OSCILLATIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES. VIBRATIONS ÉLECTRIQUES LIBRE ET FORCÉE DANS UN CIRCUIT OSCILLANT.

1. Vibrations électromagnétiques- oscillations interconnectées de champs électriques et magnétiques.

Des vibrations électromagnétiques apparaissent dans divers circuits électriques. Dans le même temps, la quantité de charge, la tension, le courant et la tension fluctuent. champ électrique, induction champ magnétique et d'autres grandeurs électrodynamiques.

Oscillations électromagnétiques libressurviennent dans un système électromagnétique après l'avoir retiré d'un état d'équilibre, par exemple en transmettant une charge à un condensateur ou en modifiant le courant dans une section du circuit.

Ce sont des oscillations amorties, puisque l'énergie transmise au système est dépensée pour le chauffage et d'autres processus.

Oscillations électromagnétiques forcées- oscillations non amorties dans le circuit provoquées par une FEM sinusoïdale externe changeant périodiquement.

Les oscillations électromagnétiques sont décrites par les mêmes lois que les oscillations mécaniques, bien que la nature physique de ces oscillations soit complètement différente.

Vibrations électriques - cas particulierélectromagnétique, lorsque les vibrations de grandeurs électriques uniquement sont prises en compte. Dans ce cas, on parle de courant alternatif, de tension, de puissance, etc.

1. CIRCUIT OSCILLANT

Un circuit oscillant est un circuit électrique constitué d'un condensateur connecté en série avec une capacité C, d'une bobine avec une inductance Let une résistance avec une résistance R. Un circuit idéal - si la résistance peut être négligée, c'est-à-dire seulement un condensateur C et une bobine idéale L.

L'état d'équilibre stable du circuit oscillatoire est caractérisé par l'énergie minimale du champ électrique (le condensateur n'est pas chargé) et du champ magnétique (il n'y a pas de courant dans la bobine).

1. CARACTÉRISTIQUES DES VIBRATIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES

Analogie des vibrations mécaniques et électromagnétiques

Caractéristiques:	Vibrations mécaniques	Vibrations électromagnétiques
Grandeurs exprimant les propriétés du système lui-même (paramètres du système) :	m- masse (kg) k- rigidité du ressort (N/m)	L- inductance (H) 1/C- réciproque de la capacité (1/F)
Grandeurs caractérisant l'état du système :	Énergie cinétique (J) Énergie potentielle (J) x - déplacement (m)	Énergie électrique (J) Énergie magnétique (J) q - charge du condensateur (C)
Grandeurs exprimant des changements dans l'état du système :	v = x"(t) vitesse - vitesse de déplacement (m/s)	je = q"(t) intensité du courant - taux de changement de charge (A)
Autres caractéristiques: T=1/ν T=2π/ω ω=2πν	T- période d'oscillation durée d'une ou plusieurs oscillations complètes
	ν- fréquence - nombre d'oscillations par unité de temps (Hz)
	ω - fréquence cyclique nombre d'oscillations en 2π secondes (Hz)
	φ = ωt – phase d'oscillation - montre quelle partie de la valeur d'amplitude elle prend en compte ce moment quantité fluctuante, c'est-à-direla phase détermine l'état du système oscillant à tout instant t.

où q" est la dérivée seconde de la charge par rapport au temps.

Ordre de grandeur est la fréquence cyclique. Les mêmes équations décrivent les fluctuations du courant, de la tension et d'autres grandeurs électriques et magnétiques.

L'une des solutions de l'équation (1) est la fonction harmonique

C'est une équation intégrale vibrations harmoniques.

Période d'oscillation dans le circuit (formule de Thomson) :

Quantité φ = ώt + φ 0 , placée sous le signe sinus ou cosinus, est la phase d'oscillation.

Le courant dans le circuit est égal à la dérivée de la charge par rapport au temps, il peut s'exprimer

La tension aux plaques du condensateur varie selon la loi :

Où je max =ωq max – l'amplitude du courant (A),

Umax =qmax /C - amplitude de tension (V)

Exercice: pour chaque état du circuit oscillant, notez les valeurs de charge sur le condensateur, le courant dans la bobine, l'intensité du champ électrique, l'induction du champ magnétique, l'énergie électrique et magnétique.

La valeur principale du matériel de présentation est la clarté de la dynamique accentuée étape par étape de la formation de concepts liés aux lois des oscillations mécaniques et surtout électromagnétiques dans les systèmes oscillatoires.

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Légendes des diapositives :

Analogie entre vibrations mécaniques et électromagnétiques. Pour les élèves de 11e année Région de Belgorod Gubkin MBOU "École secondaire n° 3" Skarzhinsky Y.Kh. ©

Circuit oscillatoire

Circuit oscillant Circuit oscillant en absence de R actif

Système oscillant électrique Système oscillant mécanique

Système oscillatoire électrique avec l'énergie potentielle d'un condensateur chargé Système oscillatoire mécanique avec l'énergie potentielle d'un ressort déformé

Analogie entre vibrations mécaniques et électromagnétiques. BOBINE DE CHARGE DU CONDENSATEUR À RESSORT A Grandeurs mécaniques Grandeurs électriques Coordonnée x Charge q Vitesse v x Courant i Masse m Inductance L Énergie potentielle kx 2 /2 Énergie du champ électrique q 2 /2 Raideur du ressort k Réciproque de la capacité 1/C Énergie cinétique mv 2 / 2 Énergie du champ magnétique Li 2 /2

Analogie entre vibrations mécaniques et électromagnétiques. 1 Trouvez l'énergie du champ magnétique de la bobine dans le circuit oscillatoire si son inductance est de 5 mH et le courant maximum est de 0,6 mA. 2 Quelle était la charge maximale sur les plaques du condensateur dans le même circuit oscillant si sa capacité était de 0,1 pF ? Résoudre des problèmes qualitatifs et quantitatifs sur un nouveau sujet.

