Équation d'onde, équation différentielle aux dérivées partielles, décrivant le processus de propagation des perturbations dans un certain milieu Tikhonov A.N. et Samarsky A.A., Equations of Mathematical Physics, 3e éd., M., 1977. - p. 155....

Classifications d'hyperbolique équations différentielles en dérivées partielles

L'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles de type parabolique qui décrit le processus de propagation de la chaleur dans un milieu continu (gaz...

Méthodes mathématiques utilisées dans la théorie des systèmes de files d'attente

Les probabilités des états du système peuvent être trouvées à partir du système d'équations différentielles de Kolmogorov, qui sont compilées selon la règle suivante : sur le côté gauche de chacune d'elles se trouve la dérivée de la probabilité du i-ème état...

Équation de Riccati non stationnaire

1. L'équation générale de Riccati a la forme : , (1.1) où P, Q, R sont des fonctions continues de x lorsque x change dans l'intervalle L'équation (1.1) contient comme cas particuliers les équations que nous avons déjà considérées : quand on obtient équation linéaire, avec l'équation de -Bernoulli...

Les bases recherche scientifique et planification d'expériences de transport

Obtenons la dépendance fonctionnelle Y = f(X) (équation de régression) en utilisant la méthode des moindres carrés (LSM). Utilisez les dépendances linéaires (Y = a0 + a1X) et quadratiques (Y = a0 + a1X + a2X2) comme fonctions d'approximation. En utilisant la méthode des moindres carrés, les valeurs de a0...

Plaçons le pôle du repère polaire à l'origine du repère rectangulaire, l'axe polaire est compatible avec l'axe des x positif (Fig. 3). Riz. 3 Prenons l'équation de la droite sous forme normale : (3.1) - la longueur de la perpendiculaire...

Système de coordonnées polaires sur un avion

Composons une équation en coordonnées polaires pour un cercle passant par le pôle, de centre sur l'axe polaire et de rayon R. De triangle rectangle OAA on obtient OA= OA (Fig. 4)...

Concepts de théorie de l'échantillonnage. Série de distribution. Analyse de corrélation et de régression

Étudier : a) le concept de régression linéaire appariée ; b) élaborer un système d'équations normales ; c) propriétés des estimations utilisant la méthode des moindres carrés ; d) une technique pour trouver une équation de régression linéaire. Assumons...

Construction de solutions d'équations différentielles sous forme de séries entières

Comme exemple d'application de la théorie construite, considérons l'équation de Bessel : (6.1) Où. Le point singulier z =0 est régulier. Il n'y a aucune autre caractéristique dans la partie finale de l'avion. Par conséquent, dans l’équation (6.1), l’équation de définition a la forme : C’est-à-dire...

Résolution d'équations matricielles

L'équation matricielle XA=B peut également être résolue de deux manières : 1. La matrice inverse est calculée par l'une des méthodes connues. La solution de l’équation matricielle ressemblera alors à : 2...

Résolution d'équations matricielles

Les méthodes décrites ci-dessus ne conviennent pas pour résoudre des équations de la forme AX=XB, AX+XB=C. Ils ne conviennent pas non plus à la résolution d'équations dans lesquelles au moins un des facteurs d'une matrice inconnue X est une matrice singulière...

Résolution d'équations matricielles

Les équations de la forme AX = HA sont résolues de la même manière que dans le cas précédent, c'est-à-dire élément par élément. La solution ici revient à trouver la matrice de permutation. Regardons de plus près un exemple. Exemple. Trouver toutes les matrices...

Fonctionnement stationnaire d'un réseau de files d'attente à contour en losange

De l'état il peut passer à l'un des états suivants : - suite à l'arrivée d'une application dans la file d'attente du premier nœud avec intensité ; - en raison de la réception d'une candidature qui y est traitée du premier nœud dans la file d'attente du troisième nœud avec une intensité de...

