3.3. استقلال خطی بردارها اساس.

خطی ترکیبی سیستم های برداری

بردار نامیده می شود

که در آن 1، a 2، ...، a n - اعداد دلخواه

اگر همه یک i = 0، سپس ترکیب خطی فراخوانی می شود ناچیز . در این مورد، بدیهی است

تعریف 5.

اگر برای سیستمی از بردارها یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده وجود دارد (حداقل یکی ai¹ 0) برابر بردار صفر: سپس سیستم بردارها نامیده می شود خطی وابسته. در صورتی که برابری (1) فقط در صورتی امکان پذیر است که همه یک من =0، سپس سیستم بردارها نامیده می شود خطی مستقل .

قضیه 2 (شرایط وابستگی خطی).

تعریف 6.

از قضیه 3 نتیجه این است که اگر مبنایی در فضا داده شود، با افزودن یک بردار دلخواه به آن، یک سیستم وابسته خطی از بردارها به دست می آوریم. مطابق باقضیه 2 (1) ، یکی از آنها (می توان نشان داد که بردار) را می توان به صورت ترکیبی خطی از بقیه نشان داد:

.

تعریف 7.

شماره نامیده می شوند مختصات بردارها در پایه (نشان داده شد

اگر بردارها در صفحه در نظر گرفته شوند، اساس یک جفت مرتب شده از بردارهای غیر خطی خواهد بود.

و مختصات بردار در این مبنا یک جفت عدد است:

نکته 3. می توان نشان داد که برای یک مبنای معین، مختصات بردار به طور یکتا تعیین می شود . از این، به ویژه، نتیجه می شود که اگر بردارها مساوی باشند، مختصات متناظر آنها برابر است و بالعکس .

بنابراین، اگر یک مبنا در یک فاصله داده شود، آنگاه هر بردار فضا با یک سه گانه مرتب از اعداد (مختصات بردار در این مبنا) مطابقت دارد و بالعکس: هر سه اعداد مربوط به یک بردار است.

در صفحه، مطابقت مشابهی بین بردارها و جفت اعداد برقرار می شود.

قضیه 4 (عملیات خطی از طریق مختصات برداری).

اگر در برخی از پایه و آ یک عدد دلخواه است، پس بر این اساس

به عبارت دیگر:

وقتی یک بردار در یک عدد ضرب می شود، مختصات آن در آن عدد ضرب می شود ;

هنگام اضافه کردن بردارها، مختصات مربوط به آنها اضافه می شود .

مثال 1 . بر اساس برخی بردارهامختصات دارند

نشان دهید که بردارها یک مبنا را تشکیل می دهند و مختصات بردار را در این مبنا پیدا کنید.

اگر بردارها غیرهمسطح باشند، مبنایی را تشکیل می دهند، بنابراین (مطابق باتوسط قضیه 3(2) ) به صورت خطی مستقل هستند.

طبق تعریف 5 این به این معنی است که برابری

فقط در صورتی امکان پذیر استایکس = y = z = 0.

تعریف مجموعه w یک فضای خطی و عنصر آن نامیده می شود. -بردارها اگر:

*قانون با توجه به گربه (+) مشخص شده است. هر دو عنصر x، y از w با عنصری به نام مرتبط هستند. مجموع آنها [x + y]

*یک قانون داده شده است (* برای عدد a)، با توجه به عنصر cat x از w و a، عنصری از w مقایسه می شود که حاصل ضرب x و a [ax] نامیده می شود.

* تکمیل شد

الزامات (یا بدیهیات) زیر:

ردیابی c1. بردار صفر (ctv 0 1 و 0 2. توسط a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 و 0 1 + 0 2 = 0 1. توسط a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

c2. .(ctv, a4)

ج3. 0 vect.(a7)

ج4. a(عدد)*0=0.(a6,c3)

ج5. x (*) -1 =0 بردار، در مقابل x، یعنی. (-1)x = -x. (a5,a6)

ج6. در w عمل تفریق تعریف می شود: بردار x را تفاضل بردارهای b و a می نامند، اگر x + a = b باشد و x = b - a نشان داده می شود.

