Entrez la fonction pour laquelle vous devez trouver l'intégrale

Après avoir calculé l'intégrale indéfinie, vous pouvez obtenir gratuitement SOLUTION DÉTAILLÉE l'intégrale que vous avez saisie.

Trouvons la solution de l'intégrale indéfinie de la fonction f(x) (la primitive de la fonction).

Exemples

Utilisation du diplôme
(carré et cube) et fractions

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Racine carrée

Carré(x)/(x + 1)

racine cubique

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Utiliser le sinus et le cosinus

2*péché(x)*cos(x)

arc sinus

X*arcsin(x)

arc cosinus

X*arccos(x)

Application du logarithme

X*log(x, 10)

Un algorithme naturel

Exposant

Tg(x)*péché(x)

Cotangente

Ctg(x)*cos(x)

Fractions irrationnelles

(carré(x) - 1)/carré(x^2 - x - 1)

Arctangente

X*arctg(x)

Arccotangente

X*arсctg(x)

Sinus et cosinus hyperboliques

2*sh(x)*ch(x)

Tangente hyperbolique et cotangente

Ctgh(x)/tgh(x)

Arc sinus et arccosinus hyperboliques

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Arctangente hyberbolique et arccotangente

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Règles de saisie des expressions et des fonctions

Les expressions peuvent être constituées de fonctions (les notations sont données dans ordre alphabétique): absolu(x) Valeur absolue X
(module X ou |x|) arccos(x) Fonction - arc cosinus de X arccosh(x) Arc cosinus hyperbolique de X arc sinus (x) Arc sinus de X arcsinh(x) Arc sinus hyperbolique de X arctan(x) Fonction - arctangente de X arctgh(x) Arctangente hyperbolique de X e e un nombre qui est approximativement égal à 2,7 exp(x) Fonction - exposant de X(comme e^X) journal(x) ou ln(x) Logarithme népérien de X
(Obtenir journal7(x), vous devez saisir log(x)/log(7) (ou, par exemple, pour log10(x)=log(x)/log(10)) pi Le nombre est "Pi", qui est approximativement égal à 3,14 péché(x) Fonction - Sinus de X cos(x) Fonction - Cosinus de X sinh(x) Fonction - Sinus hyperbolique de X matraque(x) Fonction - Cosinus hyperbolique de X carré(x) Fonction - Racine carrée depuis X carré(x) ou x^2 Fonction - Carré X bronzage(x) Fonction - Tangente de X tgh(x) Fonction - Tangente hyperbolique de X cbrt(x) Fonction - racine cubique de X

Les opérations suivantes peuvent être utilisées dans les expressions : Nombres réels entrez comme 7.5 , Pas 7,5 2*x- multiplications 3/x- division x^3- exponentiation x+7- ajout x-6- soustraction
Autres caractéristiques: étage(x) Fonction - arrondi X vers le bas (exemple floor(4.5)==4.0) plafond(x) Fonction - arrondi X vers le haut (exemple plafond(4.5)==5.0) signe(x) Fonction - Signe X erf(x) Fonction d'erreur (ou intégrale de probabilité) laplace(x) Fonction de Laplace

Le problème de trouver l'intégrale indéfinie d'une fonction fractionnaire rationnelle se résume à l'intégration de fractions simples. Par conséquent, nous vous recommandons de vous familiariser d'abord avec la section de la théorie de la décomposition des fractions en la plus simple.

Exemple.

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Solution.

Puisque le degré du numérateur de l'intégrande est égal au degré du dénominateur, on sélectionne d'abord la partie entière en divisant le polynôme par le polynôme avec une colonne :

C'est pourquoi, .

La décomposition de la fraction rationnelle propre résultante en fractions plus simples a la forme . Ainsi,

L’intégrale résultante est l’intégrale de la fraction la plus simple du troisième type. En regardant un peu plus loin, on constate que vous pouvez le prendre en le subsumant sous le signe différentiel.

Parce que , Que . C'est pourquoi

Ainsi,

Passons maintenant à la description des méthodes d'intégration de fractions simples de chacun des quatre types.

Intégration de fractions simples du premier type

La méthode d'intégration directe est idéale pour résoudre ce problème :

Exemple.

Trouver l'ensemble des primitives d'une fonction

Solution.

Trouvons l'intégrale indéfinie en utilisant les propriétés de la primitive, le tableau des primitives et la règle d'intégration.

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Intégration de fractions simples du deuxième type

La méthode d'intégration directe convient également pour résoudre ce problème :

Exemple.

