X est égal. Inégalités quadratiques. Racines d'une équation quadratique

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Ce qui s'est passé "inégalité quadratique" ? Pas de question !) Si vous prenez n'importe lequeléquation quadratique et remplacez le signe dedans "=" (égal) à tout signe d'inégalité ( > ≥ < ≤ ≠ ), on obtient une inégalité quadratique. Par exemple:

1. x2-8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Eh bien, vous comprenez...)

Ce n’est pas pour rien que j’ai lié ici équations et inégalités. Le fait est que la première étape pour résoudre n'importe lequel inégalité quadratique - résoudre l’équation à partir de laquelle est faite cette inégalité. Pour cette raison, l’incapacité à résoudre des équations quadratiques conduit automatiquement à un échec complet des inégalités. L'indice est-il clair ?) Si quelque chose se produit, regardez comment résoudre les équations quadratiques. Tout y est décrit en détail. Et dans cette leçon, nous traiterons des inégalités.

L'inégalité prête à être résolue a la forme : à gauche se trouve un trinôme quadratique hache 2 +bx+c, à droite - zéro. Le signe d'inégalité peut être absolument n'importe quoi. Les deux premiers exemples sont ici sont déjà prêts à prendre une décision. Le troisième exemple reste à préparer.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Il est nécessaire de comparer des quantités et des quantités pour résoudre des problèmes pratiques depuis l'Antiquité. Dans le même temps, des mots tels que plus et moins, plus haut et plus bas, plus légers et plus lourds, plus silencieux et plus forts, moins chers et plus chers, etc. sont apparus, désignant les résultats de la comparaison de quantités homogènes.

Les concepts de plus et de moins sont apparus en relation avec le comptage d'objets, la mesure et la comparaison de quantités. Par exemple, les mathématiciens de la Grèce antique savaient que le côté de tout triangle est inférieur à la somme des deux autres côtés et que le plus grand côté se trouve à l’opposé du plus grand angle d’un triangle. Archimède, en calculant la circonférence, a établi que le périmètre de tout cercle est égal à trois fois le diamètre avec un excès inférieur au septième du diamètre, mais supérieur à dix soixante-dix fois le diamètre.

Écrivez symboliquement les relations entre les nombres et les quantités à l'aide des signes > et b. Enregistrements dans lesquels deux nombres sont reliés par l'un des signes : > (supérieur à), Vous avez également rencontré des inégalités numériques dans classes juniors. Vous savez que les inégalités peuvent être vraies ou fausses. Par exemple, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) est correct inégalité numérique, 0,23 > 0,235 est une inégalité numérique incorrecte.

Les inégalités impliquant des inconnues peuvent être vraies pour certaines valeurs des inconnues et fausses pour d'autres. Par exemple, l'inégalité 2x+1>5 est vraie pour x = 3, mais fausse pour x = -3. Pour une inégalité à une inconnue, vous pouvez définir la tâche : résoudre l'inégalité. Les problèmes de résolution des inégalités dans la pratique sont posés et résolus non moins souvent que les problèmes de résolution d'équations. Par exemple, beaucoup problèmes économiques se réduisent à l'étude et à la solution de systèmes d'inégalités linéaires. Dans de nombreuses branches des mathématiques, les inégalités sont plus courantes que les équations.

Certaines inégalités constituent le seul auxiliaire, vous permettant de prouver ou de réfuter l'existence d'un certain objet, par exemple la racine d'une équation.

Inégalités numériques

Pouvez-vous comparer des nombres entiers ? décimales. Connaissez-vous les règles de comparaison ? fractions ordinaires avec les mêmes dénominateurs mais des numérateurs différents ; avec les mêmes numérateurs mais des dénominateurs différents. Ici, vous apprendrez à comparer deux nombres en trouvant le signe de leur différence.

La comparaison de nombres est largement utilisée dans la pratique. Par exemple, un économiste compare les indicateurs prévus avec les indicateurs réels, un médecin compare la température d’un patient à la normale, un tourneur compare les dimensions d’une pièce usinée à une norme. Dans tous ces cas, certains chiffres sont comparés. À la suite de la comparaison des nombres, des inégalités numériques apparaissent.

