Ce qu'on appelle le mode d'une série de nombres. Moyenne. Moyenne géométrique. Portée. Mode. Médian. Détermination du mode et de la médiane par méthode graphique

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Sur le thème : "Mode. Médiane. Méthodes de calcul"

Introduction

Les valeurs moyennes et les indicateurs de variation associés jouent un rôle très important dans les statistiques, en raison de l'objet de leur étude. C'est pourquoi ce sujet est l'un des éléments centraux du cours.

La moyenne est une mesure récapitulative très courante dans les statistiques. Cela s'explique par le fait que ce n'est qu'à l'aide de la moyenne qu'une population peut être caractérisée par une caractéristique quantitativement variable. En statistique, la valeur moyenne est une caractéristique généralisatrice d'un ensemble de phénomènes similaires basée sur une caractéristique quantitativement variable. La moyenne montre le niveau de cette caractéristique par unité de population.

Lorsqu'ils étudient des phénomènes sociaux et tentent d'identifier leurs caractéristiques typiques dans des conditions de lieu et de temps spécifiques, les statisticiens utilisent largement des valeurs moyennes. À l’aide de moyennes, vous pouvez comparer différentes populations entre elles en fonction de diverses caractéristiques.

Les moyennes utilisées en statistique appartiennent à la classe des moyennes de puissance. Parmi les moyennes de puissance, la moyenne arithmétique est le plus souvent utilisée, moins souvent la moyenne harmonique ; La moyenne harmonique est utilisée uniquement lors du calcul des taux de dynamique moyens, et le carré moyen est utilisé uniquement lors du calcul des indices de variation.

La moyenne arithmétique est le quotient de la somme des variantes divisée par leur nombre. Il est utilisé dans les cas où le volume d'une caractéristique variable pour l'ensemble de la population est formé comme la somme des valeurs caractéristiques de ses unités individuelles. La moyenne arithmétique est le type de moyenne le plus courant, car elle correspond à la nature des phénomènes sociaux, où le volume des caractéristiques variables dans l'ensemble est le plus souvent formé précisément comme la somme des valeurs caractéristiques des unités individuelles de la population. .

Selon sa propriété déterminante, la moyenne harmonique doit être utilisée lorsque le volume total de l'attribut est formé comme la somme des valeurs inverses de la variante. Il est utilisé lorsque, selon le matériau, les poids ne doivent pas être multipliés, mais divisés en options ou, ce qui revient au même, multipliés par leur valeur réciproque. La moyenne harmonique dans ces cas est l'inverse de la moyenne arithmétique des valeurs réciproques de la caractéristique.

La moyenne harmonique doit être utilisée dans les cas où ce ne sont pas les unités de la population - porteuses de la caractéristique - qui sont utilisées comme poids, mais les produits de ces unités par la valeur de la caractéristique.

1. Définition du mode et de la médiane en statistiques

Les moyennes arithmétiques et harmoniques généralisent les caractéristiques de la population selon l'une ou l'autre caractéristique variable. Les caractéristiques descriptives auxiliaires de la distribution d'une caractéristique variable sont le mode et la médiane.

En statistique, un mode est la valeur d'une caractéristique (variante) que l'on retrouve le plus souvent dans une population donnée. Dans une série de variantes, ce sera l’option ayant la fréquence la plus élevée.

En statistiques, la médiane est l’option qui se situe au milieu de la série de variations. La médiane divise la série en deux ; de part et d’autre (en haut et en bas) se trouvent le même nombre d’unités de population.

Le mode et la médiane, contrairement aux moyennes de puissance, sont des caractéristiques spécifiques ; leur signification est attribuée à toute option spécifique dans la série de variations.

Le mode est utilisé dans les cas où il est nécessaire de caractériser la valeur la plus fréquente d'une caractéristique. Si vous avez besoin, par exemple, de connaître le taux de salaire le plus courant dans une entreprise, le prix sur le marché auquel il a été vendu le plus grand nombre les biens, la pointure la plus demandée par les consommateurs, etc., dans ces cas, ils ont recours à la mode.

