, l'énergie potentielle est déterminée avec une précision de valeur constante, en fonction du choix du point de référence (0). Une telle ambiguïté dans la définition de l'énergie potentielle ne conduit à aucun malentendu, puisque signification physique n'a pas l'énergie potentielle elle-même, mais la différence de ses valeurs en deux points de l'espace. Votre avis est important pour nous! Le matériel publié a-t-il été utile ? Oui | Non RECHERCHE DU SITE:

Zhidkevich V.I. Champ électrique d'un avion // Physique : problèmes de calcul. - 2009. - N° 6. - P. 19-23.

Les problèmes électrostatiques peuvent être divisés en deux groupes : les problèmes liés aux charges ponctuelles et les problèmes liés aux corps chargés, dont les tailles ne peuvent être ignorées.

La résolution des problèmes de calcul des champs électriques et des interactions de charges ponctuelles repose sur l'application de la loi de Coulomb et ne pose pas de difficultés particulières. Il est plus difficile de déterminer l'intensité du champ et l'interaction de corps chargés de tailles finies : sphère, cylindre, plan. Lors du calcul de l'intensité des champs électrostatiques de diverses configurations, l'importance du principe de superposition doit être soulignée et utilisée lorsque l'on considère les champs créés non seulement par des charges ponctuelles, mais également par des charges réparties sur la surface et le volume. Lorsqu'on considère l'effet d'un champ sur une charge, la formule F=qE V cas général valable pour les corps chargés ponctuellement et uniquement dans un champ uniforme applicable aux corps de toute taille et forme porteurs d'une charge q.

Le champ électrique d'un condensateur résulte de la superposition de deux champs créés par chaque armature.

Dans un condensateur plat, une plaque peut être considérée comme un corps avec une chargeq1placé dans un champ électrique d'intensité E2, créé par une autre plaque.

Considérons plusieurs problèmes.

1. Un plan infini est chargé de densité superficielle σ >0. Trouver l'intensité du champ E et potentiel ϕ des deux côtés du plan, en considérant le potentiel du plan égal à zéro. Créer des graphiques de dépendances Ex), ϕ (X). axe x perpendiculaire au plan, le point x=0 se trouve sur le plan.

Solution. Le champ électrique d'un plan infini est uniforme et symétrique par rapport au plan. Son tensions entre l'intensité et la différence de potentiel entre deux points d'un champ électrostatique uniforme sont exprimées par la formule où x - la distance entre les points, mesurée le long de la ligne de champ. Alors ϕ 2 = ϕ 1 -Ex. À x<0 при х>0 Dépendances E(x) et ϕ (x) sont présentés dans la figure 1.

2. Deux plaques minces planes parallèles situées à une courte distance d les uns des autres, uniformément chargés de charge de densité de surfaceσ 1 et σ 2. Trouvez les intensités de champ aux points situés entre les plaques et à l'extérieur. Représenter graphiquement la dépendance en tension E(x) et potentiel ϕ (x), en comptant ϕ (0)=0. Considérons les cas où : a)σ 1 = -σ 2 ; b) σ 1 = σ 2 ; c) σ 1 =3 σ 2 -

Solution. La distance entre les plaques étant faible, elles peuvent être considérées comme des plans infinis.

L'intensité du champ d'un avion chargé positivement est égale à et dirigé d'elle; l'intensité du champ du plan chargé négativement est dirigée vers lui.

Selon le principe de superposition, le champ en tout point considéré sera créé par chacune des charges séparément.

a) Les champs de deux plans chargés de charges de signe égal et opposé (condensateur plat) s'additionnent dans la région située entre les plans et s'annulent espaces extérieurs(Fig. 2, UN).

À X<0 E= 0, ϕ =0; à 0 d E= 0, graphiques dépendance de la tension et du potentiel à la distance X sont représentés sur la figure 2, avant JC.

Si les plans sont de dimensions finies, alors le champ entre les plans ne sera pas strictement uniforme et le champ en dehors des plans ne sera pas exactement nul.

b) Champs d'avions chargés de charges égales en grandeur et en signe (σ 1 = σ 2 ), se compensent dans l'espace entre les plans et s'additionnent dans les régions extérieures (Fig. 3, UN). À x<0 при 0d

Utiliser le graphique Ex) (Fig. 3, b), construisons un graphe qualitatif de la dépendance ϕ (x) (Fig. 3, c).

c) Si σ 1 = σ 2, puis, en tenant compte des directions des champs et en choisissant la direction vers la droite comme positive, on trouve :

La dépendance de la tension E sur la distance est illustrée à la figure 4.

3. Sur l'une des plaques d'un condensateur plat d'une capacité AVEC il y a des fraisq1=+3q, et de l'autre q2 =+ q. Déterminez la différence de potentiel entre les plaques du condensateur.

Solution. 1ère méthode. Laissez la zone de la plaque du condensateur S, et la distance qui les sépare d. Le champ à l'intérieur du condensateur est uniforme, donc la différence de potentiel (tension) aux bornes du condensateur peut être déterminée par la formule U=E*d, où E - l'intensité du champ à l'intérieur du condensateur.

où E 1, E 2 - l'intensité du champ créé par les plaques du condensateur.

Alors

2ème méthode. Ajouter une charge à chaque assiette Ensuite les plaques sont condensées Satora aura des accusations + q et -q. Les champs de charges identiques des plaques à l’intérieur du condensateur s’annulent. Les charges ajoutées n'ont pas modifié le champ entre les plaques, et donc la différence de potentiel de condensateur. U= q/C .

4. Une fine plaque métallique portant une charge + est insérée dans l'espace entre les plaques d'un condensateur plat non chargé. q. Déterminez la différence de potentiel entre les plaques du condensateur.

