L'histoire du "Dérivé". Diapositive numéro 3. I. Contexte historique. David Gilbert. Le concept général de dérivée a été élaboré indépendamment presque simultanément. La fin du XVIe et le milieu du XVIIe siècle ont été marqués par l'énorme intérêt des scientifiques pour l'explication du mouvement et la recherche des lois auxquelles il obéit. Les questions liées à la détermination et au calcul de la vitesse du mouvement et de son accélération sont devenues plus aiguës que jamais. La solution à ces questions a conduit à établir un lien entre le problème du calcul de la vitesse d'un corps et le problème du tracé d'une tangente à une courbe décrivant la dépendance de la distance parcourue au temps. Physicien et mathématicien anglais I. Newton. Philosophe et mathématicien allemand G. Leibniz.

Diapositive 10 de la présentation « Calcul des dérivés » pour des cours d'algèbre sur le thème « Calcul de la dérivée »

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Calcul dérivé

« Dérivée d'une fonction en un point » - Contrôle programmé. Problèmes de théorie. 0. Trouvez la valeur de la dérivée au point xo. 1) Trouver le coefficient angulaire de la tangente au graphique de la fonction f(x)=Cosх au point x=?/4. R. Au point. X.

« Fonction Prime » - Répétition. Leçon de répétition et de généralisation (algèbre 11e année). Finissez la tâche. Montrer que la fonction F est une primitive d'une fonction f sur l'ensemble R. La propriété principale d'une primitive. Trouvez la forme générale de la primitive de la fonction. Formuler : Définition d’une primitive. Règles pour trouver une primitive.

« Dérivée d'une fonction exponentielle » - www.thmemgallery.com. 11e année. Règles de différenciation. Théorème 1. La fonction est différentiable en chaque point du domaine de définition, et. Dérivée d'une fonction exponentielle. Application de la dérivée lors de l'étude d'une fonction. Théorème 2. Équation tangente. Dérivées de fonctions élémentaires. Le logarithme népérien est le logarithme en base e :

« Calcul des dérivées » - Échauffement oral, répétition des règles de calcul des dérivées (diapositive n°1) 3. Partie pratique. La leçon d'aujourd'hui utilisera des présentations. 2. Activation des connaissances. L’opération consistant à trouver la dérivée est appelée différenciation. Diapositive n°1. Estime de soi des étudiants. Principales étapes de la leçon Moment organisationnel.

"La signification géométrique de la dérivée" - B. La signification géométrique de l'incrément d'une fonction. S. Donc, la signification géométrique de la relation à. A. Diapositive 10. K – coefficient angulaire de la droite (sécante). Détermination de la dérivée d'une fonction (Au manuel de A.N. Kolmogorov « L'algèbre et les débuts de l'analyse 10-11 »). Le but de la présentation est d'assurer une clarté maximale du sujet.

La dérivée d'une fonction en un point est un concept de base du calcul différentiel. Il caractérise le taux de changement de la fonction en un point spécifié. Ce dérivé est largement utilisé pour résoudre un certain nombre de problèmes en mathématiques, en physique et dans d’autres sciences, notamment dans l’étude de la vitesse de divers types de processus.

Définitions basiques

La dérivée est égale à la limite du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, à condition que ce dernier tende vers zéro :

$y^(\prime)\left(x_(0)\right)=\lim _(\Delta x \rightarrow 0) \frac(\Delta y)(\Delta x)$

Définition

Une fonction qui a une dérivée finie à un moment donné est appelée différentiable en un point donné. Le processus de calcul de la dérivée est appelé différenciation de fonction.

Référence historique

Le terme russe « dérivée d'une fonction » a été utilisé pour la première fois par le mathématicien russe V.I. Viskovatov (1780 - 1812).

