Pendule mathématique appelé point matériel, suspendu à un fil en apesanteur et inextensible attaché à la suspension et situé dans le champ de gravité (ou autre force).

Explorer les fluctuations pendule mathématique V système inertiel référence par rapport à laquelle le point de sa suspension est au repos ou se déplace uniformément en ligne droite. On négligera la force de résistance de l'air (pendule mathématique idéal). Initialement, le pendule est au repos dans la position d'équilibre C. Dans ce cas, la force de gravité \(\vec F\) agissant sur lui et la force élastique \(\vec F_(ynp)\) du fil sont mutuellement compensé.

Retirons le pendule de la position d'équilibre (en le déviant, par exemple, vers la position A) et relâchons-le sans vitesse initiale (Fig. 13.11). Dans ce cas, les forces \(\vec F\) et \(\vec F_(ynp)\) ne s'équilibrent pas. La composante tangentielle de la gravité \(\vec F_\tau\), agissant sur le pendule, lui donne une accélération tangentielle \(\vec a_\tau\) (composante de l'accélération totale dirigée selon la tangente à la trajectoire du pendule mathématique ), et le pendule commence à se déplacer vers la position d'équilibre avec une vitesse croissante en valeur absolue. La composante tangentielle de la gravité \(\vec F_\tau\) est donc une force de rappel. La composante normale \(\vec F_n\) de la force de gravité est dirigée le long du fil contre la force élastique \(\vec F_(ynp)\). La résultante des forces \(\vec F_n\) et \(\vec F_(ynp)\) indique au pendule accélération normale\(~a_n\), qui change la direction du vecteur vitesse, et le pendule se déplace selon un arc A B C D.

Plus le pendule se rapproche de la position d'équilibre C, plus la valeur de la composante tangentielle \(~F_\tau = F \sin \alpha\) devient petite. En position d'équilibre, elle est égale à zéro, et la vitesse atteint sa valeur maximale, et le pendule se déplace plus loin par inertie, montant selon un arc ascendant. Dans ce cas, la composante \(\vec F_\tau\) est dirigée contre la vitesse. Avec une augmentation de l'angle de déviation a, le module de force \(\vec F_\tau\) augmente et le module de vitesse diminue, et au point D la vitesse du pendule devient égale à zéro. Le pendule s'arrête un instant puis commence à se déplacer dans la direction opposée à la position d'équilibre. L'ayant repassé par inertie, le pendule, ralentissant son mouvement, atteindra le point A (il n'y a pas de frottement), c'est-à-dire complétera un swing complet. Après cela, le mouvement du pendule sera répété dans la séquence déjà décrite.

Obtenons une équation décrivant les oscillations libres d'un pendule mathématique.

Laissez entrer le pendule ce moment le temps est au point B. Son déplacement S par rapport à la position d'équilibre à ce moment est égal à la longueur de l'arc SV (c'est-à-dire S = |SV|). Notons la longueur du fil de suspension je, et la masse du pendule est m.

D'après la figure 13.11, il est clair que \(~F_\tau = F \sin \alpha\), où \(\alpha =\frac(S)(l).\) Aux petits angles \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Le signe moins est placé dans cette formule car la composante tangentielle de la gravité est dirigée vers la position d'équilibre et le déplacement est compté à partir de la position d'équilibre.

D'après la deuxième loi de Newton \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Projetons les quantités vectorielles de cette équation sur la direction de la tangente à la trajectoire du pendule mathématique

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

De ces équations on obtient

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - équation dynamique du mouvement d'un pendule mathématique. L'accélération tangentielle d'un pendule mathématique est proportionnelle à son déplacement et est dirigée vers la position d'équilibre. Cette équation peut s'écrire sous la forme \. En la comparant avec l'équation des oscillations harmoniques \(~a_x + \omega^2x = 0\) (voir § 13.3), on peut conclure que le pendule mathématique effectue des oscillations harmoniques. Et comme les oscillations considérées du pendule se produisaient sous l'influence uniquement de forces internes, il s'agissait d'oscillations libres du pendule. Ainsi, les oscillations libres d'un pendule mathématique avec de petites déviations sont harmoniques.

Notons \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) D'où \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) est la fréquence cyclique du pendule.

La période d'oscillation du pendule est \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Par conséquent,

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Cette expression s'appelle La formule de Huygens. Il détermine la période d'oscillations libres d'un pendule mathématique. Il résulte de la formule qu'à de petits angles d'écart par rapport à la position d'équilibre, la période d'oscillation d'un pendule mathématique : 1) ne dépend pas de sa masse et de l'amplitude de ses oscillations ; 2) proportionnel à la racine carrée de la longueur du pendule et inversement proportionnel à la racine carrée de l'accélération de la gravité. Ceci est cohérent avec les lois expérimentales des petites oscillations d'un pendule mathématique, découvertes par G. Galileo.

