می توان به روش های مختلف (یک نقطه و یک بردار، دو نقطه و یک بردار، سه نقطه و غیره) مشخص کرد. با در نظر گرفتن این موضوع است که معادله صفحه می تواند اشکال مختلفی داشته باشد. همچنین با توجه به شرایط خاصی، صفحات می توانند موازی، عمود بر هم، متقاطع و غیره باشند. در این مقاله در مورد این موضوع صحبت خواهیم کرد. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه یک معادله کلی یک هواپیما و موارد دیگر ایجاد کنیم.

شکل عادی معادله

فرض کنید یک فضای R 3 وجود دارد که دارای یک سیستم مختصات مستطیلی XYZ است. اجازه دهید بردار α را تعریف کنیم که از نقطه اولیه O آزاد می شود. از انتهای بردار α، صفحه ای را رسم می کنیم که عمود بر آن خواهد بود.

اجازه دهید یک نقطه دلخواه در P را به صورت Q = (x, y, z) نشان دهیم. بردار شعاع نقطه Q را با حرف p امضا می کنیم. در این حالت طول بردار α برابر است با р=IαI و Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

این یک بردار واحد است که مانند بردار α به سمت کناره هدایت می شود. α، β و γ زوایایی هستند که به ترتیب بین بردار Ʋ و جهات مثبت محورهای فضایی x، y، z تشکیل می شوند. طرح ریزی هر نقطه QϵП بر روی بردار Ʋ است مقدار ثابت، که برابر است با p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

معادله فوق زمانی معنا می یابد که p=0 باشد. تنها نکته این است که صفحه P در این حالت نقطه O را قطع می کند (α=0) که مبدأ مختصات است و بردار واحد Ʋ آزاد شده از نقطه O بر خلاف جهت آن عمود بر P خواهد بود. به این معنی است که بردار Ʋ با دقت به علامت تعیین می شود. معادله قبلی معادله صفحه ما P است که به صورت برداری بیان شده است. اما در مختصات به این صورت خواهد بود:

P در اینجا بزرگتر یا مساوی 0 است. ما معادله هواپیما در فضا را به شکل عادی پیدا کرده ایم.

معادله کلی

اگر معادله را در مختصات در هر عددی ضرب کنیم که برابر با صفر نباشد، معادله ای معادل آن بدست می آید که همان صفحه را تعریف می کند. شبیه این خواهد شد:

در اینجا A، B، C اعدادی هستند که به طور همزمان با صفر متفاوت هستند. این معادله را معادله صفحه عمومی می نامند.

معادلات هواپیماها موارد خاص

معادله در نمای کلیدر صورت وجود ممکن است اصلاح شود شرایط اضافی. بیایید به برخی از آنها نگاه کنیم.

فرض کنید ضریب A 0 باشد. این بدان معناست که این صفحه با محور Ox داده شده موازی است. در این صورت شکل معادله تغییر می کند: Ву+Cz+D=0.

به طور مشابه، شکل معادله در شرایط زیر تغییر می کند:

• اولاً اگر B = 0 باشد، معادله به Ax + Cz + D = 0 تغییر می کند که نشان دهنده موازی بودن با محور Oy است.
• ثانیاً اگر C=0 باشد، معادله به Ax+By+D=0 تبدیل می‌شود که نشان‌دهنده موازی بودن با محور اوز است.
• ثالثاً، اگر D=0 باشد، معادله شبیه Ax+By+Cz=0 خواهد شد که به این معنی است که صفحه O (مبدا) را قطع می کند.
• چهارم، اگر A=B=0، معادله به Cz+D=0 تغییر می کند که موازی با Oxy است.
• خامساً اگر B=C=0 معادله Ax+D=0 می شود، یعنی صفحه اویز موازی است.
• ششم، اگر A=C=0، معادله به شکل Ву+D=0 می شود، یعنی موازی بودن را به Oxz گزارش می دهد.

نوع معادله در بخش ها

در صورتی که اعداد A، B، C، D با صفر متفاوت باشند، شکل معادله (0) می تواند به صورت زیر باشد:

x/a + y/b + z/c = 1،

که در آن a = -D/A، b = -D/B، c = -D/C.

شایان ذکر است که این صفحه محور Ox را در نقطه ای با مختصات (a,0,0) Oy - (0,b,0) و Oz - (0,0,c) قطع می کند. ).

با در نظر گرفتن معادله x/a + y/b + z/c = 1، تصور بصری قرارگیری هواپیما نسبت به یک سیستم مختصات معین دشوار نیست.

مختصات بردار معمولی

بردار نرمال n به صفحه P دارای مختصاتی است که ضرایب هستند معادله کلیاز یک صفحه معین، یعنی n (A، B، C).

برای تعیین مختصات n نرمال کافی است معادله کلی یک صفحه معین را بدانیم.

هنگام استفاده از یک معادله در قطعات، که به شکل x/a + y/b + z/c = 1 است، و همچنین هنگام استفاده از یک معادله کلی، می توانید مختصات هر بردار نرمال یک صفحه معین را بنویسید: (1 /a + 1/b + 1/ با).

شایان ذکر است که بردار معمولی به حل مسائل مختلف کمک می کند. رایج ترین آنها شامل مسائلی است که شامل اثبات عمود یا موازی صفحات، مشکلات یافتن زاویه بین صفحات یا زاویه بین صفحات و خطوط مستقیم است.

نوع معادله صفحه با توجه به مختصات نقطه و بردار نرمال

بردار غیر صفر n عمود بر یک صفحه معین را برای یک صفحه معین نرمال می نامند.