Solution. Puisque le condensateur n’est pas chargé, le champ électrique est créé uniquement par la charge de la plaque. q (Fig.5). Ce champ est uniforme, symétrique par rapport à la plaque, et son intensitéSoit le potentiel de la plaque métallique ϕ . Alors les potentiels des plaques UN Et DANS les condensateurs seront égaux ϕ- ϕA = ϕ El 1 ; ϕA = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕB = ϕ-El 2 ; ϕB = ϕ-El 2 .

Différence de potentiel entre les plaques de condensateurSi la plaque est à la même distance des plaques du condensateur, alors la différence de potentiel entre les plaques est nulle.

5. Dans un champ électrique uniforme d'intensité E 0 une plaque métallique chargée est placée perpendiculairement aux lignes de force avec une densité de charge sur la surface de chaque côté de la plaque σ (Fig.6). Déterminer l'intensité du champ E"à l'intérieur et à l'extérieur de la plaque et densité de charge de surfaceσ 1 et σ 2 , qui apparaîtra sur les côtés gauche et droit de la plaque.

Solution. Le champ à l'intérieur de la plaque est nul et est une superposition de trois champs : le champ extérieur E 0, le champ créé par les charges sur le côté gauche de la plaque et le champ créé par les charges sur le côté droit de la plaque. Ainsi,où σ 1 et σ 2 - densité de charge de surface sur les côtés gauche et droit de la plaque, qui apparaît après l'introduction de la plaque dans le champ E 0. La charge totale sur la plaque ne changera pas, doncσ 1 + σ 2 =2 σ, d'où σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ 2 = σ + ε 0 E 0 . Le champ à l'extérieur de la plaque est une superposition du champ E 0 et champs de plaques chargées E. À la gauche de assiettes À droite de la plaque

6. Dans un condensateur à air plat, l'intensité du champ est E = 10 4 V/m. Distance entre les plaques ré= 2 cm À quelle sera la différence de potentiel si une tôle d'épaisseur est placée entre les plaques parallèlement à celles-ci ?j 0=0,5 cm (Fig.7) ?

Solution. Puisque le champ électrique entre les plaques est uniforme, alors U=Ed, U=200 V.

Si vous marquez une tôle entre les plaques, vous obtenez un système de deux condensateurs connectés en série avec une distance entre les plaquesj 1 et d2. Les capacités de ces condensateursLeur capacité totale

Puisque le condensateur est déconnecté de la source de courant, la charge du condensateur ne change pas lorsqu'une feuille de métal est ajoutée : q"=CU=С"U 1 ; où est la capacité du condenseur sator avant d’y ajouter une tôle. On a:

U1= 150 V.

7. Dans les assiettes UN et C, situés parallèlement à une distance ré= 8 cm de distance, potentiels maintenus ϕ 1= 60 V et ϕ 2 =- 60 V respectivement. Une plaque mise à la terre a été placée entre eux D à une distance d 1 = 2 cm de la plaque A. Dans quelle mesure l’intensité du champ a-t-elle changé dans les sections AD et CD? Créer des graphiques de dépendances ϕ (X) et E(x).

Un plan infini chargé d'une densité de charge de surface : pour calculer l'intensité du champ électrique créé par un plan infini, on sélectionne un cylindre dans l'espace dont l'axe est perpendiculaire au plan chargé, et les bases lui sont parallèles, et une des bases passe par le terrain qui nous intéresse. D'après le théorème de Gauss, le flux du vecteur intensité du champ électrique à travers une surface fermée est égal à :

Ф=, par contre c'est aussi : Ф=E

Égalisons les côtés droits des équations :

Exprimons = - à travers la densité de charge de surface et trouvons l'intensité du champ électrique :

Trouvons l'intensité du champ électrique entre des plaques de charges opposées avec la même densité surfacique :

(3)

Trouvons le champ à l'extérieur des plaques :

; ; (4)

Intensité du champ d'une sphère chargée

(1)

Ф= (2) Point de Gauss

pour r< R

; , parce que (il n'y a pas de charges à l'intérieur de la sphère)

Pour r = R

( ; ; )

Pour r > R

Intensité de champ créée par une balle chargée uniformément dans tout son volume

Densité de charge volumique,

réparti sur le ballon :

Pour r< R

( ; Ф= )

Pour r = R

Pour r > R

TRAVAIL DU CHAMP ÉLECTROSTATIQUE POUR DÉPLACER UNE CHARGE

Champ électrostatique- e-mail champ d’une charge stationnaire.
Fel, agissant sur la charge, la déplace et effectue un travail.
Dans un champ électrique uniforme, Fel = qE est une valeur constante

Champ de travail (force él.) ne dépend pas sur la forme de la trajectoire et sur une trajectoire fermée = zéro.

Si dans le champ électrostatique d'une charge ponctuelle Q une autre charge ponctuelle Q 0 se déplace du point 1 au point 2 le long d'une trajectoire (Fig. 1), alors la force appliquée à la charge effectue un certain travail. Le travail effectué par la force F sur un déplacement élémentaire dl est égal à Puisque d je/cosα=dr, alors Le travail lors du déplacement d'une charge Q 0 du point 1 au point 2 (1) ne dépend pas de la trajectoire du mouvement, mais est déterminé uniquement par les positions des points initial 1 et final 2. Cela signifie que le champ électrostatique d'une charge ponctuelle est potentiel et que les forces électrostatiques sont conservatrices. D'après la formule (1), il est clair que le travail effectué lorsqu'une charge électrique se déplace dans un champ électrostatique externe le long d'un chemin fermé arbitraire L est égal à zéro, c'est-à-dire (2) Si nous prenons une charge positive ponctuelle comme charge qui se déplace dans un champ électrostatique, alors le travail élémentaire des forces de champ le long du chemin dl est égal à Edl = E je d je, où E je= Ecosα - projection du vecteur E sur la direction du déplacement élémentaire. Alors la formule (2) peut être représentée par (3) Intégrale s'appelle la circulation du vecteur tension. Cela signifie que la circulation du vecteur d’intensité du champ électrostatique le long de tout contour fermé est nulle. Un champ de force qui possède la propriété (3) est appelé potentiel. Du fait que la circulation du vecteur E est égale à zéro, il s'ensuit que les lignes de champ électrostatique ne peuvent pas être fermées : elles commencent et se terminent nécessairement par des charges (positives ou négatives) ou vont à l'infini. La formule (3) n'est valable que pour le champ électrostatique. Par la suite, on montrera que dans le cas d'un champ de charges en mouvement, la condition (3) n'est pas vraie (pour elle, la circulation du vecteur intensité est non nulle).