La désignation d'un incrément (argument/fonction) par la lettre grecque $\Delta$ (delta) a été utilisée pour la première fois par le mathématicien et mécanicien suisse Johann Bernoulli (1667 - 1748). La notation de la dérivée différentielle $d x$ appartient au mathématicien allemand G.W. Leibniz (1646 - 1716). La manière de désigner la dérivée temporelle avec un point sur la lettre - $\dot(x)$ - vient du mathématicien, mécanicien et physicien anglais Isaac Newton (1642 - 1727). La désignation courte d'une dérivée par un nombre premier - $f^(\prime)(x)$ - appartient au mathématicien, astronome et mécanicien français J.L. Lagrange (1736 - 1813), qu'il introduit en 1797. Le symbole de dérivée partielle $\frac(\partial)(\partial x)$ a été activement utilisé dans ses travaux par le mathématicien allemand Karl G.Ya. Jacobi (1805 - 1051), puis le remarquable mathématicien allemand Karl T.W. Weierstrass (1815 - 1897), bien que cette désignation ait déjà été rencontrée plus tôt dans l'un des travaux du mathématicien français A.M. Legendre (1752 - 1833). Le symbole de l'opérateur différentiel $\nabla$ a été inventé par l'éminent mathématicien, mécanicien et physicien irlandais W.R. Hamilton (1805 - 1865) en 1853, et le nom "nabla" a été proposé par le scientifique, ingénieur, mathématicien et physicien anglais autodidacte Oliver Heaviside (1850 - 1925) en 1892.

Https://ppt4web.ru/images/1345/36341/310/img0.jpg" alt="(!LANG : Présentation sur le sujet : Dérivé. Réalisé par des élèves de 11e année : Chelobitchikova Mar." title="Présentation sur le thème : Dérivé. Complété par les élèves de 11e année : Chelobitchikova Mar.">!}

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Diapositive n°2

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Diapositive n°3

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De l'histoire : Dans l'histoire des mathématiques, on distingue traditionnellement plusieurs étapes dans le développement des connaissances mathématiques : Formation du concept de figure géométrique et de nombre comme idéalisation d'objets réels et d'ensembles d'objets homogènes. L'avènement du comptage et de la mesure, qui permettent de comparer différents nombres, longueurs, surfaces et volumes. Invention des opérations arithmétiques. Accumulation par des moyens empiriques (par essais et erreurs) de connaissances sur les propriétés des opérations arithmétiques, sur les méthodes de mesure des aires et des volumes de figures et de corps simples. Les mathématiciens suméro-babyloniens, chinois et indiens de l'Antiquité ont fait de grands progrès dans cette direction. L'apparition dans la Grèce antique d'un système mathématique déductif, qui montrait comment obtenir de nouvelles vérités mathématiques basées sur celles existantes. Le couronnement des mathématiques grecques antiques fut les Éléments d'Euclide, qui servirent de norme de rigueur mathématique pendant deux millénaires. Les mathématiciens des pays islamiques ont non seulement préservé les acquis anciens, mais ont également pu les synthétiser avec les découvertes des mathématiciens indiens, qui ont progressé plus loin que les Grecs dans la théorie des nombres. Aux XVIe et XVIIIe siècles, les mathématiques européennes ont connu un renouveau et ont progressé considérablement. Sa base conceptuelle au cours de cette période était la conviction que les modèles mathématiques sont une sorte de squelette idéal de l'Univers et que, par conséquent, la découverte de vérités mathématiques est en même temps la découverte de nouvelles propriétés du monde réel. Le principal succès dans cette voie a été le développement de modèles mathématiques de dépendance (fonction) et de mouvement accéléré (analyse des infinitésimaux). Toutes les sciences naturelles ont été reconstruites sur la base de modèles mathématiques nouvellement découverts, ce qui a conduit à des progrès colossaux. Aux XIXe et XXe siècles, il apparaît clairement que la relation entre les mathématiques et la réalité est loin d’être aussi simple qu’elle le paraissait auparavant. Il n'existe pas de réponse généralement acceptée à une sorte de « question fondamentale en philosophie des mathématiques » : trouver la raison de « l'efficacité incompréhensible des mathématiques dans les sciences naturelles ». Sur ce point, et pas seulement sur ce point, les mathématiciens étaient divisés en de nombreuses écoles de débat. Plusieurs tendances dangereuses sont apparues : spécialisation trop étroite, isolement des problèmes pratiques, etc. Dans le même temps, la puissance des mathématiques et leur prestige, soutenus par l'efficacité de leur application, sont plus élevés que jamais.