Nous soulignons que cette formule peut être utilisée pour calculer la période si deux conditions sont simultanément remplies : 1) les oscillations du pendule doivent être faibles ; 2) le point de suspension du pendule doit être au repos ou se déplacer uniformément en ligne droite par rapport au référentiel inertiel dans lequel il se trouve.

Si le point de suspension d'un pendule mathématique se déplace avec une accélération \(\vec a\), alors la force de tension du fil change, ce qui entraîne une modification de la force de rappel et, par conséquent, de la fréquence et de la période des oscillations. Comme le montrent les calculs, la période d'oscillation du pendule dans ce cas peut être calculée à l'aide de la formule

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

où \(~g"\) est l'accélération « effective » du pendule dans un référentiel non inertiel. Elle est égale à la somme géométrique de l'accélération de la gravité \(\vec g\) et du vecteur opposé à le vecteur \(\vec a\), c'est-à-dire qu'il peut être calculé à l'aide de la formule

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Littérature

Aksenovich L. A. Physique au lycée : Théorie. Tâches. Tests : Manuel. allocation pour les établissements dispensant un enseignement général. environnement, éducation / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino ; Éd. KS Farino. - Mn. : Adukatsiya i viakhavanne, 2004. - P. 374-376.

Pendule Foucault- un pendule qui sert à démontrer expérimentalement la rotation quotidienne de la Terre.

Un pendule de Foucault est une charge massive suspendue à un fil ou à un fil dont l'extrémité supérieure est renforcée (par exemple à l'aide d'un joint universel) afin que le pendule puisse osciller dans n'importe quel plan vertical. Si le pendule de Foucault est dévié de la verticale et relâché sans vitesse initiale, alors les forces de gravité et de tension du fil agissant sur la charge du pendule se situeront tout le temps dans le plan d'oscillation du pendule et ne pourront pas provoquer sa rotation. par rapport aux étoiles (au référentiel inertiel associé aux étoiles) . Un observateur situé sur la Terre et tournant avec elle (c'est-à-dire situé dans un référentiel non inertiel) verra que le plan d'oscillation du pendule de Foucault tourne lentement par rapport à la surface de la Terre dans le sens opposé au sens de rotation. de la terre. Cela confirme le fait de la rotation quotidienne de la Terre.

Au pôle Nord ou Sud, le plan d'oscillation du pendule de Foucault tournera de 360° par jour sidéral (de 15 o par heure sidérale). En un point de la surface terrestre dont la latitude géographique est égale à φ, le plan de l'horizon tourne autour de la verticale avec une vitesse angulaire de ω 1 = ω sinφ (ω est le module de la vitesse angulaire de la Terre) et le plan d'oscillation du pendule tourne avec la même vitesse angulaire. Par conséquent, la vitesse angulaire apparente de rotation du plan d'oscillation du pendule de Foucault à la latitude φ, exprimée en degrés par heure sidérale, a la valeur ω m = 15 o sinφ, c'est-à-dire que plus φ est petit, plus φ est petit, et à la à l'équateur, il devient nul (le plan ne tourne pas). Dans l’hémisphère sud, la rotation du plan d’oscillation sera observée dans la direction opposée à celle observée dans l’hémisphère nord. Un calcul affiné donne la valeur

ω m = 15 o sinφ

Où UN-amplitude des oscillations du poids pendulaire, je- longueur du filetage. Un terme supplémentaire qui réduit la vitesse angulaire, plus elle est petite, plus elle est grande je. Ainsi, pour démontrer l'expérience, il est conseillé d'utiliser un pendule de Foucault avec une longueur de fil la plus longue possible (plusieurs dizaines de m).

Histoire

Cet appareil a été conçu pour la première fois par le scientifique français Jean Bernard Léon Foucault.

Cet appareil était une boule de laiton de cinq kilogrammes suspendue au plafond sur un fil d'acier de deux mètres.

Foucault a mené sa première expérience dans le sous-sol de sa propre maison. 8 janvier 1851. Une entrée à ce sujet a été faite dans le journal scientifique du scientifique.

3 février 1851 Jean Foucault a fait une démonstration de son pendule à l'Observatoire de Paris à des académiciens qui ont reçu des lettres avec le contenu suivant : « Je vous invite à suivre la rotation de la Terre. »

La première démonstration publique de l'expérience a lieu à l'initiative de Louis Bonaparte au Panthéon de Paris en avril de la même année. Une boule de métal suspendue sous la coupole du Panthéon pesant 28 kg avec une pointe fixée sur un fil d'acier diamètre 1,4 mm et 67 m de long. le pendule lui permettait de se balancer librement dans tous les sens directions. Sous une clôture circulaire d'un diamètre de 6 mètres a été réalisée comme point d'attache ; un chemin de sable a été aménagé le long du bord de la clôture afin que le pendule, dans son mouvement, puisse tracer des marques dans le sable en la traversant. Pour éviter une poussée latérale lors du démarrage du pendule, celui-ci a été mis sur le côté et attaché avec une corde, après quoi la corde brûlé. La période d'oscillation était de 16 secondes.

L'expérience a été un grand succès et a suscité un large écho dans les cercles scientifiques et publics en France et dans d'autres pays du monde. Ce n'est qu'en 1851 que d'autres pendules furent créés sur le modèle du premier, et les expériences de Foucault furent réalisées à l'Observatoire de Paris, dans la cathédrale de Reims, dans l'église Saint-Ignace de Rome, à Liverpool, à Oxford, Dublin, à Rio de Janeiro, dans la ville de Colombo à Ceylan, New York.

Dans toutes ces expériences, les dimensions de la boule et la longueur du pendule étaient différentes, mais elles confirmaient toutes les conclusionsJean Bernard Léon Foucault.

Des éléments du pendule, exposé au Panthéon, sont aujourd'hui conservés au Musée des Arts et Métiers de Paris. Et les pendules de Foucault se trouvent désormais dans de nombreuses régions du monde : dans les musées polytechniques et scientifiques d'histoire naturelle, les observatoires scientifiques, les planétariums, les laboratoires universitaires et les bibliothèques.

Il existe trois pendules de Foucault en Ukraine. L'un d'eux est stocké à l'Université technique nationale d'Ukraine « KPI du nom ». Igor Sikorsky", le deuxième - à l'Université nationale de Kharkov. V.N. Karazin, troisième - au Planétarium de Kharkov.

Un pendule mathématique est un modèle d'un pendule ordinaire. Un pendule mathématique est un point matériel suspendu à un long fil en apesanteur et inextensible.

Sortons la balle de sa position d'équilibre et relâchons-la. Deux forces vont agir sur la balle : la gravité et la tension du fil. Lorsque le pendule bouge, la force de friction de l’air agira toujours sur lui. Mais nous le considérerons comme très petit.

Décomposons la force de gravité en deux composantes : une force dirigée le long du fil et une force dirigée perpendiculairement à la tangente à la trajectoire de la balle.

Ces deux forces s’additionnent pour former la force de gravité. Les forces élastiques du fil et la composante de gravité Fn confèrent à la bille une accélération centripète. Le travail effectué par ces forces sera nul et elles ne feront donc que changer la direction du vecteur vitesse. À tout moment, il sera dirigé tangentiellement à l’arc de cercle.

Sous l’influence de la composante gravitationnelle Fτ, la balle se déplacera le long d’un arc de cercle avec une vitesse croissante. La valeur de cette force change toujours de grandeur : lorsqu'elle passe par la position d'équilibre, elle est égale à zéro.

Dynamique du mouvement oscillatoire

Équation du mouvement d'un corps oscillant sous l'action d'une force élastique.

Équation générale du mouvement :

Les oscillations du système se produisent sous l'influence d'une force élastique qui, selon la loi de Hooke, est directement proportionnelle au déplacement de la charge

Alors l’équation du mouvement de la balle prendra la forme suivante :

Divisez cette équation par m, nous obtenons la formule suivante :

Et comme la masse et le coefficient d’élasticité sont des quantités constantes, le rapport (-k/m) sera également constant. Nous avons obtenu une équation qui décrit les vibrations d'un corps sous l'action d'une force élastique.

La projection de l'accélération du corps sera directement proportionnelle à sa coordonnée, prise avec le signe opposé.

Équation du mouvement d'un pendule mathématique

L'équation du mouvement d'un pendule mathématique est décrite par la formule suivante :

Cette équation a la même forme que l'équation du mouvement d'une masse sur un ressort. Par conséquent, les oscillations du pendule et les mouvements de la bille sur le ressort se produisent de la même manière.

Le déplacement de la bille sur le ressort et le déplacement du corps du pendule depuis la position d'équilibre évoluent dans le temps selon les mêmes lois.

Les pendules montrés sur la Fig. 2, sont des corps étendus de formes et de tailles variées qui oscillent autour d'un point de suspension ou de support. De tels systèmes sont appelés pendules physiques. En état d'équilibre, lorsque le centre de gravité est à la verticale en dessous du point de suspension (ou d'appui), la force de gravité est équilibrée (grâce aux forces élastiques d'un pendule déformé) par la réaction du support. En s'écartant de la position d'équilibre, les forces de gravité et élastiques déterminent l'accélération angulaire du pendule à chaque instant, c'est-à-dire qu'elles déterminent la nature de son mouvement (oscillation). Nous allons maintenant examiner plus en détail la dynamique des oscillations en utilisant l'exemple le plus simple d'un pendule dit mathématique, qui est un petit poids suspendu à un fil long et fin.

Dans un pendule mathématique, on peut négliger la masse du fil et la déformation du poids, c'est-à-dire qu'on peut supposer que la masse du pendule est concentrée dans le poids, et les forces élastiques sont concentrées dans le fil, qui est considéré comme inextensible. . Voyons maintenant sous quelles forces notre pendule oscille après avoir été éloigné de sa position d'équilibre d'une manière ou d'une autre (poussée, déviation).

Lorsque le pendule est au repos en position d'équilibre, la force de gravité agissant sur son poids et dirigée verticalement vers le bas est équilibrée par la force de tension du fil. En position déviée (Fig. 15), la force de gravité agit selon un angle par rapport à la force de tension dirigée le long du fil. Décomposons la force de gravité en deux composantes : dans la direction du fil () et perpendiculairement à celui-ci (). Lorsque le pendule oscille, la force de tension du fil dépasse légèrement la composante - de la valeur de la force centripète, ce qui oblige la charge à se déplacer en arc de cercle. La composante est toujours dirigée vers la position d'équilibre ; elle semble s'efforcer de rétablir cette situation. C’est pourquoi on l’appelle souvent force de rappel. Plus le pendule est dévié, plus la valeur absolue est élevée.

Riz. 15. Rétablissement de la force lorsque le pendule s'écarte de la position d'équilibre

Ainsi, dès que le pendule, au cours de ses oscillations, commence à s'écarter de la position d'équilibre, disons vers la droite, une force apparaît, ralentissant d'autant plus son mouvement qu'il s'écarte davantage. En fin de compte, cette force l’arrêtera et le ramènera à la position d’équilibre. Cependant, à mesure que nous nous approchons de cette position, la force deviendra de moins en moins grande et, dans la position d'équilibre elle-même, deviendra nulle. Ainsi, le pendule passe par la position d'équilibre par inertie. Dès qu'elle commence à dévier vers la gauche, une force apparaîtra à nouveau, augmentant avec une déviation croissante, mais désormais dirigée vers la droite. Le mouvement vers la gauche ralentira à nouveau, puis le pendule s'arrêtera un instant, après quoi le mouvement accéléré vers la droite commencera, etc.

Qu'arrive-t-il à l'énergie d'un pendule lorsqu'il oscille ?

Deux fois au cours de la période - aux plus grands écarts vers la gauche et vers la droite - le pendule s'arrête, c'est-à-dire à ces instants la vitesse est nulle, ce qui signifie que l'énergie cinétique est nulle. Mais c’est précisément à ces instants que le centre de gravité du pendule est élevé à sa plus grande hauteur et, par conséquent, l’énergie potentielle est la plus grande. Au contraire, aux moments du passage par la position d'équilibre, l'énergie potentielle est la plus faible, et la vitesse et l'énergie cinétique atteignent leurs plus grandes valeurs.

Nous supposerons que les forces de frottement du pendule contre l’air et le frottement au point de suspension peuvent être négligés. Ensuite, selon la loi de conservation de l’énergie, cette énergie cinétique maximale est exactement égale à l’excès d’énergie potentielle à la position de plus grand écart sur l’énergie potentielle à la position d’équilibre.

Ainsi, lorsque le pendule oscille, une transition périodique de l'énergie cinétique en énergie potentielle et vice versa se produit, et la période de ce processus est deux fois moins longue que la période d'oscillation du pendule lui-même. Cependant, l’énergie totale du pendule (la somme des énergies potentielle et cinétique) est constante à tout moment. Elle est égale à l'énergie qui a été transmise au pendule au lancement, que ce soit sous forme d'énergie potentielle (déflexion initiale) ou sous forme d'énergie cinétique (poussée initiale).

C'est le cas de toute oscillation en l'absence de frottement ou de tout autre processus qui enlève de l'énergie au système oscillant ou lui transmet de l'énergie. C'est pourquoi l'amplitude reste inchangée et est déterminée par la déviation ou la force initiale de la poussée.

On obtiendra les mêmes modifications de la force de rappel et le même transfert d'énergie si, au lieu d'accrocher la boule à un fil, on la fait rouler dans un plan vertical dans une coupelle sphérique ou dans une rainure courbée le long de la circonférence. Dans ce cas, le rôle de tension du fil sera repris par la pression des parois de la coupelle ou de la gouttière (on néglige encore le frottement de la bille contre les parois et l'air).