La médiane est intéressante dans la mesure où elle montre la limite quantitative de la valeur d'une caractéristique variable, atteinte par la moitié des membres de la population. Supposons que le salaire moyen des employés de banque soit de 650 000 roubles. par mois. Cette caractéristique peut être complétée si l'on dit que la moitié des ouvriers recevaient un salaire de 700 000 roubles. et plus haut, c'est-à-dire Donnons la médiane. Le mode et la médiane sont des caractéristiques typiques dans les cas où les populations sont homogènes et nombreuses.

2. Trouver le mode et la médiane dans une série de variations discrètes

Trouver le mode et la médiane dans une série de variations, où les valeurs d'une caractéristique sont données par certains nombres, n'est pas très difficile. Regardons le tableau 1 avec la répartition des familles par nombre d'enfants.

Tableau 1. Répartition des familles par nombre d'enfants

Évidemment, dans cet exemple, le mode sera une famille avec deux enfants, puisque cette valeur d'option correspond au plus grand nombre de familles. Il peut y avoir des distributions où toutes les options se produisent également souvent, auquel cas il n'y a pas de mode, ou, en d'autres termes, nous pouvons dire que toutes les options sont également modales. Dans d’autres cas, ce n’est pas une, mais deux options qui peuvent être les plus fréquentes. Il y aura alors deux modes, la distribution sera bimodale. Les distributions bimodales peuvent indiquer une hétérogénéité qualitative de la population selon la caractéristique étudiée.

Pour trouver la médiane dans une série de variations discrètes, vous devez diviser la somme des fréquences par deux et ajouter ½ au résultat. Ainsi, dans la répartition de 185 familles par nombre d'enfants, la médiane sera : 185/2 + ½ = 93, soit La 93ème option, qui divise la ligne ordonnée en deux. Quelle est la signification de la 93ème option ? Pour le savoir, il faut cumuler les fréquences à partir de les plus petites options. La somme des fréquences des 1ère et 2ème options est de 40. Il est clair qu'il n'y a pas 93 options ici. Si l'on ajoute la fréquence de la 3ème option à 40, nous obtenons une somme égale à 40 + 75 = 115. La 93ème option correspond donc à la troisième valeur de la caractéristique variable, et la médiane sera une famille avec deux enfants.

Le mode et la médiane dans cet exemple coïncidaient. Si nous avions une somme paire de fréquences (par exemple, 184), alors, en utilisant la formule ci-dessus, nous obtiendrions le numéro de l'option médiane, 184/2 + ½ =92,5. Puisqu’il n’y a pas d’options fractionnaires, le résultat indique que la médiane se situe à mi-chemin entre 92 et 93 options.

3. Calcul du mode et de la médiane dans les séries de variations d'intervalles

Le caractère descriptif du mode et de la médiane tient au fait qu’ils ne compensent pas les écarts individuels. Ils correspondent toujours à une option précise. Par conséquent, le mode et la médiane ne nécessitent pas de calculs pour déterminer si toutes les valeurs de l'attribut sont connues. Cependant, dans une série de variations d'intervalles, des calculs sont utilisés pour trouver la valeur approximative du mode et de la médiane dans un certain intervalle.

Pour calculer une certaine valeur de la valeur modale d'une caractéristique contenue dans un intervalle, utilisez la formule :

M o = X Mo + i Mo *(f Mo – f Mo-1)/((f Mo – f Mo-1) + (f Mo – f Mo+1)),

Où XMo est la limite minimale de l'intervalle modal ;

i Mo – la valeur de l'intervalle modal ;

f Mo – fréquence de l'intervalle modal ;

f Mo-1 – fréquence de l'intervalle précédant celui modal ;

f Mo+1 – fréquence de l'intervalle suivant celui modal.

Montrons le calcul du mode en utilisant l'exemple donné dans le tableau 2.

Tableau 2. Répartition des travailleurs des entreprises selon le respect des normes de production

Pour trouver le mode, on détermine d’abord l’intervalle modal de cette série. L'exemple montre que la fréquence la plus élevée correspond à l'intervalle où les variantes sont comprises entre 100 et 105. C'est l'intervalle modal. La valeur de l'intervalle modal est 5.