فرض کنید در فضای مختصات (سیستم مختصات مستطیلی) Oxyz داده می شود:

• نقطه Mₒ با مختصات (xₒ,yₒ,zₒ)؛
• بردار صفر n=A*i+B*j+C*k.

لازم است برای صفحه ای که از نقطه Mₒ عمود بر n نرمال عبور کند معادله ای ایجاد شود.

هر نقطه دلخواه در فضا را انتخاب می کنیم و آن را M (x y, z) نشان می دهیم. بگذارید بردار شعاع هر نقطه M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k باشد و بردار شعاع نقطه Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. اگر بردار MₒM بر بردار n عمود باشد، نقطه M متعلق به یک صفحه معین خواهد بود. اجازه دهید شرط متعامد را با استفاده از حاصل ضرب اسکالر بنویسیم:

[MₒM، n] = 0.

از آنجایی که MₒM = r-rₒ، معادله برداری صفحه به صورت زیر خواهد بود:

این معادله می تواند شکل دیگری داشته باشد. برای این کار از خواص حاصل ضرب اسکالر استفاده می شود و سمت چپ معادله تبدیل می شود. = - . اگر آن را با c نشان دهیم، معادله زیر به دست می آید: - c = 0 یا = c، که ثابت بودن برآمدگی ها را بر بردار عادی بردارهای شعاع نقاط داده شده که به صفحه تعلق دارند، بیان می کند.

اکنون می توانیم مختصات نوشتن معادله برداری صفحه خود را بدست آوریم = 0. از آنجایی که r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k، و n = A*i+B *j+С*k، داریم:

معلوم می شود که برای صفحه ای که از نقطه ای عمود بر n معمولی می گذرد معادله ای داریم:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-z2)=0.

نوع معادله صفحه با توجه به مختصات دو نقطه و بردار هم خط به صفحه

اجازه دهید دو نقطه دلخواه M′ (x′,y′,z′) و M″ (x″,y″,z″) و همچنین یک بردار a (a′,a″,a‴) را مشخص کنیم.

اکنون می‌توانیم برای یک صفحه معین معادله‌ای بسازیم که از نقاط موجود M′ و M″ و همچنین هر نقطه M با مختصات (x، y، z) موازی با بردار معین a عبور کند.

در این حالت، بردارهای M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) و M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) باید با بردار همسطح باشند. a=(a′,a″,a‴)، به این معنی که (M′M, M″M, a)=0.

بنابراین، معادله هواپیمای ما در فضا به شکل زیر خواهد بود:

نوع معادله صفحه ای که سه نقطه را قطع می کند

فرض کنید سه نقطه داریم: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) که به یک خط تعلق ندارند. لازم است معادله صفحه ای که از سه نقطه داده شده عبور می کند بنویسیم. نظریه هندسه ادعا می کند که این نوع صفحه واقعا وجود دارد، اما تنها و منحصر به فرد است. از آنجایی که این صفحه نقطه (x',y',z') را قطع می کند، شکل معادله آن به صورت زیر خواهد بود:

در اینجا A، B، C همزمان با صفر متفاوت هستند. همچنین، صفحه داده شده دو نقطه دیگر را قطع می کند: (x″,y″,z″) و (x‴,y‴,z‴). در این رابطه شرایط زیر باید رعایت شود:

اکنون می توانیم یک سیستم همگن با مجهولات u، v، w ایجاد کنیم:

در ما مورد x,yیا z به عنوان یک نقطه دلخواه عمل می کند که معادله (1) را برآورده می کند. با توجه به معادله (1) و سیستم معادلات (2) و (3)، سیستم معادلات نشان داده شده در شکل بالا با بردار N (A,B,C) که غیر پیش پا افتاده است ارضا می شود. به همین دلیل است که تعیین کننده این سیستم برابر با صفر است.

معادله (1) که به دست آوردیم معادله صفحه است. دقیقاً از 3 نقطه عبور می کند و بررسی آن آسان است. برای انجام این کار، باید دترمینانت خود را به عناصر ردیف اول گسترش دهیم. از خصوصیات موجود تعیین کننده، این نتیجه می شود که صفحه ما به طور همزمان سه نقطه در ابتدا داده شده (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) را قطع می کند. . یعنی تکلیف محول شده را حل کرده ایم.

زاویه دو وجهی بین صفحات

یک زاویه دو وجهی نشان دهنده فضایی است شکل هندسی، توسط دو نیم صفحه تشکیل شده است که از یک خط مستقیم بیرون می آیند. به عبارت دیگر، این بخشی از فضا است که توسط این نیم صفحه ها محدود می شود.

فرض کنید دو صفحه با معادلات زیر داریم:

می دانیم که بردارهای N=(A,B,C) و N1=(A1,B1,C1) با توجه به صفحات داده شده عمود هستند. در این راستا، زاویه φ بین بردارهای N و N1 برابر با زاویه (دو وجهی) است که بین این صفحات قرار دارد. حاصلضرب عددیدارای فرم:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

دقیقا به این دلیل

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

کافی است در نظر بگیریم که 0≤φ≤π.

در واقع دو صفحه که قطع می کنند دو زاویه (دو وجهی) تشکیل می دهند: φ 1 و φ 2. مجموع آنها برابر است با π (φ 1 + φ 2 = π). در مورد کسینوس آنها، مقادیر مطلق آنها برابر است، اما آنها در علامت متفاوت هستند، یعنی cos φ 1 = -cos φ 2. اگر در رابطه (0) A، B و C را به ترتیب با اعداد -A، -B و -C جایگزین کنیم، آنگاه معادله ای که به دست می آوریم همان صفحه را تعیین می کند، تنها یک، زاویه φ در معادله cosφ=NN 1 /|N||N 1 | با π-φ جایگزین خواهد شد.

معادله یک صفحه عمود بر هم

صفحاتی که زاویه بین آنها 90 درجه است، عمود نامیده می شوند. با استفاده از مطالب ارائه شده در بالا، می توانیم معادله یک صفحه عمود بر دیگری را پیدا کنیم. فرض کنید دو صفحه داریم: Ax+By+Cz+D=0 و A¹x+B1y+C¹z+D=0. می توان گفت که اگر cosφ=0 آنها عمود خواهند بود. این بدان معنی است که NN1=AA1+BB1+CC1=0.

معادله صفحه موازی

دو صفحه که دارای نقاط مشترک نیستند موازی نامیده می شوند.

شرط (معادلات آنها مانند پاراگراف قبل است) این است که بردارهای N و N1 که بر آنها عمود هستند، هم خط باشند. و این به معنای تحقق آنهاست شرایط زیرتناسب:

A/A¹=B/B1=C/C¹.

اگر شرایط تناسب گسترش یابد - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD1،

این نشان می دهد که این هواپیماها منطبق هستند. این بدان معنی است که معادلات Ax+By+Cz+D=0 و A¹x+B1y+C1z+D1=0 یک صفحه را توصیف می کنند.

فاصله تا هواپیما از نقطه

فرض کنید صفحه P داریم که با معادله (0) به دست می آید. باید فاصله آن را از نقطه ای با مختصات (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ پیدا کرد. برای انجام این کار، باید معادله صفحه P را به شکل عادی در آورید:

(ρ,v)=р (р≥0).

در این حالت ρ (x,y,z) بردار شعاع نقطه ما Q واقع در P است، p طول عمود P است که از نقطه صفر رها شده است، v بردار واحد است که در جهت الف.

تفاوت ρ-ρº بردار شعاع نقطه ای Q = (x، y، z)، متعلق به P، و همچنین بردار شعاع یک نقطه داده شده Q 0 = (xₒ، yₒ، z2) چنین بردار است، قدر مطلقکه بر روی v برابر با فاصله d است که باید از Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) تا P پیدا شود:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|، اما

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

پس معلوم می شود

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

بنابراین، قدر مطلق عبارت حاصل، یعنی d مورد نظر را خواهیم یافت.

با استفاده از زبان پارامتر، واضح است:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

اگر نقطه تنظیم Q 0 در طرف دیگر صفحه P است، مانند مبدا مختصات، بنابراین بین بردار ρ-ρ 0 و v قرار دارد:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

در صورتی که نقطه Q 0 به همراه مبدأ مختصات در همان سمت P قرار گیرد، زاویه ایجاد شده حاد است، یعنی:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)> 0.

در نتیجه، معلوم می شود که در حالت اول (ρ 0 ,v)>р، در مورد دوم (ρ 0 ,v)<р.

صفحه مماس و معادله آن

صفحه مماس به سطح در نقطه تماس Mº صفحه ای است که شامل تمام مماس های ممکن بر منحنی های کشیده شده از این نقطه روی سطح است.

با این نوع معادله سطح F(x,y,z)=0، معادله صفحه مماس در نقطه مماس Mº(xº,yº,zº) به شکل زیر خواهد بود:

F x (xº، yº، zº) (x- xº) + F x (xº، yº، zº) (y- yº) + F x (xº، yº، zº) (z-zº) = 0.

اگر سطح را به صورت صریح z=f (x,y) مشخص کنید، صفحه مماس با معادله توصیف می شود:

z-zº =f(xº، yº)(x- xº)+f(xº، yº) (y- yº).

تقاطع دو صفحه

در سیستم مختصات (مستطیل شکل) Oxyz قرار دارد، دو صفحه П′ و П″ داده می شود که همدیگر را قطع می کنند و منطبق نمی شوند. از آنجایی که هر صفحه ای که در یک سیستم مختصات مستطیلی قرار دارد با یک معادله کلی تعیین می شود، فرض می کنیم که P' و P' با معادلات A'x+B'y+C'z+D'=0 و A″x به دست می آیند. +B″y+ С″z+D″=0. در این حالت، n نرمال (A',B',C') صفحه P' و n″ نرمال (A″,B″,C″) صفحه P″ را داریم. از آنجایی که صفحات ما موازی نیستند و بر هم منطبق نیستند، این بردارها هم خطی نیستند. با استفاده از زبان ریاضیات می توانیم این شرط را به صورت زیر بنویسیم: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. بگذارید خط مستقیمی که در محل تقاطع P' و P' قرار دارد با حرف a نشان داده شود، در این مورد a = P' ∩ P″.

a خط مستقیمی است که از مجموعه تمام نقاط صفحات (مشترک) P' و P' تشکیل شده است. این بدان معناست که مختصات هر نقطه متعلق به خط a باید همزمان معادلات A′x+B′y+C′z+D′=0 و A″x+B″y+C″z+D″=0 را برآورده کند. . این بدان معنی است که مختصات نقطه حل جزئی سیستم معادلات زیر خواهد بود:

در نتیجه، معلوم می شود که راه حل (کلی) این سیستم معادلات، مختصات هر یک از نقاط خط را که به عنوان نقطه تلاقی P و P عمل می کند، تعیین می کند و خط مستقیم را تعیین می کند. a در سیستم مختصات Oxyz (مستطیل شکل) در فضا.

برای اینکه یک صفحه منفرد از هر سه نقطه در فضا کشیده شود، لازم است که این نقاط روی یک خط مستقیم قرار نگیرند.

نقاط M 1 (x 1، y 1، z 1)، M 2 (x 2، y 2، z 2)، M 3 (x 3، y 3، z 3) را در سیستم مختصات دکارتی عمومی در نظر بگیرید.

برای اینکه یک نقطه دلخواه M(x, y, z) در یک صفحه با نقاط M 1, M 2, M 3 قرار گیرد، لازم است که بردارها همسطح باشند.

(
) = 0

بدین ترتیب،

معادله صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند:

معادله صفحه ای که دو نقطه و یک بردار هم خط به صفحه داده شده است.

بگذارید نقاط M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2) و بردار داده شوند
.

بیایید یک معادله برای صفحه ای که از نقاط داده شده M 1 و M 2 می گذرد و یک نقطه دلخواه M (x, y, z) موازی با بردار ایجاد کنیم. .

بردارها
و بردار
باید همسطح باشد، یعنی

(
) = 0

معادله صفحه:

معادله یک صفحه با استفاده از یک نقطه و دو بردار،

هم خط به هواپیما

بگذارید دو بردار داده شود
و
، صفحات هم خط. سپس برای یک نقطه دلخواه M(x، y، z) متعلق به صفحه، بردارها
باید همسطح باشد

معادله صفحه:

معادله صفحه به نقطه و بردار نرمال .

قضیه. اگر نقطه M در فضا داده شود 0 (ایکس 0 ، y 0 , z 0 ) سپس معادله صفحه ای که از نقطه M می گذرد 0 عمود بر بردار معمولی (آ, ب, سی) دارای شکل:

آ(ایکس – ایکس 0 ) + ب(y – y 0 ) + سی(z – z 0 ) = 0.

اثبات برای یک نقطه دلخواه M(x، y، z) متعلق به صفحه، یک بردار می سازیم. زیرا بردار بردار نرمال است، سپس عمود بر صفحه است، و بنابراین، عمود بر بردار
. سپس محصول اسکالر

= 0

بنابراین، معادله هواپیما را به دست می آوریم

قضیه ثابت شده است.

معادله یک صفحه در قطعات.

اگر در معادله کلی Ax + Bi + Cz + D = 0 هر دو طرف را بر (-D) تقسیم کنیم.

,

جایگزین کردن
، معادله صفحه را به صورت قطعه به دست می آوریم:

اعداد a، b، c به ترتیب نقاط تلاقی صفحه با محورهای x، y، z هستند.

معادله یک صفحه به شکل برداری.

جایی که

- بردار شعاع نقطه فعلی M(x، y، z)،

بردار واحدی که جهت عمود بر صفحه ای از مبدا افتاده است.

،  و  زوایایی هستند که توسط این بردار با محورهای x، y، z تشکیل می‌شوند.

p طول این عمود است.

در مختصات، این معادله به صورت زیر است:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

فاصله از یک نقطه تا یک هواپیما.

فاصله از نقطه دلخواه M 0 (x 0, y 0, z 0) تا صفحه Ax+By+Cz+D=0 برابر است با:

مثال.معادله صفحه را بیابید، با دانستن اینکه نقطه P(4; -3; 12) قاعده عمودی است که از مبدأ به این صفحه کاهش یافته است.

بنابراین A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13، از فرمول استفاده می کنیم:

A(x - x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

مثال.معادله صفحه ای که از دو نقطه عبور می کند را پیدا کنید P(2; 0; -1) و

Q(1; -1; 3) عمود بر صفحه 3x + 2y – z + 5 = 0.

بردار نرمال به صفحه 3x + 2y – z + 5 = 0
به موازات صفحه مورد نظر

ما گرفتیم:

مثال.معادله صفحه ای که از نقاط A(2, -1, 4) می گذرد را بیابید

B(3، 2، -1) عمود بر صفحه ایکس + در + 2z – 3 = 0.

معادله مورد نیاز هواپیما به شکل زیر است: الف ایکس+ بی y+C z+ D = 0، بردار عادی به این صفحه (الف، ب، ج). بردار
(1، 3، -5) متعلق به هواپیما است. صفحه ای که به ما داده می شود، عمود بر صفحه مورد نظر، یک بردار معمولی دارد (1، 1، 2). زیرا نقاط A و B به هر دو صفحه تعلق دارند و صفحات بر هم عمود هستند

بنابراین بردار معمولی (11، -7، -2). زیرا نقطه A متعلق به صفحه مورد نظر است، سپس مختصات آن باید معادله این صفحه را برآورده کند، یعنی. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

در مجموع معادله هواپیما را بدست می آوریم: 11 ایکس - 7y – 2z – 21 = 0.

مثال.معادله صفحه را بیابید، با دانستن اینکه نقطه P(4، -3، 12) قاعده عمودی است که از مبدأ به این صفحه کاهش یافته است.

یافتن مختصات بردار نرمال
= (4، -3، 12). معادله مورد نیاز هواپیما به شکل زیر است: 4 ایکس – 3y + 12z+ D = 0. برای یافتن ضریب D، مختصات نقطه P را در معادله جایگزین می کنیم:

16 + 9 + 144 + D = 0

در مجموع معادله مورد نیاز را بدست می آوریم: 4 ایکس – 3y + 12z – 169 = 0

مثال.مختصات رئوس هرم A 1 (1; 0; 3)، A 2 (2; -1; 3)، A 3 (2; 1; 1) آورده شده است.

طول یال A 1 A 2 را پیدا کنید.

زاویه بین لبه های A 1 A 2 و A 1 A 4 را پیدا کنید.

زاویه بین لبه A 1 A 4 و وجه A 1 A 2 A 3 را پیدا کنید.

ابتدا بردار معمولی صورت A 1 A 2 A 3 را پیدا می کنیم به عنوان حاصل ضرب بردارها
و
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

بیایید زاویه بین بردار معمولی و بردار را پیدا کنیم
.

-4 – 4 = -8.

زاویه مورد نظر  بین بردار و صفحه برابر با  = 90 0 -  خواهد بود.

ناحیه صورت A 1 A 2 A 3 را پیدا کنید.

حجم هرم را پیدا کنید.

معادله صفحه A 1 A 2 A 3 را پیدا کنید.

بیایید از فرمول معادله صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند استفاده کنیم.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

هنگام استفاده از نسخه کامپیوتری " دوره عالی ریاضیمی توانید برنامه ای را اجرا کنید که مثال بالا را برای هر مختصاتی از رئوس هرم حل کند.

برای شروع برنامه، روی نماد دوبار کلیک کنید:

در پنجره برنامه باز شده مختصات رئوس هرم را وارد کرده و Enter را فشار دهید. به این ترتیب می توان تمام نقاط تصمیم گیری را یک به یک به دست آورد.

توجه: برای اجرای برنامه، برنامه Maple ( Waterloo Maple Inc.) از هر نسخه ای که با MapleV Release 4 شروع می شود، باید بر روی رایانه شما نصب باشد.

اگر همه اعداد A، B، C و D با صفر متفاوت باشند، معادله کلی صفحه نامیده می شود. کامل. در غیر این صورت معادله کلی هواپیما نامیده می شود ناقص.

اجازه دهید تمام معادلات ناقص کلی صفحه را در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضای سه بعدی در نظر بگیریم.

D = 0 را فرض کنید، سپس یک معادله صفحه ناقص کلی از شکل داریم. این صفحه در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz از مبدا می گذرد. در واقع، وقتی مختصات یک نقطه را در معادله ناقص صفحه جایگزین می کنیم، به هویت می رسیم.

برای , یا , یا معادلات کلی ناقص هواپیماها را داریم , یا , یا به ترتیب. این معادلات صفحات موازی با صفحات مختصات Oxy، Oxz و Oyz را به ترتیب تعریف می کنند (به مقاله وضعیت صفحات موازی مراجعه کنید) و از نقاط عبور می کنند. و به همین ترتیب. در از آنجا که نقطه با شرط به صفحه تعلق دارد، پس مختصات این نقطه باید معادله صفحه را برآورده کند، یعنی برابری باید صادق باشد. از اینجا پیدا می کنیم. بنابراین، معادله مورد نیاز به شکل .

اجازه دهید راه دوم را برای حل این مشکل ارائه کنیم.

از آنجایی که صفحه ای که معادله کلی آن را باید بسازیم، موازی با صفحه Oyz است، پس به عنوان بردار نرمال آن می توانیم بردار نرمال صفحه Oyz را بگیریم. بردار معمولی صفحه مختصات Oyz بردار مختصات است. اکنون بردار نرمال هواپیما و نقطه صفحه را می دانیم، بنابراین، می توانیم معادله کلی آن را بنویسیم (مسئله مشابهی را در پاراگراف قبلی این مقاله حل کردیم):
، سپس مختصات آن باید معادله هواپیما را برآورده کند. بنابراین، برابری صادق است از کجا پیداش می کنیم حالا می‌توانیم معادله کلی مورد نظر هواپیما را بنویسیم، به شکل .

پاسخ:

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Bugrov Ya.S.، Nikolsky S.M. ریاضیات عالی جلد اول: عناصر جبر خطی و هندسه تحلیلی.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. هندسه تحلیلی

برای به دست آوردن معادله کلی یک صفحه، اجازه دهید صفحه ای را که از یک نقطه می گذرد، تجزیه و تحلیل کنیم.

بگذارید سه محور مختصات از قبل برای ما در فضا شناخته شده باشد - گاو نر, اوهو اوز. ورق کاغذ را طوری نگه دارید که صاف بماند. هواپیما خود ورق و ادامه آن در همه جهات خواهد بود.

اجازه دهید پهواپیمای دلخواه در فضا هر بردار عمود بر آن نامیده می شود بردار معمولی به این هواپیما به طور طبیعی، ما در مورد یک بردار غیر صفر صحبت می کنیم.

اگر نقطه ای از هواپیما مشخص باشد پو مقداری بردار نرمال به آن، سپس با این دو شرط صفحه در فضا کاملاً مشخص می شود(از طریق یک نقطه داده شده می توانید یک صفحه عمود بر بردار داده شده رسم کنید). معادله کلی هواپیما به صورت زیر خواهد بود:

بنابراین، شرایطی که معادله هواپیما را تعریف می کند عبارتند از. برای بدست آوردن خودت معادله هواپیمابا داشتن فرم فوق سوار هواپیما شوید پدلخواه نقطه م با مختصات متغیر ایکس, y, z. این نقطه فقط به هواپیما تعلق دارد اگر بردار عمود بر بردار(عکس. 1). برای این کار، با توجه به شرط عمود بردارها، لازم و کافی است که حاصل ضرب اسکالر این بردارها برابر با صفر باشد، یعنی

بردار با شرط مشخص می شود. با استفاده از فرمول مختصات بردار را پیدا می کنیم :

.

حال با استفاده از فرمول حاصل ضرب اسکالر بردارها ، حاصل ضرب اسکالر را به صورت مختصات بیان می کنیم:

از آنجا که نقطه M(x; y; z)به طور دلخواه در صفحه انتخاب می شود، سپس آخرین معادله با مختصات هر نقطه ای که در هواپیما قرار دارد برآورده می شود. پ. برای یک امتیاز ن، در یک هواپیمای معین دراز نکشید، یعنی. برابری (1) نقض شده است.

مثال 1.برای صفحه ای که از نقطه ای عمود بر بردار می گذرد معادله بنویسید.

راه حل. بیایید از فرمول (1) استفاده کنیم و دوباره به آن نگاه کنیم:

در این فرمول اعداد آ , بو سیمختصات برداری و اعداد ایکس0 , y0 و z0 - مختصات نقطه

محاسبات بسیار ساده است: ما این اعداد را در فرمول جایگزین می کنیم و بدست می آوریم

هر چیزی که باید ضرب شود را ضرب می کنیم و فقط اعداد (که حروف ندارند) را اضافه می کنیم. نتیجه:

.

معادله مورد نیاز هواپیما در این مثال مشخص شد که با یک معادله کلی درجه اول با توجه به مختصات متغیر بیان می شود. x، y، zنقطه دلخواه هواپیما

بنابراین، یک معادله از فرم

تماس گرفت معادله صفحه عمومی .

مثال 2.در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی صفحه ای بسازید که با معادله به دست می آید .

راه حل. برای ساختن یک صفحه، دانستن هر سه نقطه از آن که روی یک خط مستقیم قرار ندارند، لازم و کافی است، مثلاً نقاط تلاقی صفحه با محورهای مختصات.

چگونه این نقاط را پیدا کنیم؟ برای یافتن نقطه تقاطع با محور اوز، باید صفرها را به جای X و Y در معادله داده شده در بیان مسئله جایگزین کنید: ایکس = y= 0. بنابراین ما دریافت می کنیم z= 6. بنابراین، صفحه داده شده محور را قطع می کند اوزدر نقطه آ(0; 0; 6) .

به همین ترتیب نقطه تلاقی صفحه با محور را پیدا می کنیم اوه. در ایکس = z= 0 دریافت می کنیم y= -3، یعنی نقطه ب(0; −3; 0) .

و در نهایت نقطه تلاقی هواپیمای خود را با محور پیدا می کنیم گاو نر. در y = z= 0 دریافت می کنیم ایکس= 2، یعنی یک نقطه سی(2; 0; 0). بر اساس سه نقطه به دست آمده در راه حل ما آ(0; 0; 6) , ب(0؛ -3؛ 0) و سی(2; 0; 0) صفحه داده شده را بسازید.

حال بیایید در نظر بگیریم موارد خاص معادله صفحه عمومی. اینها مواردی است که ضرایب معینی از معادله (2) صفر می شود.

1. وقتی D=معادله 0 صفحه ای را تعریف می کند که از مبدا عبور می کند، زیرا مختصات نقطه است 0 (0; 0; 0) این معادله را برآورده می کند.

2. وقتی A=معادله 0 صفحه موازی با محور را تعریف می کند گاو نر، از آنجایی که بردار نرمال این صفحه بر محور عمود است گاو نر(برآمدگی آن بر روی محور گاو نربرابر با صفر). به طور مشابه، زمانی که B= 0 هواپیما موازی با محور اوه، و وقتی که C= 0 هواپیما موازی با محور اوز.

3. چه زمانی A=D=معادله 0 صفحه ای را تعریف می کند که از محور عبور می کند گاو نر، از آنجایی که با محور موازی است گاو نر (A=D= 0). به طور مشابه، هواپیما از محور عبور می کند اوه، و هواپیما از طریق محور اوز.

4. چه زمانی A=B=معادله 0 صفحه موازی با صفحه مختصات را تعریف می کند xOy، از آنجایی که با محورها موازی است گاو نر (آ= 0) و اوه (ب= 0). به طور مشابه، هواپیما موازی با هواپیما است yOz، و هواپیما همان هواپیما است xOz.

5. چه زمانی A=B=D=معادله 0 (یا z = 0) صفحه مختصات را تعریف می کند xOy، از آنجایی که موازی با هواپیما است xOy (A=B= 0) و از مبدا می گذرد ( D= 0). به همین ترتیب، معادله y = 0 در فضا صفحه مختصات را مشخص می کند xOz، و معادله x = 0 - هواپیمای مختصات yOz.

مثال 3.معادله ای از هواپیما ایجاد کنید پ، از محور عبور می کند اوهو دوره

راه حل. بنابراین هواپیما از محور عبور می کند اوه. بنابراین، در معادله او y= 0 و این معادله به شکل . برای تعیین ضرایب آو سیبیایید از این واقعیت استفاده کنیم که نقطه متعلق به هواپیما است پ .

بنابراین، در میان مختصات آن مواردی وجود دارد که می توان آنها را در معادله صفحه ای که قبلاً استخراج کردیم () جایگزین کرد. بیایید دوباره به مختصات نقطه نگاه کنیم:

م0 (2; −4; 3) .

در میان آنها ایکس = 2 , z= 3. ما آنها را در معادله عمومی جایگزین می کنیم و معادله مورد خاص خود را بدست می آوریم:

2آ + 3سی = 0 .

ترک 2 آدر سمت چپ معادله، 3 را حرکت دهید سیبه سمت راست و ما می رسیم

آ = −1,5سی .

جایگزینی مقدار یافت شده آبه معادله می رسیم

یا .

این معادله مورد نیاز در شرایط مثال است.

مسئله معادله هواپیما را خودتان حل کنید و سپس به حل آن نگاه کنید

مثال 4.یک صفحه (یا صفحات، اگر بیش از یک) را با توجه به محورهای مختصات یا صفحات مختصات در صورتی که صفحه(ها) با معادله داده شده است، تعریف کنید.

راه‌حل‌های مشکلات معمولی که در طول آزمون‌ها رخ می‌دهند در کتاب درسی «مسائل در یک صفحه: موازی بودن، عمود بودن، تقاطع سه صفحه در یک نقطه» آمده است.