Théorème de circulation pour le champ électrostatique.

Puisque le champ électrostatique est central, les forces agissant sur la charge dans un tel champ sont conservatrices. Puisqu’il représente le travail élémentaire que produisent les forces de champ sur une charge unitaire, le travail des forces conservatrices sur une boucle fermée est égal à

Potentiel

Le système « charge – champ électrostatique » ou « charge – charge » possède une énergie potentielle, tout comme le système « champ gravitationnel – corps » possède une énergie potentielle.

Une grandeur physique scalaire caractérisant l’état énergétique du champ est appelée potentiel un point donné du terrain. Une charge q est placée dans un champ, elle a une énergie potentielle W. Le potentiel est une caractéristique d'un champ électrostatique.

Rappelons l'énergie potentielle en mécanique. L'énergie potentielle est nulle lorsque le corps est au sol. Et lorsqu’un corps est élevé à une certaine hauteur, on dit que le corps a de l’énergie potentielle.

Concernant l’énergie potentielle de l’électricité, il n’existe pas de niveau zéro d’énergie potentielle. Il est choisi au hasard. Le potentiel est donc une grandeur physique relative.

L'énergie potentielle du champ est le travail effectué par la force électrostatique lors du déplacement d'une charge d'un point donné du champ vers un point de potentiel nul.

Considérons le cas particulier où un champ électrostatique est créé par une charge électrique Q. Pour étudier le potentiel d'un tel champ, il n'est pas nécessaire d'y introduire une charge q. Vous pouvez calculer le potentiel de n'importe quel point d'un tel champ situé à une distance r de la charge Q.

La constante diélectrique du milieu a une valeur connue (tabulaire) et caractérise le milieu dans lequel existe le champ. Pour l’air, c’est égal à l’unité.

Différence potentielle

Le travail effectué par un champ pour déplacer une charge d’un point à un autre est appelé différence de potentiel.

Cette formule peut être présentée sous une autre forme

Principe de superposition

Le potentiel d'un champ créé par plusieurs charges est égal à la somme algébrique (en tenant compte du signe du potentiel) des potentiels des champs de chaque champ séparément

Il s'agit de l'énergie d'un système de charges ponctuelles stationnaires, de l'énergie d'un conducteur solitaire chargé et de l'énergie d'un condensateur chargé.

S'il existe un système de deux conducteurs chargés (condensateur), alors l'énergie totale du système est égale à la somme des énergies potentielles propres des conducteurs et de l'énergie de leur interaction :

Énergie du champ électrostatique le système de redevances ponctuelles est égal à :

Avion uniformément chargé.
L'intensité du champ électrique créé par un plan infini chargé d'une densité de charge de surface peut être calculée à l'aide du théorème de Gauss.

Des conditions de symétrie, il s'ensuit que le vecteur E partout perpendiculaire au plan. De plus, en des points symétriques par rapport au plan, le vecteur E sera de même taille et de direction opposée.
Comme surface fermée, on choisit un cylindre dont l'axe est perpendiculaire au plan, et dont les bases sont situées symétriquement par rapport au plan, comme le montre la figure.
Puisque les lignes de tension sont parallèles aux génératrices de la surface latérale du cylindre, le flux traversant la surface latérale est nul. Donc le flux vectoriel Eà travers la surface du cylindre

,

où est l'aire de la base du cylindre. Le cylindre coupe une charge hors de l'avion. Si le plan est dans un milieu isotrope homogène avec une constante diélectrique relative, alors

Lorsque l’intensité du champ ne dépend pas de la distance entre les plans, un tel champ est dit uniforme. Graphique de dépendance E (X) pour un avion.

Différence de potentiel entre deux points situés à distance R. 1 et R. 2 du plan chargé est égal à

Exemple 2. Deux avions uniformément chargés.
Calculons l'intensité du champ électrique créé par deux plans infinis. La charge électrique est répartie uniformément avec les densités de surface et . Nous trouvons l'intensité du champ comme une superposition des intensités de champ de chacun des plans. Le champ électrique est non nul uniquement dans l’espace entre les plans et est égal à .

Différence de potentiel entre les avions , Où d- distance entre les avions.
Les résultats obtenus peuvent être utilisés pour un calcul approximatif des champs créés par des plaques planes de dimensions finies si les distances entre elles sont très inférieures à leurs dimensions linéaires. Des erreurs notables dans ces calculs apparaissent lorsque l’on considère les champs proches des bords des plaques. Graphique de dépendance E (X) pour deux avions.

Exemple 3. Mince tige chargée.
Pour calculer l'intensité du champ électrique créé par une très longue tige chargée d'une densité de charge linéaire, nous utilisons le théorème de Gauss.
A des distances suffisamment grandes des extrémités de la tige, les lignes d'intensité du champ électrique sont dirigées radialement depuis l'axe de la tige et se situent dans des plans perpendiculaires à cet axe. En tous points équidistants de l'axe de la tige, les valeurs numériques de la tension sont les mêmes si la tige est dans un milieu isotrope homogène avec un diélectrique relatif
perméabilité

Pour calculer l'intensité du champ en un point arbitraire situé à une distance rà partir de l'axe de la tige, tracez une surface cylindrique passant par ce point
(voir l'image). Le rayon de ce cylindre est r, et sa hauteur h.
Les flux du vecteur tension à travers les bases supérieure et inférieure du cylindre seront égaux à zéro, puisque les lignes de force n'ont pas de composantes normales aux surfaces de ces bases. En tous points de la surface latérale du cylindre
E= const.
Par conséquent, le flux total du vecteur Eà travers la surface du cylindre sera égal à