Devoirs: §

Sur le thème : évolutions méthodologiques, présentations et notes

Les principaux buts et objectifs de la leçon : Tester les connaissances, les compétences et les capacités sur le sujet abordé, en tenant compte caractéristiques individuelles chaque élève.Inciter les élèves forts à développer leurs activités...

résumé du cours "Vibrations mécaniques et électromagnétiques"

Ce développement peut être utilisé lors de l'étude du sujet en 11e année : « Oscillations électromagnétiques ». Le matériel est destiné à l'étude d'un nouveau sujet....

Bien que les vibrations mécaniques et électromagnétiques aient nature différente, de nombreuses analogies peuvent être établies entre eux. Par exemple, considérons les oscillations électromagnétiques dans un circuit oscillatoire et l'oscillation d'une charge sur un ressort.

Oscillation d'une charge sur un ressort

Lors des vibrations mécaniques d'un corps sur un ressort, les coordonnées du corps changeront périodiquement. Dans ce cas, la projection de la vitesse du corps sur l’axe Ox changera. En oscillations électromagnétiques au fil du temps loi périodique la charge q du condensateur changera et le courant dans le circuit oscillatoire changera.

Les quantités auront le même schéma de changement. Cela se produit parce qu’il existe une analogie entre les conditions dans lesquelles se produisent les oscillations. Lorsque nous retirons la charge sur le ressort de la position d'équilibre, une force élastique F ex. apparaît dans le ressort, qui tend à ramener la charge à la position d'équilibre. Le coefficient de proportionnalité de cette force sera la raideur du ressort k.

Lorsque le condensateur se décharge, un courant apparaît dans le circuit oscillatoire. La décharge est due au fait qu'il existe une tension u aux bornes des plaques du condensateur. Cette tension sera proportionnelle à la charge q de l'une des plaques. Le coefficient de proportionnalité sera la valeur 1/C, où C est la capacité du condensateur.

Lorsqu'une charge se déplace sur un ressort, lorsqu'on la relâche, la vitesse du corps augmente progressivement, du fait de l'inertie. Et après l'arrêt de la force, la vitesse du corps ne devient pas immédiatement nulle, elle diminue aussi progressivement.

Circuit oscillatoire

La même chose est vraie dans un circuit oscillatoire. Électricité dans une bobine sous l'influence de la tension n'augmente pas immédiatement, mais progressivement, en raison du phénomène d'auto-induction. Et lorsque la tension cesse d’agir, le courant ne devient pas immédiatement nul.

Autrement dit, dans un circuit oscillant, l'inductance de la bobine L sera similaire à la masse corporelle m lorsque la charge sur le ressort oscille. Par conséquent, l'énergie cinétique du corps (m*V^2)/2 sera similaire à l'énergie du champ magnétique du courant (L*i^2)/2.

Lorsque nous retirons la charge de la position d'équilibre, nous transmettons à l'esprit une certaine énergie potentielle (k*(Xm)^2)/2, où Xm est le déplacement par rapport à la position d'équilibre.

Dans un circuit oscillatoire, le rôle d'énergie potentielle est joué par l'énergie de charge du condensateur q^2/(2*C). Nous pouvons conclure que la raideur du ressort en vibrations mécaniques sera similaire à la valeur 1/C, où C est la capacité du condensateur en vibrations électromagnétiques. Et les coordonnées du corps seront similaires à la charge du condensateur.

Examinons de plus près les processus d'oscillation dans la figure suivante.

image

(a) Nous transmettons de l’énergie potentielle au corps. Par analogie, on charge un condensateur.

(b) Nous relâchons la balle, l'énergie potentielle commence à diminuer et la vitesse de la balle augmente. Par analogie, la charge sur la plaque du condensateur commence à diminuer et l'intensité du courant apparaît dans le circuit.

(c) Position d’équilibre. Il n'y a pas d'énergie potentielle, la vitesse du corps est maximale. Le condensateur est déchargé, le courant dans le circuit est maximum.

(e) Le corps a dévié jusqu'à sa position extrême, sa vitesse est devenue égale à zéro et l'énergie potentielle a atteint son maximum. Le condensateur s'est rechargé, le courant dans le circuit est devenu nul.

Développement d'une méthodologie pour étudier le thème « Oscillations électromagnétiques »

Circuit oscillatoire. Transformations énergétiques lors des oscillations électromagnétiques.

Ces questions, qui comptent parmi les plus importantes de ce sujet, sont abordées dans la troisième leçon.

Tout d'abord, le concept de circuit oscillatoire est introduit et une entrée correspondante est effectuée dans le cahier.

Ensuite, pour clarifier la cause de l'apparition des oscillations électromagnétiques, un fragment est présenté qui montre le processus de charge d'un condensateur. L'attention des étudiants est attirée sur les signes de charges des plaques du condensateur.

Après cela, les énergies des champs magnétiques et électriques sont prises en compte, les étudiants apprennent comment ces énergies et l'énergie totale dans le circuit changent, le mécanisme d'apparition des oscillations électromagnétiques est expliqué à l'aide d'un modèle et les équations de base sont écrites. .

