Trapèze est un quadrilatère avec deux côtés parallèles, qui sont les bases, et deux côtés non parallèles, qui sont les côtés.

Il y a aussi des noms comme isocèle ou alors isocèle.

C'est un trapèze avec des angles droits sur le côté latéral.

Éléments de trapèze

un B bases d'un trapèze(a parallèle à b ),

m, n— côtés trapèze,

d 1 , d 2 — diagonales trapèze,

h- la taille trapèze (segment reliant les bases et en même temps perpendiculaire à celles-ci),

MN- ligne médiane(un segment reliant les milieux des côtés).

Zone du trapèze

1. Par la moitié de la somme des bases a, b et de la hauteur h : S = \frac(a + b)(2)\cdot h
2. Passant par la ligne médiane MN et hauteur h : S = MN\cdot h
3. Par les diagonales d 1 , d 2 et l'angle (\sin \varphi ) entre elles : S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Propriétés trapézoïdales

Ligne médiane du trapèze

ligne médiane est parallèle aux bases, égale à leur demi-somme, et divise chaque segment par des extrémités situées sur des lignes droites qui contiennent les bases (par exemple, la hauteur de la figure) en deux :

MN || un, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)

La somme des angles d'un trapèze

La somme des angles d'un trapèze, adjacent de chaque côté, est égal à 180^(\circ) :

\alpha + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta =180^(\circ)

Triangles égaux d'un trapèze

De taille égale, c'est-à-dire avoir aires égales, sont les segments des diagonales et des triangles AOB et DOC formés par les côtés.

Similitude des triangles trapézoïdaux formés

triangles semblables sont AOD et COB, qui sont formés par leurs bases et leurs segments diagonaux.

\triangle AOD \sim \triangle COB

coefficient de similarité k est trouvé par la formule :

k = \frac(AD)(BC)

De plus, le rapport des aires de ces triangles est égal à k^(2) .

Le rapport des longueurs des segments et des bases

Chaque segment reliant les bases et passant par le point d'intersection des diagonales du trapèze est divisé par ce point par rapport à :

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

Ce sera également vrai pour la hauteur avec les diagonales elles-mêmes.

Le trapèze est cas particulier un quadrilatère avec une paire de côtés parallèles. Le terme "trapèze" vient du mot grec τράπεζα, signifiant "table", "table". Dans cet article, nous examinerons les types de trapèze et ses propriétés. De plus, nous verrons comment calculer les éléments individuels de cet exemple, la diagonale d'un trapèze isocèle, la ligne médiane, l'aire, etc. Le matériel est présenté dans le style de la géométrie populaire élémentaire, c'est-à-dire dans un format facilement accessible. former.

informations générales

Commençons par comprendre ce qu'est un quadrilatère. Cette figure est un cas particulier d'un polygone contenant quatre côtés et quatre sommets. Deux sommets d'un quadrilatère qui ne sont pas adjacents sont dits opposés. La même chose peut être dite à propos de deux côtés non adjacents. Les principaux types de quadrilatères sont le parallélogramme, le rectangle, le losange, le carré, le trapèze et le deltoïde.

Alors, revenons au trapèze. Comme nous l'avons déjà dit, cette figure a deux côtés parallèles. Ils sont appelés socles. Les deux autres (non parallèles) sont les côtés. Dans le matériel d'examen et divers travaux de contrôle très souvent on peut rencontrer des tâches liées aux trapèzes dont la solution demande souvent à l'élève d'avoir des connaissances non prévues par le programme. Le cours de géométrie de l'école initie les élèves aux propriétés des angles et des diagonales, ainsi qu'à la ligne médiane d'un trapèze isocèle. Mais après tout, en plus de cela, la figure géométrique mentionnée a d'autres caractéristiques. Mais plus sur eux plus tard...

Types de trapèze

Il existe plusieurs types de cette figure. Cependant, le plus souvent, il est d'usage d'en considérer deux - isocèles et rectangulaires.

1. Un trapèze rectangle est une figure dont l'un des côtés est perpendiculaire aux bases. Il a deux angles qui sont toujours à quatre-vingt-dix degrés.

2. Un trapèze isocèle est une figure géométrique dont les côtés sont égaux entre eux. Cela signifie que les angles aux bases sont également égaux deux à deux.

Les grands principes de la méthodologie d'étude des propriétés d'un trapèze

Le principe de base est l'utilisation de l'approche dite des tâches. En fait, il n'est pas nécessaire d'introduire de nouvelles propriétés de cette figure dans le cours théorique de géométrie. Ils peuvent être découverts et formulés dans le processus de résolution de divers problèmes (mieux que les problèmes systémiques). En même temps, il est très important que l'enseignant sache quelles tâches doivent être définies pour les élèves à un moment ou à un autre. processus éducatif. De plus, chaque propriété du trapèze peut être représentée comme une tâche clé dans le système de tâches.

Le deuxième principe est l'organisation dite en spirale de l'étude des propriétés "remarquables" du trapèze. Cela implique un retour dans le processus d'apprentissage aux caractéristiques individuelles d'un figure géométrique. Ainsi, il est plus facile pour les élèves de les mémoriser. Par exemple, la propriété de quatre points. Cela peut être prouvé à la fois dans l'étude de la similitude et ultérieurement à l'aide de vecteurs. Et l'aire égale des triangles adjacents aux côtés de la figure peut être prouvée en appliquant non seulement les propriétés des triangles de hauteurs égales dessinées sur les côtés qui se trouvent sur la même ligne, mais également en utilisant la formule S = 1/2 (ab*sinα). De plus, vous pouvez vous entraîner sur un trapèze inscrit ou un triangle rectangle sur un trapèze circonscrit, etc.

L'utilisation de caractéristiques "hors programme" d'une figure géométrique dans le contenu cours d'école est une tâche technologique de leur enseignement. L'appel constant aux propriétés étudiées lors du passage à d'autres sujets permet aux étudiants d'approfondir leur connaissance du trapèze et assure le succès de la résolution des tâches. Alors, commençons à étudier cette merveilleuse figure.

Eléments et propriétés d'un trapèze isocèle

Comme nous l'avons déjà noté, les côtés de cette figure géométrique sont égaux. Il est également connu sous le nom de trapèze droit. Pourquoi est-il si remarquable et pourquoi a-t-il reçu un tel nom ? Les caractéristiques de cette figure incluent le fait que non seulement les côtés et les coins des bases sont égaux, mais aussi les diagonales. De plus, la somme des angles d'un trapèze isocèle est de 360 ​​degrés. Mais ce n'est pas tout! De tous les trapèzes connus, seul un cercle isocèle peut être décrit. Cela est dû au fait que la somme des angles opposés de cette figure est de 180 degrés, et ce n'est qu'à cette condition qu'un cercle peut être décrit autour du quadrilatère. La propriété suivante de la figure géométrique considérée est que la distance du sommet de base à la projection du sommet opposé sur la droite qui contient cette base sera égale à la ligne médiane.

Voyons maintenant comment trouver les angles d'un trapèze isocèle. Considérons une solution à ce problème, à condition que les dimensions des côtés de la figure soient connues.

Décision

Habituellement, un quadrilatère est généralement désigné par les lettres A, B, C, D, où BS et AD sont les bases. Dans un trapèze isocèle, les côtés sont égaux. Nous supposerons que leur taille est X et que les tailles des bases sont Y et Z (respectivement plus petite et plus grande). Pour effectuer le calcul, il est nécessaire de tracer une hauteur H à partir de l'angle B. Le résultat est un triangle rectangle ABN, où AB est l'hypoténuse, et BN et AN sont les jambes. Nous calculons la taille de la jambe AN: nous soustrayons la plus petite de la plus grande base et divisons le résultat par 2. Nous l'écrivons sous la forme d'une formule: (Z-Y) / 2 \u003d F. Maintenant, pour calculer le angle aigu du triangle, nous utiliserons fonction cos. On obtient l'enregistrement suivant : cos(β) = Х/F. Calculons maintenant l'angle : β=arcos (Х/F). De plus, connaissant un angle, nous pouvons déterminer le second, pour cela nous effectuons une opération arithmétique élémentaire: 180 - β. Tous les angles sont définis.

Il existe également une deuxième solution à ce problème. Au début, nous abaissons la hauteur H du coin B. Nous calculons la valeur de la jambe BN. On sait que le carré de l'hypoténuse triangle rectangle est égal à la somme carrés de jambes. Nous obtenons: BN \u003d √ (X2-F2). Ensuite, nous utilisons fonction trigonométrique tg. En conséquence, nous avons : β = arctg (BN / F). Coin pointu trouvé. Ensuite, nous déterminons de la même manière que la première méthode.

Propriété des diagonales d'un trapèze isocèle

Écrivons d'abord quatre règles. Si les diagonales d'un trapèze isocèle sont perpendiculaires, alors :

La hauteur de la figure sera égale à la somme des bases divisée par deux ;

Sa hauteur et sa ligne médiane sont égales ;

Le centre du cercle est le point où le ;

Si le côté latéral est divisé par le point de contact en segments H et M, alors il est égal à racine carrée produits de ces segments ;

Le quadrilatère, qui était formé par les points tangents, le sommet du trapèze et le centre du cercle inscrit, est un carré dont le côté est égal au rayon ;

L'aire d'une figure est égale au produit des bases et au produit de la moitié de la somme des bases et de sa hauteur.

Trapèzes similaires

Ce sujet est très pratique pour étudier les propriétés de celui-ci.Par exemple, les diagonales divisent le trapèze en quatre triangles, et celles adjacentes aux bases sont similaires, et aux côtés elles sont égales. Cette déclaration peut être appelée une propriété des triangles dans lesquels le trapèze est divisé par ses diagonales. La première partie de cette assertion est démontrée par le critère de similarité sous deux angles. Pour prouver la deuxième partie, il est préférable d'utiliser la méthode donnée ci-dessous.

Preuve du théorème

Nous acceptons que la figure ABSD (AD et BS - les bases du trapèze) soit divisée par les diagonales VD et AC. Leur point d'intersection est O. Nous obtenons quatre triangles : AOS - à la base inférieure, BOS - à la base supérieure, ABO et SOD sur les côtés. Les triangles SOD et BOS ont une hauteur commune si les segments BO et OD sont leurs bases. On obtient que la différence entre leurs aires (P) est égale à la différence entre ces segments : PBOS/PSOD = BO/OD = K. Donc, PSOD = PBOS/K. De même, les triangles BOS et AOB ont une hauteur commune. Nous prenons les segments CO et OA comme bases. Nous obtenons PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K et PAOB \u003d PBOS / K. Il en résulte que PSOD = PAOB.

Pour consolider le matériel, il est conseillé aux élèves de trouver une connexion entre les aires des triangles résultants, dans lesquels le trapèze est divisé par ses diagonales, en résolvant le problème suivant. On sait que les aires des triangles BOS et AOD sont égales, il faut trouver l'aire du trapèze. Depuis PSOD \u003d PAOB, cela signifie que PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. De la similarité des triangles BOS et AOD il résulte que BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Par conséquent, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Nous obtenons PSOD = √ (PBOS * PAOD). Alors PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

propriétés de similarité

En continuant à développer ce sujet, nous pouvons prouver d'autres fonctionnalités intéressantes trapèze. Ainsi, en utilisant la similarité, vous pouvez prouver la propriété d'un segment qui passe par un point formé par l'intersection des diagonales de cette figure géométrique, parallèles aux bases. Pour cela, on résout le problème suivant : il faut trouver la longueur du segment RK, qui passe par le point O. De la similarité des triangles AOD et BOS, il s'ensuit que AO/OS=AD/BS. De la similitude des triangles AOP et ASB, il s'ensuit que AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). De là, nous obtenons ce RO \u003d BS * AD / (BS + AD). De même, de la similitude des triangles DOK et DBS, il s'ensuit que OK \u003d BS * AD / (BS + AD). De là, nous obtenons que RO=OK et RK=2*BS*AD/(BS+AD). Le segment passant par le point d'intersection des diagonales, parallèle aux bases et reliant les deux côtés, est divisé par le point d'intersection en deux. Sa longueur est la moyenne harmonique des bases de la figure.

Considérez la propriété suivante d'un trapèze, qui s'appelle la propriété de quatre points. Les points d'intersection des diagonales (O), les intersections de la continuation des côtés (E), ainsi que les milieux des bases (T et W) se trouvent toujours sur la même ligne. Ceci est facilement prouvé par la méthode de similarité. Les triangles résultants BES et AED sont similaires et, dans chacun d'eux, les médianes ET et EZH divisent l'angle au sommet E en parties égales. Par conséquent, les points E, T et W se trouvent sur la même droite. De même, les points T, O et G sont situés sur une même droite, tout cela découle de la similitude des triangles BOS et AOD. Nous en concluons que les quatre points - E, T, O et W - se trouveront sur une ligne droite.

En utilisant des trapèzes similaires, on peut demander aux élèves de trouver la longueur du segment (LF) qui divise la figure en deux segments similaires. Ce segment doit être parallèle aux bases. Puisque les trapèzes résultants ALFD et LBSF sont similaires, alors BS/LF=LF/AD. Il s'ensuit que LF=√(BS*BP). On obtient que le segment qui divise le trapèze en deux semblables a une longueur égale à la moyenne géométrique des longueurs des bases de la figure.

Considérez la propriété de similarité suivante. Il est basé sur un segment qui divise le trapèze en deux figures de taille égale. Nous acceptons que le trapèze ABSD soit divisé par le segment EN en deux semblables. À partir du sommet B, la hauteur est omise, qui est divisée par le segment EH en deux parties - B1 et B2. Nous obtenons: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 et PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Ensuite, nous composons un système dont la première équation est (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 et la seconde (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Il s'ensuit que B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) et BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). On obtient que la longueur du segment divisant le trapèze en deux égaux est égale au carré moyen des longueurs des bases : √ ((BS2 + AD2) / 2).

Inférences de similarité

Ainsi, nous avons prouvé que :

1. Le segment reliant les milieux des côtés du trapèze est parallèle à AD et BS et est égal à la moyenne arithmétique de BS et AD (la longueur de la base du trapèze).

2. La droite passant par le point O de l'intersection des diagonales parallèles à AD et BS sera égale à la moyenne harmonique des nombres AD et BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Le segment qui divise le trapèze en segments similaires a la longueur de la moyenne géométrique des bases BS et AD.

4. Un élément qui divise une figure en deux égaux a la longueur des nombres carrés moyens AD et BS.

Pour consolider le matériel et comprendre la connexion entre les segments considérés, l'étudiant doit les construire pour un trapèze spécifique. Il peut facilement afficher la ligne médiane et le segment qui passe par le point O - l'intersection des diagonales de la figure - parallèle aux bases. Mais où seront les troisième et quatrième ? Cette réponse conduira l'élève à la découverte de la relation recherchée entre les moyennes.

Un segment de droite qui joint les milieux des diagonales d'un trapèze

Considérons la propriété suivante de cette figure. On admet que le segment MH est parallèle aux bases et bissectrice des diagonales. Appelons les points d'intersection W et W. Ce segment sera égal à la demi-différence des bases. Analysons cela plus en détail. MSH - la ligne médiane du triangle ABS, elle est égale à BS / 2. MS - la ligne médiane du triangle ABD, elle est égale à AD / 2. Ensuite, nous obtenons que ShShch = MShch-MSh, donc, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Le centre de gravité

Regardons comment cet élément est déterminé pour une figure géométrique donnée. Pour ce faire, il est nécessaire d'étendre les bases dans des directions opposées. Qu'est-ce que ça veut dire? Il est nécessaire d'ajouter la base inférieure à la base supérieure - à l'un des côtés, par exemple à droite. Et le bas est prolongé de la longueur du haut vers la gauche. Ensuite, nous les connectons avec une diagonale. Le point d'intersection de ce segment avec la ligne médiane de la figure est le centre de gravité du trapèze.

Trapèzes inscrits et circonscrits

Énumérons les caractéristiques de ces chiffres:

1. Un trapèze ne peut s'inscrire dans un cercle que s'il est isocèle.

2. Un trapèze peut être décrit autour d'un cercle, à condition que la somme des longueurs de leurs bases soit égale à la somme des longueurs des côtés.

Conséquences du cercle inscrit :

1. La hauteur du trapèze décrit est toujours égale à deux rayons.

2. Le côté latéral du trapèze décrit est observé depuis le centre du cercle à angle droit.

Le premier corollaire est évident, et pour prouver le second, il faut établir que l'angle SOD est correct, ce qui, en fait, ne sera pas non plus difficile. Mais la connaissance de cette propriété nous permettra d'utiliser un triangle rectangle pour résoudre des problèmes.

Précisons maintenant ces conséquences pour un trapèze isocèle, qui s'inscrit dans un cercle. On obtient que la hauteur est la moyenne géométrique des bases de la figure : H=2R=√(BS*AD). En pratiquant la principale technique de résolution de problèmes pour les trapèzes (le principe du dessin de deux hauteurs), l'élève doit résoudre la tâche suivante. Nous acceptons que BT soit la hauteur de la figure isocèle ABSD. Il faut trouver les segments AT et TD. En utilisant la formule décrite ci-dessus, cela ne sera pas difficile à faire.

Voyons maintenant comment déterminer le rayon d'un cercle à l'aide de l'aire du trapèze circonscrit. Nous abaissons la hauteur du sommet B à la base AD. Puisque le cercle est inscrit dans un trapèze, alors BS + AD \u003d 2AB ou AB \u003d (BS + AD) / 2. Du triangle ABN on trouve sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Nous obtenons PABSD \u003d (BS + HELL) * R, il s'ensuit que R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Toutes les formules de la ligne médiane d'un trapèze

Il est maintenant temps de passer au dernier élément de cette figure géométrique. Voyons à quoi correspond la ligne médiane du trapèze (M) :

1. À travers les bases: M \u003d (A + B) / 2.

2. Par la hauteur, la base et les angles :

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Par la hauteur, les diagonales et l'angle entre elles. Par exemple, D1 et D2 sont les diagonales d'un trapèze ; α, β - angles entre eux :

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. À travers la surface et la hauteur : M = P / N.

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Dans les documents de divers tests et examens, il y a très souvent tâches pour le trapèze, dont la solution nécessite la connaissance de ses propriétés.

Découvrons quelles sont les propriétés intéressantes et utiles d'un trapèze pour résoudre des problèmes.

Après avoir étudié les propriétés de la ligne médiane d'un trapèze, nous pouvons formuler et prouver propriété d'un segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze. Le segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze est égal à la demi-différence des bases.

MO est la ligne médiane du triangle ABC et est égal à 1/2BC (Fig. 1).

MQ est la ligne médiane du triangle ABD et est égal à 1/2AD.

Alors OQ = MQ – MO, donc OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Lors de la résolution de nombreux problèmes sur un trapèze, l'une des principales astuces consiste à y maintenir deux hauteurs.

Considérer ce qui suit tâche.

Soit BT la hauteur d'un trapèze isocèle ABCD de bases BC et AD, où BC = a, AD = b. Trouver les longueurs des segments AT et TD.

Décision.

La résolution de problèmes n'est pas difficile (Fig. 2), mais cela permet d'obtenir propriété de la hauteur d'un trapèze isocèle tiré du sommet d'un angle obtus: la hauteur d'un trapèze isocèle, tirée du sommet d'un angle obtus, divise la plus grande base en deux segments, dont le plus petit est la moitié de la différence des bases, et le plus grand est la moitié de la somme des bases.

Lorsque vous étudiez les propriétés d'un trapèze, vous devez faire attention à une propriété telle que la similitude. Ainsi, par exemple, les diagonales d'un trapèze le divisent en quatre triangles, et les triangles adjacents aux bases sont similaires, et les triangles adjacents aux côtés sont égaux. Cette déclaration peut être appelée propriété des triangles en lesquels un trapèze est divisé par ses diagonales. De plus, la première partie de l'assertion se prouve très facilement par le signe de similitude des triangles à deux angles. Prouvons la deuxième partie de la déclaration.

Les triangles BOC et COD ont la même hauteur (Fig. 3), si l'on prend les segments BO et OD comme bases. Alors S BOC /S COD = BO/OD = k. Par conséquent, S COD = 1/k · S BOC .

De même, les triangles BOC et AOB ont une hauteur commune si l'on prend les segments CO et OA comme bases. Alors S BOC /S AOB = CO/OA = k et S A O B = 1/k · S BOC .

Il résulte de ces deux propositions que S COD = S A O B.

Nous ne nous attarderons pas sur l'énoncé énoncé, mais trouverons la relation entre les aires des triangles dans lesquels un trapèze est divisé par ses diagonales. Pour ce faire, nous allons résoudre le problème suivant.

Soit le point O le point d'intersection des diagonales du trapèze ABCD avec les bases BC et AD. On sait que les aires des triangles BOC et AOD sont respectivement égales à S 1 et S 2 . Trouvez l'aire du trapèze.

Depuis S COD \u003d S A O B, puis S ABC D \u003d S 1 + S 2 + 2S COD.

De la similitude des triangles BOC et AOD, il s'ensuit que BO / OD \u003d √ (S₁ / S 2).

Par conséquent, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), et donc S COD = √(S 1 S 2).

Alors S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 S 2) = (√S 1 + √S 2) 2 .

En utilisant la similarité, on peut aussi prouver propriété d'un segment de droite passant par le point d'intersection des diagonales d'un trapèze parallèle aux bases.

Considérer tâche:

Soit le point O le point d'intersection des diagonales du trapèze ABCD avec les bases BC et AD. BC=a, AD=b. Trouver la longueur du segment PK passant par le point d'intersection des diagonales du trapèze parallèle aux bases. En quels segments PK se divise-t-il par le point O (Fig. 4) ?

De la similarité des triangles AOD et BOC, il résulte que АO/OC = AD/BC = b/a.

De la similarité des triangles AOP et ACB, il résulte que AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

D'où PO = BC b / (a ​​+ b) = ab/(a + b).

De même, de la similarité des triangles DOK et DBC, il s'ensuit que OK = ab/(a + b).

Donc PO = OK et PK = 2ab/(a + b).

Ainsi, la propriété prouvée peut être formulée comme suit: un segment parallèle aux bases du trapèze, passant par le point d'intersection des diagonales et reliant deux points sur les côtés, est divisé par le point d'intersection des diagonales en deux. Sa longueur est la moyenne harmonique des bases du trapèze.

Suivant propriété de quatre points: dans un trapèze, le point d'intersection des diagonales, le point d'intersection de la continuation des côtés, les milieux des bases du trapèze se trouvent sur la même ligne.

Les triangles BSC et ASD sont similaires (Fig. 5) et dans chacune d'elles les médianes ST et SG divisent l'angle au sommet S en parties égales. Par conséquent, les points S, T et G se trouvent sur la même ligne.

De même, les points T, O et G sont situés sur la même ligne, ce qui découle de la similitude des triangles BOC et AOD.

Par conséquent, les quatre points S, T, O et G se trouvent sur la même ligne.

Vous pouvez également trouver la longueur du segment divisant le trapèze en deux segments similaires.

Si les trapèzes ALFD et LBCF sont similaires (Fig. 6), alors a/LF = LF/b.

Donc LF = √(ab).

Ainsi, le segment divisant le trapèze en deux trapèzes semblables a une longueur égale à la moyenne géométrique des longueurs des bases.

Prouvons propriété d'un segment de droite qui divise un trapèze en deux parties égales.

Soit l'aire du trapèze S (Fig. 7). h 1 et h 2 sont des parties de la hauteur et x est la longueur du segment souhaité.

Alors S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 et

S \u003d (h 1 + h 2) (a + b) / 2.

Faisons un système

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 (a + x) = (h 1 + h 2) (a + b)/2.

En résolvant ce système, nous obtenons x \u003d √ (1/2 (a 2 + b 2)).

De cette façon, la longueur du segment divisant le trapèze en deux égaux est √ ((a 2 + b 2) / 2)(longueurs carrées moyennes des bases).

Ainsi, pour le trapèze ABCD de bases AD et BC (BC = a, AD = b) on a prouvé que le segment :

1) MN, reliant les milieux des côtés du trapèze, est parallèle aux bases et égal à leur demi-somme (moyenne nombres arithmétiques a et b);

2) PK passant par le point d'intersection des diagonales du trapèze parallèle aux bases est égal à
2ab/(a + b) (moyenne harmonique des nombres a et b) ;

3) LF, divisant le trapèze en deux trapèzes similaires, a une longueur égale à la moyenne nombres géométriques a et b, √(ab);

4) EH divisant le trapèze en deux égaux a une longueur √((a 2 + b 2)/2) (racine carrée moyenne des nombres a et b).

Signe et propriété d'un trapèze inscrit et circonscrit.

Propriété d'un trapèze inscrit : Un trapèze peut s'inscrire dans un cercle si et seulement s'il est isocèle.

Propriétés du trapèze décrit. Un trapèze peut être décrit autour d'un cercle si et seulement si la somme des longueurs des bases est égale à la somme des longueurs des côtés.

Conséquences utiles du fait qu'un cercle s'inscrit dans un trapèze :

1. La hauteur du trapèze circonscrit est égale à deux rayons du cercle inscrit.

2. Le côté latéral du trapèze circonscrit est visible du centre du cercle inscrit à angle droit.

La première est évidente. Pour prouver le deuxième corollaire, il faut établir que l'angle COD est droit, ce qui n'est pas non plus difficile. Mais la connaissance de cette conséquence nous permet d'utiliser un triangle rectangle pour résoudre des problèmes.

Nous concrétisons conséquences pour le trapèze isocèle circonscrit:

La hauteur d'un trapèze isocèle circonscrit est la moyenne géométrique des bases du trapèze
h = 2r = √(ab).

Les propriétés considérées permettront une connaissance plus approfondie du trapèze et assureront le succès dans la résolution de problèmes sur l'application de ses propriétés.

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Avec une telle forme comme un trapèze, nous nous rencontrons assez souvent dans la vie. Par exemple, tout pont fait de blocs de béton est un excellent exemple. Une option plus visuelle peut être considérée comme le pilotage de chaque véhicule etc. Les propriétés de la figure étaient déjà connues dans La Grèce ancienne , décrit plus en détail par Aristote dans son travail scientifique"Début". Et les connaissances développées il y a des milliers d'années sont toujours d'actualité. Par conséquent, nous allons nous familiariser avec eux plus en détail.

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Concepts de base

Figure 1. La forme classique d'un trapèze.

Un trapèze est essentiellement un quadrilatère composé de deux segments parallèles et de deux autres non parallèles. En parlant de cette figure, il est toujours nécessaire de se rappeler des concepts tels que : bases, hauteur et ligne médiane. Deux segments d'un quadrilatère appelés bases l'un de l'autre (segments AD et BC). La hauteur est appelée le segment perpendiculaire à chacune des bases (EH), c'est-à-dire se coupent à un angle de 90° (comme illustré à la Fig. 1).

Si l'on additionne toutes les mesures en degrés de l'interne, alors la somme des angles du trapèze sera égale à 2π (360°), comme tout quadrilatère. Un segment dont les extrémités sont les milieux des parois latérales (IF) appelée la ligne médiane. La longueur de ce segment est la somme des bases BC et AD divisée par 2.

Il existe trois types de formes géométriques : droites, régulières et isocèles. Si au moins un angle aux sommets de la base est droit (par exemple, si ABD = 90 °), alors un tel quadrilatère est appelé un trapèze droit. Si les segments latéraux sont égaux (AB et CD), alors il est dit isocèle (respectivement, les angles aux bases sont égaux).

Comment trouver la zone

Pour ça, trouver l'aire d'un quadrilatère ABCD utilise la formule suivante :

Figure 2. Résolution du problème de recherche de l'aire

Pour plus bon exemple Résolvons un problème facile. Par exemple, supposons que les bases supérieure et inférieure soient respectivement égales à 16 et 44 cm et que les côtés mesurent 17 et 25 cm Construisons un segment perpendiculaire à partir du sommet D de sorte que DE II BC (comme illustré à la figure 2). On obtient donc que

Laissez DF - sera. A partir de ΔADE (qui sera équilatéral), on obtient :

c'est-à-dire exprimer langage clair, nous avons d'abord trouvé la hauteur ΔADE, qui est aussi la hauteur du trapèze. À partir de là, nous calculons l'aire du quadrilatère ABCD, avec la valeur déjà connue de la hauteur DF, en utilisant la formule déjà connue.

Par conséquent, la surface souhaitée ABCD est de 450 cm³. C'est-à-dire qu'on peut dire avec certitude que Pour calculer l'aire d'un trapèze, vous n'avez besoin que de la somme des bases et de la longueur de la hauteur.

Important! Lors de la résolution du problème, il n'est pas nécessaire de trouver la valeur des longueurs séparément, c'est tout à fait possible si d'autres paramètres de la figure sont appliqués, qui, avec une preuve appropriée, seront égaux à la somme des bases.

Types de trapèze

Selon les côtés de la figure, les angles formés aux bases, il existe trois types de quadrilatère : rectangulaire, à côtés et équilatéral.

Polyvalent

Il existe deux formes : aigu et obtus. ABCD n'est aigu que si les angles de base (AD) sont aigus et que les longueurs des côtés sont différentes. Si la valeur d'un angle est le nombre Pi / 2 de plus (la mesure du degré est supérieure à 90 °), alors nous obtenons un angle obtus.

Si les côtés sont égaux en longueur

Figure 3. Vue d'un trapèze isocèle

Si les côtés non parallèles sont égaux en longueur, alors ABCD est appelé isocèle (correct). De plus, pour un tel quadrilatère, la mesure en degré des angles à la base est la même, leur angle sera toujours inférieur au droit. C'est pour cette raison que l'isocèle n'est jamais divisé en aigu et en obtus. Un quadrilatère de cette forme a ses propres différences spécifiques, notamment :

1. Les segments reliant des sommets opposés sont égaux.
2. Les angles aigus avec une plus grande base sont de 45° (un exemple illustratif sur la figure 3).
3. Si vous ajoutez les degrés d'angles opposés, ils donneront au total 180 °.
4. Autour de n'importe quel trapèze régulier peut être construit.
5. Si vous ajoutez la mesure en degrés des angles opposés, elle est alors égale à π.

De plus, en raison de leur disposition géométrique des points, il existe propriétés de base d'un trapèze isocèle:

Valeur d'angle à la base 90°

La perpendicularité du côté latéral de la base est une caractéristique volumineuse du concept de "trapèze rectangle". Il ne peut y avoir deux côtés avec des coins à la base, car sinon ce sera déjà un rectangle. Dans les quadrilatères de ce type, le deuxième côté formera toujours angle vif avec une grande base et une plus petite - obtuse. Dans ce cas, le côté perpendiculaire sera également la hauteur.

Segment entre le milieu des flancs

Si nous connectons les milieux des côtés et que le segment résultant sera parallèle aux bases et de longueur égale à la moitié de leur somme, alors la ligne droite formée sera la ligne médiane. La valeur de cette distance est calculée par la formule :

Pour un exemple plus illustratif, considérons un problème utilisant la ligne médiane.

Une tâche. La ligne médiane du trapèze mesure 7 cm, on sait que l'un des côtés est 4 cm plus large que l'autre (Fig. 4). Trouver les longueurs des bases.

Figure 4. Résolution du problème de recherche des longueurs de base

Décision. Soit la plus petite base de DC égale à x cm, puis la plus grande base sera égale à (x + 4) cm, respectivement. À partir de là, en utilisant la formule de la ligne médiane du trapèze, nous obtenons :

Il s'avère que la plus petite base de DC est de 5 cm et la plus grande de 9 cm.

Important! Le concept de la ligne médiane est la clé pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie. Sur la base de sa définition, de nombreuses preuves pour d'autres figures sont construites. En utilisant le concept dans la pratique, peut-être plus décision rationnelle et recherchez la valeur requise.

Détermination de la hauteur et comment la trouver

Comme indiqué précédemment, la hauteur est un segment qui coupe les bases à un angle de 2Pi / 4 et est la distance la plus courte entre eux. Avant de trouver la hauteur du trapèze, il est nécessaire de déterminer quelles valeurs d'entrée sont données. Pour une meilleure compréhension, considérons le problème. Trouvez la hauteur du trapèze, à condition que les bases mesurent 8 et 28 cm, les côtés mesurent respectivement 12 et 16 cm.

Figure 5. Résolution du problème de recherche de la hauteur d'un trapèze

Traçons les segments DF et CH perpendiculairement à la base AD Selon la définition, chacun d'eux aura la hauteur d'un trapèze donné (Fig. 5). Dans ce cas, connaissant la longueur de chaque flanc, en utilisant le théorème de Pythagore, nous trouvons quelle est la hauteur dans les triangles AFD et BHC.

La somme des segments AF et HB est égale à la différence des bases, soit :

Soit la longueur de AF égale à x cm, alors la longueur du segment HB = (20 - x) cm. Comme il a été établi, DF=CH , d'où .

On obtient alors l'équation suivante :

Il s'avère que le segment AF dans le triangle AFD est de 7,2 cm, à partir de là, nous calculons la hauteur du trapèze DF en utilisant le même théorème de Pythagore :

Celles. la hauteur du trapèze ADCB sera de 9,6 cm.Comme vous pouvez le voir, le calcul de la hauteur est un processus plus mécanique et est basé sur les calculs des côtés et des angles des triangles. Mais, dans un certain nombre de problèmes de géométrie, seuls les degrés d'angles peuvent être connus, auquel cas les calculs seront effectués par le rapport des côtés des triangles intérieurs.

Important! Essentiellement, un trapèze est souvent considéré comme deux triangles, ou comme une combinaison d'un rectangle et d'un triangle. Pour résoudre 90% de tous les problèmes trouvés dans les manuels scolaires, les propriétés et les caractéristiques de ces chiffres. La plupart des formules de ce GMT sont dérivées en s'appuyant sur les "mécanismes" de ces deux types de chiffres.

Comment calculer rapidement la longueur de la base

Avant de trouver la base du trapèze, vous devez déterminer quels paramètres sont déjà donnés et comment les utiliser de manière rationnelle. Une approche pratique consiste à extraire la longueur de la base inconnue de la formule de la ligne médiane. Pour une perception plus claire de l'image, nous montrerons comment cela peut être fait en utilisant un exemple de tâche. Sachez que la ligne médiane du trapèze mesure 7 cm et que l'une des bases mesure 10 cm.Trouvez la longueur de la deuxième base.

Solution : Sachant que la ligne médiane est égale à la moitié de la somme des bases, on peut affirmer que leur somme est de 14 cm.

(14cm=7cm×2). De la condition du problème, nous savons que l'un des est égal à 10 cm, donc le plus petit côté du trapèze sera égal à 4 cm (4 cm = 14 - 10).

De plus, pour une solution plus confortable des problèmes de ce genre, nous vous recommandons de bien apprendre ces formules de la zone trapézoïdale comme:

• ligne médiane;
• région;
• la taille;
• diagonales.

Connaissant l'essence (précisément l'essence) de ces calculs, vous pouvez facilement trouver la valeur souhaitée.

Vidéo : trapèze et ses propriétés

Vidéo : caractéristiques trapézoïdales

Conclusion

À partir des exemples de problèmes considérés, nous pouvons tirer une conclusion simple que le trapèze, en termes de problèmes de calcul, est l'une des figures les plus simples de la géométrie. Pour solution réussie tâches, tout d'abord, il ne vaut pas la peine de décider quelles informations sont connues sur l'objet décrit, dans quelles formules elles peuvent être appliquées et de décider ce qui doit être trouvé. En exécutant cet algorithme simple, aucune tâche utilisant cette figure géométrique ne se fera sans effort.