تعیین درجه ریشه یک واقعی. ریشه درجه n: تعاریف اساسی. ریشه درجه n. تعریف

درس و ارائه با موضوع: "ریشه n ام یک عدد واقعی"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه یازدهم
مسائل جبری با پارامترها، نمرات 9-11
"وظایف تعاملی ساختمان در فضا برای کلاس های 10 و 11"

ریشه درجه n. تکرار آنچه پوشش داده شده است.

بچه ها موضوع درس امروز نام دارد "ریشه N یک عدد واقعی".
ما جذر یک عدد واقعی را در کلاس هشتم مطالعه کردیم. جذر به تابعی به شکل $y=x^2$ مربوط می شود. بچه ها یادتون هست چطوری جذر را محاسبه کردیم و چه ویژگی هایی داشت؟ این موضوع را خودتان تکرار کنید.
بیایید تابعی به شکل $y=x^4$ را ببینیم و آن را رسم کنیم.

حالا بیایید معادله را به صورت گرافیکی حل کنیم: $x^4=16$.
بیایید یک خط مستقیم $y=16$ روی نمودار تابع خود بکشیم و ببینیم که دو نمودار ما در چه نقطه‌ای قطع می‌شوند.
نمودار تابع به وضوح نشان می دهد که ما دو راه حل داریم. توابع در دو نقطه با مختصات (-2;16) و (2;16) تلاقی می کنند. ابسیساهای نقاط ما راه حل های معادله ما هستند: $x_1=-2$ و $x_2=2$. همچنین یافتن ریشه های معادله $x^4=1$ نیز آسان است؛ بدیهی است که $x_1=-1$ و $x_2=1$.
در صورت وجود معادله $x^4=7$ چه باید کرد.
بیایید توابع خود را رسم کنیم:
نمودار ما به وضوح نشان می دهد که معادله نیز دو ریشه دارد. آنها متقارن هستند نسبت به محور ترتیبی، یعنی مخالف هستند. نمی توان راه حل دقیقی از نمودار توابع پیدا کرد. ما فقط می توانیم بگوییم که راه حل های ما مدول کمتر از 2 اما بزرگتر از 1 هستند. همچنین می توانیم بگوییم که ریشه های ما اعداد غیر منطقی هستند.
در مواجهه با چنین مشکلی، ریاضیدانان نیاز به توصیف آن داشتند. آنها یک نماد جدید معرفی کردند: $\sqrt()$ که آن را ریشه چهارم نامیدند. سپس ریشه های معادله ما $x^4=7$ به این شکل نوشته می شود: $x_1=-\sqrt(7)$ و $x_2=\sqrt(7)$. ریشه چهارم هفت را بخوانید.
ما در مورد معادله ای به شکل $x^4=a$ صحبت کردیم که $a>0$ $(a=1,7,16)$. ما می توانیم معادلات شکل را در نظر بگیریم: $x^n=a$، که در آن $a>0$، n - هر عدد طبیعی.
ما باید به درجه در x توجه کنیم که آیا درجه زوج است یا فرد - تعداد راه حل ها تغییر می کند. در نظر بگیریم مثال خاص. بیایید معادله $x^5=8$ را حل کنیم. بیایید تابع را رسم کنیم:
نمودار توابع به وضوح نشان می دهد که در مورد ما فقط یک راه حل داریم. راه حل معمولا با $\sqrt(8)$ نشان داده می شود. با حل معادله ای به شکل $x^5=a$ و اجرا در امتداد کل محور مختصات، درک اینکه این معادله همیشه یک راه حل خواهد داشت دشوار نیست. در این حالت مقدار a ممکن است کمتر از صفر باشد.

ریشه درجه n. تعریف

تعریف. ریشه n ($n=2,3,4...$) یک عدد غیر منفی a نامیده می شود. عدد غیر منفی، وقتی به توان n افزایش یابد، عدد a به دست می آید.

این عدد با $\sqrt[n](a)$ نشان داده می شود. عدد a را عدد رادیکال می نامند، n توان ریشه است.