Diapositive n°4

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Diapositive n°5

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Différentiabilité La dérivée f"(x0) d'une fonction f en un point x0, étant une limite, peut ne pas exister ou exister et être finie ou infinie. Une fonction f est différentiable en un point x0 si et seulement si sa dérivée en ce point existe et est finie : Pour une fonction f différentiable en x0 dans un voisinage de U(x0) a la représentation suivante : f(x) = f(x0) + f"(x0)(x − x0) + o(x − x0)

Diapositive n°6

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Remarques Appelons Δx = x − x0 l'incrément de l'argument de la fonction, et Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) l'incrément de la valeur de la fonction au point x0. Ensuite, laissez la fonction avoir une dérivée finie en chaque point. Ensuite, la fonction dérivée est définie. Une fonction qui a une dérivée finie en un point est continue en ce point. L’inverse n’est pas toujours vrai. Si la fonction dérivée elle-même est continue, alors la fonction f est dite continûment différentiable et s'écrit :

Diapositive n°7

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Signification géométrique et physique de la dérivée Signification géométrique de la dérivée. Sur le graphique de la fonction, l'abscisse x0 est sélectionnée et l'ordonnée correspondante f(x0) est calculée. Un point arbitraire x est sélectionné au voisinage du point x0. Une ligne sécante est tracée passant par les points correspondants sur le graphique de la fonction F (la première ligne gris clair C5). La distance Δx = x - x0 tend vers zéro, de ce fait la sécante se transforme en tangente (les lignes C5 - C1 s'assombrissent progressivement). La tangente de l'angle α de la pente de cette tangente est la dérivée au point x0.

Diapositive n°8

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Dérivées d'ordre supérieur La notion de dérivée d'ordre arbitraire est définie de manière récursive. Nous supposons que si une fonction f est différentiable en x0, alors la dérivée du premier ordre est déterminée par la relation. Supposons maintenant que la dérivée du nième ordre f(n) soit définie dans un certain voisinage du point x0 et dérivable. Alors

Diapositive n°9

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Méthodes d'écriture de dérivés En fonction des objectifs, de la portée et de l'appareil mathématique utilisé, diverses méthodes d'écriture de dérivés sont utilisées. Ainsi, la dérivée d'ordre n peut s'écrire dans la notation : Lagrange f(n)(x0), tandis que pour les petits n premiers et les chiffres romains sont souvent utilisés : f(1)(x0) = f"(x0) = fI( x0),f(2)(x0) = f""(x0) = fII(x0),f(3)(x0) = f"""(x0) = fIII(x0),f(4)(x0 ) = fIV(x0), etc. Cette notation est pratique en raison de sa brièveté et est largement utilisée par Leibniz, une notation visuelle pratique du rapport des infinitésimaux : Newton, qui est souvent utilisée en mécanique pour la dérivée temporelle de la fonction de coordonnées ; (pour la dérivée spatiale, la notation Lagrange est plus souvent utilisée). L'ordre de la dérivée est indiqué par le nombre de points sur la fonction, par exemple : - la dérivée du premier ordre de x par rapport à t à t = t0, ou - la dérivée seconde de f par rapport à x au point x0 , etc. Euler, utilisant un opérateur différentiel (à proprement parler, une expression différentielle, alors que l'espace fonctionnel correspondant n'a pas été introduit), et est donc pratique dans les questions liées à l'analyse fonctionnelle : Bien sûr, il ne faut pas oublier qu'ils servent tous pour désigner les mêmes objets :

Diapositive n°10

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Exemples : Soit f(x) = x2. Alors laissez f(x) = | X | . Alors si alors f"(x0) = sgnx0, où sgn désigne la fonction signe. Si x0 = 0, alors f"(x0) n'existe pas

