Parfois, dans les équations, certains coefficients ne sont pas donnés par des valeurs numériques spécifiques, mais sont indiqués par des lettres.

Exemple: hache+b=c.

Dans cette équation X- inconnu, une, b, c– des coefficients qui peuvent prendre différentes valeurs numériques. Les coefficients ainsi spécifiés sont appelés paramètres.

Une équation avec des paramètres définit plusieurs équations (pour toutes les valeurs de paramètres possibles).

Exemple : –5 X+10=– 1;

X+4y= 0;

–102–1000y=; etc.

ce sont toutes les équations spécifiées par l'équation avec paramètres hache+b=c.

Résoudre une équation avec des paramètres signifie :

1. Indiquez à quelles valeurs des paramètres l'équation a des racines et combien il y en a à différentes significations paramètres.

2. Trouvez toutes les expressions pour les racines et indiquez pour chacune d'elles les valeurs des paramètres pour lesquelles cette expression détermine la racine de l'équation.

Passons à l'équation déjà donnée avec paramètres hache+b=c et nous le résoudrons.

Si UN¹0, puis https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41"> ;

à une=0 Et b = c, x– n'importe quel nombre réel ;

à une=0 Et b¹ c, l'équation n'a pas de racines.

En train de résoudre cette équation, nous avons isolé la valeur du paramètre une=0, auquel se produit un changement qualitatif dans l'équation, nous appellerons en outre cette valeur du paramètre « contrôle ». Selon l'équation dont nous disposons, les valeurs « de contrôle » du paramètre se trouvent différemment. Examinons différents types d'équations et indiquons comment trouver les valeurs de « contrôle » du paramètre.

I. Equations linéaires à paramètre et équations réductibles à des équations linéaires

Dans de telles équations, les valeurs « de contrôle » des paramètres sont, en règle générale, les valeurs qui rendent les coefficients à zéro. X.

Exemple 1. : 2UN(UN–2)x = une– 2

1. Les valeurs « de contrôle » sont des valeurs qui satisfont à la condition :

2UN(UN–2)=0

Résolvons cette équation pour la variable UN.

2une = 0 ou UN–2= 0, d'où une = 0, une = 2.

2. Résolvons l'équation initiale pour les valeurs de « contrôle » du paramètre.

À une = 0 nous avons 0× x=– 2, mais ce n'est le cas pour aucune valeur réelle X, c'est-à-dire que dans ce cas l'équation n'a pas de racines.

À une = 2 nous avons 0× x= 0, ceci est vrai pour n'importe quelle valeur X, ce qui signifie que la racine de l'équation est n'importe quel nombre réel X.

3. Résolvons l’équation originale dans le cas où UN¹ 0 et UN¹ 2 puis 2 UN(UN–2)¹ 0 et les deux côtés de l’équation peuvent être divisés par 2 UN(UN–2), on obtient :

Parce que UN¹ 2, alors la fraction peut être réduite de ( UN–2), alors nous avons .

Répondre:à une = 0, pas de racines ;

à une = 2, racine – n'importe quel nombre réel ;

à UN¹ 0, UN¹ 2, .

On peut imaginer un algorithme pour résoudre ce type d'équation.

1. Déterminez les valeurs « de contrôle » du paramètre.

2. Résolvez l’équation de X, aux valeurs des paramètres de contrôle.

3. Résolvez l’équation de X, à des valeurs différentes de celles du « contrôle ».

4. Écrivez la réponse sous la forme :

Réponse : 1) pour les valeurs des paramètres..., l'équation a des racines... ;

2) pour les valeurs des paramètres..., l'équation a des racines... ;

3) pour les valeurs du paramètre..., l'équation n'a pas de racines.

Exemple 2. Résoudre l'équation avec le paramètre

(UN 2–2UN+1)x=une 2+2UN- 3

1. Trouver les valeurs de contrôle du paramètre

UN 2–2UN+1=0 Û ( UN–1)2=0Û UN=1

2. Résolvez l’équation de une = 1

0× x=(1+2×1–3) Û 0× x= 0 Þ X– n’importe quel nombre réel.