ریشه های درجه دوم و سوم را معمولاً به ترتیب ریشه مربع و مکعب می نامند. ما آنها را در کلاس هشتم و نهم مطالعه کردیم.
اگر $a≥0$، $n=2،3،4،5…$، آنگاه:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
عملیات یافتن ریشه یک عدد غیر منفی نامیده می شود "استخراج ریشه".
توان و استخراج ریشه همان وابستگی هستند:

بچه ها لطفا توجه داشته باشید که جدول فقط شامل اعداد مثبت است. در تعریف شرط کردیم که ریشه فقط از یک عدد غیر منفی a گرفته شود. در ادامه توضیح خواهیم داد که چه زمانی می توان ریشه یک عدد منفی a را استخراج کرد.

ریشه درجه n. نمونه هایی از راه حل ها

محاسبه:
الف) $\sqrt(64)$.
راه حل: $\sqrt(64)=8$، زیرا $8>0$ و $8^2=64$.

ب) $\sqrt(0.064)$.
راه حل: $\sqrt(0.064)=0.4$، زیرا $0.4>0$ و $0.4^3=0.064$.

ب) $\sqrt(0)$.
راه حل: $\sqrt(0)=0$.

د) $\sqrt(34)$.
راه حل: در این مثال، ما نمی توانیم مقدار دقیق را بفهمیم، عدد ما غیر منطقی است. اما می توان گفت که بزرگتر از 2 و کوچکتر از 3 است، زیرا 2 به توان 5 برابر با 32 و 3 به توان 5 برابر با 243 است. 34 بین این اعداد قرار دارد. ما می توانیم با استفاده از یک ماشین حساب که می تواند ریشه های $\sqrt(34)≈2.02$ را با دقت هزارم محاسبه کند، یک مقدار تقریبی پیدا کنیم.
در تعریف ما موافقت کردیم که ریشه های n را فقط از روی اعداد مثبت محاسبه کنیم. در ابتدای درس مثالی دیدیم که می توان ریشه n ام را از اعداد منفی استخراج کرد. ما به توان فرد تابع نگاه کرده‌ایم و اکنون اجازه دهید توضیحاتی را بیان کنیم.

تعریف. ریشه یک توان فرد n (n=3،5،7،9...) یک عدد منفی a عددی منفی است به طوری که وقتی به توان n برسیم، نتیجه a می شود.

مرسوم است که از همان عناوین استفاده کنید.
اگر $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
یک ریشه زوج فقط برای یک عدد رادیکال مثبت معنی دارد و یک ریشه فرد برای هر عدد رادیکالی معنی دارد.

مثال ها.
الف) معادلات را حل کنید: $\sqrt(3x+3)=-3$.
راه حل: اگر $\sqrt(y)=-3$، آنگاه $y=-27$. یعنی هر دو طرف معادله ما باید مکعب باشد.
$3x+3=-27$.
$3x=-30$.
$x=-10$.

ب) معادلات را حل کنید: $\sqrt(2x-1)=1$.
بیایید هر دو طرف را به قدرت چهارم برسانیم:
$2x-1=1$.
$2x=2$.
$x=1$.

ج) معادلات را حل کنید: $\sqrt(4x-1)=-5$.
راه حل: طبق تعریف ما، ریشه یک درجه زوج را فقط از یک عدد مثبت می توان گرفت، اما یک عدد منفی به ما داده می شود، پس ریشه ای وجود ندارد.

د) معادلات را حل کنید: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$.
راه حل: دو طرف معادله را تا توان پنجم بالا ببرید:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ و $x_2=3$.

مشکلاتی که باید مستقل حل شوند

1. محاسبه کنید:
الف) $\sqrt(81)$.
ب) $\sqrt(0.0016)$.
ج) $\sqrt(1)$.
د) $\sqrt(70)$.
2- معادلات را حل کنید:
الف) $\sqrt(2x+6)=2$.
ب) $\sqrt(3x-5)=-1$.
ج) $\sqrt(4x-8)=-4$.
د) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$.