Il est très important d’attirer l’attention des élèves sur le fait que cette représentation du courant dans un circuit (flux de particules chargées) est conditionnelle, puisque la vitesse des électrons dans un conducteur est très faible. Cette méthode de présentation a été choisie pour faciliter la compréhension de l'essence des oscillations électromagnétiques.

Ensuite, l’attention des étudiants se concentre sur le fait qu’ils observent les processus de conversion de l’énergie du champ électrique en énergie magnétique et vice versa, et puisque le circuit oscillatoire est idéal (il n’y a pas de résistance), alors l’énergie totale Champ électromagnétique reste inchangé. Ensuite, la notion d'oscillations électromagnétiques est donnée et il est stipulé que ces oscillations sont libres. Ensuite, les résultats sont résumés et des devoirs sont donnés.

Analogie entre vibrations mécaniques et électromagnétiques.

Cette question est abordée dans la quatrième leçon du sujet. Premièrement, à des fins de répétition et de renforcement, vous pouvez à nouveau démontrer le modèle dynamique d'un circuit oscillatoire idéal. Pour expliquer l'essence et prouver l'analogie entre les oscillations électromagnétiques et les oscillations d'un pendule à ressort, le modèle oscillatoire dynamique « Analogie entre les oscillations mécaniques et électromagnétiques » et les présentations PowerPoint sont utilisés.

Un pendule à ressort (oscillations d'une charge sur un ressort) est considéré comme un système oscillatoire mécanique. Identification de la relation entre les grandeurs mécaniques et électriques lorsque processus oscillatoires réalisé selon les méthodes traditionnelles.

Comme cela a déjà été fait dans la leçon précédente, il est nécessaire de rappeler une fois de plus aux élèves la convention du mouvement des électrons le long d'un conducteur, après quoi leur attention est attirée sur le coin supérieur droit de l'écran, où le système oscillatoire « communiquant navires » se trouve. Il est stipulé que chaque particule oscille autour de la position d'équilibre, donc les vibrations d'un liquide dans des vases communicants peuvent également servir d'analogie aux oscillations électromagnétiques.

S'il reste du temps à la fin de la leçon, vous pouvez alors approfondir le modèle de démonstration et analyser tous les points principaux à l'aide du matériel nouvellement appris.

Équation des oscillations harmoniques libres dans un circuit.

Au début de la leçon, des modèles dynamiques d'un circuit oscillatoire et des analogies d'oscillations mécaniques et électromagnétiques sont démontrés, les concepts d'oscillations électromagnétiques, de circuit oscillatoire et de correspondance de grandeurs mécaniques et électromagnétiques dans les processus oscillatoires sont répétés.

Un nouveau matériau doit commencer par le fait que si le circuit oscillatoire est idéal, alors son énergie totale reste constante dans le temps

ceux. sa dérivée temporelle est constante, et donc les dérivées temporelles des énergies des champs magnétiques et électriques sont également constantes. Puis, après une série de transformations mathématiques, ils arrivent à la conclusion que l'équation des oscillations électromagnétiques est similaire à l'équation des oscillations d'un pendule à ressort.

En se référant au modèle dynamique, il est rappelé aux étudiants que la charge dans un condensateur change périodiquement, après quoi la tâche est de découvrir comment la charge, le courant dans le circuit et la tension aux bornes du condensateur dépendent du temps.

Ces dépendances sont trouvées selon la méthode traditionnelle. Une fois que l'équation des oscillations de la charge du condensateur a été trouvée, les étudiants voient une image montrant des graphiques de la dépendance de la charge du condensateur et du déplacement de la charge dans le temps, qui sont des ondes cosinusoïdales.

Au cours de la clarification de l'équation des oscillations d'une charge de condensateur, les concepts de période d'oscillation, de fréquences cycliques et naturelles d'oscillations sont introduits. Ensuite, la formule de Thomson est dérivée.

Ensuite, des équations pour les oscillations du courant dans le circuit et la tension sur le condensateur sont obtenues, après quoi une image est affichée avec des graphiques de la dépendance de trois grandeurs électriques au temps. L'attention des étudiants est attirée sur le déphasage entre les fluctuations de courant et de charge et son absence entre les fluctuations de tension et de charge.

Une fois les trois équations dérivées, le concept d’oscillations amorties est introduit et une image montrant ces oscillations est affichée.

La leçon suivante résume bref résumé avec une répétition des concepts de base, les problèmes de recherche de la période, des fréquences cycliques et naturelles des oscillations sont résolus, les dépendances q(t), U(t), I(t), ainsi que divers problèmes qualitatifs et graphiques sont étudiés.

4. Développement méthodologique trois leçons

Les leçons ci-dessous sont développées sous forme de cours magistraux, car cette forme, à mon avis, est la plus productive et laisse dans ce cas suffisamment de temps pour travailler avec des démonstrations dynamiques. modèles ioniques. Si vous le souhaitez, cette forme peut être facilement transformée en toute autre forme de conduite de cours.

Sujet de cours : Circuit oscillatoire. Transformations énergétiques dans un circuit oscillatoire.

Explication du nouveau matériel.

Objectif de la leçon : explication du concept de circuit oscillatoire et de l'essence des oscillations électromagnétiques à l'aide du modèle dynamique « Circuit oscillatoire idéal ».

Des oscillations peuvent se produire dans un système appelé circuit oscillatoire, composé d'un condensateur de capacité C et d'une bobine d'inductance L. Un circuit oscillant est dit idéal s'il n'y a pas de pertes d'énergie pour chauffer les fils de connexion et les fils de la bobine, c'est-à-dire la résistance R est négligée.

Faisons un dessin dans nos cahiers d'une représentation schématique d'un circuit oscillatoire.

Pour que des oscillations électriques se produisent dans ce circuit, il doit être doté d'un certain apport d'énergie, c'est-à-dire charger le condensateur. Lorsque le condensateur est chargé, le champ électrique se concentre entre ses plaques.

(Suivons le processus de charge du condensateur et arrêtons le processus une fois la charge terminée.)

Ainsi, le condensateur est chargé, son énergie est égale à

donc, donc,

Puisqu'après la charge le condensateur aura une charge maximale (faites attention aux plaques du condensateur, elles contiennent des charges de signe opposé), alors à q = q max l'énergie du champ électrique du condensateur sera maximale et égale à

Au moment initial, toute l'énergie est concentrée entre les plaques du condensateur, l'intensité du courant dans le circuit est nulle. (Branchons maintenant le condensateur à la bobine sur notre modèle). Lorsqu'un condensateur est court-circuité avec une bobine, il commence à se décharger et un courant apparaît dans le circuit, ce qui crée un champ magnétique dans la bobine. Les lignes de force de ce champ magnétique sont dirigées selon la règle de la vrille.

Lorsqu’un condensateur est déchargé, le courant n’atteint pas immédiatement sa valeur maximale, mais progressivement. Cela se produit parce que le champ magnétique alternatif génère un deuxième champ électrique dans la bobine. En raison du phénomène d'auto-induction, il y a un courant d'induction qui, selon la règle de Lenz, est dirigé dans le sens opposé à l'augmentation du courant de décharge.

Lorsque le courant de décharge atteint sa valeur maximale, l'énergie du champ magnétique est maximale et égale à :

et l'énergie du condensateur à ce moment est nulle. Ainsi, après t=T/4, l’énergie du champ électrique est complètement convertie en énergie du champ magnétique.

(Observons le processus de décharge d'un condensateur sur un modèle dynamique. J'attire votre attention sur le fait que cette façon de représenter les processus de charge et de décharge d'un condensateur sous la forme d'un flux de particules en mouvement est conditionnelle et choisie pour la facilité de perception. Vous savez très bien que la vitesse des électrons est très faible (environ quelques centimètres par seconde). Ainsi, vous voyez comment, à mesure que la charge sur le condensateur diminue, l'intensité du courant dans le circuit change, comment les énergies du condensateur les champs magnétiques et électriques changent, quel lien existe entre ces changements. Puisque le circuit est idéal, il n'y a pas de perte d'énergie, donc l'énergie totale du circuit reste constante).

Lorsque le condensateur commence à se recharger, le courant de décharge ne diminuera pas immédiatement jusqu'à zéro, mais progressivement. Cela se produit à nouveau en raison de l'apparition d'anti-e. d.s. et courant d'induction de sens opposé. Ce courant neutralise la diminution du courant de décharge, tout comme il neutralisait auparavant son augmentation. Désormais, il supportera le courant principal. L’énergie du champ magnétique diminuera, l’énergie électrique augmentera et le condensateur se rechargera.

Ainsi, l'énergie totale du circuit oscillatoire à tout moment est égale à la somme des énergies des champs magnétique et électrique

Les oscillations dans lesquelles l'énergie du champ électrique d'un condensateur se convertit périodiquement en énergie du champ magnétique d'une bobine sont appelées oscillations ÉLECTROMAGNÉTIQUES. Puisque ces vibrations se produisent grâce à l’apport initial d’énergie et sans influences extérieures, elles sont GRATUITES.

Sujet de cours : Analogie entre vibrations mécaniques et électromagnétiques.

Explication du nouveau matériel.

Objectif de la leçon : explication de l'essence et preuve de l'analogie entre les oscillations électromagnétiques et les oscillations d'un pendule à ressort à l'aide du modèle oscillatoire dynamique « Analogie entre oscillations mécaniques et électromagnétiques » et des présentations PowerPoint.

Matériel à répéter :

concept de circuit oscillatoire ;

le concept d'un circuit oscillatoire idéal ;

conditions d'apparition d'oscillations dans le c/c ;

notions de champs magnétiques et électriques ;

les oscillations en tant que processus de changements périodiques d'énergies ;

énergie du circuit à un moment arbitraire ;

concept d'oscillations électromagnétiques (libres).

(Pour la répétition et le renforcement, les étudiants voient à nouveau un modèle dynamique d'un circuit oscillatoire idéal).

Dans cette leçon, nous examinerons l'analogie entre les vibrations mécaniques et électromagnétiques. Nous considérerons un pendule à ressort comme un système oscillatoire mécanique.

(Sur l'écran, vous voyez un modèle dynamique qui démontre l'analogie entre les oscillations mécaniques et électromagnétiques. Cela nous aidera à comprendre les processus oscillatoires, tels que Système mécanique, et en électromagnétique).

Ainsi, dans un pendule à ressort, un ressort déformé élastiquement confère de la vitesse à la charge qui lui est attachée. Un ressort déformé a l’énergie potentielle d’un corps élastiquement déformé

une charge en mouvement a de l'énergie cinétique

La conversion de l'énergie potentielle d'un ressort en énergie cinétique d'un corps oscillant est une analogie mécanique avec la conversion de l'énergie du champ électrique d'un condensateur en énergie du champ magnétique d'une bobine. Dans ce cas, l'analogue de l'énergie potentielle mécanique du ressort est l'énergie du champ électrique du condensateur, et l'analogue de l'énergie cinétique mécanique de la charge est l'énergie du champ magnétique associé au mouvement. de charges. La charge du condensateur à partir de la batterie correspond au message d'énergie potentielle au ressort (par exemple, déplacement à la main).

Comparons les formules et dérivons des modèles généraux pour les vibrations électromagnétiques et mécaniques.

D'une comparaison des formules, il s'ensuit que l'analogue de l'inductance L est la masse m, et l'analogue du déplacement x est la charge q, et l'analogue du coefficient k est l'inverse de la capacité électrique, c'est-à-dire 1/C.

Le moment où le condensateur se décharge et où le courant atteint son maximum correspond au passage du corps par la position d'équilibre avec vitesse maximum(faites attention aux écrans : vous pourrez y observer cette correspondance).

Comme cela a déjà été dit dans la leçon précédente, le mouvement des électrons le long d'un conducteur est conditionnel, car pour eux le principal type de mouvement est mouvement oscillatoire proche de la position d’équilibre. Par conséquent, les oscillations électromagnétiques sont parfois comparées aux oscillations de l'eau dans des vases communicants (regardez l'écran, vous voyez que dans le coin supérieur droit il y a justement un tel système oscillatoire), où chaque particule oscille autour d'une position d'équilibre.

Ainsi, nous avons découvert que l'analogie de l'inductance est la masse et que l'analogie du déplacement est la charge. Mais vous savez très bien qu'un changement de charge par unité de temps n'est rien de plus qu'une intensité de courant, et qu'un changement de coordonnée par unité de temps est une vitesse, c'est-à-dire q"= I et x"= v. Ainsi, nous avons trouvé une autre correspondance entre les grandeurs mécaniques et électriques.

Faisons un tableau qui nous aidera à systématiser les connexions entre les grandeurs mécaniques et électriques lors des processus oscillatoires.

Table de correspondance entre grandeurs mécaniques et électriques lors de processus oscillatoires.

Sujet de cours : Équation des oscillations harmoniques libres dans un circuit.

Explication du nouveau matériel.

Objectif de la leçon : dérivation de l'équation de base des oscillations électromagnétiques, des lois de changement de charge et d'intensité du courant, obtention de la formule de Thomson et de l'expression de la fréquence naturelle des oscillations du circuit à l'aide de présentations PowerPoint.

Matériel à répéter :

concept d'oscillations électromagnétiques ;

notion d'énergie d'un circuit oscillatoire ;

correspondance des grandeurs électriques avec les grandeurs mécaniques lors des processus oscillatoires.

(Pour la répétition et la consolidation, il est nécessaire de démontrer une fois de plus le modèle de l'analogie des vibrations mécaniques et électromagnétiques).

Dans les leçons précédentes, nous avons découvert que les vibrations électromagnétiques, d'une part, sont gratuites et, d'autre part, elles représentent un changement périodique des énergies des champs magnétiques et électriques. Mais en plus de l'énergie, lors des oscillations électromagnétiques, la charge change également, et donc l'intensité du courant dans le circuit et la tension. Dans cette leçon, nous devons découvrir les lois selon lesquelles la charge change, et donc le courant et la tension.

Ainsi, nous avons découvert que l'énergie totale du circuit oscillatoire à tout moment est égale à la somme des énergies des champs magnétique et électrique : . Nous pensons que l'énergie ne change pas avec le temps, c'est-à-dire que le circuit est idéal. Cela signifie que la dérivée de l'énergie totale par rapport au temps est nulle, donc la somme des dérivées temporelles des énergies des champs magnétiques et électriques est égale à zéro :

C'est-à-dire.

Le signe moins dans cette expression signifie que lorsque l’énergie du champ magnétique augmente, l’énergie du champ électrique diminue et vice versa. UN signification physique Cette expression est telle que le taux de variation de l’énergie du champ magnétique est égal en amplitude et en direction opposée au taux de variation du champ électrique.

En calculant les dérivées, on obtient

Mais nous avons donc obtenu une équation qui décrit les oscillations électromagnétiques libres dans le circuit. Si on remplace maintenant q par x, x""=a x par q"", k par 1/C, m par L, on obtient l'équation

décrivant les oscillations d'une charge sur un ressort. Ainsi, l'équation des oscillations électromagnétiques a la même forme mathématique, comme l'équation des oscillations d'un pendule à ressort.

Comme vous l'avez vu dans le modèle de démonstration, la charge du condensateur change périodiquement. Il faut trouver la dépendance de la charge au temps.

Connaissez-vous la neuvième année ? fonctions périodiques sinus et cosinus. Ces fonctions ont la propriété suivante : la dérivée seconde du sinus et du cosinus est proportionnelle aux fonctions elles-mêmes, prises avec le signe opposé. En dehors de ces deux fonctions, aucune autre fonction ne possède cette propriété. Revenons maintenant à la charge électrique. Nous pouvons affirmer en toute sécurité que charge électrique, et donc l'intensité du courant, lors des oscillations libres, changent dans le temps selon la loi du cosinus ou du sinus, c'est-à-dire effectuer des vibrations harmoniques. Le pendule à ressort effectue également des oscillations harmoniques (l'accélération est proportionnelle au déplacement pris avec un signe moins).

Ainsi, pour trouver la dépendance explicite de la charge, du courant et de la tension au temps, il est nécessaire de résoudre l'équation

en tenant compte du caractère harmonique de l'évolution de ces grandeurs.

Si nous prenons une expression comme q = q m cos t comme solution, alors, en substituant cette solution dans l'équation d'origine, nous obtenons q""=-q m cos t=-q.

Par conséquent, comme solution, il est nécessaire de prendre une expression de la forme

q=q m cosш o t,

où q m est l'amplitude des oscillations de charge (module valeur la plus élevée valeur fluctuante),

u o = - fréquence cyclique ou circulaire. Sa signification physique est

le nombre d'oscillations dans une période, c'est-à-dire en 2p s.

La période d'oscillations électromagnétiques est la période pendant laquelle le courant dans le circuit oscillant et la tension sur les plaques du condensateur effectuent une oscillation complète. Pour les vibrations harmoniques Т=2р с ( période la plus courte cosinus).

La fréquence d'oscillation - le nombre d'oscillations par unité de temps - est définie comme suit : n = .

La fréquence des vibrations libres est appelée fréquence naturelle du système oscillatoire.

Puisque u o = 2р n=2р/Т, alors Т= .

Nous avons défini la fréquence cyclique comme u o =, ce qui signifie que pour la période nous pouvons écrire

T= = - Formule de Thomson pour la période des oscillations électromagnétiques.

Alors l'expression de la fréquence propre des oscillations prendra la forme

Tout ce que nous avons à faire est d’obtenir les équations des fluctuations du courant dans le circuit et de la tension aux bornes du condensateur.

Puisque alors avec q = q m cos š o t on obtient U=U m cos ō t. Cela signifie que la tension change également selon une loi harmonique. Trouvons maintenant la loi selon laquelle l'intensité du courant dans le circuit change.

Par définition, mais q=q m coût, donc

où p/2 est le déphasage entre le courant et la charge (tension). Ainsi, nous avons découvert que l'intensité du courant lors des oscillations électromagnétiques change également selon une loi harmonique.

Nous avons considéré un circuit oscillatoire idéal dans lequel il n'y a pas de perte d'énergie et dans lequel les oscillations libres peuvent continuer indéfiniment grâce à l'énergie une fois reçue de source externe. Dans un circuit réel, une partie de l'énergie est consacrée au chauffage des fils de connexion et au chauffage de la bobine. Les oscillations libres dans le circuit oscillatoire sont donc amorties.

Thèmes Codificateur d'examen d'État unifié : oscillations électromagnétiques libres, circuit oscillatoire, oscillations électromagnétiques forcées, résonance, oscillations électromagnétiques harmoniques.

Vibrations électromagnétiques- ce sont des changements périodiques de charge, de courant et de tension qui se produisent dans circuit électrique. Le système le plus simple pour observer les oscillations électromagnétiques est un circuit oscillatoire.

Circuit oscillatoire

Circuit oscillatoire est un circuit fermé formé d'un condensateur et d'une bobine connectés en série.

Chargeons le condensateur, connectons-y la bobine et fermons le circuit. Cela commencera à arriver oscillations électromagnétiques libres- changements périodiques de la charge du condensateur et du courant dans la bobine. Rappelons que ces oscillations sont dites libres car elles se produisent sans aucune influence extérieure - uniquement grâce à l'énergie stockée dans le circuit.

La période d'oscillations dans le circuit sera désignée, comme toujours, par . Nous supposerons que la résistance de la bobine est nulle.

Examinons en détail toutes les étapes importantes du processus d'oscillation. Pour plus de clarté, nous ferons une analogie avec les oscillations d'un pendule à ressort horizontal.

Moment de départ: . La charge du condensateur est égale à , il n'y a pas de courant dans la bobine (Fig. 1). Le condensateur va maintenant commencer à se décharger.

Riz. 1.

Même si la résistance de la bobine est nulle, le courant n’augmentera pas instantanément. Dès que le courant commence à augmenter, une force électromotrice d'auto-induction apparaîtra dans la bobine, empêchant le courant d'augmenter.

Analogie. Le pendule est tiré vers la droite d'un certain montant et relâché au moment initial. La vitesse initiale du pendule est nulle.

Premier trimestre de la période: . Le condensateur se décharge, sa charge est actuellement égale à . Le courant traversant la bobine augmente (Fig. 2).

Riz. 2.

Le courant augmente progressivement : le champ électrique vortex de la bobine empêche le courant d'augmenter et est dirigé à contre-courant.

Analogie. Le pendule se déplace vers la gauche vers la position d'équilibre ; la vitesse du pendule augmente progressivement. La déformation du ressort (c'est-à-dire la coordonnée du pendule) diminue.

Fin du premier trimestre: . Le condensateur est complètement déchargé. L'intensité du courant a atteint sa valeur maximale (Fig. 3). Le condensateur va maintenant commencer à se recharger.

Riz. 3.

La tension aux bornes de la bobine est nulle, mais le courant ne disparaîtra pas instantanément. Dès que le courant commence à diminuer, une force électromotrice d'auto-induction apparaîtra dans la bobine, empêchant le courant de diminuer.

Analogie. Le pendule passe par sa position d'équilibre. Sa vitesse atteint sa valeur maximale. La déformation du ressort est nulle.

Deuxième quartier: . Le condensateur est rechargé - une charge de signe opposé apparaît sur ses plaques par rapport à ce qu'elle était au début (Fig. 4).

Riz. 4.

L'intensité du courant diminue progressivement : le champ électrique de Foucault de la bobine, supportant le courant décroissant, est co-dirigé avec le courant.

Analogie. Le pendule continue de se déplacer vers la gauche - de la position d'équilibre jusqu'au point extrême droit. Sa vitesse diminue progressivement, la déformation du ressort augmente.

Fin du deuxième trimestre. Le condensateur est complètement rechargé, sa charge est à nouveau égale (mais la polarité est différente). L'intensité du courant est nulle (Fig. 5). La recharge inverse du condensateur va maintenant commencer.

Riz. 5.

Analogie. Le pendule a atteint le point le plus à droite. La vitesse du pendule est nulle. La déformation du ressort est maximale et égale à .

Troisième quart: . La seconde moitié de la période d'oscillation a commencé ; les processus sont allés dans la direction opposée. Le condensateur est déchargé (Fig. 6).

Riz. 6.

Analogie. Le pendule recule : depuis la droite point extrême vers la position d’équilibre.

Fin du troisième trimestre: . Le condensateur est complètement déchargé. Le courant est maximum et à nouveau égal à , mais cette fois il a une direction différente (Fig. 7).

Riz. 7.

Analogie. Le pendule repasse par la position d'équilibre à vitesse maximale, mais cette fois en sens inverse.

Quatrième trimestre: . Le courant diminue, le condensateur se charge (Fig. 8).

Riz. 8.

Analogie. Le pendule continue de se déplacer vers la droite - de la position d'équilibre au point extrême gauche.

Fin du quatrième trimestre et toute la période: . La charge inverse du condensateur est terminée, le courant est nul (Fig. 9).

Riz. 9.

Ce moment est identique au moment, et cette figure est identique à la figure 1. Une oscillation complète a eu lieu. Maintenant, la prochaine oscillation va commencer, au cours de laquelle les processus se dérouleront exactement de la même manière que celui décrit ci-dessus.

Analogie. Le pendule est revenu à sa position initiale.

Les oscillations électromagnétiques considérées sont non amorti- ils continueront indéfiniment. Après tout, nous avons supposé que la résistance de la bobine est nulle !

De la même manière, les oscillations d’un pendule à ressort ne seront pas amorties en l’absence de frottement.

En réalité, la bobine présente une certaine résistance. Par conséquent, les oscillations d’un circuit oscillatoire réel seront amorties. Ainsi, après une oscillation complète, la charge sur le condensateur sera inférieure à la valeur d'origine. Au fil du temps, les oscillations disparaîtront complètement : toute l'énergie initialement stockée dans le circuit sera restituée sous forme de chaleur au niveau de la résistance de la bobine et des fils de liaison.

De la même manière, les oscillations d'un véritable pendule à ressort seront amorties : toute l'énergie du pendule se transformera progressivement en chaleur du fait de la présence inévitable de frottements.

Transformations énergétiques dans un circuit oscillatoire

Nous continuons à considérer les oscillations non amorties dans le circuit, en considérant que la résistance de la bobine est nulle. Le condensateur a une capacité et l'inductance de la bobine est égale à .

Puisqu’il n’y a pas de déperdition de chaleur, l’énergie ne quitte pas le circuit : elle est constamment redistribuée entre le condensateur et la bobine.

Prenons un moment où la charge du condensateur est maximale et égale à , et où il n'y a pas de courant. L'énergie du champ magnétique de la bobine à ce moment est nulle. Toute l'énergie du circuit est concentrée dans le condensateur :

Maintenant, au contraire, considérons le moment où le courant est maximum et égal à , et où le condensateur est déchargé. L'énergie du condensateur est nulle. Toute l'énergie du circuit est stockée dans la bobine :

À un moment arbitraire, lorsque la charge du condensateur est égale et que le courant circule dans la bobine, l'énergie du circuit est égale à :

Ainsi,

(1)

La relation (1) est utilisée pour résoudre de nombreux problèmes.

Analogies électromécaniques

Dans le dépliant précédent sur l’auto-induction, nous avons noté l’analogie entre inductance et masse. Nous pouvons maintenant établir plusieurs autres correspondances entre les grandeurs électrodynamiques et mécaniques.

Pour un pendule à ressort nous avons une relation similaire à (1) :

(2)

Ici, comme vous l'avez déjà compris, se trouve la rigidité du ressort, la masse du pendule, les valeurs actuelles des coordonnées et de la vitesse du pendule, et leurs plus grandes valeurs.

En comparant les égalités (1) et (2) entre elles, on voit les correspondances suivantes :

(3)

(4)

(5)

(6)

Sur la base de ces analogies électromécaniques, nous pouvons prévoir une formule pour la période des oscillations électromagnétiques dans un circuit oscillatoire.

En effet, la période d'oscillation d'un pendule à ressort, comme on le sait, est égale à :

Conformément aux analogies (5) et (6), nous remplaçons ici la masse par l'inductance et la rigidité par la capacité inverse. On a:

(7)

Les analogies électromécaniques ne manquent pas : la formule (7) donne l'expression correcte de la période d'oscillations dans le circuit oscillatoire. On l'appelle La formule de Thomson. Nous présenterons prochainement sa conclusion plus rigoureuse.

Loi harmonique des oscillations dans un circuit

Rappelons que les oscillations sont appelées harmonique, si la quantité oscillante change dans le temps selon la loi du sinus ou du cosinus. Si vous avez oublié ces éléments, veillez à refaire la fiche « Vibrations mécaniques ».

Les oscillations de la charge sur le condensateur et du courant dans le circuit s'avèrent harmoniques. Nous allons le prouver maintenant. Mais nous devons d'abord établir des règles pour choisir le signe de la charge du condensateur et de l'intensité du courant - après tout, lorsqu'elles oscillent, ces quantités prendront à la fois des valeurs positives et négatives.

Nous choisissons d'abord sens de dérivation positif contour. Le choix n’a pas d’importance ; que ce soit la direction dans le sens inverse des aiguilles d'une montre(Fig. 10).

Riz. 10. Sens de dérivation positif

La force actuelle est considérée comme positive class="tex" alt="(I > 0)"> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .!}

La charge d'un condensateur est la charge de sa plaque à laquelle un courant positif circule (c'est-à-dire la plaque vers laquelle pointe la flèche de direction de dérivation). Dans ce cas - frais gauche plaques de condensateur.

Avec un tel choix de signes de courant et de charge, la relation suivante est valable : (avec un choix de signes différent cela pourrait arriver). En effet, les signes des deux parties coïncident : if class="tex" alt="I > 0"> , то заряд левой пластины возрастает, и потому !} class="tex" alt="\dot(q) > 0"> !}.

Les quantités évoluent dans le temps, mais l'énergie du circuit reste inchangée :

(8)

La dérivée de l’énergie par rapport au temps devient donc nulle : . Nous prenons la dérivée temporelle des deux côtés de la relation (8) ; n'oubliez pas que les fonctions complexes se différencient à gauche (Si est fonction de , alors selon la règle de différenciation fonction complexe la dérivée du carré de notre fonction sera égale à : ) :

En remplaçant et ici, nous obtenons :

Mais l’intensité du courant n’est pas une fonction identiquement égale à zéro ; C'est pourquoi

Réécrivons cela comme suit :

(9)

Nous avons équation différentielle vibrations harmoniques de la forme , où . Cela prouve que la charge sur le condensateur oscille selon une loi harmonique (c'est-à-dire selon la loi du sinus ou du cosinus). La fréquence cyclique de ces oscillations est égale à :

(10)

Cette quantité est aussi appelée fréquence naturelle contour; C'est avec cette fréquence que libre (ou, comme on dit aussi, propre fluctuations). La période d'oscillation est égale à :

Nous revenons à la formule de Thomson.

Dépendance harmonique de la charge au temps dans cas général a la forme :

(11)

La fréquence cyclique est trouvée par la formule (10) ; amplitude et phase initiale sont déterminées à partir des conditions initiales.

Nous examinerons la situation évoquée en détail au début de cette brochure. Que la charge du condensateur soit maximale et égale (comme sur la Fig. 1) ; il n'y a pas de courant dans le circuit. Alors la phase initiale est , de sorte que la charge varie selon la loi du cosinus avec l'amplitude :

(12)

Trouvons la loi du changement dans la force actuelle. Pour ce faire, on différencie la relation (12) par rapport au temps, sans oublier là encore la règle pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

On voit que l'intensité du courant change également selon une loi harmonique, cette fois selon la loi des sinus :

(13)

L'amplitude du courant est :

La présence d'un « moins » dans la loi du changement actuel (13) n'est pas difficile à comprendre. Prenons, par exemple, un intervalle de temps (Fig. 2).

Le courant circule dans le sens négatif : . Depuis , la phase d'oscillation se situe au premier trimestre : . Le sinus du premier trimestre est positif ; par conséquent, le sinus en (13) sera positif sur l'intervalle de temps considéré. Par conséquent, pour garantir que le courant est négatif, le signe moins dans la formule (13) est vraiment nécessaire.

Regardez maintenant la fig. 8 . Le courant circule dans le sens positif. Comment fonctionne notre « moins » dans ce cas ? Découvrez ce qui se passe ici !

Décrivons des graphiques de fluctuations de charge et de courant, c'est-à-dire graphiques des fonctions (12) et (13). Pour plus de clarté, présentons ces graphiques dans les mêmes axes de coordonnées (Fig. 11).

Riz. 11. Graphiques des fluctuations de charge et de courant

Veuillez noter : les zéros de charge se produisent aux maxima ou minima actuels ; à l’inverse, les zéros actuels correspondent aux maxima ou minima de charge.

Utiliser la formule de réduction

Écrivons la loi du changement actuel (13) sous la forme :

En comparant cette expression avec la loi du changement de charge, nous voyons que la phase actuelle, égale à, est supérieure d'un montant à la phase de charge. Dans ce cas, ils disent que le courant en avance en phase charger sur ; ou déphasage entre le courant et la charge est égal à ; ou Différence de phase entre le courant et la charge est égal à .

L'avance du courant de charge en phase se manifeste graphiquement par le fait que le graphique du courant est décalé gauche allumé par rapport au graphique de charge. L'intensité du courant atteint par exemple son maximum un quart de période avant que la charge n'atteigne son maximum (et un quart de période correspond exactement à la différence de phase).

Oscillations électromagnétiques forcées

Comme vous vous en souvenez, oscillations forcées surviennent dans le système sous l’influence d’une force de forçage périodique. La fréquence des oscillations forcées coïncide avec la fréquence de la force motrice.

Des oscillations électromagnétiques forcées se produiront dans un circuit connecté à une source de tension sinusoïdale (Fig. 12).

Riz. 12. Vibrations forcées

Si la tension source change selon la loi :

alors des oscillations de charge et de courant se produisent dans le circuit avec une fréquence cyclique (et avec une période, respectivement). La source de tension alternative semble « imposer » sa fréquence d’oscillation au circuit, faisant oublier sa propre fréquence.

L'amplitude des oscillations forcées de charge et de courant dépend de la fréquence : plus l'amplitude est grande, plus la fréquence propre du circuit est proche. résonance- une forte augmentation de l'amplitude des oscillations. Nous parlerons de résonance plus en détail dans la prochaine feuille de travail sur le courant alternatif.