3. Résolvez l’équation de UN¹ 1

UN 2–2UN+1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

parce que UN¹ 1, la fraction peut être réduite

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width="64" height="41 src=">.

Exemple 3. Résoudre l'équation avec le paramètre

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width="72" height="41 src=">.

4. Répondre: 1) quand une = 2, pas de racines ;

2) quand UN¹ 0,UN¹ 2, ;

3) quand une = L'équation 0 n'a pas de sens.

Exemple 4. Résoudre l'équation avec le paramètre

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

parce que X¹ 0 et UN¹ – 2, l'équation est équivalente à l'équation

(UN+3)x= 2UN–1

trouvons les valeurs de contrôle du paramètre

UN+3= 0 Þ une=– 3.

2. Résolvez l’équation de une=– 3.

0× x=– 7

à n'importe X il n'y a pas d'égalité

3. Résolvez l’équation de UN¹ – 3, un+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

par conséquent, pour que l'équation ait un sens https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">, il n'y a pas de racines ;

2) quand UN¹ – 2, UN¹ – 3, , .

II. Équations quadratiques avec un paramètre et équations réductibles aux équations quadratiques

Dans de telles équations, les valeurs du paramètre qui rendent le coefficient à zéro zéro sont généralement prises comme « contrôle » X 2, puisque dans ce cas l'équation devient linéaire, ainsi que la valeur du paramètre, ce qui fait disparaître le discriminant de l'équation, puisque le nombre dépend de la valeur du discriminant vraies racineséquation quadratique.

Exemple 5. Résoudre l'équation avec le paramètre

(UN–1)X 2+2(2UN+1)X+(4UN+3)= 0

1. Trouvons les valeurs des paramètres qui rendent le coefficient à zéro X

UN- 1=0 Û une = 1

2. Résolvez l’équation de une = 1

0× X 2+2(2×1+1) X+4×1+3=0 Û 6 X+7=0 Û .

3. Trouvons les valeurs du paramètre qui font disparaître le discriminant de l'équation

D=(2(2UN+1))2–4(UN–1)(4UN+3)=(4UN+1)2–(4UN–4)(4UN+3)=4(5UN+4)

4(5UN+4)=0 Û .

4. Résolvons l’équation de , dans ce cas l’équation aura une racine réelle

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9X 2+6X+1=0 Û (3 X+1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. Dans ce cas D<0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. Résolvez l’équation de UN N° 1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

7. Répondre: 1) avec https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src="> ;

2) quand une = 1, ;

3) pour , il n’y a pas de vraies racines ;

4) à et UN N° 1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. Depuis UN est au dénominateur de la fraction, alors l'équation n'a de sens que lorsque UN#0. Le dénominateur contient également les expressions a2x– 2UN et 2- Oh, qui doit également être différent de zéro

a2x– 2UN¹0 Û UN(Oh–2)¹0Û UN¹0, Oh–2¹0Û UN¹0, ;

2–Oh¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

2. Résolvez l’équation de UN¹0, https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

(1–UN)X 2+2X+1+UN=0 ...................(*)

3. Trouvons les valeurs des paramètres qui rendent le coefficient à zéro X 2

1–UN=0 Û UN=1

4. Résolvez l'équation (*) pour UN=1

0× X 2+2X+2=0 Û 2 x=– 2 Û x=–1

Vérifions tout de suite si cela correspond X de https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src=">, ce qui signifie que lorsque UN=1, x=– 1.

Cible:

• répéter la solution des systèmes équations linéaires avec deux variables
• définir un système d'équations linéaires avec des paramètres
• vous apprendra à résoudre des systèmes d'équations linéaires avec des paramètres.