X 4 = 1 و آن را به صورت گرافیکی حل کنید. برای انجام این کار، در یک سیستم مختصات، نموداری از تابع y = x n خط مستقیم y = 1 خواهیم ساخت (شکل 164 a). آنها در دو نقطه تلاقی می کنند:

آنها ریشه های معادله x 4 = 1 هستند.
دقیقاً به همین روش استدلال می کنیم، ریشه های معادله x 4 = 16 را می یابیم:

حال بیایید سعی کنیم معادله x 4 =5 را حل کنیم. یک تصویر هندسی در شکل نشان داده شده است. 164 ب. واضح است که معادله دارای دو ریشه x 1 و x 2 است و این اعداد مانند دو مورد قبلی متقابل یکدیگر هستند. اما برای دو معادله اول ریشه هابدون مشکل پیدا شدند (بدون استفاده از نمودارها می توان آنها را پیدا کرد)، اما در معادله x 4 = 5 مشکلاتی وجود دارد: طبق نقشه، ما نمی توانیم مقادیر ریشه ها را نشان دهیم، اما فقط می توانیم ثابت کنیم که یک ریشه است. در سمت چپ نقطه -1، و دوم - در سمت راست نقطه 1 قرار دارد.
می توان ثابت کرد (به همان روشی که در کتاب درسی ما "جبر-8" برای عدد l/b انجام شد) که x 1 و x 2 اعداد غیر منطقی هستند (یعنی بی نهایت کسر اعشاری غیر تناوبی).

ریاضیدانان که برای اولین بار با وضعیت مشابهی مواجه شدند، متوجه شدند که باید راهی برای توصیف آن بیابند. زبان ریاضی. آنها نماد جدیدی را معرفی کردند که آن را ریشه چهارم نامیدند و با استفاده از این نماد، ریشه های معادله x 4 = 5 را به صورت زیر نوشتند: (بخوانید: "ریشه چهارم از پنج").

یادداشت 1.این استدلال ها را با استدلال های مشابه انجام شده در § 17، 32 و 38 مقایسه کنید. اصطلاحات جدید و نمادهای جدید در ریاضیات زمانی ظاهر می شوند که برای توصیف یک ریاضی جدید مورد نیاز باشند. مدل ها. این بازتابی از ویژگی های زبان ریاضی است: عملکرد اصلی آن ارتباطی نیست - برای ارتباط، بلکه سازماندهی - برای سازمان کار موفقبا مدل های ریاضی در مناطق مختلفدانش

ما در مورد معادله x 4 = a صحبت کردیم که در آن a> 0 است. با موفقیت برابر می توانیم در مورد معادله x 4 = a صحبت کنیم، که در آن a > 0، و n هر عدد طبیعی است. برای مثال، با حل گرافیکی معادله x 5 = 1، x = 1 را پیدا می کنیم (شکل 165). با حل معادله x 5 " = 7، مشخص می کنیم که معادله دارای یک ریشه xr است که روی محور x کمی در سمت راست نقطه 1 قرار دارد (شکل 165 را ببینید). برای عدد xx، نماد Hh را معرفی می کنیم. .

به طور کلی، با حل معادله x n = a، که در آن a > 0، n e N، n > 1، در مورد زوج n دو ریشه به دست می آوریم: (شکل 164، ج). در مورد n فرد - یک ریشه (بخوانید: "ریشه درجه نهماز شماره a"). با حل معادله x n = 0، تنها ریشه x = 0 را به دست می آوریم.

تبصره 2.در زبان رياضي، مانند زبان عادي، اتفاق مي افتد كه در مفاهيم مختلف يك اصطلاح به كار مي رود; بنابراین، در جمله قبل، کلمه "ریشه" به دو معنا به کار رفته است: ریشه معادله (شما مدتهاست به این تعبیر عادت کرده اید) و به عنوان ریشه. درجه دوماز عدد (تعبیر جدید). معمولاً از متن مشخص می شود که چه تفسیری از این اصطلاح مورد نظر است.

