J'ai été témoin une fois d'une conversation entre deux candidats :

– Quand faut-il ajouter 2πn, et quand faut-il ajouter πn ? Je ne m'en souviens tout simplement pas !

– Et j'ai le même problème.

Je voulais juste leur dire : « Vous n’avez pas besoin de mémoriser, mais comprenez !

Cet article s'adresse principalement aux lycéens et, je l'espère, les aidera à résoudre les équations trigonométriques les plus simples avec « compréhension » :

Cercle de nombres

Outre le concept de droite numérique, il existe également le concept cercle numérique. Comme nous le savons, dans un système de coordonnées rectangulaires, un cercle dont le centre est le point (0; 0) et le rayon 1 est appelé cercle unité. Imaginons la droite numérique comme un fil fin et enroulons-la autour de ce cercle : l'origine (point 0), plaçons-la au « bon » point cercle unitaire, nous enroulerons le demi-axe positif dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et le négatif dans le sens (Fig. 1). Un tel cercle unitaire est appelé cercle numérique.

Propriétés du cercle numérique

• Chaque nombre réel se trouve sur un point du cercle numérique.
• Il existe une infinité de nombres réels en chaque point du cercle numérique. Puisque la longueur du cercle unité est de 2π, la différence entre deux nombres quelconques en un point du cercle est égale à l'un des nombres ±2π ; ±4π ; ±6π ; ...

Concluons : connaissant un des numéros du point A, on peut trouver tous les numéros du point A.

Dessinons le diamètre de l'AC (Fig. 2). Puisque x_0 est l'un des nombres du point A, alors les nombres x_0±π ; x_0 ± 3π ; x_0 ± 5π ; ... et eux seuls seront les numéros du point C. Choisissons un de ces nombres, disons, x_0+π, et utilisons-le pour noter tous les numéros du point C : x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Notez que les nombres aux points A et C peuvent être combinés en une seule formule : x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (pour k = 0 ; ±2 ; ±4 ; ... nous obtenons les nombres de point A, et pour k = ±1 ; ±3 ; ±5 ; … – numéros du point C).

Concluons : connaissant un des nombres en l'un des points A ou C du diamètre AC, on peut retrouver tous les nombres en ces points.

• Deux nombres opposés sont situés sur des points du cercle symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Traçons une corde verticale AB (Fig. 2). Puisque les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe Ox, le nombre -x_0 est situé au point B et, par conséquent, tous les nombres du point B sont donnés par la formule : x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Nous écrivons les nombres aux points A et B en utilisant une formule : x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Concluons : connaissant un des nombres en l'un des points A ou B de la corde verticale AB, on peut retrouver tous les nombres en ces points. Considérons la corde horizontale AD et trouvons les numéros du point D (Fig. 2). Puisque BD est un diamètre et que le nombre -x_0 appartient au point B, alors -x_0 + π est l'un des nombres du point D et, par conséquent, tous les nombres de ce point sont donnés par la formule x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Les nombres aux points A et D peuvent être écrits en utilisant une formule : x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (pour k= 0 ; ±2 ; ±4 ; … on obtient les numéros du point A, et pour k = ±1 ; ±3 ; ±5 ; … – les numéros du point D).

Concluons : connaissant un des nombres en l'un des points A ou D de la corde horizontale AD, on peut retrouver tous les nombres en ces points.

Seize points principaux du cercle des nombres

En pratique, la solution la plus simple équations trigonométriques associé à seize points du cercle (Fig. 3). Quels sont ces points ? Les points rouges, bleus et verts divisent le cercle en 12 parts égales. Puisque la longueur du demi-cercle est π, alors la longueur de l’arc A1A2 est π/2, la longueur de l’arc A1B1 est π/6 et la longueur de l’arc A1C1 est π/3.

Nous pouvons désormais indiquer un numéro à la fois :

π/3 sur C1 et

Les sommets du carré orange sont les milieux des arcs de chaque quartier, donc la longueur de l'arc A1D1 est égale à π/4 et donc π/4 est l'un des nombres du point D1. En utilisant les propriétés du cercle numérique, nous pouvons utiliser des formules pour écrire tous les nombres sur tous les points marqués de notre cercle. Les coordonnées de ces points sont également marquées sur la figure (nous omettrons la description de leur acquisition).

Ayant appris ce qui précède, nous disposons désormais d'une préparation suffisante pour résoudre des cas particuliers (pour neuf valeurs du nombre un)équations les plus simples.

Résoudre des équations

1)péchéx=1⁄(2).

– Qu’est-ce qu’on attend de nous ?

– Trouvez tous ces nombres x dont le sinus est 1/2.

Rappelons la définition du sinus : sinx – ordonnée du point sur le cercle numérique sur lequel se trouve le nombre x. On a deux points sur le cercle dont l'ordonnée est égale à 1/2. Ce sont les extrémités de la corde horizontale B1B2. Cela signifie que l'exigence « résoudre l'équation sinx=1⁄2 » est équivalente à l'exigence « trouver tous les nombres au point B1 et tous les nombres au point B2 ».

2)péchéx=-√3⁄2 .

Nous devons trouver tous les nombres aux points C4 et C3.

3) péchéx=1. Sur le cercle, nous n'avons qu'un seul point d'ordonnée 1 - le point A2 et, par conséquent, nous devons trouver uniquement tous les nombres de ce point.

Réponse : x=π/2+2πk, k∈Z.

4)péchéx=-1 .

Seul le point A_4 a pour ordonnée -1. Tous les nombres de ce point seront les chevaux de l'équation.

Réponse : x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) péchéx=0 .

Sur le cercle, nous avons deux points d'ordonnée 0 - les points A1 et A3. Vous pouvez indiquer les nombres en chacun des points séparément, mais étant donné que ces points sont diamétralement opposés, il est préférable de les combiner en une seule formule : x=πk,k∈Z.

Réponse : x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Rappelons la définition du cosinus : cosx est l'abscisse du point du cercle numérique sur lequel se trouve le nombre x. Sur le cercle, nous avons deux points d'abscisse √2⁄2 - les extrémités de la corde horizontale D1D4. Il faut retrouver tous les chiffres sur ces points. Écrivons-les en les combinant en une seule formule.

Réponse : x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Nous devons trouver les nombres aux points C_2 et C_3.

Réponse : x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Seuls les points A2 et A4 ont une abscisse de 0, ce qui signifie que tous les nombres en chacun de ces points seront des solutions de l'équation.
.

Les solutions de l'équation du système sont les nombres aux points B_3 et B_4. À l'inégalité cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Réponse : x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Notez que pour toute valeur admissible de x, le deuxième facteur est positif et, par conséquent, l'équation est équivalente au système

Les solutions de l'équation système sont le nombre de points D_2 et D_3. Les nombres du point D_2 ne satisfont pas à l'inégalité sinx≤0,5, mais les nombres du point D_3 le font.

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Les principales méthodes de résolution d'équations trigonométriques sont : la réduction des équations au plus simple (à l'aide de formules trigonométriques), l'introduction de nouvelles variables et la factorisation. Regardons leur utilisation avec des exemples. Faites attention au format d'écriture des solutions aux équations trigonométriques.

Une condition nécessaire pour réussir à résoudre des équations trigonométriques est la connaissance des formules trigonométriques (thème 13 du travail 6).

Exemples.

1. Équations réduites au plus simple.

1) Résoudre l'équation

Solution:

Répondre:

2) Trouver les racines de l'équation

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, appartenant au segment.

Solution:

Répondre:

2. Équations qui se réduisent au quadratique.

1) Résolvez l’équation 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Solution: En utilisant la formule sin 2 x = 1 – cos 2 x, on obtient

Répondre:

2) Résolvez l'équation cos 2x = 1 + 4 cosx.

Solution: En utilisant la formule cos 2x = 2 cos 2 x – 1, on obtient

Répondre:

3) Résolvez l'équation tgx – 2ctgx + 1 = 0

Solution:

Répondre:

3. Équations homogènes

1) Résolvez l’équation 2sinx – 3cosx = 0

Solution : Soit cosx = 0, puis 2sinx = 0 et sinx = 0 – une contradiction avec le fait que sin 2 x + cos 2 x = 1. Cela signifie cosx ≠ 0 et nous pouvons diviser l'équation par cosx. On a

Répondre:

2) Résolvez l'équation 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Solution:

On utilise les formules 1 = sin 2 x + cos 2 x et sin 2x = 2 sinxcosx, on obtient

péché 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6 péchéxcosx
péché 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Soit cosx = 0, alors sin 2 x = 0 et sinx = 0 – une contradiction avec le fait que sin 2 x + cos 2 x = 1.
Cela signifie cosx ≠ 0 et on peut diviser l'équation par cos 2 x . On a

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Notons tgx = y
oui 2 – 6 oui + 8 = 0
oui 1 = 4 ; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Répondre: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 ok, ok

4. Équations de la forme un péché + b cosx = s, s≠ 0.

1) Résolvez l’équation.

Solution:

Répondre:

5. Équations résolues par factorisation.

1) Résolvez l’équation sin2x – sinx = 0.

Racine de l'équation F (X) = φ ( X) ne peut servir que de nombre 0. Vérifions ceci :

cos 0 = 0 + 1 – l'égalité est vraie.

Le nombre 0 est la seule racine de cette équation.

Répondre: 0.

Vous pouvez commander une solution détaillée à votre problème !!!

Une égalité contenant une inconnue sous le signe d'une fonction trigonométrique (« sin x, cos x, tan x » ou « ctg x ») est appelée une équation trigonométrique, et ce sont leurs formules que nous considérerons plus loin.

Les équations les plus simples sont « sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a », où « x » est l'angle à trouver, « a » est n'importe quel nombre. Écrivons les formules racines de chacun d'eux.

1. Équation `sin x=a`.

Pour `|a|>1`, il n'a pas de solutions.

Quand `|a| \leq 1` a un nombre infini de solutions.

Formule racine : `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Équation `cos x=a`

Pour `|a|>1` - comme dans le cas du sinus, il n'y a pas de solutions parmi les nombres réels.

Quand `|a| \leq 1` a ensemble infini les décisions.

Formule racine : `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Cas particuliers du sinus et du cosinus dans les graphiques.

3. Équation `tg x=a`

Possède un nombre infini de solutions pour toutes les valeurs de « a ».

Formule racine : `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Équation `ctg x=a`

Possède également un nombre infini de solutions pour toutes les valeurs de « a ».

Formule racine : `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formules pour les racines des équations trigonométriques dans le tableau

Pour le sinus :
Pour le cosinus :
Pour la tangente et la cotangente :
Formules pour résoudre des équations contenant des fonctions trigonométriques inverses :

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques

La résolution de toute équation trigonométrique comprend deux étapes :

• avec l'aide de le transformer au plus simple ;
• résolvez l'équation la plus simple obtenue en utilisant les formules de racine et les tableaux écrits ci-dessus.

Examinons les principales méthodes de solution à l'aide d'exemples.

Méthode algébrique.

Cette méthode consiste à remplacer une variable et à la substituer par une égalité.

Exemple. Résolvez l'équation : `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faites un remplacement : `cos(x+\frac \pi 6)=y`, puis `2y^2-3y+1=0`,

on retrouve les racines : `y_1=1, y_2=1/2`, d'où découlent deux cas :

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Réponse : `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorisation.

Exemple. Résolvez l'équation : `sin x+cos x=1`.

Solution. Déplaçons tous les termes de l'égalité vers la gauche : `sin x+cos x-1=0`. En utilisant , nous transformons et factorisons le membre de gauche :

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Réponse : `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Réduction à une équation homogène

Tout d’abord, vous devez réduire cette équation trigonométrique à l’une des deux formes suivantes :

`a sin x+b cos x=0` (équation homogène du premier degré) ou `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (équation homogène du deuxième degré).

Divisez ensuite les deux parties par `cos x \ne 0` - pour le premier cas, et par `cos^2 x \ne 0` - pour le second. Nous obtenons des équations pour `tg x` : `a tg x+b=0` et `a tg^2 x + b tg x +c =0`, qui doivent être résolues à l'aide de méthodes connues.

Exemple. Résolvez l'équation : `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Solution. Écrivons le côté droit comme `1=sin^2 x+cos^2 x` :

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Il s'agit d'une équation trigonométrique homogène du deuxième degré, on divise ses côtés gauche et droit par `cos^2 x \ne 0`, on obtient :

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2x+tgx — 2=0`. Introduisons le remplacement `tg x=t`, résultant en `t^2 + t - 2=0`. Les racines de cette équation sont « t_1=-2 » et « t_2=1 ». Alors:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Répondre. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Passer au demi-angle

Exemple. Résolvez l'équation : « 11 sin x - 2 cos x = 10 ».

Solution. Appliquons les formules double angle, ce qui donne : `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Appliquer ce qui précède méthode algébrique, on a:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Répondre. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introduction de l'angle auxiliaire

Dans l'équation trigonométrique « a sin x + b cos x = c », où a,b,c sont des coefficients et x est une variable, divisez les deux côtés par « sqrt (a^2+b^2) » :

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Les coefficients du côté gauche ont les propriétés du sinus et du cosinus, à savoir que la somme de leurs carrés est égale à 1 et que leurs modules ne sont pas supérieurs à 1. Notons-les ainsi : `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, alors :

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Regardons de plus près l'exemple suivant :

Exemple. Résolvez l'équation : `3 sin x+4 cos x=2`.

Solution. Divisez les deux côtés de l'égalité par `sqrt (3^2+4^2)`, nous obtenons :

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 péché x+4/5 cos x=2/5`.

Notons `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Puisque `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, alors nous prenons `\varphi=arcsin 4/5` comme angle auxiliaire. Ensuite nous écrivons notre égalité sous la forme :

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

En appliquant la formule de la somme des angles pour le sinus, on écrit notre égalité sous la forme suivante :

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Répondre. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Équations trigonométriques rationnelles fractionnaires

Ce sont des égalités avec des fractions dont les numérateurs et dénominateurs contiennent des fonctions trigonométriques.

Exemple. Résous l'équation. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solution. Multipliez et divisez le côté droit de l'égalité par « (1+cos x) ». En conséquence nous obtenons :

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Considérant que le dénominateur ne peut pas être égal à zéro, on obtient `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Assumons le numérateur de la fraction à zéro : `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Alors `sin x=0` ou `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Étant donné que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, les solutions sont `x=2\pi n, n \in Z` et `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Répondre. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

La trigonométrie, et les équations trigonométriques en particulier, sont utilisées dans presque tous les domaines de la géométrie, de la physique et de l'ingénierie. Les études commencent en 10e année, il y a toujours des tâches pour l'examen d'État unifié, alors essayez de vous souvenir de toutes les formules des équations trigonométriques - elles vous seront certainement utiles !

Cependant, vous n'avez même pas besoin de les mémoriser, l'essentiel est d'en comprendre l'essence et de pouvoir la dériver. Ce n'est pas aussi difficile qu'il y paraît. Voyez par vous-même en regardant la vidéo.

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