Pendant les cours

1. Organisation du temps
2. Répétition
3. Explication nouveau sujet
4. Consolidation
5. Résumé de la leçon
6. Devoirs

2. Répétition :

I. Équation linéaire à une variable :

1. Définir une équation linéaire avec une variable

[Une équation de la forme ax=b, où x est une variable, a et b sont des nombres, est appelée une équation linéaire à une variable]

2. Combien de racines une équation linéaire peut-elle avoir ?

[- Si a=0, b0, alors l'équation n'a pas de solution, x

Si a=0, b=0, alors x R

Si a0, alors l’équation a une solution unique, x =

3. Découvrez combien de racines l'équation a (selon les options)

II. Équation linéaire à 2 variables et système d'équations linéaires à 2 variables.

1. Définir une équation linéaire à deux variables. Donne un exemple.

[Une équation linéaire à deux variables est une équation de la forme ax + by = c, où x et y sont des variables, a, b et c sont des nombres. Par exemple, x-y=5]

2. Qu'appelle-t-on résoudre une équation à deux variables ?

[Une solution à une équation à deux variables est une paire de valeurs de variables qui transforme l'équation en une véritable égalité.]

3. La paire de valeurs des variables x = 7, y = 3 est-elle une solution de l'équation 2x + y = 17 ?

4. Comment s'appelle le graphique d'une équation à deux variables ?

[Le graphique d'une équation à deux variables est l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées dont les coordonnées sont des solutions à cette équation.]

5. Découvrez quel est le graphique de l’équation :

[Exprimons la variable y à travers x : y=-1,5x+3

La formule y=-1,5x+3 est une fonction linéaire dont le graphique est une ligne droite. Puisque les équations 3x+2y=6 et y=-1,5x+3 sont équivalentes, cette droite est aussi un graphique de l'équation 3x+2y=6]

6. Quel est le graphique de l'équation ax+bу=c avec les variables x et y, où a0 ou b0 ?

[Le graphique d'une équation linéaire à deux variables dans laquelle au moins un des coefficients des variables n'est pas nul est une ligne droite.]

7. Qu'appelle-t-on résoudre un système d'équations à deux variables ?

[Une solution d'un système d'équations à deux variables est une paire de valeurs de variables qui transforme chaque équation du système en une véritable égalité]

8. Que signifie résoudre un système d’équations ?

[Résoudre un système d'équations signifie trouver toutes ses solutions ou prouver qu'il n'y a pas de solutions.]

9. Découvrez si un tel système a toujours des solutions et, si oui, combien (graphiquement).

10. Combien de solutions un système de deux équations linéaires à deux variables peut-il avoir ?

[La seule solution est que les lignes se croisent ; n'a pas de solutions si les droites sont parallèles ; une infinité si les lignes coïncident]

11. Quelle équation définit habituellement une ligne droite ?

12. Établir un lien entre les coefficients d'angle et les termes libres :

Option I : y=-x+2 y= -x-3, k 1 = k 2 , b 1 b 2, pas de solutions ;

Option II : y=-x+8 y=2x-1, k 1 k 2 , une solution ;

Option III : y=-x-1 y=-x-1, k 1 = k 2, b 1 = b 2, plusieurs solutions.

Conclusion:

1. Si pistes les lignes qui sont des graphiques de ces fonctions sont différentes, alors ces lignes se croisent et le système a une solution unique.
2. Si les coefficients angulaires des lignes sont les mêmes et que les points d'intersection avec l'axe y sont différents, alors les lignes sont parallèles et le système n'a pas de solutions.
3. Si les coefficients angulaires et les points d'intersection avec l'axe y sont les mêmes, alors les lignes coïncident et le système a une infinité de solutions.

Il y a un tableau au tableau que l'enseignant et les élèves remplissent progressivement.

III. Explication d'un nouveau sujet.

Définition : Afficher le système

• A 1 x+B 1 y=C
• UNE 2 x+B 2 y=C 2

où A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 sont des expressions dépendant des paramètres, et x et y sont inconnus, est appelé un système de deux linéaires équations algébriques avec deux paramètres inconnus.