اکنون آماده ارائه یک تعریف دقیق هستیم.

تعریف 1. ریشه lthتوان های یک عدد غیر منفی a (n = 2، 3،4، 5،...) یک عدد غیر منفی است که وقتی به توان n افزایش یابد، عدد a به دست می آید.

این عدد نشان داده می شود، عدد a را عدد رادیکال می گویند و عدد n را توان ریشه می گویند.
اگر n=2 باشد، معمولاً «ریشه دوم» را نمی گویند، بلکه می گویند «ریشه مربع». در این مورد، آنها نمی نویسند. این یکی است مورد خاص، که شما به طور خاص در درس جبر کلاس هشتم تحصیل کرده اید.

اگر n = 3، به جای "ریشه درجه سوم" اغلب "ریشه مکعب" می گویند. اولین آشنایی شما با ریشه مکعب نیز در درس جبر پایه هشتم صورت گرفت. ما از ریشه مکعب در §36 برای حل مثال 6 استفاده کردیم.

به طور کلی، این همان است مدل ریاضی(همان رابطه بین اعداد غیر منفی a و b) اما فقط دومی بیشتر توضیح داده شده است به زبان ساده(از کاراکترهای ساده تری استفاده می کند) نسبت به اولی.

عملیات یافتن ریشه یک عدد غیر منفی را معمولاً استخراج ریشه می نامند. این عملیات معکوس بالا بردن به توان مناسب است. مقایسه کنید:

گاهی اوقات این عبارت رادیکال نامیده می شود (از کلمه لاتین gadix - "ریشه"). در روسی، اصطلاح رادیکال اغلب استفاده می شود، به عنوان مثال، "تغییرات رادیکال" - این به معنای "تغییرات رادیکال" است. به هر حال، نام ریشه یادآور کلمه gadix است: نماد یک حرف تلطیف شده r است.

مثال 1.محاسبه:

د) برخلاف مثال‌های قبلی، نمی‌توانیم مقدار دقیق عدد را نشان دهیم، فقط واضح است که بزرگ‌تر از 2، اما کمتر از 3 است، زیرا 2 4 = 16 (این کمتر از 17 است) و 3 4 = 81 (این بیش از 17). ما توجه می کنیم که 24 بسیار نزدیکتر به 17 از 34 است، بنابراین دلیلی برای استفاده از علامت برابری تقریبی وجود دارد:

با این حال، مقدار تقریبی دقیق تری از یک عدد را می توان با استفاده از یک ماشین حساب که حاوی عملیات استخراج ریشه است، یافت؛ تقریباً برابر است با
عملیات استخراج ریشه نیز برای یک عدد رادیکال منفی تعیین می شود، اما فقط در مورد توان ریشه فرد. به عبارت دیگر، برابری (-2)5 = -32 را می توان به شکل معادل بازنویسی کرد. از تعریف زیر استفاده می شود.

تعریف 2.ریشه فرد n یک عدد منفی a (n = 3.5،...) عددی منفی است که وقتی به توان n افزایش یابد، عدد a به دست می آید.

این عدد، مانند تعریف 1، با نشان داده می شود، عدد a عدد رادیکال و عدد n توان ریشه است.
بنابراین،

بنابراین، یک ریشه زوج فقط برای یک عبارت رادیکال غیر منفی معنی دارد (یعنی تعریف شده است). یک ریشه عجیب و غریب برای هر عبارت رادیکال منطقی است.
مثال 2. حل معادلات:

راه حل:و اگر در واقع هر دو بخش معادله داده شدهباید مکعب کنیم ما گرفتیم:

ب) با استدلال مانند مثال الف)، دو طرف معادله را تا توان چهارم بالا می بریم. ما گرفتیم:

ج) نیازی به بالا بردن آن به توان چهارم نیست، این معادله هیچ راه حلی ندارد. چرا؟ زیرا طبق تعریف 1، ریشه زوج یک عدد غیر منفی است.
د) با بالا بردن هر دو طرف معادله به توان ششم، به دست می آید:

A.G. موردکوویچ جبر کلاس دهم

محتوای درس یادداشت های درسیفن آوری های تعاملی روش های شتاب ارائه درس فریم پشتیبانی می کند تمرین وظایف و تمرینات کارگاه های خودآزمایی، آموزش ها، موارد، سوالات بحث تکلیف منزل سوالات بلاغیاز دانش آموزان تصاویر صوتی، کلیپ های ویدئویی و چند رسانه ایعکس، عکس، گرافیک، جداول، نمودار، طنز، حکایت، جوک، کمیک، تمثیل، گفته ها، جدول کلمات متقاطع، نقل قول افزونه ها چکیده هاترفندهای مقاله برای گهواره های کنجکاو کتاب های درسی پایه و فرهنگ لغت اضافی اصطلاحات دیگر بهبود کتب درسی و دروستصحیح اشتباهات کتاب درسیبه روز رسانی یک قطعه در کتاب درسی، عناصر نوآوری در درس، جایگزینی دانش منسوخ شده با دانش جدید فقط برای معلمان درس های کامل طرح تقویمبرای یک سال دستورالعمل هابرنامه های بحث و گفتگو دروس تلفیقی

متن درس برای پایه یازدهم با موضوع:

"ریشه n ام یک عدد واقعی. »

هدف از درس:شکل گیری درک کل نگر از ریشه در دانش آموزان n- درجه و ریشه حسابی درجه نهم، شکل گیری مهارت های محاسباتی، هوشیار و استفاده منطقیخواص ریشه هنگام حل مسائل مختلف حاوی رادیکال. سطح درک دانش آموزان از سؤالات موضوع را بررسی کنید.

موضوع:ایجاد شرایط معنادار و سازمانی برای تسلط بر مطالب در مورد موضوع "عبارات عددی و الفبایی » در سطح ادراک، درک و حفظ اولیه؛ توانایی استفاده از این اطلاعات را در هنگام محاسبه ایجاد کنید ریشه n امتوان از یک عدد واقعی؛

متا موضوع:ترویج توسعه مهارت های محاسباتی؛ توانایی تجزیه و تحلیل، مقایسه، تعمیم، نتیجه گیری؛

شخصی:پرورش توانایی بیان دیدگاه خود، گوش دادن به پاسخ های دیگران، شرکت در گفتگو و توسعه توانایی همکاری مثبت.

نتیجه برنامه ریزی شده

موضوع: قادر به استفاده از خصوصیات ریشه n یک عدد واقعی در موقعیت واقعی در هنگام محاسبه ریشه ها و حل معادلات باشد.

شخصی: ایجاد توجه و دقت در محاسبات، نگرش خواستار نسبت به خود و کار خود، و پرورش حس کمک متقابل.

نوع درس: درس مطالعه و در ابتدا تثبیت دانش جدید

انگیزه فعالیت های آموزشی:

حکمت شرقی می‌گوید: «می‌توانی اسب را به آب بکشی، اما نمی‌توانی او را مجبور به نوشیدن کنی». و غیرممکن است که شخص را مجبور به مطالعه خوب کنیم، اگر خودش تلاشی برای یادگیری بیشتر نداشته باشد، تمایلی به کار روی او نداشته باشد. رشد ذهنی. از این گذشته، دانش تنها زمانی دانش است که از طریق تلاش افکار فرد به دست آمده باشد، نه تنها از طریق حافظه.

درس ما با این شعار برگزار می شود: "هر قله ای را اگر برای آن تلاش کنیم فتح خواهیم کرد." در طول درس، من و شما باید برای غلبه بر چندین قله زمان داشته باشیم و هر یک از شما باید تمام تلاش خود را برای فتح این قله ها به کار گیرید.

"امروز درسی داریم که در آن باید با مفهوم جدیدی آشنا شویم: "ریشه N" و یاد بگیریم که چگونه این مفهوم را در تبدیل عبارات مختلف به کار ببریم.

