Vous vous êtes déjà rencontrés dans le cours d'algèbre de 7e année, mais ce n'étaient que des systèmes type spécial- systèmes de deux équations linéaires avec deux variables. En 8e année, vous avez appris à résoudre des équations rationnelles à une variable, ce qui signifie que vous pouvez penser à résoudre des systèmes d'équations rationnelles à deux variables, d'autant plus que de tels systèmes sont assez souvent modèles mathématiques situations étudiées. Vous avez déjà découvert l'un de ces modèles grâce au manuel Algebra-8. L'exemple ci-dessous est tiré du manuel référencé.

En pratique, une interprétation plus large du terme « équation rationnelle à deux variables » est plus pratique : il s'agit d'une équation de la forme - expressions rationnelles à deux variables x et y.
Exemples d'équations rationnelles à deux variables :

Bien sûr, vous pouvez envisager des équations rationnelles avec d'autres variables, pas nécessairement avec x, par exemple a3 - bx = 3ab - une équation rationnelle avec deux variables a, b. Mais selon la tradition, en algèbre, on préfère utiliser les lettres x et y comme variables.

Définition 2.

Une solution à l'équation p (x, y) = 0 est n'importe quelle paire de nombres (x; y) qui satisfait cette équation, c'est-à-dire transforme l'égalité avec les variables p (x, y) = 0 en une véritable égalité numérique.

Par exemple:

1) (3; 7) - solution de l'équation x 2 + y 2 = 58. En effet, 3 2 + 7 2 = 58 est une égalité numérique correcte.
2) - solution de l'équation x 2 + y 2 - 58. En fait, - corriger l'égalité numérique (22 + 36 = 58).

3) (0 ; 5) - solution de l'équation 2xy + x 3 = 0. En effet, 2 0 5 + 0+ O 2 = 0 est une égalité numérique correcte.
4) (1 ; 2) n'est pas une solution de l'équation 2xy + x 3 = 0. En fait, 2 1 2 + 3 = 0 est une égalité incorrecte (il s'avère que 5 = 0).

Pour les équations à deux variables, ainsi que pour les équations à une variable, on peut introduire la notion d'équivalence des équations.

Définition 3.

Deux équations p(x, y) = 0 et d(x, y) = 0 sont dites équivalentes si elles ont les mêmes solutions (en particulier si les deux équations n'ont pas de solutions).

Habituellement, lors de la résolution d'une équation, ils essaient de remplacer cette équation par une équation plus simple, mais équivalente. Un tel remplacement est appelé transformation équivalente de l’équation. Les deux principales conversions équivalentes sont répertoriées ci-dessous :

1) Transférer les termes de l'équation d'une partie de l'équation à une autre avec des signes opposés.
Par exemple, remplacer l'équation 2x + bу = 7x - 8у par l'équation 2x - 7x - -8у - bу est une transformation équivalente de l'équation.
2) Multiplier ou diviser les deux côtés d’une équation par le même nombre ou expression non nul.
Par exemple, remplacer l'équation 0,5l:2 - 0,3xy = 2y par l'équation 5l:2 - 3xy = 20y (les deux côtés de l'équation ont été multipliés terme par terme par 10) est une transformation équivalente de l'équation.

Les transformations inéquivalentes de l'équation, comme dans le cas des équations à une variable, sont :

1) Libération des dénominateurs contenant des variables.
2) Mettre au carré les deux côtés de l’équation.

Si l'une des transformations non équivalentes indiquées a été utilisée dans le processus de résolution de l'équation, alors toutes les solutions trouvées doivent être vérifiées par substitution dans l'équation d'origine, car il peut y avoir des solutions superflues parmi elles.