Définition. Numéro un plus de numéro b, si différence a-b positif. Le nombre a est inférieur au nombre b si la différence a-b est négative.

Si a est supérieur à b, alors ils écrivent : a > b ; si a est inférieur à b, alors ils écrivent : a Ainsi, l'inégalité a > b signifie que la différence a - b est positive, c'est-à-dire a - b > 0. Inégalité a Pour deux nombres a et b quelconques, à partir des trois relations suivantes a > b, a = b, a Comparer les nombres a et b signifie savoir lequel des signes >, = ou Théorème. Si a > b et b > c, alors a > c.

Théorème. Si vous ajoutez le même nombre aux deux côtés de l’inégalité, le signe de l’inégalité ne changera pas.
Conséquence. N'importe quel terme peut être déplacé d'une partie de l'inégalité à une autre en changeant le signe de ce terme en sens inverse.

Théorème. Si les deux côtés de l’inégalité sont multipliés par le même nombre positif, alors le signe de l’inégalité ne change pas. Si les deux côtés de l’inégalité sont multipliés par le même un nombre négatif, alors le signe de l'inégalité changera à l'opposé.
Conséquence. Si les deux côtés de l’inégalité sont divisés par le même nombre positif, alors le signe de l’inégalité ne changera pas. Si les deux côtés de l’inégalité sont divisés par le même nombre négatif, alors le signe de l’inégalité changera pour l’opposé.

Vous savez que les égalités numériques peuvent être additionnées et multipliées terme par terme. Ensuite, vous apprendrez comment effectuer des actions similaires avec des inégalités. La possibilité d’additionner et de multiplier les inégalités terme par terme est souvent utilisée en pratique. Ces actions aident à résoudre les problèmes d'évaluation et de comparaison du sens des expressions.

Lors de la résolution de divers problèmes, il est souvent nécessaire d'ajouter ou de multiplier terme par terme les côtés gauche et droit des inégalités. Parallèlement, on dit parfois que les inégalités s’additionnent ou se multiplient. Par exemple, si un touriste a marché plus de 20 km le premier jour et plus de 25 km le deuxième, alors on peut dire qu'en deux jours il a marché plus de 45 km. De même, si la longueur d'un rectangle est inférieure à 13 cm et la largeur est inférieure à 5 cm, alors on peut dire que l'aire de ce rectangle est inférieure à 65 cm2.

Lors de l’examen de ces exemples, les éléments suivants ont été utilisés : théorèmes d'addition et de multiplication des inégalités :

Théorème. En ajoutant des inégalités de même signe, on obtient une inégalité de même signe : si a > b et c > d, alors a + c > b + d.

Théorème. En multipliant des inégalités de même signe, dont les côtés gauche et droit sont positifs, on obtient une inégalité de même signe : si a > b, c > d et a, b, c, d sont des nombres positifs, alors ac > bd.

Inégalités de signe > (supérieur à) et 1/2, 3/4 b, c Avec les signes d'inégalités strictes > et De la même manière, l'inégalité \(a \geq b \) signifie que le nombre a est supérieur ou égal à b, c'est-à-dire .et non inférieur à b.

Les inégalités contenant le signe \(\geq \) ou le signe \(\leq \) sont dites non strictes. Par exemple, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) ne sont pas des inégalités strictes.

Toutes les propriétés des inégalités strictes sont également valables pour les inégalités non strictes. De plus, si pour des inégalités strictes les signes > étaient considérés comme opposés et que vous savez que pour résoudre un certain nombre de problèmes appliqués, vous devez créer un modèle mathématique sous la forme d'une équation ou d'un système d'équations. Vous découvrirez ensuite que modèles mathématiques Pour résoudre de nombreux problèmes, il existe des inégalités avec des inconnues. Nous présenterons le concept de résolution d’une inégalité et montrerons comment vérifier si numéro donné résoudre une inégalité spécifique.

Inégalités de forme
\(ax > b, \quad ax dans lesquels a et b reçoivent des nombres et x est une inconnue, sont appelés inégalités linéaires avec un inconnu.

Définition. La solution d’une inégalité à une inconnue est la valeur de l’inconnue à laquelle cette inégalité devient une véritable inégalité numérique. Résoudre une inégalité, c’est trouver toutes ses solutions ou établir qu’il n’y en a pas.

Vous avez résolu les équations en les réduisant aux équations les plus simples. De même, lorsqu’on résout des inégalités, on essaie de les réduire, à l’aide de propriétés, à la forme d’inégalités simples.

Résoudre les inégalités du deuxième degré avec une seule variable

Inégalités de forme
\(ax^2+bx+c >0 \) et \(ax^2+bx+c où x est une variable, a, b et c sont des nombres et \(a \neq 0 \), appelés inégalités du deuxième degré à une variable.

Solution aux inégalités
\(ax^2+bx+c >0 \) ou \(ax^2+bx+c peut être considéré comme trouvant des intervalles dans lesquels la fonction \(y= ax^2+bx+c \) prend du positif ou du négatif valeurs Pour ce faire, il suffit d'analyser comment se situe le graphique de la fonction \(y= ax^2+bx+c\) dans le plan de coordonnées : où sont dirigées les branches de la parabole - vers le haut ou vers le bas, que ce soit la parabole coupe l'axe des x et si c'est le cas, à quels points.

Algorithme de résolution des inégalités du deuxième degré à une variable :
1) trouver le discriminant trinôme quadratique\(ax^2+bx+c\) et découvrez si le trinôme a des racines ;
2) si le trinôme a des racines, alors marquez-les sur l'axe des x et tracez à travers les points marqués une parabole schématique dont les branches sont dirigées vers le haut pour un > 0 ou vers le bas pour un 0 ou vers le bas pour un 3) trouver les intervalles sur l'axe des x pour lesquels les points paraboles sont situés au-dessus de l'axe des x (s'ils résolvent l'inégalité \(ax^2+bx+c >0\)) ou en dessous de l'axe des x (s'ils résolvent l'inégalité \(ax^2+bx+c >0\)) inégalité
\(ax^2+bx+c Résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles

Considérez la fonction
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Le domaine de cette fonction est l’ensemble de tous les nombres. Les zéros de la fonction sont les nombres -2, 3, 5. Ils divisent le domaine de définition de la fonction en intervalles \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) et \( (5; +\infty)\)

Voyons quels sont les signes de cette fonction dans chacun des intervalles indiqués.

L'expression (x + 2)(x - 3)(x - 5) est le produit de trois facteurs. Le signe de chacun de ces facteurs dans les intervalles considérés est indiqué dans le tableau :

En général, soit la fonction donnée par la formule
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
où x est une variable et x 1, x 2, ..., x n sont des nombres qui ne sont pas égaux les uns aux autres. Les nombres x 1 , x 2 , ..., x n sont les zéros de la fonction. Dans chacun des intervalles dans lesquels le domaine de définition est divisé par les zéros de la fonction, le signe de la fonction est conservé, et lors du passage par zéro, son signe change.

Cette propriété est utilisée pour résoudre des inégalités de la forme
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) où x 1, x 2, ..., x n sont des nombres non égaux les uns aux autres

Méthode considérée la résolution des inégalités est appelée la méthode des intervalles.

Donnons des exemples de résolution d'inégalités à l'aide de la méthode des intervalles.

Résoudre les inégalités :

\(x(0.5-x)(x+4) Évidemment, les zéros de la fonction f(x) = x(0.5-x)(x+4) sont les points \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Nous traçons les zéros de la fonction sur l'axe des nombres et calculons le signe sur chaque intervalle :

Nous sélectionnons les intervalles auxquels la fonction est inférieure ou égale à zéro et notons la réponse.

Répondre:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

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Rappelons d’abord les formules de base des pouvoirs et leurs propriétés.

Produit d'un nombre un se produit sur lui-même n fois, on peut écrire cette expression sous la forme a a … a=a n

1. une 0 = 1 (une ≠ 0)

3. un n un m = un n + m

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. un n / un m = un n - m

Puissance ou équations exponentielles – ce sont des équations dans lesquelles les variables sont en puissances (ou exposants), et la base est un nombre.

