Définitions des limites finies et infinies d'une fonction à l'infini selon Cauchy. Définitions des limites bilatérales et unilatérales (gauche et droite). Exemples de solutions à des problèmes dans lesquels, en utilisant la définition de Cauchy, il faut montrer que la limite à l'infini est égale à valeur définie, .

Contenu

Voir également: Quartier d'un point
Définition universelle de la limite d'une fonction selon Heine et Cauchy

Limite finie d'une fonction à l'infini

Limite d'une fonction à l'infini :
|f(x) - une|< ε при |x| >N

Détermination de la limite de Cauchy
Le nombre a est appelé la limite de la fonction F (X) comme x tend vers l'infini (), si
1) il existe un tel |x| >
2) pour tout nombre positif ε, aussi petit soit-il > 0 , il existe un nombre N ε >K, en fonction de ε, qui pour tout x, |x| > N ε, les valeurs de la fonction appartiennent au ε-voisinage du point a :
|f (x) - une|< ε .
La limite d'une fonction à l'infini est notée comme suit :
.
Ou à .

La notation suivante est également souvent utilisée :
.

Écrivons cette définition en utilisant les symboles logiques de l'existence et de l'universalité :
.
Cela suppose que les valeurs appartiennent au domaine de la fonction.

Limites unilatérales

Limite gauche d'une fonction à l'infini :
|f(x) - une|< ε при x < -N

Il arrive souvent qu'une fonction soit définie uniquement pour des valeurs positives ou positives. valeurs négatives variable x (plus précisément au voisinage du point ou ). De plus, les limites à l'infini pour les valeurs positives et négatives de x peuvent avoir différentes significations. Ensuite, des limites unilatérales sont utilisées.

Limite gauche à l'infini ou la limite lorsque x tend vers moins l'infini () est définie comme suit :
.
Limite droite à l'infini ou la limite lorsque x tend vers plus l'infini () :
.
Les limites unilatérales à l'infini sont souvent notées comme suit :
; .

Limite infinie d'une fonction à l'infini

Limite infinie d'une fonction à l'infini :
|f(x)| > M pour |x| > N

Définition de la limite infinie selon Cauchy
Limite de la fonction f (X) comme x tend vers l'infini (), est égal à l'infini, Si
1) il existe un tel voisinage du point à l'infini |x| > K, sur lequel la fonction est définie (ici K est un nombre positif) ;
2) pour tous, autant que vous le souhaitez grand nombre M > 0 , il existe un tel nombre N M >K, en fonction de M, qui pour tout x, |x| > N M , les valeurs de la fonction appartiennent au voisinage du point à l'infini :
|f (x) | > M.
La limite infinie lorsque x tend vers l’infini est notée comme suit :
.
Ou à .

En utilisant les symboles logiques de l’existence et de l’universalité, la définition de la limite infinie d’une fonction peut s’écrire comme suit :
.

De même, des définitions des limites infinies de certains signes égaux à et sont introduites :
.
.

Définitions des limites unilatérales à l'infini.
Limites laissées.
.
.
.
Les bonnes limites.
.
.
.

Détermination de la limite d'une fonction selon Heine

Le nombre a (fini ou à l'infini) est appelé limite de la fonction f (X) au point x 0 :
,
Si
1) il existe un tel voisinage du point x à l'infini 0 , sur lequel la fonction est définie (ici ou ou ) ;
2) pour n'importe quelle séquence (xn), convergeant vers x 0 : ,
dont les éléments appartiennent au voisinage, séquence (f(xn)) converge vers un :
.

Si l'on prend comme voisinage le voisinage d'un point non signé à l'infini : , alors on obtient la définition de la limite d'une fonction lorsque x tend vers l'infini, . Si l'on prend un voisinage gauche ou droit du point x à l'infini 0 : ou , alors nous obtenons la définition de la limite lorsque x tend respectivement vers moins l'infini et plus l'infini.

Les définitions de limite de Heine et Cauchy sont équivalentes.

Exemples

Exemple 1

En utilisant la définition de Cauchy pour montrer que
.

Introduisons la notation suivante :
.
Trouvons le domaine de définition de la fonction. Puisque le numérateur et le dénominateur de la fraction sont des polynômes, la fonction est définie pour tous les x sauf les points auxquels le dénominateur disparaît. Trouvons ces points. Résoudre une équation quadratique. ;
.
Racines de l'équation :
; .
Depuis, alors et .
La fonction est donc définie en . Nous l'utiliserons plus tard.

