Nom du projet

Bref résumé du projet

Le projet a été préparé en utilisant la technologie de conception. Mis en œuvre dans le cadre du programme de géométrie de 8e année sur le thème « Signes de similitude des triangles ». Le projet comprend un volet information et recherche. Le travail analytique avec l'information systématise la connaissance de ces chiffres. La recherche indépendante des étudiants, ainsi que les connaissances, compétences et aptitudes pratiques acquises, leur apprennent à comprendre l'importance de ce matériel théorique lors de son application dans la pratique. Tâches didactiques aidera à surveiller le degré d'assimilation du matériel pédagogique.

Questions d'orientation

La question fondamentale est : « La nature parle-t-elle le langage de la similitude ? »

"Est-il possible de trouver des exemples de similitude autour de nous ?", "Comment puis-je mesurer la hauteur de ma maison ?", "Pourquoi de tels triangles sont-ils nécessaires ?"

Plan de projet

1.Brainstorming (formation des sujets de recherche des étudiants).

2. Formation de groupes pour mener des recherches, émettre des hypothèses, discuter des moyens de résoudre des problèmes.

3.Choix d'un nom créatif pour le projet.

4. Discussion du plan de travail théorique et pratique des étudiants du groupe.

5. Discussion avec les étudiants sur les sources d'information possibles.

6. Travail indépendant des groupes.

7. Les étudiants préparent des présentations et des rapports sur les rapports d'avancement.

8. Présentation des travaux de recherche.

XXVconcours municipal anniversaire de l'éducation et de la recherche
travaux des étudiants

Département de l'éducation de l'administration municipale de Kungur

Société scientifique des étudiants

section

Géométrie

École secondaire Kustova Ekaterina MAOU n°13

8 "a"

Superviseur:

Gladkikh Tatiana Grigorievna

Lycée MAOU n°13

professeur de mathématiques

catégorie la plus élevée

Koungour, 2017

TABLE DES MATIÈRES

Introduction………………………………………………………………………………3

Chapitre 1. Ressemblance incomparable

1.1. De l'histoire de la similitude……………………………………………………….5

1.2. La notion de similarité……………………………………………………………..6

1.3.Méthodes de mesure d'objets utilisant la similarité

1.3.1. La première façon de mesurer la hauteur d'un objet………………………….8

1.3.2. La deuxième façon de mesurer la hauteur d'un objet………………………….9

1.3.3. La troisième façon de mesurer la hauteur d'un objet…………………………..11

2.1. Mesurer la hauteur d'un objet……………………………………………………………..12

2.1.1. Le long de l’ombre………………………………….. ………………………12

2.1. 2. Utiliser une perche………………………………………………………13

2.1.3. Utiliser un miroir……………………………………………………...13

2.1.4. Ce que le sergent a fait………………………………………………………………...14

2.1.5. Rester à l'écart de l'arbre…………………………………………….16

2.2. Nettoyage du bassin. ……………………………………………………………………..............17

2.2.1. Méthodes de nettoyage des plans d'eau……………………………………………..17

2.2.2. Mesure de la largeur du bassin………………………………………………………18

Conclusion ……………………………………………………………………………………… …..22

Références……………………………………………………………...23



Un semblant de beauté

Parfois, nous ne le remarquons pas

Nous disons "Comme la Divinité"

Impliquant un idéal.



INTRODUCTION

Le monde dans lequel nous vivons est rempli de la géométrie des maisons et des rues, des montagnes et des champs, créations de la nature et de l'homme. La géométrie est née dans l'Antiquité. En construisant des habitations et des temples, en les décorant d'ornements, en marquant le sol, en mesurant les distances et les superficies, les gens appliquaient leurs connaissances sur la forme, la taille et position relative objets obtenus à partir d’observations et d’expériences. Presque tous les grands scientifiques de l’Antiquité et du Moyen Âge étaient d’éminents géomètres. La devise de l’école antique était : « Ceux qui ne connaissent pas la géométrie ne sont pas admis ! »

De notre temps connaissances géométriques on les trouve encore large application dans la construction, l'architecture, l'art, ainsi que dans de nombreuses industries. Dans les cours de géométrie, nous avons étudié le thème « Similitude des triangles » et j'étais intéressé par la question de savoir comment ce sujet pouvait être appliqué dans la pratique.

Souvenez-vous de l'œuvre de L. Caroll « Alice au pays des merveilles ». Quels changements se sont produits avec le personnage principal: tantôt il atteignait plusieurs pieds, tantôt il diminuait jusqu'à plusieurs pouces, restant cependant toujours lui-même. De quelle transformation du point de vue de la géométrie parlons-nous ? Bien sûr, à propos de la transformation de la similitude.

Objectif du travail :

Trouver le domaine d'application de la similitude des triangles dans la vie humaine.

Tâches:

1. Étudiez la littérature scientifique sur ce sujet.

2. Montrez l'utilisation de la similarité des triangles en utilisant l'exemple du travail de mesure.

Hypothèse. En utilisant les similitudes triangulaires, vous pouvez mesurer des objets réels.

Méthodes de recherche: recherche, analyse, modélisation mathématique.

Chapitre 1. Ressemblance incomparable

1.1.De l'histoire de la similitude

La similitude des chiffres repose sur le principe de relation et de proportion. L'idée de rapport et de proportion trouve son origine dans l'Antiquité. En témoignent les temples égyptiens antiques, les détails du tombeau de Ménès et les célèbres pyramides de Gizeh (IIIe millénaire avant JC), les ziggourats babyloniennes (tours de culte à gradins), les palais persans et d'autres monuments antiques. De nombreuses circonstances, notamment les caractéristiques architecturales, les exigences de commodité, d'esthétique, de technologie et d'efficacité dans la construction de bâtiments et de structures, ont donné lieu à l'émergence et au développement des concepts de rapport et de proportionnalité des segments, surfaces et autres quantités. Dans le papyrus « de Moscou », lorsqu'on considère le rapport entre la plus grande jambe et la plus petite dans l'un des problèmes sur un triangle rectangle, un signe spécial est utilisé pour le concept de « rapport ». Dans les Éléments d'Euclide, la doctrine des relations est énoncée deux fois. Le livre VII contient la théorie arithmétique. Cela s'applique uniquement aux quantités proportionnées et aux nombres entiers. Cette théorie a été créée sur la base de la pratique du travail avec des fractions. Euclide l'utilise pour étudier les propriétés des nombres entiers. Le livre V expose théorie générale relations et proportions, développées par Eudoxe. Elle est à la base de la doctrine de la similitude des figures, exposée dans le livre VI des Éléments, où se trouve la définition : « Les figures rectilignes semblables sont celles qui ont respectivement des angles égaux et des côtés proportionnels. »

Des figures de même forme, mais de tailles différentes, se retrouvent dans les monuments babyloniens et égyptiens. Dans la chambre funéraire survivante du père du pharaon Ramsès II, il y a un mur recouvert d'un réseau de carrés, à l'aide duquel des dessins agrandis de plus petites tailles sont transférés sur le mur.