Solution.

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Intégration de fractions simples du troisième type

Nous présentons d’abord l’intégrale indéfinie en somme :

On prend la première intégrale en la subsumant sous le signe différentiel :

C'est pourquoi,

Transformons le dénominateur de l'intégrale résultante :

Ainsi,

La formule d'intégration des fractions simples du troisième type prend la forme :

Exemple.

Trouver l'intégrale indéfinie .

Solution.

Nous utilisons la formule résultante :

Si nous n’avions pas cette formule, que ferions-nous :

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Intégration de fractions simples du quatrième type

La première étape consiste à le mettre sous le signe différentiel :

La deuxième étape consiste à trouver une intégrale de la forme . Les intégrales de ce type sont trouvées à l'aide de formules de récurrence. (Voir la section sur l'intégration à l'aide de formules de récurrence.) La formule récurrente suivante convient à notre cas :

Exemple.

Trouver l'intégrale indéfinie

Solution.

Pour ce type d'intégrande nous utilisons la méthode de substitution. Introduisons une nouvelle variable (voir section intégration ir fonctions rationnelles):

Après substitution on a :

Nous sommes arrivés à trouver l’intégrale d’une fraction du quatrième type. Dans notre cas nous avons des coefficients M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 Et n=3. Nous appliquons la formule récurrente :

Après remplacement inversé, nous obtenons le résultat :

L'intégration fonctions trigonométriques

1. Intégrales du formulaire sont calculés en transformant le produit de fonctions trigonométriques en une somme à l'aide des formules : Par exemple, 2. Intégrales de la forme , Où m ou n– un nombre positif impair, calculé en le subsumant sous le signe différentiel. Par exemple, 3. Intégrales du formulaire , Où m Et n–même les nombres positifs sont calculés à l'aide de formules pour réduire le degré : Par exemple, 4. Intégrales où sont calculés en changeant la variable : ou Par exemple, 5. Les intégrales de la forme sont alors réduites aux intégrales de fractions rationnelles en utilisant une substitution trigonométrique universelle (puisque =[après avoir divisé le numérateur et le dénominateur par ]= ; Par exemple, Il convient de noter que le recours à la substitution universelle conduit souvent à des calculs fastidieux.

§5. Intégration des irrationalités les plus simples

Considérons les méthodes d'intégration des types d'irrationalité les plus simples. 1. Les fonctions de ce type sont intégrées de la même manière que les fractions rationnelles les plus simples du 3ème type : au dénominateur, le trinôme carré est séparé un carré parfait et une nouvelle variable est introduite. Exemple. 2. (sous le signe intégral – fonction rationnelle des arguments). Les intégrales de ce type sont calculées par substitution. En particulier, dans les intégrales de la forme, nous notons . Si l'intégrande contient des racines différents degrés: , puis indique où n– le plus petit commun multiple de nombres m,k. Exemple 1. Exemple 2. -fraction rationnelle impropre, sélectionnez la partie entière : – – – 3. Intégrales du formulaire sont calculés à l'aide de substitutions trigonométriques :

44

45 Intégrale définie

Intégrale définie- une fonctionnelle normalisée monotone additive définie sur un ensemble de couples dont la première composante est une fonction ou fonctionnelle intégrable, et la seconde est un domaine dans l'ensemble de spécification de cette fonction (fonctionnelle).

Définition

Qu'il soit défini le . Divisons-le en parties avec plusieurs points arbitraires. Ensuite, ils disent que le segment a été partitionné. Ensuite, choisissez un point arbitraire , ,

Une intégrale définie d'une fonction sur un intervalle est la limite des sommes intégrales lorsque le rang de la partition tend vers zéro, si elle existe indépendamment de la partition et du choix des points, c'est-à-dire

Si la limite spécifiée existe, alors la fonction est dite intégrable de Riemann.

Désignations

· - limite inférieure.

· - limite supérieure.

· - fonction intégrande.

· - longueur du segment partiel.

· - somme intégrale de la fonction sur la partition correspondante.

· - longueur maximale d'un segment partiel.

Propriétés

Si une fonction est intégrable par Riemann sur , alors elle y est bornée.

Signification géométrique

Intégrale définie comme l'aire d'une figure

Intégrale définie numériquement égal à la superficie une figure délimitée par l'axe des x, les lignes droites et le graphique de la fonction.

Théorème de Newton-Leibniz

[modifier]

(redirigé depuis "Formule Newton-Leibniz")

Formule de Newton-Leibniz ou théorème principal de l'analyse donne une relation entre deux opérations : prendre une intégrale définie et calculer la primitive.

Preuve

Soit une fonction intégrable sur un intervalle. Commençons par noter que

c'est-à-dire que peu importe quelle lettre (ou) se trouve sous le signe dans l'intégrale définie sur le segment.

Fixons une valeur arbitraire et définissons une nouvelle fonction . Il est défini pour toutes les valeurs de , car on sait que s'il existe une intégrale de on , alors il y a aussi une intégrale de on , où . Rappelons que l'on considère par définition

(1)

remarquerez que

Montrons qu'elle est continue sur l'intervalle . En fait, disons ; Alors

et si, alors

Ainsi, il est continu, qu’il ait ou non des discontinuités ; il est important qu'il soit intégrable sur .

La figure montre un graphique. L'aire du chiffre variable est . Son incrément est égal à l'aire de la figure , qui, en raison de ses limites, tend évidemment vers zéro, qu'il s'agisse d'un point de continuité ou de discontinuité, par exemple un point.

Supposons maintenant que la fonction soit non seulement intégrable sur , mais continue au point . Montrons qu'alors la dérivée en ce point est égale à

(2)

En fait, pour le point indiqué

(1) , (3)

On met , et comme il est constant par rapport à ,TO . De plus, en raison de la continuité en un point, pour n'importe qui peut spécifier tel que pour .

ce qui prouve que côté gauche cette inégalité est o(1) pour .

Le passage à la limite en (3) à montre l'existence de la dérivée de au point et la validité de l'égalité (2). Lorsque nous parlons ici des dérivées droite et gauche, respectivement.

Si une fonction est continue sur , alors, d'après ce qui a été prouvé ci-dessus, la fonction correspondante

(4)

a une dérivée égale à . La fonction est donc une primitive de .

Cette conclusion est parfois appelée théorème intégral de la limite supérieure variable ou théorème de Barrow.

Nous avons prouvé qu'une fonction arbitraire continue sur un intervalle a une primitive sur cet intervalle définie par l'égalité (4). Cela prouve l’existence d’une primitive pour toute fonction continue sur un intervalle.

Qu'il y en ait maintenant un arbitraire primitive de fonction sur . Nous savons que, où est une constante. En supposant cette égalité et en tenant compte de cela, nous obtenons .

Ainsi, . Mais

Intégrale incorrecte

[modifier]

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Intégrale définie appelé pas le vôtre, si au moins un des conditions suivantes:

· La limite a ou b (ou les deux limites) sont infinies ;

· La fonction f(x) a un ou plusieurs points d'arrêt à l'intérieur du segment.

[modifier]Intégrales impropres du premier type

. Alors:

1. Si et l'intégrale s'appelle . Dans ce cas est dite convergente.

, ou simplement divergent.

Soit défini et continu sur le plateau de et . Alors:

1. Si , alors la notation est utilisée et l'intégrale s'appelle intégrale de Riemann impropre du premier type. Dans ce cas est dite convergente.

2. S'il n'y a pas de fini ( ou ), alors l’intégrale diverge vers , ou simplement divergent.

Si une fonction est définie et continue sur toute la droite numérique, alors il peut y avoir une intégrale impropre de cette fonction avec deux limites infinies intégration, définie par la formule :

, où c est un nombre arbitraire.

[modifier] Signification géométrique d'une intégrale impropre de première espèce

L'intégrale impropre exprime l'aire d'un trapèze courbe infiniment long.

[modifier] Exemples

[modifier]Intégrales incorrectes du deuxième type

Soit défini sur , subit une discontinuité infinie au point x=a et . Alors:

1. Si , alors la notation est utilisée et l'intégrale s'appelle

appelé divergent à , ou simplement divergent.

Soit défini sur , subit une discontinuité infinie en x=b et . Alors:

1. Si , alors la notation est utilisée et l'intégrale s'appelle intégrale de Riemann impropre du deuxième type. Dans ce cas, l’intégrale est dite convergente.

2. Si ou , alors la désignation reste la même, et appelé divergent à , ou simplement divergent.

Si la fonction subit une discontinuité en un point intérieur du segment, alors l'intégrale impropre de seconde espèce est déterminée par la formule :

[modifier] Signification géométrique des intégrales impropres du deuxième type

L'intégrale impropre exprime l'aire d'un trapèze incurvé infiniment haut

[modifier] Exemple

[modifier]Cas isolé

Laissez la fonction être définie sur toute la droite numérique et avoir une discontinuité aux points.

On peut alors trouver l’intégrale impropre

[modifier] Critère de Cauchy

1. Qu'il soit défini sur un ensemble de et .

Alors converge

2. Soit défini sur et .

Alors converge

[modifier]Convergence absolue

Intégral appelé absolument convergent, Si converge.
Si l’intégrale converge de manière absolue, alors elle converge.

[modifier]Convergence conditionnelle

L'intégrale s'appelle conditionnellement convergent, s'il converge, mais diverge.

48 12. Intégrales incorrectes.

Lorsqu'on considère des intégrales définies, nous supposons que la région d'intégration est limitée (plus précisément, il s'agit d'un segment [ un ,b ]); Pour l’existence d’une intégrale définie, l’intégrande doit être borné sur [ un ,b ]. Nous appellerons intégrales définies pour lesquelles ces deux conditions sont satisfaites (limite du domaine d'intégration et de l'intégrande) propre; intégrales pour lesquelles ces exigences ne sont pas respectées (c'est-à-dire que l'intégrande ou le domaine d'intégration est illimité, ou les deux) pas le vôtre. Dans cette section, nous étudierons les intégrales impropres.

• 12.1. Intégrales impropres sur un intervalle illimité (intégrales impropres de première espèce).
• 12.1.1. Définition d'une intégrale impropre sur un intervalle infini. Exemples.
• 12.1.2. Formule de Newton-Leibniz pour une intégrale impropre.
• 12.1.3. Critères de comparaison pour les fonctions non négatives.
• 12.1.3.1. Signe de comparaison.
• 12.1.3.2. Un signe de comparaison dans sa forme extrême.
• 12.1.4. Convergence absolue d'intégrales impropres sur un intervalle infini.
• 12.1.5. Tests de convergence d'Abel et Dirichlet.
• 12.2. Intégrales impropres de fonctions illimitées (intégrales impropres du deuxième type).
• 12.2.1. Définition d'une intégrale impropre d'une fonction illimitée.
• 12.2.1.1. La singularité est à l'extrémité gauche de l'intervalle d'intégration.
• 12.2.1.2. Application de la formule de Newton-Leibniz.
• 12.2.1.3. Singularité à l’extrémité droite de l’intervalle d’intégration.
• 12.2.1.4. Singularité au point intérieur de l'intervalle d'intégration.
• 12.2.1.5. Plusieurs fonctionnalités sur l'intervalle d'intégration.
• 12.2.2. Critères de comparaison pour les fonctions non négatives.
• 12.2.2.1. Signe de comparaison.
• 12.2.2.2. Un signe de comparaison dans sa forme extrême.
• 12.2.3. Convergence absolue et conditionnelle d'intégrales impropres de fonctions discontinues.
• 12.2.4. Tests de convergence d'Abel et Dirichlet.

12.1. Intégrales incorrectes sur un intervalle illimité

(intégrales impropres du premier type).

12.1.1. Définition d'une intégrale impropre sur un intervalle infini. Laissez la fonction F (X ) est défini sur le demi-axe et est intégrable sur tout intervalle [ de, impliquant dans chacun de ces cas l’existence et la finitude des limites correspondantes. Maintenant, les solutions aux exemples semblent plus simples : .

12.1.3. Critères de comparaison pour les fonctions non négatives. Dans cette section, nous supposerons que tous les intégrandes sont non négatifs sur tout le domaine de définition. Jusqu'à présent nous avons déterminé la convergence de l'intégrale en la calculant : s'il existe limite finale primitive avec la tendance correspondante ( ou ), alors l'intégrale converge, sinon elle diverge. Cependant, lors de la résolution de problèmes pratiques, il est important d'abord d'établir le fait même de la convergence, puis seulement de calculer l'intégrale (en outre, la primitive n'est souvent pas exprimée en termes de fonctions élémentaires). Formulons et prouvons un certain nombre de théorèmes qui permettent d'établir la convergence et la divergence d'intégrales impropres de fonctions non négatives sans les calculer.
12.1.3.1. Signe de comparaison. Laissez les fonctions F (X ) Et g (X ) intégrale

SUJET : Intégration de fractions rationnelles.

Attention! Lorsqu'on étudie l'une des méthodes fondamentales d'intégration : l'intégration de fractions rationnelles, il est nécessaire de considérer des polynômes dans le domaine complexe pour réaliser des preuves rigoureuses. Il faut donc étudier à l'avance quelques propriétés nombres complexes et les opérations sur ceux-ci.

Intégration de fractions rationnelles simples.

Si P.(z) Et Q(z) sont des polynômes dans le domaine complexe, alors ce sont des fractions rationnelles. On l'appelle correct, si diplôme P.(z) moins de diplôme Q(z) , Et faux, si diplôme R. pas moins d'un diplôme Q.

Toute fraction impropre peut être représentée comme suit : ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

un R.(z) – polynôme dont le degré est inférieur au degré Q(z).

Ainsi, l’intégration de fractions rationnelles se résume à l’intégration de polynômes, c’est-à-dire de fonctions puissance, et de fractions propres, puisqu’il s’agit d’une fraction propre.

Définition 5. Les fractions les plus simples (ou élémentaires) sont les types de fractions suivants :

1) , 2) , 3) , 4) .

Découvrons comment ils s'intègrent.

3) (étudié plus tôt).

Théorème 5. Toute fraction propre peut être représentée comme une somme de fractions simples (sans preuve).

Corollaire 1. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que des racines réelles simples, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples du 1er type :

Exemple 1.

Corollaire 2. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que plusieurs racines réelles, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples des 1er et 2e types :

Exemple 2.

Corollaire 3. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que des racines conjuguées complexes simples, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples du 3ème type :

Exemple 3.

Corollaire 4. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que plusieurs racines conjuguées complexes, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples, il n'y aura que des fractions simples du 3ème et du 4ème les types:

Pour déterminer les coefficients inconnus dans les expansions données, procédez comme suit. Les côtés gauche et droit du développement contenant des coefficients inconnus sont multipliés par L'égalité de deux polynômes est obtenue. À partir de là, les équations pour les coefficients requis sont obtenues en utilisant :

1. l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de X (méthode des valeurs partielles). Dans ce cas, un nombre quelconque d'équations sont obtenues, dont n'importe quel m permet de trouver les coefficients inconnus.

2. les coefficients coïncident pour les mêmes degrés de X (méthode des coefficients indéfinis). Dans ce cas, on obtient un système de m - équations à m - inconnues, à partir desquelles les coefficients inconnus sont trouvés.

3. méthode combinée.

Exemple 5. Développer une fraction au plus simple.

Solution:

Trouvons les coefficients A et B.

Méthode 1 - méthode de la valeur privée :

Méthode 2 – méthode des coefficients indéterminés :

Répondre:

Intégration de fractions rationnelles.

Théorème 6. L'intégrale indéfinie de toute fraction rationnelle sur tout intervalle sur lequel son dénominateur n'est pas égal à zéro existe et s'exprime à travers des fonctions élémentaires, à savoir les fractions rationnelles, les logarithmes et les arctangentes.

Preuve.

Imaginons une fraction rationnelle sous la forme : . Dans ce cas, le dernier terme est une fraction propre et, selon le théorème 5, il peut être représenté comme une combinaison linéaire de fractions simples. Ainsi, l'intégration d'une fraction rationnelle se réduit à l'intégration d'un polynôme S(X) et les fractions simples dont les primitives, comme on l'a montré, ont la forme indiquée dans le théorème.

Commentaire. La principale difficulté dans ce cas est la décomposition du dénominateur en facteurs, c'est-à-dire la recherche de toutes ses racines.

Exemple 1. Trouver l'intégrale

L'intégrande est une fraction rationnelle propre. Le développement du dénominateur en facteurs irréductibles a la forme Cela signifie que le développement de l'intégrande en une somme de fractions simples a la forme suivante :

Trouvons les coefficients de dilatation en utilisant une méthode combinée :

Ainsi,

Exemple 2. Trouver l'intégrale

Fonction intégrale – fraction impropre, on sélectionne donc toute la partie :

La première des intégrales est tabulaire, et nous calculons la seconde en décomposant la fraction appropriée en fractions simples :

En utilisant la méthode des coefficients indéterminés, on a :

Ainsi,

La dérivation de formules pour calculer les intégrales des fractions les plus simples et élémentaires de quatre types est donnée. Des intégrales plus complexes, à partir de fractions du quatrième type, sont calculées à l'aide de la formule de réduction. Un exemple d'intégration d'une fraction du quatrième type est considéré.

Contenu

Voir également: Tableau des intégrales indéfinies
Méthodes de calcul d'intégrales indéfinies

Comme on le sait, toute fonction rationnelle d'une variable x peut être décomposée en un polynôme et en fractions élémentaires les plus simples. Il existe quatre types de fractions simples :
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Ici a, A, B, b, c sont des nombres réels. Équation x 2 + bx + c = 0 n'a pas vraies racines.