Diapositive n°11

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Règles de différenciation L'opération consistant à trouver la dérivée est appelée différenciation. Lors de l'exécution de cette opération, vous devez souvent travailler avec des quotients, des sommes, des produits de fonctions, ainsi que des « fonctions de fonctions », c'est-à-dire des fonctions complexes. Sur la base de la définition de la dérivée, nous pouvons dériver des règles de différenciation qui facilitent ce travail. (la dérivée d'une somme est égale à la somme de ses dérivées) (d'ici notamment, il s'ensuit que la dérivée du produit d'une fonction et d'une constante est égale au produit de la dérivée de cette fonction et d'une constante ) Si la fonction est donnée paramétriquement : alors,

Dérivée d'une fonction Professeur de GAPOU RO "RKTM" Kolykhalina K.A. Incrément d'argument, incrément de fonction Soit x un point arbitraire situé au voisinage d'un point fixe x0. La différence x-x0 est appelée l'incrément de la variable indépendante (ou incrément de l'argument) au point x0 et est notée ∆x. ∆х = x – x0 – incrément de la variable indépendante. L'incrément d'une fonction f au point x0 est la différence entre les valeurs de la fonction en un point arbitraire et la valeur de la fonction en un point fixe. f(х) – f(х0)=f(х0+∆х) – f(х0) – incrément de la fonction f∆f=f(x0+∆x) – f(x0) Détermination de la dérivée Dérivée de la fonction y= f(x) au point x = x0 est la limite du rapport de l'incrément de la fonction ∆y en ce point à l'incrément de l'argument ∆x, puisque l'incrément de l'argument tend vers zéro. Algorithme de calcul de la dérivée La dérivée de la fonction y= f(x) peut être trouvée selon le schéma suivant : 1. Donnez à l'argument x un incrément ∆x≠0 et trouvez la valeur incrémentée de la fonction y+∆y= f (x+∆x). 2. Trouvez l'incrément de la fonction ∆y= f(x+∆x) - f(x). 3. On compose la relation 4. On trouve la limite de cette relation à ∆x⇾0, soit (si cette limite existe). Détermination de la dérivée d'une fonction en un point donné. Sa signification géométrique

k – coefficient angulaire de la droite (sécante)

Tangente

Signification géométrique de la dérivée

La dérivée d'une fonction en un point donné est égale à la pente de la tangente tracée au graphique de la fonction en ce point.

Signification physique du dérivé 1. Le problème de la détermination de la vitesse de déplacement d'une particule matérielle Laissez un point se déplacer le long d'une certaine ligne droite selon la loi s= s(t), où s est la distance parcourue, t est le temps, et il faut trouver la vitesse du point à l’instant t0. A l'instant t0, la distance parcourue est égale à s0 = s(t0), et à l'instant (t0 +∆t) - le chemin s0 + ∆s=s(t0 +∆t). Alors sur l’intervalle ∆t la vitesse moyenne sera plus petite ∆t, meilleure est la vitesse moyenne qui caractérise le mouvement du point à l’instant t0. Par conséquent, sous vitesse du point au temps t0 doit être compris comme la limite de la vitesse moyenne pour la période de t0 à t0 +∆t, lorsque ∆t⇾0, c'est-à-dire 2. PROBLEME CONCERNANT LA VITESSE D'UNE REACTION CHIMIQUE Laisser une substance subir une réaction chimique. La quantité de cette substance Q change au cours de la réaction en fonction du temps t et est fonction du temps. Supposons que la quantité d'une substance change de ∆Q pendant le temps ∆t, alors le rapport exprimera la vitesse moyenne d'une réaction chimique pendant le temps ∆t, et la limite de ce rapport est la vitesse de la réaction chimique à un temps donné t. .

3. LE PROBLÈME DE LA DÉTERMINATION DU TAUX DE DÉCROISSANCE RADIOACTIVE

Si m est la masse d'une substance radioactive et t est le temps, alors le phénomène de désintégration radioactive au temps t, à condition que la masse de la substance radioactive diminue avec le temps, est caractérisé par la fonction m = m(t).