Exemples d'équations exponentielles :

Dans cet exemple, le chiffre 6 est la base ; il est toujours en bas, et la variable X degré ou indicateur.

Donnons plus d'exemples d'équations exponentielles.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Voyons maintenant comment les équations exponentielles sont résolues ?

Prenons une équation simple :

2 x = 2 3

Cet exemple peut être résolu même dans votre tête. On voit que x=3. Après tout, pour que les côtés gauche et droit soient égaux, vous devez mettre le chiffre 3 au lieu de x.
Voyons maintenant comment formaliser cette décision :

2 x = 2 3
x = 3

Afin de résoudre une telle équation, nous avons supprimé motifs identiques(c'est-à-dire deux) et j'ai noté ce qui restait, ce sont des diplômes. Nous avons obtenu la réponse que nous recherchions.

Résumons maintenant notre décision.

Algorithme de résolution de l'équation exponentielle :
1. Besoin de vérifier le même si l'équation a des bases à droite et à gauche. Si les raisons ne sont pas les mêmes, nous recherchons des options pour résoudre cet exemple.
2. Une fois que les bases sont devenues les mêmes, assimiler degrés et résoudre la nouvelle équation résultante.

Voyons maintenant quelques exemples :

Commençons par quelque chose de simple.

Les bases des côtés gauche et droit sont égales au chiffre 2, ce qui signifie que nous pouvons écarter la base et égaliser leurs puissances.

x+2=4 L'équation la plus simple est obtenue.
x=4 – 2
x=2
Réponse : x=2

Dans l'exemple suivant, vous pouvez voir que les bases sont différentes : 3 et 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Tout d’abord, déplaçons le neuf vers la droite, nous obtenons :

Maintenant, vous devez créer les mêmes bases. Nous savons que 9=3 2. Utilisons la formule de puissance (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2)x+8

On obtient 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Il est maintenant clair que sur les côtés gauche et droit, les bases sont les mêmes et égales à trois, ce qui signifie que nous pouvons les écarter et égaliser les degrés.

3x=2x+16 on obtient l'équation la plus simple
3x - 2x=16
x=16
Réponse : x=16.

Regardons l'exemple suivant :

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

Tout d’abord, nous examinons les bases, les bases deux et quatre. Et nous avons besoin qu’ils soient les mêmes. Nous transformons les quatre en utilisant la formule (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Et nous utilisons également une formule a n a m = a n + m :

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ajoutez à l'équation :

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Mais les autres nombres 10 et 24 nous gênent, que faire avec eux ? Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir que sur le côté gauche nous avons 2 2x répétés, voici la réponse - nous pouvons mettre 2 2x entre parenthèses :

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculons l'expression entre parenthèses :

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

On divise l'équation entière par 6 :

Imaginons 4=2 2 :

2 2x = 2 2 bases sont les mêmes, nous les rejetons et égalisons les degrés.
2x = 2 est l'équation la plus simple. Divisez-le par 2 et nous obtenons
x = 1
Réponse : x = 1.

Résolvons l'équation :

9 x – 12*3 x +27= 0

Convertissons :
9 x = (3 2) x = 3 2x

On obtient l'équation :
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nos bases sont les mêmes, égales à 3. Dans cet exemple, vous pouvez voir que les trois premiers ont un degré deux fois (2x) que le second (juste x). Dans ce cas, vous pouvez résoudre méthode de remplacement. On remplace le nombre par le plus petit degré :

Alors 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Nous remplaçons toutes les puissances x dans l'équation par t :

t2 - 12t+27 = 0
Nous obtenons une équation quadratique. En résolvant par le discriminant, on obtient :
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenir à la variable X.

Prenez le t1 :
t 1 = 9 = 3x

C'est,

3x = 9
3x = 3 2
x1 = 2

Une racine a été trouvée. Nous recherchons le deuxième à partir de t 2 :
t 2 = 3 = 3x
3x = 3 1
x2 = 1
Réponse : x 1 = 2 ; x2 = 1.

Sur le site, vous pouvez poser toutes vos questions dans la section AIDE À DÉCIDER, nous vous répondrons certainement.

Rejoins le groupe

Considérons la fonction y=k/y. Le graphique de cette fonction est une droite, appelée hyperbole en mathématiques. Forme générale les hyperboles sont représentées dans la figure ci-dessous. (Le graphique montre la fonction y est égale à k divisée par x, pour laquelle k est égal à un.)

On peut voir que le graphique se compose de deux parties. Ces parties sont appelées branches de l'hyperbole. Il convient également de noter que chaque branche de l'hyperbole se rapproche dans l'une des directions de plus en plus proches des axes de coordonnées. Les axes de coordonnées dans ce cas sont appelés asymptotes.

En général, toutes les droites dont le graphique d’une fonction s’approche à l’infini mais ne les atteignent pas sont appelées asymptotes. Une hyperbole, comme une parabole, a des axes de symétrie. Pour l'hyperbole illustrée dans la figure ci-dessus, il s'agit de la droite y=x.

Parlons maintenant de deux cas généraux hyperbole. Le graphe de la fonction y = k/x, pour k ≠0, sera une hyperbole dont les branches sont situées soit dans les premier et troisième angles de coordonnées, pour k>0, soit dans les deuxième et quatrième angles de coordonnées, fourchette<0.

Propriétés de base de la fonction y = k/x, pour k>0

Graphique de la fonction y = k/x, pour k>0

5. y>0 à x>0 ; y6. La fonction décroît à la fois sur l'intervalle (-∞;0) et sur l'intervalle (0;+∞).

10. La plage de valeurs de la fonction est composée de deux intervalles ouverts (-∞;0) et (0;+∞).

Propriétés de base de la fonction y = k/x, pour k<0

Graphique de la fonction y = k/x, en k<0

1. Le point (0;0) est le centre de symétrie de l'hyperbole.

2. Axes de coordonnées - asymptotes de l'hyperbole.

4. Le domaine de définition de la fonction est tout x sauf x=0.

5. y>0 à x0.

6. La fonction augmente à la fois sur l'intervalle (-∞;0) et sur l'intervalle (0;+∞).

7. La fonction n'est limitée ni par le bas ni par le haut.

8. Une fonction n’a ni valeur maximale ni valeur minimale.

9. La fonction est continue sur l'intervalle (-∞;0) et sur l'intervalle (0;+∞). A un écart à x=0.

Les équations quadratiques sont étudiées en 8e année, il n'y a donc rien de compliqué ici. Il est absolument nécessaire de pouvoir les résoudre.

Une équation quadratique est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où les coefficients a, b et c sont des nombres arbitraires et a ≠ 0.

Avant d'étudier des méthodes de résolution spécifiques, notez que toutes les équations quadratiques peuvent être divisées en trois classes :

N'avoir pas de racines ;
Avoir exactement une racine ;
Ils ont deux racines différentes.

C'est une différence importante entre les équations quadratiques et les équations linéaires, où la racine existe toujours et est unique. Comment déterminer le nombre de racines d’une équation ? Il y a une chose merveilleuse à cela - discriminant.

Discriminant

Soit l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0. Alors le discriminant est simplement le nombre D = b 2 − 4ac.

Il faut connaître cette formule par cœur. D’où cela vient n’a plus d’importance maintenant. Une autre chose est importante : par le signe du discriminant, vous pouvez déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique. À savoir:

Si D< 0, корней нет;
Si D = 0, il y a exactement une racine ;
Si D > 0, il y aura deux racines.

Attention : le discriminant indique le nombre de racines, et pas du tout leurs signes, comme beaucoup de gens le croient pour une raison quelconque. Jetez un œil aux exemples et vous comprendrez tout vous-même :

Tâche. Combien de racines ont les équations quadratiques :

x 2 − 8x + 12 = 0 ;

5x2 + 3x + 7 = 0 ;

x2 − 6x + 9 = 0.

Écrivons les coefficients de la première équation et trouvons le discriminant :
une = 1, b = −8, c = 12 ;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Le discriminant est donc positif, donc l’équation a deux racines différentes. Nous analysons la deuxième équation de la même manière :
une = 5 ; b = 3 ; c = 7 ;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Le discriminant est négatif, il n’y a pas de racines. La dernière équation restante est :
une = 1 ; b = −6 ; c = 9 ;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Le discriminant est nul - la racine sera un.