معادله صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند

همانطور که گفته شد، شرط لازم و کافی برای ساختن یک صفحه، علاوه بر یک نقطه و بردار معمولی، سه نقطه نیز هستند که روی یک خط قرار ندارند.

اجازه دهید سه نقطه مختلف، و، نه دروغ گفتن در یک خط، داده می شود. از آنجایی که سه نقطه نشان داده شده روی یک خط قرار ندارند، بردارها هم خط نیستند و بنابراین هر نقطه از صفحه در یک صفحه با نقاط قرار دارد، و اگر و فقط اگر بردارها، و همسطح، یعنی آن وقت و تنها زمانی که حاصلضرب مخلوط این بردارهابرابر با صفر است.

با استفاده از عبارت محصول مخلوط در مختصات، معادله صفحه را به دست می آوریم

(3)

پس از آشکار شدن دترمینان، این معادله تبدیل به معادله ای از شکل (2) می شود، یعنی. معادله کلی هواپیما

مثال 5.یک معادله برای صفحه ای بنویسید که از سه نقطه داده شده عبور می کند که روی یک خط مستقیم قرار ندارند:

و در صورت وقوع یک مورد خاص از معادله عمومی یک خط را تعیین کنید.

راه حل. طبق فرمول (3) داریم:

معادله صفحه نرمال فاصله از نقطه به هواپیما

معادله عادی یک هواپیما معادله آن است که به شکل نوشته شده است

معادله یک هواپیما. چگونه معادله یک هواپیما را بنویسیم؟
چیدمان متقابل هواپیماها. وظایف

هندسه فضایی بسیار پیچیده تر از هندسه "مسطح" نیست و پروازهای ما در فضا با این مقاله آغاز می شود. برای تسلط بر موضوع، باید درک خوبی از آن داشته باشید بردارها، علاوه بر این، توصیه می شود با هندسه هواپیما آشنا باشید - شباهت های زیادی وجود خواهد داشت، تشابهات زیادی وجود خواهد داشت، بنابراین اطلاعات بسیار بهتر هضم می شود. در یک سری از درس های من، دنیای دوبعدی با یک مقاله باز می شود معادله یک خط مستقیم در یک صفحه. اما اکنون بتمن صفحه تخت تلویزیون را ترک کرده و از کیهان بایکونور پرتاب می شود.

بیایید با نقاشی ها و نمادها شروع کنیم. از نظر شماتیک، صفحه را می توان به شکل متوازی الاضلاع ترسیم کرد که تصوری از فضا ایجاد می کند:

هواپیما بی نهایت است، اما ما این فرصت را داریم که فقط یک تکه از آن را به تصویر بکشیم. در عمل علاوه بر متوازی الاضلاع، یک بیضی یا حتی یک ابر نیز ترسیم می شود. به دلایل فنی، برای من راحت تر است که هواپیما را دقیقاً به این شکل و دقیقاً در این موقعیت به تصویر بکشم. هواپیماهای واقعی، که در نمونه های عملی در نظر خواهیم گرفت، می توانند به هر نحوی قرار بگیرند - به طور ذهنی نقاشی را در دستان خود بگیرید و آن را در فضا بچرخانید، و به هواپیما هر تمایل، هر زاویه ای بدهید.

تعیین ها: هواپیماها را معمولاً با حروف کوچک یونانی نشان می دهند، ظاهراً برای اینکه آنها را با خط مستقیم در هواپیمایا با خط مستقیم در فضا. من به استفاده از حرف عادت دارم. در نقاشی حرف "سیگما" است و اصلاً سوراخ نیست. اگرچه، هواپیمای سوراخ مطمئناً بسیار خنده دار است.

در برخی موارد، استفاده از همان حروف یونانی با زیرنویس های پایین تر برای تعیین هواپیما راحت است، به عنوان مثال، .

واضح است که هواپیما به طور منحصر به فردی توسط سه نقطه مختلف که روی یک خط قرار ندارند تعریف می شود. بنابراین، تعیین سه حرفی هواپیماها بسیار محبوب است - به عنوان مثال، با توجه به نقاط متعلق به آنها و غیره. اغلب حروف در پرانتز قرار می گیرند: ، تا هواپیما را با یک شکل هندسی دیگر اشتباه نگیرید.

برای خوانندگان با تجربه خواهم داد منوی دسترسی سریع:

• چگونه با استفاده از یک نقطه و دو بردار معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟
• چگونه با استفاده از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟

و ما در انتظارهای طولانی سست نخواهیم شد:

معادله صفحه عمومی

معادله کلی هواپیما به شکلی است که در آن ضرایب در آن واحد برابر با صفر نیستند.

تعدادی از محاسبات نظری و مسائل عملی هم برای مبنای متعارف معمولی و هم برای پایه فضایی معتبر هستند (اگر روغن روغن است، به درس برگردید. وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها). برای سادگی، فرض می کنیم که همه رویدادها بر اساس یک سیستم متعامد و یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی رخ می دهند.

حالا بیایید کمی تخیل فضایی خود را تمرین کنیم. اگر مال شما بد باشد اشکالی ندارد، اکنون آن را کمی توسعه می دهیم. حتی بازی روی اعصاب هم نیاز به تمرین دارد.

در کلی ترین حالت، زمانی که اعداد برابر با صفر نیستند، صفحه هر سه محور مختصات را قطع می کند. به عنوان مثال، مانند این:

یک بار دیگر تکرار می کنم که هواپیما به طور نامحدود در همه جهات ادامه دارد و ما این فرصت را داریم که تنها بخشی از آن را به تصویر بکشیم.