,

D'après le théorème de Gauss, le flux du vecteur Eégale à la somme algébrique des charges électriques situées à l'intérieur de la surface (en l'occurrence un cylindre) divisée par le produit de la constante électrique et de la constante diélectrique relative du milieu

où est la charge de la partie de la tige qui se trouve à l’intérieur du cylindre. Par conséquent, l’intensité du champ électrique

Différence de potentiel de champ électrique entre deux points situés à distance R. 1 et R. 2 à partir de l'axe de la tige, on retrouve à l'aide la relation entre l'intensité et le potentiel du champ électrique. Puisque l’intensité du champ ne change que dans la direction radiale, alors

Exemple 4. Surface sphérique chargée.
Le champ électrique créé par une surface sphérique sur laquelle une charge électrique de densité surfacique est uniformément répartie a un caractère à symétrie centrale.

Les lignes de tension sont dirigées le long des rayons partant du centre de la sphère et la magnitude du vecteur E cela dépend uniquement de la distance r du centre de la sphère. Pour calculer le champ, on sélectionne une surface sphérique fermée de rayon r.
Quand r o E = 0.
L’intensité du champ est nulle puisqu’il n’y a aucune charge à l’intérieur de la sphère.
Pour r > R (en dehors de la sphère), selon le théorème de Gauss

,

où est la constante diélectrique relative du milieu entourant la sphère.

.

L'intensité diminue selon la même loi que l'intensité du champ d'une charge ponctuelle, c'est-à-dire selon la loi.
Quand r o .
Pour r > R (en dehors de la sphère) .
Graphique de dépendance E (r) pour une sphère.

Exemple 5. Une boule diélectrique chargée en volume.
Si la balle a un rayon R. constitué d'un diélectrique isotrope homogène avec une perméabilité relative est uniformément chargé dans tout le volume de densité, alors le champ électrique qu'il crée est également à symétrie centrale.
Comme dans le cas précédent, on choisit une surface fermée pour calculer le flux vectoriel E en forme de sphère concentrique dont le rayon r peut varier de 0 à .
À r < R. flux vectoriel Eà travers cette surface sera déterminé par la charge

Donc

À r < R.(à l'intérieur du ballon) .
À l’intérieur du ballon, la tension augmente proportionnellement à la distance par rapport au centre du ballon. En dehors du ballon (à r > R.) dans un milieu à constante diélectrique , vecteur flux Eà travers la surface sera déterminé par la charge.
Quand r o > R o (à l'extérieur du ballon) .
À la limite « balle - environnement », l'intensité du champ électrique change brusquement, dont l'ampleur dépend du rapport des constantes diélectriques de la balle et de l'environnement. Graphique de dépendance E (r) pour la balle ().

En dehors du ballon ( r > R.) le potentiel du champ électrique change selon la loi

.

À l'intérieur du ballon ( r < R.) le potentiel est décrit par l'expression

En conclusion, nous présentons des expressions pour calculer les intensités de champ de corps chargés de différentes formes

Différence potentielle
Tension- la différence de valeurs potentielles aux points initial et final de la trajectoire. Tension est numériquement égal au travail du champ électrostatique lorsqu'une charge positive unitaire se déplace le long des lignes de force de ce champ. La différence de potentiel (tension) est indépendante de la sélection systèmes de coordonnées !
Unité de différence de potentiel La tension est de 1 V si, lors du déplacement d'une charge positive de 1 C le long des lignes de force, le champ effectue 1 J de travail.

Conducteur- c'est un corps solide dans lequel se trouvent des « électrons libres » se déplaçant à l'intérieur du corps.

Les conducteurs métalliques sont généralement neutres : ils contiennent des quantités égales de charges négatives et positives. Les ions chargés positivement sont dans les nœuds du réseau cristallin, les électrons chargés négativement se déplacent librement le long du conducteur. Lorsqu’un conducteur reçoit une quantité excessive d’électrons, il se charge négativement, mais si un certain nombre d’électrons sont « retirés » du conducteur, il se charge positivement.

La charge excédentaire est répartie uniquement sur la surface extérieure du conducteur.

1 . L'intensité du champ en tout point à l'intérieur du conducteur est nulle.

2 . Le vecteur à la surface du conducteur est dirigé normalement à chaque point de la surface du conducteur.

Du fait que la surface du conducteur est équipotentielle, il s'ensuit que directement sur cette surface le champ lui est dirigé perpendiculairement en chaque point (condition 2 ). Si ce n'était pas le cas, sous l'action de la composante tangentielle, les charges commenceraient à se déplacer le long de la surface du conducteur. ceux. l'équilibre des charges sur un conducteur serait impossible.

Depuis 1 il s'ensuit que puisque

Il n'y a pas de charges excédentaires à l'intérieur du conducteur.

Les charges sont réparties uniquement sur la surface du conducteur avec une certaine densité s et sont situés dans une couche superficielle très fine (son épaisseur est d'environ une ou deux distances interatomiques).

Densité de charge- c'est la quantité de charge par unité de longueur, de surface ou de volume, déterminant ainsi les densités de charge linéaire, surfacique et volumétrique, qui sont mesurées dans le système SI : en Coulombs par mètre [C/m], en Coulombs par mètre carré [ C/m² ] et en Coulombs par mètre cube [C/m³], respectivement. Contrairement à la densité de la matière, la densité de charge peut avoir des valeurs positives et négatives, car il existe des charges positives et négatives.

Problème général de l'électrostatique

Vecteur de tension,

par le théorème de Gauss

- L'équation de Poisson.

Dans le cas où il n’y a pas de charges entre les conducteurs, on obtient

- L'équation de Laplace.

Connaître les conditions aux limites sur les surfaces des conducteurs : valeurs ; alors ce problème a une solution unique selon théorème de l'unicité.

Lors de la résolution du problème, la valeur est déterminée puis le champ entre les conducteurs est déterminé par la répartition des charges sur les conducteurs (en fonction du vecteur tension à la surface).

Regardons un exemple. Trouvons la tension dans la cavité vide du conducteur.

Le potentiel dans la cavité satisfait l'équation de Laplace ;

potentiel sur les parois du conducteur.

La solution de l'équation de Laplace dans ce cas est triviale, et d'après le théorème d'unicité, il n'y a pas d'autres solutions

, c'est à dire. il n'y a pas de champ dans la cavité conductrice.

L'équation de Poisson est une équation aux dérivées partielles elliptique qui, entre autres, décrit

· champ électrostatique,

· champ de température stationnaire,

· champ de pression,

· champ potentiel de vitesse en hydrodynamique.

Il porte le nom du célèbre physicien et mathématicien français Siméon Denis Poisson.

Cette équation ressemble à :

où est l'opérateur de Laplace ou Laplacien, et est une fonction réelle ou complexe sur une variété.

Dans un système de coordonnées cartésiennes tridimensionnelles, l'équation prend la forme :

Dans le repère cartésien, l'opérateur de Laplace s'écrit et l'équation de Poisson prend la forme :

Si F tend vers zéro, alors l'équation de Poisson se transforme en équation de Laplace (l'équation de Laplace est un cas particulier de l'équation de Poisson) :

L'équation de Poisson peut être résolue à l'aide de la fonction de Green ; voir, par exemple, l'article Équation de Poisson filtrée. Il existe différentes méthodes pour obtenir des solutions numériques. Par exemple, un algorithme itératif est utilisé - la « méthode de relaxation ».

Nous considérerons un conducteur solitaire, c'est-à-dire un conducteur significativement éloigné des autres conducteurs, corps et charges. Son potentiel, comme on le sait, est directement proportionnel à la charge du conducteur. On sait par expérience que différents conducteurs, bien que chargés de manière égale, ont des potentiels différents. Par conséquent, pour un conducteur solitaire, nous pouvons écrire La quantité (1) est appelée la capacité électrique (ou simplement la capacité) d'un conducteur solitaire. La capacité d'un conducteur isolé est déterminée par la charge dont la communication avec le conducteur modifie son potentiel d'une unité. La capacité d'un conducteur solitaire dépend de sa taille et de sa forme, mais ne dépend pas du matériau, de la forme et de la taille des cavités à l'intérieur du conducteur, ni de son état d'agrégation. La raison en est que les charges excédentaires sont réparties sur la surface extérieure du conducteur. La capacité ne dépend pas non plus de la charge du conducteur ou de son potentiel. L'unité de capacité électrique est le farad (F) : 1 F est la capacité d'un conducteur isolé dont le potentiel change de 1 V lorsqu'on lui communique une charge de 1 C. D'après la formule du potentiel d'une charge ponctuelle, le potentiel d'une boule solitaire de rayon R, située dans un milieu homogène de constante diélectrique ε, est égal à. En appliquant la formule (1), on obtient que la capacité du balle (2) Il s'ensuit qu'une balle solitaire aurait une capacité de 1 F, située dans le vide et ayant un rayon R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, qui est environ 1400 fois plus grand que le rayon de la Terre (capacité électrique de la Terre C≈0,7 mF). Par conséquent, un farad est une valeur assez grande, donc en pratique plusieurs unités sous-multiples sont utilisées - millifarad (mF), microfarad (μF), nanofarad (nF), picofarad (pF). De la formule (2), il résulte également que l'unité de la constante électrique ε 0 est le farad par mètre (F/m) (voir (78.3)).

Condensateur(de lat. condenser- "compact", "épaissir") - un réseau à deux bornes avec une certaine valeur de capacité et une faible conductivité ohmique ; un dispositif pour accumuler la charge et l'énergie d'un champ électrique. Un condensateur est un composant électronique passif. Se compose généralement de deux électrodes en forme de plaque (appelées doublures), séparés par un diélectrique dont l'épaisseur est faible par rapport à la taille des plaques.

Capacité

La principale caractéristique d'un condensateur est sa capacité, caractérisant la capacité du condensateur à accumuler une charge électrique. La désignation d'un condensateur indique la valeur de la capacité nominale, tandis que la capacité réelle peut varier considérablement en fonction de nombreux facteurs. La capacité réelle d'un condensateur détermine ses propriétés électriques. Ainsi, selon la définition de la capacité, la charge sur la plaque est proportionnelle à la tension entre les plaques ( q = UC). Les valeurs de capacité typiques vont des unités de picofarads à des milliers de microfarads. Il existe cependant des condensateurs (ionistors) d'une capacité allant jusqu'à plusieurs dizaines de farads.

La capacité d'un condensateur à plaques parallèles constitué de deux plaques métalliques parallèles d'une superficie S chacun étant situé à distance d les uns des autres, dans le système SI est exprimé par la formule : , où est la constante diélectrique relative du milieu remplissant l'espace entre les plaques (dans le vide égal à l'unité), est la constante électrique, numériquement égale à 8,854187817·10 −12 F/m. Cette formule n'est valable que lorsque d beaucoup plus petite que les dimensions linéaires des plaques.

Pour obtenir de grandes capacités, les condensateurs sont connectés en parallèle. Dans ce cas, la tension entre les plaques de tous les condensateurs est la même. Capacité totale de la batterie parallèle de condensateurs connectés est égal à la somme des capacités de tous les condensateurs inclus dans la batterie.

Si tous les condensateurs connectés en parallèle ont la même distance entre les plaques et les mêmes propriétés diélectriques, alors ces condensateurs peuvent être représentés comme un seul grand condensateur, divisé en fragments d'une surface plus petite.

Lorsque les condensateurs sont connectés en série, les charges de tous les condensateurs sont les mêmes, car elles sont fournies par la source d'alimentation uniquement aux électrodes externes, et sur les électrodes internes, elles ne sont obtenues que grâce à la séparation des charges qui se neutralisaient auparavant. . Capacité totale de la batterie séquentiellement condensateurs connectés est égal à

Ou

Cette capacité est toujours inférieure à la capacité minimale du condensateur inclus dans la batterie. Cependant, avec une connexion en série, le risque de claquage des condensateurs est réduit, puisque chaque condensateur ne représente qu'une partie de la différence de potentiel de la source de tension.

Si la surface des plaques de tous les condensateurs connectés en série est la même, alors ces condensateurs peuvent être représentés comme un seul grand condensateur, entre les plaques duquel se trouve un empilement de plaques diélectriques de tous les condensateurs qui le composent.

[modifier]Capacité spécifique

Les condensateurs sont également caractérisés par une capacité spécifique - le rapport entre la capacité et le volume (ou la masse) du diélectrique. La valeur maximale de la capacité spécifique est atteinte avec une épaisseur minimale du diélectrique, mais en même temps sa tension de claquage diminue.

Différents types de circuits électriques sont utilisés méthodes de connexion des condensateurs. Connexion des condensateurs peut être produit : séquentiellement, parallèle Et série-parallèle(cette dernière est parfois appelée connexion mixte de condensateurs). Les types existants de connexions de condensateurs sont illustrés à la figure 1.

Figure 1. Méthodes de connexion des condensateurs.

Dans un champ électrique uniforme, la force agissant sur une particule chargée est constante en ampleur et en direction. Par conséquent, le mouvement d'une telle particule est complètement similaire au mouvement d'un corps dans le champ gravitationnel de la Terre, sans tenir compte de la résistance de l'air. La trajectoire de la particule dans ce cas est plate et se situe dans le plan contenant les vecteurs de la vitesse initiale de la particule et de l'intensité du champ électrique.

Potentiel de champ électrostatique. Une expression générale reliant le potentiel à la tension.

Le potentiel φ en tout point du champ électrostatique est une grandeur physique déterminée par l'énergie potentielle d'une charge unitaire positive placée en ce point. Le potentiel de champ créé par une charge ponctuelle Q est égal à

Le potentiel est une quantité physique déterminée par le travail effectué pour déplacer une charge électrique positive unitaire lorsqu'elle est retirée d'un point donné du champ vers l'infini. Ce travail est numériquement égal au travail effectué par des forces externes (contre les forces du champ électrostatique) pour déplacer une charge positive unitaire de l'infini vers un point donné du champ.

L'unité de potentiel est le volt (V) : 1 V est égal au potentiel d'un point du champ auquel une charge de 1 C a une énergie potentielle de 1 J (1 V = 1 J/C). En prenant en compte la dimension du volt, on peut montrer que l'unité d'intensité de champ électrostatique introduite précédemment est bien égale à 1 V/m : 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C m) = 1 V/m.

Des formules (3) et (4) il résulte que si un champ est créé par plusieurs charges, alors le potentiel d'un champ donné d'un système de charges est égal à la somme algébrique des potentiels des champs de toutes ces charges :

L'intensité en tout point du champ électrique est égale au gradient de potentiel en ce point, pris avec le signe opposé. Le signe moins indique que la tension E est dirigée dans le sens d'un potentiel décroissant.

E = - grade phi = - N phi.

Pour établir un lien entre la force caractéristique du champ électrique - intensité et sa caractéristique énergétique - potentiel, considérons le travail élémentaire des forces du champ électrique sur un déplacement infinitésimal d'une charge ponctuelle q : dA = q E dl, le même travail est égal à la diminution de l'énergie potentielle de la charge q : dA = - dWп = - q dphi, où dphi est la variation du potentiel du champ électrique sur la longueur de déplacement dl. En égalisant les côtés droits des expressions, on obtient : E dl = -d phi ou dans le système de coordonnées cartésiennes

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi

où Ex, Ey, Ez sont des projections du vecteur tension sur les axes du repère. Puisque l'expression est une différentielle totale, alors pour les projections du vecteur d'intensité nous avons

L'expression entre parenthèses est le gradient du potentiel phi.

Le principe de superposition comme propriété fondamentale des champs. Expressions générales de la force et du potentiel du champ créé en un point avec un rayon vecteur par un système de charges ponctuelles situées en des points avec des coordonnées (voir paragraphe 4)

Si nous considérons le principe de superposition au sens le plus général, alors selon lui, la somme de l'influence des forces externes agissant sur une particule sera la somme des valeurs individuelles de chacune d'elles. Ce principe s'applique à divers systèmes linéaires, c'est-à-dire systèmes dont le comportement peut être décrit par des relations linéaires. Un exemple serait une situation simple dans laquelle une onde linéaire se propage dans un milieu spécifique, auquel cas ses propriétés seraient préservées même sous l'influence de perturbations provenant de l'onde elle-même. Ces propriétés sont définies comme une somme spécifique des effets de chacune des composantes harmonieuses.

Le principe de superposition peut prendre d'autres formulations tout à fait équivalentes à celles ci-dessus :

· L'interaction entre deux particules ne change pas lorsqu'une troisième particule est introduite, qui interagit également avec les deux premières.

· L'énergie d'interaction de toutes les particules dans un système à plusieurs particules est simplement la somme des énergies d'interactions par paires entre toutes les paires possibles de particules. Il n’y a pas d’interactions à plusieurs particules dans le système.

· Les équations décrivant le comportement d'un système à plusieurs particules sont linéaires en nombre de particules.

6 La circulation du vecteur tension est le travail effectué par les forces électriques lors du déplacement d'une seule charge positive le long d'un chemin fermé L

Puisque le travail des forces du champ électrostatique le long d’une boucle fermée est nul (le travail des forces du champ potentiel), la circulation de l’intensité du champ électrostatique le long d’une boucle fermée est nulle.

