La quantité de mouvement est une mesure du mouvement mécanique, si le mouvement mécanique se transforme en mécanique. Par exemple, le mouvement mécanique d'une boule de billard (Fig. 22) avant l'impact se transforme en mouvement mécanique des boules après l'impact. Pour un point, la quantité de mouvement est égale au produit .
La mesure de la force dans ce cas est l'impulsion de force
.
(9.1)
L'élan détermine l'action de la force 
sur une période de temps 
. Pour point matériel le théorème du changement de quantité de mouvement peut être utilisé sous forme différentielle 
(9.2) ou forme intégrale (finie) 
.
(9.3)
La variation de la quantité de mouvement d'un point matériel sur une certaine période de temps est égale à l'impulsion de toutes les forces appliquées à ce point pendant le même temps.
Figure 22
Lors de la résolution de problèmes, le théorème (9.3) est plus souvent utilisé dans les projections sur des axes de coordonnées 
;
;
(9.4)
.
En utilisant le théorème sur le changement de l'impulsion d'un point, il est possible de résoudre des problèmes dans lesquels un point ou un corps en mouvement de translation est soumis à l'action de forces constantes ou variables qui dépendent du temps, et les quantités données et recherchées incluent le temps de mouvement et vitesses au début et à la fin du mouvement. Les problèmes utilisant le théorème sont résolus dans l'ordre suivant :
1. choisissez un système de coordonnées ;
2. décrire toutes les forces et réactions (actives) données agissant sur un point ;
3. écrire un théorème sur le changement de l'impulsion d'un point dans les projections sur les axes de coordonnées sélectionnés ;
4. déterminer les quantités requises.
EXEMPLE 12.
Un marteau pesant G=2t tombe d'une hauteur h=1m sur la pièce en un temps t=0,01s et tamponne la pièce (Fig. 23). Déterminez la force de pression moyenne du marteau sur la pièce.
SOLUTION.
1. La pièce est soumise à la force de gravité du marteau 
et réaction du sol 
. Ordre de grandeur réaction au sol change avec le temps, alors considérez sa valeur moyenne 
.
2. diriger l'axe de coordonnées y verticalement vers le bas et appliquer le théorème sur la variation de l'impulsion d'un point de la projection sur cet axe : 
, (1) où 
-- vitesse du marteau en fin de coup ;
-- vitesse initiale du marteau au moment du contact avec la pièce.
3. Pour déterminer la vitesse 
Créons une équation différentielle du mouvement du marteau en projection sur l'axe y :
.
(2)
Séparons les variables et intégrons l'équation (2) deux fois : 
;
;
. On retrouve les constantes d'intégration C 1, C 2 à partir des conditions initiales. A t=0 V y =0, alors C 1 =0 ; y=0, alors C 2 =0. Le marteau se déplace donc selon la loi 
, (3) et la vitesse du marteau change selon la loi 
. (4) Exprimons le temps de mouvement du marteau de (3) et substituons-le dans (4) 
;
.
(5)
4. Projection de l'impulsion forces externes sur l'axe y on le trouve en utilisant la formule : 
. (6) Remplacer (5) et (6) par (1) : 
, d'où l'on retrouve la réaction du support, et, par conséquent, la pression souhaitée du marteau sur la pièce 
T.
Figure 24
Àoù M est la masse du système, V c est la vitesse le centre de masse. Le théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un système mécanique peut s'écrire sous forme différentielle et finie (intégrale) : 
;
.
(9.7)
. (9.5) La quantité de mouvement d'un système ou d'un corps rigide peut être déterminée en connaissant la masse du système et la vitesse du centre de masse 
,
(9.6)Changement de dynamique Système mécanique sur une certaine période de temps est égale à la somme des impulsions des forces extérieures agissant pendant le même temps. Parfois, il est plus pratique d'utiliser le théorème sur le changement de quantité de mouvement en projection sur les axes de coordonnées 
;
(9.8)
.
(9.9)
La loi de conservation de la quantité de mouvement stipule qu’en l’absence de forces extérieures, la quantité de mouvement d’un système mécanique reste constante. L’action des forces internes ne peut pas modifier la dynamique du système. D’après l’équation (9.6), il est clair que lorsque 
,
.
Si 
, Que 
ou 
.
D
hélice ou hélice, propulsion à réaction. Les calmars se déplacent par saccades, jetant de l'eau hors du sac musculaire comme un canon à eau (Fig. 25). L'eau repoussée a une quantité de mouvement, dirigé vers l’arrière. Le calmar reçoit la vitesse correspondante 
mouvement vers l'avant dû à la force de traction réactive 
, car avant que le calmar ne saute, la force 
équilibré par la gravité 
.
L'application du théorème sur le changement de quantité de mouvement nous permet d'exclure toutes les forces internes de la considération.
EXEMPLE 13.
Un treuil A avec un tambour de rayon r est installé sur une plate-forme ferroviaire autoportante sur les rails (Fig. 26). Le treuil est conçu pour déplacer une charge B de masse m 1 le long de la plate-forme. Poids de la plateforme avec treuil m 2. Le tambour du treuil tourne selon la loi 
. Au début, le système était mobile. En négligeant les frottements, trouvez la loi de changement de vitesse de la plate-forme après avoir allumé le treuil.
R. 
SOLUTION.
1. Considérez la plate-forme, le treuil et la charge comme un seul système mécanique, sur lequel des forces externes agissent : la gravité de la charge. 
et plateformes 
et réactions 
Et 
.
2. Puisque toutes les forces externes sont perpendiculaires à l’axe x, c’est-à-dire 
, on applique la loi de conservation de la quantité de mouvement d'un système mécanique en projection sur l'axe des x : 
. Au moment initial, le système était immobile, donc, 
Exprimons l'ampleur du mouvement du système à un moment arbitraire. La plateforme avance à une vitesse 
, la charge subit un mouvement complexe composé de mouvement relatif le long de la plate-forme à grande vitesse 
et mouvement portable avec la plate-forme à grande vitesse 
., où 
. La plateforme se déplacera dans le sens opposé au mouvement relatif de la charge.
EXEMPLE 14.
SOLUTION.
1. Appliquons le théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique en projection sur l'axe des x. Puisque toutes les forces externes agissant sur le système sont verticales, alors 
, Alors 
, où 
.
(1)
2. Exprimons la projection de la quantité de mouvement sur l'axe des x pour le système mécanique considéré 
,
t 2) (S-en mètres, t-en secondes), (Fig. 26). Déterminez la vitesse de la plaque au temps t 1 = 1s, en utilisant le théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un système mécanique.Où 
,
-- l'ampleur du mouvement de la plaque et de la charge, respectivement. 
;
, Où 
--vitesse absolue de la charge D. De l'égalité (1) il résulte que K 1x + K 2x =C 1 ou m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Pour déterminer V Dx, considérons le mouvement de la charge D comme complexe, en considérant son mouvement relatif à la plaque relative, et le mouvement de la plaque elle-même portable, alors 
,
(3)
;ou en projection sur l'axe des x : 
. (4) Remplaçons (4) par (2) : 
. (5) On détermine la constante d'intégration C 1 à partir des conditions initiales : à t=0 u=u 0 ; (m 1 + m 2)u 0 =C 1. (6) En substituant la valeur de la constante C 1 dans l'équation (5), nous obtenons 
MS.
Composé de n points matériels. Sélectionnons un certain point de ce système MJ avec masse mj. Comme on le sait, des forces externes et internes agissent sur ce point.
Appliquons-le au point MJ résultante de toutes les forces internes F j je et la résultante de toutes les forces extérieures F j e(Figure 2.2). Pour un point matériel sélectionné MJ(comme pour un point libre) on écrit le théorème sur le changement de quantité de mouvement sous forme différentielle (2.3) :
Écrivons des équations similaires pour tous les points du système mécanique (j=1,2,3,…,n).
Graphique 2.2
Additionnons tout ça morceau par morceau néquations :
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)
Ici ∑m j × V j = Q– l'ampleur du mouvement du système mécanique ;
∑F j e = R e– le vecteur principal de toutes les forces extérieures agissant sur le système mécanique ;
∑F j je = R je =0– le vecteur principal des efforts internes du système (selon la propriété des efforts internes, il est égal à zéro).
Finalement, pour le système mécanique on obtient
dQ/dt = R e. (2.11)
L'expression (2.11) est un théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un système mécanique sous forme différentielle (en expression vectorielle) : la dérivée temporelle du vecteur de quantité de mouvement d'un système mécanique est égale au vecteur principal de toutes les forces externes agissant sur le système.
En projetant l'égalité vectorielle (2.11) sur les axes de coordonnées cartésiens, nous obtenons des expressions pour le théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique en expression de coordonnées (scalaire) :
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z /dt = R z e, (2.12)
ceux. la dérivée temporelle de la projection de l'impulsion d'un système mécanique sur n'importe quel axe est égale à la projection sur cet axe du vecteur principal de toutes les forces externes agissant sur ce système mécanique.
Multiplier les deux côtés de l'égalité (2.12) par dt, on obtient le théorème sous une autre forme différentielle :
dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)
ceux. le moment différentiel d'un système mécanique est égal à l'impulsion élémentaire du vecteur principal (la somme des impulsions élémentaires) de toutes les forces externes agissant sur le système.
Intégration de l’égalité (2.13) dans le temps de passage de 0 à t, nous obtenons un théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique sous forme finale (intégrale) (en expression vectorielle) :
Q - Q 0 = S e,
ceux. la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique sur une période de temps finie est égale à l'impulsion totale du vecteur principal (la somme des impulsions totales) de toutes les forces externes agissant sur le système pendant la même période de temps.
En projetant l'égalité vectorielle (2.14) sur les axes de coordonnées cartésiennes, on obtient des expressions du théorème en projections (dans une expression scalaire) :
ceux. le changement dans la projection de l'impulsion d'un système mécanique sur n'importe quel axe sur une période de temps finie est égal à la projection sur le même axe de l'impulsion totale du vecteur principal (la somme des impulsions totales) de toutes les forces externes agissant sur le système mécanique pendant le même laps de temps.
Les corollaires suivants découlent du théorème considéré (2.11) – (2.15) :
- Si R e = ∑F j e = 0, Que Q = const– on a la loi de conservation du vecteur de quantité de mouvement d’un système mécanique : si le vecteur principal Concernant de toutes les forces externes agissant sur un système mécanique est égal à zéro, alors le vecteur impulsion de ce système reste constant en ampleur et en direction et égal à son valeur initiale Q0, c'est à dire. Q = Q 0.
- Si R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Que Q x = const– on a la loi de conservation de la projection sur l'axe de la quantité de mouvement d'un système mécanique : si la projection du vecteur principal de toutes les forces agissant sur un système mécanique sur n'importe quel axe est nulle, alors la projection sur le même axe de le vecteur de l'impulsion de ce système sera une valeur constante et égale à la projection sur cet axe du vecteur de l'impulsion initiale, c'est-à-dire Qx = Q0x.
La forme différentielle du théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un système matériel a des applications importantes et intéressantes en mécanique des milieux continus. De (2.11) nous pouvons obtenir le théorème d’Euler.
La quantité de mouvement d'un point matériel appelée quantité vectorielle mV,égal au produit de la masse d'un point et de son vecteur vitesse. Vecteur mV appliqué à un point en mouvement.
La quantité de mouvement du système appelée quantité vectorielle Q, égale à la somme géométrique (vecteur principal) des quantités de mouvement de tous les points du système :
Vecteur Q est un vecteur libre. Dans le système d'unités SI, le module de quantité de mouvement est mesuré en kg m/s ou N s.
En règle générale, les vitesses de tous les points du système sont différentes (voir, par exemple, la distribution des vitesses des points d'une roue roulante, représentée sur la Fig. 6.21), et donc la sommation directe des vecteurs du côté droit de l'égalité (17.2) est difficile. Trouvons une formule à l'aide de laquelle la quantité Q beaucoup plus facile à calculer. De l'égalité (16.4) il résulte que
En prenant la dérivée temporelle des deux côtés, on obtient
Ainsi, en tenant compte de l’égalité (17.2), nous trouvons que
c'est-à-dire que la quantité de mouvement du système est égale au produit de la masse du système entier et de la vitesse de son centre de masse.
Notez que le vecteur Q, comme le principal vecteur de forces en statique, il s'agit d'un vecteur généralisé caractéristique du mouvement de l'ensemble du système mécanique. DANS cas général mouvement d'un système, son élan Q peut être considérée comme une caractéristique de la partie translationnelle du mouvement du système avec son centre de masse. Si, lorsque le système (corps) se déplace, le centre de masse est stationnaire, alors l'ampleur du mouvement du système sera égale à zéro. Il s’agit par exemple de la quantité de mouvement d’un corps tournant autour d’un axe fixe passant par son centre de masse.
Exemple. Déterminer l'ampleur du mouvement du système mécanique (Fig. 17.1, UN), composé de marchandises UN masse tA- 2 kg, bloc homogène DANS pesant 1 kg et roues D masse m D - 4 kg. Cargaison UN se déplace à grande vitesse VA - 2 m/s, roue D roule sans glisser, le fil est inextensible et léger. Solution. Quantité de mouvement d'un système de corps
Corps UN avance et Q A = m A V A(numériquement Q R= 4 kg m/s, direction vectorielle Q R coïncide avec la direction VA). Bloc DANS commet mouvement de rotation autour d'un axe fixe passant par son centre de masse ; ainsi, QB- 0. Roue D fait un plan parallèle
mouvement; son centre de vitesse instantanée est au point À, donc la vitesse de son centre de masse (point E)égal à V E = V A /2 = 1 m/s. Quantité de mouvement de la roue Q D - m D V E - 4 kg m/s ; vecteur QD dirigé horizontalement vers la gauche.
En décrivant les vecteurs Q R Et QD En figue. 17.1, b, trouvez la quantité de mouvement Q systèmes selon la formule (a). Compte tenu des orientations et valeurs numériques quantités, on obtient Q ~ ^ Q A + Q E=4l/2~ kg m/s, direction vectorielle Q montré sur la fig. 17.1, b.
Étant donné que une -dV/dt, l'équation (13.4) de la loi fondamentale de la dynamique peut être représentée comme
L'équation (17.4) exprime le théorème sur la variation de l'impulsion d'un point sous forme différentielle : à chaque instant du temps, la dérivée temporelle de l'impulsion d'un point est égale à la force agissant sur le point. (Essentiellement, il s'agit d'une autre formulation de la loi fondamentale de la dynamique, proche de celle donnée par Newton.) Si plusieurs forces agissent sur un point, alors du côté droit de l'égalité (17.4) il y aura une résultante des forces appliquées au point matériel.
Si les deux côtés de l’égalité sont multipliés par dt, alors nous obtenons
La quantité vectorielle à droite de cette égalité caractérise l'action exercée sur le corps par une force dans un laps de temps élémentaire dt cette valeur est notée DS et appelle élémentaire impulsion de force, c'est à dire.
Impulsion S force F pour une période de temps finie /, - / 0 est défini comme la limite de la somme intégrale des impulsions élémentaires correspondantes, c'est-à-dire
Dans le cas particulier, si la force F est constant en ampleur et en direction, alors S = F(t| -/ 0) et S- F(t l -/0). Dans le cas général, l'amplitude de la force impulsionnelle peut être calculée à partir de ses projections sur les axes de coordonnées :
Maintenant, en intégrant les deux côtés de l'égalité (17.5) avec T= const, on obtient
L'équation (17.9) exprime le théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un point sous forme finie (intégrale) : le changement de l'impulsion d'un point sur une certaine période de temps est égal à l'impulsion de la force agissant sur le point (ou à l'impulsion de la résultante de toutes les forces qui lui sont appliquées) sur la même période de temps.
Lors de la résolution de problèmes, utilisez les équations de ce théorème dans des projections sur les axes de coordonnées
Considérons maintenant un système mécanique composé de P. points matériels. Ensuite pour chaque point on peut appliquer le théorème sur le changement de quantité de mouvement sous la forme (17.4), en tenant compte des forces externes et internes appliquées aux points :
En sommant ces égalités et en tenant compte du fait que la somme des dérivées est égale à la dérivée de la somme, on obtient
Puisque de par la nature des forces internes HFk=0 et par définition de la quantité de mouvement ^fn k V/c = Q, puis nous trouvons enfin
L'équation (17.11) exprime le théorème sur le changement de quantité de mouvement du système sous forme différentielle : à chaque instant, la dérivée temporelle de l'impulsion du système est égale à la somme géométrique de toutes les forces externes agissant sur le système.
En projetant l'égalité (17.11) sur les axes de coordonnées, on obtient
En multipliant les deux côtés (17.11) par dt et en intégrant, on obtient
où 0, Q 0 - la quantité de mouvement du système à des moments précis respectivement et / 0.
L'équation (17.13) exprime le théorème sur le changement de quantité de mouvement du système sous forme intégrale : la variation de la quantité de mouvement du système à tout moment est égale à la somme des impulsions de toutes les forces externes agissant sur le système pendant le même temps.
En projections sur les axes de coordonnées, nous obtenons
Du théorème sur le changement de la quantité de mouvement d'un système, on peut obtenir les conséquences importantes suivantes, qui expriment loi de conservation de la quantité de mouvement d'un système.
- 1. Si la somme géométrique de toutes les forces externes agissant sur le système est nulle (LFk=0), alors de l'équation (17.11) il s'ensuit que dans ce cas Q= const, c'est-à-dire que le vecteur impulsion du système sera constant en amplitude et en direction.
- 2. Si les forces externes agissant sur le système sont telles que la somme de leurs projections sur n'importe quel axe est nulle (par exemple, Je e kx = 0), alors d'après les équations (17.12) il s'ensuit que dans ce cas Qx = const, c'est-à-dire que la projection de la quantité de mouvement du système sur cet axe reste inchangée.
A noter que les forces internes du système ne participent pas à l'équation du théorème sur la variation de la quantité de mouvement du système. Ces forces, bien qu’elles influencent la dynamique de points individuels du système, ne peuvent pas modifier la dynamique du système dans son ensemble. Compte tenu de cette circonstance, lors de la résolution de problèmes, il est conseillé de choisir le système considéré de manière à ce que les forces inconnues (toutes ou partie d'entre elles) soient rendues internes.
La loi de conservation de la quantité de mouvement est pratique à appliquer dans les cas où, en modifiant la vitesse d'une partie du système, il est nécessaire de déterminer la vitesse de son autre partie.
Problème 17.1. À chariot de pesée t x- 12 kg se déplaçant le long d'un plan horizontal lisse en un point UN une tige en apesanteur est fixée à l'aide d'une charnière cylindrique ANNONCE longueur /= 0,6 m avec charge D masse t 2 - 6 kg à la fin (Fig. 17.2). Au temps /0 = 0, lorsque la vitesse du chariot Et () - 0,5 m/s, tige ANNONCE commence à tourner autour d'un axe UN, perpendiculaire au plan de dessin, selon la loi f = (tg/6)(3^2 - 1) rad (/-en secondes). Définir: u = f.
§ 17.3. Théorème sur le mouvement du centre de masse
Le théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique peut être exprimé sous une autre forme, appelée théorème sur le mouvement du centre de masse.
En substituant dans l'équation (17.11) l'égalité Q = MV C, on a
Si la masse M le système est constant, on obtient
Où et avec - accélération du centre de masse du système.
L'équation (17.15) exprime le théorème sur le mouvement du centre de masse du système : le produit de la masse d'un système et de l'accélération de son centre de masse est égal à la somme géométrique de toutes les forces externes agissant sur le système.
En projetant l'égalité (17.15) sur les axes de coordonnées, on obtient
Où x c , y c , z c - coordonnées du centre de masse du système.
Ces équations sont équations différentielles mouvements du centre de masse en projections sur les axes du système de coordonnées cartésiennes.
Discutons des résultats obtenus. Rappelons d'abord que le centre de masse du système est point géométrique, parfois situé en dehors des limites géométriques du corps. Les forces agissant sur le système mécanique (externes et internes) s'appliquent à tous les points matériels du système. Les équations (17.15) permettent de déterminer le mouvement du centre de masse du système sans déterminer le mouvement de ses points individuels. En comparant les équations (17.15) du théorème sur le mouvement du centre de masse et les équations (13.5) de la deuxième loi de Newton pour un point matériel, nous arrivons à la conclusion : le centre de masse d'un système mécanique se déplace comme un point matériel dont la masse est égale à la masse de l'ensemble du système, et comme si toutes les forces extérieures agissant sur le système étaient appliquées à ce point. Ainsi, les solutions que l'on obtient en considérant un corps donné comme un point matériel déterminent la loi du mouvement du centre de masse de ce corps.
En particulier, si un corps se déplace en translation, alors les caractéristiques cinématiques de tous les points du corps et de son centre de masse sont les mêmes. C'est pourquoi un corps en mouvement de translation peut toujours être considéré comme un point matériel ayant une masse égale à la masse du corps entier.
Comme le montre (17.15), les forces internes agissant sur les points du système n'affectent pas le mouvement du centre de masse du système. Les forces internes peuvent influencer le mouvement du centre de masse dans les cas où les forces externes changent sous leur influence. Des exemples en seront donnés ci-dessous.
Du théorème sur le mouvement du centre de masse, on peut obtenir les conséquences importantes suivantes, qui expriment la loi de conservation du mouvement du centre de masse du système.
1. Si la somme géométrique de toutes les forces externes agissant sur le système est nulle (LFk=0), alors de l’équation (17.15) il résulte,
Et ça un c = 0 ou V c = const, c'est-à-dire le centre de masse de ce système
se déplace à une vitesse constante en ampleur et en direction (en d’autres termes, de manière uniforme et rectiligne). Dans un cas particulier, si au début le centre de masse était au repos ( Vc=0), alors il restera au repos ; où
piste Vous savez que sa position dans l'espace ne changera pas, c'est-à-dire r c = const.
2. Si les forces externes agissant sur le système sont telles que la somme de leurs projections sur un axe (par exemple, l'axe X)égal à zéro (?F e kx= 0), alors de l'équation (17.16) il s'ensuit que dans ce cas xs=0 ou V Cx = x c = const, c'est-à-dire que la projection de la vitesse du centre de masse du système sur cet axe est une valeur constante. Dans le cas particulier, si au moment initial Vexer= 0, alors à tout moment ultérieur, cette valeur restera la même, et il s'ensuit que la coordonnée xs le centre de masse du système ne changera pas, c'est-à-dire xc- const.
Considérons des exemples illustrant la loi du mouvement du centre de masse.
Exemples. 1. Comme indiqué, le mouvement du centre de masse dépend uniquement de forces externes : les forces internes ne peuvent pas modifier la position du centre de masse. Mais les forces internes du système peuvent provoquer des influences externes. Ainsi, le mouvement d’une personne sur une surface horizontale s’effectue sous l’influence de forces de frottement entre les semelles de ses chaussures et la surface de la route. Avec la force de ses muscles (forces internes), une personne pousse ses pieds hors de la chaussée, c'est pourquoi une force de friction (externe à la personne) apparaît aux points de contact avec la route, dirigée en direction de son mouvement.
- 2. La voiture se déplace de la même manière. Les forces de pression internes dans son moteur forcent les roues à tourner, mais comme ces dernières ont une traction avec la route, les forces de friction qui en résultent « poussent » la voiture vers l'avant (en conséquence, les roues ne tournent pas, mais se déplacent parallèlement au plan). . Si la route est absolument lisse, alors le centre de masse de la voiture sera stationnaire (à vitesse initiale nulle) et les roues, en l'absence de friction, glisseront, c'est-à-dire effectueront un mouvement de rotation.
- 3. Le mouvement à l'aide d'une hélice, d'une hélice ou de rames se produit en raison du rejet d'une certaine masse d'air (ou d'eau). Si nous considérons la masse projetée et le corps en mouvement comme un seul système, alors les forces d'interaction entre eux, en tant que forces internes, ne peuvent pas modifier la quantité totale de mouvement de ce système. Cependant, chaque partie de ce système fera avancer, par exemple, le bateau, et l'eau que les rames rejettent.
- 4. Dans l'espace sans air, lorsqu'une fusée se déplace, la « masse lancée » doit être « emportée avec vous » : le moteur à réaction transmet le mouvement à la fusée en rejetant les produits de combustion du carburant dont la fusée est remplie.
- 5. Lors de la descente en parachute, vous pouvez contrôler le mouvement du centre de masse du système homme-parachute. Si, grâce à des efforts musculaires, une personne tend les suspentes du parachute de telle sorte que la forme de sa voilure ou l'angle d'attaque du flux d'air change, cela provoquera alors une modification de l'influence externe du flux d'air, et influencera ainsi le mouvement. de l’ensemble du système.
Problème 17.2. DANS Problème 17.1 (voir Fig. 17.2) déterminer : 1) loi du mouvement du chariot X (= /)(/), si l'on sait qu'à l'instant initial t 0 = O le système était au repos et la coordonnée x 10 = 0 ; 2) loi d'évolution dans le temps de la valeur totale réaction normale N(N = N" + N") plan horizontal, c'est-à-dire N = f 2 (t).
Solution. Ici, comme dans le problème 17.1, nous considérons un système constitué d'un chariot et d'une charge D, dans une position arbitraire sous l'influence de forces extérieures qui lui sont appliquées (voir Fig. 17.2). Axes de coordonnées Ohoo dessinez-le de manière à ce que l'axe des x soit horizontal et que l'axe à passé par le point Un 0, c'est-à-dire l'emplacement du point UNà un moment donné t-t 0 - 0.
1. Détermination de la loi de mouvement du chariot. Pour déterminer x, = /,(0, on utilise le théorème sur le mouvement du centre de masse du système. Créons une équation différentielle de son mouvement en projection sur l'axe des x :
Puisque toutes les forces extérieures sont verticales, alors T,F e kx = 0, et donc
En intégrant cette équation, on trouve que Mx s = B, c'est-à-dire que la projection de la vitesse du centre de masse du système sur l'axe des x est une valeur constante. Depuis qu'au moment initial
Intégration de l'équation. Mxs= 0, on obtient
c'est-à-dire coordonner xs le centre de masse du système est constant.
Écrivons l'expression Mxs pour une position arbitraire du système (voir Fig. 17.2), en tenant compte du fait que xA-x { , xD-x2 Et x 2 - x ( - je péché f. Conformément à la formule (16.5), qui détermine la coordonnée du centre de masse du système, dans ce cas Mx s - t (x( + 2 x 2".
pour un moment arbitraire
pour l'instant / () = 0, X (= 0 et
Conformément à l'égalité (b), la coordonnée xs le centre de masse de l'ensemble du système reste inchangé, c'est-à-dire xD^,) = xc(t). Par conséquent, en égalisant les expressions (c) et (d), nous obtenons la dépendance de la coordonnée x au temps.
Répondre: X - 0,2 m, où t- en secondes.
2. Définition de la réaction N. Pour déterminer N = f 2 (t) composons une équation différentielle du mouvement du centre de masse du système en projection sur l'axe vertical à(voir Fig. 17.2) :
Par conséquent, désignant N=N+N", on a
D'après la formule qui détermine l'ordonnée oui centre de masse du système, Mu s = t ( y x + t 2 et 2, où y, = en C1,à 2 heures= et D = UUN ~ 1 parce que Ф" nous obtenons
Différencier cette égalité deux fois dans le temps (en tenant compte du fait que en C1 Et à les quantités sont constantes et, par conséquent, leurs dérivées sont égales à zéro), on trouve
En substituant cette expression dans l'équation (e), nous déterminons la dépendance souhaitée N depuis t.
Répondre: N- 176,4 + 1,13,
où f = (i/6)(3/ -1), t- en secondes, N- en newtons.
Problème 17.3. Poids du moteur électrique t x fixé à la surface horizontale de la fondation avec des boulons (Fig. 17.3). Une tige en apesanteur de longueur l est fixée à une extrémité à l'arbre du moteur perpendiculairement à l'axe de rotation, et un poids ponctuel est monté à l'autre extrémité de la tige. UN masse t 2. L'arbre tourne uniformément avec vitesse angulaire co. Trouvez la pression horizontale du moteur sur les boulons. Solution. Considérons un système mécanique composé d'un moteur et d'un poids ponctuel UN, dans n'importe quelle position. Représentons les forces externes agissant sur le système : la gravité Rx, R2, réaction de la fondation sous forme de force verticale N et force horizontale R. Traçons l'axe des x horizontalement.
Pour déterminer la pression horizontale du moteur sur les boulons (et elle sera numériquement égale à la réaction R. et dirigé à l'opposé du vecteur R. ), nous composerons l'équation du théorème sur la variation de la quantité de mouvement du système en projection sur l'axe horizontal des x :
Pour le système considéré dans sa position arbitraire, en tenant compte du fait que la quantité de mouvement du corps moteur est nulle, on obtient Qx = - t 2 U A soc. En tenant compte de ce VA = une z/, f = co/ (la rotation du moteur est uniforme), on obtient Qx- - m 2 co/cos co/. Différencier Qx dans le temps et en substituant dans l'égalité (a), on trouve R- m 2 co 2 /sin co/.
A noter que ce sont précisément ces forces qui forcent (voir § 14.3) ; lorsqu'elles agissent, des vibrations forcées des structures apparaissent.
Exercices pour le travail indépendant
- 1. Qu'appelle-t-on la quantité de mouvement d'un point et d'un système mécanique ?
- 2. Comment change l’impulsion d’un point se déplaçant uniformément autour d’un cercle ?
- 3. Qu'est-ce qui caractérise une impulsion de force ?
- 4. Les forces internes d’un système affectent-elles sa dynamique ? Sur le mouvement de son centre de masse ?
- 5. Comment les couples de forces qui lui sont appliqués affectent-ils le mouvement du centre de masse du système ?
- 6. Dans quelles conditions le centre de masse du système est-il au repos ? Est-ce qu'il se déplace uniformément et en ligne droite ?
7. Dans un bateau stationnaire sans débit d’eau, un adulte est assis à l’arrière et un enfant est assis à la proue du bateau. Dans quelle direction le bateau se déplacera-t-il s’ils changent de place ?
Dans quel cas le module de mouvement du bateau sera-t-il grand : 1) si l’enfant se déplace vers la poupe de l’adulte ; 2) si un adulte va voir l'enfant à la proue du bateau ? Quel sera le déplacement du centre de masse du système « bateau et deux personnes » lors de ces mouvements ?
Équation différentielle du mouvement d'un point matériel sous l'influence d'une force F peut être représenté sous la forme vectorielle suivante :
Puisque la masse d'un point m est acceptée comme constante, elle peut alors être inscrite sous le signe dérivé. Alors
La formule (1) exprime le théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un point sous forme différentielle : la dérivée première par rapport au temps de l'impulsion d'un point est égale à la force agissant sur le point.
Dans les projections sur les axes de coordonnées (1) peut être représenté comme
Si les deux côtés (1) sont multipliés par dt, alors nous obtenons une autre forme du même théorème - le théorème du moment sous forme différentielle :
ceux. la différentielle de l'impulsion d'un point est égale à l'impulsion élémentaire de la force agissant sur ce point.
En projetant les deux parties de (2) sur les axes de coordonnées, on obtient
En intégrant les deux parties de (2) de zéro à t (Fig. 1), nous avons
où est la vitesse du point en ce moment t; - vitesse à t = 0;
S- impulsion de force dans le temps t.
Une expression sous la forme (3) est souvent appelée théorème du moment sous forme finie (ou intégrale) : la variation de l'impulsion d'un point sur une période de temps quelconque est égale à l'impulsion de force sur la même période de temps.
En projections sur des axes de coordonnées, ce théorème peut être représenté sous la forme suivante :
Pour un point matériel, le théorème sur le changement de quantité de mouvement sous l'une des formes n'est essentiellement pas différent des équations différentielles du mouvement d'un point.
Théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un système
La quantité de mouvement du système sera appelée quantité vectorielle Q, égale à la somme géométrique (vecteur principal) des quantités de mouvement de tous les points du système.
Considérons un système composé de n points matériels. Composons des équations différentielles du mouvement pour ce système et ajoutons-les terme par terme. On obtient alors :
La dernière somme, due à la propriété des forces internes, est égale à zéro. En plus,
Finalement on retrouve :
L'équation (4) exprime le théorème sur le changement de quantité de mouvement du système sous forme différentielle : la dérivée temporelle de la quantité de mouvement du système est égale à la somme géométrique de toutes les forces externes agissant sur le système.
Trouvons une autre expression pour le théorème. Laisse entrer le moment t= 0 la quantité de mouvement du système est Q0, et à l'heure actuelle t1 devient égal Question 1. Ensuite, en multipliant les deux côtés de l'égalité (4) par dt et en intégrant, on obtient :
Ou où:
(impulsion de force S)
puisque les intégrales de droite donnent des impulsions de forces extérieures,
l'équation (5) exprime le théorème sur la variation de la quantité de mouvement du système sous forme intégrale : la variation de la quantité de mouvement du système sur une certaine période de temps est égale à la somme des impulsions des forces externes agissant sur le système pendant la même période de temps.
En projections sur les axes de coordonnées nous aurons :
Loi de conservation de la quantité de mouvement
Du théorème sur le changement de quantité de mouvement d’un système, les corollaires importants suivants peuvent être obtenus :
1. Soit la somme de toutes les forces externes agissant sur le système égale à zéro :
Alors de l'équation (4) il s'ensuit que dans ce cas Q = const.
Ainsi, si la somme de toutes les forces externes agissant sur le système est égale à zéro, alors le vecteur de l’impulsion du système sera constant en ampleur et en direction.
2. 01Soit les forces externes agissant sur le système telles que la somme de leurs projections sur un axe (par exemple Ox) soit égale à zéro :
Alors d'après les équations (4`), il s'ensuit que dans ce cas Q = const.
Ainsi, si la somme des projections de toutes les forces externes agissant sur n'importe quel axe est égale à zéro, alors la projection de la quantité de mouvement du système sur cet axe est une valeur constante.
Ces résultats expriment loi de conservation de la quantité de mouvement d'un système. Il en résulte que les forces internes ne peuvent pas modifier la quantité totale de mouvement du système.
Regardons quelques exemples :
· Phénomène du retour du rouleau. Si nous considérons le fusil et la balle comme un seul système, alors la pression des gaz en poudre lors d'un tir sera une force interne. Cette force ne peut pas modifier la quantité de mouvement totale du système. Mais comme les gaz de poudre, agissant sur la balle, lui communiquent un certain mouvement dirigé vers l'avant, ils doivent simultanément communiquer au fusil le même mouvement dans la direction opposée. Cela fera reculer le fusil, c'est-à-dire le soi-disant retour. Un phénomène similaire se produit lors du tir avec une arme à feu (rollback).
· Fonctionnement de l'hélice (hélice). L'hélice transmet un mouvement à une certaine masse d'air (ou d'eau) le long de l'axe de l'hélice, renvoyant cette masse en arrière. Si nous considérons la masse projetée et l'avion (ou le navire) comme un seul système, alors les forces d'interaction entre l'hélice et l'environnement, en tant que forces internes, ne peuvent pas modifier la quantité totale de mouvement de ce système. Par conséquent, lorsqu'une masse d'air (eau) est rejetée, l'avion (ou le navire) reçoit une vitesse d'avancement correspondante telle que la quantité totale de mouvement du système considéré reste égale à zéro, puisqu'elle était nulle avant le début du mouvement. .
Un effet similaire est obtenu par l'action des rames ou des roues à aubes.
· Propulsion réctive. Dans une fusée (fusée), les produits gazeux issus de la combustion du carburant sont éjectés à grande vitesse par le trou situé dans la queue de la fusée (depuis la tuyère du moteur à réaction). Les forces de pression agissant dans ce cas seront des forces internes et elles ne pourront pas modifier la quantité de mouvement totale du système de gaz fusée-poudre. Mais comme les gaz qui s'échappent ont un certain mouvement dirigé vers l'arrière, la fusée reçoit une vitesse d'avancement correspondante.
Théorème des moments autour d'un axe.
Considérez le point matériel de masse m, se déplaçant sous l'influence de la force F. Trouvons pour cela la relation entre le moment des vecteurs mV Et F par rapport à un axe Z fixe.
m z (F) = xF - yF (7)
De même pour la valeur m(mV), si retiré m sera hors parenthèses
m z (mV) = m(xV - yV)(7`)
En prenant les dérivées par rapport au temps des deux côtés de cette égalité, on trouve
A droite de l'expression résultante, la première parenthèse est égale à 0, puisque dx/dt=V et dу/dt = V, la deuxième tranche selon la formule (7) est égale à
mz(F), puisque selon la loi fondamentale de la dynamique :
Finalement nous aurons (8)
L'équation résultante exprime le théorème des moments autour de l'axe : la dérivée temporelle du moment d'impulsion d'un point par rapport à n'importe quel axe est égale au moment force agissante autour du même axe. Un théorème similaire s’applique pendant quelques instants à propos de tout centre O.
(Fragments d'une symphonie mathématique)
Le lien entre l'impulsion de force et l'équation de base de la dynamique newtonienne est exprimé par le théorème sur la modification de l'impulsion d'un point matériel.
Théorème. La variation de l'impulsion d'un point matériel sur une certaine période de temps est égale à l'impulsion de la force () agissant sur le point matériel pendant la même période de temps. La preuve mathématique de ce théorème peut être appelée un fragment d'une symphonie mathématique. Il est la.
Le moment différentiel d'un point matériel est égal à l'impulsion élémentaire de la force agissant sur le point matériel. En intégrant l'expression (128) pour l'impulsion différentielle d'un point matériel, nous avons
(129)
Le théorème a été prouvé et les mathématiciens considèrent leur mission accomplie, mais les ingénieurs, dont le destin est de croire sacrément aux mathématiciens, se posent des questions lorsqu'ils utilisent l'équation prouvée (129). Mais ils sont fermement bloqués par l’enchaînement et la beauté des opérations mathématiques (128 et 129), qui nous fascinent et nous incitent à les qualifier de fragment de symphonie mathématique. Combien de générations d’ingénieurs étaient d’accord avec les mathématiciens et étaient impressionnés par leur mystère ? symboles mathématiques! Mais voilà qu’un ingénieur n’était pas d’accord avec les mathématiciens et leur posait des questions.
Chers mathématiciens ! Pourquoi dans aucun de vos manuels sur mécanique théorique le processus d'application de votre résultat symphonique (129) dans la pratique, par exemple, lors de la description du processus d'accélération d'une voiture, n'est-il pas pris en compte ? Le côté gauche de l’équation (129) est très clair. La voiture commence l'accélération à partir de la vitesse et la termine, par exemple, à la vitesse. Il est tout naturel que l’équation (129) devienne
Et la première question se pose immédiatement : comment déterminer à partir de l’équation (130) la force sous l’influence de laquelle la voiture accélère jusqu’à une vitesse de 10 m/s ? La réponse à cette question ne se trouve dans aucun des innombrables manuels de mécanique théorique. Allons plus loin. Après l’accélération, la voiture commence à se déplacer uniformément à une vitesse de 10 m/s. Quelle force fait bouger la voiture ?????????? Je n'ai pas d'autre choix que de rougir avec les mathématiciens. La première loi de la dynamique newtonienne stipule que lorsqu'une voiture se déplace uniformément, aucune force n'agit sur elle, et la voiture, au sens figuré, éternue selon cette loi, consomme de l'essence et travaille, se déplaçant, par exemple, sur une distance de 100 km. Où est la force qui a fait le travail pour déplacer la voiture sur 100 km ? Symphonique Équation mathématique(130) reste silencieux, mais la vie continue et exige une réponse. Nous commençons à le chercher.
Puisque la voiture se déplace de manière rectiligne et uniforme, la force qui la déplace est constante en ampleur et en direction et l'équation (130) devient
(131)
Ainsi, l’équation (131) décrit dans ce cas le mouvement accéléré du corps. A quoi est égale la force ? Comment exprimer son évolution dans le temps ? Les mathématiciens préfèrent contourner cette question et laisser le soin aux ingénieurs, estimant qu'ils doivent chercher la réponse à cette question. Il reste aux ingénieurs une option: prendre en compte le fait que si, après l'achèvement du mouvement accéléré du corps, une phase de mouvement uniforme commence, qui s'accompagne de l'action force constante présente l'équation (131) pour le moment de transition du mouvement accéléré au mouvement uniforme sous cette forme
(132)
La flèche dans cette équation ne signifie pas le résultat de l'intégration de cette équation, mais le processus de transition de sa forme intégrale à une forme simplifiée. La force dans cette équation est équivalente à la force moyenne qui a fait passer l’élan du corps de zéro à une valeur finale. Ainsi, chers mathématiciens et physiciens théoriciens, l'absence de votre méthode pour déterminer la grandeur de votre impulsion nous oblige à simplifier la procédure de détermination de la force, et l'absence de méthode pour déterminer le temps d'action de cette force nous met généralement dans une situation position désespérée et nous sommes obligés d'utiliser une expression pour analyser le processus de changement de l'élan d'un corps. Le résultat est que plus la force agit longtemps, plus son impulsion est forte. Cela contredit clairement l'idée établie de longue date selon laquelle plus la durée de son action est courte, plus l'impulsion de force est forte.
Faisons attention au fait que la modification de l'impulsion d'un point matériel (impulsion de force) lors de son mouvement accéléré se produit sous l'action de la force newtonienne et des forces de résistance au mouvement, sous forme de forces générées par des résistances mécaniques et la force d'inertie. Mais la dynamique newtonienne dans la grande majorité des problèmes ignore la force d'inertie, et la mécanodynamique affirme qu'un changement dans l'élan d'un corps au cours de son mouvement accéléré se produit en raison de l'excès de la force newtonienne sur les forces de résistance au mouvement, y compris la force newtonienne. force d'inertie.
Lorsqu'un corps se déplace au ralenti, par exemple une voiture avec la vitesse éteinte, il n'y a pas de force newtonienne et le changement de l'élan de la voiture se produit en raison de l'excès des forces de résistance au mouvement par rapport à la force de l'inertie, qui fait bouger la voiture lorsqu'elle se déplace lentement.
Comment pouvons-nous maintenant réintégrer les résultats des actions mathématiques « symphoniques » (128) dans le courant dominant des relations de cause à effet ? Il n'y a qu'une seule issue : trouver une nouvelle définition des concepts « impulsion de force » et « force d'impact ». Pour ce faire, divisez les deux côtés de l'équation (132) par le temps t. En conséquence nous aurons
. (133)
Notons que l'expression mV/t est le taux de changement de quantité de mouvement (mV/t) d'un point ou d'un corps matériel. Si nous prenons en compte le fait que V/t est l’accélération, alors mV/t est la force qui modifie l’élan du corps. La même dimension à gauche et à droite du signe égal nous donne le droit d'appeler la force F une force de choc et de la désigner par le symbole, et l'impulsion S - une impulsion de choc et de la désigner par le symbole. Cela conduit à une nouvelle définition de la force d’impact. La force d'impact agissant sur un point matériel ou un corps est égale au rapport entre le changement de l'impulsion du point matériel ou du corps et le temps de ce changement.
Portons une attention particulière au fait que seule la force newtonienne participe à la formation de l'impulsion de choc (134), qui a fait passer la vitesse de la voiture de zéro au maximum - , donc l'équation (134) appartient entièrement à la dynamique newtonienne. Puisqu’il est beaucoup plus facile de déterminer expérimentalement l’amplitude de la vitesse que de déterminer l’accélération, la formule (134) est très pratique pour les calculs.
Ce résultat inhabituel découle de l'équation (134).
Faisons attention au fait que selon les nouvelles lois de la mécanodynamique, le générateur de l'impulsion de force lors du mouvement accéléré d'un point matériel ou d'un corps est la force newtonienne. Il forme l'accélération du mouvement d'un point ou d'un corps, à laquelle une force d'inertie apparaît automatiquement, dirigée à l'opposé de la force newtonienne et l'impact de la force newtonienne doit vaincre l'action de la force d'inertie, donc la force d'inertie doit être représentée dans le équilibre des forces du côté gauche de l’équation (134). Puisque la force d'inertie est égale à la masse du point ou du corps multipliée par la décélération qu'il forme, alors l'équation (134) devient
(136)
Chers mathématiciens ! Voyez quelle forme cela a pris modèle mathématique, décrivant l'impulsion de choc qui accélère le mouvement du corps impacté de la vitesse nulle au maximum V (11). Vérifions maintenant son travail dans la détermination de l'impulsion d'impact, qui est égale à la force d'impact qui a tiré le 2ème groupe motopropulseur du SShG (Fig. 120), et nous vous laisserons avec votre équation inutile (132). Afin de ne pas compliquer la présentation, nous laisserons pour l'instant la formule (134) seule et utiliserons des formules qui donnent des valeurs moyennes des forces. Vous voyez dans quelle position vous mettez un ingénieur essayant de résoudre un problème spécifique.
Commençons par la dynamique newtonienne. Les experts ont constaté que le 2ème groupe motopropulseur atteignait une hauteur de 14 m. Puisqu'il s'est élevé dans le champ de gravité, à une hauteur de h = 14 m, son énergie potentielle s'est avérée égale à
et l'énergie cinétique moyenne était égale à
Riz. 120. Photo de la salle des turbines avant la catastrophe
De l'égalité des énergies cinétique (138) et potentielle (137) il résulte vitesse moyenne soulever le groupe motopropulseur (Fig. 121, 122)
Riz. 121. Photon de la salle des turbines après la catastrophe
Selon les nouvelles lois de la mécanodynamique, la montée du groupe motopropulseur se composait de deux phases (Fig. 123) : la première phase OA - montée accélérée et la deuxième phase AB - montée lente , , .
Le temps et la distance de leur action sont approximativement égaux (). Alors l'équation cinématique de la phase accélérée de montée du groupe motopropulseur s'écrira comme suit :
. (140)
Riz. 122. Vue du puits du groupe motopropulseur et du groupe motopropulseur lui-même après la catastrophe
La loi de changement du taux de montée du groupe motopropulseur dans la première phase a la forme
. (141)
Riz. 123. Régularité des changements de vitesse de vol V d'un groupe motopropulseur
En remplaçant le temps de l'équation (140) par l'équation (141), nous avons
. (142)
Le temps de levée du bloc dans la première phase est déterminé à partir de la formule (140)
. (143)
Le temps total pour élever le groupe motopropulseur à une hauteur de 14 m sera alors égal à . La masse du groupe motopropulseur et du capot est de 2 580 tonnes. Selon la dynamique newtonienne, la force qui a soulevé le groupe motopropulseur est égale à
Chers mathématiciens ! Nous suivons vos résultats mathématiques symphoniques et notons votre formule (129), issue de la dynamique newtonienne, pour déterminer l'impulsion de choc qui a déclenché la 2ème unité de puissance
et posez une question fondamentale : comment déterminer la durée de l'impulsion de choc qui a déclenché le 2ème bloc d'alimentation ????????????
Cher!!! Rappelez-vous combien de craie a été écrite sur les tableaux par des générations de vos collègues, enseignant de manière absconse aux étudiants comment déterminer l'impulsion de choc, et personne n'a expliqué comment déterminer la durée de l'impulsion de choc dans chaque cas spécifique. Vous direz que la durée de l'impulsion de choc est égale à l'intervalle de temps du changement de vitesse du groupe motopropulseur de zéro à, supposons-le, la valeur maximale de 16,75 m/s (139). C'est dans la formule (143) et est égal à 0,84 s. Nous sommes d'accord avec vous pour l'instant et déterminons la valeur moyenne de l'impulsion de choc
La question se pose immédiatement : pourquoi la magnitude de l'impulsion de choc (146) est-elle inférieure à la force newtonienne de 50 600 tonnes ? Vous, chers mathématiciens, n’avez pas de réponse. Allons plus loin.
Selon la dynamique newtonienne, la principale force qui a résisté à la montée du groupe motopropulseur était la gravité. Puisque cette force est dirigée contre le mouvement du groupe motopropulseur, elle génère une décélération, qui est égale à l'accélération chute libre. Alors la force gravitationnelle agissant sur le groupe motopropulseur volant vers le haut est égale à
La dynamique de Newton ne prend pas en compte les autres forces qui ont empêché l'action de la force newtonienne de 50 600 tonnes (144), et la mécanodynamique affirme qu'une force d'inertie égale à la montée du groupe motopropulseur a également résisté à
La question se pose immédiatement : comment trouver le degré de décélération dans le mouvement du groupe motopropulseur ? La dynamique newtonienne est silencieuse, mais la mécanodynamique répond : au moment de l'action de la force newtonienne, qui soulevait le groupe motopropulseur, elle fut résistée par : la force de gravité et la force d'inertie, donc l'équation des forces agissant sur la puissance l’unité à ce moment s’écrit comme suit.
