یافتن مختصات یک بردار یک شرط نسبتاً رایج برای بسیاری از مسائل در ریاضیات است. توانایی یافتن مختصات برداری به شما در مسائل پیچیده‌تر دیگر کمک می‌کند موضوعات مشابه. در این مقاله به فرمول یافتن مختصات برداری و چندین مسئله خواهیم پرداخت.

یافتن مختصات یک بردار در یک صفحه

هواپیما چیست؟ صفحه یک فضای دو بعدی، فضایی با دو بعد (بعد x و بعد y) در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، کاغذ صاف است. سطح میز صاف است. هر شکل غیر حجمی (مربع، مثلث، ذوزنقه) نیز یک صفحه است. بنابراین، اگر در بیان مسئله نیاز به یافتن مختصات یک بردار باشد که روی یک صفحه قرار دارد، بلافاصله x و y را به خاطر می آوریم. مختصات چنین بردار را می توانید به صورت زیر بیابید: مختصات AB بردار = (xB – xA؛ yB – xA). فرمول نشان می دهد که باید مختصات نقطه شروع را از مختصات نقطه پایان کم کنید.

مثال:

• CD برداری دارای مختصات اولیه (5; 6) و نهایی (7; 8) است.
• مختصات خود بردار را بیابید.
• با استفاده از فرمول بالا، عبارت زیر را دریافت می کنیم: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• بنابراین، مختصات بردار CD = (2؛ 2).
• بر این اساس، مختصات x برابر با دو، مختصات y نیز دو است.

یافتن مختصات یک بردار در فضا

فضا چیست؟ فضا در حال حاضر یک بعد سه بعدی است که در آن 3 مختصات داده می شود: x، y، z. اگر نیاز به یافتن برداری دارید که در فضا قرار دارد، فرمول عملا تغییر نمی کند. فقط یک مختصات اضافه شده است. برای یافتن بردار، باید مختصات ابتدا را از مختصات پایانی کم کنید. AB = (xB – xA؛ yB – yA؛ zB – zA)

مثال:

• بردار DF دارای اولیه (2; 3; 1) و نهایی (1; 5; 2) است.
• با استفاده از فرمول بالا، به دست می آوریم: مختصات برداری DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• به یاد داشته باشید، مقدار مختصات می تواند منفی باشد، مشکلی وجود ندارد.

چگونه مختصات برداری را به صورت آنلاین پیدا کنیم؟

اگر به دلایلی نمی خواهید مختصات را خودتان پیدا کنید، می توانید از یک ماشین حساب آنلاین استفاده کنید. برای شروع، بعد برداری را انتخاب کنید. بعد یک بردار مسئول ابعاد آن است. بعد 3 به این معنی است که بردار در فضا است، بعد 2 به این معنی است که بر روی صفحه است. سپس مختصات نقاط را در فیلدهای مناسب وارد کنید و برنامه مختصات خود بردار را برای شما تعیین می کند. همه چیز بسیار ساده است.

با کلیک بر روی دکمه، صفحه به صورت خودکار به پایین اسکرول می شود و پاسخ صحیح را همراه با مراحل حل به شما می دهد.

توصیه می شود خوب مطالعه کنید این موضوع، زیرا مفهوم بردار نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک نیز یافت می شود. دانشجویان دانشکده فناوری اطلاعاتآنها همچنین موضوع بردارها را مطالعه می کنند، اما در سطح پیچیده تر.

بالاخره این موضوع گسترده و مورد انتظار را گرفتم. هندسه تحلیلی. ابتدا کمی در مورد این بخش از ریاضیات عالی ... مطمئناً اکنون یک دوره هندسه مدرسه با قضایای متعدد، اثبات‌ها، نقاشی‌ها و غیره را به خاطر دارید. چه چیزی را پنهان کنیم، موضوعی مورد علاقه و اغلب مبهم برای بخش قابل توجهی از دانش آموزان. هندسه تحلیلی، به اندازه کافی عجیب، ممکن است جالب تر و در دسترس تر به نظر برسد. صفت "تحلیلی" به چه معناست؟ دو عبارت کلیشه ای ریاضی بلافاصله به ذهن می رسد: «روش حل گرافیکی» و «روش حل تحلیلی». روش گرافیکی البته با ساخت نمودارها و نقشه ها همراه است. تحلیلییکسان روششامل حل مشکلات است به طور عمدهاز طریق عملیات جبری. در این راستا، الگوریتم حل تقریباً تمام مسائل هندسه تحلیلی ساده و شفاف است؛ اغلب کافی است فرمول های لازم را با دقت اعمال کنید - و پاسخ آماده است! خیر، البته، ما به هیچ وجه نمی توانیم بدون طراحی این کار را انجام دهیم، و علاوه بر این، برای درک بهتر مطالب، سعی می کنم آنها را فراتر از ضرورت ذکر کنم.

دوره تازه افتتاح شده دروس هندسه از نظر تئوری کامل نیست، بلکه بر حل مسائل عملی متمرکز است. من فقط آنچه را که از نظر من از نظر عملی مهم است، در سخنرانی های خود خواهم گنجاند. اگر در مورد هر زیربخش به کمک کامل تری نیاز دارید، من ادبیات کاملاً در دسترس زیر را توصیه می کنم:

1) چیزی که بدون شوخی، چندین نسل با آن آشنا هستند: کتاب هندسه مدرسه، نویسندگان - L.S. آتاناسیان و شرکت. این رختکن مدرسه تاکنون 20 (!) تجدید چاپ را پشت سر گذاشته است که البته محدودیتی برای آن وجود ندارد.

2) هندسه در 2 جلد. نویسندگان L.S. آتاناسیان، بازیلف وی.تی.. این ادبیات برای دبیرستان، شما نیاز خواهید داشت جلد اول. کارهایی که به ندرت با آنها روبرو می شوم ممکن است از دید من خارج شوند، و آموزشکمک های ارزشمندی ارائه خواهد کرد.

هر دو کتاب را می توان به صورت آنلاین به صورت رایگان دانلود کرد. علاوه بر این، می توانید از آرشیو من استفاده کنید راه حل های آماده، که در صفحه قابل مشاهده است دانلود مثال در ریاضی بالاتر.

در بین ابزارها، من دوباره توسعه خودم را پیشنهاد می کنم - بسته نرم افزاریدر هندسه تحلیلی، که زندگی را تا حد زیادی ساده می کند و در زمان بسیار صرفه جویی می کند.

فرض بر این است که خواننده با اصول اولیه آشنا است مفاهیم هندسیو اشکال: نقطه، خط، صفحه، مثلث، متوازی الاضلاع، متوازی الاضلاع، مکعب و غیره. توصیه می شود برخی از قضایا را به خاطر بسپارید، حداقل قضیه فیثاغورث، سلام به تکرار کنندگان)

و اکنون به ترتیب در نظر خواهیم گرفت: مفهوم بردار، اقدامات با بردارها، مختصات بردار. خواندن ادامه مطلب را توصیه می کنم مهمترین مقاله حاصل ضرب نقطه ای بردارها، و همچنین بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها. یک کار محلی - تقسیم یک بخش از این نظر - نیز اضافی نخواهد بود. بر اساس اطلاعات فوق می توانید مسلط شوید معادله یک خط در یک صفحهبا ساده ترین نمونه راه حل ها، که اجازه خواهد داد حل مسائل هندسه را یاد بگیرید. مقالات زیر نیز مفید هستند: معادله یک هواپیما در فضا, معادلات یک خط در فضا، مسائل اساسی در یک خط مستقیم و یک صفحه، بخش های دیگر هندسه تحلیلی. طبیعتاً در این مسیر وظایف استاندارد در نظر گرفته خواهد شد.

مفهوم برداری. وکتور رایگان

ابتدا اجازه دهید تعریف مدرسه از یک بردار را تکرار کنیم. بردارتماس گرفت جهت دارقسمتی که ابتدا و انتهای آن مشخص شده است:

در این حالت، ابتدای قطعه نقطه است، انتهای قطعه نقطه است. خود بردار با نشان داده می شود. جهتضروری است، اگر فلش را به انتهای دیگر بخش منتقل کنید، یک بردار دریافت می کنید، و این قبلاً وجود دارد وکتور کاملا متفاوت. تشخیص مفهوم بردار با حرکت یک جسم فیزیکی راحت است: باید موافق باشید، ورود به درهای یک موسسه یا خروج از درهای یک موسسه چیزهای کاملاً متفاوتی است.

راحت است که نقاط جداگانه یک هواپیما یا فضا را به اصطلاح در نظر بگیرید بردار صفر. برای چنین بردار، پایان و آغاز بر هم منطبق است.

!!! توجه داشته باشید: در اینجا و بیشتر، می توانید فرض کنید که بردارها در یک صفحه قرار دارند یا می توانید فرض کنید که آنها در فضا قرار دارند - ماهیت مطالب ارائه شده برای هواپیما و فضا معتبر است.

نامگذاری ها:بسیاری بلافاصله متوجه چوب بدون فلش در نام شدند و گفتند، یک فلش نیز در بالا وجود دارد! درست است، شما می توانید آن را با یک فلش بنویسید: ، اما این امکان نیز وجود دارد ورودی که در آینده از آن استفاده خواهم کرد. چرا؟ ظاهراً این عادت به دلایل عملی ایجاد شد؛ تیراندازان من در مدرسه و دانشگاه بسیار متفاوت و پشمالو بودند. که در ادبیات آموزشیگاهی اوقات آنها اصلاً از نوشتن خط میخی خسته نمی شوند، اما حروف را به صورت پررنگ برجسته می کنند: ، در نتیجه به این معنی است که این یک بردار است.

این سبک شناسی بود و اکنون در مورد روش های نوشتن بردارها:

1) وکتورها را می توان با دو حرف بزرگ لاتین نوشت:
و غیره در این مورد، حرف اول لزومانقطه شروع بردار و حرف دوم نقطه پایان بردار را نشان می دهد.

2) وکتورها نیز با حروف کوچک لاتین نوشته می شوند:
به طور خاص، برای اختصار، بردار ما را می توان به عنوان کوچک دوباره طراحی کرد حرف لاتین.

طولیا مدولیک بردار غیر صفر طول قطعه نامیده می شود. طول بردار صفر صفر است. منطقی.

طول بردار با علامت مدول نشان داده می شود:

ما یاد خواهیم گرفت که چگونه طول یک بردار را پیدا کنیم (یا بسته به اینکه چه کسی آن را تکرار می کنیم) کمی بعد.

این اطلاعات اولیه در مورد بردارها بود که برای همه دانش آموزان آشنا بود. در هندسه تحلیلی به اصطلاح وکتور رایگان.

به بیان ساده - بردار را می توان از هر نقطه ترسیم کرد:

ما عادت داریم که چنین بردارهایی را برابر بنامیم (تعریف بردارهای مساوی در زیر ارائه خواهد شد)، اما از نقطه نظر ریاضی محض، آنها همان بردار یا همان بردار هستند. وکتور رایگان. چرا رایگان؟ زیرا در طول حل مسائل، می توانید این یا آن بردار مدرسه را به هر نقطه از صفحه یا فضایی که نیاز دارید، "ضمیمه" کنید. این یک ویژگی بسیار جالب است! یک بخش جهت دار با طول و جهت دلخواه را تصور کنید - می توان آن را بی نهایت بار و در هر نقطه از فضا "کلون" کرد، در واقع، در همه جا وجود دارد. چنین دانشجویی وجود دارد که می گوید: هر استادی یک لعنتی در مورد بردار می دهد. از این گذشته ، این فقط یک قافیه شوخ نیست ، همه چیز تقریباً درست است - یک بخش کارگردانی شده را نیز می توان به آنجا اضافه کرد. اما برای شادی عجله نکنید، این خود دانش آموزان هستند که اغلب رنج می برند =)

بنابراین، وکتور رایگان- این یک دسته از بخش های هدایت شده یکسان تعریف مدرسه از یک بردار، که در ابتدای پاراگراف ارائه شده است: "به یک بخش جهت دار، یک بردار می گویند..." دلالت دارد. خاصیک بخش جهت دار گرفته شده از یک مجموعه معین، که به نقطه خاصی در صفحه یا فضا گره خورده است.

لازم به ذکر است که از دیدگاه فیزیک، مفهوم بردار آزاد در مورد کلینادرست است و نقطه کاربرد مهم است. در واقع، یک ضربه مستقیم از همان نیرو به بینی یا پیشانی، که برای بیان مثال احمقانه من کافی است، پیامدهای متفاوتی را به دنبال دارد. با این حال، غیر رایگانبردارها نیز در دوره vyshmat یافت می شوند (آنجا نروید :)).

اقدامات با بردارها خط خطی بردارها

که در دوره مدرسههندسه، تعدادی عمل و قوانین با بردارها در نظر گرفته می شود: جمع بر اساس قانون مثلث، جمع بر اساس قانون متوازی الاضلاع، قانون تفاوت بردار، ضرب یک بردار در عدد، حاصل ضرب اسکالر بردارها و غیره.به عنوان نقطه شروع، اجازه دهید دو قانون را که مخصوصاً برای حل مسائل هندسه تحلیلی مرتبط هستند، تکرار کنیم.

قانون اضافه کردن بردارها با استفاده از قانون مثلث

دو بردار غیر صفر دلخواه را در نظر بگیرید و :

باید مجموع این بردارها را پیدا کنید. با توجه به اینکه همه بردارها آزاد در نظر گرفته می شوند، بردار را کنار می گذاریم پایانبردار:

مجموع بردارها بردار است. برای درک بهتر این قانون، توصیه می‌شود یک معنای فیزیکی در آن قرار دهید: اجازه دهید مقداری از بدن در امتداد بردار و سپس در امتداد بردار حرکت کند. سپس مجموع بردارها بردار مسیر به دست آمده با شروع در نقطه عزیمت و پایان در نقطه رسیدن است. یک قانون مشابه برای مجموع هر تعداد بردار فرموله شده است. همانطور که آنها می گویند، بدن می تواند مسیر خود را بسیار باریک در امتداد یک زیگزاگ، یا شاید در خلبان خودکار - در امتداد بردار حاصل از مجموع طی کند.

به هر حال، اگر بردار به تعویق افتاد از آغاز شدهبردار، سپس معادل را بدست می آوریم قانون متوازی الاضلاعافزودن بردارها

اول، در مورد هم خطی بردارها. دو بردار نامیده می شوند خطی، اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار بگیرند. به طور کلی، ما در مورد بردارهای موازی صحبت می کنیم. اما در رابطه با آنها همیشه از صفت "هم خط" استفاده می شود.

دو بردار خطی را تصور کنید. اگر فلش های این بردارها در یک راستا باشند، چنین بردارهایی نامیده می شوند کارگردانی مشترک. اگر فلش ها به سمت طرف های مختلف، سپس بردارها خواهند بود جهت های مخالف.

نامگذاری ها:هم خطی بردارها با نماد موازی معمول نوشته می شود: , در حالی که جزئیات ممکن است: (بردارها هم جهت هستند) یا (بردارها خلاف جهت هستند).

کاربردار غیر صفر روی یک بردار برداری است که طول آن برابر است و بردارها و هم جهت و خلاف جهت آن هستند.

قانون ضرب یک بردار در یک عدد با کمک یک تصویر ساده تر است:

بیایید با جزئیات بیشتری به آن نگاه کنیم:

1 مسیر. اگر ضریب منفی باشد، بردار تغییر جهت می دهدبرعکس

2) طول. اگر ضریب در داخل یا وجود داشته باشد، پس طول بردار کاهش می دهد. بنابراین، طول بردار نصف طول بردار است. اگر ضریب مدول بیش از یکی، سپس طول برداری افزایشبه موقع.

3) لطفا توجه داشته باشید که همه بردارها خطی هستند، در حالی که یک بردار از طریق دیگری بیان می شود، برای مثال، . برعکس آن هم درست است: اگر بتوان یک بردار را از طریق دیگری بیان کرد، آنگاه چنین بردارهایی لزوماً هم خط هستند. بدین ترتیب: اگر یک بردار را در یک عدد ضرب کنیم، به صورت خطی می‌شویم(نسبت به اصل) بردار.

4) بردارها به طور مشترک هدایت می شوند. بردارها و همچنین کارگردانی مشترک هستند. هر بردار گروه اول نسبت به هر بردار گروه دوم جهت مخالف دارد.

کدام بردارها برابرند؟

دو بردار اگر در یک جهت و طول یکسان باشند با هم برابرند. توجه داشته باشید که هم جهتی به معنای هم خطی بودن بردارها است. این تعریف نادرست (زائد) خواهد بود اگر بگوییم: "دو بردار مساوی هستند اگر هم خط و هم جهت و دارای طول یکسان باشند."

از نقطه نظر مفهوم بردار آزاد، بردارهای مساوی همان بردار هستند، همانطور که در پاراگراف قبل بحث شد.

مختصات برداری در هواپیما و در فضا

اولین نکته در نظر گرفتن بردارها در صفحه است. اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را به تصویر بکشیم و آن را از مبدأ مختصات رسم کنیم تنهابردارها و:

بردارها و قائم. متعامد = عمود بر. توصیه می کنم کم کم به اصطلاحات عادت کنید: به جای موازی و عمود، به ترتیب از کلمات استفاده می کنیم. هم خطی بودنو متعامد بودن.

تعیین:متعامد بردارها با علامت عمودی معمول نوشته می شود، به عنوان مثال: .

بردارهای مورد بررسی نامیده می شوند بردارهای مختصاتیا orts. این بردارها تشکیل می شوند اساسروی سطح من فکر می کنم که مبنای چیست برای بسیاری به طور مستقیم روشن است؛ اطلاعات دقیق تر را می توان در مقاله یافت وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارهابه عبارت ساده، اساس و منشأ مختصات کل سیستم را تعریف می کند - این نوعی پایه است که یک زندگی هندسی کامل و غنی بر آن می جوشد.

گاهی اوقات پایه ساخته شده نامیده می شود متعارفاساس صفحه: "ارتو" - چون بردارهای مختصات متعامد هستند، صفت "normalized" به معنای واحد است، یعنی. طول بردارهای پایه برابر با یک است.

تعیین:اساس معمولاً در پرانتز نوشته می شود که داخل آن به ترتیب دقیقبردارهای پایه ذکر شده اند، به عنوان مثال: . بردارهای مختصات ممنوع استتنظیم مجدد.

هروکتور هواپیما تنها راهبیان شده به صورت:
، جایی که - شمارهکه نامیده می شوند مختصات برداریدر این مبنا و خود بیان تماس گرفت تجزیه برداریبر اساس .

شام سرو شده:

بیایید با حرف اول الفبا شروع کنیم: . ترسیم به وضوح نشان می دهد که هنگام تجزیه یک بردار به یک پایه، مواردی که قبلاً مورد بحث قرار گرفت استفاده می شود:
1) قانون ضرب بردار در عدد: و ;
2) جمع بردارها طبق قانون مثلث: .

اکنون به صورت ذهنی بردار را از هر نقطه دیگری از صفحه رسم کنید. کاملاً آشکار است که زوال او "بی امان او را دنبال خواهد کرد." اینجا آزادی بردار است - بردار "همه چیز را با خود حمل می کند." این ویژگی، البته، برای هر بردار صادق است. خنده دار است که خود بردارهای پایه (رایگان) لازم نیست از مبدا رسم شوند، یکی را می توان مثلاً در پایین سمت چپ و دیگری را در بالا سمت راست ترسیم کرد و چیزی تغییر نمی کند! درست است، شما نیازی به انجام این کار ندارید، زیرا معلم نیز اصالت را نشان می دهد و در مکانی غیرمنتظره به شما "اعتبار" می دهد.

بردارها دقیقاً قانون ضرب یک بردار در یک عدد را نشان می دهند، بردار با بردار پایه هم جهت است، بردار مخالف بردار پایه است. برای این بردارها، یکی از مختصات برابر با صفر است، می‌توانید آن را با دقت به این صورت بنویسید:


و بردارهای پایه، اتفاقا، اینگونه هستند: (در واقع، آنها از طریق خودشان بیان می شوند).

و در نهایت: ، . به هر حال، تفریق برداری چیست و چرا من در مورد قانون تفریق صحبت نکردم؟ جایی در جبر خطی، یادم نیست کجاست، به این نکته اشاره کردم که تفریق است مورد خاصعلاوه بر این. بنابراین، بسط بردارهای "de" و "e" به راحتی به صورت مجموع نوشته می شوند: . نقشه را دنبال کنید تا ببینید که جمع خوب قدیمی بردارها طبق قانون مثلث چقدر در این موقعیت ها کار می کند.

تجزیه در نظر گرفته شده از فرم گاهی اوقات تجزیه برداری نامیده می شود در سیستم ort(یعنی در سیستمی از بردارهای واحد). اما این تنها راه برای نوشتن بردار نیست، گزینه زیر رایج است:

یا با علامت مساوی:

خود بردارهای پایه به صورت زیر نوشته می شوند: و

یعنی مختصات بردار در داخل پرانتز مشخص شده است. در مسائل عملی از هر سه گزینه علامت گذاری استفاده می شود.

شک داشتم که صحبت کنم، اما به هر حال می گویم: مختصات برداری را نمی توان دوباره مرتب کرد. به شدت در وهله اولمختصاتی را می نویسیم که با بردار واحد مطابقت دارد، به شدت در رتبه دوممختصاتی را می نویسیم که با بردار واحد مطابقت دارد. در واقع، و دو بردار متفاوت هستند.

ما مختصات را در هواپیما فهمیدیم. حالا بیایید به بردارها در فضای سه بعدی نگاه کنیم، اینجا تقریبا همه چیز یکسان است! فقط یک مختصات دیگر اضافه می کند. ساختن نقاشی های سه بعدی سخت است، بنابراین من خودم را به یک بردار محدود می کنم، که برای سادگی آن را از مبدا کنار می گذارم:

هربردار فضای سه بعدیمی توان تنها راهگسترش بر اساس متعارف:
، مختصات بردار (عدد) در این مبنا کجاست.

نمونه ای از تصویر: . بیایید ببینیم قوانین برداری در اینجا چگونه کار می کنند. ابتدا بردار را در یک عدد ضرب کنید: (فلش قرمز)، (فلش سبز) و (فلش تمشک). ثانیاً، در اینجا مثالی از جمع چند بردار، در این مورد سه، آورده شده است: . بردار مجموع از نقطه شروع اولیه (ابتدای بردار) شروع می شود و در نقطه پایانی رسیدن (انتهای بردار) به پایان می رسد.

همه بردارهای فضای سه بعدی، طبیعتاً، نیز آزاد هستند؛ سعی کنید بردار را به صورت ذهنی از هر نقطه دیگری کنار بگذارید، و خواهید فهمید که تجزیه آن «با آن باقی خواهد ماند».

مشابه مورد مسطح، علاوه بر نوشتن نسخه های دارای براکت به طور گسترده استفاده می شوند: یا .

اگر یک (یا دو) بردار مختصات در بسط وجود نداشته باشد، صفرها به جای آنها قرار می گیرند. مثال ها:
بردار (با دقت ) - بیا بنویسیم ؛
بردار (با دقت ) - بیا بنویسیم ؛
بردار (با دقت ) - بیا بنویسیم .

بردارهای پایه به صورت زیر نوشته می شوند:

این احتمالاً همه حداقل است دانش نظری، برای حل مسائل هندسه تحلیلی ضروری است. ممکن است اصطلاحات و تعاریف زیادی وجود داشته باشد، بنابراین توصیه می کنم که آدمک ها دوباره مطالعه و درک کنند این اطلاعاتاز نو. و رجوع هر از چند گاهی به درس پایه برای هر خواننده ای مفید خواهد بود تا مطالب را بهتر جذب کند. هم خطی، متعامد، مبنای متعامد، تجزیه برداری - این مفاهیم و مفاهیم دیگر اغلب در آینده استفاده خواهند شد. متذکر می شوم که مطالب موجود در سایت برای قبولی در آزمون نظری یا گفتگوی هندسه کافی نیست ، زیرا من با دقت تمام قضایا (و بدون اثبات) را رمزگذاری می کنم - به ضرر سبک علمی ارائه ، اما یک نکته مثبت برای درک شما از عنوان. برای دریافت اطلاعات دقیق تئوری، لطفاً به پروفسور آتاناسیان تعظیم کنید.

و به قسمت عملی آن می رویم:

ساده ترین مسائل هندسه تحلیلی
اعمال با بردارها در مختصات

بسیار توصیه می شود که یاد بگیرید چگونه وظایفی را که کاملاً خودکار در نظر گرفته می شوند و فرمول ها را حل کنید حفظ کردن، حتی لازم نیست عمداً آن را به خاطر بسپارید، آنها خودشان آن را به خاطر خواهند آورد =) این بسیار مهم است، زیرا سایر مسائل هندسه تحلیلی بر اساس ساده ترین مثال های ابتدایی است و صرف زمان اضافی برای خوردن پیاده ها آزار دهنده خواهد بود. . نیازی به بستن دکمه های بالای پیراهن نیست، چیزهای زیادی از دوران مدرسه برای شما آشناست.

ارائه مطالب یک دوره موازی را دنبال می کند - هم برای هواپیما و هم برای فضا. به این دلیل که تمام فرمول های ... را خودتان خواهید دید.

چگونه از دو نقطه بردار پیدا کنیم؟

اگر دو نقطه از صفحه داده شود، بردار دارای مختصات زیر است:

اگر دو نقطه در فضا داده شود، بردار مختصات زیر را دارد:

به این معنا که، از مختصات انتهای بردارباید مختصات مربوطه را کم کنید ابتدای بردار.

ورزش:برای همان نقاط، فرمول های یافتن مختصات بردار را بنویسید. فرمول ها در پایان درس.

مثال 1

با توجه به دو نقطه از هواپیما و . مختصات برداری را پیدا کنید

راه حل:طبق فرمول مناسب:

به طور متناوب، می توان از ورودی زیر استفاده کرد:

زیبایی‌شناسان در این مورد تصمیم خواهند گرفت:

شخصاً به نسخه اول ضبط عادت کرده ام.

پاسخ:

با توجه به شرط، نیازی به ساخت یک نقشه (که برای مسائل هندسه تحلیلی معمول است) نبود، اما برای روشن شدن برخی نکات برای آدمک ها، تنبل نخواهم بود:

حتما باید بفهمی تفاوت بین مختصات نقطه و مختصات برداری:

مختصات نقطه- اینها مختصات معمولی در یک سیستم مختصات مستطیلی هستند. امتیاز قرار دهید هواپیمای مختصاتمن فکر می کنم همه می توانند از کلاس پنجم تا ششم این کار را انجام دهند. هر نقطه دارای یک مکان دقیق در هواپیما است و نمی توان آنها را به جایی منتقل کرد.

مختصات بردار- این گسترش آن بر اساس اساس، در این مورد است. هر بردار آزاد است، بنابراین در صورت تمایل یا نیاز، می توانیم به راحتی آن را از نقطه دیگری در هواپیما دور کنیم. جالب است که برای بردارها اصلاً نیازی به ساخت محور یا سیستم مختصات مستطیلی ندارید، فقط به یک پایه نیاز دارید، در این مورد به یک پایه متعارف صفحه.

به نظر می رسد رکورد مختصات نقاط و مختصات بردارها مشابه باشد: و معنی مختصاتکاملا ناهمسان، و شما باید به خوبی از این تفاوت آگاه باشید. این تفاوت البته در مورد فضا نیز صدق می کند.

خانم ها و آقایان بیایید دستمان را پر کنیم:

مثال 2

الف) امتیاز و داده می شود. بردارها و .
ب) امتیاز داده شده است و . بردارها و .
ج) امتیاز و داده شده است. بردارها و .
د) امتیاز داده شده است. بردارها را پیدا کنید .

شاید همین کافی باشد. اینها نمونه هایی هستند که می توانید خودتان تصمیم بگیرید، سعی کنید از آنها غافل نشوید، نتیجه می دهد ;-). نیازی به کشیدن نقاشی نیست. راه حل و پاسخ در پایان درس.

در حل مسائل هندسه تحلیلی چه چیزی مهم است؟مهم است که بسیار مراقب باشید تا از اشتباه استادانه «دو به علاوه دو برابر با صفر» اجتناب کنید. اگر جایی اشتباه کردم فورا عذرخواهی میکنم =)

چگونه طول یک قطعه را پیدا کنیم؟

طول، همانطور که قبلا ذکر شد، با علامت مدول نشان داده می شود.

اگر دو نقطه از صفحه داده شود و سپس طول قطعه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

اگر دو نقطه در فضا داده شود، می توان طول قطعه را با استفاده از فرمول محاسبه کرد

توجه داشته باشید: اگر مختصات مربوطه با هم عوض شوند، فرمول‌ها درست می‌مانند، اما گزینه اول استانداردتر است.

مثال 3

راه حل:طبق فرمول مناسب:

پاسخ:

برای وضوح، من یک نقاشی خواهم کرد

بخش خط - این یک بردار نیست، و، البته، شما نمی توانید آن را به جایی منتقل کنید. علاوه بر این، اگر به مقیاس ترسیم کنید: 1 واحد. = 1 سانتی متر (دو سلول نوت بوک)، سپس پاسخ به دست آمده را می توان با یک خط کش معمولی با اندازه گیری مستقیم طول قطعه بررسی کرد.

بله، راه حل کوتاه است، اما چند نکته مهم دیگر در آن وجود دارد که می خواهم توضیح دهم:

اولاً در پاسخ، بعد «واحدها» را قرار می دهیم. این وضعیت نمی‌گوید چه چیزی است، میلی‌متر، سانتی‌متر، متر یا کیلومتر. بنابراین، یک راه حل ریاضی درست، فرمول کلی خواهد بود: "واحدها" - به اختصار "واحدها".

دوماً تکرار کنیم مواد مدرسه، که نه تنها برای مشکل در نظر گرفته شده مفید است:

توجه کن به مهم تکنیک فنی – حذف ضریب از زیر ریشه. در نتیجه محاسبات، یک نتیجه داریم و سبک ریاضی خوب شامل حذف عامل از زیر ریشه (در صورت امکان) است. با جزئیات بیشتر، این روند به این صورت است: . بدیهی است که باقی گذاشتن پاسخ به همان شکلی که هست اشتباه نخواهد بود - اما مسلماً نقص و استدلالی سنگین برای سخن گفتن از جانب معلم خواهد بود.

در اینجا موارد رایج دیگری وجود دارد:

اغلب در ریشه به اندازه کافی وجود دارد عدد بزرگ، مثلا . در چنین مواقعی چه باید کرد؟ با استفاده از ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر 4 بخش پذیر است یا خیر. بله، به طور کامل تقسیم شد، به این ترتیب: . یا شاید دوباره بتوان عدد را بر 4 تقسیم کرد؟ . بدین ترتیب: . آخرین رقم عدد فرد است، بنابراین تقسیم بر 4 برای بار سوم بدیهی است که کار نخواهد کرد. بیایید سعی کنیم بر 9 تقسیم کنیم: . در نتیجه:
آماده.

نتیجه:اگر در زیر ریشه عددی به دست آوریم که نمی توان آن را به طور کلی استخراج کرد، سپس سعی می کنیم عامل را از زیر ریشه حذف کنیم - با استفاده از یک ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر تقسیم پذیر است: 4، 9، 16، 25، 36، 49 و غیره

هنگام حل مسائل مختلف، اغلب با ریشه ها مواجه می شود؛ همیشه سعی کنید عواملی را از زیر ریشه استخراج کنید تا از نمره پایین تر و مشکلات غیرضروری جلوگیری کنید و راه حل های خود را بر اساس نظرات معلم نهایی کنید.

بیایید ریشه های مربع و سایر قدرت ها را نیز تکرار کنیم:

قوانین اعمال با درجه در نمای کلیرا می توان در یک کتاب درسی مدرسه در مورد جبر یافت، اما من فکر می کنم از مثال های ارائه شده، همه چیز یا تقریباً همه چیز از قبل واضح است.

کار برای راه حل مستقل با یک بخش در فضا:

مثال 4

امتیاز و داده می شود. طول قطعه را پیدا کنید.

راه حل و پاسخ در پایان درس است.

چگونه طول یک بردار را پیدا کنیم؟

اگر یک بردار صفحه داده شود، طول آن با فرمول محاسبه می شود.

اگر بردار فضایی داده شود، طول آن با فرمول محاسبه می شود .

هندسه تحلیلی

		هفته رویداد	امتیاز ماژول بر حسب امتیاز
		کنترل ماژول
			بیشترین		کمترین
ترم 1
DZ شماره 1، قسمت 1
DZ شماره 1، قسمت 2
کنترل توسط ماژول شماره 1
امتیاز جایزه
کنترل توسط ماژول شماره 2
امتیاز جایزه

اقدامات کنترلی و زمان بندی اجرای آنها ماژول 1

1. DZ شماره 1 قسمت 1 "جبر برداری" مهلت صدور 2 هفته، تاریخ سررسید - 7 هفته

2. DZ شماره 1 قسمت 2 "خطوط مستقیم و هواپیما"

مدت زمان صدور 1 هفته، تاریخ سررسید 9 هفته است

3. تست بر روی ماژول شماره 1 (RC شماره 1) "جبر برداری، خطوط و سطوح." مدت زمان: 10 هفته

1. DZ شماره 2 «منحنی ها و سطوحسفارش دوم" زمان صدور 6 هفته، تاریخ سررسید - 13 هفته

5. تست "منحنی ها و سطوح"دستور دوم." مدت زمان: 14 هفته

6. کنترل بر روی ماژول شماره 2 (RC No. 2) "ماتریس ها و سیستم های خطی معادلات جبری»

مدت زمان: 16 هفته

وظایف معمولی که در شکل گیری گزینه های کنترل فعلی استفاده می شود

1. مشق شبشماره 1. "جبر برداری و هندسه تحلیلی"

داده شده: نقاط A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			A(1;2;0); اعداد 30،				b 1 ; گوشه
1. طول بردار |		n | ، اگر			ص ق	n bp q	و p, q واحد هستند

بردارهایی که زوایای آنها برابر است.

2. مختصات نقطه M را که بردار AB را به نسبت a:1 تقسیم می کند، بیابید.

3. بررسی کنید که آیا این امکان روی بردارها وجود دارد یا خیر AB و AD متوازی الاضلاع می سازند. اگر بله، طول اضلاع متوازی الاضلاع را پیدا کنید.

4. زوایای بین قطرهای متوازی الاضلاع ABCD را پیدا کنید.

5. مساحت متوازی الاضلاع ABCD را پیدا کنید.

6. اطمینان حاصل کنید که بر روی بردارها AB، AD، AA 1 شما می توانید یک متوازی الاضلاع بسازید. حجم این متوازی الاضلاع و طول ارتفاع آن را بیابید.

7. مختصات برداری را پیدا کنید AH، در امتداد ارتفاع متوازی الاضلاع ABCDA 1 B 1 C 1 D 1، کشیده شده از نقطه A به صفحه پایه A 1 B 1 C 1 D 1،

مختصات نقطه H و مختصات یک بردار واحد که در جهت با بردار AH منطبق است.

8. تجزیه بردار را پیدا کنید AH توسط بردارهای AB، AD، AA 1.

9. طرح ریزی بردار را پیدا کنید AH به بردار AA 1.

10. معادلات صفحات را بنویسید: الف) P، عبور از نقاط A، B، D.

ب) P1 که از نقطه A و خط A1 B1 عبور می کند.

ج) عبور P2 از نقطه A1 به موازات صفحه P. د) P3 حاوی خطوط مستقیم AD و AA1.

ه) P4 که از نقاط A و C1 عمود بر صفحه P می گذرد.

11. فاصله بین خطوطی که لبه های AB و CC روی آن قرار دارند را پیدا کنید 1 ; معادلات متعارف و پارامتری عمود بر آنها را بنویسید.

12. نقطه A 2 متقارن با نقطه A1 را نسبت به صفحه قاعده پیدا کنید

13. زاویه بین خطی که مورب A روی آن قرار دارد را پیدا کنید 1 C و صفحه پایه ABCD.

14. پیدا کردن گوشه ی تیزبین هواپیماهای ABC 1 D (صفحه P) و ABB1 A1 (صفحه P1).

2. تکلیف شماره 2. "منحنی ها و سطوح درجه دوم"

در مسائل 1-2، معادله داده شده از یک خط مرتبه دوم را به شکل متعارف بیاورید و یک منحنی در سیستم مختصات OXY بسازید.

که در مسئله 3، با استفاده از داده های داده شده، معادله منحنی را در سیستم مختصات OXY پیدا کنید. برای وظایف 1-3 نشان می دهد:

1) دیدگاه متعارفمعادلات خط;

2) تبدیل ترجمه موازی که منجر به شکل متعارف می شود.

3) در مورد بیضی: نیمه محور، خروج از مرکز، مرکز، رئوس، کانون، فاصله از نقطه C تا کانون. در مورد هذلولی: نیمه محورها، خروج از مرکز، مرکز، رئوس، کانون ها، فواصل از نقطه C تا کانون ها، معادلات مجانب. در مورد سهمی: پارامتر، راس، فوکوس، معادله مستقیم، فواصل از نقطه C تا کانون و جهت.

4) برای نقطه C، ویژگی را بررسی کنید که این نوع منحنی را به عنوان منبع نقاط مشخص می کند.

که در مسئله 4 تبدیل ترجمه موازی را نشان می دهد که معادله سطح داده شده را به شکل متعارف، شکل متعارف معادله سطح و نوع سطح می آورد. یک سطح در سیستم مختصات متعارف OXYZ بسازید.

	5x 2 y 2 20x 2y 4 , C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14).
		5) ;
	سهمی با توجه به خط مستقیم y 1 0 متقارن است و فوکوس دارد							; 1 ,
	محور OX را در نقطه C قطع می کند				; 0 و شاخه های آن در نیم صفحه قرار دارند	x 0 .
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

تست بر روی ماژول شماره 1 «جبر برداری. هندسه تحلیلی"

1. سه گانه راست و چپ بردارها. تعریف محصول برداریبردارها ویژگی های حاصلضرب برداری بردارها را فرموله کنید. فرمولی برای محاسبه حاصل ضرب برداری دو بردار که با مختصات آنها به صورت متعارف مشخص شده اند، استخراج کنید.

بردارها

یک دقیقه،

دقیقه،

1، m، n

شاید،

تجزیه برداری

c 3 i

12 j 6k

بردارها

3 j 2 k و b 2 i 3 j 4 k.

معادله هواپیما را بنویسید

عبور از نقاط M 1 5، 1، 4،

M 2 2, 3.1 و

عمود بر صفحه

6x 5y 4z 1 0. معادلات متعارف را بنویسید

خط مستقیمی که از نقطه M 0 0, 2,1 می گذرد و به صفحه پیدا شده متعامد می شود.

تست "منحنی ها و سطوح مرتبه دوم"

1. تعریف بیضی به عنوان مکان هندسی نقاط. استخراج معادله متعارف یک بیضی در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی شکل. پارامترهای اساسی منحنی.

2. معادله سطح x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 منجر به متعارف

ذهن یک نقاشی در سیستم مختصات متعارف انجام دهید. نام این سطح را ذکر کنید.

3. اگر مرکز O 1 1 , 1 و یکی از کانون های آن F 1 3 , 1 مشخص باشد برای هذلولی هم محوری معادله بنویسید. یک نقاشی بکشید.

تست بر روی ماژول شماره 2 ” منحنی ها و سطوح درجه دوم. ماتریس ها و سیستم های معادلات جبری خطی

1. سیستم های همگن معادلات جبری خطی (SLAE). اشکال ثبت SLAE همگن. اثبات یک معیار برای وجود راه حل های غیر صفر یک SLAE همگن.

2. حل معادله ماتریس AX B،

چک کنید

3. الف) SLAE را حل کنید. ب) سیستم بنیادی معمولی محلول های سیستم همگن مربوطه را بیابید، یک راه حل خاص از سیستم ناهمگن. از طریق آنها راه حل کلی این سیستم ناهمگن را بنویسید:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x 1 3 x 2 3 x 4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

سوالات برای آماده شدن برای آزمون های ماژول، کار آزمایشی، تست و امتحان

1. بردارهای هندسی بردارهای رایگان تعریف بردارهای همسطح و همسطح. عملیات خطی بردارها و خواص آنها.

2. تعریف وابستگی خطیو استقلال خطی بردارها. اثبات شرایط وابستگی خطیبردارهای 2 و 3.

3. تعریف مبنا در فضاهای برداری V 1, V 2, V 3. اثبات قضیه وجود و منحصر به فرد بودن بسط یک بردار نسبت به یک مبنا. عملیات خطی بر روی بردارهایی که با مختصات آنها در پایه مشخص شده اند.

4. تعریف حاصل ضرب اسکالر بردارها، ارتباط آن با برآمدگی متعامد بردار بر روی محور. خواص حاصلضرب اسکالر، اثبات آنها. استخراج فرمول محاسبه حاصل ضرب اسکالر بردارها بر اساس متعارف.

5. تعریف پایه متعارف. رابطه بین مختصات یک بردار در مبنای متعامد و پیش بینی های متعامد آن بر بردارهای این پایه. استخراج فرمول برای محاسبه طول بردار، کسینوس جهت آن و زاویه بین دو بردار بر اساس متعارف.

6. سه گانه راست و چپ بردارها. تعریف حاصلضرب بردارها، معنای مکانیکی و هندسی آن. خواص محصول برداری (بدونسند). اشتقاق فرمول برای محاسبه حاصلضرب بردار بر اساس متعارف.

7. تعریف محصول مخلوطبردارها حجم یک متوازی الاضلاع و حجم یک هرم که بر روی بردارهای غیرهمسطح ساخته شده است. شرط همسطح بودن سه بردار. خواص یک محصول مخلوط اشتقاق فرمولی برای محاسبه یک محصول مخلوط بر اساس متعارف.

8. تعریف سیستم مختصات دکارتی مستطیلی حل ساده ترین مسائل هندسه تحلیلی.

9. انواع مختلف معادله یک خط مستقیم در یک صفحه: برداری، پارامتری، متعارف. بردار جهت مستقیم است.

10. استخراج معادله خطی که از دو می گذرد امتیاز داده شده.

11. اثبات این قضیه که در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در یک صفحه، معادله درجه اول یک خط مستقیم را تعریف می کند. تعیین بردار نرمال یک خط.

12. معادله با شیب، معادله یک خط مستقیم "در پاره". معنی هندسیپارامترهای موجود در معادلات زاویه بین دو خط مستقیم. شرایط موازی بودن و عمود بودن دو خط، با معادلات کلی یا متعارف آنها.

13. استخراج فرمول فاصله از یک نقطه تا یک خط در یک صفحه.

14. اثبات این قضیه که در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در فضا، معادله درجه یک صفحه را تعریف می کند. معادله کلی هواپیما. تعیین بردار نرمال یک هواپیما. استخراج معادله صفحه ای که از سه نقطه داده شده عبور می کند. معادله هواپیما "در بخش".

15. زاویه بین هواپیماها شرایط موازی بودن و عمود بودن دو صفحه.

16. استخراج فرمول فاصله از نقطه تا صفحه.

17. معادلات کلی یک خط مستقیم در فضا. خروجی بردار، متعارف و معادلات پارامتریکمستقیم در فضا

18. زاویه بین دو خط مستقیم در فضا، شرایط موازی و عمود بودن دو خط مستقیم. شرایط تعلق دو خط مستقیم به یک صفحه.

19. زاویه بین خط مستقیم و صفحه، شرایط موازی بودن و عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه. شرط تعلق یک خط مستقیم به صفحه معین.

20. مشکل یافتن فاصله بین خطوط متقاطع یا موازی.

21. تعریف بیضی به عنوان مکان هندسی نقاط. استخراج معادله متعارف بیضی.

22. تعریف هذلولی به عنوان مکان نقاط. استخراج معادله هذلولی متعارف.

23. تعریف سهمی به عنوان مکان نقاط. استخراج معادله سهمی متعارف.

24. تعریف سطح استوانه ای. معادلات متعارفسطوح استوانه ایسفارش 2.

25. مفهوم سطح انقلاب. معادلات متعارف سطوح که از چرخش بیضی، هذلولی و سهمی تشکیل شده است.

26. معادلات متعارف یک بیضی و یک مخروط. بررسی شکل این سطوح به روش مقاطع.

27. معادلات متعارف هیپربولوئیدها. بررسی شکل هیپربولوئیدها به روش مقاطع.

28. معادلات متعارف پارابولوئیدها. بررسی شکل پارابولوئیدها به روش مقاطع.

29. مفهوم ماتریس. انواع ماتریس ها برابری ماتریسی عملیات خطی روی ماتریس ها و خواص آنها. جابجایی ماتریس ها

30. ضرب ماتریس. ویژگی های عملیات ضرب ماتریس.

31. تعریف ماتریس معکوس اثبات منحصر به فرد بودن ماتریس معکوس. اثبات قضیه در ماتریس معکوس حاصل ضرب دو ماتریس معکوس.

32. معیار وجود ماتریس معکوس. مفهوم ماتریس الحاقی، ارتباط آن با ماتریس معکوس.

33. استخراج فرمول های کرامر برای حل سیستم معادلات خطیبا یک ماتریس مربع غیر منفرد.

34. وابستگی خطی و استقلال خطیردیف (ستون) ماتریس. اثبات معیار وابستگی خطی سطرها (ستون ها).

35. تعریف ماتریس مینور جزئی پایه. قضیه بر اساس جزئی (بدون سند). اثبات نتیجه آن برای ماتریس های مربع.

36. روش مرزبندی مینورها برای یافتن رتبه یک ماتریس.

37. تبدیل های ابتدایی ردیف ها (ستون ها) ماتریس. یافتن ماتریس معکوس با استفاده از روش تبدیل های ابتدایی.

38. قضیه تغییرناپذیری رتبه یک ماتریس تحت تبدیل های ابتدایی. یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از روش تبدیل های ابتدایی.

39. سیستم های معادلات جبری خطی (SLAE). اشکال مختلف ضبط SLAE. SLAE مشترک و ناسازگار. اثبات معیار کرونکر-کاپل برای سازگاری SLAEها.

40. سیستم های همگن معادلات جبری خطی (SLAE). خواص راه حل های آنها.

41. تعریف سیستم بنیادیراه حل (FSR) یک سیستم همگن معادلات جبری خطی (SLAE). قضیه ساختار راه حل کلی SLAE همگن ساخت FSR.

42. سیستم های ناهمگن معادلات جبری خطی (SLAE). اثبات قضیه ساختار حل کلی یک SLAE ناهمگن.

رویداد کنترل	تعداد وظایف	امتیاز برای کار
DZ شماره 1، قسمت 1
امتیاز به دست آورده
رویداد کنترل	تعداد وظایف	امتیاز برای کار
DZ شماره 1، قسمت 2
امتیاز به دست آورده

رویداد کنترل				تعداد وظایف			امتیاز برای کار
کنترل توسط ماژول شماره 1				1 نظریه و 3 مسئله			نظریه - 0; 3; 6
							وظایف - 0؛ 1 2
			امتیاز به دست آورده
رویداد کنترل				تعداد وظایف			امتیاز برای کار
	امتیاز به دست آورده
رویداد کنترل				تعداد وظایف			امتیاز برای کار
				1 نظریه و 3 مسئله			نظریه - 0; 3; 6
							وظایف - 0؛ 1 2
			امتیاز به دست آورده
						نظریه 01 و 3 مسئله			نظریه - 0; 3; 6
		وظایف - 0؛ 1 2
			امتیاز به دست آورده

قوانین اختصاص امتیاز در مجله

1. نقاط برای کنترل از راه دور. امتیاز تکالیف کاری طبق جدول مربوطه هفته بعد پس از موعد مقرر صادر می شود. دانش آموز این حق را دارد که ضمن دریافت مشاوره لازم، تکالیف فردی را زودتر از موعد مقرر برای بررسی و تصحیح اشتباهات ذکر شده توسط استاد ارائه دهد. اگر دانش آموز تا آخرین مهلت ارسال تکلیف، راه حل مشکل را به نسخه صحیح بیاورد، به او جایزه تعلق می گیرد. حداکثر امتیاز. پس از پایان مهلت ارسال تکلیف، دانش آموزی که حداقل نمره تکلیف را کسب نکرده باشد، می تواند به انجام تکلیف ادامه دهد. علاوه بر این، در صورت کار موفقبه دانشجو اعتبار داده می شود حداقل امتیازبرای DZ.

2. امتیاز برای سی دی. اگر دانش آموزی به موقع به حداقل نمره برای سی دی نرسد، در طول ترم می تواند این اثر را دو بار بازنویسی کند. اگر نتیجه مثبت باشد (نمرات کمتر از حداقل تعیین شده نباشد)، حداقل نمره CR به دانش آموز داده می شود.

3. نکاتی برای "کنترل مدولار".به عنوان یک "کنترل مدول" پیشنهاد شده است کاغذبازی، شامل بخش های نظری و عملی می باشد. هر قسمت از کنترل ماژول به طور جداگانه ارزیابی می شود. دانش‌آموزی که در یکی از قسمت‌های آزمون نمره کمتر از حداقل را کسب کند، قبولی در این قسمت محسوب می‌شود و از تکمیل آن در آینده معاف است. بنا به صلاحدید معلم، ممکن است در بخش تئوری تکلیف مصاحبه انجام شود. اگر دانشجو به حداقل تعیین شده برای هر بخش از کار دست نیابد، در طول ترم برای هر بخش دو تلاش برای اصلاح وضعیت دارد. با مثبت

در نتیجه (مجموعه ای از امتیازات نه کمتر از حداقل تعیین شده)، به دانش آموز حداقل امتیاز برای "کنترل ماژول" داده می شود.

4. درجه ماژول.اگر دانش‌آموز تمام فعالیت‌های کنترل فعلی ماژول را تکمیل کرده باشد (حداقل حداقل امتیاز تعیین شده را کسب کرده باشد)،

سپس نمره برای ماژول مجموع امتیازات برای تمام فعالیت های کنترلی ماژول است (در این حالت، دانش آموز به طور خودکار حداقل حداقل آستانه را کسب می کند). نمرات نهایی ماژول پس از تکمیل تمام فعالیت های کنترلی در مجله ثبت می شود.

5. امتیاز کل. مجموع امتیازات برای دو ماژول.

6. ارزشیابی. گواهینامه نهایی (امتحان، آزمون متمایز، آزمون) بر اساس نتایج کار در ترم پس از تکمیل میزان برنامه ریزی شده کار آموزشی و دریافت نمره برای هر واحد که کمتر از حداقل تعیین شده نباشد، انجام می شود. حداکثر مجموع امتیازات برای همه ماژول ها، از جمله امتیاز برای سخت کوشی، 100، حداقل 60 است. مجموع امتیازات برای همه ماژول ها، امتیاز رتبه بندی رشته را برای ترم تشکیل می دهد. دانش آموزی که تمام رویدادهای کنترلی را گذرانده باشد، نمره نهایی را در این رشته برای ترم مطابق با مقیاس دریافت می کند:

		نمره امتحان،	ارزیابی در آزمون
		جدول رده بندی متفاوت
		رضایت بخش
		نامطلوب

شما می توانید رتبه خود را افزایش دهید، و بنابراین، نمره امتحان خود را، در امتحان نهایی (کار کتبی روی مواد رشته به طور کلی، انجام شده در جلسه امتحان)، حداکثر نمره 30، حداقل 16- است. . این امتیازات با امتیازهای دریافتی برای همه ماژول های این رشته خلاصه می شود. در همان زمان، برای افزایش نمره به "خوب" برای امتحان، دانش آموز باید حداقل 21 امتیاز، به "عالی" - حداقل 26 امتیاز کسب کند. برای تخصص هایی که اعتبار در رشته ارائه می شود، امتیاز افزایش نمی یابد. دانش‌آموزانی که در ابتدای جلسه امتحان از 0 تا 59 امتیاز کسب می‌کنند حداقل مورد نیازبرای کسب نمره مثبت در این رشته با شرکت مجدد در فعالیت های آزمون که قبلاً در واحدهای جداگانه قبول نشده بودند. در عین حال دانش آموزانی که ندارند دلیل خوب، ممکن است در نهایت (تا پایان جلسه امتحان) نمره ای بالاتر از "رضایت بخش" دریافت کند.

محور ابسیسا و ارتین نامیده می شود مختصات بردار. مختصات برداری معمولاً در فرم نشان داده می شود (x، y)، و خود بردار به صورت: =(x, y).

فرمول تعیین مختصات برداری برای مسائل دو بعدی.

در مورد یک مسئله دو بعدی، بردار با معلوم مختصات نقاط A (x 1; y 1)و ب(ایکس 2 ; y 2 ) قابل محاسبه است:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

فرمول تعیین مختصات برداری برای مسائل فضایی.

در مورد یک مسئله فضایی، بردار با معلوم مختصات نقاطآ (x 1; y 1;z 1 ) و ب (ایکس 2 ; y 2 ; z 2 ) را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

= (ایکس 2 - ایکس 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

مختصات توصیف جامعی از بردار را ارائه می دهند، زیرا می توان خود بردار را با استفاده از مختصات ساخت. با دانستن مختصات، محاسبه و محاسبه آسان است طول برداری. (ملاک 3 در زیر).

ویژگی های مختصات برداری

1. هر بردارهای مساویدر یک سیستم مختصات واحد دارند مختصات مساوی.

2. مختصات بردارهای خطی متناسب. به شرطی که هیچ یک از بردارها صفر نباشد.

3. مجذور طول هر بردار با مجموع مجذورات آن برابر است مختصات.

4- در حین جراحی ضرب برداریبر عدد واقعیهر یک از مختصات آن در این عدد ضرب می شود.

5. هنگام جمع بردارها، مجموع بردارها را محاسبه می کنیم مختصات برداری.

6. حاصلضرب عددیدو بردار برابر است با مجموع حاصل از مختصات مربوطه آنها.