Parfois, il est possible de passer à un modèle géométrique (graphique) d'une équation à deux variables, c'est-à-dire tracer l’équation. Vous vous souvenez probablement que le graphique d'une équation linéaire à deux variables ax + bу + c = 0 (a, b, c sont des nombres, des coefficients, où au moins un des nombres a, b est différent de zéro) est une ligne droite - un modèle géométrique d'équation linéaire. Essayons de trouver les modèles graphiques correspondants pour des équations plus rationnelles à deux variables x et y.

Exemple 2. Tracez un graphique de l'équation y - 2x2 = 0.

Solution. Transformons l'équation sous la forme y = 2x2. Le graphique de la fonction y - 2x2 est une parabole, qui est également considérée comme le graphique de l'équation y - 2x2 = 0 (Fig. 33).

Exemple 3. Représentez graphiquement l’équation xy = 2.
Solution. Transformons l'équation sous la forme Le graphique de la fonction - est une hyperbole, il est également considéré comme le graphique de l'équation xy = 2 (Fig. 34).

Ainsi, si l'équation p(x, y) = O peut être transformée sous la forme y = f (x), alors le graphe de la fonction y - f (x) est considéré en même temps comme le graphe de la équation p(x, y) - 0.

Exemple 4. Représentez graphiquement l'équation x 2 + y 2 = 16.

Solution.

Utilisons un théorème du cours de géométrie : le graphique de l'équation x 2 + y 2 = r 2, où r est un nombre positif, est un cercle avec un centre à l'origine et un rayon r. Cela signifie que le graphique de l'équation x 2 + y 2 = 16 est un cercle avec un centre à l'origine et un rayon 4 (Fig. 35).

Le théorème mentionné ci-dessus est un cas particulier du théorème suivant, que nous espérons que vous connaissez également grâce à votre cours de géométrie.

Exemple 5. Représentez graphiquement l'équation :

a) (x - I) 2 + (y - 2) 2 = 9 ; b) x 2 + y 2 + 4x = 0.

Solution:

a) Réécrivons l'équation sous la forme (x - I) 2 + (y - 2) 2 = 32. Le graphique de cette équation, selon le théorème, est un cercle de centre au point (1 ; 2) et de rayon 3 (Fig. 37).

b) Réécrivons l'équation sous la forme (x 2 + 4x + 4) + y 2 = 4, c'est-à-dire (x + 2) 2 + y 2 = 4 et en outre (x - (-2)) 2 + (y - O) 2 = 22. Le graphique de cette équation, selon le théorème, est un cercle dont le centre est à le point (-2; 0 ) et le rayon 2 (Fig. 38).

Définition 4.

Si la tâche consiste à trouver des paires de valeurs (x; y) qui satisfont simultanément l'équation p (x, y) = 0 et l'équation q (x, y) = 0, alors ils disent que ces équations forment un système d'équations :

Une paire de valeurs (x; y), qui est simultanément une solution à la fois à la première et à la deuxième équation du système, est appelée une solution au système d'équations. Résoudre un système d'équations signifie trouver toutes ses solutions ou établir qu'il n'y a pas de solutions.
Par exemple, paire (3 ; 7) - solution du système d'équations

En fait, cette paire satisfait à la fois la première et la deuxième équation du système, ce qui signifie qu’elle est sa solution. Habituellement, cela s'écrit ainsi : (3 ; 7) - une solution du système ou Une paire (5 ; 9) n'est pas une solution du système (1) : elle ne satisfait pas la première équation (bien qu'elle satisfasse la deuxième équation du système).

Bien entendu, les variables des équations qui forment un système d'équations peuvent être désignées par d'autres lettres, par exemple : Mais dans tous les cas, lors de l'écriture de la réponse sous la forme d'une paire de nombres, le lexique est utilisé méthode graphique, c'est à dire. La première place est donnée à celle des deux lettres qui apparaît plus tôt dans l’alphabet latin.

Parfois, vous pouvez résoudre un système d'équations en utilisant une méthode graphique que vous connaissez bien : vous devez tracer graphiquement la première équation, puis représenter graphiquement la deuxième équation, et enfin trouver les points d'intersection des graphiques ; les coordonnées de chaque point d'intersection servent de solution au système d'équations.

Exemple 6. Résoudre un système d'équations

Solution.

1) Construisez un graphique de l'équation x 2 + y 2 = 16 - un cercle avec un centre à l'origine et un rayon 4 (Fig. 39).
2) Construisons un graphique de l'équation y - x = 4. Il s'agit d'une droite passant par les points (0 ; 4) et (-4 ; 0) (Fig. 39).
3) Le cercle et la droite se coupent aux points A et B (Fig. 39). À en juger par le modèle géométrique construit, le point A a des coordonnées A(-4 ; 0) et le point B a des coordonnées B(0 ; 4). La vérification montre qu'en fait le couple (-4 ; 0) et le couple (0 ; 4) sont des solutions des deux équations du système, et donc des solutions du système d'équations. Par conséquent, le système d'équations donné a deux solutions : (-4 ; 0) et (0 ; 4).

Répondre: (-4; 0); (0; 4).

Exemple 7. Résoudre un système d'équations

Solution.

1) Après avoir réécrit la première équation du système sous la forme y = 2x 2, nous arrivons à la conclusion : le graphique de l'équation est une parabole (Fig. 40).
2) Après avoir réécrit la deuxième équation du système sous la forme nous arrivons à la conclusion : le graphique de l'équation est une hyperbole (Fig. 40).

3) La parabole et l'hyperbole se coupent au point A (Fig. 40). À en juger par le modèle géométrique construit, le point A a les coordonnées A (1 ; 2). La vérification montre qu'en effet le couple (1 ; 2) est une solution des deux équations du système, et donc une solution du système d'équations. Par conséquent, le système d'équations donné a une solution : (1 ; 2).

Réponse : (1 ; 2).

La méthode graphique de résolution de systèmes d'équations, comme la méthode graphique de résolution d'équations, est belle, mais peu fiable : d'abord, parce que nous ne pourrons pas toujours construire des graphiques d'équations ; deuxièmement, même s'il était possible de construire des graphiques d'équations, les points d'intersection peuvent ne pas être aussi « bons » que dans les exemples 6 et 7 spécialement sélectionnés, et peuvent même se trouver en dehors des limites du dessin. Cela signifie que nous devons disposer d'un méthodes algébriques résoudre des systèmes de deux équations à deux variables. Ceci sera discuté dans le paragraphe suivant.

A.G. Mordkovich Algèbre 9e année

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Nous avons déjà appris à résoudre des équations quadratiques. Étendons maintenant les méthodes étudiées aux équations rationnelles.

Ce qui s'est passé expression rationnelle? Nous avons déjà rencontré ce concept. Expressions rationnelles sont des expressions composées de nombres, de variables, de leurs puissances et de symboles d'opérations mathématiques.

En conséquence, les équations rationnelles sont des équations de la forme : , où - des expressions rationnelles.

Auparavant, nous n'avions considéré que les équations rationnelles pouvant être réduites à des équations linéaires. Examinons maintenant ces équations rationnelles qui peuvent être réduites à des équations quadratiques.

Exemple 1

Résous l'équation: .

Solution:

Une fraction est égale à 0 si et seulement si son numérateur est égal à 0 et son dénominateur n'est pas égal à 0.

On obtient le système suivant :

La première équation du système est une équation quadratique. Avant de le résoudre, divisons tous ses coefficients par 3. On obtient :

On obtient deux racines : ; .

Puisque 2 n’est jamais égal à 0, deux conditions doivent être remplies : . Puisqu'aucune des racines de l'équation obtenue ci-dessus ne coïncide avec les valeurs invalides de la variable obtenues lors de la résolution de la deuxième inéquation, ce sont toutes deux des solutions équation donnée.

Répondre:.

Formulons donc un algorithme pour résoudre des équations rationnelles :

1. Déplacez tous les termes vers la gauche afin que le côté droit se termine par 0.

2. Transformez et simplifiez le côté gauche, ramenez toutes les fractions à un dénominateur commun.

3. Égalisez la fraction résultante à 0 en utilisant l'algorithme suivant : .

4. Notez les racines obtenues dans la première équation et satisfaisez la deuxième inégalité dans la réponse.

Regardons un autre exemple.

Exemple 2

Résous l'équation: .

Solution

Au tout début, on déplace tous les termes vers la gauche pour que 0 reste à droite. On obtient :

Ramenons maintenant le côté gauche de l’équation à un dénominateur commun :

Cette équation est équivalente au système :

La première équation du système est une équation quadratique.

Coefficients de cette équation : . On calcule le discriminant :

On obtient deux racines : ; .

Résolvons maintenant la deuxième inégalité : le produit des facteurs n'est pas égal à 0 si et seulement si aucun des facteurs n'est égal à 0.

Deux conditions doivent être remplies : . On constate que des deux racines de la première équation, une seule convient - 3.

Répondre:.

Dans cette leçon, nous avons rappelé ce qu'est une expression rationnelle et avons également appris à résoudre des équations rationnelles, qui se réduisent à des équations quadratiques.

Dans la leçon suivante, nous examinerons les équations rationnelles en tant que modèles de situations réelles, ainsi que les problèmes de mouvement.

Bibliographie

1. Bashmakov M.I. Algèbre, 8e année. - M. : Éducation, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et autres, Algebra, 8, 5e éd. - M. : Éducation, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algèbre, 8e année. Tutoriel pour les établissements d'enseignement. - M. : Éducation, 2006.

1. Festival des Idées Pédagogiques" Leçon publique" ().
2. École.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Devoirs

Dans le cours de mathématiques de 7ème, on rencontre pour la première fois équations à deux variables, mais ils ne sont étudiés que dans le contexte de systèmes d'équations à deux inconnues. C'est pourquoi toute une série de problèmes dans lesquels certaines conditions sont introduites sur les coefficients de l'équation qui les limite tombent hors de vue. De plus, les méthodes de résolution de problèmes telles que « Résoudre une équation en nombres naturels ou entiers » sont également ignorées, bien que dans Matériel d'examen d'État unifié et sur Examen d'admission Les problèmes de ce type sont de plus en plus courants.

Quelle équation sera appelée équation à deux variables ?

Ainsi, par exemple, les équations 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 ou xy = 12 sont des équations à deux variables.

Considérons l'équation 2x – y = 1. Elle devient vraie lorsque x = 2 et y = 3, donc cette paire de valeurs variables est une solution à l'équation en question.

Ainsi, la solution de toute équation à deux variables est un ensemble de paires ordonnées (x ; y), valeurs des variables qui transforment cette équation en une véritable égalité numérique.

Une équation à deux inconnues peut :

UN) avoir une solution. Par exemple, l'équation x 2 + 5y 2 = 0 a une solution unique (0 ; 0) ;

b) avoir plusieurs solutions. Par exemple, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 a 4 solutions : (5 ; 2), (-5 ; 2), (5 ; -2), (-5 ; - 2);

V) n'ai pas de solutions. Par exemple, l'équation x 2 + y 2 + 1 = 0 n'a pas de solution ;

G) avoir une infinité de solutions. Par exemple, x + y = 3. Les solutions de cette équation seront des nombres dont la somme est égale à 3. L'ensemble des solutions de cette équation peut s'écrire sous la forme (k ; 3 – k), où k est n'importe quel réel nombre.

Les principales méthodes de résolution d'équations à deux variables sont des méthodes basées sur la factorisation d'expressions, l'isolation d'un carré complet et l'utilisation de propriétés. équation quadratique, limites des expressions, méthodes d'évaluation. L'équation est généralement transformée en une forme à partir de laquelle un système permettant de trouver les inconnues peut être obtenu.

Factorisation

Exemple 1.

Résolvez l’équation : xy – 2 = 2x – y.

Solution.

Nous regroupons les termes à des fins de factorisation :

(xy + y) – (2x + 2) = 0. De chaque parenthèse nous retirons un facteur commun :

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0 ;

(x + 1)(y – 2) = 0. On a :

y = 2, x – n'importe quel nombre réel ou x = -1, y – n'importe quel nombre réel.

Ainsi, la réponse est toutes les paires de la forme (x; 2), x € R et (-1; y), y € R.

Égal à zéro n'est pas nombres négatifs

Exemple 2.

Résolvez l'équation : 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Solution.

Regroupement:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Maintenant, chaque parenthèse peut être pliée en utilisant la formule de différence au carré.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

La somme de deux expressions non négatives est nulle seulement si 3x – 2 = 0 et 2y – 3 = 0.

Cela signifie x = 2/3 et y = 3/2.

Réponse : (2/3 ; 3/2).

Méthode d'estimation

Exemple 3.

Résolvez l'équation : (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Solution.

Dans chaque parenthèse nous sélectionnons un carré complet :

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Estimons le sens des expressions entre parenthèses.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 et (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, alors le côté gauche de l'équation est toujours au moins 2. L'égalité est possible si :

(x + 1) 2 + 1 = 1 et (y – 2) 2 + 2 = 2, ce qui signifie x = -1, y = 2.

Réponse : (-1 ; 2).

Faisons connaissance avec une autre méthode de résolution d'équations à deux variables du deuxième degré. Cette méthode consiste à traiter l'équation comme carré par rapport à une variable.

Exemple 4.

Résolvez l'équation : x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Solution.

Résolvons l'équation comme une équation quadratique pour x. Trouvons le discriminant :

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . L'équation n'aura de solution que lorsque D = 0, c'est-à-dire si y = 4. Nous substituons la valeur de y dans l'équation d'origine et constatons que x = 3.

Réponse : (3 ; 4).

Souvent dans les équations à deux inconnues, ils indiquent restrictions sur les variables.

Exemple 5.

Résolvez l'équation en nombres entiers : x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Solution.

Réécrivons l'équation sous la forme x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Le côté droit de l'équation résultante lorsqu'il est divisé par 5 donne un reste de 2. Par conséquent, x 2 n'est pas divisible par 5. Mais le carré de a un nombre non divisible par 5 donne un reste de 1 ou 4. Ainsi, l'égalité est impossible et il n'y a pas de solutions.

Réponse : pas de racines.

Exemple 6.

Résolvez l'équation : (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Solution.

Soulignons carrés parfaits dans chaque tranche :

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Le côté gauche de l'équation est toujours supérieur ou égal à 3. L'égalité est possible à condition que |x| – 2 = 0 et y + 3 = 0. Ainsi, x = ± 2, y = -3.

Réponse : (2 ; -3) et (-2 ; -3).

Exemple 7.

Pour chaque paire d'entiers négatifs (x; y) satisfaisant l'équation
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calculez la somme (x + y). Veuillez indiquer le plus petit montant dans votre réponse.

Solution.

Sélectionnons des carrés complets :

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37 ;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Puisque x et y sont des nombres entiers, leurs carrés sont également des nombres entiers. On obtient la somme des carrés de deux entiers égale à 37 si l'on additionne 1 + 36. Donc :

(x – y) 2 = 36 et (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 et (y + 2) 2 = 36.

En résolvant ces systèmes et en tenant compte du fait que x et y sont négatifs, nous trouvons des solutions : (-7 ; -1), (-9 ; -3), (-7 ; -8), (-9 ; -8).

Réponse : -17.

Ne désespérez pas si vous avez des difficultés à résoudre des équations à deux inconnues. Avec un peu de pratique, vous pouvez gérer n'importe quelle équation.

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Considérons une équation à deux variables

Une paire de valeurs de variables qui rend vraie une équation à deux variables est appelée une solution de l'équation. Si une équation avec deux variables x et y est donnée, alors il est d'usage d'écrire sa solution en mettant la valeur de la variable en premier lieu, et en deuxième place - la valeur de y.

Ainsi, les paires sont des solutions de l'équation, mais la paire (1 ; 5) n'est pas une solution de l'équation.

Cette équation a d'autres solutions. Pour les trouver, il est pratique d'exprimer une variable en fonction d'une autre, par exemple x à y y, ce qui donne l'équation . Après avoir choisi une valeur arbitraire de y, nous calculons la valeur correspondante de x. Par exemple, si cela signifie que la paire (31 ; 7) est une solution de l’équation ; si cela veut dire que le couple (4; -2) est aussi une solution équation donnée etc.

Les équations à deux variables sont dites équivalentes si elles ont les mêmes solutions.

Pour les équations à deux variables, les théorèmes 5.1 et 5.2 (voir paragraphe 135) sur les transformations équivalentes de l'équation sont valables.

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dans une équation arbitrairement choisie (dans le système), insérez le nombre 11 à la place du « jeu » déjà trouvé et calculez la deuxième inconnue :

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
La réponse à ce système d'équations est x=116, y=11.

Méthode graphique.
Elle consiste à trouver pratiquement les coordonnées du point d’intersection de droites, écrites mathématiquement dans un système d’équations. Les graphiques des deux lignes doivent être tracés séparément dans le même système de coordonnées. Forme généraleéquation d'une droite : – у=khх+b. Pour construire une droite, il suffit de trouver les coordonnées de deux points, et x est choisi arbitrairement.
Soit le système : 2x – y=4

Y=-3x+1.
Une ligne droite est construite à l'aide de la première équation, pour plus de commodité, vous devez l'écrire : y = 2x-4. Trouvez des valeurs (plus faciles) pour x, en les remplaçant dans l'équation, en les résolvant et en trouvant y. Nous obtenons deux points le long desquels une ligne droite est construite. (voir l'image)
x0 1

y-4-2
Une ligne droite est construite à l'aide de la deuxième équation : y=-3x+1.
Construisez également une ligne droite. (voir l'image)

et 1 -5
Trouvez les coordonnées du point d'intersection de deux lignes construites sur le graphique (si les lignes ne se coupent pas, alors le système d'équations n'a pas de solution - cela se produit).

Vidéo sur le sujet

Conseil utile

Si vous résolvez le même système d’équations de trois manières différentes, la réponse sera la même (si la solution est correcte).

Sources:

• Algèbre de 8e année
• résoudre une équation à deux inconnues en ligne
• Exemples de résolution de systèmes d'équations linéaires avec deux

Résoudre un système d’équations est un défi et une aventure passionnante. Comment système plus complexe, plus il est intéressant de le résoudre. Le plus souvent en mathématiques lycée Il existe des systèmes d’équations à deux inconnues, mais en mathématiques supérieures, il peut y avoir davantage de variables. Les systèmes peuvent être résolus en utilisant plusieurs méthodes.

Instructions

La méthode la plus courante pour résoudre un système d’équations est la substitution. Pour ce faire, il est nécessaire d’exprimer une variable en termes d’une autre et de la substituer dans la deuxième équation du système, réduisant ainsi l’équation à une variable. Par exemple, étant donné les équations suivantes : 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

A partir de la deuxième expression, il convient d'exprimer l'une des variables, en déplaçant tout le reste vers la droite de l'expression, sans oublier de changer le signe du coefficient : x = 3-y.

Ouvrez les parenthèses : 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Nous substituons la valeur résultante y dans l'expression : x=3-y;x=3-1;x=2 .

Dans la première expression tous les termes valent 2, vous pouvez mettre 2 entre parenthèses