Intégration de fractions des deux premiers types

L'intégration des deux premières fractions se fait à l'aide des formules suivantes du tableau des intégrales :
,
, n ≠ - 1 .

1. Intégration de fractions du premier type

Une fraction du premier type est réduite à une intégrale de table par substitution t = x - a :
.

2. Intégration de fractions du deuxième type

La fraction du deuxième type se réduit à une intégrale de tableau par la même substitution t = x - a :

.

3. Intégration de fractions du troisième type

Considérons l'intégrale d'une fraction du troisième type :
.
Nous allons le calculer en deux étapes.

3.1. Étape 1. Sélectionnez la dérivée du dénominateur au numérateur

Isolons la dérivée du dénominateur au numérateur de la fraction. Notons : u = x 2 + boîte + c. Dérivons : u′ = 2x + b. Alors
;
.
Mais
.
Nous avons omis le signe du module car .

Alors:
,
Où
.

3.2. Étape 2. Calculez l'intégrale avec A = 0, B = 1

Maintenant, nous calculons l'intégrale restante :
.

On ramène le dénominateur de la fraction à somme des carrés:
,
Où .
Nous pensons que l'équation x 2 + bx + c = 0 n'a pas de racines. C'est pourquoi .

Faisons une substitution
,
.
.

Donc,
.

Ainsi, nous avons trouvé l'intégrale d'une fraction du troisième type :

,
Où .

4. Intégration des fractions du quatrième type

Et enfin, considérons l'intégrale d'une fraction du quatrième type :
.
Nous le calculons en trois étapes.

4.1) Sélectionnez la dérivée du dénominateur au numérateur :
.

4.2) Calculer l'intégrale
.

4.3) Calculer les intégrales
,
en utilisant la formule de réduction :
.

4.1. Étape 1. Isoler la dérivée du dénominateur au numérateur

Isolons la dérivée du dénominateur au numérateur, comme nous l'avons fait dans . Notons u = x 2 + boîte + c. Dérivons : u′ = 2x + b. Alors
.

.
Mais
.

Finalement nous avons :
.

4.2. Étape 2. Calculez l'intégrale avec n = 1

Calculer l'intégrale
.
Son calcul est décrit dans .

4.3. Étape 3. Dérivation de la formule de réduction

Considérons maintenant l'intégrale
.

Nous présentons trinôme quadratiqueà la somme des carrés :
.
Ici .
Faisons une substitution.
.
.

Nous effectuons des transformations et intégrons par parties.




.

Multiplier par 2(n-1):
.
Revenons à x et I n.
,
;
;
.

Donc, pour I n nous avons la formule de réduction :
.
En appliquant systématiquement cette formule, nous réduisons l'intégrale I n à I 1 .

Exemple

Calculer l'intégrale

1. Isolons la dérivée du dénominateur au numérateur.
;
;


.
Ici
.

2. On calcule l'intégrale de la fraction la plus simple.

.

3. Nous appliquons la formule de réduction :

pour l'intégrale.
Dans notre cas b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Nous écrivons cette formule pour n = 2 et n = 3 :
;
.
D'ici

.

Finalement nous avons :

.
Trouvez le coefficient pour .
.

Voir également:

Tout ce qui précède dans les paragraphes précédents nous permet de formuler les règles de base pour l'intégration des fractions rationnelles.

1. Si une fraction rationnelle est impropre, alors elle est représentée comme la somme d'un polynôme et d'une fraction rationnelle propre (voir paragraphe 2).

Cela réduit l'intégration d'une fraction rationnelle impropre à l'intégration d'un polynôme et d'une fraction rationnelle propre.

2. Factorisez le dénominateur de la fraction appropriée.

3. Une fraction rationnelle propre est décomposée en somme de fractions simples. Cela réduit l'intégration d'une fraction rationnelle propre à l'intégration de fractions simples.

Regardons des exemples.

Exemple 1. Rechercher .

Solution. Sous l’intégrale se trouve une fraction rationnelle impropre. En sélectionnant la partie entière, on obtient

Ainsi,

Notant cela, développons la fraction rationnelle propre

aux fractions simples :

(voir formule (18)). C'est pourquoi

Ainsi, nous avons finalement

Exemple 2. Rechercher

Solution. Sous l’intégrale se trouve une fraction rationnelle propre.

En le développant en fractions simples (voir formule (16)), on obtient