Écrivons la définition de la limite finie d'une fonction à l'infini selon Cauchy :
.
Transformons la différence :
.
Divisez le numérateur et le dénominateur par et multipliez par -1 :
.

Laisser .
Alors
;
;
;
.

Nous avons donc découvert que lorsque ,
.
.
Il s'ensuit que
à , et .

Puisque vous pouvez toujours l'augmenter, prenons . Alors pour n'importe qui,
à .
Cela signifie que .

Exemple 2

Laisser .
En utilisant la définition de Cauchy d'une limite, montrez que :
1) ;
2) .

1) Solution lorsque x tend vers moins l'infini

Depuis , la fonction est définie pour tout x.
Écrivons la définition de la limite d'une fonction égale à moins l'infini :
.

Laisser . Alors
;
.

Nous avons donc découvert que lorsque ,
.
Entrez les nombres positifs et :
.
Il s’ensuit que pour tout nombre positif M, il existe un nombre, de sorte que pour ,
.

Cela signifie que .

2) Solution lorsque x tend vers plus l'infini

Transformons la fonction d'origine. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par et appliquez la formule de la différence des carrés :
.
Nous avons:

.
Écrivons la définition de la limite droite de la fonction à :
.

Introduisons la notation : .
Transformons la différence :
.
Multipliez le numérateur et le dénominateur par :
.

Laisser
.
Alors
;
.

Nous avons donc découvert que lorsque ,
.
Entrez les nombres positifs et :
.
Il s'ensuit que
à et .

Puisque cela est valable pour tout nombre positif, alors
.

Les références:
CM. Nikolski. Cours d'analyse mathématique. Tome 1. Moscou, 1983.

Voir également:

Pour ceux qui veulent apprendre à trouver des limites, dans cet article nous vous en parlerons. Nous n’entrerons pas dans la théorie, les enseignants la donnent généralement lors de cours magistraux. La « théorie ennuyeuse » devrait donc être notée dans vos cahiers. Si ce n'est pas le cas, vous pouvez alors lire des manuels empruntés à la bibliothèque. établissement d'enseignement ou sur d'autres ressources Internet.

Ainsi, le concept de limite est très important dans l’étude des mathématiques supérieures, en particulier lorsque vous rencontrez le calcul intégral et comprenez le lien entre limite et intégrale. Dans le matériel actuel, nous considérerons exemples simples, ainsi que les moyens de les résoudre.

Exemples de solutions

Exemple 1

Calculer a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Solution

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Les gens nous envoient souvent ces limites en nous demandant d’aider à les résoudre. Nous avons décidé de les souligner à titre d'exemple distinct et d'expliquer que ces limites doivent simplement être rappelées, en règle générale. Si vous ne parvenez pas à résoudre votre problème, envoyez-le-nous. Nous fournirons solution détaillée. Vous pourrez visualiser la progression du calcul et obtenir des informations. Cela vous aidera à obtenir votre note de votre professeur en temps opportun !

Répondre

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0$$

Que faire de l'incertitude de la forme : $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Exemple 3

Résoudre $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Solution

Comme toujours, nous commençons par substituer la valeur $ x $ dans l'expression sous le signe limite. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Quelle est la prochaine étape maintenant ? Que devrait-il se passer à la fin ? Puisqu’il s’agit d’une incertitude, ce n’est pas encore une réponse et nous continuons le calcul. Puisque nous avons un polynôme dans les numérateurs, nous allons le factoriser en utilisant la formule familière à tout le monde à l'école $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Vous souvenez-vous? Super! Maintenant, allez-y et utilisez-le avec la chanson :) On trouve que le numérateur $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Nous continuons à résoudre en tenant compte de la transformation ci-dessus : $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Répondre

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Poussons la limite des deux derniers exemples à l'infini et considérons l'incertitude : $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Exemple 5

Calculer $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Solution

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ce qu'il faut faire? Que dois-je faire? Pas de panique, car l'impossible est possible. Il faut retirer le x au numérateur et au dénominateur, puis le réduire. Après cela, essayez de calculer la limite. Essayons... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ En utilisant la définition de l'exemple 2 et en remplaçant x par l'infini, nous obtenons : $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Répondre