Fonctions trigonométriques

L'arctangente d'un nombre est un nombre dont le sinus est égal à a : si et. Toutes les racines de l'équation peuvent être trouvées à l'aide de la formule :...

Méthodes numériques résoudre des problèmes mathématiques

Dans cette leçon, nous continuerons à étudier l'arctangente et à résoudre des équations de la forme tg x = a pour tout a. Au début de la leçon, nous résoudrons une équation avec une valeur tabulaire et illustrerons la solution sur un graphique, puis sur un cercle. Ensuite, nous résolvons l'équation tgx = aв vue générale et sortie formule générale répondre. Illustrons les calculs sur un graphique et sur un cercle et considérons les différentes formes de réponse. A la fin de la leçon, nous résoudrons plusieurs problèmes avec des solutions illustrées sur un graphique et sur un cercle.

Sujet : Équations trigonométriques

Leçon : Arctangente et résolution de l'équation tgx=a (suite)

1. Sujet de la leçon, introduction

Dans cette leçon, nous allons chercher à résoudre l’équation pour tout réel

2. Solution de l'équation tgx=√3

Problème 1. Résoudre l'équation

Trouvons la solution à l'aide de graphiques de fonctions (Fig. 1).

Considérons l'intervalle : sur cet intervalle, la fonction est monotone, ce qui signifie qu'elle n'est obtenue que pour une seule valeur de la fonction.

Répondre:

Résolvons la même équation en utilisant cercle numérique(Fig.2).

Répondre:

3. Solution de l'équation tgx=a sous forme générale

Résolvons l'équation sous sa forme générale (Fig. 3).

Sur l'intervalle l'équation a une solution unique

Plus petite période positive

Illustrons sur le cercle numérique (Fig. 4).

4. Résolution de problèmes

Problème 2. Résoudre l'équation

Changeons la variable

Problème 3. Résolvez le système :

Solution (Fig.5) :

À un moment donné, la valeur est donc la solution du système n'est que le point

Répondre:

Problème 4. Résoudre l'équation

Résolvons en utilisant la méthode du changement de variable :

Problème 5. Trouver le nombre de solutions de l'équation sur l'intervalle

Résolvons le problème à l'aide d'un graphique (Fig. 6).

L'équation a trois solutions sur un intervalle donné.

Illustrons-le sur un cercle numérique (Fig. 7), même si ce n'est pas aussi clair que sur le graphique.

Réponse : Trois solutions.

5. Conclusion, conclusion

Nous avons résolu l’équation pour tout réel en utilisant le concept d’arctangente. Dans la prochaine leçon, nous présenterons le concept d'arc tangent.

Bibliographie

1. Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Tutoriel pour les établissements d'enseignement(niveau profil) éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2009.

2. Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement (niveau profil), éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algèbre et analyse mathématique pour la 10e année ( Didacticiel pour les étudiants des écoles et des classes avec une étude approfondie des mathématiques).-M. : Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Étude approfondie algèbre et analyse mathématique.-M. : Éducation, 1997.

5. Recueil de problèmes de mathématiques pour les candidats aux établissements d'enseignement supérieur (édité par M. I. Skanavi) - M. : École supérieure, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulateur algébrique.-K. : A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Problèmes d'algèbre et principes d'analyse (un manuel pour les étudiants de la 10e à la 11e année des établissements d'enseignement général). - M. : Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Recueil de problèmes d'algèbre et principes d'analyse : manuel. allocation pour les classes 10-11. avec profondeur étudié Mathématiques.-M. : Éducation, 2006.

Devoirs

Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement (niveau profil), éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Ressources Web supplémentaires

1. Mathématiques.

2. Problèmes de portail Internet. ru.

3. Portail éducatif pour préparer les examens.

Plus tôt dans le programme, les étudiants ont acquis une idée de la résolution d'équations trigonométriques, se sont familiarisés avec les concepts d'arc cosinus et d'arc sinus, ainsi que des exemples de solutions. équations du cos t = a et sin t = a. Dans ce didacticiel vidéo, nous examinerons la résolution des équations tg x = a et ctg x = a.

