Cette leçon est destinée à auto-apprentissage thème "Angle dièdre". Dans cette leçon, les élèves se familiariseront avec l’une des formes géométriques les plus importantes, l’angle dièdre. Également dans la leçon, nous apprendrons comment déterminer l'angle linéaire du point considéré figure géométrique et quel est l'angle dièdre à la base de la figure.

Répétons ce qu'est un angle sur un plan et comment il est mesuré.

Riz. 1. Avion

Considérons le plan α (Fig. 1). De ce point À PROPOS deux rayons émanent - OB Et OA.

Définition. Une figure formée de deux rayons émanant d’un même point s’appelle un angle.

L'angle est mesuré en degrés et en radians.

Rappelons ce qu'est un radian.

Riz. 2. Radians

Si nous avons un angle au centre dont la longueur de l’arc est égale au rayon, alors un tel angle au centre est appelé angle de 1 radian. ,∠ AOB= 1 rad (Fig. 2).

Relation entre les radians et les degrés.

content.

Nous comprenons, je suis content. (). Alors,

Définition. Angle dièdre une figure formée par une ligne droite s'appelle UN et deux demi-plans avec une frontière commune UN, n'appartenant pas au même plan.

Riz. 3. Demi-plans

Considérons deux demi-plans α et β (Fig. 3). Leur frontière commune - UN. Cette figure est appelée angle dièdre.

Terminologie

Les demi-plans α et β sont les faces d'un angle dièdre.

Droit UN est une arête d’un angle dièdre.

Sur un bord commun UN angle dièdre, choisissez un point arbitraire À PROPOS(Fig. 4). Dans le demi-plan α à partir du point À PROPOS restaurer la perpendiculaire OAà une ligne droite UN. Du même point À PROPOS dans le deuxième demi-plan β on construit une perpendiculaire OB au bord UN. J'ai un angle AOB, qui est appelé l'angle linéaire de l'angle dièdre.

Riz. 4. Mesure de l'angle dièdre

Montrons l'égalité de tous les angles linéaires pour un angle dièdre donné.

Prenons un angle dièdre (Fig. 5). Choisissons un point À PROPOS et période Ô 1 en ligne droite UN. Construisons un angle linéaire correspondant au point À PROPOS, c'est-à-dire que nous traçons deux perpendiculaires OA Et OB dans les plans α et β respectivement jusqu'au bord UN. Nous obtenons l'angle AOB- angle linéaire de l'angle dièdre.

Riz. 5. Illustration de la preuve

De ce point Ô 1 traçons deux perpendiculaires OA 1 Et OB1 au bord UN dans les plans α et β respectivement et on obtient le deuxième angle linéaire UNE 1 O 1 B 1.

Des rayons O 1 UNE 1 Et OA codirectionnels, puisqu'ils se trouvent dans le même demi-plan et sont parallèles entre eux comme deux perpendiculaires à une même droite UN.

De même, les rayons Environ 1 sur 1 Et OB sont codirigés, ce qui signifie ∠ AOB =∠ UNE 1 O 1 B 1 comme des angles avec des côtés codirectionnels, ce qui restait à prouver.

Le plan de l’angle linéaire est perpendiculaire au bord de l’angle dièdre.

Prouver: UN ⊥ AOB.

Riz. 6. Illustration de la preuve

Preuve:

OA ⊥ UN par construction, OB ⊥ UN par construction (Fig. 6).

Nous constatons que la ligne UN perpendiculaire à deux lignes sécantes OA Et OB hors de l'avion AOB, ce qui veut dire que c'est droit UN perpendiculaire au plan OAV, c'était ce qui devait être prouvé.

Un angle dièdre est mesuré par son angle linéaire. Cela signifie que autant de degrés radians sont contenus dans un angle linéaire, autant de degrés radians sont contenus dans son angle dièdre. Conformément à cela, on distingue les types d'angles dièdres suivants.

Aigu (Fig. 6)

Un angle dièdre est aigu si son angle linéaire est aigu, c'est-à-dire .

Droit (Fig. 7)

Un angle dièdre est droit lorsque son angle linéaire est de 90° - Obtus (Fig. 8)

Un angle dièdre est obtus lorsque son angle linéaire est obtus, c'est-à-dire .

Riz. 7. Angle droit

Riz. 8. Angle obtus

Exemples de construction d'angles linéaires dans des figures réelles

abcD- tétraèdre.

1. Construire un angle linéaire d'un angle dièdre avec une arête UN B.

Riz. 9. Illustration du problème

Construction:

Nous parlons d'un angle dièdre, qui est formé par une arête UN B et les bords UN BD Et abc(Fig. 9).

Faisons un direct DN perpendiculaire au plan abc, N- la base de la perpendiculaire. Dessinons un incliné DM perpendiculaire à une droite UN B,M- socle incliné. Par le théorème des trois perpendiculaires on conclut que la projection d'une oblique Nouveau-Mexiqueégalement perpendiculaire à la ligne UN B.

Autrement dit, du point de vue M deux perpendiculaires au bord ont été restaurées UN B des deux côtés UN BD Et abc. Nous avons l'angle linéaire DMN.

remarquerez que UN B, une arête d'un angle dièdre, perpendiculaire au plan de l'angle linéaire, c'est-à-dire le plan DMN. Le problème est résolu.

Commentaire. L'angle dièdre peut être noté comme suit : Dabc, Où

UN B- bord et points D Et AVEC se situent de différents côtés de l’angle.

2. Construire un angle linéaire d'un angle dièdre avec une arête CA.

Traçons une perpendiculaire DNà l'avion abc et incliné DN perpendiculaire à une droite CA. Par le théorème des trois perpendiculaires on trouve que НN- projection oblique DNà l'avion ABC,également perpendiculaire à la ligne CA.DNH- angle linéaire d'un angle dièdre avec une arête CA.

Dans un tétraèdre Dabc toutes les arêtes sont égales. Point M- milieu de la côte CA. Montrer que l'angle DVM- angle dièdre linéaire TOID, c'est-à-dire un angle dièdre avec une arête CA. L'un de ses visages est CAD, deuxième - DIA(Fig. 10).

Riz. 10. Illustration du problème

Solution:

Triangle CDA- équilatéral, DM- médiane, et donc hauteur. Moyens, DM ⊥ CA. De même, le triangle UNDANSC- équilatéral, DANSM- médiane, et donc hauteur. Moyens, Machine virtuelle ⊥ CA.

Ainsi, du point de vue M côtes CA angle dièdre restauré deux perpendiculaires DM Et Machine virtuelleà cette arête dans les faces de l'angle dièdre.

Alors, ∠ DMDANS est l'angle linéaire de l'angle dièdre, ce qui devait être prouvé.

Nous avons donc défini l'angle dièdre, l'angle linéaire de l'angle dièdre.

Dans la leçon suivante, nous examinerons la perpendiculaire des lignes et des plans, puis nous apprendrons ce qu'est un angle dièdre à la base des figures.

Liste de références sur le thème "Angle dièdre", "Angle dièdre à la base des figures géométriques"

1. Géométrie. 10e-11e années : manuel pour l'enseignement général les établissements d'enseignement/ Sharygin I.F. - M. : Outarde, 1999. - 208 p. : ill.
2. Géométrie. 10e année : manuel pour les établissements d'enseignement avec étude approfondie et spécialisée des mathématiques / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6ème édition, stéréotype. - M. : Outarde, 2008. - 233 p. : ill.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Devoirs sur le thème "Angle dièdre", détermination de l'angle dièdre à la base des figures

Géométrie. 10e-11e années : manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveaux de base et spécialisé) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e édition, corrigée et augmentée - M. : Mnemosyne, 2008. - 288 pp. : ill.

Tâches 2, 3 p.

Qu’est-ce que l’angle dièdre linéaire ? Comment le construire ?

abcD- tétraèdre. Construire un angle linéaire d'un angle dièdre avec une arête :

UN) DANSD b) DAVEC.

abcD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - cube Construire l'angle linéaire de l'angle dièdre Un 1 ABC avec côte UN B. Déterminez sa mesure de degré.

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Objectifs de la leçon: introduire le concept d'angle dièdre et son angle linéaire ;

envisager des tâches sur l'application de ces concepts ;

développer la compétence constructive consistant à trouver l'angle entre les plans ;

envisager des tâches sur l'application de ces concepts.

Pendant les cours

I. Moment d'organisation.

Informez le sujet de la leçon, formulez les objectifs de la leçon.

II. Actualisation des connaissances des étudiants (diapositive 2, 3).

1. Préparation à l'étude de nouveaux matériaux.

Comment s’appelle un angle dans un plan ?

Comment s’appelle l’angle entre les lignes dans l’espace ?

Comment s’appelle l’angle entre une droite et un plan ?

Énoncez le théorème des trois perpendiculaires

III. Apprendre du nouveau matériel.

• Le concept d'angle dièdre.

Une figure formée de deux demi-plans passant par une droite MN est appelée angle dièdre (diapositive 4).

Les demi-plans sont des faces, la droite MN est l'arête d'un angle dièdre.

Quels objets de la vie quotidienne ont la forme d'un angle dièdre ? (Diapositive 5)

• L'angle entre les plans АСН et СНD est l'angle dièdre АСНD, où СН est une arête. Les points A et D se trouvent sur les faces de cet angle. L'angle AFD est l'angle linéaire de l'angle dièdre ACHD (diapositive 6).

• Algorithme de construction d'un angle linéaire (diapositive 7).

1 façon. Sur le bord, prenez n'importe quel point O et tracez des perpendiculaires à ce point (PO DE, KO DE) pour obtenir l'angle ROK - linéaire.

Méthode 2. Dans un demi-plan, prendre le point K et en faire tomber deux perpendiculaires vers un autre demi-plan et une arête (KO et KR), puis par le théorème TTP inverse PODE

• Tous les angles linéaires d'un angle dièdre sont égaux (diapositive 8). Preuve : les rayons OA et O 1 A 1 sont co-dirigés, les rayons OB et O 1 B 1 sont également co-dirigés, les angles BOA et B 1 O 1 A 1 sont égaux aux angles à côtés co-dirigés.

• La mesure en degrés d'un angle dièdre est la mesure en degrés de son angle linéaire (diapositive 9).

IV. Consolidation du matériel étudié.

• Résoudre des problèmes (oralement à l'aide de dessins prêts à l'emploi). (Diapositives 10 à 12)

1. RAVS – pyramide ; L'angle ACB est égal à 90°, la droite PB est perpendiculaire au plan ABC. Montrer que l'angle RSV est un angle linéaire d'un angle dièdre avec

2. RAVS - pyramide ; AB = BC, D est le milieu du segment AC, la droite PB est perpendiculaire au plan ABC. Montrer que l’angle PDB est un angle linéaire d’un angle dièdre d’arête AC.

3. PABCD – pyramide ; La droite PB est perpendiculaire au plan ABC, BC est perpendiculaire à DC. Montrer que l'angle RKB est un angle linéaire d'un angle dièdre d'arête CD.

• Problèmes de construction d'un angle linéaire (diapositives 13-14).

1. Construire un angle linéaire d'un angle dièdre avec une arête AC, si dans la pyramide RABC la face ABC est un triangle régulier, O est le point d'intersection des médianes, la droite PO est perpendiculaire au plan ABC

2. Étant donné un losange ABCD, la droite RS est perpendiculaire au plan ABCD.

Construire l'angle linéaire d'un angle dièdre d'arête ВD et l'angle linéaire d'un angle dièdre d'arête AD.

• Tâche informatique. (Diapositive 15)

Dans le parallélogramme ABCD, l'angle ADC est égal à 120 0, AD = 8 cm,

DC = 6 cm, la droite RS est perpendiculaire au plan ABC, RS = 9 cm.

Trouvez la taille de l'angle dièdre d'arête AD et l'aire du parallélogramme.

V. Devoirs (diapositive 16).

P. 22, n° 168, 171.

Livres d'occasion :

1. Géométrie 10-11 L.S.Atanasyan.
2. Système de problèmes sur le thème « Angles dièdres » par M.V. Sevostyanova (Mourmansk), revue Mathématiques à l'école 198...

Entre perpendiculaires au bord d'un angle dièdre, restitué dans les deux faces à partir du même point.

Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Voyez ce qu'est « ANGLE LINÉAIRE » dans d'autres dictionnaires :

Moltke Cruiser "Moltke" à New York en 1912 Informations de base Type ... Wikipedia

Mari. fracture, pli, genou, coude, saillie ou pli (dépression) d'un côté. Angle linéaire, deux lignes opposées quelconques et leur intervalle ; angle plan ou dans des plans, rencontre de deux plans ou parois ; le coin est épais, le corps, se réunissant en un seul... Dictionnaire Dahl

Cuirassé ... Wikipédia

Et en espace vectoriel L est une application qui associe chaque vecteur e à un vecteur de l'ensemble D (contenu dans L et appelé domaine de définition de l'opérateur linéaire) à un autre vecteur, noté Ae (et appelé valeur de l'opérateur linéaire sur le vecteur e). Les éléments suivants ont été complétés. conditions … Encyclopédie physique

Ce terme a d'autres significations, voir Bataille navale(significations). "Dreadnought" l'ancêtre de la classe des cuirassés... Wikipédia

Il est nécessaire de déplacer le contenu de cet article vers l'article « Glory (cuirassé) ». Vous pouvez aider le projet en combinant des articles. S'il est nécessaire de discuter de la faisabilité d'une fusion, remplacez ce modèle par le modèle ((pour fusionner)) ... Wikipédia

"Angle dièdre" - Trouvez la distance du point B au plan. L'angle C est aigu. Le triangle ABC est obtus. L'angle C est obtus. Distance d'un point à une ligne. Dans le tétraèdre DАВС, toutes les arêtes sont égales. L'angle entre les inclinés. Distance entre les bases inclinées. Les angles linéaires d'un angle dièdre sont égaux. Algorithme de construction d'un angle linéaire.

« Géométrie de l'angle dièdre » - angle RSV - linéaire pour un angle dièdre d'arête AC. Trouvez (voir) l'arête et les faces de l'angle dièdre. Le modèle peut être soit volumineux, soit pliable. Section d'un angle dièdre par un plan perpendiculaire au bord. Bords. la droite CP est perpendiculaire à l'arête CA (par le théorème des trois perpendiculaires). angle RKV - linéaire pour un angle dièdre avec RSAV.

« Angle trièdre » - Signes d'égalité des angles trièdres. Étant donné : Оabc – angle trièdre ; ?(b;c) = ?; ?(une; c) = ?; ?(une;b) = ?. Leçon 6. Conséquences. 1) Pour calculer l'angle entre une droite et un plan, la formule est applicable : Formule des trois cosinus. . Étant donné un angle trièdre Oabc. Angle triangulaire. Théorème. Dans le droit pyramide triangulaire angle au sommet plat inférieur à 120°.

« Angles trièdres et polyédriques » - Angles trièdres du dodécaèdre. Angles trièdres et tétraédriques du dodécaèdre rhombique. Angles tétraédriques de l'octaèdre. Coins trièdres d'un tétraèdre. Mesurer les angles polyédriques. Tâche. Angles polyédriques. Angles pentagonaux de l'icosaèdre. Angles polyédriques verticaux. Coin triangulaire d'une pyramide. Soit SA1…An un angle convexe à n facettes.

« Angle entre une droite et un plan » - Dans le 6ème prisme régulier A...F1, dont les arêtes sont égales à 1, trouvez l'angle entre la droite AC1 et le plan ADE1. Dans le 6ème prisme régulier A...F1, dont les arêtes sont égales à 1, trouvez l'angle entre la droite AA1 et le plan ACE1. L'angle entre une ligne droite et un plan. Dans le 6ème prisme régulier A...F1, dont les arêtes sont égales à 1, trouvez l'angle entre la droite AB1 et le plan ADE1.

« Angle polyédrique » - Angles polyédriques convexes. Angles polyédriques. Selon le nombre de faces, les angles polyédriques sont trièdres, tétraédriques, pentaédriques, etc. C) icosaèdre. Les deux angles plans d'un angle trièdre sont 70° et 80°. Ainsi, ? ASB+ ? BSC+ ? A.S.C.< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

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Légendes des diapositives :

ANGLE DIÈDRAL Professeur de mathématiques GOU école secondaire n°10 Eremenko M.A.

Principaux objectifs de la leçon : Présenter le concept d'angle dièdre et son angle linéaire Envisager des tâches pour l'application de ces concepts.

Définition : Un angle dièdre est une figure formée de deux demi-plans ayant une droite limite commune.

La grandeur d’un angle dièdre est la grandeur de son angle linéaire. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - angle dièdre linéaire ACD B

Montrons que tous les angles linéaires d'un angle dièdre sont égaux entre eux. Considérons deux angles linéaires AOB et A 1 OB 1. Les rayons OA et OA 1 se trouvent sur la même face et sont perpendiculaires à OO 1, ils sont donc codirectionnels. Les faisceaux OB et OB1 sont également co-dirigés. Par conséquent, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (comme les angles avec des côtés co-dirigés).

Exemples d'angles dièdres :

Définition : L'angle entre deux plans sécants est le plus petit des angles dièdres formés par ces plans.

Tâche 1 : Dans le cube A ... D 1, trouvez l'angle entre les plans ABC et CDD 1. Réponse : 90 o.

Problème 2 : Dans le cube A ... D 1, trouvez l'angle entre les plans ABC et CDA 1. Réponse : 45 o.

Problème 3 : Dans le cube A ... D 1, trouvez l'angle entre les plans ABC et BDD 1. Réponse : 90 o.

Problème 4 : Dans le cube A ... D 1, trouvez l'angle entre les plans ACC 1 et BDD 1. Réponse : 90 o.

Problème 5 : Dans le cube A ... D 1, trouvez l'angle entre les plans BC 1 D et BA 1 D. Solution : Soit O le milieu de B D. A 1 OC 1 – l'angle linéaire de l'angle dièdre A 1 B D C 1.

Problème 6 : Dans le tétraèdre DABC, toutes les arêtes sont égales, le point M est le milieu de l’arête AC. Montrer que ∠ DMB est l'angle linéaire de l'angle dièdre BACD .

Solution : Les triangles ABC et ADC sont réguliers, donc BM ⊥ AC et DM ⊥ AC et donc ∠ DMB est l'angle linéaire de l'angle dièdre DACB.

Problème 7 : A partir du sommet B du triangle ABC dont le côté AC se trouve dans le plan α, on trace une perpendiculaire BB 1 à ce plan. Trouver la distance du point B à la droite AC et au plan α, si AB=2, ∠ВАС=150 0 et l'angle dièdre ВАСВ 1 est égal à 45 0.

Solution : ABC – triangle obtus avec un angle obtus A, donc la base de l'altitude BC se trouve dans le prolongement du côté AC. VC – distance du point B à AC. BB 1 – distance du point B au plan α

2) Puisque AC ⊥BK, alors AC⊥KB 1 (par théorème, théorème inverse environ trois perpendiculaires). Par conséquent, ∠VKV 1 est l'angle linéaire de l'angle dièdre BASV 1 et ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK : ∠A=30 0, VK=VA· sin 30 0, VK =1. ∆ВКВ 1 : ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =