Soit un système de coordonnées rectangulaires.

Théorème 1.1. Pour deux points quelconques M 1 (x 1;y 1) et M 2 (x 2;y 2) du plan, la distance d entre eux est exprimée par la formule

Preuve. Laissons tomber les perpendiculaires M 1 B et M 2 A des points M 1 et M 2, respectivement

sur l'axe Oy et Ox et désignons par K le point d'intersection des droites M 1 B et M 2 A (Fig. 1.4). Les cas suivants sont possibles :

1) Les points M 1, M 2 et K sont différents. Évidemment, le point K a des coordonnées (x 2 ; y 1). Il est facile de voir que M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. Parce que ∆M 1 KM 2 est rectangulaire, alors d'après le théorème de Pythagore d = M 1 M 2 = = .

2) Le point K coïncide avec le point M 2, mais est différent du point M 1 (Fig. 1.5). Dans ce cas y 2 = y 1

et d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Le point K coïncide avec le point M 1, mais est différent du point M 2. Dans ce cas x 2 = x 1 et d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Le point M 2 coïncide avec le point M 1. Alors x 1 = x 2, y 1 = y 2 et

d = M 1 M 2 = O = .

Division d'un segment à cet égard.

Soit un segment arbitraire M 1 M 2 sur le plan et soit M ─ n'importe quel point de ce

segment différent du point M 2 (Fig. 1.6). Le nombre l, défini par l'égalité l = , appelé attitude, auquel point M divise le segment M 1 M 2.

Théorème 1.2. Si un point M(x;y) divise le segment M 1 M 2 par rapport à l, alors les coordonnées de ce point sont déterminées par les formules

X = , y = , (4)

où (x 1;y 1) ─ coordonnées du point M 1, (x 2;y 2) ─ coordonnées du point M 2.

Preuve. Démontrons la première des formules (4). La deuxième formule se prouve de la même manière. Il y a deux cas possibles.

x = x 1 = = = .

2) La droite M 1 M 2 n'est pas perpendiculaire à l'axe Ox (Fig. 1.6). Abaissons les perpendiculaires des points M 1, M, M 2 à l'axe Ox et désignons les points de leur intersection avec l'axe Ox comme P 1, P, P 2, respectivement. Par le théorème des segments proportionnels = l.

Parce que P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô et les nombres (x – x 1) et (x 2 – x) ont le même signe (en x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 sont négatifs), alors

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

X = .

Corollaire 1.2.1. Si M 1 (x 1;y 1) et M 2 (x 2;y 2) sont deux points arbitraires et que le point M(x;y) est le milieu du segment M 1 M 2, alors

X = , y = (5)

Preuve. Puisque M 1 M = M 2 M, alors l = 1 et en utilisant les formules (4) nous obtenons les formules (5).

Aire d'un triangle.

Théorème 1.3. Pour tout point A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) et C(x 3;y 3) qui ne se trouvent pas sur le même

droite, l'aire S du triangle ABC est exprimée par la formule

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Preuve. Aire ∆ ABC illustrée à la Fig. 1.7, on calcule comme suit

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

On calcule l'aire des trapèzes :

SADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Maintenant nous avons

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 oui 3 – x 1 oui 3 + x 3 oui 1 – x 1 oui 1 + + x 2 oui 3 – -x 3 oui 3 + x 2 oui 2 – x 3 oui 2 – x 2 oui 1 + x 1 oui 1 – x 2 oui 2 + x 1 oui 2) = (x 3 oui 1 – x 3 oui 2 + x 1 oui 2 – x 2 oui 1 + x 2 oui 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Pour un autre emplacement ∆ ABC, la formule (6) se prouve de la même manière, mais elle peut s'avérer avec le signe « - ». Par conséquent, dans la formule (6), ils ont mis le signe du module.

Conférence 2.

Equation d'une droite sur un plan : équation d'une droite à coefficient principal, équation générale droite, équation d'une droite en segments, équation d'une droite passant par deux points. L'angle entre les droites, les conditions de parallélisme et de perpendiculaire des droites sur un plan.

2.1. Soit un système de coordonnées rectangulaires et une ligne L sur le plan.

Définition 2.1. Une équation de la forme F(x;y) = 0, reliant les variables x et y, est appelée équation de droite L(dans un système de coordonnées donné), si cette équation est satisfaite par les coordonnées de tout point situé sur la ligne L, et non par les coordonnées de tout point ne se trouvant pas sur cette ligne.

Exemples d'équations de droites sur un plan.

1) Considérons une droite parallèle à l'axe Oy du système de coordonnées rectangulaires (Fig. 2.1). Notons par la lettre A le point d'intersection de cette droite avec l'axe Ox, (a;o) ─ son or-

Dinats. L'équation x = a est l'équation de la droite donnée. En effet, cette équation est satisfaite par les coordonnées de tout point M(a;y) de cette droite et n'est satisfaite par les coordonnées d'aucun point ne se trouvant pas sur la droite. Si a = 0, alors la droite coïncide avec l’axe Oy, qui a l’équation x = 0.

2) L'équation x - y = 0 définit l'ensemble des points du plan qui constituent les bissectrices des angles de coordonnées I et III.

3) L'équation x 2 - y 2 = 0 ─ est l'équation de deux bissectrices d'angles de coordonnées.

4) L'équation x 2 + y 2 = 0 définit un seul point O(0;0) sur le plan.

5) Équation x 2 + y 2 = 25 ─ équation d'un cercle de rayon 5 de centre à l'origine.

Chaque point A du plan est caractérisé par ses coordonnées (x, y). Ils coïncident avec les coordonnées du vecteur 0A sortant du point 0 - l'origine des coordonnées.

Soient A et B des points arbitraires du plan de coordonnées (x 1 y 1) et (x 2, y 2), respectivement.

Alors le vecteur AB a évidemment des coordonnées (x 2 - x 1, y 2 - y 1). On sait que le carré de la longueur du vecteur égal à la somme carrés de ses coordonnées. Par conséquent, la distance d entre les points A et B, ou, ce qui revient au même, la longueur du vecteur AB, est déterminée à partir de la condition

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

La formule résultante vous permet de trouver la distance entre deux points quelconques du plan, si seules les coordonnées de ces points sont connues

Chaque fois que nous parlons des coordonnées d'un point particulier du plan, nous entendons un système de coordonnées x0y bien défini. En général, le système de coordonnées sur un plan peut être choisi de différentes manières. Ainsi, au lieu du système de coordonnées x0y, nous pouvons considérer le système de coordonnées xִy, qui est obtenu en faisant tourner les anciens axes de coordonnées autour du point de départ 0 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre flèches dans le coin α .

Si un certain point du plan dans le système de coordonnées x0y avait des coordonnées (x, y), alors dans le nouveau système de coordonnées xִy, il aura des coordonnées différentes (x, y).

A titre d'exemple, considérons le point M, situé sur l'axe 0x et séparé du point 0 à une distance de 1.

Évidemment, dans le système de coordonnées x0y, ce point a des coordonnées (cos α , péché α ), et dans le système de coordonnées xִy, les coordonnées sont (1,0).

Les coordonnées de deux points quelconques sur les plans A et B dépendent de la manière dont le système de coordonnées est spécifié dans ce plan. Et ici la distance entre ces points ne dépend pas de la méthode de spécification du système de coordonnées .

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Mathématiques

§2. Coordonnées d'un point sur le plan

3. Distance entre deux points.

Vous et moi pouvons désormais parler de points dans le langage des chiffres. Par exemple, on n'a plus besoin d'expliquer : prenons un point qui se trouve à trois unités à droite de l'axe et cinq unités en dessous de l'axe. Il suffit de dire simplement : comprenez le point.

Nous avons déjà dit que cela crée certains avantages. Ainsi, on peut transmettre un dessin composé de points par télégraphe, le communiquer à un ordinateur, qui ne comprend pas du tout les dessins, mais comprend bien les chiffres.

Dans le paragraphe précédent, nous avons défini quelques ensembles de points sur le plan en utilisant des relations entre nombres. Essayons maintenant de traduire systématiquement les autres concepts géométriques et des faits.

Nous commencerons par une tâche simple et courante.

Trouvez la distance entre deux points du plan.

Solution:
Comme toujours, nous supposons que les points sont donnés par leurs coordonnées, et notre tâche est alors de trouver une règle par laquelle nous pouvons calculer la distance entre les points, connaissant leurs coordonnées. Lors de l'élaboration de cette règle, bien sûr, il est permis de recourir à un dessin, mais la règle elle-même ne doit contenir aucune référence au dessin, mais doit uniquement montrer quelles actions et dans quel ordre doivent être effectuées sur les nombres donnés - les coordonnées des points - afin d'obtenir le nombre souhaité - la distance entre les points.

Peut-être que certains lecteurs trouveront étrange et farfelue cette approche pour résoudre le problème. Ce qui est plus simple, diront-ils, c'est que les points sont donnés, même par coordonnées. Dessinez ces points, prenez une règle et mesurez la distance qui les sépare.

Cette méthode n'est parfois pas si mauvaise. Cependant, imaginez à nouveau que vous avez affaire à un ordinateur. Elle n’a pas de règle et elle ne dessine pas, mais elle sait compter si vite que ce n’est pas du tout un problème pour elle. A noter que notre problème est formulé de telle sorte que la règle de calcul de la distance entre deux points est constituée de commandes exécutables par une machine.

Il est préférable de résoudre d'abord le problème posé pour le cas particulier où l'un de ces points se trouve à l'origine des coordonnées. Commencez par quelques exemples numériques : trouvez la distance depuis l'origine des points ; Et .

Note. Utilisez le théorème de Pythagore.

Écrivez maintenant une formule générale pour calculer la distance d’un point à l’origine.

La distance d'un point à l'origine est déterminée par la formule :

Bien évidemment, la règle exprimée par cette formule satisfait aux conditions énoncées ci-dessus. En particulier, il peut être utilisé dans des calculs sur des machines capables de multiplier des nombres, de les additionner et d'extraire des racines carrées.

Maintenant, résolvons le problème général

Étant donné deux points sur un plan, trouvez la distance qui les sépare.

Solution:
Notons , , , les projections des points et sur les axes de coordonnées.

Notons le point d'intersection des lignes avec la lettre . Depuis triangle rectangle En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient :

Mais la longueur du segment est égale à la longueur du segment. Les points et , se trouvent sur l'axe et ont respectivement pour coordonnées et . D'après la formule obtenue au paragraphe 3 du paragraphe 2, la distance qui les sépare est égale à .

En discutant de la même manière, nous constatons que la longueur du segment est égale à . En remplaçant les valeurs trouvées et dans la formule que nous obtenons.

La résolution de problèmes en mathématiques s’accompagne souvent de nombreuses difficultés pour les élèves. Aider l'élève à faire face à ces difficultés, ainsi qu'apprendre à utiliser ce qu'il a connaissance théorique lors de la résolution de problèmes spécifiques dans toutes les sections du cours de la matière « Mathématiques » - l'objectif principal de notre site.

Lorsqu'ils commencent à résoudre des problèmes sur le sujet, les élèves doivent être capables de construire un point sur un plan en utilisant ses coordonnées, ainsi que de trouver les coordonnées d'un point donné.

Le calcul de la distance entre deux points A(x A; y A) et B(x B; y B) pris sur un plan s'effectue à l'aide de la formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), où d est la longueur du segment qui relie ces points sur le plan.

Si l'une des extrémités du segment coïncide avec l'origine des coordonnées et que l'autre a des coordonnées M(x M; y M), alors la formule de calcul de d prendra la forme OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Calcul de la distance entre deux points en fonction des coordonnées données de ces points

Exemple 1.

Trouvez la longueur du segment qui relie les points A(2; -5) et B(-4; 3) sur le plan de coordonnées (Fig. 1).

Solution.

L'énoncé du problème indique : x A = 2 ; xB = -4 ; y A = -5 et y B = 3. Trouvez d.

En appliquant la formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), on obtient :

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Calcul des coordonnées d'un point équidistant de trois points donnés

Exemple 2.

Trouvez les coordonnées du point O 1, qui est à égale distance de trois points A(7; -1) et B(-2; 2) et C(-1; -5).

Solution.

De la formulation des conditions du problème, il s'ensuit que O 1 A = O 1 B = O 1 C. Soit le point souhaité O 1 avoir des coordonnées (a; b). En utilisant la formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), nous trouvons :

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Créons un système de deux équations :

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Après avoir mis au carré les côtés gauche et droit des équations, on écrit :

((une – 7) 2 + (b + 1) 2 = (une + 2) 2 + (b – 2) 2,
((une – 7) 2 + (b + 1) 2 = (une + 1) 2 + (b + 5) 2.

En simplifiant, écrivons

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Après avoir résolu le système, on obtient : a = 2 ; b = -1.

Le point O 1 (2; -1) est à égale distance des trois points spécifiés dans la condition qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Ce point est le centre d'un cercle passant par trois points donnés (Fig.2).

3. Calcul de l'abscisse (ordonnée) d'un point qui se trouve sur l'axe des abscisses (ordonnée) et se trouve à une distance donnée d'un point donné

Exemple 3.

La distance du point B(-5; 6) au point A situé sur l'axe Ox est de 10. Trouvez le point A.

Solution.

De la formulation des conditions du problème, il résulte que l'ordonnée du point A est égale à zéro et AB = 10.

En désignant l'abscisse du point A par a, on écrit A(a; 0).

AB = √((une + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((une + 5) 2 + 36).

On obtient l’équation √((a + 5) 2 + 36) = 10. En simplifiant, on a

une 2 + 10une – 39 = 0.

Les racines de cette équation sont a 1 = -13 ; et 2 = 3.

On obtient deux points A 1 (-13 ; 0) et A 2 (3 ; 0).

Examen:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Les deux points obtenus conviennent selon les conditions du problème (Fig. 3).

4. Calcul de l'abscisse (ordonnée) d'un point situé sur l'axe des abscisses (ordonnée) et situé à la même distance de deux points donnés

Exemple 4.

Trouvez un point sur l'axe Oy qui est à la même distance des points A (6, 12) et B (-8, 10).

Solution.

Soit O 1 (0; b) les coordonnées du point requis par les conditions du problème, situé sur l'axe Oy, (au point situé sur l'axe Oy, l'abscisse est nulle). Il découle de la condition que O 1 A = O 1 B.

En utilisant la formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), nous trouvons :

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2) ;

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Nous avons l'équation √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) ou 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Après simplification on obtient : b – 4 = 0, b = 4.

Point O 1 (0 ; 4) requis par les conditions du problème (Fig. 4).

5. Calcul des coordonnées d'un point situé à la même distance des axes de coordonnées et d'un point donné

Exemple 5.

Trouvez le point M situé sur le plan de coordonnées à la même distance des axes de coordonnées et du point A(-2 ; 1).

Solution.

Le point recherché M, comme le point A(-2 ; 1), est situé dans le deuxième angle de coordonnées, puisqu'il est à égale distance des points A, P 1 et P 2 (Fig.5). Les distances du point M aux axes de coordonnées sont les mêmes, donc ses coordonnées seront (-a; a), où a > 0.

Des conditions du problème, il s'ensuit que MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a ; MP2 = |-a|,

ceux. |-une| = une.

En utilisant la formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), nous trouvons :

MA = √((-une + 2) 2 + (une – 1) 2).

Faisons une équation :

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Après quadrature et simplification nous avons : a 2 – 6a + 5 = 0. Résolvez l'équation, trouvez a 1 = 1 ; et 2 = 5.

On obtient deux points M 1 (-1 ; 1) et M 2 (-5 ; 5) qui satisfont aux conditions du problème.

6. Calcul des coordonnées d'un point situé à la même distance spécifiée de l'axe des abscisses (ordonnées) et du point donné

Exemple 6.

Trouver un point M tel que sa distance à l'axe des ordonnées et au point A(8; 6) soit égale à 5.

Solution.

Des conditions du problème il résulte que MA = 5 et l'abscisse du point M est égale à 5. Soit l'ordonnée du point M égale à b, alors M(5; b) (Fig.6).

D’après la formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) nous avons :

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Faisons une équation :

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. En simplifiant, nous obtenons : b 2 – 12b + 20 = 0. Les racines de cette équation sont b 1 = 2 ; b 2 = 10. Par conséquent, il y a deux points qui satisfont aux conditions du problème : M 1 (5 ; 2) et M 2 (5 ; 10).

On sait que de nombreux étudiants, lorsqu'ils résolvent des problèmes de manière indépendante, ont besoin de consultations constantes sur les techniques et les méthodes permettant de les résoudre. Souvent, un élève ne parvient pas à trouver une solution à un problème sans l’aide d’un enseignant. L'étudiant peut recevoir les conseils nécessaires pour résoudre les problèmes sur notre site Internet.

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Dans cet article, nous examinerons les moyens de déterminer la distance d'un point à un point en théorie et en utilisant l'exemple de tâches spécifiques. Pour commencer, introduisons quelques définitions.

Définition 1

Distance entre les points est la longueur du segment qui les relie, sur l'échelle existante. Il est nécessaire de définir une échelle afin d'avoir une unité de longueur pour la mesure. Par conséquent, le problème de trouver la distance entre les points est résolu en utilisant leurs coordonnées sur une ligne de coordonnées, dans un plan de coordonnées ou dans un espace tridimensionnel.

Données initiales : ligne de coordonnées O x et un point arbitraire A se trouvant dessus. Tout point sur la ligne a un nombre réel : que ce soit un certain nombre pour le point A xA, c'est aussi la coordonnée du point A.

En général, on peut dire que la longueur d'un certain segment est évaluée par rapport à un segment pris comme unité de longueur sur une échelle donnée.

Si le point A correspond à un nombre réel entier, en étalant séquentiellement du point O au point le long de la droite O A les segments - unités de longueur, on peut déterminer la longueur du segment O A à partir du nombre total de segments unitaires mis de côté.

Par exemple, le point A correspond au chiffre 3 - pour y accéder depuis le point O, vous devrez supprimer trois segments unitaires. Si le point A a la coordonnée - 4, les segments unitaires sont disposés de la même manière, mais dans une direction différente et négative. Ainsi, dans le premier cas, la distance O A est égale à 3 ; dans le deuxième cas O A = 4.

Si le point A a pour coordonnée nombre rationnel, puis à partir de l'origine (point O) on écarte un nombre entier de segments unitaires, puis sa partie nécessaire. Mais géométriquement, il n’est pas toujours possible d’effectuer une mesure. Par exemple, il semble difficile de tracer la fraction 4 111 sur la droite de coordonnées.

En utilisant la méthode ci-dessus, il est totalement impossible de tracer un nombre irrationnel sur une ligne droite. Par exemple, lorsque la coordonnée du point A est 11. Dans ce cas, il est possible de se tourner vers l'abstraction : si la coordonnée donnée du point A est supérieure à zéro, alors O A = x A (le nombre est pris comme distance) ; si la coordonnée est inférieure à zéro, alors O A = - x A . En général, ces affirmations sont vraies pour tout nombre réel x A.

Pour résumer : la distance de l'origine au point qui correspond à un nombre réel sur la droite de coordonnées est égale à :

• 0 si le point coïncide avec l'origine ;

• x A, si x A > 0 ;

• - x A si x A< 0 .

Dans ce cas, il est évident que la longueur du segment lui-même ne peut pas être négative, donc, en utilisant le signe du module, on écrit la distance du point O au point A avec la coordonnée xA: O A = x A

La déclaration suivante sera vraie : la distance d'un point à un autre sera égale au module de la différence de coordonnées. Ceux. pour les points A et B situés sur la même ligne de coordonnées pour n'importe quel emplacement et ayant des coordonnées correspondantes xA Et xB : UN B = xB - xUNE .

Données initiales : points A et B situés sur un plan dans un repère rectangulaire O x y de coordonnées données : A (x A, y A) et B (x B, y B).

Traçons des perpendiculaires passant par les points A et B aux axes de coordonnées O x et O y et obtenons comme résultat les points de projection : A x, A y, B x, B y. En fonction de la localisation des points A et B, les options suivantes sont alors possibles :

Si les points A et B coïncident, alors la distance qui les sépare est nulle ;

Si les points A et B se trouvent sur une droite perpendiculaire à l'axe O x (axe des abscisses), alors les points coïncident et | UN B | = | A y B y | . Puisque la distance entre les points est égale au module de la différence de leurs coordonnées, alors A y B y = y B - y A, et, par conséquent, A B = A y B y = y B - y A.

Si les points A et B se trouvent sur une droite perpendiculaire à l'axe O y (axe des ordonnées) - par analogie avec le paragraphe précédent : A B = A x B x = x B - x A

Si les points A et B ne se trouvent pas sur une droite perpendiculaire à l'un des axes de coordonnées, nous trouverons la distance qui les sépare en dérivant la formule de calcul :

Nous voyons que le triangle A B C est de construction rectangulaire. Dans ce cas, A C = A x B x et B C = A y B y. En utilisant le théorème de Pythagore, nous créons l'égalité : A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , puis la transformons : A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Tirons une conclusion du résultat obtenu : la distance du point A au point B sur le plan est déterminée par calcul à l'aide de la formule utilisant les coordonnées de ces points

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

La formule résultante confirme également les affirmations précédemment formées pour les cas de coïncidence de points ou de situations où les points se trouvent sur des lignes droites perpendiculaires aux axes. Ainsi, si les points A et B coïncident, l'égalité suivante sera vraie : A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pour une situation où les points A et B se trouvent sur une ligne droite perpendiculaire à l’axe des x :

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pour le cas où les points A et B se trouvent sur une droite perpendiculaire à l'axe des ordonnées :

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Données initiales : un système de coordonnées rectangulaires O x y z sur lequel se trouvent des points arbitraires avec des coordonnées données A (x A, y A, z A) et B (x B, y B, z B). Il est nécessaire de déterminer la distance entre ces points.

Considérons cas général, lorsque les points A et B ne se trouvent pas dans un plan parallèle à l'un des plans de coordonnées. Traçons des plans perpendiculaires aux axes de coordonnées passant par les points A et B et obtenons les points de projection correspondants : A x , A y , A z , B x , B y , B z

La distance entre les points A et B est la diagonale du parallélépipède résultant. D'après la construction des mesures de ce parallélépipède : A x B x , A y B y et A z B z

Grâce au cours de géométrie, nous savons que le carré de la diagonale d'un parallélépipède est égal à la somme des carrés de ses dimensions. Sur la base de cette affirmation, nous obtenons l'égalité : A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

En utilisant les conclusions obtenues précédemment, nous écrivons ce qui suit :

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Transformons l'expression :

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final formule pour déterminer la distance entre des points dans l'espace ressemblera à ceci :

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

La formule résultante est également valable pour les cas où :

Les points coïncident ;

Ils se trouvent sur un axe de coordonnées ou sur une ligne droite parallèle à l'un des axes de coordonnées.

Exemples de résolution de problèmes pour trouver la distance entre les points

Exemple 1

Données initiales : une ligne de coordonnées et des points qui s'y trouvent avec les coordonnées données A (1 - 2) et B (11 + 2) sont donnés. Il faut trouver la distance du point d'origine O au point A et entre les points A et B.

Solution

1. La distance du point de référence au point est égale au module de la coordonnée de ce point, respectivement O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. On définit la distance entre les points A et B comme le module de la différence entre les coordonnées de ces points : A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Réponse : O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Exemple 2

Données initiales : un système de coordonnées rectangulaires et deux points qui s'y trouvent A (1, - 1) et B (λ + 1, 3) sont donnés. λ est un nombre réel. Il faut trouver toutes les valeurs de ce nombre pour lesquelles la distance A B sera égale à 5.

Solution

Pour trouver la distance entre les points A et B, vous devez utiliser la formule A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

En remplaçant les valeurs de coordonnées réelles, nous obtenons : A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Nous utilisons également la condition existante selon laquelle A B = 5 et alors l'égalité sera vraie :

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Réponse : A B = 5 si λ = ± 3.

Exemple 3

Données initiales : spécifiées espace tridimensionnel dans un système de coordonnées rectangulaires O x y z et les points A (1, 2, 3) et B - 7, - 2, 4 qui s'y trouvent.

Solution

Pour résoudre le problème, nous utilisons la formule A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

En remplaçant les valeurs réelles, nous obtenons : A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Réponse : | UN B | = 9

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