Pour commencer à étudier ce sujet, considérons les équations tg x = 3 et tg x = - 3. Si l'on résout l'équation tg x = 3 à l'aide d'un graphique, nous verrons que l'intersection des graphiques des fonctions y = tg x et y = 3 a ensemble infini solutions, où x = x 1 + πk. La valeur x 1 est la coordonnée x du point d'intersection des graphiques des fonctions y = tan x et y = 3. L'auteur introduit la notion d'arctangente : arctan 3 est un nombre dont tan est égal à 3, et ce nombre appartient à l’intervalle de -π/2 à π/2. En utilisant le concept d'arctangente, la solution de l'équation tan x = 3 peut s'écrire x = arctan 3 + πk.

Par analogie, on résout l'équation tg x = - 3. A partir des graphiques construits des fonctions y = tg x et y = - 3, il est clair que les points d'intersection des graphiques, et donc les solutions des équations, seront être x = x 2 + πk. En utilisant l'arctangente, la solution peut s'écrire x = arctan (- 3) + πk. Dans la figure suivante, nous voyons que arctg (- 3) = - arctg 3.

La définition générale de l'arctangente est la suivante : l'arctangente a est un nombre compris dans l'intervalle de -π/2 à π/2 dont la tangente est égale à a. Alors la solution de l’équation tan x = a est x = arctan a + πk.

L'auteur donne l'exemple 1. Trouver une solution à l'expression arctan. Introduisons la notation : l'arctangente d'un nombre est égale à x, alors tg x sera égal au nombre donné, où x appartient au segment de -π /2 à π/2. Comme dans les exemples des rubriques précédentes, nous utiliserons un tableau de valeurs. D'après ce tableau, la tangente numéro donné correspond à la valeur x = π/3. Écrivons la solution de l'équation : l'arctangente d'un nombre donné est égale à π/3, π/3 appartient également à l'intervalle de -π/2 à π/2.

Exemple 2 - calculer l'arctangente nombre négatif. En utilisant l'égalité arctg (- a) = - arctg a, on saisit la valeur de x. Semblable à l’exemple 2, nous notons la valeur de x, qui appartient au segment de -π/2 à π/2. À partir du tableau des valeurs, nous constatons que x = π/3, donc -- tg x = - π/3. La réponse à l'équation est - π/3.

Considérons l'exemple 3. Résolvez l'équation tg x = 1. Écrivez que x = arctan 1 + πk. Dans le tableau, la valeur tg 1 correspond à la valeur x = π/4, donc arctg 1 = π/4. Remplaçons cette valeur dans la formule originale x et écrivons la réponse x = π/4 + πk.

Exemple 4 : calculer tan x = - 4.1. Dans ce cas x = arctan (- 4,1) + πk. Parce que trouver valeur arctg dans ce cas il n'y a aucune possibilité, la réponse ressemblera à x = arctan (- 4,1) + πk.

Dans l'exemple 5, on considère la solution de l'inégalité tg x > 1. Pour la résoudre, nous construisons des graphiques des fonctions y = tan x et y = 1. Comme on peut le voir sur la figure, ces graphiques se coupent aux points x = π/4 + πk. Parce que dans ce cas tg x > 1, sur le graphique nous mettons en évidence la région tangentoïde, qui est située au-dessus du graphique y = 1, où x appartient à l'intervalle de π/4 à π/2. Nous écrivons la réponse sous la forme π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Nous considérerons ensuite équation CTG x = une. La figure montre des graphiques des fonctions y = cot x, y = a, y = - a, qui ont de nombreux points d'intersection. Les solutions peuvent s'écrire sous la forme x = x 1 + πk, où x 1 = arcctg a et x = x 2 + πk, où x 2 = arcctg (- a). On note que x 2 = π - x 1 . Cela implique l'égalité arcctg (- a) = π - arcctg a. Voici la définition de l'arc cotangent : l'arc cotangent a est un nombre compris dans l'intervalle de 0 à π dont la cotangente est égale à a. La solution de l'équation сtg x = a s'écrit : x = arcctg a + πk.

À la fin de la leçon vidéo, une autre conclusion importante est tirée : l'expression ctg x = a peut être écrite sous la forme tg x = 1/a, à condition que a ne soit pas égal à zéro.

DÉCODAGE DE TEXTE :

Considérons la résolution des équations tg x = 3 et tg x = - 3. En résolvant graphiquement la première équation, on voit que les graphiques des fonctions y = tg x et y = 3 ont une infinité de points d'intersection, dont on écrit les abscisses sous la forme

x = x 1 + πk, où x 1 est l'abscisse du point d'intersection de la droite y = 3 avec la branche principale de la tangentoïde (Fig. 1), pour laquelle la désignation a été inventée

arctan 3 (arc tangent de trois).

Comment comprendre arctg 3 ?

Il s'agit d'un nombre dont la tangente est 3 et ce nombre appartient à l'intervalle (- ;). Alors toutes les racines de l’équation tg x = 3 peuvent être écrites par la formule x = arctan 3+πk.

De même, la solution de l'équation tg x = - 3 peut s'écrire sous la forme x = x 2 + πk, où x 2 est l'abscisse du point d'intersection de la droite y = - 3 avec la branche principale du tangentoïde (Fig. 1), pour laquelle la désignation arctg(- 3) (arc tangent moins trois). Alors toutes les racines de l’équation peuvent s’écrire par la formule : x = arctan(-3)+ πk. La figure montre que arctg(- 3)= - arctg 3.

Formulons la définition de l'arctangente. L'arctangente a est un nombre de l'intervalle (-;) dont la tangente est égale à a.

L'égalité est souvent utilisée : arctg(-a) = -arctg a, qui est valable pour tout a.

Connaissant la définition de l'arctangente, nous pouvons tirer une conclusion générale sur la solution de l'équation

tg x= a : l'équation tg x = a a une solution x = arctan a + πk.

Regardons des exemples.

EXEMPLE 1. Calculer l'arctan.

Solution. Soit arctg = x, alors tgх = et xϵ (- ;). Afficher le tableau des valeurs Par conséquent, x =, puisque tg = et ϵ (- ;).

Donc arctan =.

EXEMPLE 2. Calculer l'arctan (-).

Solution. En utilisant l'égalité arctg(- a) = - arctg a, on écrit :

arctg(-) = - arctg . Soit - arctg = x, alors - tgх = et xϵ (- ;). Donc x =, puisque tg = et ϵ (- ;). Afficher le tableau des valeurs

Cela signifie - arctg=- tgх= - .

EXEMPLE 3. Résolvez l'équation tgх = 1.

1. Écrivez la formule de solution : x = arctan 1 + πk.

2. Trouvez la valeur de l'arctangente

puisque tg = . Afficher le tableau des valeurs

Donc arctan1= .

3. Mettez la valeur trouvée dans la formule de solution :

EXEMPLE 4. Résolvez l'équation tgх = - 4.1 (la tangente x est égale à moins quatre virgule un).

Solution. Écrivons la formule de solution : x = arctan (- 4.1) + πk.

Nous ne pouvons pas calculer la valeur de l'arctangente, nous laisserons donc la solution de l'équation sous sa forme obtenue.

EXEMPLE 5. Résoudre l'inégalité tgх 1.

Solution. Nous allons le résoudre graphiquement.

1. Construisons une tangente

y = tgx et droite y = 1 (Fig. 2). Ils se croisent en des points comme x = + πk.

2. Sélectionnons l'intervalle de l'axe des x dans lequel la branche principale de la tangentoïde est située au dessus de la droite y = 1, puisque par condition tgх 1. C'est l'intervalle (;).

3. Nous utilisons la périodicité de la fonction.

Propriété 2. y=tg x - fonction périodique avec la période principale π.

Compte tenu de la périodicité de la fonction y = tgх, on écrit la réponse :

(;). La réponse peut s’écrire sous la forme d’une double inégalité :

Passons à l'équation ctg x = a. Présentons une illustration graphique de la solution de l'équation pour a positif et négatif (Fig. 3).

Graphiques des fonctions y = ctg x et y = a et aussi

y=ctg x et y=-a

ont une infinité de points communs dont les abscisses ressemblent à :

x = x 1 +, où x 1 est l'abscisse du point d'intersection de la droite y = a avec la branche principale de la tangentoïde et

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, où x 2 est l'abscisse du point d'intersection de la droite

y = - a avec la branche principale du tangentoïde et x 2 = arcсtg (- a).

Notez que x 2 = π - x 1. Alors, écrivons une égalité importante :

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

Formulons la définition : l'arc cotangente a est un nombre de l'intervalle (0;π) dont la cotangente est égale à a.

La solution de l'équation ctg x = a s'écrit sous la forme : x = arcctg a + .

Veuillez noter que l'équation ctg x = a peut être transformée sous la forme

tg x = , sauf lorsque a = 0.

>> Arctangente et arccotangente. Résoudre les équations tgx = a, ctgx = a

§ 19. Arctangente et arccotangente. Résoudre les équations tgx = a, ctgx = a

Dans l'exemple 2 du §16 nous n'avons pas pu résoudre trois équations :

Nous en avons déjà résolu deux - le premier au § 17 et le second au § 18, pour cela nous avons dû introduire les concepts arc cosinus et arc sinus. Considérons la troisième équation x = 2.
Les graphiques des fonctions y=tg x et y=2 ont une infinité de points communs, les abscisses de tous ces points ont la forme - l'abscisse du point d'intersection de la droite y = 2 avec la branche principale de la tangentoïde (Fig. 90). Pour le nombre x1, les mathématiciens ont proposé la désignation acrtg 2 (lire « arc tangent à deux »). Alors toutes les racines de l’équation x=2 peuvent être décrites par la formule x=arctg 2 + pk.
Qu’est-ce que l’agctg 2 ? C'est le numéro tangente qui est égal à 2 et qui appartient à l'intervalle
Considérons maintenant l'équation tg x = -2.
Graphiques de fonctions ont une infinité de points communs, les abscisses de tous ces points ont la forme abscisse du point d'intersection de la droite y = -2 avec la branche principale de la tangentoïde. Pour le nombre x 2, les mathématiciens ont proposé la notation arctg(-2). Alors toutes les racines de l'équation x = -2 peuvent être décrites par la formule

Qu'est-ce que acrtg(-2) ? C'est un nombre dont la tangente est -2 et qui appartient à l'intervalle. Attention (voir Fig. 90) : x 2 = -x 2. Cela signifie que arctg(-2) = - arctg 2.
Formulons la définition de l'arctangente sous forme générale.

Définition 1. arсtg a (arc tangent a) est un nombre de l'intervalle dont la tangente est égale à a. Donc,

Nous sommes maintenant en mesure de tirer une conclusion générale sur la solution équations x=a : l'équation x = a a des solutions

Nous avons noté ci-dessus que arctg(-2) = -arctg 2. En général, pour toute valeur de a la formule est valable

Exemple 1. Calculer:

Exemple 2. Résoudre des équations :

A) Créons une formule de solution :

Nous ne pouvons pas calculer la valeur de l'arctangente dans ce cas, nous laisserons donc la solution de l'équation sous la forme obtenue.
Répondre:
Exemple 3. Résoudre les inégalités :
Les inégalités de forme peuvent être résolues graphiquement, en respectant les plans suivants
1) construire une tangente y = tan x et une droite y = a ;
2) sélectionner pour la branche principale du tangeisoïde l'intervalle de l'axe des x sur lequel l'inégalité donnée est satisfaite ;
3) en tenant compte de la périodicité de la fonction y = tan x, écrivez la réponse sous forme générale.
Appliquons ce plan pour résoudre les inégalités données.

: a) Construisons des graphiques des fonctions y = tgх et y = 1. Sur la branche principale du tangentsoïde elles se coupent au point

Sélectionnons l'intervalle de l'axe des x sur lequel se situe la branche principale de la tangentoïde en dessous de la droite y = 1 - c'est l'intervalle
Compte tenu de la périodicité de la fonction y = tgх, nous concluons que l'inégalité donnée est satisfaite sur tout intervalle de la forme :

L'union de tous ces intervalles est décision commune compte tenu des inégalités.
La réponse peut s'écrire d'une autre manière :

b) Construisons des graphiques des fonctions y = tan x et y = -2. Sur la branche principale du tangentoïde (Fig. 92) ils se coupent au point x = arctg(-2).

Sélectionnons l'intervalle de l'axe des x sur lequel la branche principale de la tangentoïde

Considérons l'équation avec tan x=a, où a>0. Les graphiques des fonctions y=ctg x et y =a ont une infinité de points communs, les abscisses de tous ces points ont la forme : x = x 1 + pk, où x 1 =arccstg a est l'abscisse du point d'intersection de la droite y=a avec la branche principale de la tangentoïde (Fig. 93). Cela signifie que arcstg a est un nombre dont la cotangente est égale à a et qui appartient à l'intervalle (0, n) ; sur cet intervalle la branche principale du graphique de la fonction y = сtg x est construite.

En figue. 93 présente également une illustration graphique de la solution de l'équation c1tg = -a. Les graphiques des fonctions y = сtg x et y = -а ont une infinité de points communs, les abscisses de tous ces points ont la forme x = x 2 + pk, où x 2 = агсстg (- а) est l'abscisse du point d'intersection de la ligne y = -а avec la branche tangentoïde de la ligne principale. Cela signifie que arcstg(-a) est un nombre dont la cotangente est égale à -a et qui appartient à l'intervalle (O, n) ; sur cet intervalle est construite la branche principale du graphique de la fonction Y = сtg x.

Définition 2. arccstg a (arc cotangent a) est un nombre de l'intervalle (0, n) dont la cotangente est égale à a.
Donc,

Nous pouvons maintenant tirer une conclusion générale sur la solution de l’équation ctg x = a : l’équation ctg x = a a des solutions :

Attention (voir Fig. 93) : x 2 = n-x 1. Cela signifie que

Exemple 4. Calculer:

A) Disons

L'équation сtg x=а peut presque toujours être convertie sous la forme, à l'exception de l'équation сtg x =0. Mais dans ce cas, profitant du fait que vous pouvez vous rendre sur
équation cosx=0. Ainsi, une équation de la forme x = a n’a pas d’intérêt indépendant.

A.G. Mordkovich Algèbre 10e année

Planification calendaire-thématique en mathématiques, vidéo en mathématiques en ligne, Mathématiques à l'école télécharger

Contenu de la leçon notes de cours cadre de support présentation de cours méthodes d'accélération technologies interactives Pratique tâches et exercices ateliers d'autotest, formations, cas, quêtes devoirs questions de discussion questions rhétoriques des étudiants Illustrations audio, clips vidéo et multimédia photographies, images, graphiques, tableaux, diagrammes, humour, anecdotes, blagues, bandes dessinées, paraboles, dictons, mots croisés, citations Modules complémentaires résumés articles astuces pour les curieux crèches manuels scolaires dictionnaire de base et supplémentaire des termes autres Améliorer les manuels et les leçonscorriger les erreurs dans le manuel mise à jour d'un fragment dans un manuel, éléments d'innovation dans la leçon, remplacement des connaissances obsolètes par de nouvelles Uniquement pour les enseignants des leçons parfaites plan de calendrier pour un an des lignes directrices programmes de discussion Leçons intégrées