عدد nتماس گرفت بعد، ابعاد، اندازه لین pr-a L ، اگر در L یک سیستم وجود دارد nلین nezav. بردارها و هر سیستمی از nوکتور +1 - لین. وابسته کم نور L= n. فضا L n بعدی نامیده می شود.

مجموعه ای مرتب از n خط. nezav. بردارها n مستقل از ابعاد. فضا - اساس

قضیه. هر بردار X را می توان به روشی منحصر به فرد به عنوان یک خط نشان داد. ترکیبی از بردارهای پایه

فرض کنید (1) مبنای یک خطی n بعدی باشد. pr-va V، یعنی مجموعه ای از بردارهای مستقل خطی مجموعه بردارها خطی خواهد بود. وابسته، زیرا آنها n+ 1.

آن ها اعدادی هستند که همگی برابر با صفر نیستند، چه ربطی به آن دارد (در غیر این صورت (1) به صورت خطی وابسته هستند).

سپس تجزیه برداری کجاست ایکسبر اساس (1) .

این عبارت منحصر به فرد است، زیرا اگر عبارت دیگری وجود داشته باشد (**)

کم کردن برابری (**) از (*)

ما گرفتیم

زیرا به صورت خطی مستقل هستند، پس . Chtd

قضیه. اگر - لین. بردارهای مستقل فضای V و هر بردار x از V را می توان از طریق نشان داد، سپس این بردارها مبنای V را تشکیل می دهند.

Doc: (1)-lin.independent => سندی باقی می ماند که مستقل از خطی است. طبق کنوانسیون هر بردار a از طریق (1) بیان می شود: , در نظر بگیرید , rang≤n => در بین ستون ها بیشتر از n مستقل خطی نیستند، اما m > n=> m ستون ها به صورت خطی وابسته هستند => s=1, n

یعنی بردارها به خطی وابسته هستند

بنابراین، فضای V n بعدی و (1) مبنای آن است

№4Def.زیر مجموعه L lin. تولید V لین نامیده می شود. شرایط از این فضا اگر با توجه به عملیات (+) و (*a) مشخص شده در V، زیرفضای L یک فضای خطی باشد.

قضیه مجموعه l بردارهای فضای V خطی است. زیرفضای این فضا اجرا می کند

(پیشرفت) بگذارید (1) و (2) برآورده شوند، برای اینکه L یک subsimple باشد. pr-va.

(-x): -x+x=0 د. a(x + y) = تبر + ay;

(a-b) و (e-h) از اعتبار V ناشی می شود؛ اجازه دهید (ج) را ثابت کنیم.

(ضرورت) L lin باشد. زیرفضای این فضا، سپس (1) و (2) با توجه به تعریف خطوط ارضا می شوند. pr-va

Def.مجموعه ای از انواع خطوط. ترکیبی از برخی عناصر (xj) خط. محصول را پوسته خطی می نامند

قضیهمجموعه دلخواه از تمام خطوط. ترکیب بردارهای V با واقعی. ضریب لین است. subpr V (پوسته خطی سیستم بردارهای داده شده خط. pr subpr خطی ​​این pr است. )

ODAزیر مجموعه غیر خالی بردارهای خط L. تولید V لین نامیده می شود. زیرفضا اگر:

الف) مجموع هر بردار از L متعلق به L است

ب) حاصل ضرب هر بردار از L به هر عددی متعلق به L است

مجموع دو زیرفضاLدوباره یک زیرفضا استL

1) بگذارید y 1 +y 2 (L 1 +L 2)<=>y 1 =x 1 +x 2، y 2 =x’ 1 +x’ 2، که در آن (x 1, x’ 1) L 1, (x 2, x’ 2) L 2. y 1 + y 2 = (x 1 + x 2) + (x' 1 + x' 2) = (x 1 + x' 1) + (x 2 + x' 2)، جایی که (x 1 + x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => شرط اول یک زیرفضای خطی برآورده می شود.

ay 1 =ax 1 +ax 2، که در آن (ax 1) L 1، (ax 2) L 2 => زیرا (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => شرایط برقرار است => L 1 + L 2 یک زیرفضای خطی است.

