Selon le manuel de Sovetov et Yakovlev : « un modèle (du latin module - mesure) est un objet de substitution à l'objet original, qui assure l'étude de certaines propriétés de l'original ». (p. 6) « Remplacer un objet par un autre afin d'obtenir des informations sur les propriétés les plus importantes de l'objet d'origine à l'aide d'un objet modèle est appelé modélisation. » (p. 6) « Par modélisation mathématique, nous comprendrons le processus d'établissement de correspondance entre un objet réel donné et un objet mathématique, appelé modèle mathématique, et l'étude de ce modèle, qui nous permet d'obtenir les caractéristiques de l'objet sous considération objet réel. Le type de modèle mathématique dépend à la fois de la nature de l'objet réel et des tâches d'étude de l'objet ainsi que de la fiabilité et de la précision requises pour résoudre ce problème.

Enfin, la définition la plus concise d'un modèle mathématique : "Une équation exprimant une idée».

Classement des modèles

Classification formelle des modèles

La classification formelle des modèles repose sur la classification des outils mathématiques utilisés. Souvent construit sous forme de dichotomies. Par exemple, l’un des ensembles de dichotomies les plus populaires :

et ainsi de suite. Chaque modèle construit est linéaire ou non linéaire, déterministe ou stochastique, ... Bien entendu, des types mixtes sont également possibles : concentré dans un sens (en termes de paramètres), distribué dans un autre, etc.

Classement selon la manière dont l'objet est représenté

Outre la classification formelle, les modèles diffèrent par la manière dont ils représentent un objet :

• Modèles structurels ou fonctionnels

Modèles structurels représenter un objet comme un système avec sa propre structure et son propre mécanisme de fonctionnement. Modèles fonctionnels n'utilisez pas de telles représentations et ne reflètent que le comportement (fonctionnement) perçu de l'extérieur de l'objet. Dans leur expression extrême, on les appelle aussi modèles « boîte noire ». Des types combinés de modèles sont également possibles, parfois appelés « boîte grise».

Contenu et modèles formels

Presque tous les auteurs décrivant le processus de modélisation mathématique indiquent qu'une structure idéale spéciale est d'abord construite, modèle de contenu. Il n'y a pas de terminologie établie ici, et d'autres auteurs appellent cet objet idéal modèle conceptuel , modèle spéculatif ou prémodèle. Dans ce cas, la construction mathématique finale est appelée modèle formel ou simplement un modèle mathématique obtenu à la suite de la formalisation d'un modèle significatif donné (pré-modèle). La construction d'un modèle significatif peut être réalisée à l'aide d'un ensemble d'idéalisations toutes faites, comme en mécanique, où les ressorts idéaux, les corps rigides, les pendules idéaux, les milieux élastiques, etc. fournissent des modèles prêts à l'emploi. éléments structurels pour une modélisation significative. Cependant, dans les domaines de la connaissance où il n’existe pas de théories formalisées entièrement achevées (à la pointe de la physique, de la biologie, de l’économie, de la sociologie, de la psychologie et de la plupart des autres domaines), la création de modèles significatifs devient considérablement plus difficile.

Classification du contenu des modèles

Aucune hypothèse scientifique ne peut être prouvée une fois pour toutes. Richard Feynman l’a formulé très clairement :

« Nous avons toujours la possibilité de réfuter une théorie, mais notons que nous ne pouvons jamais prouver qu’elle est correcte. Supposons que vous ayez avancé une hypothèse réussie, calculé où elle mène et constaté que toutes ses conséquences sont confirmées expérimentalement. Cela signifie-t-il que votre théorie est correcte ? Non, cela signifie simplement que vous n’avez pas réussi à le réfuter.

Si un modèle du premier type est construit, cela signifie qu’il est temporairement accepté comme vérité et que l’on peut se concentrer sur d’autres problèmes. Cependant, cela ne peut pas être un point de recherche, mais seulement une pause temporaire : le statut d'un modèle du premier type ne peut être que temporaire.

Type 2: Modèle phénoménologique (nous nous comportons comme si…)

Un modèle phénoménologique contient un mécanisme pour décrire un phénomène. Cependant, ce mécanisme n’est pas assez convaincant, ne peut pas être suffisamment confirmé par les données disponibles ou ne correspond pas bien aux théories existantes et aux connaissances accumulées sur l’objet. Les modèles phénoménologiques ont donc le statut de solutions temporaires. On estime que la réponse est encore inconnue et que la recherche des « véritables mécanismes » doit se poursuivre. Peierls inclut, par exemple, le modèle calorique et le modèle des quarks des particules élémentaires comme deuxième type.

Le rôle du modèle dans la recherche peut évoluer avec le temps, et il peut arriver que de nouvelles données et théories confirment les modèles phénoménologiques et soient promus au statut d'hypothèse. De même, les nouvelles connaissances peuvent progressivement entrer en conflit avec les modèles-hypothèses du premier type, et elles peuvent se traduire dans le second. Ainsi, le modèle des quarks entre progressivement dans la catégorie des hypothèses ; L'atomisme en physique est apparu comme une solution temporaire, mais au cours de l'histoire, il est devenu le premier type. Mais les modèles éther sont passés du type 1 au type 2 et sont désormais hors de la science.

L'idée de simplification est très populaire lors de la construction de modèles. Mais la simplification se présente sous différentes formes. Peierls identifie trois types de simplifications dans la modélisation.

Tapez 3 : Approximation (nous considérons quelque chose de très grand ou de très petit)

S'il est possible de construire des équations décrivant le système étudié, cela ne signifie pas qu'elles peuvent être résolues même à l'aide d'un ordinateur. Une technique courante dans ce cas est l’utilisation d’approximations (modèles de type 3). Parmi eux modèles de réponse linéaire. Les équations sont remplacées par des équations linéaires. Un exemple standard est la loi d'Ohm.

Voici le type 8, très répandu dans les modèles mathématiques des systèmes biologiques.

Tapez 8 : Démonstration des fonctionnalités (l'essentiel est de montrer la cohérence interne de la possibilité)

Ce sont aussi des expériences de pensée avec des entités imaginaires démontrant que phénomène supposé cohérent avec les principes de base et cohérent en interne. C’est la principale différence avec les modèles de type 7, qui révèlent des contradictions cachées.

L’une des plus célèbres de ces expériences est la géométrie de Lobatchevski (Lobatchevski l’appelait « géométrie imaginaire »). Un autre exemple est la production massive de modèles formellement cinétiques de vibrations chimiques et biologiques, d'ondes automatiques, etc. Le paradoxe d'Einstein-Podolsky-Rosen a été conçu comme un modèle de type 7 pour démontrer l'incohérence. mécanique quantique. D'une manière totalement imprévue, il s'est finalement transformé en un modèle de type 8 - une démonstration de la possibilité de téléportation quantique de l'information.

Exemple

Considérons un système mécanique constitué d'un ressort, fixé à une extrémité, et d'une masse de masse, fixée à l'extrémité libre du ressort. Nous supposerons que la charge ne peut se déplacer que dans la direction de l'axe du ressort (par exemple, le mouvement se produit le long de la tige). Construisons un modèle mathématique de ce système. Nous décrirons l'état du système par la distance entre le centre de la charge et sa position d'équilibre. Décrivons l'interaction du ressort et de la charge en utilisant la loi de Hooke() puis utilisez la deuxième loi de Newton pour l'exprimer sous la forme d'une équation différentielle :

où désigne la dérivée seconde de par rapport au temps : .

L'équation résultante décrit le modèle mathématique du système physique. Ce modèle est appelé « oscillateur harmonique ».

Selon la classification formelle, ce modèle est linéaire, déterministe, dynamique, concentré, continu. Au cours de sa construction, nous avons fait de nombreuses hypothèses (sur l'absence forces externes, absence de frottement, petits écarts, etc.), qui en réalité peuvent ne pas être remplies.

Par rapport à la réalité, il s'agit le plus souvent d'un modèle de type 4 simplification(« nous omettrons certains détails pour plus de clarté »), puisque certaines caractéristiques universelles essentielles (par exemple la dissipation) sont omises. Avec une certaine approximation (par exemple, alors que l'écart de la charge par rapport à l'équilibre est faible, avec un faible frottement, pendant pas trop de temps et sous réserve de certaines autres conditions), un tel modèle décrit assez bien un système mécanique réel, puisque les facteurs écartés ont un effet négligeable sur son comportement. Toutefois, le modèle peut être affiné en prenant en compte certains de ces facteurs. Cela conduira à un nouveau modèle, avec un champ d’applicabilité plus large (bien que là encore limité).

Cependant, lors du raffinement du modèle, la complexité de sa recherche mathématique peut augmenter considérablement et rendre le modèle pratiquement inutile. Souvent, un modèle plus simple permet une exploration meilleure et plus approfondie d’un système réel qu’un modèle plus complexe (et, formellement, « plus correct »).

Si nous appliquons le modèle de l’oscillateur harmonique à des objets éloignés de la physique, son statut substantiel peut être différent. Par exemple, lors de l'application de ce modèle aux populations biologiques, il devrait très probablement être classé dans le type 6. analogie(« ne prenons en compte que quelques fonctionnalités »).

Modèles durs et mous

L'oscillateur harmonique est un exemple du modèle dit « dur ». Il est obtenu grâce à une forte idéalisation d’un système physique réel. Pour résoudre la question de son applicabilité, il est nécessaire de comprendre l'importance des facteurs que nous avons négligés. En d’autres termes, il est nécessaire d’étudier le modèle « doux », qui est obtenu par une petite perturbation du modèle « dur ». Elle peut être donnée par exemple par l'équation suivante :

Voici une fonction qui peut prendre en compte la force de frottement ou la dépendance du coefficient de rigidité du ressort sur le degré de son étirement - un petit paramètre. Forme explicite de la fonction us dans ce moment pas intéressé. Si nous prouvons que le comportement du modèle souple n’est pas fondamentalement différent de celui du modèle dur (quel que soit le type explicite de facteurs perturbateurs, s’ils sont suffisamment petits), le problème se réduira à l’étude du modèle dur. Dans le cas contraire, l'application des résultats obtenus lors de l'étude du modèle rigide nécessitera des recherches supplémentaires. Par exemple, la solution de l'équation d'un oscillateur harmonique est constituée de fonctions de la forme , c'est-à-dire des oscillations d'amplitude constante. S'ensuit-il qu'un oscillateur réel oscillera indéfiniment avec une amplitude constante ? Non, car en considérant un système avec un frottement arbitrairement faible (toujours présent dans un système réel), on obtient des oscillations amorties. Le comportement du système a changé qualitativement.

Si un système conserve son comportement qualitatif malgré de petites perturbations, on dit qu’il est structurellement stable. Un oscillateur harmonique est un exemple de système structurellement instable (non rugueux). Cependant, ce modèle peut être utilisé pour étudier des processus sur des périodes de temps limitées.

Polyvalence des modèles

Les modèles mathématiques les plus importants ont généralement propriété importante Polyvalence: Des phénomènes réels fondamentalement différents peuvent être décrits par le même modèle mathématique. Par exemple, un oscillateur harmonique décrit non seulement le comportement d'une charge sur un ressort, mais aussi d'autres processus oscillatoires, ayant souvent une nature complètement différente : petites oscillations d'un pendule, fluctuations du niveau de liquide dans un récipient en forme de A, ou changement de l'intensité du courant dans un circuit oscillant. Ainsi, en étudiant un modèle mathématique, on étudie immédiatement toute une classe de phénomènes qu'il décrit. C'est cet isomorphisme des lois exprimé par les modèles mathématiques dans divers segments savoir scientifique, qui a inspiré Ludwig von Bertalanffy pour créer la « Théorie générale des systèmes ».

Problèmes directs et inverses de modélisation mathématique

De nombreux problèmes sont associés à la modélisation mathématique. Il faut d'abord dresser un schéma de base de l'objet modélisé, le reproduire dans le cadre des idéalisations de cette science. Ainsi, un wagon se transforme en un système de plaques et de corps plus complexes constitués de différents matériaux, chaque matériau est spécifié comme son idéalisation mécanique standard (densité, modules élastiques, caractéristiques de résistance standard), après quoi des équations sont établies, et en cours de route certains détails sont écartés car sans importance, des calculs sont effectués, comparés aux mesures, le modèle est affiné, etc. Cependant, pour développer des technologies de modélisation mathématique, il est utile de démonter ce processus en ses principales composantes.

Traditionnellement, il existe deux grandes classes de problèmes associés aux modèles mathématiques : directs et inverses.

Tâche directe: la structure du modèle et tous ses paramètres sont considérés comme connus, la tâche principale est de mener une étude du modèle pour en extraire des connaissances utiles sur l'objet. Quelle charge statique le pont résistera-t-il ? Comment il réagira à une charge dynamique (par exemple, à la marche d'une compagnie de soldats ou au passage d'un train à différentes vitesses), comment l'avion franchira le mur du son, s'il s'effondrera à cause du flottement - ce sont des exemples typiques d’un problème direct. Définir le bon problème direct (poser la bonne question) nécessite des compétences particulières. Si les bonnes questions ne sont pas posées, un pont peut s’effondrer, même si un bon modèle de comportement a été construit. Ainsi, en 1879, un pont métallique sur la rivière Tay s'est effondré en Grande-Bretagne, dont les concepteurs ont construit un modèle du pont, l'ont calculé pour avoir un facteur de sécurité de 20 fois pour l'action de la charge utile, mais ont oublié les vents. souffle constamment dans ces endroits. Et au bout d’un an et demi, il s’est effondré.

Dans le cas le plus simple (une équation d’oscillateur par exemple), le problème direct est très simple et se réduit à une solution explicite de cette équation.

Problème inverse: de nombreux modèles possibles sont connus, un modèle spécifique doit être sélectionné en fonction de données supplémentaires sur l'objet. Le plus souvent, la structure du modèle est connue et certains paramètres inconnus doivent être déterminés. Informations Complémentaires peut consister en des données empiriques supplémentaires ou en des exigences pour l'objet ( problème de conception). Des données supplémentaires peuvent arriver quel que soit le processus de résolution du problème inverse ( observation passive) ou être le résultat d'une expérimentation spécialement planifiée lors de la solution ( surveillance active).

L'un des premiers exemples d'une solution magistrale à un problème inverse avec l'utilisation la plus complète des données disponibles a été la méthode construite par I. Newton pour reconstruire les forces de frottement à partir des oscillations amorties observées.

Un autre exemple est celui des statistiques mathématiques. La tâche de cette science est de développer des méthodes d'enregistrement, de description et d'analyse des données d'observation et expérimentales afin de construire des modèles probabilistes de phénomènes aléatoires de masse. Ceux. l'ensemble des modèles possibles est limité aux modèles probabilistes. Dans des tâches spécifiques, l'ensemble des modèles est plus limité.

Systèmes de simulation informatique

Pour prendre en charge la modélisation mathématique, des systèmes mathématiques informatiques ont été développés, par exemple Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, etc. Ils vous permettent de créer des modèles formels et bloc de processus et de dispositifs simples et complexes et de modifier facilement les paramètres du modèle pendant la modélisation. Modèles de blocs sont représentés par des blocs (le plus souvent graphiques) dont l'ensemble et la connexion sont précisés par le schéma modèle.

Exemples supplémentaires

Le modèle de Malthus

Le taux de croissance est proportionnel la taille actuelle populations. Il est décrit par l'équation différentielle

où est un certain paramètre déterminé par la différence entre le taux de natalité et le taux de mortalité. La solution de cette équation est fonction exponentielle. Si le taux de natalité dépasse le taux de mortalité (), la taille de la population augmente indéfiniment et très rapidement. Il est clair qu’en réalité, cela ne peut pas se produire en raison de ressources limitées. Lorsqu’une certaine taille critique de population est atteinte, le modèle cesse d’être adéquat car il ne prend pas en compte les ressources limitées. Un raffinement du modèle de Malthus peut être un modèle logistique, décrit par l'équation différentielle de Verhulst.

où est la taille de la population « d’équilibre », à laquelle le taux de natalité est exactement compensé par le taux de mortalité. La taille de la population dans un tel modèle tend vers une valeur d'équilibre, et ce comportement est structurellement stable.

Système prédateur-proie

Disons que deux types d'animaux vivent dans une certaine zone : les lapins (qui mangent des plantes) et les renards (qui mangent des lapins). Soit le nombre de lapins, le nombre de renards. En utilisant le modèle de Malthus avec les modifications nécessaires pour prendre en compte la consommation de lapins par les renards, on arrive au système suivant, nommé modèles Plateaux - Volterra:

Ce système a un état d’équilibre lorsque le nombre de lapins et de renards est constant. Un écart par rapport à cet état entraîne des fluctuations du nombre de lapins et de renards, similaires aux fluctuations d'un oscillateur harmonique. Comme pour l'oscillateur harmonique, ce comportement n'est pas structurellement stable : un petit changement dans le modèle (par exemple, prise en compte des ressources limitées nécessaires aux lapins) peut conduire à un changement qualitatif du comportement. Par exemple, l’état d’équilibre peut devenir stable et les fluctuations des nombres s’atténueront. La situation inverse est également possible, lorsque tout petit écart par rapport à la position d'équilibre entraînera des conséquences catastrophiques, pouvant aller jusqu'à l'extinction complète de l'une des espèces. Le modèle Volterra-Lotka ne répond pas à la question de savoir lequel de ces scénarios est réalisé : des recherches supplémentaires sont ici nécessaires.