Remplacement valeurs numériques du tableau 2. dans la formule ci-dessus, nous obtenons :

M o = 100 + 5 * (104 -12)/((104 – 12) + (104 – 98)) = 108,8

La signification de cette formule est la suivante : la valeur de la partie de l'intervalle modal qui doit être ajoutée à sa limite minimale est déterminée en fonction de l'ampleur des fréquences des intervalles précédents et suivants. Dans ce cas, on ajoute 8,8 à 100, soit plus d'un demi-intervalle car la fréquence de l'intervalle précédent est inférieure à la fréquence de l'intervalle suivant.

Calculons maintenant la médiane. Pour trouver la médiane dans une série de variations d'intervalle, on détermine d'abord l'intervalle dans lequel elle se situe (intervalle médian). Un tel intervalle sera celui dont la fréquence cumulée est égale ou supérieure à la moitié de la somme des fréquences. Les fréquences cumulées sont formées en additionnant progressivement les fréquences, en commençant par l'intervalle ayant la valeur la plus basse de l'attribut. La moitié de la somme des fréquences est de 250 (500:2). Par conséquent, selon le tableau 3, l'intervalle médian sera l'intervalle d'une valeur salariale de 350 000 roubles. jusqu'à 400 000 roubles.

Tableau 3. Calcul de la médiane dans une série de variations d'intervalles

Avant cet intervalle, la somme des fréquences accumulées était de 160. Par conséquent, pour obtenir la valeur médiane, il faut ajouter 90 unités supplémentaires (250 – 160).

Lors de l'étude de la charge de travail des élèves, un groupe de 12 élèves de septième année a été identifié. Il leur a été demandé d'enregistrer le temps (en minutes) consacré aux devoirs d'algèbre un jour donné. Nous avons reçu les données suivantes : 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Lors de l'étude de la charge de travail des élèves, un groupe de 12 élèves de septième année a été identifié. Il leur a été demandé d'enregistrer le temps (en minutes) consacré aux devoirs d'algèbre un jour donné. Nous avons reçu les données suivantes : 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Moyenne arithmétique de la série. La moyenne arithmétique d'une série de nombres est le quotient de la somme de ces nombres divisé par le nombre de termes. La moyenne arithmétique d'une série de nombres est le quotient de la somme de ces nombres divisée par le nombre de termes.():12=27

Plage de lignes. L'étendue d'une série est la différence entre le plus grand et le plus petit de ces nombres. L'étendue d'une série est la différence entre le plus grand et le plus petit de ces nombres. La plus grande consommation de temps est de 37 minutes et la plus petite est de 18 minutes. Trouvons l'étendue de la série : 37 – 18 = 19 (min)

Série de mode. Le mode d'une série de nombres est le nombre qui apparaît plus souvent dans une série donnée que dans d'autres. Le mode d'une série de nombres est le nombre qui apparaît plus souvent dans une série donnée que dans d'autres. Le mode de notre série est le nombre - 25. Le mode de notre série est le nombre - 25. Une série de nombres peut ou non avoir plus d'un mode. 1) 47,46,50,47,52,49,45,43,53,53,47,52 – deux modes 47 et 52. 2) 69,68,66,70,67,71,74,63, 73.72 – pas de mode.

La moyenne arithmétique, l'étendue et le mode sont utilisés en statistique - une science qui s'occupe de l'obtention, du traitement et de l'analyse de données quantitatives sur une variété de phénomènes de masse se produisant dans la nature et la société. La moyenne arithmétique, l'étendue et le mode sont utilisés en statistique - une science qui s'occupe de l'obtention, du traitement et de l'analyse de données quantitatives sur une variété de phénomènes de masse se produisant dans la nature et la société. Les statistiques étudient la taille des différents groupes de population du pays et de ses régions, la production et la consommation de divers types de produits, le transport de marchandises et de passagers par divers modes de transport, Ressources naturelles etc. Les statistiques étudient la taille des groupes individuels de la population du pays et de ses régions, la production et la consommation de divers types de produits, le transport de marchandises et de passagers par divers modes de transport, les ressources naturelles, etc.

1. Trouvez la moyenne arithmétique et l'étendue d'une série de nombres : a) 24,22,27,20,16,37 ; b)30,5,23,5,28, Trouver la moyenne arithmétique, l'étendue et le mode d'un certain nombre de nombres : a)32,26,18,26,15,21,26 ; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22 ; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22 ; c) 61,64,64,83,61,71,70 ; c) 61,64,64,83,61,71,70 ; d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. d) -4,-6, 0, 4, 0, 6, 8, Dans la série de nombres 3, 8, 15, 30, __, 24, il manque un nombre si : a) la moyenne arithmétique du. la série est 18 ; a) la moyenne arithmétique de la série est 18 ; b) la portée de la série est de 40 ; b) la portée de la série est de 40 ; c) le mode de la série est 24. c) le mode de la série est 24.

4. Dans le certificat d'études secondaires, quatre amis - diplômés de l'école - avaient les notes suivantes : Ilyin : 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4, 4 ; Ilyine : 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4 ; Semenov : 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4 ; Semenov : 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4 ; Popov : 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4 ; Popov : 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4 ; Romanov : 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Romanov : 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Avec quelle moyenne chacun de ces diplômés a-t-il obtenu son diplôme ? Indiquez la note la plus typique pour chacun d’eux dans le certificat. Quelles statistiques avez-vous utilisées pour répondre ? Avec quelle moyenne chacun de ces diplômés a-t-il obtenu son diplôme ? Indiquez la note la plus typique pour chacun d’eux dans le certificat. Quelles statistiques avez-vous utilisées pour répondre ?

Travail indépendant Option 1. Option Étant donné une série de nombres : 35, 44, 37, 31, 41, 40, 31, 29. Trouvez la moyenne arithmétique, l'étendue et le mode. 2. Dans la série de nombres 4, 9, 16, 31, _, 25 4, 9, 16, 31, _, 25, il manque un chiffre. il manque un numéro. Trouvez-le si : Trouvez-le si : a) la moyenne arithmétique a) la moyenne arithmétique est 19 ; certains valent 19 ; b) étendue de la série – 41. b) étendue de la série – 41. Option Étant donné une série de nombres : 38, 42, 36, 45, 48, 45,45, 42. Trouver la moyenne arithmétique, l'étendue et le mode de l'étendue . 2. Dans la série de nombres 5, 10, 17, 32, _, 26, il manque un chiffre. Trouvez-le si : a) la moyenne arithmétique est de 19 ; b) la portée de la série est 41.

La médiane d'une série ordonnée de nombres sans nombre pair nombres est le nombre écrit au milieu, et la médiane d'une série ordonnée de nombres avec un nombre pair de nombres est la moyenne arithmétique des deux nombres écrits au milieu. La médiane d'une série ordonnée de nombres avec un nombre impair de nombres est le nombre écrit au milieu, et la médiane d'une série ordonnée de nombres avec un nombre pair de nombres est la moyenne arithmétique des deux nombres écrits au milieu. Le tableau présente la consommation d'électricité en janvier des résidents de neuf appartements : Le tableau présente la consommation d'électricité en janvier des résidents de neuf appartements : Numéro d'appartement Consommation d'électricité

Faisons une série ordonnée : 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91,93. 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, est la médiane de cette série. 78 est la médiane de cette série. Étant donné une série ordonnée : Étant donné une série ordonnée : 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93. ():2 = 80 – médiane. ():2 = 80 – médiane.

1. Trouvez la médiane d'une série de nombres : a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52 ; a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52 ; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417 ; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417 ; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26 ; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26 ; d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. 2. Trouvez la moyenne arithmétique et la médiane d'une série de nombres : a) 27, 29, 23, 31,21,34 ; a) 27, 29, 23, 31,21,34 ; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74 ; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74 ; c) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2 ; c) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2 ; d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6. d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6.

3. Le tableau montre le nombre de visiteurs de l'exposition à différents jours de la semaine : Trouvez la médiane de la série de données spécifiée. Quels jours de la semaine le nombre de visiteurs de l’exposition a-t-il été supérieur à la médiane ? Jours de la semaine Lun Lun Mar Mar Mer Mer Jeu Jeu Ven Ven Sam Dim Dim Nombre de visiteurs

4. Vous trouverez ci-dessous la transformation quotidienne moyenne du sucre (en milliers de quintaux) par les usines de l'industrie sucrière d'une certaine région : (en milliers de quintaux) par les usines de l'industrie sucrière d'une certaine région : 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5 , 12,4, 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5, 12,4, 14, 2, 17,8. 14, 2, 17.8. Pour la série présentée, trouvez la moyenne arithmétique, le mode, l'étendue et la médiane. Pour la série présentée, trouvez la moyenne arithmétique, le mode, l'étendue et la médiane. 5. L'organisation a tenu un registre quotidien des lettres reçues au cours du mois. En conséquence, nous avons reçu les séries de données suivantes : 39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40. , 42, 40 , 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25 , 34, 0 , 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Pour la série présentée, trouvez la moyenne arithmétique, le mode, l'étendue et la médiane. Pour la série présentée, trouvez la moyenne arithmétique, le mode, l'étendue et la médiane.

Devoirs. Lors des compétitions de patinage artistique, la performance de l'athlète a été évaluée avec les points suivants : Lors des compétitions de patinage artistique, la performance de l'athlète a été évaluée avec les points suivants : 5,2 ; 5.4 ; 5,5 ; 5.4 ; 5.1 ; 5.1 ; 5.4 ; 5,5 ; 5.3. 5.2 ; 5.4 ; 5,5 ; 5.4 ; 5.1 ; 5.1 ; 5.4 ; 5,5 ; 5.3. Pour la série de nombres résultante, trouvez la moyenne arithmétique, l'étendue et le mode. Pour la série de nombres résultante, trouvez la moyenne arithmétique, l'étendue et le mode.

Moyenne arithmétique d'une série de nombres – C'est la somme de ces nombres divisée par le nombre de termes.

La moyenne arithmétique est appelée valeur moyenne d'une série de nombres.

Exemple : Trouver la moyenne nombres arithmétiques 2, 6, 9, 15.

Solution. Nous avons quatre nombres. Cela signifie que leur somme doit être divisée par 4. Ce sera la moyenne arithmétique de ces nombres :
(2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

Moyenne géométrique d'une série de nombres- c'est la racine nième degré du produit de ces nombres.

Exemple : Trouvez la moyenne géométrique des nombres 2, 4, 8.

Solution. Nous avons trois nombres. Cela signifie que nous devons trouver la troisième racine de leur produit. Ce sera la moyenne géométrique de ces nombres :

3 √ 2 4 8 = 3 √64 = 4

Portée une série de nombres est la différence entre le plus grand et le plus petit de ces nombres.

Exemple : Trouvez la plage de nombres 2, 5, 8, 12, 33.

Solution : Le plus grand nombre ici est 33, le plus petit est 2. La plage est donc 31 :

Mode une série de nombres est le nombre qui apparaît plus souvent dans une série donnée que dans d’autres.

Exemple : Trouvez le mode de la série de nombres 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8.

Solution : Le chiffre 7 apparaît le plus souvent dans cette série de chiffres (3 fois). C'est le mode d'une série de nombres donnée.

Médian.

Dans une série ordonnée de nombres :

Médiane d'un nombre impair de nombres est le nombre écrit au milieu.

Exemple : Dans une série de nombres 2, 5, 9, 15, 21, la médiane est le chiffre 9, situé au milieu.

Médiane d'un nombre pair de nombres est la moyenne arithmétique des deux nombres du milieu.

Exemple : Trouvez la médiane des nombres 4, 5, 7, 11, 13, 19.

Solution : Il existe un nombre pair de nombres (6). Par conséquent, nous recherchons non pas un, mais deux nombres écrits au milieu. Ce sont les nombres 7 et 11. Trouvez la moyenne arithmétique de ces nombres :

(7 + 11) : 2 = 9.

Le nombre 9 est la médiane de cette série de nombres.

Dans une série non ordonnée de nombres :

Médiane d'une série arbitraire de nombres est appelée la médiane de la série ordonnée correspondante.

Exemple 1 : Trouvez la médiane d'une série arbitraire de nombres 5, 1, 3, 25, 19, 17, 21.

Solution : Nous classons les nombres par ordre croissant :

1, 3, 5, 17 , 19, 21, 25.

Au milieu se trouve le nombre 17. C'est la médiane de cette série de nombres.

Exemple 2 : Ajoutons un nombre supplémentaire à notre série arbitraire de nombres pour que la série devienne paire et trouvons la médiane :

5, 1, 3, 25, 19, 17, 21, 19.

Solution : On construit à nouveau une série ordonnée :

1, 3, 5, 17 , 19 , 19, 21, 25.

Les nombres 17 et 19 étaient au milieu. Trouvez leur valeur moyenne :

(17 + 19) : 2 = 18.

Le nombre 18 est la médiane de cette série de nombres.

Parallèlement aux valeurs moyennes, les moyennes structurelles sont calculées en tant que caractéristiques statistiques de séries de variations de distributions - mode Et médian.
Mode(Mo) représente la valeur de la caractéristique étudiée, répétée avec la plus grande fréquence, c'est-à-dire mode – la valeur d’une caractéristique qui apparaît le plus souvent.
Médian(Me) est la valeur de l'attribut qui se situe au milieu de la population classée (ordonnée), c'est-à-dire la médiane est la valeur centrale d’une série de variations.
La propriété principale de la médiane est que la somme des écarts absolus des valeurs d'attribut par rapport à la médiane est inférieure à celle de toute autre valeur ∑|x i - Me|=min.

Détermination du mode et de la médiane à partir de données non groupées

Considérons détermination du mode et de la médiane à partir de données non groupées. Supposons qu'une équipe de travail composée de 9 personnes ait les catégories tarifaires suivantes : 4 3 4 5 3 3 6 2 6. Cette brigade comptant le plus d'ouvriers de la 3ème catégorie, cette catégorie tarifaire sera modale. Mo = 3.
Pour déterminer la médiane il faut effectuer un classement : 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . L'ouvrier central de cette série est un ouvrier de la 4ème catégorie, cette catégorie sera donc la médiane. Si la série classée comprend un nombre pair d’unités, alors la médiane est définie comme la moyenne des deux valeurs centrales.
Si le mode reflète la variante la plus courante de la valeur de l'attribut, alors la médiane remplit pratiquement les fonctions de moyenne pour une population hétérogène qui n'obéit pas à la loi normale de distribution. Illustrons sa signification cognitive avec l'exemple suivant.
Disons que nous devons caractériser le revenu moyen d'un groupe de personnes composé de 100 personnes, dont 99 ont des revenus compris entre 100 et 200 dollars par mois, et le revenu mensuel de ces derniers est de 50 000 dollars (tableau 1).
Tableau 1 - Revenu mensuel du groupe de personnes étudié. Si nous utilisons la moyenne arithmétique, nous obtenons un revenu moyen d'environ 600 à 700 dollars, ce qui n'a pas grand-chose à voir avec les revenus de la majeure partie du groupe. La médiane, égale dans ce cas à Me = 163 dollars, permettra de donner une description objective du niveau de revenu de 99% de ce groupe de personnes.
Considérons la détermination du mode et de la médiane à l'aide de données groupées (séries de distribution).
Supposons que la répartition des travailleurs de l'ensemble de l'entreprise selon la catégorie tarifaire ait la forme suivante (tableau 2).
Tableau 2 - Répartition des travailleurs des entreprises par catégorie tarifaire

Calcul du mode et de la médiane pour une série discrète

Calcul du mode et de la médiane pour les séries d'intervalles

Calcul du mode et de la médiane pour une série de variations

Détermination du mode à partir d'une série de variations discrètes

Une série de valeurs d'attributs préalablement construites, triées par valeur, est utilisée. Si la taille de l’échantillon est impaire, nous prenons la valeur centrale ; si la taille de l'échantillon est paire, on prend la moyenne arithmétique des deux valeurs centrales.
Détermination du mode à partir d'une série de variations discrètes: la 5ème catégorie tarifaire a la fréquence la plus élevée (60 personnes), elle est donc modale. Mo = 5.
Pour déterminer la valeur médiane d'une caractéristique, on trouve le numéro de l'unité médiane de la série (N Me) à l'aide de la formule suivante : , où n est le volume de la population.
Dans notre cas:

.
La valeur fractionnaire qui en résulte, qui apparaît toujours lorsque le nombre d’unités de la population est pair, indique que le point médian exact se situe entre 95 et 96 travailleurs. Il est nécessaire de déterminer quel groupe travaille avec ces Numéros de série. Cela peut être fait en calculant les fréquences accumulées. Il n'y a pas de travailleurs avec ces chiffres dans le premier groupe, où il n'y a que 12 personnes, et il n'y en a pas dans le deuxième groupe (12+48=60). Les 95ème et 96ème travailleurs appartiennent au troisième groupe (12+48+56=116), la médiane est donc la 4ème catégorie tarifaire.

Calcul du mode et de la médiane dans les séries d'intervalles

Contrairement aux séries à variation discrète, la détermination du mode et de la médiane à partir de séries d'intervalles nécessite certains calculs basés sur formules suivantes:

, (5.6)
Où x0– la limite inférieure de l'intervalle modal (l'intervalle de fréquence la plus élevée est appelé modal) ;
je– la valeur de l'intervalle modal ;
fMo– fréquence de l'intervalle modal ;
f Mo -1– fréquence de l'intervalle précédant l'intervalle modal ;
f Mo +1– fréquence de l'intervalle suivant celui modal.

(5.7)
Où x0– la limite inférieure de l'intervalle médian (la médiane est le premier intervalle dont la fréquence cumulée dépasse la moitié de la somme totale des fréquences) ;
je– la valeur de l'intervalle médian ;
S Moi -1– intervalle cumulé précédant la médiane ;
f Moi– fréquence de l'intervalle médian.
Illustrons l'application de ces formules à l'aide des données du tableau. 3.
L'intervalle avec les limites 60 à 80 dans cette distribution sera modal, car il a la fréquence la plus élevée. A l'aide de la formule (5.6), on définit le mode :

Pour établir l'intervalle médian, il est nécessaire de déterminer la fréquence cumulée de chaque intervalle suivant jusqu'à ce qu'elle dépasse la moitié de la somme des fréquences accumulées (dans notre cas, 50 %) (tableau 5.11).
Il a été établi que la médiane est l'intervalle dont les limites sont de 100 à 120 000 roubles. Déterminons maintenant la médiane :

Tableau 3 - Répartition de la population de la Fédération de Russie par niveau de revenu monétaire nominal moyen par habitant en mars 1994.

Groupes par niveau de revenu mensuel moyen par habitant, en milliers de roubles.	Part de la population, %
Jusqu'à 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
Plus de 300	7,7
Total	100,0

Tableau 4 - Détermination de l'intervalle médian
Ainsi, la moyenne arithmétique, le mode et la médiane peuvent être utilisés comme caractéristique généralisée des valeurs d'un certain attribut pour les unités d'une population classée.
La principale caractéristique du centre de distribution est la moyenne arithmétique, qui se caractérise par le fait que tous les écarts (positifs et négatifs) totalisent zéro. La médiane est caractérisée par le fait que la somme des écarts de module par rapport à celle-ci est minime et le mode est la valeur de l'attribut qui se produit le plus fréquemment.
Le rapport du mode, de la médiane et de la moyenne arithmétique indique la nature de la répartition de la caractéristique dans l'agrégat et permet d'évaluer son asymétrie. Dans les distributions symétriques, les trois caractéristiques coïncident. Plus l’écart entre le mode et la moyenne arithmétique est grand, plus la série est asymétrique. Pour les séries moyennement asymétriques, l'écart entre le mode et la moyenne arithmétique est environ trois fois supérieur à l'écart entre la médiane et la moyenne, soit :
|Mo –`x| = 3 |Moi –`x|.

Détermination du mode et de la médiane par méthode graphique

Le mode et la médiane d'une série d'intervalles peuvent être déterminés graphiquement. Le mode est déterminé par l'histogramme de distribution. Pour ce faire, sélectionnez le rectangle le plus haut, qui dans ce cas est modal. Ensuite, nous connectons le sommet droit du rectangle modal au coin supérieur droit du rectangle précédent. Et le sommet gauche du rectangle modal - avec le coin supérieur gauche du rectangle suivant. Du point de leur intersection on abaisse la perpendiculaire à l'axe des abscisses. L'abscisse du point d'intersection de ces droites sera le mode de distribution (Fig. 5.3).

Riz. 5.3. Détermination graphique du mode à l'aide d'un histogramme.

Riz. 5.4. Détermination graphique de la médiane par cumul
Pour déterminer la médiane à partir d'un point de l'échelle des fréquences cumulées (fréquences) correspondant à 50 %, on trace une droite parallèle à l'axe des abscisses jusqu'à son intersection avec le cumulat. Ensuite, à partir du point d’intersection, une perpendiculaire est abaissée jusqu’à l’axe des x. L'abscisse du point d'intersection est la médiane.

Quartiles, déciles, centiles

De même, en recherchant la médiane dans la série de variations de la distribution, vous pouvez trouver la valeur de l'attribut pour n'importe quelle unité de la série classée. Ainsi, par exemple, vous pouvez trouver la valeur de l'attribut pour les unités divisant une série en quatre parties égales, en 10 ou 100 parties. Ces valeurs sont appelées « quartiles », « déciles », « centiles ».
Les quartiles représentent la valeur d'une caractéristique qui divise la population classée en 4 parties égales.
Il existe un quartile inférieur (Q 1), séparant ¼ de la population des valeurs les plus basses caractéristique, et le quartile supérieur (Q 3), coupant ¼ de partie de valeurs les plus élevées signe. Cela signifie que 25 % des unités de la population auront une valeur inférieure à Q 1 ; 25% des unités seront comprises entre Q 1 et Q 2 ; 25 % se situent entre Q 2 et Q 3, et les 25 % restants dépassent Q 3. Le quartile médian du T2 est la médiane.
Pour calculer les quartiles à l'aide d'une série de variations d'intervalles, les formules suivantes sont utilisées :

,
Où xQ1– la limite inférieure de l'intervalle contenant le quartile inférieur (l'intervalle est déterminé par la fréquence cumulée, la première dépassant 25 %) ;
xQ3– la limite inférieure de l'intervalle contenant le quartile supérieur (l'intervalle est déterminé par la fréquence cumulée, la première dépassant 75 %) ;
je– taille de l'intervalle ;
S Q 1-1– fréquence cumulée de l'intervalle précédant l'intervalle contenant le quartile inférieur ;
S Q 3-1– fréquence cumulée de l'intervalle précédant l'intervalle contenant le quartile supérieur ;
fQ1– fréquence de l'intervalle contenant le quartile inférieur ;
fQ3– fréquence de l'intervalle contenant le quartile supérieur.
Considérons le calcul des quartiles inférieur et supérieur selon les données du tableau. 5.10. Le quartile inférieur se situe entre 60 et 80, dont la fréquence cumulée est de 33,5 %. Le quartile supérieur se situe entre 160 et 180 avec une fréquence cumulée de 75,8 %. En tenant compte de cela, nous obtenons :
,
.
En plus des quartiles, des déciles peuvent être déterminés dans les plages de variation de la distribution - options divisant les rangs série de variationsà dix heures parts égales. Le premier décile (d 1) divise la population dans un rapport de 1/10 à 9/10, le deuxième décile (d 1) - dans un rapport de 2/10 à 8/10, etc.
Ils sont calculés à l'aide des formules :

.
Les valeurs caractéristiques qui divisent la série en cent parties sont appelées centiles. Les ratios des médianes, quartiles, déciles et centiles sont présentés dans la Fig. 5.5.

Résoudre des problèmes sur le thème : « Caractéristiques statistiques. Moyenne arithmétique, étendue, mode et médiane

Algèbre-

7e année

Information historique

Moyenne arithmétique, plage et mode sont utilisés en statistique - une science qui s'occupe de l'obtention, du traitement et de l'analyse de données quantitatives sur une variété de phénomènes de masse se produisant dans la nature et la société.
Le mot « statistiques » vient du mot latin statut, qui signifie « état des choses ». Les statistiques étudient la taille des différents groupes de population du pays et de ses régions, la production et la consommation
divers types de produits, transport de marchandises et de passagers par différents modes de transport, ressources naturelles, etc.
Les résultats des études statistiques sont largement utilisés pour des conclusions pratiques et scientifiques.

Moyenne– le quotient de la somme de tous les nombres divisé par le nombre de termes

Portée– la différence entre le plus grand et le plus petit nombre de cette série
Mode est le nombre qui apparaît le plus souvent dans un ensemble de nombres
Médian– d’une série ordonnée de nombres avec un nombre impair de termes est le nombre écrit au milieu, et la médiane d’une série ordonnée de nombres avec un nombre pair de termes est la moyenne arithmétique des deux nombres écrits au milieu. La médiane d’une série arbitraire de nombres est la médiane de la série ordonnée correspondante.