Veuillez noter que des coefficients ont été notés pour chaque équation. Oui, c’est long, oui, c’est fastidieux, mais on ne va pas mélanger les probabilités et faire des erreurs stupides. Choisissez vous-même : rapidité ou qualité.

D'ailleurs, si vous comprenez, au bout d'un moment, vous n'aurez plus besoin d'écrire tous les coefficients. Vous effectuerez de telles opérations dans votre tête. La plupart des gens commencent à faire cela quelque part après 50 à 70 équations résolues - en général, pas tant que ça.

Racines d'une équation quadratique

Passons maintenant à la solution elle-même. Si le discriminant D > 0, les racines peuvent être trouvées à l'aide des formules :

Formule racine de base équation quadratique

Lorsque D = 0, vous pouvez utiliser n'importe laquelle de ces formules - vous obtiendrez le même nombre, qui sera la réponse. Enfin, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0 ;

15 − 2x − x2 = 0 ;

x2 + 12x + 36 = 0.

Première équation :
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ une = 1 ; b = −2 ; c = −3 ;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ l'équation a deux racines. Trouvons-les :

Deuxième équation :
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ une = −1 ; b = −2 ; c = 15 ;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ l'équation a encore deux racines. Trouvons-les

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fin(aligner)\]

Enfin, la troisième équation :
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ une = 1 ; b = 12 ; c = 36 ;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'équation a une racine. N’importe quelle formule peut être utilisée. Par exemple, le premier :

Comme vous pouvez le voir sur les exemples, tout est très simple. Si vous connaissez les formules et savez compter, il n'y aura aucun problème. Le plus souvent, des erreurs se produisent lors de la substitution de coefficients négatifs dans la formule. Là encore, la technique décrite ci-dessus vous aidera : regardez la formule littéralement, notez chaque étape - et très bientôt vous vous débarrasserez des erreurs.

Équations quadratiques incomplètes

Il arrive qu'une équation quadratique soit légèrement différente de ce qui est donné dans la définition. Par exemple:

x2 + 9x = 0 ;
X 2 - 16 = 0.

Il est facile de remarquer qu’il manque un terme dans ces équations. De telles équations quadratiques sont encore plus faciles à résoudre que les équations standards : elles ne nécessitent même pas de calculer le discriminant. Alors, introduisons un nouveau concept :

L'équation ax 2 + bx + c = 0 est appelée une équation quadratique incomplète si b = 0 ou c = 0, c'est-à-dire le coefficient de la variable x ou de l'élément libre est égal à zéro.

Bien entendu, un cas très difficile est possible lorsque ces deux coefficients sont égaux à zéro : b = c = 0. Dans ce cas, l'équation prend la forme ax 2 = 0. Évidemment, une telle équation a une racine unique : x = 0.

Considérons les cas restants. Soit b = 0, alors on obtient une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0. Transformons-la un peu :

Depuis l'arithmétique Racine carrée n'existe qu'à partir de nombre non négatif, la dernière égalité n'a de sens que pour (−c /a) ≥ 0. Conclusion :

Si dans une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0 l'inégalité (−c /a) ≥ 0 est satisfaite, il y aura deux racines. La formule est donnée ci-dessus ;
Si (−c /a)< 0, корней нет.

Comme vous pouvez le voir, le discriminant n'était pas requis - dans les équations quadratiques incomplètes, il n'y a pas calculs complexes. En fait, il n'est même pas nécessaire de se souvenir de l'inégalité (−c /a) ≥ 0. Il suffit d'exprimer la valeur x 2 et de voir ce qu'il y a de l'autre côté du signe égal. S’il y a un nombre positif, il y aura deux racines. S’il est négatif, il n’y aura aucune racine.

Regardons maintenant les équations de la forme ax 2 + bx = 0, dans lesquelles l'élément libre est égal à zéro. Tout est simple ici : il y aura toujours deux racines. Il suffit de factoriser le polynôme :

Sortir le facteur commun des parenthèses

Le produit est nul lorsqu’au moins un des facteurs est nul. C'est de là que viennent les racines. En conclusion, examinons quelques-unes de ces équations :