Le taux de décroissance moyen au cours du temps ∆t est exprimé par le rapport

et le taux de décroissance instantané au temps t

Signification physique de la dérivée d'une fonction en un point donné

Dérivées des fonctions élémentaires de base Règles de base de différenciation Soit u=u(x) Et v=v(x) – fonctions différentiables au point x. 1) (u  v) = u  v 2) (uv) = uv +uv (cu) = cu 3) , Si v  0

L'histoire de l'émergence du concept de dérivé

Les fonctions, les limites, la dérivée et l'intégrale sont des concepts de base du calcul enseignés dans les cours du secondaire. Et la notion de dérivée est inextricablement liée à la notion de fonction.

Le terme « fonction » a été proposé pour la première fois par un philosophe et mathématicien allemand pour caractériser différents segments reliant les points d'une certaine courbe en 1692. La première définition d'une fonction, qui n'était plus associée aux concepts géométriques, a été formulée en 1718. Élève de Johann Bernoulli

en 1748. a clarifié la définition de la fonction. On attribue à Euler l'introduction du symbole f(x) pour désigner une fonction.

Une définition stricte de la limite et de la continuité d'une fonction a été formulée en 1823 par le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy . La définition de la continuité d'une fonction a été formulée encore plus tôt par Cauchy par le mathématicien tchèque Bernard Bolzano. Selon ces définitions, sur la base de la théorie des nombres réels, une justification rigoureuse des principes de base de l'analyse mathématique a été réalisée.

La découverte des approches et des fondements du calcul différentiel a été précédée par les travaux d'un mathématicien et avocat français, qui a proposé en 1629 des méthodes pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites des fonctions, en traçant des tangentes à des courbes arbitraires et en s'appuyant en fait sur le utilisation de produits dérivés. Cela a également été facilité par les travaux qui ont développé la méthode des coordonnées et les fondements de la géométrie analytique. Ce n’est qu’en 1666 et un peu plus tard qu’ils élaborèrent la théorie du calcul différentiel indépendamment les uns des autres. Newton est arrivé au concept de dérivée en résolvant des problèmes de vitesse instantanée et en considérant le problème géométrique du dessin d'une tangente à une courbe. et a étudié le problème des maxima et minima des fonctions.

Le calcul intégral et le concept même d'intégrale sont nés de la nécessité de calculer les aires de figures planes et les volumes de corps arbitraires. Les idées du calcul intégral trouvent leur origine dans les travaux d’anciens mathématiciens. Cependant, en témoigne la « méthode d'épuisement » d'Eudoxe, qu'il utilisera plus tard au IIIe siècle. avant JC L'essence de cette méthode était de calculer l'aire d'une figure plate et, en augmentant le nombre de côtés du polygone, de trouver la limite vers laquelle les aires des figures en gradins étaient dirigées. Cependant, pour chaque chiffre, le calcul de la limite dépendait du choix d'une technique particulière. Mais le problème d’une méthode générale de calcul des superficies et des volumes des figures restait entier. Archimède n'avait pas encore explicitement utilisé le concept général de frontière et d'intégrale, bien que ces concepts aient été utilisés implicitement.

Au 17ème siècle , qui a découvert les lois du mouvement planétaire, la première tentative de développement d'idées a été réalisée avec succès. Kepler a calculé les aires des figures plates et les volumes des corps, sur la base de l'idée de décomposer une figure et un corps en un nombre infini de parties infinitésimales. Ces parties, suite à l'addition, étaient constituées d'une figure dont l'aire est connue et permet de calculer l'aire de celle souhaitée. Le soi-disant « principe de Cavaglieri » est entré dans l’histoire des mathématiques, à l’aide duquel les aires et les volumes étaient calculés. Ce principe a reçu une justification théorique plus tard à l'aide du calcul intégral.
Les idées d'autres scientifiques sont devenues la base sur laquelle Newton et Leibniz ont découvert le calcul intégral. Le développement du calcul intégral s’est poursuivi bien plus tard. Pafnutiy Lvovitch Chebyshev développé des méthodes d'intégration de certaines classes de fonctions irrationnelles.

La définition moderne d'une intégrale comme limite des sommes intégrales est due à Cauchy. Symbole