Урок и презентация на тему: "Тригонометрическая функция числового аргумента, определение, тождества"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Определение числового аргумента.
2. Основные формулы.
3. Тригонометрические тождества.
4. Примеры и задачи для самостоятельного решения.
Определение тригонометрической функции числового аргумента
Ребята, мы знаем что такое синус, косинус, тангенс и котангенс.Давайте посмотрим, можно ли через значения одних тригонометрических функций найти значения других тригонометрических функций?
Определим тригонометрическую функцию числового элемента, как: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
Вспомним основные формулы:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Кстати, как называется эта формула?
$tg(t)=\frac{sin(t)}{cos(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
$ctg(t)=\frac{cos(t)}{sin(t)}$, при $t≠πk$.
Давайте выведем новые формулы.
Тригонометрические тождества
Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.Ребята, давайте обе части тождества разделим на $cos^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{cos^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{cos^2(t)}=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Преобразуем: $(\frac{sin(t)}{cos(t)})^2+1=\frac{1}{cos^2(t)}.$
У нас получается тождество: $tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
Теперь разделим обе части тождества на $sin^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{sin^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{sin^2(t)}=\frac{1}{sin^2(t)}$.
Преобразуем: $1+(\frac{cos(t)}{sin(t)})^2=\frac{1}{sin^2(t)}.$
У нас получается новое тождество, которое стоит запомнить:
$ctg^2(t)+1=\frac{1}{sin^2(t)}$, при $t≠πk$.
Нам удалось получить две новых формулы. Запомните их.
Эти формулы используются, если по какому-то известному значению тригонометрической функции требуется вычислить значение другой функции.
Решение примеров на тригонометрические функции числового аргумента
Пример 1.$cos(t) =\frac{5}{7}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех t.
Решение:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Тогда $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac{5}{7})^2=1-\frac{25}{49}=\frac{49-25}{49}=\frac{24}{49}$.
$sin(t)=±\frac{\sqrt{24}}{7}=±\frac{2\sqrt{6}}{7}$.
$tg(t)=±\sqrt{\frac{1}{cos^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{25}-1}=±\sqrt{\frac{24}{25}}=±\frac{\sqrt{24}}{5}$.
$ctg(t)=±\sqrt{\frac{1}{sin^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{24}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{24}-1}=±\sqrt{\frac{25}{24}}=±\frac{5}{\sqrt{24}}$.
Пример 2.
$tg(t) = \frac{5}{12}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $0 Решение: Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций. Какое бы действительное число t
ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin(t)
. Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем. Чтобы по числу t
найти значение sin(t)
, нужно: Фактически речь идет о функции s = sin(t)
, где t
- любое действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функции (например, sin(0) = 0
, \(sin \frac {\pi}{6} = \frac{1}{2} \)
и т.д.), знаем некоторые ее свойства. Точно так же мы можем считать, что уже получили некоторые представления еще о трех функциях:
s = cos(t)
s = tg(t)
s = ctg(t)
Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t
. Как вы, надеюсь, догадываетесь все тригонометрические функции связаны между собой и даже не зная значение одной, ее можно найти через другое. К примеру, самая главная формула, из всей тригонометрии - это основное тригонометрическое тождество
: \[ sin^{2} t + cos^{2} t = 1 \] Как видите, зная значение синуса можно найти значение косинуса, и также наоборот. Также очень распространенные формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом: \[ \boxed {\tan\; t=\frac{\sin\; t}{\cos\; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \] \[ \boxed {\cot\; t=\frac{\cos\; }{\sin\; }, \qquad t \neq \pi k} \] Из двух последних формул можно вывести еще одно тригометрическое тождество, связывающее на этот раз тангенс и котангенс: \[ \boxed {\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac{\pi k}{2}} \] Теперь давайте посмотрим, как эти формулы действуют на практике. ПРИМЕР 1. Упростить выражение: а) \(1+ \tan^2 \; t \), б) \(1+ \cot^2 \; t \) а) В первую очередь распишем тангенс, сохраняя квадрат: \[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \] \[ 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \] Теперь введем все под общий знаменатель, и получаем: \[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} = \frac{\cos^2 \; t + \sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \] Ну и наконец, как мы видим числитель можно по основному тригонометрическому тождеству сократить до единицы, в итоге получаем:
\[ 1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t} \] б) С котангенсом выполняем все те же самые действия, только в знаменателе будет уже не косинус, а синус и ответ получится таким: \[ 1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t} \] Выполнив данное задание мы вывели еще две очень важные формулы, связывающие наши функции, которые тоже нужно знать, как свои пять пальцев: \[ \boxed {1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \] \[ \boxed {1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}, \qquad t \neq \pi k} \] Все представленные в рамках формулы вы должны знать наизусть, иначе дальнейшее изучение тригонометрии без них просто невозможно. В дальнейшем будут еще формулы и их будет очень много и уверяю все их вы точно будете запоминать долго, а может и не запомните, но эти шесть штук должны знать ВСЕ! Определение1:
Числовая функция, заданная формулой y=sin x называется синусом. Данная кривая имеет название – синусоида.
Свойства функции y=sin x
2. Область значения функции: E(y)=[-1; 1] 3. Четность функции: y=sin x – нечетная,. 4. Периодичность: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число. Данная функция через определенный промежуток принимает одинаковые значения. Такое свойство функции называют периодичностью.
Промежуток – периодом функции. Для функции y=sin x период составляет 2π. Функция y=sin x – периодическая, с периодом Т=2πn, n – целое число. Наименьший положительный период Т=2π. Математически это можно записать так: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число. Определение2:
Числовая функция, заданная формулой y=cosx называется косинусом. Свойства функции y=cos x
1. Область определения функции: D(y)=R 2. Область значения функции: E(y)=[-1;1] 3. Четность функции: y=cos x –четная. 4. Периодичность: cos(x+2πn)=cos x, где n – целое число. Функция y=cos x – периодическая, с периодом Т=2π. Определение 3:
Числовая функция, заданная формулой y=tg x, называется тангенсом. Свойства функции y=tg x
1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме π/2+πk, k – целое число. Потому что в этих точках тангенс не определен. 3. Четность функции: y=tg x – нечетная. 4. Периодичность: tg(x+πk)=tg x, где k – целое число. Функция y=tg x – периодическая с периодом π. Определение 4:
Числовая функция, заданная формулой y=ctg x, называется котангенсом. Свойства функции y=ctg x
1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме πk, k– целое число. Потому что в этих точках котангенс не определен. 2. Область значения функции: E(y)=R. Видеоурок «Тригонометрические функции числового аргумента» представляет наглядный материал для обеспечения наглядности при объяснении темы на уроке. В ходе демонстрации рассматривается принцип формирования значения тригонометрических функций от числа, описывается ряд примеров, обучающих вычислению значений тригонометрических функций от числа. С помощью данного пособия легче сформировать навыки в решении соответствующих задач, добиться запоминания материала. Использование пособия повышает эффективность урока, способствует быстрому достижению целей обучения. В начале урока демонстрируется название темы. Затем ставится задача нахождения соответствующего косинуса некоторому числовому аргументу. Отмечается, что данная задача решается просто и это можно наглядно продемонстрировать. На экране изображается единичная окружность с центром в начале координат. При этом замечено, что точка пересечения окружности с положительной полуосью оси абсцисс располагается в точке А(1;0). Приводится пример точки М, которая представляет аргумент t=π/3. Данная точка отмечается на единичной окружности, и от нее опускается перпендикуляр к оси абсцисс. Найденная абсцисса точки и является косинусом cos t. В данном случае абсциссой точки будет х=1/2. Поэтому cos t=1/2. Обобщая рассмотренные факты, отмечается, что имеет смысл говорить о функции s=cos t. Отмечается, что некоторые знания об этой функции уже имеются у учеников. Вычислены некоторые значения косинуса cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. Также связанными к данной функцией являются функции s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Отмечается, что они имеют общее для всех название - тригонометрические функции. Демонстрируются важные соотношения, которые используются в решении задач с тригонометрическими функциями: основное тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, выражение тангенса и котангенса через синус и косинус tg t=sin t/cos t, где t≠π/2+πk для kϵZ, ctg t= cos t/sin t, где t≠πk для kϵZ, а также соотношение тангенса к котангенсу tg t·ctg t=1 где t≠πk/2 для kϵZ. Далее предлагается рассмотреть доказательство соотношения 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t, при t≠π/2+πk для kϵZ. Чтобы доказать тождество, необходимо представить tg 2 t в виде соотношения синуса и косинуса, а после слагаемые в левой части привести к общему знаменателю 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t)/ cos 2 t. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем в числителе 1, то есть конечное выражение 1/ cos 2 t. Что и требовалось доказать. Аналогично доказывается тождество 1+ ctg 2 t=1/ sin 2 t, при t≠πk для kϵZ. Так же, как и в предыдущем доказательстве, котангенс заменяется соответствующим соотношением косинуса и синуса, и оба слагаемых в левой части приводятся к общему знаменателю 1+ ctg 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= (sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. После применения основного тригонометрического тождества к числителю получаем 1/ sin 2 t. Это и есть искомое выражение. Рассматривается решение примеров, в котором применяются полученные знания. В первом задании необходимо найти значения cost, tgt, ctgt, если известен синус числа sint=4/5, а t принадлежит промежутку π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4. Далее рассматривается решение аналогичной задачи, в которой известен тангенс tgt=-8/15, а аргумент ограничен значениями 3π/2 Чтобы найти значение синуса, используем определение тангенса tgt= sint/cost. Из него находим sint= tgt·cost=(-8/15)·(15/17)=-8/17. Зная, что котангенс - функция, обратная тангенсу, находим ctgt=1/(-8/15)=-15/8. Видеоурок «Тригонометрические функции числового аргумента» применяется для повышения эффективности урока математики в школе. В ходе дистанционного обучения данный материал может использоваться как наглядное пособие для формирования навыков решения задач, где есть тригонометрические функции от числа. Для приобретения этих навыков ученику может рекомендовано самостоятельное рассмотрение наглядного материала. ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА: Тема урока «Тригонометрические функции числового аргумента». Любому действительному числу t можно поставить в соответствие однозначно определенное число cos t. Для этого необходимо выполнить следующие действия: 1) на координатной плоскости расположить числовую окружность так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1;0); 2) на окружности найти точку, которая соответствует числу t; 3) найти абсциссу этой точки. Это и есть cos t. Поэтому речь пойдет о функции s= cos t (эс равно косинус тэ), где t - любое действительное число. Некоторое представление о этой функции мы уже получили: Все эти функции называются тригонометрическими функциями числового аргумента t. Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса следуют некоторые соотношения: 1)sin 2 t + cos 2 t = 1(синус квадрат тэ плюс косинус квадрат тэ равно одному) 2)tgt = при t ≠ + πk, kϵZ(тангенс тэ равно отношению синуса тэ к косинусу тэ при тэ не равном пи на два плюс пи ка, ка принадлежит зэт) 3)ctgt = при t ≠ πk, kϵZ(котангенс тэ равно отношению косинуса тэ к синусу тэ при тэ не равном пи ка, ка принадлежит зэт). 4)tgt ∙ ctgt = 1 при t ≠ , kϵZ (произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно одному при тэ не равном пи ка, деленное на два, ка принадлежит зэт) Докажем еще две важные формулы: Один плюс тангенс квадрат тэ равно отношению единицы к косинусу квадрату тэ при тэ не равном пи на два плюс пи ка. Доказательство. Выражение единица плюс тангенс квадрат тэ, приведем к общему знаменателю косинус квадрат тэ. Получим в числителе сумму квадратов косинуса тэ и синуса тэ, что равно одному. А знаменатель остается квадрат косинуса тэ. Сумма единицы и квадрата котангенса тэ равна отношению единицы к квадрату синуса тэ при тэ не равном пи ка. Доказательство. Выражение единица плюс котангенс квадрат тэ, аналогично приведем к общему знаменателю и применим первое соотношение. Рассмотрим примеры. ПРИМЕР1. Найти cost, tgt, ctgt , если sint = и < t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи) Решение. Из первого соотношения найдем косинус квадрат тэ равен единица минус синус квадрат тэ: cos 2 t = 1 - sin 2 t. Значит, cos 2 t = 1 -() 2 = (косинус квадрат тэ равен девяти двадцать пятым), то есть cost= (косинус тэ равен трем пятым) или cost = - (косинус тэ равен минус трем пятым). По условию аргумент t принадлежит второй четверти, а в ней cos t < 0 (косинус тэ отрицательный). Значит косину тэ равен минус трем пятым, cost = - . Вычислим тангенс тэ: tgt = = ׃ (-)= - ;(тангенс тэ равен отношению синуса тэ к косинусу тэ, а значит, четырех пятых к минус трем пятым и равно минус четырем третьим) Соответственно вычисляем (котангенс числа тэ. так как котангенс тэ равен отношению косинуса тэ к синусу тэ,) ctgt = = - . (котангенс тэ равен минус трем четвертым). Ответ: cost = - , tgt= - ; ctgt = - . (ответ заполняем по мере решения) ПРИМЕР 2. Известно, что tgt = - и < t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt. Решение. Воспользуемся данным соотношением, подставив значение в эту формулу получим: 1 + (-) 2 = (единица на косинус квадрат тэ равно сумме единицы и квадрата минус восьми пятнадцатых). Отсюда находим cos 2 t = (косинус квадрат тэ равен двести двадцать пять двести восемьдесят девятых). Значит, cost = (косинус тэ равен пятнадцать семнадцатых) или cost = . По условию аргумент t принадлежит четвертой четверти, где cost>0. Поэтому cost = .(косенус тэ равен пятнадцать семнадцатых) Найдем значение аргумента синус тэ. Так как из соотношения (показать соотношение tgt = при t ≠ + πk, kϵZ) синус тэ равен произведению тангенса тэ на косинус тэ, то подставив значение аргумента тэ..тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых.. по условию, а косинус тэ равен из решенного ранее, получаем sint = tgt ∙ cost = (-) ∙ = - , (синус тэ равен минус восемь семнадцатых) ctgt = = - . (так как котангенс тэ, есть величина обратная тангенсу, значит, котангенс тэ равен минус пятнадцать восемнадцатых) Определение. Тригонометрическими функциями числового аргумента называются одноименные тригонометрические функции угла, равного радианам. Поясним это определение на конкретных примерах. Пример 1. Вычислим значенйе . Здесь под мы понимаем отвлеченное иррациональное число. Согласно определению . Итак, . Пример 2. Вычислим значение . Здесь под 1,5 мы понимаем отвлеченное число. Согласно определению (см. приложение II). Пример 3. Вычислим значение Аналогично предыдущему получаем (см. приложение II). Итак, в дальнейшем под аргументом тригонометрических функций мы будем понимать угол (дугу) или просто число в зависимости от той задачи, которую решаем. А в ряде случаев аргументом может служить величина, имеющая и другую размерность, например время и т. д. Называя аргумент углом (дугой), мы можем подразумевать под ним число, с помощью которого он измерен в радианах.
$tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Тогда $\frac{1}{cos^2(t)}=1+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$.
Получаем, что $cos^2(t)=\frac{144}{169}$.
Тогда $cos^2(t)=±\frac{12}{13}$, но $0
Получаем: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac{5}{12}*\frac{12}{13}=\frac{5}{13}$.
$ctg(t)=\frac{1}{tg(t)}=\frac{12}{5}$.Задачи для самостоятельного решения
1. $tg(t) = -\frac{3}{4}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $\frac{π}{2}
4. $cos(t) = \frac{12}{13}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех $t$.
Тригонометрические функции числового аргумента
Связь тригонометрических функций
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