Les cas suivants sont possibles :

1) Si , alors le système a une solution unique

2) Si , alors le système n'a pas de solutions

3) Si , alors le système a une infinité de solutions.

IV. Consolidation

Exemple 1.

A quelles valeurs du paramètre a le système

• 2x - 3 ans = 7
• ah - 6 ans = 14

a) a ensemble infini les décisions;

b) a une solution unique

Répondre:

a) si a=4, alors le système a un nombre infini de solutions ;

b) si un4, alors il n’y a qu’une seule solution.

Exemple 2.

Résoudre le système d'équations

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Solution : a) , c'est-à-dire pour m1, le système a une solution unique.

b), c'est-à-dire pour m=1 (2=m+1) et n1 le système d'origine n'a pas de solutions

c) , pour m=1 et n=1 le système a une infinité de solutions.

Réponse : a) si m=1 et n1, alors il n'y a pas de solutions

b) m=1 et n=1, alors la solution est un ensemble infini

• oui - n'importe lequel
• x=n-2y

c) si m1 et n sont quelconques, alors

Exemple 3.

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

Solution : À partir de l'équation II, nous trouvons x = 1-ay et remplaçons l'équation I par l'équation

а(1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 ans-3а=2а+3

A 2 ans-3 ans=a+3

UNE(une+3)y=une+3

Cas possibles :

1) une = 0. L’équation ressemble alors à 0*y=3 [y]

Donc pour a=0 le système n’a pas de solutions

2) une=-3. Alors 0*y=0.

Par conséquent, y. Dans ce cas x=1-ау=1+3у

3) a0 et a-3. Alors y=-, x=1-a(-=1+1=2

Répondre:

1) si a=0, alors (x; y)

2) si a=-3, alors x=1+3y, y

3) si un0 et a?-3, alors x=2, y=-

Considérons la deuxième méthode de résolution du système (1).

Résolvons le système (1) en utilisant la méthode de l'addition algébrique : multiplions d'abord la première équation du système par B 2, la seconde par B 1 et additionnons ces équations terme par terme, éliminant ainsi la variable y :

Parce que A 1 B 2 -A 2 B 1 0, alors x =

Éliminons maintenant la variable x. Pour ce faire, multipliez la première équation du système (1) par A 2, et la seconde par A 1, et additionnez les deux équations terme par terme :

• A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
• y(UNE 2 B 1 -UNE 1 B 2) = UNE 2 C 1 -UNE 1 C 2

parce que A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

Pour faciliter la résolution du système (1), nous introduisons la notation suivante :

- déterminant principal

Maintenant, la solution du système (1) peut être écrite en utilisant des déterminants :

Les formules données sont appelées formules de Cramer.

Si , alors le système (1) a une solution unique : x= ; y=

Si , ou , alors le système (1) n'a pas de solutions

Si , , , , alors le système (1) a un nombre infini de solutions.

Dans ce cas, le système doit être étudié plus en détail. Dans ce cas, en règle générale, il est réduit à une seule équation linéaire. Dans ce cas, il est souvent pratique d'étudier le système de la manière suivante : en résolvant l'équation, on trouve des valeurs spécifiques des paramètres ou on exprime l'un des paramètres en fonction des autres et on substitue ces valeurs de paramètres dans le système. On obtient alors un système avec des coefficients numériques spécifiques ou avec un plus petit nombre de paramètres, qu'il faut étudier.

Si les coefficients A 1 , A 2 , B 1 , B 2 du système dépendent de plusieurs paramètres, alors il convient d'étudier le système à l'aide des déterminants du système.

Exemple 4.

Pour toutes les valeurs du paramètre a, résolvez le système d'équations

• (une+5)x+(2une+3)y=3une+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Solution : Trouvons le déterminant du système :

= (une+5)(5une+6) – (3une+10) (2une+3)= 5une 2 +31une+30-6une 2 -29une-30=-une 2 +2une=une(2-une)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

À tâches avec paramètre peut inclure, par exemple, la recherche de solutions aux problèmes linéaires et équations du second degré V vue générale, étude de l'équation du nombre de racines disponibles en fonction de la valeur du paramètre.

Sans donner de définitions détaillées, considérons les équations suivantes à titre d'exemples :

y = kx, où x, y sont des variables, k est un paramètre ;

y = kx + b, où x, y sont des variables, k et b sont des paramètres ;

ax 2 + bx + c = 0, où x sont des variables, a, b et c sont un paramètre.

Résoudre une équation (inégalité, système) avec un paramètre signifie, en règle générale, résoudre un ensemble infini d'équations (inégalités, systèmes).

Les tâches avec un paramètre peuvent être divisées en deux types :

UN) la condition dit : résoudre l'équation (inégalité, système) - cela signifie, pour toutes les valeurs du paramètre, trouver toutes les solutions. Si au moins un cas reste sans enquête, une telle solution ne peut être considérée comme satisfaisante.

b) il est nécessaire d'indiquer les valeurs possibles du paramètre pour lequel l'équation (inégalité, système) a certaines propriétés. Par exemple, a une solution, n'a pas de solutions, a des solutions, appartenant à l'intervalle etc. Dans de telles tâches, il est nécessaire d'indiquer clairement à quelle valeur de paramètre la condition requise est remplie.

Le paramètre, étant un nombre fixe inconnu, possède une sorte de dualité particulière. Tout d'abord, il faut garder à l'esprit que la popularité supposée indique que le paramètre doit être perçu comme un nombre. Deuxièmement, la liberté de manipuler le paramètre est limitée par son obscurité. Par exemple, les opérations de division par une expression contenant un paramètre ou d'extraction de la racine même degré d'une telle expression nécessitent des recherches préalables. Il faut donc faire preuve de prudence lors de la manipulation du paramètre.

Par exemple, pour comparer deux nombres -6a et 3a, il faut considérer trois cas :

1) -6a sera supérieur à 3a si a est un nombre négatif ;

2) -6a = 3a dans le cas où a = 0 ;

3) -6a sera inférieur à 3a si a est un nombre positif 0.

La solution sera la réponse.

Soit l'équation kx = b. Cette équation est une forme abrégée d’un nombre infini d’équations à une variable.

Lors de la résolution de telles équations, il peut y avoir des cas :

1. Soit k n’importe quel nombre réel non égal à zéro et b n’importe quel nombre de R, alors x = b/k.

2. Soit k = 0 et b ≠ 0, l'équation originale prendra la forme 0 x = b. Évidemment, cette équation n’a pas de solution.

3. Soient k et b des nombres égaux à zéro, alors nous avons l'égalité 0 x = 0. Sa solution est n'importe quel nombre réel.

Un algorithme pour résoudre ce type d'équation :

1. Déterminez les valeurs « de contrôle » du paramètre.

2. Résolvez l'équation originale de x pour les valeurs des paramètres déterminées dans le premier paragraphe.

3. Résolvez l'équation originale de x pour des valeurs de paramètres différentes de celles choisies dans le premier paragraphe.

4. Vous pouvez écrire la réponse sous la forme suivante :

1) pour ... (valeurs des paramètres), l'équation a des racines ... ;

2) pour ... (valeurs des paramètres), il n'y a pas de racines dans l'équation.

Exemple 1.

Résolvez l'équation avec le paramètre |6 – x| = une.

Solution.

Il est facile de voir que a ≥ 0 ici.

D’après la règle du module 6 – x = ±a, on exprime x :

Réponse : x = 6 ± a, où a ≥ 0.

Exemple 2.

Résolvez l'équation a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 par rapport à la variable x.

Solution.

Ouvrons les parenthèses : aх – а + 2х – 2 = 0

Écrivons l'équation sous forme standard : x(a + 2) = a + 2.

Si l'expression a + 2 n'est pas nulle, c'est-à-dire si a ≠ -2, on a la solution x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), c'est-à-dire x = 1.

Si a + 2 est égal à zéro, c'est à dire a = -2, alors nous avons l'égalité correcte 0 x = 0, donc x est n'importe quel nombre réel.

Réponse : x = 1 pour a ≠ -2 et x € R pour a = -2.

Exemple 3.

Résolvez l'équation x/a + 1 = a + x par rapport à la variable x.

Solution.

Si a = 0, alors nous transformons l'équation sous la forme a + x = a 2 + ax ou (a – 1)x = -a(a – 1). La dernière équation pour a = 1 a la forme 0 x = 0, donc x est n'importe quel nombre.

Si a ≠ 1, alors la dernière équation prendra la forme x = -a.

Cette solution peut être illustrée sur la ligne de coordonnées (Fig. 1)

Réponse : il n'y a pas de solutions pour a = 0 ; x – n'importe quel nombre avec a = 1 ; x = -a pour a ≠ 0 et a ≠ 1.

Méthode graphique

Considérons une autre façon de résoudre des équations avec un paramètre - graphiquement. Cette méthode est utilisée assez souvent.

Exemple 4.

En fonction du paramètre a, combien de racines l'équation ||x| – 2| = un ?

Solution.

Pour des solutions méthode graphique construire des graphiques de fonctions y = ||x| – 2| et y = une (Fig.2).

Le dessin montre clairement les cas possibles de localisation de la droite y = a et le nombre de racines dans chacune d'elles.

Réponse : l'équation n'aura pas de racines si une< 0; два корня будет в случае, если a >2 et a = 0 ; l'équation aura trois racines dans le cas de a = 2 ; quatre racines – à 0< a < 2.

Exemple 5.

À quoi correspond l'équation 2|x| + |x – 1| = a a une seule racine ?

Solution.

Représentons les graphiques des fonctions y = 2|x| + |x – 1| et y = une. Pour y = 2|x| + |x – 1|, en développant les modules en utilisant la méthode des intervalles, on obtient :

(-3x + 1, à x< 0,

y = (x + 1, pour 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, pour x > 1.

Sur figure 3 On voit clairement que l’équation n’aura une racine unique que lorsque a = 1.

Réponse : a = 1.

Exemple 6.

Déterminer le nombre de solutions de l'équation |x + 1| + |x + 2| = a en fonction du paramètre a ?

Solution.

Graphique de la fonction y = |x + 1| + |x + 2| sera une ligne brisée. Ses sommets seront situés aux points (-2 ; 1) et (-1 ; 1) (Figure 4).

Réponse : si le paramètre a est inférieur à un, alors l'équation n'aura pas de racines ; si a = 1, alors la solution de l'équation est un ensemble infini de nombres du segment [-2 ; -1]; si les valeurs du paramètre a sont supérieures à un, alors l'équation aura deux racines.

Vous avez encore des questions ? Vous ne savez pas comment résoudre des équations avec un paramètre ?
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Résolvons un système d'équations avec un paramètre (A. Larin, option 98)

Trouver toutes les valeurs du paramètre, pour chacune desquelles le système

a exactement une solution.

Regardons de plus près le système. Dans la première équation du système, le côté gauche est , et le côté droit ne dépend pas du paramètre. Autrement dit, nous pouvons considérer cette équation comme l’équation de la fonction

et nous pouvons tracer cette fonction.

Deuxième équation du système

dépend du paramètre, et en mettant en évidence sur le côté gauche de l'équation un carré parfait, on obtient l'équation d'un cercle.

Il est donc logique de tracer des graphiques de chaque équation et de voir à quelle valeur du paramètre ces graphiques ont un point d'intersection.

Commençons par la première équation. Commençons par ouvrir les modules. Pour ce faire, nous assimilons chaque expression sous-modulaire à zéro afin de trouver les points auxquels le signe change.

La première expression sous-modulaire change de signe à , la seconde - à .

Traçons ces points sur la ligne de coordonnées et trouvons les signes de chaque expression sous-modulaire sur chaque intervalle :

Notez que l’équation pour et n’a pas de sens, nous ponçons donc ces points.

Développons maintenant les modules sur chaque intervalle. (Rappelez-vous : si une expression sous-modulaire est supérieure ou égale à zéro, alors nous développons le module avec le même signe, et si elle est inférieure à zéro, alors avec le signe opposé.)

Les deux expressions sous-modulaires sont négatives, nous développons donc les deux modules avec le signe opposé :

Autrement dit, lorsque la fonction d'origine a la forme

Sur cet intervalle, la première expression sous-modulaire est négative, et la seconde est positive, on obtient donc :

- la fonction n'existe pas sur cet intervalle.

3. titre="x>2">!}

Sur cet intervalle, les deux expressions sous-modulaires sont positives ; on développe les deux modules avec le même signe. On a:

Autrement dit, avec title="x>2"> исходная функция имеет вид !}

Nous avons donc le graphique de la fonction

Examinons maintenant la deuxième équation :

Sélectionnons un carré complet du côté gauche de l’équation ; pour ce faire, ajoutez le chiffre 4 aux deux côtés de l’équation :

Pour une valeur spécifique du paramètre, le graphique de cette équation est un cercle dont le centre est en un point de coordonnées , dont le rayon est 5. Pour différentes significations nous avons une série de cercles :

Nous allons déplacer le cercle de bas en haut jusqu'à ce qu'il touche le côté gauche du graphique de la première fonction. Sur la photo, ce cercle est rouge. Le centre de ce cercle est le point, ses coordonnées sont (-2;-3). De plus, lorsqu'il se déplace vers le haut, le cercle a un point d'intersection avec le côté gauche du graphique de fonctions, c'est-à-dire que le système a une solution unique.

Nous continuons à déplacer le cercle jusqu'à ce qu'il touche le côté droit du graphique de la première fonction. Cela se produira lorsque le centre du cercle sera au point de coordonnées (-2;0) - sur la figure, ce cercle est bleu.

En se déplaçant plus haut, le cercle coupera les parties gauche et droite du graphique de la première fonction, c'est-à-dire que le cercle aura deux points d'intersection avec le graphique de la première fonction et le système aura deux solutions. Cette situation continue jusqu'à ce que le centre du cercle soit au point de coordonnées (-2 ; 5) - ce cercle est vert. À ce stade, le cercle touche le côté gauche du graphique et coupe le côté droit. Autrement dit, le système a une solution.

Ainsi, le système a une solution unique lorsque(-3;0] où \ sont des variables, \ est un paramètre ;

\[y = kx + b,\] où \ sont des variables, \ est un paramètre ;

\[аx^2 + bх + с = 0,\] où \ est une variable, \[а, b, с\] est un paramètre.

Résoudre une équation avec un paramètre signifie, en règle générale, résoudre un ensemble infini d'équations.

Cependant, en suivant un certain algorithme, vous pouvez facilement résoudre les équations suivantes :

1. Déterminez les valeurs « de contrôle » du paramètre.

2. Résolvez l'équation originale pour [\x\] avec les valeurs des paramètres définies dans le premier paragraphe.

3. Résolvez l'équation originale pour [\x\] pour des valeurs de paramètres différentes de celles choisies dans le premier paragraphe.

Disons qu'on nous donne l'équation suivante :

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

Après avoir analysé les données initiales, il apparaît clairement qu'un \[\ge 0.\]

D'après la règle du module \ on exprime \

Réponse : \où\

Où puis-je résoudre une équation avec un paramètre en ligne ?

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