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algorithme de calcul des limites

Alors, résumons brièvement les exemples et créons un algorithme pour résoudre les limites :

1. Remplacez le point x dans l'expression qui suit le signe limite. Si un certain nombre ou l’infini est obtenu, alors la limite est complètement résolue. Sinon, nous avons une incertitude : « zéro divisé par zéro » ou « l'infini divisé par l'infini » et passons aux étapes suivantes des instructions.
2. Pour éliminer l’incertitude de « zéro divisé par zéro », vous devez factoriser le numérateur et le dénominateur. Réduisez les similaires. Remplacez le point x dans l'expression sous le signe limite.
3. Si l’incertitude est « l’infini divisé par l’infini », alors nous supprimons au maximum le numérateur et le dénominateur x. Nous raccourcissons les X. Nous substituons les valeurs de x sous la limite dans l'expression restante.

Dans cet article, vous avez appris les bases de la résolution des limites, souvent utilisées dans le cours de calcul. Bien entendu, il ne s’agit pas de tous les types de problèmes proposés par les examinateurs, mais seulement des limites les plus simples. Nous parlerons d'autres types de missions dans de prochains articles, mais vous devez d'abord apprendre cette leçon pour pouvoir avancer. Discutons de ce qu'il faut faire s'il y a des racines, des degrés, étudions les fonctions équivalentes infinitésimales, les limites remarquables, la règle de L'Hôpital.

Si vous ne parvenez pas à déterminer vous-même les limites, ne paniquez pas. Nous sommes toujours heureux d'aider!

Lorsque vous résolvez des problèmes de recherche de limites, vous devez vous rappeler certaines limites afin de ne pas les recalculer à chaque fois. En combinant ces limites connues, nous trouverons de nouvelles limites utilisant les propriétés indiquées au § 4. Par commodité, nous présentons les limites les plus fréquemment rencontrées : Limites 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), si f (x) est continu x a Si l'on sait que la fonction est continue, alors au lieu de trouver la limite, nous calculons la valeur de la fonction. Exemple 1. Trouvez lim (x*-6l:+ 8). Puisqu'il y en a beaucoup - X->2

la fonction membre est continue, alors lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Exemple 2. Trouvez lim -r. . Tout d'abord, on trouve la limite du dénominateur : lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; il n'est pas égal à X-Y1 zéro, ce qui signifie qu'on peut appliquer la propriété 4 § 4, alors x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. La limite de le dénominateur X X est égal à zéro, donc la propriété 4 du § 4 ne peut pas être appliquée. Puisque le numérateur est un nombre constant et que le dénominateur [x2x) -> -0 pour x - - 1, alors la fraction entière augmente indéfiniment en valeur absolue, c'est-à-dire lim "1 X-*- - 1 x* + x Exemple 4. Trouver lim \-ll*"!"" "La limite du dénominateur est zéro : lim (xr-6lg+ 8) = 2*-6 - 2 + 8 = 0, donc la propriété X 4 du § 4 n'est pas applicable. Mais la limite du numérateur est également nulle : lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Donc, les limites du numérateur et des dénominateurs sont simultanément égales à zéro. Cependant, le nombre 2 est la racine à la fois du numérateur et du dénominateur, la fraction peut donc être réduite de la différence x-2 (selon le théorème de Bezout). En effet, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" donc, xr--f- 6 g x-3 -1 1 Exemple 5. Trouver lim xn (n entier, positif). n est un entier, positif). X -> - CO On a xn = x x... x. Puisque chaque facteur augmente en absolu valeur, restant négative, alors dans le cas même degré le produit croîtra sans limite, en restant positif, c'est-à-dire lim *n = + oo (pour n pair). *-* -о Dans le cas d'un degré impair, la valeur absolue du produit augmente, mais elle reste négative, c'est-à-dire lim xn = - oo (pour n impair). p -- 00 Exemple 7. Trouver lim . x x-*- co * Si m>pu alors on peut écrire : m = n + kt où k>0. Donc xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x -x> A x yu Nous sommes arrivés à l'exemple 6. Si ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x-* yu L X ->co Ici le numérateur reste constant, et le dénominateur augmente en valeur absolue, donc lim -ь = 0. X-*oo X* Il est recommandé de retenir le résultat de cet exemple sous la forme suivante : La fonction puissance croît plus vite la plus d'indicateur degrés. $хв_Зхг + 7

Exemples

Exemple 8. Trouvez lim g L -g-=. Dans cet exemple x-*® "J* "G bX -ox-o et le numérateur et le dénominateur augmentent sans limite. Divisons le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée. de x, c'est-à-dire sur xb, alors 3 7_ Exemple 9. Trouver lire... En effectuant des transformations, on obtient lire... ^ = lim X CO + 3 7 3 Puisque lim -5 = 0, lim -, = 0, alors la limite du dénominateur rad-*® X X-+-CD X est nulle, tandis que la limite du numérateur est 1. Par conséquent, la fraction entière augmente sans limite, c'est-à-dire t. 7x hm X-+ yu Exemple 10. Trouvons lim Let's calculez le dénominateur limite S, en vous rappelant que la fonction cos* est continue : lire (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Alors x->- S lim (l-fsin*) Exemple 15. Trouver lim *<*-e>2 et lime "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO appuyer sur (l: - a)2 = z; puisque (Λ;-a)2 croît toujours de manière non négative et sans limite avec x, alors pour x - ±oo la nouvelle variable z-*oc. On obtient donc qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (voir note du §5). g -*weight co De même lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, puisque x ± oo g m - (x- a)z diminue sans limite lorsque x ->±oo (voir note au §

Définition des limites de séquence et de fonction, propriétés des limites, première et deuxième limites remarquables, exemples.

Nombre constant UN appelé limite séquences(x n ), si pour tout nombre positif arbitrairement petit ε > 0 il existe un nombre N tel que toutes les valeurs xn, pour lequel n>N, satisfait l'inégalité

Écrivez-le comme suit : ou x n → a.

L'inégalité (6.1) équivaut à la double inégalité

une - ε< x n < a + ε которое означает, что точки xn, à partir d'un certain nombre n>N, se situe à l'intérieur de l'intervalle (a-ε , a+ε), c'est-à-dire tomber dans n'importe quel petit ε-voisinage du point UN.

Une suite ayant une limite est appelée convergent, sinon - divergent.

Le concept de limite de fonction est une généralisation du concept de limite de séquence, puisque la limite d'une séquence peut être considérée comme la limite d'une fonction x n = f(n) d'un argument entier n.

Soit la fonction f(x) et soit un - point limite domaine de définition de cette fonction D(f), c'est-à-dire un tel point, dont tout voisinage contient des points de l'ensemble D(f) autres que un. Point un peut ou non appartenir à l’ensemble D(f).

Définition 1. Le nombre constant A s’appelle limite les fonctions f(x) à x→ a, si pour toute séquence (x n ) de valeurs d'argument tendant à UN, les séquences correspondantes (f(x n)) ont la même limite A.

Cette définition s'appelle déterminer la limite d'une fonction selon Heine, ou " en langage séquentiel”.

Définition 2. Le nombre constant A s’appelle limite les fonctions f(x) à x → a, si, étant donné un nombre positif arbitrairement petit ε, on peut trouver un tel δ >0 (en fonction de ε) que pour tout X, situé dans le voisinage ε du nombre UN, c'est à dire. Pour X, satisfaisant l'inégalité
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Cette définition s'appelle en définissant la limite d'une fonction selon Cauchy, ou « dans la langue ε - δ"

Les définitions 1 et 2 sont équivalentes. Si la fonction f(x) comme x → a a limite, égal à A, cela s'écrit sous la forme

Dans le cas où la séquence (f(x n)) augmente (ou diminue) sans limite pour toute méthode d'approximation Xà ta limite UN, alors nous dirons que la fonction f(x) a limite infinie, et écris-le sous la forme :

Une variable (c'est-à-dire une séquence ou une fonction) dont la limite est zéro est appelée infiniment petit.

Une variable dont la limite est égale à l'infini s'appelle infiniment grand.

Pour trouver la limite en pratique, les théorèmes suivants sont utilisés.

Théorème 1 . Si toutes les limites existent

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Commentaire. Les expressions de la forme 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ sont incertaines, par exemple le rapport de deux quantités infinitésimales ou infiniment grandes, et trouver une limite de ce type est appelé « divulgation d'incertitude ».

Théorème 2.

ceux. on peut aller à la limite basée sur la puissance à exposant constant, notamment,

Théorème 3.

(6.11)

Où e» 2.7 - socle un algorithme naturel. Les formules (6.10) et (6.11) sont appelées première limite remarquable et deuxième limite remarquable.

Les conséquences de la formule (6.11) sont également utilisées en pratique :

(6.12)

(6.13)

(6.14)

en particulier la limite,

Si x → a et en même temps x > a, alors écrivez x → a + 0. Si, en particulier, a = 0, alors au lieu du symbole 0+0 écrivez +0. De même, si x→a et en même temps x et sont appelés en conséquence limite droite Et limite gauche les fonctions f(x) à ce point UN. Pour qu’il y ait une limite de la fonction f(x) comme x→ a il faut et il suffit que . La fonction f(x) est appelée continu à ce point x 0 si limite

(6.15)

La condition (6.15) peut être réécrite comme suit :

c'est-à-dire que le passage à la limite sous le signe d'une fonction est possible si elle est continue en un point donné.

Si l’égalité (6.15) est violée, alors on dit que à x = xo fonction f(x) Il a écart Considérons la fonction y = 1/x. Le domaine de définition de cette fonction est l'ensemble R., sauf pour x = 0. Le point x = 0 est un point limite de l'ensemble D(f), puisque dans n'importe quel voisinage de celui-ci, c'est-à-dire dans tout intervalle ouvert contenant le point 0, il y a des points de D(f), mais lui-même n'appartient pas à cet ensemble. La valeur f(x o)= f(0) n'est pas définie, donc au point x o = 0 la fonction a une discontinuité.

La fonction f(x) est appelée continu à droite au point x o si la limite

Et continu à gauche au point x o, si la limite

Continuité d'une fonction en un point xoéquivaut à sa continuité en ce point tant à droite qu'à gauche.

Pour que la fonction soit continue au point xo, par exemple, à droite, il faut, d'une part, qu'il y ait une limite finie, et d'autre part, que cette limite soit égale à f(x o). Ainsi, si au moins une de ces deux conditions n’est pas remplie, alors la fonction présentera une discontinuité.

1. Si la limite existe et n'est pas égale à f(x o), alors on dit que fonction f(x) à ce point x o a rupture du premier type, ou saut.

2. Si la limite est +∞ ou -∞ ou n'existe pas, alors ils disent que dans indiquer xo la fonction a une discontinuité deuxième espèce.

Par exemple, la fonction y = ctg x lorsque x → +0 a une limite égale à +∞, ce qui signifie qu'au point x=0 elle présente une discontinuité de seconde espèce. Fonction y = E(x) (partie entière de X) en des points à abscisses entières présente des discontinuités du premier type, ou sauts.

Une fonction continue en tout point de l’intervalle est appelée continu V. Une fonction continue est représentée par une courbe pleine.

De nombreux problèmes associés à la croissance continue d’une certaine quantité conduisent à la deuxième limite remarquable. Ces tâches comprennent, par exemple : la croissance des gisements selon la loi des intérêts composés, la croissance de la population du pays, la désintégration des substances radioactives, la prolifération des bactéries, etc.

Considérons exemple de Ya. I. Perelman, donnant une interprétation du nombre e dans le problème des intérêts composés. Nombre e il existe une limite . Dans les caisses d’épargne, les intérêts sont ajoutés chaque année au capital fixe. Si l'adhésion est effectuée plus souvent, le capital croît plus rapidement, puisqu'un montant plus important est impliqué dans la formation des intérêts. Prenons un exemple purement théorique et très simplifié. Que 100 deniers soient déposés à la banque. unités sur la base de 100 % par an. Si les intérêts ne sont ajoutés au capital fixe qu'après un an, alors à cette période, 100 deniers. unités se transformera en 200 unités monétaires. Voyons maintenant ce que deviendront 100 denize. unités, si les intérêts sont ajoutés au capital fixe tous les six mois. Après six mois, 100 deniers. unités augmentera de 100 × 1,5 = 150, et après six mois supplémentaires - de 150 × 1,5 = 225 (den. unités). Si l'adhésion se fait tous les 1/3 de l'année, alors après un an 100 den. unités se transformera en 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (unités den.). Nous augmenterons les conditions d'ajout d'intérêts à 0,1 an, à 0,01 an, à 0,001 an, etc. Puis sur 100 deniers. unités au bout d'un an ce sera :

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (unités den.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (unités den.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (unités den.).

Avec une réduction illimitée des modalités d'ajout des intérêts, le capital accumulé ne croît pas indéfiniment, mais se rapproche d'une certaine limite égale à environ 271. Le capital déposé à 100 % par an ne peut augmenter de plus de 2,71 fois, même si les intérêts courus ont été ajoutés au capital chaque seconde car la limite

Exemple 3.1. À l’aide de la définition de la limite d’une suite de nombres, prouver que la suite x n =(n-1)/n a une limite égale à 1.

Solution. Nous devons prouver que, peu importe ce que nous prenons ε > 0, il existe pour cela un nombre naturel N tel que pour tout n > N l'inégalité |x n -1|< ε

Prenons tout ε > 0. Puisque x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, alors pour trouver N il suffit de résoudre l'inégalité 1/n<ε. Отсюда n>1/ε et, par conséquent, N peut être considéré comme la partie entière de 1/ε N = E(1/ε). Nous avons ainsi prouvé que la limite .

Exemple 3.2. Trouver la limite d'une séquence donnée par un terme commun .

Solution. Appliquons la limite du théorème de la somme et trouvons la limite de chaque terme. Comme n → ∞, le numérateur et le dénominateur de chaque terme tendent vers l'infini, et nous ne pouvons pas appliquer directement le théorème limite du quotient. Par conséquent, nous transformons d’abord xn, en divisant le numérateur et le dénominateur du premier terme par n°2, et le deuxième sur n. Ensuite, en appliquant la limite du quotient et la limite du théorème de la somme, on trouve :

Exemple 3.3. . Trouver .

Solution.

Ici, nous avons utilisé le théorème de la limite du degré : la limite d'un degré est égale au degré de la limite de la base.

Exemple 3.4. Trouver ( ).

Solution. Il est impossible d'appliquer le théorème de la limite des différences, puisque nous avons une incertitude de la forme ∞-∞. Transformons la formule du terme général :

Exemple 3.5. La fonction f(x)=2 1/x est donnée. Prouvez qu’il n’y a pas de limite.

Solution. Utilisons la définition 1 de la limite d'une fonction à travers une séquence. Prenons une suite ( x n ) convergeant vers 0, c'est-à-dire Montrons que la valeur f(x n)= se comporte différemment pour différentes séquences. Soit x n = 1/n. Évidemment, alors la limite Choisissons maintenant comme xn une séquence avec un terme commun x n = -1/n, tendant également vers zéro. Il n’y a donc aucune limite.

Exemple 3.6. Prouvez qu’il n’y a pas de limite.

Solution. Soit x 1 , x 2 ,..., x n ,... une suite pour laquelle
. Comment se comporte la séquence (f(x n)) = (sin x n) pour différents x n → ∞

Si x n = p n, alors sin x n = sin (p n) = 0 pour tout n et la limite Si
xn =2 p n+ p /2, alors péché x n = péché(2 p n+ p /2) = péché p /2 = 1 pour tout n et donc la limite. Donc ça n'existe pas.

Les limites posent beaucoup de problèmes à tous les étudiants en mathématiques. Pour résoudre une limite, vous devez parfois utiliser de nombreuses astuces et choisir parmi une variété de méthodes de solution exactement celle qui convient à un exemple particulier.

Dans cet article, nous ne vous aiderons pas à comprendre les limites de vos capacités ou à comprendre les limites du contrôle, mais nous essaierons de répondre à la question : comment comprendre les limites en mathématiques supérieures ? La compréhension vient avec l'expérience, c'est pourquoi nous donnerons en même temps plusieurs exemples détaillés de résolution de limites avec des explications.

Le concept de limite en mathématiques

La première question est : quelle est cette limite et la limite de quoi ? On peut parler des limites des séquences numériques et des fonctions. Nous nous intéressons à la notion de limite d’une fonction, puisque c’est celle que rencontrent le plus souvent les étudiants. Mais d’abord, la définition la plus générale d’une limite :

Disons qu'il y a une valeur variable. Si cette valeur en cours de changement s'approche de manière illimitée d'un certain nombre un , Que un – la limite de cette valeur.

Pour une fonction définie dans un certain intervalle f(x)=y un tel nombre s'appelle une limite UN , vers lequel tend la fonction lorsque X , tendant vers un certain point UN . Point UN appartient à l'intervalle sur lequel la fonction est définie.

Cela semble fastidieux, mais c'est écrit très simplement :

Lim- de l'anglais limite- limite.

Il existe également une explication géométrique pour déterminer la limite, mais ici nous n'entrerons pas dans la théorie, car nous nous intéressons davantage à l'aspect pratique que théorique de la question. Quand on dit ça X tend vers une certaine valeur, cela signifie que la variable ne prend pas la valeur d'un nombre, mais s'en rapproche infiniment.

Donnons un exemple précis. La tâche est de trouver la limite.

Pour résoudre cet exemple, nous substituons la valeur x=3 dans une fonction. On a:

À propos, si vous êtes intéressé par les opérations de base sur les matrices, lisez un article séparé sur ce sujet.

Dans les exemples X peut tendre vers n’importe quelle valeur. Il peut s'agir de n'importe quel nombre ou de l'infini. Voici un exemple quand X tend vers l'infini :

C'est intuitivement clair de quoi il s'agit plus grand nombre au dénominateur, plus la valeur que prendra la fonction est petite. Donc, avec une croissance illimitée X signification 1 fois diminuera et se rapprochera de zéro.

Comme vous pouvez le voir, pour résoudre la limite, il vous suffit de substituer la valeur recherchée dans la fonction X . Il s’agit cependant du cas le plus simple. Souvent, trouver la limite n’est pas si évident. Dans les limites, il existe des incertitudes du type 0/0 ou l'infini/l'infini . Que faire dans de tels cas ? Recourez aux astuces !

Incertitudes au sein

Incertitude de la forme infini/infini

Qu'il y ait une limite :

Si nous essayons de substituer l’infini dans la fonction, nous obtiendrons l’infini à la fois au numérateur et au dénominateur. En général, il convient de dire qu'il y a une certaine part d'art dans la résolution de telles incertitudes : il faut remarquer comment transformer la fonction de manière à ce que l'incertitude disparaisse. Dans notre cas, on divise le numérateur et le dénominateur par X au diplôme supérieur. Que va-t-il se passer ?

D'après l'exemple déjà évoqué ci-dessus, nous savons que les termes contenant x au dénominateur tendront vers zéro. Alors la solution à la limite est :

Pour résoudre les incertitudes de type l'infini/l'infini diviser le numérateur et le dénominateur par X au plus haut degré.

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Autre type d'incertitude : 0/0

Comme toujours, remplacer des valeurs dans la fonction x=-1 donne 0 au numérateur et au dénominateur. Regardez d'un peu plus près et vous remarquerez que dans notre numérateur équation quadratique. Trouvons les racines et écrivons :

Réduisons et obtenons :

Donc, si vous êtes confronté à une incertitude de type 0/0 – factoriser le numérateur et le dénominateur.

Pour vous faciliter la résolution des exemples, nous vous présentons un tableau avec les limites de certaines fonctions :

La règle de l'Hôpital à l'intérieur

Un autre moyen puissant d’éliminer les deux types d’incertitude. Quelle est l’essence de la méthode ?

S'il y a une incertitude sur la limite, prenez la dérivée du numérateur et du dénominateur jusqu'à ce que l'incertitude disparaisse.

La règle de L'Hôpital ressemble à ceci :

Point important : la limite dans laquelle se situent les dérivées du numérateur et du dénominateur au lieu du numérateur et du dénominateur doit exister.

Et maintenant - un exemple réel :

Il existe une incertitude typique 0/0 . Prenons les dérivées du numérateur et du dénominateur :

Voilà, l’incertitude est résolue rapidement et avec élégance.

Nous espérons que vous pourrez appliquer utilement ces informations dans la pratique et trouver la réponse à la question « comment résoudre les limites en mathématiques supérieures ». Si vous avez besoin de calculer la limite d'une séquence ou la limite d'une fonction en un point, et que vous n'avez absolument pas le temps pour ce travail, contactez un service étudiant professionnel pour une solution rapide et détaillée.