بیایید ساده ترین معادلات هواپیماها را در نظر بگیریم:

چگونه این معادله را بفهمیم؟ در مورد آن فکر کنید: "Z" برای هر مقدار "X" و "Y" همیشه برابر با صفر است. این معادله صفحه مختصات "بومی" است. در واقع، به طور رسمی معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: ، از جایی که به وضوح می توانید ببینید که ما اهمیتی نمی دهیم که "x" و "y" چه مقادیری می گیرند، مهم است که "z" برابر با صفر باشد.

به همین ترتیب:
- معادله صفحه مختصات؛
- معادله صفحه مختصات.

بیایید مشکل را کمی پیچیده کنیم، یک صفحه در نظر بگیریم (در اینجا و در ادامه پاراگراف فرض می کنیم که ضرایب عددی برابر با صفر نیستند). بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم: . چگونه آن را درک کنیم؟ "X" همیشه برای هر مقدار "Y" و "Z" برابر با یک عدد مشخص است. این صفحه موازی با صفحه مختصات است. مثلاً صفحه ای موازی با صفحه است و از نقطه ای می گذرد.

به همین ترتیب:
- معادله صفحه ای که با صفحه مختصات موازی است.
- معادله صفحه ای که با صفحه مختصات موازی است.

بیایید اعضا را اضافه کنیم: . معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: یعنی "zet" می تواند هر چیزی باشد. چه مفهومی داره؟ "X" و "Y" توسط رابطه ای به هم متصل می شوند که یک خط مستقیم مشخص را در صفحه ترسیم می کند (شما متوجه خواهید شد معادله یک خط در یک صفحه؟). از آنجایی که "z" می تواند هر چیزی باشد، این خط مستقیم در هر ارتفاعی "تکثیر" می شود. بنابراین، معادله یک صفحه موازی با محور مختصات را تعریف می کند

به همین ترتیب:
- معادله صفحه ای که با محور مختصات موازی است.
- معادله صفحه ای که با محور مختصات موازی است.

اگر عبارات آزاد صفر باشند، هواپیماها مستقیماً از محورهای مربوطه عبور می کنند. به عنوان مثال، کلاسیک "نسبت مستقیم": . یک خط مستقیم در صفحه بکشید و به صورت ذهنی آن را به بالا و پایین ضرب کنید (زیرا Z هر کدام است). نتیجه: صفحه تعریف شده توسط معادله از محور مختصات عبور می کند.

ما بررسی را کامل می کنیم: معادله هواپیما از مبدأ عبور می کند. خوب، در اینجا کاملاً واضح است که نقطه این معادله را برآورده می کند.

و در نهایت، مورد نشان داده شده در نقاشی: - هواپیما با تمام محورهای مختصات دوستانه است، در حالی که همیشه یک مثلث را که می تواند در هر یک از هشت اکتان قرار گیرد، "قطع" می کند.

نابرابری های خطی در فضا

برای درک اطلاعات باید خوب مطالعه کنید نابرابری های خطی در صفحه، زیرا بسیاری از چیزها مشابه خواهند بود. این پاراگراف ماهیت مختصری با چندین مثال دارد، زیرا مطالب در عمل بسیار نادر است.

اگر معادله یک صفحه را تعریف می کند، نابرابری ها
پرسیدن نیم فاصله ها. اگر نابرابری دقیق نباشد (دو مورد آخر در لیست)، حل نابرابری، علاوه بر نیم فاصله، شامل خود صفحه نیز می شود.

مثال 5

واحد بردار نرمال هواپیما را پیدا کنید .

راه حل: بردار واحد برداری است که طول آن یک باشد. اجازه دهید این بردار را با علامت گذاری کنیم. کاملاً واضح است که بردارها هم خط هستند:

ابتدا بردار نرمال را از معادله صفحه حذف می کنیم: .

چگونه بردار واحد را پیدا کنیم؟ برای پیدا کردن بردار واحد، شما نیاز دارید هرمختصات بردار را بر طول بردار تقسیم کنید.

بیایید بردار معمولی را به شکل بازنویسی کنیم و طول آن را پیدا کنیم:

با توجه به مطالب فوق:

پاسخ:

تأیید: آنچه لازم است تأیید شود.

خوانندگانی که پاراگراف آخر درس را با دقت مطالعه کردند احتمالاً متوجه این موضوع شده اند مختصات بردار واحد دقیقاً کسینوس های جهت بردار هستند:

بیایید کمی از مشکل موجود فاصله بگیریم: وقتی به شما یک بردار غیر صفر دلخواه داده می شودو با توجه به شرط باید کسینوس های جهت آن را پیدا کرد (به آخرین مسائل درس مراجعه کنید حاصل ضرب نقطه ای بردارها، در واقع یک بردار واحد هم خط با این بردار پیدا می کنید. در واقع دو کار در یک بطری.

نیاز به یافتن بردار نرمال واحد در برخی مسائل تحلیل ریاضی مطرح می شود.

ما متوجه شده ایم که چگونه یک بردار معمولی را ماهیگیری کنیم، اکنون اجازه دهید به سوال مخالف پاسخ دهیم:

چگونه با استفاده از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟

این ساختار صلب از یک بردار معمولی و یک نقطه به خوبی برای تخته دارت شناخته شده است. لطفاً دست خود را به سمت جلو دراز کنید و به طور ذهنی یک نقطه دلخواه در فضا را انتخاب کنید، به عنوان مثال، یک گربه کوچک در بوفه. بدیهی است که از این نقطه می توانید یک صفحه عمود بر دست خود بکشید.

معادله صفحه ای که از نقطه ای عمود بر بردار عبور می کند با فرمول بیان می شود: