X = X moyenne X

Absolu

erreur

Relatif

erreur

un+ b

un+ b

Termes erreur de mesure Et erreur de mesure sont utilisés de manière interchangeable.) Il n’est possible d’estimer l’ampleur de cet écart, par exemple, qu’en utilisant des méthodes statistiques. En même temps, pour véritable signification la valeur statistique moyenne obtenue à partir de traitement statistique résultats d’une série de mesures. Cette valeur obtenue n'est pas exacte, mais seulement la plus probable. Il est donc nécessaire d’indiquer dans les mesures quelle est leur précision. Pour ce faire, l'erreur de mesure est indiquée ainsi que le résultat obtenu. Par exemple, enregistrez T = 2,8 ± 0,1 c. signifie que la vraie valeur de la quantité T se situe dans la gamme de 2,7 s. avant 2,9 s. une probabilité spécifiée (voir intervalle de confiance, probabilité de confiance, erreur standard).

En 2006, un nouveau document a été adopté au niveau international, dictant les conditions de réalisation des mesures et établissant de nouvelles règles de comparaison des normes nationales. Le concept d’« erreur » est devenu obsolète et le concept d’« incertitude de mesure » a été introduit à la place.

Détermination de l'erreur

En fonction des caractéristiques de la grandeur mesurée, diverses méthodes sont utilisées pour déterminer l'erreur de mesure.

• La méthode Kornfeld consiste à choisir un intervalle de confiance allant du résultat de mesure minimum au résultat de mesure maximum, et l'erreur égale à la moitié de la différence entre le résultat de mesure maximum et minimum :

• Erreur quadratique moyenne :

• Erreur quadratique moyenne de la moyenne arithmétique :

Classement des erreurs

Selon formulaire de présentation

• Erreur absolue - Δ X est une estimation de l’erreur de mesure absolue. L'ampleur de cette erreur dépend de la méthode de calcul, qui, à son tour, est déterminée par la distribution de la variable aléatoire. X meuns . Dans ce cas l'égalité :

Δ X = | X trtoie − X meuns | ,

Où X trtoie est la vraie valeur, et X meuns - la valeur mesurée doit être respectée avec une certaine probabilité proche de 1. Si valeur aléatoire X meuns est distribué selon la loi normale, alors, généralement, son écart type est considéré comme l'erreur absolue. L'erreur absolue est mesurée dans les mêmes unités que la quantité elle-même.

• Erreur relative- le rapport de l'erreur absolue à la valeur acceptée comme vraie :

L'erreur relative est une quantité sans dimension ou mesurée en pourcentage.

• Erreur réduite- erreur relative, exprimée comme le rapport de l'erreur absolue de l'instrument de mesure à la valeur conventionnellement acceptée d'une grandeur, constante sur toute la plage de mesure ou dans une partie de la plage. Calculé par la formule

Où X n- valeur de normalisation, qui dépend du type de balance instrument de mesure et est déterminé par sa graduation :

Si l'échelle de l'instrument est unilatérale, c'est-à-dire la limite inférieure de mesure est zéro, alors X n déterminé égal à la limite supérieure de mesure ;
- si l'échelle de l'instrument est double face, alors la valeur de normalisation est égale à la largeur de la plage de mesure de l'instrument.

L'erreur donnée est une quantité sans dimension (peut être mesurée en pourcentage).

En raison de l'apparition

• Erreurs instrumentales/instrumentales- les erreurs qui sont déterminées par les erreurs des instruments de mesure utilisés et sont causées par des imperfections dans le principe de fonctionnement, l'imprécision de l'étalonnage de la balance et le manque de visibilité de l'appareil.
• Erreurs méthodologiques- les erreurs dues à l'imperfection de la méthode, ainsi que les simplifications qui sous-tendent la méthodologie.
• Erreurs subjectives / de l'opérateur / personnelles- les erreurs dues au degré d'attention, de concentration, de préparation et d'autres qualités de l'opérateur.

En technologie, les instruments sont utilisés pour mesurer uniquement avec une certaine précision prédéterminée - la principale erreur autorisée par la normale dans des conditions normales de fonctionnement pour un appareil donné.

Si l'appareil fonctionne dans des conditions autres que la normale, une erreur supplémentaire se produit, augmentant l'erreur globale de l'appareil. Les erreurs supplémentaires incluent : la température, causée par un écart de température environnement par rapport à l'installation normale, en raison d'un écart de la position de l'appareil par rapport à la position de fonctionnement normale, etc. La température ambiante normale est considérée comme étant de 20°C, et la température normale Pression atmosphérique 01,325 kPa.

Une caractéristique généralisée des instruments de mesure est la classe de précision, déterminée par les erreurs principales et supplémentaires maximales admissibles, ainsi que d'autres paramètres affectant la précision des instruments de mesure ; la signification des paramètres est établie par des normes pour certains types d'instruments de mesure. La classe de précision des instruments de mesure caractérise leurs propriétés de précision, mais n'est pas un indicateur direct de la précision des mesures effectuées à l'aide de ces instruments, puisque la précision dépend également de la méthode de mesure et des conditions de leur mise en œuvre. Les instruments de mesure, dont les limites de l'erreur de base tolérée sont spécifiées sous la forme des erreurs de base (relatives) données, se voient attribuer des classes de précision sélectionnées parmi les nombres suivants : (1 ; 1,5 ; 2,0 ; 2,5 ; 3,0 ; 4,0 ; 5,0 ; 6,0)*10n, où n = 1; 0 ; -1; -2, etc

Par nature de manifestation

• Erreur aléatoire- erreur qui varie (en ampleur et en signe) d'une mesure à l'autre. Des erreurs aléatoires peuvent être associées à l'imperfection des instruments (frottement dans les dispositifs mécaniques, etc.), aux secousses en conditions urbaines, à l'imperfection de l'objet de mesure (par exemple, lors de la mesure du diamètre d'un fil fin, qui peut ne pas avoir une forme complètement ronde section transversale résultant d'imperfections dans le processus de fabrication), avec les caractéristiques de la grandeur mesurée elle-même (par exemple, lors de la mesure de la grandeur particules élémentaires passant par minute à travers un compteur Geiger).
• Erreur systématique- une erreur qui évolue dans le temps selon une certaine loi (un cas particulier est une erreur constante qui ne change pas dans le temps). Des erreurs systématiques peuvent être associées à des erreurs d'instruments (échelle, calibrage incorrecte, etc.) non prises en compte par l'expérimentateur.
• Erreur progressive (dérive)- une erreur imprévisible qui évolue lentement avec le temps. C'est un processus aléatoire non stationnaire.
• Erreur grossière (manque)- une erreur résultant d'un oubli de l'expérimentateur ou d'un dysfonctionnement de l'équipement (par exemple, si l'expérimentateur a mal lu le nombre de divisions sur l'échelle de l'instrument, si un court-circuit s'est produit dans le circuit électrique).

À notre époque, l’homme a inventé et utilise une grande variété d’instruments de mesure de toutes sortes. Mais quelle que soit la perfection de la technologie utilisée pour leur fabrication, ils comportent tous une erreur plus ou moins grande. Ce paramètre, en règle générale, est indiqué sur l'instrument lui-même, et pour évaluer l'exactitude de la valeur déterminée, vous devez être capable de comprendre ce que signifient les chiffres indiqués sur le marquage. De plus, des erreurs relatives et absolues surviennent inévitablement lors de calculs mathématiques complexes. Il est largement utilisé dans les statistiques, l'industrie (contrôle qualité) et dans plusieurs autres domaines. Comment cette valeur est calculée et comment interpréter sa valeur - c'est exactement ce qui sera discuté dans cet article.

Erreur absolue

Notons x la valeur approchée d'une grandeur, obtenue par exemple grâce à une seule mesure, et x 0 sa valeur exacte. Calculons maintenant l'ampleur de la différence entre ces deux nombres. L’erreur absolue est exactement la valeur que nous avons obtenue grâce à cette opération simple. Dans le langage des formules, cette définition peut s'écrire sous cette forme : Δ x = | x-x0 |.

Erreur relative

L'écart absolu présente un inconvénient important : il ne permet pas d'évaluer le degré d'importance de l'erreur. Par exemple, nous achetons 5 kg de pommes de terre au marché, et un vendeur peu scrupuleux, en mesurant le poids, a commis une erreur de 50 grammes en sa faveur. Autrement dit, l'erreur absolue était de 50 grammes. Pour nous, un tel oubli ne sera qu’une bagatelle et nous n’y prêterons même pas attention. Imaginez ce qui se passerait si une erreur similaire se produisait lors de la préparation du médicament ? Ici, tout sera bien plus sérieux. Et lors du chargement d’un wagon de marchandises, des écarts bien supérieurs à cette valeur sont susceptibles de se produire. Par conséquent, l’erreur absolue elle-même n’est pas très informative. En plus de cela, ils calculent très souvent en outre l'écart relatif, qui est égal au rapport de l'erreur absolue à la valeur exacte du nombre. Ceci est en cours d'enregistrement la formule suivante: δ = Δ X / X 0 .

Propriétés d'erreur

Supposons que nous ayons deux quantités indépendantes : x et y. Nous devons calculer l'écart de la valeur approximative de leur somme. Dans ce cas, nous pouvons calculer l’erreur absolue comme la somme des écarts absolus pré-calculés de chacun d’eux. Dans certaines mesures, il peut arriver que des erreurs dans la détermination des valeurs x et y s'annulent. Ou bien il peut arriver qu'à la suite d'une addition, les écarts s'intensifient au maximum. Par conséquent, lors du calcul de l’erreur absolue totale, le pire des cas doit être pris en compte. Il en va de même pour la différence entre les erreurs de plusieurs quantités. Cette propriété n'est caractéristique que de l'erreur absolue et elle ne peut pas être appliquée à l'écart relatif, car cela conduirait inévitablement à un résultat incorrect. Examinons cette situation à l'aide de l'exemple suivant.

Supposons que les mesures à l'intérieur du cylindre montrent que le rayon intérieur (R 1) est de 97 mm et le rayon extérieur (R 2) est de 100 mm. Il est nécessaire de déterminer l'épaisseur de sa paroi. Tout d'abord, trouvons la différence : h = R 2 - R 1 = 3 mm. Si le problème n'indique pas quelle est l'erreur absolue, celle-ci est alors considérée comme égale à la moitié de la division d'échelle de l'appareil de mesure. Ainsi, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. L'erreur absolue totale est : Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Calculons maintenant l’écart relatif de toutes les valeurs :

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Comme vous pouvez le constater, l'erreur dans la mesure des deux rayons ne dépasse pas 5,2 %, et l'erreur dans le calcul de leur différence - l'épaisseur de la paroi du cylindre - s'élevait à 33,(3) % !

La propriété suivante énonce : l'écart relatif du produit de plusieurs nombres est approximativement égal à la somme écarts relatifs facteurs individuels :

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

De plus, cette règle est valable quel que soit le nombre de valeurs évaluées. La troisième et dernière propriété de l’erreur relative est que l’estimation relative kième nombres diplôme environ en | k | multiplié par l'erreur relative du numéro d'origine.

Disons que nous exécutons une série de n mesures de la même quantité X. En raison d'erreurs aléatoires, les valeurs individuelles X 1 ,X 2 ,X 3, X n ne sont pas identiques et la moyenne arithmétique est égale à somme arithmétique toutes les valeurs mesurées divisées par le nombre de mesures :

. (P.1)

où å est le signe de la somme, je- numéro de mesure, n- nombre de mesures.

Donc, - la valeur la plus proche de la vraie. Personne ne connaît le vrai sens. Vous ne pouvez calculer que l'intervalle D X près , dans lequel la vraie valeur peut être localisée avec un certain degré de probabilité R.. Cet intervalle est appelé Intervalle de confiance. La probabilité avec laquelle la vraie valeur y tombe est appelée probabilité de confiance ou coefficient de fiabilité(puisque la connaissance de la probabilité de confiance permet d'évaluer le degré de fiabilité du résultat obtenu). Lors du calcul de l'intervalle de confiance diplôme requis la fiabilité est définie à l’avance. Elle est déterminée par des besoins pratiques (par exemple, des exigences plus strictes sont imposées aux pièces de moteurs d'avion qu'à celles d'un moteur de bateau). Évidemment, pour obtenir une plus grande fiabilité, il faut augmenter le nombre de mesures et leur rigueur.

Étant donné que les erreurs aléatoires des mesures individuelles sont soumises à des lois probabilistes, les méthodes statistiques mathématiques et les théories des probabilités permettent de calculer l'erreur quadratique moyenne de la valeur moyenne arithmétique Dx sl. Écrivons la formule de calcul sans preuve Dx cl pour un petit nombre de mesures ( n < 30).

La formule s'appelle la formule de Student :

, (A.2)

Où t n, p - Coefficient de Student, en fonction du nombre de mesures n et probabilité de confiance R..

Le coefficient de Student se trouve dans le tableau ci-dessous, après avoir préalablement déterminé, en fonction des besoins pratiques (comme mentionné ci-dessus), les valeurs n Et R..

Lors du traitement des résultats travail de laboratoire Il suffit d'effectuer 3 à 5 mesures et de prendre une probabilité de confiance égale à 0,68.

Mais il arrive qu'avec plusieurs mesures on obtienne les mêmes valeurs X. Par exemple, nous avons mesuré le diamètre du fil 5 fois et obtenu 5 fois la même valeur. Cela ne veut donc pas du tout dire qu’il n’y a pas d’erreur. Cela signifie seulement que l'erreur aléatoire de chaque mesure est plus petite précision dispositif d, également appelé salle d'instruments,ou instrumental, erreur. L'erreur instrumentale de l'appareil d est déterminée par la classe de précision de l'appareil spécifiée dans son passeport, ou indiquée sur l'appareil lui-même. Et parfois, il est considéré comme égal au prix de division de l'appareil (le prix de division de l'appareil est la valeur de sa plus petite division) ou à la moitié du prix de division (si la moitié du prix de division de l'appareil peut être déterminée approximativement par œil).

Puisque chacune des valeurs X j'ai été obtenu avec une erreur d, puis l'intervalle de confiance complet Dx, ou erreur de mesure absolue, est calculée à l'aide de la formule :

. (P.3)

A noter que si dans la formule (A.3) l'une des quantités est au moins 3 fois plus grande que l'autre, alors la plus petite est négligée.

L'erreur absolue en elle-même ne reflète pas la qualité des mesures prises. Par exemple, sur la seule base de l'information selon laquelle l'erreur absolue est de 0,002 m², on ne peut pas juger de la qualité de cette mesure. Une idée de la qualité des mesures effectuées est donnée par erreur relative e, égal au rapport erreur absolue à la valeur moyenne de la valeur mesurée. L'erreur relative indique la proportion de l'erreur absolue par rapport à la valeur mesurée. En règle générale, l'erreur relative est exprimée en pourcentage :

Regardons un exemple. Mesurez le diamètre de la balle à l'aide d'un micromètre dont l'erreur instrumentale est d = 0,01 mm. À la suite de trois mesures, les valeurs de diamètre suivantes ont été obtenues :

d 1 = 2,42 mm, d 2 = 2,44 mm, d 3 = 2,48 mm.

À l'aide de la formule (A.1), la valeur moyenne arithmétique du diamètre de la bille est déterminée

Puis, à l’aide du tableau des coefficients de Student, ils constatent que pour un niveau de confiance de 0,68 avec trois mesures t n, p = 1,3. Ensuite, à l'aide de la formule (A.2), calculez erreur aléatoire des mesures Jj sl

Étant donné que l'erreur aléatoire qui en résulte n'est que deux fois plus grande que l'erreur instrumentale, lors de la recherche de l'erreur de mesure absolue Jj selon (A.3), il convient de prendre en compte à la fois l’erreur aléatoire et l’erreur de l’instrument, c’est-à-dire

mm » ±0,03 mm.

L'erreur a été arrondie au centième de millimètre, car la précision du résultat ne peut dépasser la précision de l'appareil de mesure, qui est dans ce cas de 0,01 mm.

Le diamètre du fil est donc

mm.

Cette entrée suggère que la vraie valeur du diamètre de la balle avec une probabilité de 68 % se situe dans l'intervalle (2,42 ¸ 2,48) mm.

L'erreur relative e de la valeur obtenue selon (A.4) est

%.

Les dimensions sont appelées droit, si les valeurs des grandeurs sont déterminées directement par des instruments (par exemple, mesurer une longueur avec une règle, déterminer le temps avec un chronomètre, etc.). Les dimensions sont appelées indirect, si la valeur de la grandeur mesurée est déterminée par des mesures directes d'autres grandeurs associées à la relation spécifique mesurée.

Erreurs aléatoires dans les mesures directes

Erreur absolue et relative. Qu'il soit réalisé N mesures de la même quantité X en l’absence d’erreur systématique. Les résultats des mesures individuelles sont les suivants : X 1 ,X 2 , …,X N. La valeur moyenne de la valeur mesurée est sélectionnée comme la meilleure :

Erreur absolue d'une seule mesure est appelée une différence de la forme :

.

Erreur absolue moyenne N mesures unitaires :

(2)

appelé erreur absolue moyenne.

Erreur relative Le rapport de l'erreur absolue moyenne à la valeur moyenne de la grandeur mesurée est appelé :

. (3)

Erreurs d'instrument dans les mesures directes

S'il n'y a pas d'instructions particulières, l'erreur de l'instrument est égale à la moitié de sa valeur de division (règle, bécher).

L'erreur des instruments équipés d'un vernier est égale à la valeur de la division du vernier (micromètre - 0,01 mm, pied à coulisse - 0,1 mm).

L'erreur des valeurs du tableau est égale à une demi-unité du dernier chiffre (cinq unités de l'ordre suivant après le dernier chiffre significatif).

L'erreur des instruments de mesure électriques est calculée en fonction de la classe de précision AVEC indiqué sur l'échelle de l'instrument :

Par exemple:
Et
,

Où U maximum Et je maximum– limite de mesure de l'appareil.

L'erreur des appareils à affichage numérique est égale à l'un des derniers chiffres de l'affichage.

Après avoir évalué les erreurs aléatoires et instrumentales, celle dont la valeur est la plus élevée est prise en compte.

Calcul des erreurs dans les mesures indirectes

La plupart des mesures sont indirectes. Dans ce cas, la valeur souhaitée X est fonction de plusieurs variables UN,b, c… , dont les valeurs peuvent être retrouvées par mesures directes : X = f( un, b, c…).

La moyenne arithmétique du résultat des mesures indirectes sera égale à :

X = f( un, b, c…).

Une façon de calculer l’erreur consiste à différencier le logarithme népérien de la fonction X = f( un, b, c...). Si, par exemple, la valeur souhaitée X est déterminée par la relation X = , puis après logarithme on obtient : lnX = ln un+ln b+ln( c+ d).

Le différentiel de cette expression a la forme :

.

En ce qui concerne le calcul de valeurs approchées, l'erreur relative peut s'écrire sous la forme :

 =
. (4)

L'erreur absolue est calculée à l'aide de la formule :

Х = Х(5)

Ainsi, le calcul des erreurs et le calcul du résultat pour les mesures indirectes s'effectuent dans l'ordre suivant :

1) Mesurez toutes les quantités incluses dans la formule initiale pour calculer le résultat final.

2) Calculez les valeurs moyennes arithmétiques de chaque valeur mesurée et leurs erreurs absolues.

3) Remplacez les valeurs moyennes de toutes les valeurs mesurées dans la formule d'origine et calculez la valeur moyenne de la valeur souhaitée :

X = f( un, b, c…).

4) Logarithme de la formule originale X = f( un, b, c...) et notez l'expression de l'erreur relative sous la forme de la formule (4).

5) Calculer l'erreur relative  = .

6) Calculez l'erreur absolue du résultat à l'aide de la formule (5).

7) Le résultat final s’écrit :

Les erreurs absolues et relatives des fonctions les plus simples sont données dans le tableau :