Remarques

1. « Une représentation mathématique de la réalité » (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., À PROPOS questions philosophiques modélisation cybernétique. M., Connaissance, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modélisation des systèmes : Proc. pour les universités - 3e éd., révisée. et supplémentaire - M. : Plus haut. école, 2001. - 343 p. ISBN5-06-003860-2
4. Samarsky A.A., Mikhailov A.P. Modélisation mathématique. Des idées. Méthodes. Exemples. - 2e éd., rév. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Éléments de théorie des modèles mathématiques. - 3e éd., rév. - M. : KomKniga, 2007. - 192 avec ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sévostianov, A.G. Modélisation des processus technologiques : manuel / A.G. Sévostianov, P.A. Sévostianov. – M. : Industrie légère et alimentaire, 1984. - 344 p.
7. Wiktionnaire : modèle mathématique
8. CliffsNotes.com. Glossaire des sciences de la Terre. 20 septembre 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, série Complexity, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN3-540-35885-4
10. « Une théorie est considérée comme linéaire ou non linéaire selon le type d'appareil mathématique – linéaire ou non linéaire – et le type de modèles mathématiques linéaires ou non linéaires qu'il utilise. ...sans nier ce dernier. Un physicien moderne, s’il devait recréer la définition d’une entité aussi importante que la non-linéarité, agirait très probablement différemment et, donnant la préférence à la non-linéarité comme la plus importante et la plus répandue des deux opposés, définirait la linéarité comme « non non-linéarité. » Danilov Yu. A., Cours sur la dynamique non linéaire. Introduction élémentaire. Série « Synergies : du passé au futur ». Édition 2. - M. : URSS, 2006. - 208 p. ISBN5-484-00183-8
11. "Systèmes dynamiques modélisés nombre fini les équations différentielles ordinaires sont appelées systèmes concentrés ou ponctuels. Ils sont décrits à l'aide d'un espace de phase de dimension finie et sont caractérisés par un nombre fini de degrés de liberté. Le même système dans conditions différentes peut être considéré comme concentré ou distribué. Les modèles mathématiques de systèmes distribués sont des équations aux dérivées partielles, des équations intégrales ou des équations à retard ordinaires. Le nombre de degrés de liberté d’un système distribué est infini et un nombre infini de données sont nécessaires pour déterminer son état. Anishchenko V. S., Systèmes dynamiques, revue pédagogique Soros, 1997, n° 11, p. 77-84.
12. « Selon la nature des processus étudiés dans le système S, tous les types de modélisation peuvent être divisés en déterministe et stochastique, statique et dynamique, discrète, continue et discrète-continue. La modélisation déterministe reflète des processus déterministes, c'est-à-dire des processus dans lesquels l'absence de toute influence aléatoire est supposée ; la modélisation stochastique décrit des processus et des événements probabilistes. ... La modélisation statique sert à décrire le comportement d'un objet à tout moment, et la modélisation dynamique reflète le comportement d'un objet au fil du temps. La modélisation discrète est utilisée pour décrire des processus supposés discrets, respectivement, la modélisation continue nous permet de refléter les processus continus dans les systèmes, et la modélisation discrète-continue est utilisée dans les cas où l'on souhaite mettre en évidence la présence de processus discrets et continus. » Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN5-06-003860-2
13. Typiquement, un modèle mathématique reflète la structure (dispositif) de l'objet modélisé, les propriétés et les relations des composants de cet objet qui sont essentielles aux fins de la recherche ; un tel modèle est appelé structurel. Si le modèle reflète uniquement le fonctionnement de l'objet - par exemple, comment il réagit aux influences extérieures - alors il est appelé fonctionnel ou, au sens figuré, une boîte noire. Des modèles combinés sont également possibles. Myshkis A.D. ISBN978-5-484-00953-4
14. « L'étape initiale évidente, mais la plus importante de la construction ou de la sélection d'un modèle mathématique consiste à obtenir une image aussi claire que possible de l'objet modélisé et à affiner son modèle significatif, sur la base de discussions informelles. Vous ne devriez pas perdre de temps ni d'efforts à ce stade, le succès de l'ensemble de l'étude en dépend en grande partie. Il est arrivé plus d'une fois que le travail considérable consacré à la résolution problème mathématique, s’est avéré inefficace, voire inutile, en raison d’une attention insuffisante portée à cet aspect de la question. Myshkis A.D., Éléments de théorie des modèles mathématiques. - 3e éd., rév. - M. : KomKniga, 2007. - 192 avec ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « Description du modèle conceptuel du système.À cette sous-étape de construction d'un modèle de système : a) le modèle conceptuel M est décrit en termes et concepts abstraits ; b) une description du modèle est donnée à l'aide de schémas mathématiques standard ; c) les hypothèses et hypothèses sont finalement acceptées ; d) le choix de la procédure d'approximation des processus réels lors de la construction d'un modèle est justifié. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modélisation des systèmes : Proc. pour les universités - 3e éd., révisée. et supplémentaire - M. : Plus haut. école, 2001. - 343 p. ISBN5-06-003860-2, p. 93.
16. Blekhman I.I., Myshkis A.D.,

Dans cet article, nous proposons des exemples de modèles mathématiques. De plus, nous prêterons attention aux étapes de création de modèles et analyserons certains problèmes liés à la modélisation mathématique.

Une autre question que nous nous posons concerne les modèles mathématiques en économie, dont nous examinerons la définition un peu plus tard. Nous proposons de commencer notre conversation avec la notion même de « modèle », d'examiner brièvement leur classification et de passer à nos principales questions.

La notion de « modèle »

On entend souvent le mot « modèle ». Qu'est-ce que c'est? Ce terme a de nombreuses définitions, en voici seulement trois :

• un objet spécifique créé pour recevoir et stocker des informations, reflétant certaines propriétés ou caractéristiques, etc., de l'original de cet objet (cet objet spécifique peut être exprimé en formes différentes: mental, description par signes, etc.) ;
• Une maquette, c'est aussi une représentation d'une situation, d'une vie ou d'une gestion précise ;
• un modèle peut être une petite copie d'un objet (ils sont créés pour plus étude détaillée et analyse, puisque le modèle reflète la structure et les relations).

Sur la base de tout ce qui a été dit précédemment, nous pouvons tirer une petite conclusion : le modèle permet d'étudier en détail un système ou un objet complexe.

Tous les modèles peuvent être classés selon un certain nombre de caractéristiques :

• par domaine d'utilisation (éducatif, expérimental, scientifique et technique, gaming, simulation) ;
• par dynamique (statique et dynamique) ;
• par branche de connaissance (physique, chimique, géographique, historique, sociologique, économique, mathématique) ;
• par le mode de présentation (matériel et informatif).

Les modèles d'information, à leur tour, sont divisés en symboliques et verbaux. Et les symboliques - en informatiques et non informatiques. Passons maintenant à un examen détaillé d'exemples de modèles mathématiques.

Modèle mathématique

Comme vous pouvez le deviner, un modèle mathématique reflète toutes les caractéristiques d'un objet ou d'un phénomène à l'aide de méthodes spéciales. symboles mathématiques. Les mathématiques sont nécessaires pour modéliser les modèles du monde environnant dans son propre langage spécifique.

La méthode de modélisation mathématique est née il y a très longtemps, il y a des milliers d’années, avec l’avènement de cette science. Cependant, l'impulsion pour le développement de cette méthode de modélisation a été donnée par l'émergence des ordinateurs (ordinateurs électroniques).

Passons maintenant au classement. Elle peut également être réalisée selon certains signes. Ils sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Nous proposons de nous arrêter et d'examiner de plus près la dernière classification, car elle reflète les schémas généraux de modélisation et les objectifs des modèles en cours de création.

Modèles descriptifs

Dans ce chapitre, nous proposons de nous attarder plus en détail sur les modèles mathématiques descriptifs. Pour que tout soit très clair, un exemple sera donné.

Commençons par le fait que ce type peut être qualifié de descriptif. Cela est dû au fait que nous effectuons simplement des calculs et des prévisions, mais que nous ne pouvons en aucun cas influencer l'issue de l'événement.

Un exemple frappant de modèle mathématique descriptif est le calcul de la trajectoire de vol, de la vitesse, de la distance à la Terre d'une comète qui a envahi les étendues de notre système solaire. Ce modèle est descriptif, puisque tous les résultats obtenus ne peuvent que nous avertir d'un éventuel danger. Malheureusement, nous ne pouvons pas influencer le résultat de l'événement. Cependant, sur la base des calculs obtenus, il est possible de prendre toutes mesures pour préserver la vie sur Terre.

Modèles d'optimisation

Parlons maintenant un peu des modèles économiques et mathématiques, dont différentes situations actuelles peuvent servir d'exemples. Dans ce cas nous parlons de sur les modèles qui aident à trouver la bonne réponse dans certaines conditions. Ils ont certainement certains paramètres. Pour que ce soit tout à fait clair, regardons un exemple du secteur agricole.

Nous avons un grenier, mais le grain se gâte très vite. Dans ce cas, nous devons choisir les bonnes conditions de température et optimiser le processus de stockage.

Ainsi, on peut définir la notion de « modèle d’optimisation ». Au sens mathématique, il s'agit d'un système d'équations (à la fois linéaires et non) dont la solution permet de trouver la solution optimale dans une situation économique spécifique. Nous avons regardé un exemple de modèle mathématique (optimisation), mais je voudrais ajouter : ce type appartient à la classe des problèmes extrêmes, ils permettent de décrire le fonctionnement du système économique.

Notons encore une nuance : les mannequins peuvent porter caractère différent(voir le tableau ci-dessous).

Modèles multicritères

Nous vous invitons maintenant à parler un peu du modèle mathématique d'optimisation multicritère. Avant cela, nous avons donné un exemple de modèle mathématique pour optimiser un processus selon un seul critère, mais que se passe-t-il s'il y en a plusieurs ?

Un exemple frappant de tâche multicritère est l’organisation d’une alimentation appropriée, saine et en même temps économique pour de grands groupes de personnes. De telles tâches sont souvent rencontrées dans l’armée, les cantines scolaires, les colonies de vacances, les hôpitaux, etc.

Quels critères nous sont donnés dans cette tâche ?

1. La nutrition doit être saine.
2. Les dépenses alimentaires devraient être minimes.

Comme vous pouvez le constater, ces objectifs ne coïncident pas du tout. Cela signifie que lors de la résolution d’un problème, il faut rechercher une solution optimale, un équilibre entre deux critères.

Modèles de jeu

Lorsqu’on parle de modèles de jeux, il est nécessaire de comprendre le concept de « théorie des jeux ». En termes simples, ces modèles reflètent des modèles mathématiques de conflits réels. Il faut simplement comprendre que, contrairement à un conflit réel, le modèle mathématique du jeu a ses propres règles spécifiques.

Nous allons maintenant fournir un minimum d'informations issues de la théorie des jeux qui vous aideront à comprendre ce qu'est un modèle de jeu. Ainsi, le modèle contient nécessairement des parties (deux ou plus), qui sont généralement appelées joueurs.

Tous les modèles ont certaines caractéristiques.

Le modèle de jeu peut être jumelé ou multiple. Si nous avons deux sujets, alors le conflit est double ; s’il y en a plusieurs, il est multiple. On peut aussi distinguer un jeu antagoniste, on l'appelle aussi jeu à somme nulle. Il s'agit d'un modèle dans lequel le gain de l'un des participants est égal à la perte de l'autre.

Modèles de simulation

Dans cette section, nous prêterons attention aux modèles mathématiques de simulation. Voici des exemples de tâches :

• modèle de dynamique des populations de micro-organismes ;
• modèle de mouvement moléculaire, etc.

Dans ce cas, nous parlons de modèles aussi proches que possible des processus réels. Dans l’ensemble, ils imitent certaines manifestations de la nature. Dans le premier cas, par exemple, on peut simuler la dynamique du nombre de fourmis dans une colonie. En même temps, vous pouvez observer le sort de chaque individu. Dans ce cas, une description mathématique est rarement utilisée ; des conditions écrites sont plus souvent présentes :

• au bout de cinq jours, la femelle pond des œufs ;
• au bout de vingt jours, la fourmi meurt, et ainsi de suite.

Ainsi, ils sont utilisés pour décrire un grand système. Une conclusion mathématique est le traitement des données statistiques obtenues.

Exigences

Il est très important de savoir que ce type de modèle comporte certaines exigences, dont celles listées dans le tableau ci-dessous.

Polyvalence	Cette propriété vous permet d'utiliser le même modèle pour décrire des groupes d'objets similaires. Il est important de noter que les modèles mathématiques universels sont totalement indépendants de la nature physique de l'objet étudié.
Adéquation	Il est important de comprendre ici que cette propriété permet de reproduire le plus fidèlement possible des processus réels. Dans les tâches opérationnelles, cette propriété de modélisation mathématique est très importante. Un exemple de modèle est le processus d'optimisation de l'utilisation d'un système de gaz. Dans ce cas, les indicateurs calculés et réels sont comparés, ce qui permet de vérifier l'exactitude du modèle compilé.
Précision	Cette exigence implique la coïncidence des valeurs que nous obtenons lors du calcul du modèle mathématique et des paramètres d'entrée de notre objet réel
Économique	L’exigence de rentabilité de tout modèle mathématique est caractérisée par les coûts de mise en œuvre. Si vous travaillez manuellement avec le modèle, vous devez calculer combien de temps il faudra pour résoudre un problème à l'aide de ce modèle mathématique. Si nous parlons de conception assistée par ordinateur, alors des indicateurs de temps et de coûts de mémoire informatique sont calculés

Étapes de modélisation

Au total, la modélisation mathématique est généralement divisée en quatre étapes.

1. Formulation de lois reliant les parties du modèle.
2. Etude de problèmes mathématiques.
3. Déterminer la coïncidence des résultats pratiques et théoriques.
4. Analyse et modernisation du modèle.

Modèle économique et mathématique

Dans cette section, nous soulignerons brièvement le problème. Des exemples de tâches comprennent :

• formation d'un programme de production pour la production de produits carnés garantissant des bénéfices de production maximaux ;
• maximiser le profit de l’organisation en calculant la quantité optimale de tables et de chaises produites dans une usine de meubles, etc.

Le modèle économico-mathématique présente une abstraction économique, exprimée à l'aide de termes et de symboles mathématiques.

Modèle mathématique informatique

Des exemples de modèles mathématiques informatiques sont :

• problèmes hydrauliques à l'aide d'organigrammes, de diagrammes, de tableaux, etc. ;
• problèmes de mécanique solide, et ainsi de suite.

Un modèle informatique est une image d'un objet ou d'un système, présentée sous la forme :

• les tables;
• des schémas fonctionnels ;
• des diagrammes;
• graphiques, etc.

De plus, ce modèle reflète la structure et les interconnexions du système.

Construction d'un modèle économique et mathématique

Nous avons déjà parlé de ce qu'est un modèle économico-mathématique. Un exemple de résolution du problème sera considéré maintenant. Nous devons analyser le programme de production pour identifier une réserve permettant d'augmenter les bénéfices avec un changement dans l'assortiment.

Nous n'examinerons pas pleinement le problème, mais construirons uniquement un modèle économique et mathématique. Le critère de notre tâche est la maximisation du profit. Alors la fonction a la forme : А=р1*х1+р2*х2..., tendant vers le maximum. Dans ce modèle, p est le profit par unité et x est le nombre d'unités produites. Ensuite, sur la base du modèle construit, il est nécessaire de faire des calculs et de résumer.

Un exemple de construction d'un modèle mathématique simple

Tâche. Le pêcheur revint avec la prise suivante :

• 8 poissons - habitants des mers du nord ;
• 20 % des captures sont constituées d'habitants des mers du sud ;
• Pas un seul poisson n’a été trouvé dans la rivière locale.

Combien de poissons a-t-il acheté au magasin ?

Ainsi, un exemple de construction d'un modèle mathématique de ce problème ressemble à ceci. Nous désignons le nombre total de poissons par x. Suivant la condition, 0,2x est le nombre de poissons vivant sous les latitudes méridionales. Nous combinons maintenant toutes les informations disponibles et obtenons un modèle mathématique du problème : x=0,2x+8. Nous résolvons l'équation et obtenons la réponse à question principale: Il a acheté 10 poissons dans un magasin.

Conférence 1.

BASES METHODOLOGIQUES DE LA MODÉLISATION

État actuel du problème de la modélisation des systèmes

Concepts de modélisation et de simulation

La modélisation peut être considéré comme le remplacement de l'objet étudié (original) par son image conventionnelle, sa description ou autre objet appelé modèle et fournir un comportement proche de l'original dans le cadre de certaines hypothèses et erreurs acceptables. La modélisation est généralement réalisée dans le but de comprendre les propriétés de l'original en étudiant son modèle, et non l'objet lui-même. Bien entendu, la modélisation est justifiée lorsqu'elle est plus simple que de créer l'original lui-même, ou lorsque, pour une raison quelconque, il est préférable de ne pas créer du tout l'original.

Sous modèle est compris comme un objet physique ou abstrait dont les propriétés sont dans un certain sens similaires aux propriétés de l'objet étudié. Dans ce cas, les exigences du modèle sont déterminées par le problème à résoudre et les moyens disponibles. Il existe un certain nombre d'exigences générales pour les modèles :

2) exhaustivité – fournir au destinataire toutes les informations nécessaires

à propos de l'objet ;

3) flexibilité - la capacité de reproduire différentes situations dans tout

gamme de changements dans les conditions et les paramètres ;

4) la complexité du développement doit être acceptable pour l'existant

temps et logiciel.

La modélisation est le processus de construction d'un modèle d'un objet et d'étude de ses propriétés en examinant le modèle.

Ainsi, la modélisation comporte 2 étapes principales :

1) développement d'un modèle ;

2) étude du modèle et conclusion.

En même temps, à chaque étape, différentes tâches sont résolues et

des méthodes et des moyens essentiellement différents.

En pratique, diverses méthodes de modélisation sont utilisées. Selon la méthode de mise en œuvre, tous les modèles peuvent être divisés en deux grandes classes : physiques et mathématiques.

Modélisation mathématique Il est généralement considéré comme un moyen d'étudier des processus ou des phénomènes à l'aide de leurs modèles mathématiques.

Sous modélisation physique fait référence à l'étude d'objets et de phénomènes sur des modèles physiques, lorsque le processus étudié est reproduit en préservant sa nature physique ou qu'un autre phénomène physique similaire à celui étudié est utilisé. Où modèles physiques En règle générale, ils supposent l'incarnation réelle des propriétés physiques de l'original qui sont importantes dans une situation particulière. Par exemple, lors de la conception d'un nouvel avion, une maquette est créée avec les mêmes propriétés aérodynamiques ; Lors de la planification d’un développement, les architectes créent un modèle qui reflète la disposition spatiale de ses éléments. À cet égard, la modélisation physique est également appelée prototypage.

Modélisation de la demi-vie est une étude de systèmes contrôlables sur des complexes de modélisation avec l'inclusion d'équipements réels dans le modèle. Outre les équipements réels, le modèle fermé comprend des simulateurs d'influences et d'interférences, des modèles mathématiques de l'environnement externe et des processus pour lesquels une description mathématique suffisamment précise est inconnue. L'inclusion d'équipements réels ou de systèmes réels dans le circuit de modélisation de processus complexes permet de réduire l'incertitude a priori et d'explorer des processus pour lesquels il n'existe pas de description mathématique exacte. A l'aide d'une modélisation semi-naturelle, les recherches sont menées en tenant compte des petites constantes de temps et des linéarités inhérentes aux équipements réels. Lors de l'étude de modèles utilisant des équipements réels, le concept est utilisé simulation dynamique, lors de recherches systèmes complexes et phénomènes - évolutionniste, imitation Et modélisation cybernétique.

Évidemment, le véritable bénéfice de la modélisation ne peut être obtenu que si deux conditions sont remplies :

1) le modèle fournit un affichage correct (adéquat) des propriétés

l'original, significatif du point de vue de l'opération étudiée ;

2) le modèle vous permet d'éliminer les problèmes inhérents énumérés ci-dessus

mener des recherches sur des objets réels.

2. Concepts de base de la modélisation mathématique

La résolution de problèmes pratiques à l'aide de méthodes mathématiques s'effectue systématiquement en formulant le problème (développement d'un modèle mathématique), en choisissant une méthode pour étudier le modèle mathématique résultant et en analysant le résultat mathématique obtenu. La formulation mathématique du problème se présente généralement sous forme d'images géométriques, de fonctions, de systèmes d'équations, etc. La description d'un objet (phénomène) peut être représentée à l'aide de formes mathématiques continues ou discrètes, déterministes ou stochastiques.

Théorie de la modélisation mathématique assure l'identification des schémas d'apparition de divers phénomènes dans le monde environnant ou le fonctionnement de systèmes et d'appareils au moyen de leur description mathématique et de leur modélisation sans effectuer d'essais en vraie grandeur. Dans ce cas, on utilise des dispositions et des lois mathématiques qui décrivent les phénomènes, systèmes ou dispositifs simulés à un certain niveau de leur idéalisation.

Modèle mathématique (MM) est une description formalisée d'un système (ou d'une opération) dans un langage abstrait, par exemple sous la forme d'un ensemble de relations mathématiques ou d'un diagramme algorithmique, c'est-à-dire c'est-à-dire une description mathématique qui fournit une simulation du fonctionnement de systèmes ou de dispositifs à un niveau suffisamment proche de leur comportement réel obtenu lors de tests à grande échelle de systèmes ou de dispositifs.

Tout MM décrit un objet, un phénomène ou un processus réel avec un certain degré d'approximation de la réalité. Le type de MM dépend à la fois de la nature de l'objet réel et des objectifs de l'étude.

Modélisation mathématique Les phénomènes sociaux, économiques, biologiques et physiques, les objets, les systèmes et divers dispositifs constituent l'un des moyens les plus importants pour comprendre la nature et concevoir une grande variété de systèmes et de dispositifs. Il existe des exemples connus d'utilisation efficace de la modélisation dans la création de technologies nucléaires, de systèmes aéronautiques et aérospatiaux, dans la prévision des phénomènes atmosphériques et océaniques, de la météo, etc.

Cependant, des domaines de modélisation aussi sérieux nécessitent souvent des superordinateurs et des années de travail de la part de grandes équipes de scientifiques pour préparer les données à la modélisation et à leur débogage. Cependant, dans ce cas, la modélisation mathématique de systèmes et de dispositifs complexes permet non seulement d'économiser de l'argent sur la recherche et les tests, mais peut également éliminer les catastrophes environnementales - par exemple, elle permet d'abandonner les tests d'armes nucléaires et thermonucléaires au profit de leur modélisation mathématique. ou les tests de systèmes aérospatiaux avant leurs vols réels. Entre C'est pourquoi, la modélisation mathématique au niveau de la résolution de problèmes plus simples, par exemple dans le domaine de la mécanique, de l'électrotechnique, de l'électronique, de l'ingénierie radio et de nombreux autres domaines scientifiques et technologiques, est désormais devenue disponible pour fonctionner sur les PC modernes. Et en utilisant des modèles généralisés, il devient possible de simuler des systèmes assez complexes, par exemple des systèmes et réseaux de télécommunications, des systèmes de radar ou de radionavigation.

Le but de la modélisation mathématique est l'analyse de processus réels (dans la nature ou dans la technologie) à l'aide de méthodes mathématiques. À son tour, cela nécessite la formalisation du processus MM à étudier. Le modèle peut être une expression mathématique contenant des variables dont le comportement est similaire à celui d'un système réel. Le modèle peut inclure des éléments aléatoires qui prennent en compte les probabilités de actions possibles de deux ou plus« joueurs », comme dans la théorie des jeux ; ou il peut représenter des variables réelles de parties interconnectées du système d'exploitation.

La modélisation mathématique pour étudier les caractéristiques des systèmes peut être divisée en analytique, simulation et combinée. À leur tour, les MM sont divisés en simulation et analytique.

Modélisation analytique

Pour modélisation analytique Il est caractéristique que les processus de fonctionnement du système s'écrivent sous la forme de certaines relations fonctionnelles (équations algébriques, différentielles, intégrales). Le modèle analytique peut être étudié à l'aide des méthodes suivantes :

1) analytique, lorsqu'ils s'efforcent d'obtenir vue générale dépendances explicites pour les caractéristiques du système ;

2) numérique, lorsqu'il n'est pas possible de trouver une solution aux équations sous forme générale et qu'elles sont résolues pour des données initiales spécifiques ;

3) qualitatif, lorsqu'en l'absence de solution certaines de ses propriétés sont retrouvées.

Les modèles analytiques ne peuvent être obtenus que pour des systèmes relativement simples. Pour les systèmes complexes, de gros problèmes mathématiques surviennent souvent. Pour appliquer la méthode analytique, ils procèdent à une simplification significative du modèle original. Cependant, les recherches utilisant un modèle simplifié ne permettent d'obtenir que des résultats indicatifs. Les modèles analytiques reflètent mathématiquement correctement la relation entre les variables et paramètres d’entrée et de sortie. Mais leur structure ne reflète pas la structure interne de l’objet.

Lors de la modélisation analytique, ses résultats sont présentés sous forme d'expressions analytiques. Par exemple, en connectant R.C.- circuit vers une source de tension constante E(R., C Et E- composants de ce modèle), nous pouvons créer une expression analytique pour la dépendance temporelle de la tension toi(t) sur le condensateur C:

Cette équation différentielle linéaire (DE) est le modèle analytique de ce circuit linéaire simple. Sa solution analytique, dans la condition initiale toi(0) = 0, signifiant un condensateur déchargé C en début de modélisation, permet de trouver la dépendance recherchée - sous forme de formule :

toi(t) = E(1− exp(- t/RC)). (2)

Cependant, même dans cet exemple le plus simple, certains efforts sont nécessaires pour résoudre DE (1) ou pour appliquer systèmes mathématiques informatiques(SCM) avec calculs symboliques – systèmes de calcul formel. Pour ce cas tout à fait trivial, résoudre le problème de la modélisation d'un linéaire R.C.-circuit donne une expression analytique (2) d'une forme assez générale - elle convient pour décrire le fonctionnement du circuit pour toutes les valeurs nominales des composants R., C Et E, et décrit la charge exponentielle du condensateur Cà travers une résistance R.à partir d'une source de tension constante E.

Bien entendu, trouver des solutions analytiques lors de la modélisation analytique s'avère extrêmement utile pour identifier des modèles théoriques généraux de circuits, systèmes et dispositifs linéaires simples. Cependant, sa complexité augmente fortement à mesure que les influences sur le modèle deviennent plus complexes et que l'ordre et le nombre de équations d'état décrivant l'augmentation de l'objet modélisé. Vous pouvez obtenir des résultats plus ou moins visibles lors de la modélisation d'objets du deuxième ou du troisième ordre, mais avec un ordre supérieur, les expressions analytiques deviennent trop lourdes, complexes et difficiles à comprendre. Par exemple, même un simple amplificateur électronique contient souvent des dizaines de composants. Cependant, de nombreux SCM modernes, par exemple les systèmes de mathématiques symboliques Érable, Mathematica ou environnement MATLAB, sont capables d'automatiser largement la résolution de problèmes de modélisation analytique complexes.

Un type de modélisation est modélisation numérique, qui consiste à obtenir les données quantitatives nécessaires sur le comportement de systèmes ou de dispositifs par toute méthode numérique appropriée, telle que les méthodes d'Euler ou de Runge-Kutta. En pratique, la modélisation de systèmes et de dispositifs non linéaires à l'aide méthodes numériques s'avère beaucoup plus efficace que la modélisation analytique de circuits, systèmes ou appareils linéaires privés individuels. Par exemple, pour résoudre des systèmes DE (1) ou DE de plus de cas difficiles une solution ne peut pas être obtenue sous forme analytique, mais à l'aide de données de simulation numérique, on peut obtenir des données assez complètes sur le comportement des systèmes et dispositifs simulés, ainsi que construire des graphiques de dépendances décrivant ce comportement.

Modélisation par simulation

À imitation 10et modélisation, l'algorithme qui met en œuvre le modèle reproduit le processus de fonctionnement du système dans le temps. Les phénomènes élémentaires qui composent le processus sont simulés, en préservant leur structure logique et leur séquence d'événements dans le temps.

Le principal avantage des modèles de simulation par rapport aux modèles analytiques est la capacité à résoudre des problèmes plus complexes.

Les modèles de simulation permettent de prendre facilement en compte la présence d'éléments discrets ou continus, des caractéristiques non linéaires, des influences aléatoires, etc. Cette méthode est donc largement utilisée au stade de la conception de systèmes complexes. Le principal moyen de mise en œuvre de la modélisation par simulation est un ordinateur, qui permet la modélisation numérique des systèmes et des signaux.

À cet égard, définissons l’expression « modélisation informatique», qui est de plus en plus utilisée dans la littérature. Supposons que modélisation informatique est une modélisation mathématique utilisant la technologie informatique. En conséquence, la technologie de modélisation informatique implique d'effectuer les actions suivantes :

1) déterminer le but de la modélisation ;

2) développement d'un modèle conceptuel ;

3) formalisation du modèle ;

4) implémentation logicielle du modèle ;

5) planifier des expériences sur modèles ;

6) mise en œuvre du plan expérimental ;

7) analyse et interprétation des résultats de la modélisation.

À modélisation par simulation le MM utilisé reproduit l'algorithme (« logique ») du fonctionnement du système étudié dans le temps pour diverses combinaisons de valeurs des paramètres du système et de l'environnement extérieur.

Un exemple du modèle analytique le plus simple est l’équation du mouvement uniforme rectiligne. Lors de l'étude d'un tel processus à l'aide d'un modèle de simulation, il convient de mettre en œuvre l'observation des changements dans le chemin parcouru au fil du temps. Évidemment, dans certains cas, la modélisation analytique est préférable, dans d'autres, la simulation (ou une combinaison des deux). Pour faire un bon choix, vous devez répondre à deux questions.

Quel est le but de la modélisation ?

Dans quelle classe peut-on classer le phénomène modélisé ?

Les réponses à ces deux questions peuvent être obtenues au cours des deux premières étapes de la modélisation.

Les modèles de simulation correspondent non seulement en termes de propriétés, mais également en termes de structure à l'objet modélisé. Dans ce cas, il existe une correspondance sans ambiguïté et évidente entre les processus obtenus sur le modèle et les processus se produisant sur l'objet. L’inconvénient de la simulation est qu’il faut beaucoup de temps pour résoudre le problème afin d’obtenir une bonne précision.

Les résultats de la modélisation par simulation du fonctionnement d'un système stochastique sont des implémentations Variables aléatoires ou des processus. Par conséquent, pour trouver les caractéristiques du système, plusieurs répétitions et traitements ultérieurs des données sont nécessaires. Le plus souvent dans ce cas, un type de simulation est utilisé - statistique

la modélisation(ou méthode de Monte Carlo), c'est-à-dire reproduction de facteurs aléatoires, d'événements, de quantités, de processus, de champs dans des modèles.

Sur la base des résultats de la modélisation statistique, des estimations de critères de qualité probabilistes, généraux et spécifiques, caractérisant le fonctionnement et l'efficacité du système géré sont déterminées. La modélisation statistique est largement utilisée pour résoudre des problèmes scientifiques et appliqués dans divers domaines scientifiques et technologiques. Les méthodes de modélisation statistique sont largement utilisées dans l'étude de systèmes dynamiques complexes, évaluant leur fonctionnement et leur efficacité.

La dernière étape de la modélisation statistique repose sur le traitement mathématique des résultats obtenus. Ici, des méthodes de statistiques mathématiques sont utilisées (estimation paramétrique et non paramétrique, tests d'hypothèses). Un exemple d’estimateur paramétrique est la moyenne d’échantillon d’une mesure de performance. Parmi les méthodes non paramétriques, largement répandues méthode d'histogramme.

Le schéma considéré est basé sur des tests statistiques répétés du système et des méthodes de statistiques de variables aléatoires indépendantes. Ce schéma n'est pas toujours naturel en pratique et optimal en termes de coûts. La réduction du temps de test du système peut être obtenue grâce à l’utilisation de méthodes d’évaluation plus précises. Comme le montrent les statistiques mathématiques, les estimations efficaces ont la plus grande précision pour une taille d’échantillon donnée. Le filtrage optimal et la méthode du maximum de vraisemblance donnent méthode générale obtenir de telles estimations. Dans les problèmes de modélisation statistique, le traitement des implémentations de processus aléatoires n'est pas seulement nécessaire pour analyser les processus de sortie.

Le contrôle des caractéristiques des influences aléatoires d’entrée est également très important. Le contrôle consiste à vérifier la conformité des distributions des processus générés avec les distributions données. Ce problème est souvent formulé comme problème de test d'hypothèse.

La tendance générale en matière de modélisation informatique de systèmes contrôlés complexes est la volonté de réduire le temps de modélisation et de mener des recherches en temps réel. Il est pratique de représenter les algorithmes de calcul sous une forme récurrente, permettant leur mise en œuvre au rythme de la réception des informations actuelles.

PRINCIPES D'UNE APPROCHE SYSTÈME EN MODÉLISATION

Principes de base de la théorie des systèmes

Les principes de base de la théorie des systèmes sont apparus lors de l'étude des systèmes dynamiques et de leurs éléments fonctionnels. Un système est compris comme un groupe d’éléments interconnectés qui agissent ensemble pour accomplir une tâche prédéterminée. L'analyse des systèmes vous permet de déterminer le plus de vraies manières l'accomplissement de la tâche assignée, garantissant une satisfaction maximale des exigences énoncées.

Les éléments qui constituent la base de la théorie des systèmes ne sont pas créés par des hypothèses, mais sont découverts expérimentalement. Pour commencer à construire un système, il est nécessaire de disposer des caractéristiques générales des processus technologiques. Il en va de même en ce qui concerne les principes de création de critères formulés mathématiquement auxquels un processus ou sa description théorique doit satisfaire. La modélisation est l’une des méthodes les plus importantes de recherche et d’expérimentation scientifique.

Lors de la construction de modèles d'objets, une approche systémique est utilisée, qui est une méthodologie de résolution de problèmes complexes, basée sur la considération de l'objet comme un système fonctionnant dans un certain environnement. Une approche systématique consiste à révéler l'intégrité d'un objet, à identifier et à étudier sa structure interne, ainsi que ses liens avec l'environnement externe. Dans ce cas, l'objet est présenté comme une partie du monde réel, isolé et étudié en lien avec le problème de construction d'un modèle. En plus, approche systémique implique une transition cohérente du général au spécifique, lorsque l'objectif de conception est la base de la considération et que l'objet est considéré en relation avec l'environnement.

Un objet complexe peut être divisé en sous-systèmes, qui sont des parties de l'objet qui répondent aux exigences suivantes :

1) un sous-système est une partie fonctionnellement indépendante d'un objet. Il est connecté à d'autres sous-systèmes, échange des informations et de l'énergie avec eux ;

2) pour chaque sous-système, des fonctions ou des propriétés qui ne coïncident pas avec les propriétés de l'ensemble du système peuvent être définies ;

3) chacun des sous-systèmes peut être soumis à une division supplémentaire au niveau des éléments.

Dans ce cas, un élément est compris comme un sous-système de niveau inférieur dont la division ultérieure est inappropriée du point de vue du problème à résoudre.

Ainsi, un système peut être défini comme une représentation d'un objet sous la forme d'un ensemble de sous-systèmes, d'éléments et de connexions en vue de sa création, de sa recherche ou de son amélioration. Dans ce cas, une représentation agrandie du système, incluant les principaux sous-systèmes et les connexions entre eux, est appelée macrostructure, et une divulgation détaillée de la structure interne du système jusqu'au niveau des éléments est appelée microstructure.

Avec le système, il existe généralement un supersystème - un système d'un niveau supérieur, qui inclut l'objet en question, et la fonction de tout système ne peut être déterminée que par l'intermédiaire du supersystème.

Il est nécessaire de mettre en évidence le concept d'environnement comme un ensemble d'objets du monde extérieur qui influencent de manière significative l'efficacité du système, mais ne font pas partie du système et de son supersystème.

En lien avec l'approche systémique de la construction de modèles, le concept d'infrastructure est utilisé, qui décrit la relation du système avec son environnement (environnement). Dans ce cas, l'identification, la description et l'étude des propriétés d'un objet qui sont essentielles dans le cadre d'une tâche spécifique, on appelle la stratification de l'objet, et tout modèle de l'objet est sa description stratifiée.

Pour une approche systémique, il est important de déterminer la structure du système, c'est-à-dire un ensemble de connexions entre les éléments du système, reflétant leur interaction. Pour ce faire, nous considérons d’abord les approches structurelles et fonctionnelles de la modélisation.

Avec une approche structurelle, la composition des éléments sélectionnés du système et les connexions entre eux sont révélées. L'ensemble des éléments et des connexions permet de juger de la structure du système. La description la plus générale d’une structure est une description topologique. Il vous permet de déterminer les composants du système et leurs connexions à l'aide de graphiques. La description fonctionnelle est moins générale, lorsque des fonctions individuelles sont considérées, c'est-à-dire des algorithmes pour le comportement du système. Dans ce cas, une approche fonctionnelle est mise en œuvre qui définit les fonctions remplies par le système.

Sur la base de l'approche systémique, une séquence de développement de modèles peut être proposée, lorsque deux étapes principales de conception sont distinguées : la macroconception et la microconception.

Au stade de la macro-conception, un modèle de l'environnement externe est construit, les ressources et les limites sont identifiées, un modèle de système et des critères sont sélectionnés pour évaluer l'adéquation.

L’étape de micro-conception dépend en grande partie du type spécifique de modèle choisi. En général, il s'agit de la création de systèmes de modélisation informationnelle, mathématique, technique et logicielle. A ce stade, les principales caractéristiques techniques du modèle créé sont établies, le temps nécessaire pour travailler avec lui et le coût des ressources pour obtenir la qualité spécifiée du modèle sont estimés.

Quel que soit le type de modèle, lors de sa construction, il est nécessaire de s'inspirer d'un certain nombre de principes d'une approche systématique :

1) progression cohérente à travers les étapes de création d'un modèle ;

2) coordination des informations, des ressources, de la fiabilité et d'autres caractéristiques ;

3) la relation correcte entre les différents niveaux de construction du modèle ;

4) l'intégrité des différentes étapes de la conception du modèle.

Modélisation mathématique

1. Qu'est-ce que la modélisation mathématique ?

Du milieu du 20ème siècle. Les méthodes mathématiques et les ordinateurs ont commencé à être largement utilisés dans divers domaines de l'activité humaine. De nouvelles disciplines ont émergé telles que « l'économie mathématique », la « chimie mathématique », la « linguistique mathématique », etc., étudiant les modèles mathématiques d'objets et de phénomènes pertinents, ainsi que les méthodes d'étude de ces modèles.

Un modèle mathématique est une description approximative de toute classe de phénomènes ou d’objets du monde réel dans le langage mathématique. L'objectif principal de la modélisation est d'explorer ces objets et de prédire les résultats des observations futures. Mais la modélisation est aussi une méthode de compréhension du monde qui nous entoure, permettant de le contrôler.

La modélisation mathématique et l'expérimentation informatique associée sont indispensables dans les cas où une expérimentation à grande échelle est impossible ou difficile pour une raison ou une autre. Par exemple, il est impossible de mettre en place une expérience naturelle dans l'histoire pour vérifier « ce qui se serait passé si… » Il est impossible de vérifier l'exactitude de l'une ou l'autre théorie cosmologique. Il est en principe possible, mais peu raisonnable, d'expérimenter la propagation d'une maladie, comme la peste, ou de procéder à des explosion nucléaire pour en étudier les conséquences. Cependant, tout cela peut être fait sur ordinateur en construisant au préalable des modèles mathématiques des phénomènes étudiés.

2. Principales étapes de la modélisation mathématique

1) Construction de modèles. A ce stade, un objet « non mathématique » est spécifié - un phénomène naturel, une conception, un plan économique, un processus de production, etc. Dans ce cas, en règle générale, une description claire de la situation est difficile. Premièrement, les principales caractéristiques du phénomène et les liens entre elles au niveau qualitatif sont identifiées. Ensuite, les dépendances qualitatives trouvées sont formulées dans le langage mathématique, c'est-à-dire qu'un modèle mathématique est construit. C'est l'étape la plus difficile de la modélisation.

2) Résoudre le problème mathématique auquel conduit le modèle. À ce stade, une grande attention est accordée au développement d'algorithmes et de méthodes numériques pour résoudre le problème sur ordinateur, à l'aide desquels le résultat peut être trouvé avec la précision requise et dans un délai acceptable.

3) Interprétation des conséquences obtenues à partir du modèle mathématique. Les conséquences dérivées du modèle dans le langage mathématique sont interprétées dans le langage accepté dans le domaine.

4) Vérification de l'adéquation du modèle. A ce stade, il est déterminé si les résultats expérimentaux concordent avec les conséquences théoriques du modèle avec une certaine précision.

5) Modification du modèle. A ce stade, soit le modèle est compliqué pour être plus adapté à la réalité, soit il est simplifié afin d'aboutir à une solution pratiquement acceptable.

3. Classification des modèles

Les modèles peuvent être classés selon différents critères. Par exemple, selon la nature des problèmes à résoudre, les modèles peuvent être divisés en fonctionnels et structurels. Dans le premier cas, toutes les grandeurs caractérisant un phénomène ou un objet sont exprimées quantitativement. De plus, certaines d’entre elles sont considérées comme des variables indépendantes, tandis que d’autres sont considérées comme des fonctions de ces grandeurs. Un modèle mathématique est généralement un système d'équations de différents types (différentielles, algébriques, etc.) qui établissent des relations quantitatives entre les grandeurs considérées. Dans le second cas, le modèle caractérise la structure d'un objet complexe constitué de parties individuelles entre lesquelles existent certaines connexions. Généralement, ces liens ne sont pas quantifiables. Pour construire de tels modèles, il est pratique d’utiliser la théorie des graphes. Un graphe est un objet mathématique qui représente un ensemble de points (sommets) sur un plan ou dans l'espace, dont certains sont reliés par des lignes (arêtes).

En fonction de la nature des données et des résultats initiaux, les modèles de prévision peuvent être divisés en modèles déterministes et probabilistes-statistiques. Les modèles du premier type font des prédictions certaines et sans ambiguïté. Les modèles du deuxième type sont basés sur des informations statistiques et les prédictions obtenues grâce à elles sont de nature probabiliste.

4. Exemples de modèles mathématiques

1) Problèmes concernant le mouvement d'un projectile.

Considérez le problème mécanique suivant.

Le projectile est lancé depuis la Terre avec une vitesse initiale v 0 = 30 m/s sous un angle a = 45° par rapport à sa surface ; il faut trouver la trajectoire de son mouvement et la distance S entre les points de départ et d'arrivée de cette trajectoire.

Ensuite, comme le montre un cours de physique scolaire, le mouvement d'un projectile est décrit par les formules :

où t est le temps, g = 10 m/s 2 est l'accélération de la gravité. Ces formules fournissent un modèle mathématique du problème. En exprimant t via x à partir de la première équation et en la substituant dans la seconde, on obtient l'équation de la trajectoire du projectile :

Cette courbe (parabole) coupe l'axe des x en deux points : x 1 = 0 (début de la trajectoire) et (endroit où le projectile est tombé). En substituant les valeurs données de v0 et a dans les formules résultantes, nous obtenons

réponse : y = x – 90x 2, S = 90 m.

Notez que lors de la construction de ce modèle, un certain nombre d'hypothèses ont été utilisées : par exemple, on suppose que la Terre est plate et que l'air et la rotation de la Terre n'affectent pas le mouvement du projectile.

2) Problème concernant un réservoir avec la plus petite surface.

Il faut trouver la hauteur h 0 et le rayon r 0 d'un réservoir en fer blanc d'un volume V = 30 m 3, ayant la forme d'un cylindre circulaire fermé, auquel sa surface S est minimale (dans ce cas, la moindre quantité d'étain sera utilisée pour sa production).

Écrivons-le formules suivantes pour le volume et la surface d'un cylindre de hauteur h et de rayon r :

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

En exprimant h via r et V à partir de la première formule et en substituant l'expression résultante dans la seconde, nous obtenons :

Ainsi, d'un point de vue mathématique, le problème revient à déterminer la valeur de r pour laquelle la fonction S(r) atteint son minimum. Trouvons les valeurs de r 0 pour lesquelles la dérivée

va à zéro : Vous pouvez vérifier que la dérivée seconde de la fonction S(r) change de signe de moins à plus lorsque l'argument r passe par le point r 0 . Par conséquent, au point r0 la fonction S(r) a un minimum. La valeur correspondante est h 0 = 2r 0 . En substituant la valeur donnée V dans l'expression pour r 0 et h 0, nous obtenons le rayon souhaité et la hauteur

3) Problème de transport.

La ville possède deux entrepôts de farine et deux boulangeries. Chaque jour, 50 tonnes de farine sont transportées du premier entrepôt, et 70 tonnes du second vers les usines, 40 tonnes vers le premier et 80 tonnes vers la seconde.

Notons par un ij coût de transport d'1 tonne de farine du i-ème entrepôt à j-ème plante(je, j = 1,2). Laisser

un 11 = 1,2 roubles, un 12 = 1,6 roubles, un 21 = 0,8 frotter., un 22 = 1 frotter.

Comment planifier le transport pour que son coût soit minimal ?

Donnons au problème une formulation mathématique. Notons par x 1 et x 2 la quantité de farine qui doit être transportée du premier entrepôt aux première et deuxième usines, et par x 3 et x 4 - du deuxième entrepôt aux première et deuxième usines, respectivement. Alors:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Le coût total de tous les transports est déterminé par la formule

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

D'un point de vue mathématique, le problème est de trouver quatre nombres x 1, x 2, x 3 et x 4 qui satisfont à toutes les conditions données et donnent le minimum de la fonction f. Résolvons le système d'équations (1) pour xi (i = 1, 2, 3, 4) en éliminant les inconnues. Nous obtenons cela

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

et x 4 ne peut pas être déterminé de manière unique. Puisque x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), il résulte des équations (2) que 30Ј x 4 Ј 70. En substituant l'expression de x 1, x 2, x 3 dans la formule de f, nous obtenons

f = 148 – 0,2x4.

Il est facile de voir que le minimum de cette fonction est atteint à la valeur maximale possible de x 4, c'est-à-dire à x 4 = 70. Les valeurs correspondantes des autres inconnues sont déterminées par les formules (2) : x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Le problème de la désintégration radioactive.

Soit N(0) le nombre initial d'atomes d'une substance radioactive et N(t) le nombre d'atomes non décomposés au temps t. Il a été établi expérimentalement que le taux de variation du nombre de ces atomes N"(t) est proportionnel à N(t), c'est-à-dire que N"(t)=–l N(t), l >0 est le constante de radioactivité d’une substance donnée. Dans le cours scolaire d'analyse mathématique, il est montré que la solution à ce problème équation différentielle a la forme N(t) = N(0)e –l t . Le temps T pendant lequel le nombre d’atomes initiaux a diminué de moitié est appelé demi-vie et constitue une caractéristique importante de la radioactivité d’une substance. Pour déterminer T, il faut mettre dans la formule Alors Par exemple, pour le radon l = 2,084 · 10 –6, et donc T = 3,15 jours.

5) Le problème du voyageur de commerce.

Un voyageur de commerce vivant dans la ville A 1 doit visiter les villes A 2 , A 3 et A 4 , chaque ville exactement une fois, puis revenir à A 1 . On sait que toutes les villes sont reliées par paires par des routes, et les longueurs de routes b ij entre les villes A i et A j (i, j = 1, 2, 3, 4) sont les suivantes :

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Il est nécessaire de déterminer l'ordre de visite des villes dans lequel la longueur du trajet correspondant est minimale.

Représentons chaque ville comme un point sur le plan et marquons-la avec l'étiquette correspondante Ai (i = 1, 2, 3, 4). Relions ces points par des lignes droites : elles représenteront les routes entre les villes. Pour chaque « route » nous indiquons sa longueur en kilomètres (Fig. 2). Le résultat est un graphique - un objet mathématique constitué d'un certain ensemble de points sur le plan (appelés sommets) et d'un certain ensemble de lignes reliant ces points (appelées arêtes). De plus, ce graphe est étiqueté, car ses sommets et ses arêtes se voient attribuer des étiquettes - des nombres (arêtes) ou des symboles (sommets). Un cycle sur un graphe est une séquence de sommets V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 telle que les sommets V 1 , ..., V k sont différents, et toute paire de sommets V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) et le couple V 1, V k sont reliés par une arête. Ainsi, le problème considéré est de trouver un cycle sur le graphe passant par les quatre sommets pour lequel la somme de tous les poids des arêtes est minimale. Cherchons tous les différents cycles passant par quatre sommets et commençant à A 1 :

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1 ;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1 ;
3) Un 1, Un 3, Un 4, Un 2, Un 1.

Trouvons maintenant les longueurs de ces cycles (en km) : L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Ainsi, l'itinéraire de la plus courte longueur est le premier.

Notez que s'il y a n sommets dans un graphe et que tous les sommets sont reliés par paires par des arêtes (un tel graphe est appelé complet), alors le nombre de cycles passant par tous les sommets est donc, dans notre cas, il y a exactement trois cycles.

6) Le problème de trouver un lien entre la structure et les propriétés des substances.

Regardons quelques-uns composants chimiques, appelés alcanes normaux. Ils sont constitués de n atomes de carbone et n + 2 atomes d'hydrogène (n = 1, 2...), interconnectés comme le montre la figure 3 pour n = 3. Que l'on connaisse les valeurs expérimentales des points d'ébullition de ces composés :

oui e (3) = – 42°, oui e (4) = 0°, oui e (5) = 28°, oui e (6) = 69°.

Il est nécessaire de trouver une relation approximative entre le point d'ébullition et le nombre n pour ces composés. Supposons que cette dépendance ait la forme

oui" un n+b,

Où un, b - constantes à déterminer. Trouver un et b nous substituons séquentiellement dans cette formule n = 3, 4, 5, 6 et les valeurs correspondantes des points d'ébullition. Nous avons:

– 42 » 3 un+ b, 0 » 4 un+ b, 28 » 5 un+ b, 69 » 6 un+ B.

Pour déterminer le meilleur un et b il existe de nombreuses méthodes différentes. Utilisons le plus simple d'entre eux. Exprimons b à travers unà partir de ces équations :

b » – 42 – 3 un, b" – 4 un, b » 28 – 5 un, b » 69 – 6 un.

Prenons la moyenne arithmétique de ces valeurs comme b souhaité, c'est-à-dire que nous mettons b » 16 – 4,5 un. Remplaçons cette valeur de b dans le système d'équations original et, en calculant un, nous obtenons pour un les valeurs suivantes : un» 37, un» 28, un» 28, un" 36. Prenons comme requis un la valeur moyenne de ces nombres, c'est-à-dire mettons un" 34. Ainsi, l'équation recherchée a la forme

y » 34n – 139.

Vérifions l'exactitude du modèle sur les quatre composés d'origine, pour lesquels nous calculons les points d'ébullition à l'aide de la formule résultante :

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Ainsi, l'erreur de calcul de cette propriété pour ces composés ne dépasse pas 5°. Nous utilisons l'équation résultante pour calculer le point d'ébullition d'un composé avec n = 7, qui n'est pas inclus dans l'ensemble d'origine, auquel nous substituons n = 7 dans cette équation : y р (7) = 99°. Le résultat était assez précis : on sait que la valeur expérimentale du point d'ébullition y e (7) = 98°.

7) Le problème de la détermination de la fiabilité d'un circuit électrique.

Nous examinerons ici un exemple de modèle probabiliste. Tout d’abord, nous présentons quelques informations issues de la théorie des probabilités, une discipline mathématique qui étudie les modèles de phénomènes aléatoires observés lors de répétitions répétées d’expériences. Appelons un événement aléatoire A le résultat possible d’une expérience. Les événements A 1, ..., A k forment un groupe complet si l'un d'eux survient nécessairement à la suite de l'expérience. Les événements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire simultanément au cours d’une même expérience. Supposons que l'événement A se produise m fois au cours d'une répétition n fois de l'expérience. La fréquence de l'événement A est le nombre W = . Évidemment, la valeur de W ne peut être prédite avec précision qu’après avoir effectué une série de n expériences. Cependant, la nature des événements aléatoires est telle qu'en pratique l'effet suivant est parfois observé : à mesure que le nombre d'expériences augmente, la valeur cesse pratiquement d'être aléatoire et se stabilise autour d'un nombre non aléatoire P(A), appelé probabilité de l'événement A. Pour un événement impossible (qui ne se produit jamais dans une expérience) P(A)=0, et pour un événement fiable (qui se produit toujours dans l'expérience) P(A)=1. Si les événements A 1 , ..., A k forment un groupe complet d'événements incompatibles, alors P(A 1)+...+P(A k)=1.

Supposons, par exemple, que l'expérience consiste à lancer un dé et à observer le nombre de points X. Nous pouvons alors introduire les événements aléatoires suivants A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Ils forment un groupe complet d'événements équiprobables incompatibles, donc P(A i) = (i = 1, ..., 6).

La somme des événements A et B est l'événement A + B, qui consiste dans le fait qu'au moins l'un d'entre eux se produit dans l'expérience. Le produit des événements A et B est l'événement AB, qui consiste en l'occurrence simultanée de ces événements. Pour les événements indépendants A et B, les formules suivantes sont vraies :

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Considérons maintenant ce qui suit tâche. Supposons que trois éléments soient connectés en série à un circuit électrique et fonctionnent indépendamment les uns des autres. Les probabilités de défaillance des 1er, 2ème et 3ème éléments sont respectivement égales à P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Nous considérerons un circuit fiable si la probabilité qu'il n'y ait pas de courant dans le circuit n'est pas supérieure à 0,4. Il est nécessaire de déterminer si un circuit donné est fiable.

Puisque les éléments sont connectés en série, il n’y aura pas de courant dans le circuit (événement A) si au moins un des éléments tombe en panne. Soit A i l'événement qui i-ième élément fonctionne (i = 1, 2, 3). Alors P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Évidemment, A 1 A 2 A 3 est un événement dans lequel les trois éléments fonctionnent simultanément, et

P(UNE 1 UNE 2 UNE 3) = P(UNE 1) P(UNE 2) P(UNE 3) = 0,612.

Alors P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, donc P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

En conclusion, nous notons que les exemples donnés de modèles mathématiques (notamment fonctionnels et structurels, déterministes et probabilistes) sont de nature illustrative et, évidemment, n'épuisent pas la variété de modèles mathématiques qui se posent dans les sciences naturelles et humaines.

Les problèmes résolus par les méthodes LP ont un contenu très diversifié. Mais leurs modèles mathématiques sont similaires et sont conditionnellement combinés en trois grands groupes de problèmes :

• tâches de transport;
• tâches d'élaboration d'un plan ;

Examinons des exemples de problèmes économiques spécifiques de chaque type et attardons-nous en détail sur la construction d'un modèle pour chaque problème.

Tâche de transport

Dans deux bases commerciales UN Et DANS Il y a 30 ensembles de meubles, 15 chacun. Tous les meubles doivent être livrés à deux magasins de meubles, AVEC Et D et en AVEC 10 casques doivent être livrés, et D- 20. On sait que la livraison d'un casque depuis la base UN au magasin AVEC coûte une unité monétaire par magasin D- en trois unités monétaires. En conséquence depuis la base DANS aux magasins AVEC Et D: deux et cinq unités monétaires. Élaborez un plan de transport afin que le coût de tous les transports soit minime.
Pour plus de commodité, nous listerons ces tâches dans un tableau. A l'intersection des lignes et des colonnes se trouvent des chiffres caractérisant le coût du transport correspondant (tableau 3.1).

Tableau 3.1

Créons un modèle mathématique du problème.
Des variables doivent être saisies. La formulation de la question précise qu'il est nécessaire d'élaborer un plan de transport. Notons par X 1 , X 2 nombres de casques transportés depuis la base UN aux magasins AVEC Et D en conséquence, et à travers à 1 , à 2 - nombre de casques transportés depuis la base DANS aux magasins AVEC Et D respectivement. Ensuite, la quantité de meubles retirés de l'entrepôt UN, équivaut à ( X 1 + X 2), et depuis l'entrepôt DANS - (à 1 + à 2). Besoin du magasin AVECégal à 10 casques, et ils l'ont apporté ( X 1 + à 1) morceaux, c'est-à-dire X 1 + à 1 = 10. De même, pour le magasin D nous avons X 2 + à 2 = 20. A noter que les besoins des magasins sont exactement égaux au nombre de casques disponibles dans les entrepôts, donc X 1 + à 2 = 15 et à 1 + à 2 = 15. Si vous preniez moins de 15 ensembles dans les entrepôts, les magasins n'auraient pas suffisamment de meubles pour répondre à leurs besoins.
Donc les variables X 1 , X 2 , à 1 , à 2 au sens du problème sont non négatifs et satisfont au système de restrictions :
(3.1)
Désigné par F frais de transport, nous les calculerons. pour le transport d'un ensemble de meubles depuis UN V AVEC un argent est dépensé. unités, pour le transport X 1 ensembles - X Un jour unités De même pour le transport X 2 ensembles de UN V Dça coûtera 3 X 2 jours unités; depuis DANS V AVEC - 2oui Un jour unités, de DANS V D - 5oui 2 jours unités
Donc,
F = 1X 1 + 3X 2 + 2oui 1 + 5oui 2 → minutes (3.2)
(nous voulons maintenir le coût total d’expédition au minimum).
Formulons le problème mathématiquement.
Sur l'ensemble des solutions du système de contraintes (3.1), trouver une solution qui minimise la fonction objectif F(3.2), ou trouver le plan optimal ( X 1 , X 2, oui 1 , oui 2), déterminé par le système de contraintes (3.1) et la fonction objectif (3.2).
Le problème que nous avons considéré peut être présenté sous une forme plus générale, avec un nombre quelconque de fournisseurs et de consommateurs.
Dans le problème que nous avons considéré, la disponibilité des marchandises auprès des fournisseurs (15 + 15) est égale à la demande totale des consommateurs (10 + 20). Ce modèle s'appelle fermé, et la tâche correspondante est transport équilibré tâche.
Dans les calculs économiques, les modèles dits ouverts, dans lesquels l'égalité spécifiée n'est pas respectée, jouent un rôle important. Soit le stock des fournisseurs est supérieur à la demande des consommateurs, soit la demande dépasse la disponibilité des biens. Notez qu'alors le système de contraintes pour le problème de transport déséquilibré comprendra des inégalités ainsi que des équations.

Questions pour la maîtrise de soi
1. Énoncé du problème de transport. décrire la construction du modèle mathématique.
2. Qu'est-ce qu'un problème de transport équilibré et déséquilibré ?
3. Qu'est-ce qui compte dans la fonction objective du problème des transports ?
4. Que reflète chaque inégalité dans le système de contraintes du problème du plan ?
5. Que reflète chaque inégalité du système de contraintes dans le problème du mélange ?
6. Que signifient les variables dans le problème du plan et le problème du mélange ?