تقاطع دو بخش فرعیL 1 وL 2 لین pr-vaL همچنین یک subsp است. این فضا

دو بردار دلخواه را در نظر بگیرید ایکس,y، متعلق به تقاطع فضاهای فرعی و دو عدد دلخواه آ,ب:.

با توجه به دف. تقاطع مجموعه ها:

=> با تعریف زیرفضای یک فضای خطی:،.

وکتور T.K تبر + توسطمتعلق به خیلی هاست L 1، و بسیاری L 2، سپس طبق تعریف، به محل تقاطع این مجموعه ها تعلق دارد. بدین ترتیب:

ODAمی گویند V مجموع مستقیم زیرمجموعه های آن است. اگر و ب) این تجزیه منحصر به فرد است

ب")اجازه دهید نشان دهیم که b) معادل b) است.

زمانی که ب) درست است ب)

همه جور (م, ن) از جانب فقط در امتداد بردار صفر قطع می شوند

بگذارید ∃ z ∈

نمایشگاه برگشتL=

تناقض

قضیه به (*) برای اتحاد پایه ها لازم و کافی است ( اساس فضا را تشکیل داد

(ضروری)اجازه دهید (*) و بردارها پایه زیر مجموعه ها باشند. و گسترش در وجود دارد ; x روی پایه L بسط می‌یابد، تا بیان کنیم که ( یک پایه است، لازم است استقلال خطی آنها ثابت شود؛ همه آنها حاوی 0 0=0+...+0 هستند. به دلیل منحصر به فرد بودن بسط 0 بیش از : => به دلیل استقلال خطی پایه => ( – پایه

(خارجی)اجازه دهید ( اساس L را یک تجزیه منحصربفرد تشکیل دهد (**) حداقل یک تجزیه وجود داشته باشد. توسط یکتایی (*) => یکتایی (**)

اظهار نظر. بعد مجموع مستقیم برابر است با مجموع ابعاد زیرفضا

هر ماتریس درجه دوم غیر منفرد می تواند به عنوان یک ماتریس انتقال از یک پایه به پایه دیگر عمل کند.

بگذارید دو پایه در فضای خطی n بعدی V و وجود داشته باشد

(1) =A، که در آن عناصر * و ** اعداد نیستند، اما ما عملیات خاصی را در یک ماتریس عددی به چنین ردیفهایی گسترش خواهیم داد.

زیرا در غیر این صورت بردارهای ** به خطی وابسته خواهند بود

بازگشت.اگر ستون های A به صورت خطی مستقل باشند => پایه ای را تشکیل می دهند

مختصات و مرتبط با رابطه ، جایی که عناصر ماتریس انتقال

بگذارید تجزیه عناصر پایه "جدید" به "قدیمی" مشخص شود

سپس برابری ها صادق است

اما اگر ترکیب خطی از عناصر مستقل خطی 0 باشد، =>

قضیه وابستگی خطی پایه

اگر (*) به صورت خطی از طریق بیان می شود (**) آنn<= متر

اجازه دهید با استقرا بر روی m ثابت کنیم

m=1: سیستم (*) حاوی 0 و lin است. مدیر - غیر ممکن

بگذارید برای m=k-1 درست باشد

بیایید برای m=k ثابت کنیم

ممکن است معلوم شود که 1) ، یعنی. v-ry (1) lin.comb هستند. لین در خندق (2) سیستم (1) خطی غیر قابل اعتماد، زیرا بخشی از lin.nezav است. سیستم های (*). زیرا در سیستم (2) فقط بردارهای k-1 وجود دارد، سپس با فرضیه استقرا k+1 را بدست می آوریم.

قضیه 1. (O استقلال خطیبردارهای متعامد). اجازه دهید سپس سیستم بردارها به صورت خطی مستقل است.

بیایید یک ترکیب خطی ∑λ i x i = 0 بسازیم و حاصل ضرب اسکالر (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 = 0، اما ||x j || 2 ≠0⇒λ j = 0.

تعریف 1. سیستم بردارییا (e i ,e j)=δ ij - نماد کرونکر، Orthonormal (ONS) نامیده می شود.

تعریف 2. برای یک عنصر دلخواه x از یک فضای بی‌بعدی اقلیدسی دلخواه و یک سیستم متعامد متعامد از عناصر، سری فوریه یک عنصر x بر روی سیستم، مجموع نامتناهی (سری) شکل رسمی نامیده می‌شود. ، که در آن اعداد حقیقی λ i را ضرایب فوریه عنصر x در سیستم می نامند که در آن λ i =(x,e i).

یک نظر. (طبیعتا این سوال در مورد همگرایی این سریال پیش می آید. برای مطالعه این موضوع، یک عدد دلخواه n را ثابت می کنیم و متوجه می شویم که چه چیزی nامین مجموع جزئی سری فوریه را از هر ترکیب خطی دیگری از n عنصر اول سیستم متعارف متمایز می کند.)

قضیه 2. برای هر عدد ثابت n، در بین تمام مجموع شکل، nامین مجموع جزئی سری فوریه عنصر دارای کمترین انحراف از عنصر x مطابق با نرم فضای اقلیدسی معین است.

با در نظر گرفتن متعارف بودن سیستم و تعریف ضریب فوریه می توان نوشت

حداقل این عبارت در c i =λ i به دست می آید، زیرا در این حالت مجموع اول غیرمنفی در سمت راست همیشه ناپدید می شود و عبارات باقی مانده به c i بستگی ندارند.

مثال. سیستم مثلثاتی را در نظر بگیرید

در فضای تمام توابع انتگرال پذیر ریمان f(x) در بخش [-π,π]. به راحتی می توان بررسی کرد که این یک ONS است و سپس سری فوریه تابع f(x) به شکلی است که .

یک نظر. (سری فوریه مثلثاتی معمولاً به شکل نوشته می شود سپس )

یک ONS دلخواه در یک فضای اقلیدسی بی‌بعدی بدون مفروضات اضافی، به طور کلی، مبنای این فضا نیست. در سطح شهودی، بدون ارائه تعاریف دقیق، ماهیت موضوع را شرح خواهیم داد. در فضای بی‌بعدی اقلیدسی دلخواه E، ONS را در نظر بگیرید، جایی که (e i,e j)=δ ij نماد کرونکر است. فرض کنید M یک زیر فضای اقلیدسی باشد، و k=M ⊥ یک زیر فضای متعامد بر M باشد به طوری که فضای اقلیدسی E=M+M ⊥ . طرح ریزی بردار x∈E بر روی زیر فضای M بردار ∈M است، جایی که

ما به دنبال مقادیری از ضرایب انبساط α k خواهیم بود که برای آنها باقیمانده (باقیمانده مربع) h 2 =||x-|| 2 حداقل خواهد بود:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

واضح است که این عبارت در α k = 0 که بی اهمیت است و در α k =(x,e k) حداقل مقدار را می گیرد. سپس ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. از اینجا نابرابری بسل ∑α k 2 ||x|| را بدست می آوریم 2. در ρ=0 یک سیستم متعارف از بردارها (ONS) یک سیستم متعارف کامل به معنای Steklov (PONS) نامیده می شود.از اینجا می‌توانیم برابری Steklov-Parseval ∑α k 2 =||x|| 2 - قضیه فیثاغورث برای فضاهای اقلیدسی بی‌بعدی که به معنای استکلوف کامل هستند. اکنون لازم است ثابت کنیم که برای اینکه هر بردار در فضا به صورت یکتا به شکل یک سری فوریه همگرا به آن نمایش داده شود، لازم و کافی است که برابری استکلوف-پارسوال برقرار باشد. سیستم بردارها pic=""> فرم های ONB؟ سیستم بردارها مجموع جزئی سری را در نظر بگیرید سپس مانند دم یک سری همگرا. بنابراین، سیستم بردارها یک PONS است و یک ONB را تشکیل می دهد.

مثال.سیستم مثلثاتی

در فضای همه توابع قابل ادغام ریمان، f(x) در قطعه [-π,π] یک PONS است و یک ONB را تشکیل می دهد.

اجازه دهید L - فضای خطی روی زمین آر . اجازه دهید A1, a2,…, an (*) سیستم محدود بردارها از L . بردار که در = a1× A1 +a2× A2 + … + an× یک (16) نامیده می شود ترکیب خطی بردارها ( *), یا می گویند که بردار که در به صورت خطی از طریق سیستمی از بردارها (*) بیان می شود.

تعریف 14. سیستم بردارها (*) نامیده می شود وابسته به خط ، اگر و فقط اگر مجموعه ای غیر صفر از ضرایب a1، a2، … وجود داشته باشد، به طوری که a1× A1 +a2× A2 + … + an× یک = 0. اگر a1× A1 +a2× A2 + … + an× یک = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0، سپس سیستم (*) فراخوانی می شود مستقل خطی

ویژگی های وابستگی و استقلال خطی.

10. اگر سیستمی از بردارها دارای بردار صفر باشد، آنگاه به صورت خطی وابسته است.

در واقع، اگر در سیستم (*) بردار A1 = 0، یعنی 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. اگر سیستمی از بردارها دارای دو بردار متناسب باشد، به صورت خطی وابسته است.

اجازه دهید A1 = L×a2. سپس 1× A1 -l× A2 + 0× A3 + … + 0× آ N= 0.

30. یک سیستم محدود از بردارها (*) برای n ³ 2 به صورت خطی وابسته است اگر و فقط اگر حداقل یکی از بردارهای آن ترکیبی خطی از بردارهای باقیمانده این سیستم باشد.

Þ فرض کنید (*) به صورت خطی وابسته باشد. سپس یک مجموعه غیر صفر از ضرایب a1، a2، …، an وجود دارد که برای آن a1× A1 +a2× A2 + … + an× یک = 0 . بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که a1 ¹ 0. پس وجود دارد A1 = ×a2× A2 + … + ×an× آ N. بنابراین، بردار A1 ترکیبی خطی از بردارهای باقی مانده است.

Ü بگذارید یکی از بردارها (*) ترکیبی خطی از بقیه باشد. می توانیم فرض کنیم که این اولین بردار است، i.e. A1 = B2 A2+ … + bn آ N، بنابراین (-1)× A1 + b2 A2+ … + bn آ N= 0 ، یعنی (*) به صورت خطی وابسته است.

اظهار نظر. با استفاده از آخرین ویژگی، می توانیم وابستگی و استقلال خطی یک سیستم نامتناهی از بردارها را تعریف کنیم.

تعریف 15. سیستم برداری A1, a2,…, an ، … (**) نامیده میشود وابسته به خط، اگر حداقل یکی از بردارهای آن ترکیبی خطی از تعداد محدودی از بردارهای دیگر باشد. در غیر این صورت سیستم (**) فراخوانی می شود مستقل خطی

40. یک سیستم محدود از بردارها به صورت خطی مستقل است اگر و تنها در صورتی که هیچ یک از بردارهای آن را نتوان به صورت خطی بر حسب بردارهای باقیمانده آن بیان کرد.

50. اگر سیستمی از بردارها مستقل خطی باشد، هر یک از زیرسیستم های آن نیز مستقل خطی است.

60. اگر برخی از سیستم های فرعی از یک سیستم معین از بردارها به صورت خطی وابسته باشد، کل سیستم نیز به صورت خطی وابسته است.

اجازه دهید دو سیستم از بردارها داده شود A1, a2,…, an ، … (16) و B1، B2، …، Вs، … (17). اگر هر بردار سیستم (16) را بتوان به صورت ترکیبی خطی از تعداد محدودی از بردارهای سیستم (17) نشان داد، سیستم (17) به صورت خطی از طریق سیستم (16) بیان می شود.

تعریف 16. دو سیستم برداری نامیده می شوند معادل ، اگر هر یک از آنها به صورت خطی از طریق دیگری بیان شود.

قضیه 9 (قضیه وابستگی خطی پایه).

بگذار باشد - دو سیستم محدود بردار از L . اگر سیستم اول به صورت خطی مستقل و خطی از طریق سیستم دوم بیان شود، پس نپوند

اثباتبیایید وانمود کنیم که ن> اس.با توجه به شرایط قضیه

(21)

از آنجایی که سیستم به صورت خطی مستقل است، برابری (18) Û X1=x2=…=xN=0.اجازه دهید در اینجا عبارات بردارها را جایگزین کنیم: …+=0 (19). از این رو (20). شرایط (18)، (19) و (20) بدیهی است که معادل هستند. اما (18) تنها زمانی راضی می شود که X1=x2=…=xN=0.بیایید دریابیم که برابری (20) چه زمانی صادق است. اگر همه ضرایب آن صفر باشد، واضح است که درست است. با برابر کردن آنها با صفر، سیستم (21) را بدست می آوریم. از آنجایی که این سیستم صفر است، پس آن را دارد

مفصل از آنجایی که تعداد معادلات تعداد بیشترمجهولات، پس سیستم بی نهایت راه حل دارد. بنابراین یک غیر صفر دارد X10، x20، …، xN0. برای این مقادیر، برابری (18) صادق خواهد بود، که با این واقعیت که سیستم بردارها مستقل خطی است در تضاد است. پس فرض ما اشتباه است. از این رو، نپوند

نتیجه.اگر دو سیستم معادل از بردارها متناهی و مستقل خطی باشند، آنگاه تعداد بردارهای یکسانی دارند.

تعریف 17. سیستم برداری نامیده می شود حداکثر سیستم خطی مستقل از بردارها فضای خطی L ، اگر به صورت خطی مستقل باشد، اما هنگام اضافه کردن هر بردار از L ، در این سیستم گنجانده نشده است، به صورت خطی وابسته می شود.

قضیه 10. هر دو سیستم محدود حداکثر خطی مستقل از بردارها از L شامل همان تعداد بردار است.

اثباتاز این واقعیت ناشی می شود که هر دو حداکثر سیستم خطی مستقل از بردارها معادل هستند .

اثبات اینکه هر سیستم خطی مستقل از بردارهای فضایی آسان است L را می توان به حداکثر سیستم مستقل خطی از بردارها در این فضا گسترش داد.

مثال ها:

1. در مجموعه تمام بردارهای هندسی خطی، هر سیستمی که از یک بردار غیرصفر تشکیل شده باشد، حداکثر به صورت خطی مستقل است.

2. در مجموعه تمام بردارهای هندسی همسطح، هر دو بردار غیر خطی حداکثر سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند.

3. در مجموعه تمام بردارهای هندسی ممکن فضای اقلیدسی سه بعدی، هر سیستمی از سه بردار غیرهمسطح حداکثر به صورت خطی مستقل است.

4. در مجموعه همه چند جمله ای ها، درجات بالاتر از نبا ضرایب واقعی (مختلط)، سیستمی از چندجمله ای ها 1، x، x2، …، xnحداکثر به صورت خطی مستقل است.

5. در مجموعه همه چند جمله ای ها با ضرایب واقعی (مختلط)، نمونه هایی از حداکثر سیستم مستقل خطی هستند.

آ) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

ب) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)ن،...

6. مجموعه ای از ماتریس های ابعاد م´ نیک فضای خطی است (این را بررسی کنید). نمونه ای از حداکثر سیستم مستقل خطی در این فضا، سیستم ماتریسی است E11= , E12 =، …، Eمنگنز = .

اجازه دهید سیستمی از بردارها داده شود C1، c2، …، ر.ک (*). زیر سیستم بردارهای (*) نامیده می شود حداکثر مستقل خطی زیر سیستمسیستم های ( *) ، اگر به صورت خطی مستقل باشد، اما با اضافه کردن هر بردار دیگری از این سیستم به آن، به صورت خطی وابسته می شود. اگر سیستم (*) محدود باشد، هر یک از حداکثر زیرسیستم های مستقل خطی آن دارای همان تعداد بردار است. (خودت ثابت کن). تعداد بردارها در حداکثر زیرسیستم مستقل خطی سیستم (*) نامیده می شود رتبه این سیستم بدیهی است که سیستم های معادل بردارها دارای رتبه های یکسانی هستند.

در زیر چندین معیار برای وابستگی خطی و بر این اساس، استقلال خطی سیستم های برداری ارائه می شود.

قضیه. (لازم و شرایط کافیوابستگی خطی بردارها.)

یک سیستم از بردارها وابسته است اگر و تنها در صورتی که یکی از بردارهای سیستم به صورت خطی از طریق سایر بردارهای این سیستم بیان شود.

اثبات ضرورت. اجازه دهید سیستم به صورت خطی وابسته باشد. سپس، طبق تعریف، بردار صفر را به صورت غیر پیش پا افتاده نشان می دهد، یعنی. یک ترکیب غیر پیش پا افتاده از این سیستم از بردارها برابر با بردار صفر وجود دارد:

جایی که حداقل یکی از ضرایب این ترکیب خطی برابر با صفر نباشد. اجازه دهید ، .

بیایید هر دو طرف تساوی قبلی را بر این ضریب غیر صفر تقسیم کنیم (یعنی ضرب در:

بیایید نشان دهیم: ، کجا.

آن ها یکی از بردارهای سیستم به صورت خطی از طریق سایر بردارهای این سیستم و غیره بیان می شود.

کفایت. بگذارید یکی از بردارهای سیستم به صورت خطی از طریق دیگر بردارهای این سیستم بیان شود:

بیایید بردار را به سمت راست این برابری حرکت دهیم:

از آنجایی که ضریب بردار برابر است، پس ما با یک سیستم از بردارها یک نمایش غیر اساسی صفر داریم، به این معنی که این سیستم از بردارها به صورت خطی وابسته است و غیره.

قضیه ثابت شده است.

نتیجه.

1. سیستم برداری فضای برداریمستقل خطی است اگر و تنها در صورتی که هیچ یک از بردارهای سیستم به صورت خطی بر حسب سایر بردارهای این سیستم بیان نشود.

2. سیستمی از بردارها که شامل یک بردار صفر یا دو بردار مساوی است به صورت خطی وابسته است.

اثبات

1) ضرورت. اجازه دهید سیستم به صورت خطی مستقل باشد. اجازه دهید برعکس را فرض کنیم و یک بردار از سیستم وجود دارد که به صورت خطی از طریق دیگر بردارهای این سیستم بیان می شود. سپس طبق قضیه، سیستم به صورت خطی وابسته است و به یک تضاد می رسیم.

کفایت. اجازه دهید هیچ یک از بردارهای سیستم بر حسب بردارهای دیگر بیان نشود. بیایید برعکس فرض کنیم. اجازه دهید سیستم به صورت خطی وابسته باشد، اما پس از آن از قضیه برمی‌آید که یک بردار از سیستم وجود دارد که به صورت خطی از طریق سایر بردارهای این سیستم بیان می‌شود و دوباره به یک تناقض می‌رسیم.

2a) اجازه دهید سیستم حاوی یک بردار صفر باشد. برای قطعیت فرض کنیم که بردار :. سپس برابری آشکار است

آن ها یکی از بردارهای سیستم به صورت خطی از طریق سایر بردارهای این سیستم بیان می شود. از این قضیه نتیجه می شود که چنین سیستمی از بردارها به صورت خطی وابسته است و غیره.

توجه داشته باشید که این واقعیت را می توان مستقیماً از یک سیستم بردارهای وابسته خطی اثبات کرد.

از آنجایی که برابری زیر واضح است

این یک نمایش غیر پیش پا افتاده از بردار صفر است، به این معنی که سیستم به صورت خطی وابسته است.

2ب) اجازه دهید سیستم دو بردار مساوی داشته باشد. اجازه دهید برای . سپس برابری آشکار است

آن ها بردار اول به صورت خطی از طریق بردارهای باقی مانده از همان سیستم بیان می شود. از قضیه به دست می آید که این سیستم به صورت خطی وابسته است و غیره.

این گزاره را می توان به طور مستقیم با تعریف یک سیستم وابسته به خطی ثابت کرد، سپس این سیستم بردار صفر را به صورت غیر اساسی نشان می دهد.

از آنجا وابستگی خطی سیستم را دنبال می کند.

قضیه ثابت شده است.

نتیجه. یک سیستم متشکل از یک بردار به صورت خطی مستقل است اگر و فقط اگر این بردار غیر صفر باشد.