La proportionnalité des segments formés sur des lignes droites coupées par plusieurs lignes droites parallèles était connue des scientifiques babyloniens. Bien que certains attribuent cette découverte à Thalès de Milet. L'ancien sage grec Thalès a déterminé la hauteur de la pyramide en Égypte six siècles avant JC. Il profita de son ombre. Les prêtres et le pharaon, rassemblés au pied de la pyramide, regardaient avec perplexité le nouveau venu du Nord, qui devinait dans l'ombre la hauteur de l'immense structure. Thalès, dit la légende, choisit le jour et l'heure où la longueur de son ombre était égale à sa taille ; à ce moment, la hauteur de la pyramide doit aussi être égale à la longueur de l'ombre qu'elle projette.

Une tablette cunéiforme a survécu jusqu'à ce jour, dans laquelle nous parlons de sur la construction de segments proportionnels en traçant des parallèles à l'une des branches d'un triangle rectangle.

1.2.La notion de similarité.

Dans la vie on rencontre non seulement chiffres égaux, mais aussi avec ceux qui ont la même forme, mais des tailles différentes. La géométrie appelle ces figures similaires.

Toutes les figures similaires ont la même forme, mais des tailles différentes.

Définition: Deux triangles sont dits similaires si leurs angles sont respectivement égaux et si les côtés d'un triangle sont proportionnels aux côtés similaires de l'autre.

Si le triangle ABC est semblable au triangle A 1 B 1 C 1 , alors les angles A, B et C sont respectivement égaux aux angles A 1, B1 et C1 ,
. Numéro k, égal au rapport Les côtés similaires de triangles similaires sont appelés coefficient de similarité.

Note 1: Triangles égaux similaire par le facteur 1.

Remarque 2 : Lors de la désignation de triangles similaires, leurs sommets doivent être ordonnés de manière à ce que leurs angles soient égaux par paire.

Remarque 3 : Les exigences énumérées dans la définition des triangles similaires sont redondantes.

Propriétés de triangles similaires

Le rapport des éléments linéaires correspondants de triangles similaires est égal au coefficient de leur similarité. Ces éléments de triangles similaires incluent ceux qui sont mesurés en unités de longueur. Ce sont par exemple le côté d'un triangle, le périmètre, la médiane. L'angle ou la surface ne s'appliquent pas à de tels éléments.

Le rapport des aires de triangles similaires est égal au carré de leur coefficient de similarité.

Signes de similitude des triangles .

Si deux angles d’un triangle sont respectivement égaux à deux angles d’un autre, alors ces triangles sont similaires.

Si deux côtés d’un triangle sont proportionnels aux deux côtés d’un autre triangle et que les angles entre ces côtés sont égaux, alors les triangles sont semblables.

Si trois côtés d’un triangle sont proportionnels aux trois côtés d’un autre triangle, alors les triangles sont semblables.

1.3.Méthodes de mesure d'objets à l'aide de caractéristiques de similarité

1.3.1. Première façon mesurer la hauteur d'un objet

Par une journée ensoleillée, il n’est pas difficile de mesurer la hauteur d’un objet, par exemple un arbre, par son ombre. Il suffit de prendre un objet (par exemple un bâton) d'une longueur connue et de le placer perpendiculairement à la surface. Ensuite, une ombre tombera de l'objet. Connaissant la hauteur du bâton, la longueur de l'ombre du bâton, la longueur de l'ombre de l'objet dont nous mesurons la hauteur, nous pouvons déterminer la hauteur de l'objet. Pour ce faire, il est fastidieux de considérer la similitude de deux triangles. N'oubliez pas : les rayons du soleil tombent parallèlement les uns aux autres.

Parabole

« Un étranger fatigué est venu au pays du Grand Hapi. Le soleil se couchait déjà lorsqu'il s'approcha du magnifique palais du pharaon. Il a dit quelque chose aux domestiques. En un instant, les portes lui furent ouvertes et il fut conduit dans la salle de réception. Et ici, il se tient dans un manteau de voyage poussiéreux, et devant lui est assis le pharaon sur un trône doré. À proximité se trouvent des prêtres arrogants, gardiens des grands secrets de la nature.

À alors vous? – a demandé le grand prêtre.

Je m'appelle Thalès. Je suis originaire de Milet.

Le curé reprit avec arrogance :

C'est donc vous qui vous êtes vanté de pouvoir mesurer la hauteur de la pyramide sans la gravir ? – Les prêtres se sont pliés de rire. "Ce serait bien," poursuivit le prêtre d'un ton moqueur, "si vous faites une erreur de pas plus de 100 coudées."

Je peux mesurer la hauteur de la pyramide et ne m'écarter que d'une demi-coudée. Je le ferai demain.

Les visages des prêtres s'assombrirent. Quel culot! Cet étranger prétend qu’il peut comprendre ce qu’eux, les prêtres de la grande Égypte, ne peuvent pas comprendre.

"D'accord", dit le Pharaon. – Il y a une pyramide près du palais, on connaît sa hauteur. Demain, nous vérifierons votre art.

Le lendemain, Thalès trouva un long bâton et l'enfonça dans le sol un peu plus loin de la pyramide. J'ai attendu un certain moment. Il a pris quelques mesures, a expliqué comment déterminer la hauteur de la pyramide et a nommé sa hauteur. Qu'a dit Thalès ?

Les mots de Thalès : Lorsque l'ombre du bâton est devenue de la même longueur que le bâton lui-même, alors la longueur de l'ombre depuis le centre de la base de la pyramide jusqu'à son sommet a la même longueur que la pyramide elle-même.

1.3.2.Deuxième méthode mesurer la hauteur d'un objeta été largement décrite par Jules Verne dans le roman « L’Île mystérieuse ». Cette méthode peut être utilisée lorsqu’il n’y a pas de soleil et que les ombres des objets ne sont pas visibles. Pour mesurer, vous devez prendre une perche de longueur égale à votre taille. Cette perche doit être installée à une distance telle de l'objet qu'en position couchée, vous puissiez voir le haut de l'objet en ligne droite avec le point supérieur de la perche. Ensuite, la hauteur de l'objet peut être trouvée en connaissant la longueur de la ligne tracée depuis votre tête jusqu'à la base de l'objet.

Extrait du roman.

"Aujourd'hui, nous devons mesurer la hauteur du site de Far Rock", a expliqué l'ingénieur.

Aurez-vous besoin d’un outil pour cela ? – a demandé Herbert.

Non, vous n'en aurez pas besoin. Nous agirons un peu différemment, en nous tournant vers une méthode tout aussi simple et précise. Le jeune homme, cherchant peut-être à en apprendre davantage, suivit l'ingénieur qui descendit du mur de granit jusqu'au bord du rivage.

Prenant une perche droite de 12 pieds de long, l'ingénieur la mesura le plus précisément possible, en la comparant à sa taille, qui lui était bien connue. Herbert portait derrière lui le fil à plomb que lui avait remis l'ingénieur : juste une pierre attachée au bout d'une corde. N'atteignant pas 500 pieds du mur de granit qui s'élevait verticalement, l'ingénieur enfonça un poteau à environ deux pieds dans le sable et, l'ayant solidement renforcé, le plaça verticalement à l'aide d'un fil à plomb. Puis il s'éloigna du poteau à une telle distance que, allongé sur le sable, il put voir à la fois l'extrémité du poteau et le bord de la crête en une seule ligne droite. Il marqua soigneusement ce point avec un piquet et mesura les deux distances. La distance du piquet au bâton était de 15 pieds et du bâton au rocher de 500 pieds.

« Connaissez-vous les rudiments de la géométrie ? – demanda-t-il à Herbert en se levant de terre. Vous souvenez-vous des propriétés de triangles similaires ?

-Oui.

-Leurs côtés similaires sont proportionnels.

-Droite. Donc : maintenant je vais construire 2 triangles rectangles similaires. Le plus petit aura un poteau vertical d’un côté et la distance entre le piquet et la base du poteau de l’autre ; L'hypoténuse est ma ligne de mire. Un autre triangle aura des pattes : mur pur, dont on veut déterminer la hauteur, et la distance du piquet à la base de ce mur ; l'hypoténuse est ma ligne de mire, coïncidant avec la direction de l'hypoténuse du premier triangle. ...Si nous mesurons deux distances : la distance du piquet à la base du poteau et la distance du piquet à la base du mur, alors, connaissant la hauteur du poteau, nous pouvons calculer le quatrième terme inconnu de la proportion, c'est-à-dire de la hauteur du mur. Les deux distances horizontales ont été mesurées : la plus petite était de 15 pieds, la plus grande était de 500 pieds. A la fin des mesures, l'ingénieur a fait l'inscription suivante :

15:500 = 10:x ; 500 x 10 = 5 000 ; 5000 : 15 = 333,3.

Cela signifie que la hauteur du mur de granit était de 333 pieds.

1.3.3.Troisième méthode

Déterminer la hauteur d'un objet à l'aide d'un miroir.

Le miroir est placé horizontalement et reculé jusqu'à un point où, debout, l'observateur voit la cime d'un arbre dans le miroir. Un rayon de lumière FD, réfléchi par un miroir au point D, pénètre dans l'œil humain. L'objet mesuré, par exemple un arbre, sera d'autant plus grand que vous que la distance entre lui et le miroir est supérieure à la distance entre le miroir et vous. Rappel : l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion (loi de réflexion).

 UN B D similaire  EFD (aux deux coins) :

 Virginie D =  NOURRIS =90°;

UN D B =  EDF , parce que L'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion.

Dans des triangles semblables, les côtés semblables sont proportionnels :

Chapitre 2. Utiliser la similarité triangulaire dans la pratique

2. 1. Mesurer la hauteur d'un objet

Prenons un arbre comme objet à mesurer.

2.1.1. Par longueur d'ombre

Cette méthode est basée sur une méthode Thales modifiée, qui permet d'utiliser une ombre de n'importe quelle longueur. Pour mesurer la hauteur d’un arbre, vous devez planter un poteau dans le sol à une certaine distance de l’arbre.

UN B– hauteur des arbres

AVANT JC.– longueur de l'ombre de l'arbre

UN 1 B 1 – hauteur du poteau

B 1 C 1 – longueur de l'ombre du poteau

B = < B 1 parce que l'arbre et le poteau sont perpendiculaires au sol.

< UN = < UN 1 parce qu'on peut considérer les rayons du soleil tombant sur la terre comme parallèles, car l'angle entre eux est extrêmement petit, presque imperceptible =>

Le triangle ABC est semblable au triangle A 1 B 1 C 1 .

Après avoir pris les mesures nécessaires, on peut connaître la hauteur de l’arbre.

UN B= Soleil.

A 1 B 1 B 1 C 1

AB = UN 1 DANS 1 ∙ Soleil.

B1C1

2.1.2 Utilisation d'un poteau

Un poteau à peu près égal à la taille d’une personne est planté verticalement dans le sol. L'emplacement du poteau doit être choisi de manière à ce qu'une personne allongée au sol puisse voir la cime de l'arbre en ligne droite avec la pointe supérieure du poteau.

ADE parce que< B = < D(respectif),< UN– général =>

ANNONCE = ED ,ED=AD∙BC .

UN BAVANT JC.UN B

À PROPOS

UN

B

C

UN 1

C 1

déterminer la hauteur par l'ombre.

UN 1 B 1 =1,6 m

UN 1 AVEC 1 =2,8 m

CA=17 m

2.1.3. Utiliser un miroir.

A quelque distance de l'arbre, un miroir est placé sur un sol plat, et ils s'en éloignent jusqu'à un point où l'observateur, debout, voit la cime de l'arbre.

AB – hauteur de l'arbre

AC – distance de l’arbre au miroir

CD– distance de la personne au miroir

ED- taille d'homme.

Le triangle ABC est semblable à un triangleDÉC parce que

< UN = < D(perpendiculaire)

< B.C.A. = < DPE(car selon la loi de réflexion de la lumière, l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion.)

A.C. = UN B ,

DC ED

AB =AC∙ED.

À PROPOS
déterminer la hauteur d'un objet à l'aide d'un miroir.

AB=1,5 m

DE=12,5 m

AD = 2,7 m

2.1.4. Qu'est-ce que le Sgt.

Certaines des méthodes décrites ci-dessus pour mesurer la hauteur ne sont pas pratiques car elles nécessitent de s'allonger sur le sol. Vous pouvez bien entendu éviter cet inconvénient.

C'est ainsi qu'il en était autrefois sur l'un des fronts du Grand Guerre patriotique. L'unité du lieutenant Ivanyuk a reçu l'ordre de construire un pont sur une rivière de montagne. Les nazis s'installèrent sur la rive opposée. Pour la reconnaissance du chantier de construction du pont, le lieutenant a affecté un groupe de reconnaissance dirigé par un sergent supérieur. Dans une zone forestière voisine, ils ont mesuré le diamètre et la hauteur des arbres les plus typiques pouvant être utilisés pour la structure.

La hauteur des arbres a été déterminée à l'aide d'une perche comme indiqué sur la figure.

Cette méthode est la suivante.

Après avoir équipé une perche plus haute que vous, plantez-la verticalement dans le sol à une certaine distance de l'arbre mesuré. Éloignez-vous du poteau, pour continuerJjà cet endroit UN, d'où, en regardant le sommet de l'arbre, vous verrez le point le plus haut sur la même ligne que luibpôle Puis, sans changer la position de votre tête, regardez dans la direction de la droite horizontale aC, en remarquant les points c et C, où la ligne de vision rencontre le mât et le tronc. Demandez à votre assistant de prendre des notes à ces endroits, et l'observation est terminée.

< C = < cparce que l'arbre et le poteau sont perpendiculaires

< B = < bcar l'angle sous lequel une personne regarde l'arbre et le poteau est le même => triangleabcsemblable à un triangleabc

=> AVANT JC. = CA , avant JC = avant JC ∙CA .

Avant JCcaca

Distance avant JC, CAet AC est facile à mesurer directement. À la valeur résultante BC, vous devez ajouter la distanceCD(qui est également mesuré directement) pour connaître la hauteur d'arbre souhaitée.

2.1.5 . Ne vous approchez pas de l'arbre.

Il arrive que, pour une raison quelconque, il soit gênant de s'approcher de la base de l'arbre mesuré. Est-il possible de déterminer sa hauteur dans ce cas ?

Tout à fait possible. A cet effet, un dispositif ingénieux a été inventé et facile à réaliser soi-même. Deux bandesannonce et avec dfixé à angle droit afin queun Bégalé avant JC, UN bdétait à moitiéannonce. C'est tout l'appareil. Pour mesurer sa hauteur, tenez-le dans vos mains, face à la barreCDverticalement (pour lequel il comporte un fil à plomb - une corde avec un poids), et devient séquentiel à deux endroits : d'abord au point A, où l'appareil est placé avec l'extrémité vers le haut, puis au point A', plus loin, où l'appareil est tenu avec la fin vers le hautd. Le point A est choisi de telle sorte que, en regardant de a à l'extrémité c, on le voie sur la même ligne droite que la cime de l'arbre. Arrêt complet

et A` est trouvé tel que, en regardant depuis a` au pointd`, voyez-le coïncider avec V.

Le triangle BC est semblable à un trianglecca parce que

< C = < b(perpendiculaire)

< B = < c(l'observateur regarde sous le même angle)

Le triangle BCa` est semblable à un triangleb` d` un` parce que

< C = < b` (perpendiculaire)

< B = < d` (l'observateur regarde sous un angle)

Toute la mesure consiste à trouver deux points A et A`, car la partie souhaitée BC est égale à la distance AA`. L'égalité découle du fait que aC = BC, puisque le triangleabcisocèle (par construction). Donc le triangleabcisocèle. un`C = 2 AVANT JC.découle de relations dans des triangles similaires ; Moyens,un` C – CA = AVANT JC..

À PROPOS
déterminer la hauteur à l’aide d’un triangle isocèle rectangle.

CD = UN B + BD

UN B = 8,9 m

BD =1,2 m

AVEC D =8,9+1,2≈10m

2.2. Nettoyage du bassin.

Dans le village de Kirova il y a un étang très pollué. Nous avons décidé de découvrir comment le nettoyer.

2.2.1.Méthodes de nettoyage des plans d'eau.

Le nettoyage des réservoirs est effectué par des méthodes mécanisées, hydromécanisées, explosives et manuelles. La plus courante de toutes les méthodes est mécanique. Cette méthode consiste à nettoyer avec une drague.

Drague NSS – 400/20 – GRProductivité (récupération des sols) : 800 m/cube par équipe. Dimensions : longueur 10 m, largeur 2,7 m, hauteur 3,0 m.Poids : 17 tonnes. Pipeline à lisier : 100 m (dont 50 m flottant, 50 m à terre). La drague est équipée d'une flèche. Longueur de flèche - 10 m, avec lavage hydraulique (alimentation 60 m3/m3 par heure d'eau à une pression de 40 m, puissance de la pompe 7 kW).Moteur : D-260-4. 01 (210 l/s, consommation de carburant - 14 l/h, vitesse de rotation - 1800 tr/min). Pompe : GRAU 400/20. Caractéristiques techniques de la pompe : débit de sol 10-30% par heure, pression de la colonne d'eau - 20m, puissance maximale - 75 kW, vitesse de rotation - 950 tr/min. Une drague de cette modification soulève le sol d'une profondeur de réservoir de 1 à 9,5 m et le pousse à travers un pipeline à lisier jusqu'à 200 m. Diamètre du tuyau : 160 mm. Alimentation énergétique : autonome. Déplacement par treuils - 4 moteurs de 1,5 kW chacun.

Dans notre cas particulier, nous nous intéressons à la longueur de la flèche de la drague – 10 m.

2.2.2.Mesurer la largeur de l'étang.

Les propriétés de tels triangles peuvent être utilisées pour effectuer diverses mesures sur le terrain. Nous examinerons une tâche : déterminer la distance jusqu'à un point inaccessible. À titre d'exemple, nous essaierons de mesurer la largeur d'un étang à l'aide de caractéristiques de similarité triangulaire.

Ainsi, à l’aide de quelques instruments et calculs, nous nous mettons au travail. Pour obtenir des résultats plus précis, nous avons mesuré l'étang à deux endroits.

Supposons que nous devions trouver la distance entre le point A du rivage sur lequel nous nous trouvons et le pointBsitué sur la rive opposée de la rivière. Pour ce faire, nous sélectionnons le point C sur « notre » rivage, en mesurant simultanément le segment AC résultant. Ensuite, à l'aide d'un astrolabe, on mesure les angles A et C. On construit un triangle sur une feuille de papier A1B1C1 , de sorte qu'on observe 1 critère de similarité des triangles (à 2 angles). Coin Un 1 est égal à l'angle A et l'angleC 1 égal à l'angleC. Mesurer les côtés Un 1 B 1 Et Un 1 C 1 Triangle A1B1C1 .Depuis les trianglesabcEt A1B1C1 sont semblables, alorsUN B/ Un 1 B 1 = A.C./ Un 1 C 1 , où nous obtenonsUN B = A.C.* Un 1 B 1 / Un 1 C 1 Cette formule permet, en fonction des distances connuesA.C., Un 1 C 1 Et Un 1 B 1 trouver la distanceUN B.

Dispositifs:

Astrolabe, règle de démonstration (ou par exemple une corde d'environ 4 m de long).

Mesures préliminaires :

Nous avons mesuré l'étang à deux endroits, nous allons donc décrire chaque mesure tour à tour.

1) Prendre n'importe quel point de la rive opposée, situé à proximité de la limite de l'étang et du sol, par exemple un petit trou ou, si préparé à l'avance, un piquet enfoncé dans le sol, une borne kilométrique.

Il s'est avéré qu'il faisait 88 degrés, nous avons le premier angle. De la même manière, en plaçant l'appareil sur le point C, situé à une distance, dans notre cas, de 4 mètres du point A, on mesure l'angle C. 70 degrés. Et c’est là que se sont arrêtées les mesures.

2) Au deuxième endroit, où nous avons mesuré la largeur de la rivière, nous avons obtenu des angles approximativement égaux au premier cas : A = 90, C = 70 degrés.

Calculs :

Dessine un triangleUN 1 B 1 C 1 , dans lequel l'angle Un 1 =88, et l'angleC 1 =70 degrés. Segment de ligneUN 1 C 1 , pour faciliter la mesure, nous prenons égal à 4 centimètres. Maintenant, nous mesurons le segmentUN 1 B 1 . Il s'est avéré qu'il mesurait environ 11 cm. Nous convertissons les résultats en mètres et les collectons proportionnellement :

UN B/UN 1 B 1 = CA/UN 1 C 1

UN B-? ;UN 1 B 1 =0,11 m; CA=4m; UN 1 C 1 =0,04 m.

Nous exprimonsUN B:

AB =AC*UN 1 B 1 / UN 1 C 1 ;

UN B=4*0,11/0,04;

AB=0,44/0,04=11m

Ainsi, dans le premier cas, la largeur de l'étang est de 11 m.

En suivant la même méthode, on retrouve tous les côtés et on fait la proportion. Mais les résultats, puisque les angles sont à peu près égaux, se sont avérés les mêmes. Nous avons donc mesuré la largeur de l'étang à deux endroits et avons obtenu un résultat : 11 mètres.

J'ai indiqué plus tôt que la longueur de la flèche de la drague est de 10 mètres, soit il suffit amplement de nettoyer l'étang d'une rive.

Donc, mon hypothèse est que la géométrie, et dans ce cas la similitude des triangles, aide à résoudre problèmes sociaux droite. J'ai prouvé qu'à l'aide de similitudes, on pouvait calculer la hauteur des bâtiments et la largeur d'un étang.

Après tout, parfois vous voulez vraiment que votre coin natal, l'endroit dans lequel vous et moi vivons, brille de nouvelles couleurs et vous rende fier. Je veux descendre n’importe où dans une rivière ou un étang et me baigner sans craindre pour ma santé. Je voudrais être fier de ma petite patrie. Et pour cela, nous devons tous essayer. Tout est entre nos mains.

J'ai exploré différentes façons de mesurer la hauteur et la largeur d'objets au sol en utilisant les similitudes triangulaires.

Conclusion

J'ai beaucoup appris sur l'utilisation des similitudes triangulaires.

Comment trouver la distance jusqu'à un point inaccessible ? Comment trouver la distance entre deux points inaccessibles A et B en construisant des triangles similaires ? Comment trouver la hauteur d'un objet dont on peut approcher la base ?

La résolution de tels problèmes contribue au développement de la pensée logique, à la capacité d'analyser une situation et à l'utilisation de la méthode de similarité des triangles pour les résoudre, améliorant ainsi la culture mathématique et développant les capacités mathématiques.Vous pouvez utiliser le matériel géométrique que j'ai révisé aussi bien dans les cours de géométrie et de physique, qu'en préparation au brevet final d'État,

La géométrie est une science qui possède toutes les propriétés du verre cristallin, également transparente dans le raisonnement, impeccable dans les preuves, claire dans les réponses, combinant harmonieusement la transparence de la pensée et la beauté de l'esprit humain. La géométrie n'est pas une science entièrement comprise et de nombreuses découvertes vous attendent peut-être.

Littérature:

1. Glazer G.I. Histoire des mathématiques à l'école 7-8. - M. : Éducation, 1982.-240 p.

2. Savin A.P. J'explore le monde - M. : LLC Publishing House AST-LTD, 1998.-480 p.

3. Savin A.P. Dictionnaire encyclopédique jeune mathématicien. - M. : Pédagogie, 1989, - 352 p.

4. Atanasyan L.S. et autres Géométrie 7-9 : Manuel. pour l'enseignement général établissements. - M. : Éducation, 2005, -245 p.

5. G.I. Bavrin. Excellent ouvrage de référence pour les écoliers. Mathématiques. M. outarde. 2006 435s

6.Oui. I. Perelman. Géométrie intéressante. Domodedovo. 1994 11-27s.

7. http:// canégor. urc. ca. ru/ zg/59825123. HTML

Le travail est basé sur l'étude de la possibilité d'utiliser la similitude des triangles dans la vie réelle, des expériences ont été réalisées sur la mesure de longueur à l'aide d'un altimètre.

"11Sushko-t.doc"

SIMILARITÉ DES TRIANGLES DANS LA VRAIE VIE

Sushko Daria Olegovna

élève de 8ème année

KU "SST"je - III marches n°11, Yenakievo"

Ikaeva Marina Alexandrovna

Professeur de mathématiques,II catégorie

KU "SST"je - III marches n°11, Yenakievo"

[email protégé]

La géométrie est née dans l'Antiquité. Le monde dans lequel nous vivons aujourd’hui est également rempli de géométrie. Tous les objets qui nous entourent ont formes géométriques. Ce sont des bâtiments, des rues, des usines, des articles ménagers. La pertinence de mon sujet réside dans le fait que sans aucun outil, en s'appuyant uniquement sur la similitude des triangles, on peut mesurer la hauteur d'un pilier, d'un clocher, d'un arbre, la largeur d'une rivière, d'un lac, d'un ravin, la longueur d'un île, la profondeur d'un étang, etc.

Le but du travail était de trouver des domaines d'application de la similarité triangulaire dans vrai vie.

Les objectifs du travail étaient

Objets et sujets de recherche : hauteur : pilier ; arbre, modèle pyramidal.

Au cours des travaux, les méthodes suivantes ont été utilisées : revue de la littérature, Travaux pratiques, comparaison.

Le travail est de nature orientée vers la pratique, puisque importance pratique le travail est la possibilité d'utiliser les résultats de la recherche dans les cours de géométrie, dans Vie courante.

À la suite du travail, des mesures de la hauteur d'un poteau, d'un arbre et des modèles réalisés par l'auteur ont été pris.

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Contenu:

Introduction

Le concept de similitude des chiffres. Signes de similitude.

4.1 Détermination de la hauteur par ombre

4.2. Mesurer la hauteur selon la méthode Jules Verne

4.3. Mesurer la hauteur à l'aide d'un altimètre

5. Conclusions

Introduction.

La géométrie est née dans l'Antiquité. En construisant des habitations et des temples, en les décorant d'ornements, en marquant le sol, en mesurant les distances et les superficies, les gens appliquaient leurs connaissances sur la forme, la taille et la position relative des objets, obtenues à partir d'observations et d'expériences. Le monde dans lequel nous vivons aujourd’hui est également rempli de géométrie. Tous les objets qui nous entourent ont des formes géométriques. Ce sont des bâtiments, des rues, des usines, des articles ménagers. Dans la vie de tous les jours, on rencontre souvent des figures de même forme, mais de tailles différentes. De telles figures en géométrie sont appelées similaires. Mon travail est consacré à la similitude des triangles, car, en étudiant ce sujet dans les cours de mathématiques, je me suis intéressé à la manière dont le concept de similitude des triangles et les signes de similitude sont utilisés dans la pratique. La pertinence de mon sujet est que sans aucun outil, on peut mesurer la hauteur d'un pilier, d'un clocher, d'un arbre, la largeur d'une rivière, d'un lac, d'un ravin, la longueur d'une île, la profondeur d'un étang, etc.

Les objectifs de mon travail étaient

étudier la littérature sur ce sujet ;

étudier l'histoire du concept de similarité ;

découvrez où la similitude des triangles est utilisée ;

mesurer la hauteur du pilier en utilisant la similitude des triangles de différentes manières ;

2. La légende de Thalès mesurant la hauteur de la pyramide.

Il y a beaucoup à faire avec la pyramide. histoires mystérieuses et légendes. Par une chaude journée, Thalès et le grand prêtre du temple d'Isis passèrent devant la pyramide de Khéops.

"Regardez, continua Thalès, à ce moment précis, quel que soit l'objet que l'on prend, son ombre, si on la place verticalement, est exactement à la même hauteur que l'objet !" Pour utiliser l'ombre pour résoudre le problème de la hauteur de la pyramide, il fallait déjà en connaître quelques-unes. propriétés géométriques triangles, à savoir les deux suivants (dont Thalès lui-même a découvert le premier) :

1. Que les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux, et vice versa - que les côtés opposés aux angles égaux du triangle sont égaux entre eux ; 2. Que la somme des angles d'un triangle quelconque est égale à deux angles droits.

Seul Thalès, fort de cette connaissance, avait le droit de conclure que lorsque sa propre ombre est égale à sa hauteur, les rayons du soleil rencontrent le sol plat selon un angle d'une demi-droite, et donc le sommet de la pyramide, le milieu de sa base et la fin de son ombre doivent marquer un triangle isocèle. Ce d'une manière simple Il semblerait très pratique d'utiliser par temps clair et ensoleillé pour mesurer des arbres solitaires, dont l'ombre ne se confond pas avec celle des voisins. Mais sous nos latitudes, il n'est pas aussi facile qu'en Égypte d'attendre le bon moment pour cela : notre soleil est bas au-dessus de l'horizon et les ombres sont égales à la hauteur des objets qui les projettent uniquement dans l'après-midi des mois d'été. . La méthode de Thales sous la forme indiquée n’est donc pas toujours applicable.

La doctrine de la similitude des figures, basée sur la théorie des relations et des proportions, a été créée en La Grèce ancienne aux V-IV siècles. avant JC e. Elle est exposée dans le livre VI des Éléments d’Euclide (IIIe siècle avant JC), qui commence par la définition suivante : « Les figures rectilignes semblables sont celles qui ont respectivement des angles égaux et des côtés proportionnels. »

3. Le concept de figures similaires.

Dans la vie, nous rencontrons non seulement des figures égales, mais aussi celles qui ont la même forme, mais des tailles différentes. La géométrie appelle ces figures similaires. Les triangles semblables sont des triangles dans lesquels les angles sont respectivement égaux et les côtés de l'un sont proportionnels aux côtés similaires de l'autre triangle. Les caractéristiques de similarité triangulaire sont des caractéristiques géométriques qui vous permettent d'établir que deux triangles sont similaires sans utiliser tous les éléments.

Signes de similitude des triangles.

4. Mesurer le travail en utilisant la similarité.

4.1. Détermination de la hauteur par ombre.

J'ai décidé de mener une expérience pour déterminer la hauteur par l'ombre.

Pour cela il me fallait : une lampe de poche, une maquette de pyramide et une figurine. Faire une pyramide miniature pour des expériences n'est pas difficile. J'avais besoin : d'une feuille de papier ; crayon; règle; ciseaux; colle pour papier. Sur une feuille de papier, j'ai construit un diagramme pyramidal, à la base duquel se trouve un carré de 7,6 cm de côté, et les bords du réservoir sont égaux triangles isocèles avec un côté de 9,6 cm. La hauteur de la pyramide résultante est de 7,9 cm. La hauteur de la figurine est de 8,1 cm. Essayons de mesurer la hauteur de cette pyramide par son ombre, en utilisant également l'ombre de la figurine. Par une journée ensoleillée, j'ai mesuré l'ombre de la pyramide et de la figure. J'ai compris : 15 cm - l'ombre de la figure, 13 cm - l'ombre de la pyramide.

Construisons un modèle géométrique de ce problème :

, ∠ АСО= ∠ MLK comme angles d'incidence des rayons du soleil, c'est-à-dire sous deux angles.

Trouvons maintenant la hauteur de la pyramide d'une autre manière pour comparer les résultats. Trouvons la hauteur de la face latérale : AB=

De là on trouve la hauteur AO =

Nous avons obtenu des résultats presque identiques. Ayant reçu ces résultats, j'ai décidé de mesurer la hauteur du poteau en sortant.

J'ai choisi un pilier d'où tombait une ombre claire et je l'ai mesuré. Elle mesurait 21 mètres, puis je me plaçais à côté du poteau et mon assistant mesurait mon ombre, elle mesurait 4,5 mètres. Ma taille, compte tenu du fait que je portais des chaussures et un chapeau, était de 1,6.

Trouvons la hauteur du pilier en créant un modèle géométrique du problème.

Considérons KO - la longueur de mon ombre, BC - la longueur de l'ombre du pilier. AB – celui souhaité.

∠АВС=∠МКО= comme angles d'incidence des rayons du soleil.

4.2. Mesurer la hauteur d'une pyramide selon la méthode Jules Verne.

« L'Île mystérieuse » décrit une manière intéressante de déterminer la hauteur : « Le jeune homme, essayant d'en apprendre le plus possible, suivit l'ingénieur qui descendit du mur de granit jusqu'au bord du rivage. Prenant un poteau droit de 12 pieds de long, l'ingénieur le mesura le plus précisément possible, en le comparant à sa propre taille, qu'il connaissait bien. Herbert portait derrière lui le fil à plomb que lui avait remis l'ingénieur : juste une pierre attachée au bout d'une corde. N'atteignant pas 500 pieds du mur de granit qui s'élevait verticalement, l'ingénieur enfonça un poteau d'environ deux pieds dans le sable et, l'ayant solidement renforcé, le plaça verticalement à l'aide d'un fil à plomb. une telle distance que, allongé sur le sable, il pouvait s'allonger en une seule ligne droite pour voir à la fois l'extrémité du poteau et le bord de la crête. il marqua soigneusement ce point avec une cheville.

Connaissez-vous les rudiments de la géométrie ? - demanda-t-il à Herbert en se levant de terre.

Vous souvenez-vous des propriétés de triangles similaires ?

Leurs côtés similaires sont proportionnels. - Droite. Donc : maintenant je vais construire deux triangles rectangles similaires. Le plus petit aura un poteau vertical sur une jambe et la distance entre le piquet et la base du poteau sur l'autre ; L'hypoténuse est ma ligne de mire. Les jambes d'un autre triangle seront : un mur vertical dont on veut déterminer la hauteur, et la distance du piquet à la base de ce mur ; l'hypoténuse est la ligne de visée qui coïncide avec la direction de l'hypoténuse du premier triangle.

Compris!" s'exclama le jeune homme. "La distance du piquet au poteau est liée à la distance du piquet à la base du mur, comme la hauteur du poteau est à la hauteur du mur." - Oui. Et donc, si nous mesurons les deux premières distances, alors, connaissant la hauteur du poteau, nous pouvons calculer le quatrième terme inconnu de la proportion, c'est-à-dire la hauteur du mur. On se passera donc de mesurer directement cette hauteur. Les deux distances horizontales ont été mesurées, la plus courte étant de 15 pieds et la plus longue de 500 pieds. A la fin des mesures, l'ingénieur a fait l'inscription suivante :

4.3 Détermination de l'altitude à l'aide d'un altimètre

La hauteur peut être mesurée avec un appareil spécial - un altimètre. Pour réaliser cet appareil vous aurez besoin de : Carton blanc épais, règle, stylo, crayon, ciseaux, fil, poids, aiguille.

7. Sur celui-ci, nous plions deux rectangles mesurant 3x5 cm sur les côtés et découpons deux trous de diamètres différents : un plus petit - près de l'œil, l'autre plus grand - afin de pointer vers le sommet de l'arbre. J'ai donc décidé de mener une expérience et de tester cette méthode de mesure de la hauteur d'un objet. Comme objet à mesurer, j'ai choisi un arbre poussant près de l'école.

Je me suis éloigné de 21 pas de l'objet à mesurer, soit EO = 6,3 m. J'ai mesuré les lectures de l'appareil, il indiquait 0,7. Je mesure 1,6 m, je dois trouver la hauteur de l'arbre.

Pour ce faire, nous allons construire un modèle géométrique de ce problème :

=

Ajoutons ma taille à la valeur résultante et obtenons : LV=LO+OB=3.71

1,6=5,31 – hauteur de l'arbre.

De plus, j'aurais pu commettre des erreurs dans l'utilisation de l'appareil. Erreurs dans l'utilisation et la fabrication de l'appareil :

1.Si vous ne pliez pas le rectangle supérieur à partir de la base, vous déterminerez de manière incorrecte la hauteur.

2.Lors de la mesure de la hauteur d'un objet, le poids doit viser une valeur de marquage spécifique.

3. La distance par rapport à l'objet mesuré doit être précise.

4. Appliquez avec précision des marquages ​​de 1 cm.

L'expérience a montré que la méthode de détermination de la hauteur d'un objet à l'aide d'un altimètre est plus précise et plus pratique.

5. Conclusions.

Littérature

5. Perelman Ya. I. Géométrie divertissante. – M. : Maison d'édition d'État de littérature technique et théorique, 1950
Il existe 3 façons de mesurer la hauteur d'un arbre.

1. Général Dictionnaire Langue russe [ Ressource électronique]. – Mode d'accès : http://tolkslovar.ru/p22702.html

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"Titre de page"

Établissement municipal " École polyvalenteÉtapes I -III n° 11, Enakievo"

"Les mathématiques autour de nous"

Travail créatif sur le sujet

"Similitude des triangles dans la vraie vie"

Effectué

élève de 8ème année

Souchko Daria

Superviseur

professeur de mathématiques

Ikaeva Marina Alexandrovna

Enakievo 2017

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"Similitude des triangles dans la vraie vie"

Établissement "École polyvalente des niveaux І-ІІІ n°11, Enakievo"

Concours de projets créatifs étudiants

"Les mathématiques autour de nous"

Travail créatif sur le sujet

"Similitude des triangles dans la vraie vie"

Effectué

élève de 8ème année

Souchko Daria

Superviseur

professeur de mathématiques

Ikaeva Marina Alexandrovna

Enakievo 2017

Le but de mon travail était de trouver des domaines d'application de la similarité triangulaire dans la vie réelle.

Les objectifs de mon travail étaient

• étudier la littérature sur ce sujet ;
• étudier l'histoire du concept de similarité ;
• découvrez où la similitude des triangles est utilisée ;
• mesurer la hauteur du pilier en utilisant la similitude des triangles de différentes manières ;

La légende de Thalès mesurant la hauteur de la pyramide

Par une chaude journée, Thalès et le grand prêtre du temple d'Isis passèrent devant la pyramide de Khéops.

Est-ce que quelqu'un sait quelle est sa hauteur ? - a-t-il demandé.

Non, mon fils, lui répondit le prêtre, les anciens papyrus ne nous ont pas conservé cela. "Mais vous pouvez déterminer la hauteur de la pyramide de manière très précise et immédiate !", s'est exclamé Thalès.

"Regardez, continua Thalès, à ce moment précis, quel que soit l'objet que l'on prend, son ombre, si on la place verticalement, est exactement à la même hauteur que l'objet !"

Concept similitudes Les figures

Les triangles semblables sont des triangles dans lesquels les angles sont respectivement égaux et les côtés de l'un sont proportionnels aux côtés similaires de l'autre triangle.

Deux figures sont dites similaires si elles sont converties l'une en l'autre par une transformation de similarité

Les caractéristiques de similarité triangulaire sont des caractéristiques géométriques qui vous permettent d'établir que deux triangles sont similaires sans utiliser tous les éléments.

Si deux angles d’un triangle sont respectivement égaux à deux angles d’un autre, alors ces triangles sont similaires.

Si deux côtés d’un triangle sont proportionnels aux deux côtés d’un autre triangle et que les angles entre ces côtés sont égaux, alors les triangles sont semblables.

Si trois côtés d’un triangle sont proportionnels aux trois côtés d’un autre triangle, alors les triangles sont semblables.

Mesurer la hauteur par ombre

Données initiales du problème : La longueur de l'ombre de la pyramide BC = 11 cm, la longueur de l'ombre de la figurine KL = 15 cm, la hauteur de la figurine KM = 8 cm, la base de la pyramide est un carré avec un côté de 7,6 cm.La hauteur de la pyramide AO est celle requise.

Considérons triangles rectangles AOS et MKL :

, ∠ АСО= ∠ МЛК comme angles d'incidence des rayons du soleil, c'est-à-dire sous deux angles.

Mesurer la hauteur d'un pilier par son ombre

Considérons, KO est la longueur de mon ombre, BC est la longueur de l'ombre du pilier. AB – celui souhaité.

∠ ABC = ∠ MKO = comme angles d'incidence des rayons du soleil.

Ainsi, j'ai obtenu une valeur approximative de la hauteur du pilier de 7,46 m.

Mesurer la hauteur selon la méthode Jules Verne

Cette méthode consiste à enfoncer un poteau dans le sol et à le poser sur le sol de manière à ce que l'extrémité supérieure du poteau et le haut de l'objet mesuré soient visibles. Mesurez la distance entre le poteau et l’objet, mesurez la hauteur du poteau et la distance entre le sommet de la tête de la personne et la base du poteau.

Dans le roman L'Île mystérieuse de Jules Verne, les deux distances horizontales ont été mesurées : la plus petite était de 15 pieds, la plus grande était de 500 pieds. A la fin des mesures, l'ingénieur a fait l'inscription suivante :

15 : 500 = 10 :x, 500 X 10 = 5 000, 5 000 : 15 = 333,3.

Mesurer la hauteur à l'aide d'un altimètre

1. Dessinez et découpez un carré de 15 x 15 cm dans du carton.

2. Divisez le carré en deux rectangles : 5x15 cm, 10x15 cm.

3. Divisez un rectangle de 10x15 cm en deux parties : 5 cm et 10 cm.

4. Sur la partie la plus grande d'une longueur de 10 cm, appliquez des divisions centimétriques et marquez-les. décimal, c'est-à-dire 0,1 ; ​​0,2, etc.

5. Au point E, utilisez une aiguille pour faire un trou et faites passer le fil et le poids à travers, puis attachez le fil à l'arrière.

6. Pour faciliter la visualisation, pliez le rectangle supérieur à partir de la base.

7. Sur celui-ci, nous plions deux rectangles mesurant 3x5 cm sur les côtés et découpons deux trous de diamètres différents : un plus petit - près de l'œil, l'autre plus grand - afin de pointer vers le sommet de l'arbre.

Mesurer la hauteur à l'aide d'un altimètre

Pour trouver la hauteur du LV, vous devez ajouter votre taille au LO.

LV=LO+OV=3,71+1,6=5,31 – hauteur de l'arbre.

Conclusions :

Après avoir terminé mon travail, j'ai appris qu'il existe de nombreux de diverses façons déterminer la hauteur d'un objet. J'ai mené une expérience pour déterminer la hauteur d'un objet par son ombre. J'ai réalisé le test chez moi sur une maquette de pyramide et de figurine, ainsi que dans la rue lors de la mesure de la hauteur d'un pilier. J'ai également examiné la méthode de Jules Verne pour déterminer la hauteur. J'ai étudié le concept d'un altimètre et fabriqué un appareil altimétrique, que j'ai utilisé en pratique pour mesurer la hauteur d'un objet sélectionné. Le moyen le plus pratique pour moi de mesurer la hauteur était d’utiliser un altimètre. Ainsi, les objectifs de mon travail ont été atteints. Nous pouvons affirmer avec certitude que la similitude des triangles est utilisée dans la vie réelle lors de la mesure du travail au sol.

Littérature:

1. Glazer G.I. Histoire des mathématiques à l'école. – M. : Maison d'édition « Prosveshcheniye », 1964.

2. Perelman Ya. I. Géométrie divertissante. – M. : Maison d'édition d'État de littérature technique et théorique, 1950.

3.J.Vern. L'Île Mystérieuse.- M : Maison d'édition de littérature jeunesse, 1980.

4. Géométrie, 7 – 9 : manuel. pour l'enseignement général institutions / L.S. Atanasyan, V.F. Butouzov, S.B. Kadomtsev et autres – 18e éd. – M. : Éducation, 2010 Matériels utilisés et ressources Internet.

5. Perelman Ya. I. Géométrie divertissante – M. : Maison d'édition nationale de littérature technique et théorique, 1950 Vous pouvez mesurer la hauteur d'un arbre de 3 manières.

1. Dictionnaire explicatif général de la langue russe [Ressource électronique]. - Mode d'accès: http://tolkslovar.ru/p22702.html

2. Figure 2 [Ressource électronique]. – Mode d'accès : http://www.dopinfo.ru

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