Potentiel de terrain. Le travail de tout champ électrostatique lors du déplacement d'un corps chargé d'un point à un autre ne dépend pas non plus de la forme de la trajectoire, tout comme le travail d'un champ uniforme. Sur une trajectoire fermée, le travail du champ électrostatique est toujours nul. Les champs possédant cette propriété sont appelés potentiels. En particulier, le champ électrostatique d'une charge ponctuelle a un caractère potentiel.
Le travail d'un champ potentiel peut être exprimé en termes de changement d'énergie potentielle. La formule est valable pour tout champ électrostatique.

7-11Si les lignes de champ d'un champ électrique uniforme d'intensité pénètrent dans une certaine zone S, alors le flux du vecteur d'intensité (auparavant nous appelions le nombre de lignes de champ à travers la zone) sera déterminé par la formule :

où En est le produit du vecteur et de la normale à une zone donnée (Fig. 2.5).

Riz. 2.5

Le nombre total de lignes de force traversant la surface S est appelé flux du vecteur intensité FU à travers cette surface.

Sous forme vectorielle, on peut écrire le produit scalaire de deux vecteurs, où vecteur .

Ainsi, le flux vectoriel est un scalaire qui, selon la valeur de l'angle α, peut être soit positif, soit négatif.

Regardons les exemples présentés dans les figures 2.6 et 2.7.

	Riz. 2.6	Riz. 2.7

Pour la figure 2.6, la surface A1 est entourée d'une charge positive et le flux est ici dirigé vers l'extérieur, c'est-à-dire La surface A2– est entourée d’une charge négative, ici elle est dirigée vers l’intérieur. Le flux total à travers la surface A est nul.

Pour la figure 2.7, le flux ne sera pas nul si la charge totale à l’intérieur de la surface n’est pas nulle. Pour cette configuration, le flux traversant la surface A est négatif (comptez le nombre de lignes de champ).

Ainsi, le flux du vecteur tension dépend de la charge. C'est le sens du théorème d'Ostrogradsky-Gauss.

Théorème de Gauss

La loi de Coulomb établie expérimentalement et le principe de superposition permettent de décrire pleinement le champ électrostatique d'un système de charges donné dans le vide. Cependant, les propriétés du champ électrostatique peuvent être exprimées sous une autre forme, plus générale, sans recourir à l'idée d'un champ coulombien de charge ponctuelle.

Introduisons une nouvelle grandeur physique caractérisant le champ électrique – le flux Φ du vecteur intensité du champ électrique. Supposons qu'il y ait une zone ΔS assez petite située dans l'espace où le champ électrique est créé. Le produit du module vectoriel par l'aire ΔS et le cosinus de l'angle α entre le vecteur et la normale au site est appelé flux élémentaire du vecteur intensité à travers le site ΔS (Fig. 1.3.1) :

Considérons maintenant une surface fermée arbitraire S. Si nous divisons cette surface en petites zones ΔSi, déterminons les flux élémentaires ΔΦi du champ à travers ces petites zones, puis les résumons, alors nous obtenons le flux Φ du vecteur passant par la surface fermée S (Fig. 1.3.2 ) :

Le théorème de Gauss énonce :

Le flux du vecteur d'intensité du champ électrostatique à travers une surface fermée arbitraire est égal à la somme algébrique des charges situées à l'intérieur de cette surface, divisée par la constante électrique ε0.

où R est le rayon de la sphère. Le flux Φ à travers une surface sphérique sera égal au produit de E et l'aire de la sphère 4πR2. Ainsi,

Entourons maintenant la charge ponctuelle d'une surface fermée arbitraire S et considérons une sphère auxiliaire de rayon R0 (Fig. 1.3.3).

Considérons un cône avec un petit angle solide ΔΩ au sommet. Ce cône mettra en évidence une petite aire ΔS0 sur la sphère, et une aire ΔS sur la surface S. Les flux élémentaires ΔΦ0 et ΔΦ traversant ces zones sont les mêmes. Vraiment,

De la même manière, on peut montrer que si une surface fermée S ne couvre pas une charge ponctuelle q, alors le flux Φ = 0. Un tel cas est représenté sur la Fig. 1.3.2. Toutes les lignes de force du champ électrique d'une charge ponctuelle pénètrent de part en part dans la surface fermée S. Il n’y a aucune charge à l’intérieur de la surface S, donc dans cette région les lignes de champ ne se rompent pas et ne se forment pas.

Une généralisation du théorème de Gauss au cas d'une distribution de charges arbitraire découle du principe de superposition. Le champ de toute distribution de charges peut être représenté comme une somme vectorielle des champs électriques de charges ponctuelles. Le flux Φ d'un système de charges à travers une surface fermée arbitraire S sera la somme des flux Φi des champs électriques de charges individuelles. Si la charge qi se trouve à l’intérieur de la surface S, alors sa contribution au flux est égale à si cette charge est à l’extérieur de la surface, alors la contribution de son champ électrique au flux sera égale à zéro.

Ainsi, le théorème de Gauss est prouvé.

Le théorème de Gauss est une conséquence de la loi de Coulomb et du principe de superposition. Mais si nous prenons l’énoncé contenu dans ce théorème comme l’axiome original, alors sa conséquence sera la loi de Coulomb. Par conséquent, le théorème de Gauss est parfois appelé une formulation alternative de la loi de Coulomb.

En utilisant le théorème de Gauss, dans certains cas, il est possible de calculer facilement l'intensité du champ électrique autour d'un corps chargé si la distribution de charge donnée présente une certaine symétrie et si la structure générale du champ peut être devinée à l'avance.

Un exemple est le problème du calcul du champ d'un long cylindre à paroi mince, creux et uniformément chargé de rayon R. Ce problème a une symétrie axiale. Pour des raisons de symétrie, le champ électrique doit être dirigé selon le rayon. Par conséquent, pour appliquer le théorème de Gauss, il convient de choisir une surface fermée S en forme de cylindre coaxial d'un certain rayon r et longueur l, fermé aux deux extrémités (Fig. 1.3.4).

Pour r ≥ R, tout le flux du vecteur intensité traversera la surface latérale du cylindre dont l'aire est égale à 2πrl, puisque le flux passant par les deux bases est nul. L'application du théorème de Gauss donne :

Ce résultat ne dépend pas du rayon R du cylindre chargé, il s'applique donc également au domaine d'un long filament uniformément chargé.

Pour déterminer l'intensité du champ à l'intérieur d'un cylindre chargé, il est nécessaire de construire une surface fermée pour le cas r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

De la même manière, on peut appliquer le théorème de Gauss pour déterminer le champ électrique dans un certain nombre d'autres cas où la distribution des charges présente une sorte de symétrie, par exemple une symétrie par rapport au centre, au plan ou à l'axe. Dans chacun de ces cas, il faut choisir une surface gaussienne fermée de forme appropriée. Par exemple, dans le cas d'une symétrie centrale, il convient de choisir une surface gaussienne en forme de sphère dont le centre est le point de symétrie. Avec une symétrie axiale, la surface fermée doit être choisie sous la forme d'un cylindre coaxial, fermé aux deux extrémités (comme dans l'exemple évoqué ci-dessus). Si la répartition des charges n'a aucune symétrie et que la structure générale du champ électrique ne peut être devinée, l'application du théorème de Gauss ne peut pas simplifier le problème de la détermination de l'intensité du champ.

Considérons un autre exemple de distribution de charge symétrique : déterminer le champ d'un plan uniformément chargé (Fig. 1.3.5).

Dans ce cas, il convient de choisir la surface gaussienne S sous la forme d'un cylindre d'une certaine longueur, fermé aux deux extrémités. L'axe du cylindre est dirigé perpendiculairement au plan chargé et ses extrémités sont situées à la même distance de celui-ci. En raison de la symétrie, le champ d’un plan uniformément chargé doit être partout dirigé le long de la normale. L'application du théorème de Gauss donne :

où σ est la densité de charge de surface, c'est-à-dire la charge par unité de surface.

L'expression résultante pour le champ électrique d'un plan uniformément chargé est également applicable dans le cas de zones chargées plates de taille finie. Dans ce cas, la distance entre le point auquel l'intensité du champ est déterminée et la zone chargée doit être nettement inférieure à la taille de la zone.

Et les horaires de 7h à 11h

1. L'intensité du champ électrostatique créé par une surface sphérique uniformément chargée.

Supposons qu'une surface sphérique de rayon R (Fig. 13.7) porte une charge q uniformément répartie, c'est-à-dire la densité de charge de surface en tout point de la sphère sera la même.

un. Entourons notre surface sphérique dans une surface symétrique S de rayon r>R. Le flux du vecteur tension à travers la surface S sera égal à

Par le théorème de Gauss

Ainsi

c. Traçons par le point B, situé à l'intérieur d'une surface sphérique chargée, une sphère S de rayon r

2. Champ électrostatique du ballon.

Disons une boule de rayon R, uniformément chargée de densité volumique.

En tout point A situé à l'extérieur du ballon à une distance r de son centre (r>R), son champ est similaire au champ d'une charge ponctuelle située au centre du ballon. Puis hors du ballon

(13.10)

et à sa surface (r=R)

(13.11)

Au point B, situé à l'intérieur de la balle à une distance r de son centre (r>R), le champ est déterminé uniquement par la charge enfermée à l'intérieur de la sphère de rayon r. Le flux du vecteur tension à travers cette sphère est égal à

d'autre part, conformément au théorème de Gauss

Par le théorème de Gauss

À partir des deux dernières expressions, nous déterminons l’intensité du champ créé par un fil uniformément chargé :

(13.13)

Soit le plan ayant une étendue infinie et la charge par unité de surface égale à σ. Des lois de symétrie, il s'ensuit que le champ est dirigé partout perpendiculairement au plan, et s'il n'y a pas d'autres charges externes, alors les champs des deux côtés du plan doivent être les mêmes. Limitons une partie du plan chargé à une boîte cylindrique imaginaire, de sorte que la boîte soit coupée en deux et que ses constituants soient perpendiculaires, et que les deux bases, ayant chacune une aire S, soient parallèles au plan chargé (Figure 1.10).

12. Champ d'une sphère uniformément chargée.

Laissez le champ électrique être créé par la charge Q, uniformément réparti sur la surface d'une sphère de rayon R.(Fig. 190). Pour calculer le potentiel de champ en un point arbitraire situé à distance rà partir du centre de la sphère, il faut calculer le travail effectué par le champ lors du déplacement d'une charge unitaire positive d'un point donné vers l'infini. Précédemment, nous avons prouvé que l’intensité du champ d’une sphère uniformément chargée à l’extérieur de celle-ci est équivalente au champ d’une charge ponctuelle située au centre de la sphère. Par conséquent, en dehors de la sphère, le potentiel de champ de la sphère coïncidera avec le potentiel de champ d'une charge ponctuelle.

φ (r)=Q 4πε 0r . (1)

En particulier, à la surface de la sphère le potentiel est égal à φ 0=Q 4πε 0R.. Il n'y a pas de champ électrostatique à l'intérieur de la sphère, donc le travail effectué pour déplacer une charge d'un point arbitraire situé à l'intérieur de la sphère jusqu'à sa surface est nul. UN= 0, donc la différence de potentiel entre ces points est également nulle Δ φ = -UN= 0. Par conséquent, tous les points à l'intérieur de la sphère ont le même potentiel, coïncidant avec le potentiel de sa surface φ 0=Q 4πε 0R. .

Ainsi, la distribution du potentiel de champ d'une sphère uniformément chargée a la forme (Fig. 191)

φ (r)=⎧⎩⎨Q 4πε 0R., npu r<QR 4πε 0r, npu r>R. . (2)

Attention, il n’y a pas de champ à l’intérieur de la sphère, et le potentiel est non nul ! Cet exemple illustre clairement le fait que le potentiel est déterminé par la valeur du champ d'un point donné jusqu'à l'infini.