هدف شما این است که دانش موجود خود را از طریق اشکال مختلف کار فعال کنید، به مطالعه مطالب کمک کنید و نمرات خوبی کسب کنید.
ما جذر یک عدد واقعی را در کلاس هشتم مطالعه کردیم. جذر به تابعی از فرم مربوط می شود y=ایکس 2. بچه ها یادتون هست چطوری جذر را محاسبه کردیم و چه ویژگی هایی داشت؟
الف) نظرسنجی فردی:

این چه نوع بیانی است

چیزی که ریشه مربع نامیده می شود

چیزی که به آن جذر حسابی می گویند

خواص جذر را لیست کنید

ب) دوتایی کار کنید: محاسبه کنید.

2. به روز رسانی دانش و ایجاد یک موقعیت مشکل:معادله x 4 = 1 را حل کنید. چگونه ما میتوانیم این را حل کنیم؟ (تحلیلی و گرافیکی). بیایید آن را به صورت گرافیکی حل کنیم. برای انجام این کار، در یک سیستم مختصات، نموداری از تابع y = x 4 خط مستقیم y = 1 خواهیم ساخت (شکل 164 a). آنها در دو نقطه متقاطع می شوند: A (-1;1) و B(1;1). ابسیساهای نقاط A و B، i.e. x 1 = -1،

x 2 = 1 ریشه های معادله x 4 = 1 هستند.
دقیقاً به همین روش استدلال می کنیم، ریشه های معادله x 4 = 16 را می یابیم: اکنون بیایید سعی کنیم معادله x 4 =5 را حل کنیم. یک تصویر هندسی در شکل نشان داده شده است. 164 ب. واضح است که معادله دارای دو ریشه x 1 و x 2 است و این اعداد مانند دو مورد قبلی متقابل یکدیگر هستند. اما برای دو معادله اول ریشه ها بدون مشکل پیدا شدند (بدون استفاده از نمودارها می توان آنها را پیدا کرد)، اما با معادله x 4 = 5 مشکلاتی وجود دارد: از نقاشی نمی توانیم مقادیر ریشه ها را نشان دهیم، اما ما فقط می توان تعیین کرد که یک ریشه در سمت چپ -1 و ریشه دوم در سمت راست نقطه 1 قرار دارد.

x 2 = - (بخوانید: "ریشه چهارم از پنج").

ما در مورد معادله x 4 = a صحبت کردیم، که در آن a 0 است. ما به خوبی می توانیم در مورد معادله x 4 = a صحبت کنیم، که در آن a 0 و n هر عدد طبیعی است. برای مثال، با حل گرافیکی معادله x 5 = 1، x = 1 را پیدا می کنیم (شکل 165). با حل معادله x 5 "= 7، مشخص می کنیم که معادله یک ریشه x 1 دارد که روی محور x کمی در سمت راست نقطه 1 قرار دارد (شکل 165 را ببینید). برای عدد x 1، ما نشانه گذاری .

تعریف 1.ریشه n یک عدد غیر منفی a (n = 2، 3،4، 5،...) یک عدد غیر منفی است که وقتی به توان n افزایش یابد، عدد a به دست می آید.

این عدد نشان داده می شود، عدد a را عدد رادیکال می گویند و عدد n را توان ریشه می گویند.
اگر n=2 باشد، معمولاً «ریشه دوم» نمی گویند، بلکه می گویند «ریشه دوم» در این مورد، این را نمی نویسند. این مورد خاصی است که شما به طور خاص در درس جبر کلاس هشتم مطالعه کرده اید. .

اگر n = 3، به جای "ریشه درجه سوم" اغلب "ریشه مکعب" می گویند. اولین آشنایی شما با ریشه مکعب نیز در درس جبر پایه هشتم صورت گرفت. ما از ریشه های مکعبی در جبر پایه نهم استفاده کردیم.

بنابراین، اگر a ≥0، n= 2،3،4،5،…، آنگاه 1) ≥ 0; 2) () n = a.

به طور کلی، =b و b n =a رابطه یکسانی بین اعداد غیر منفی a و b هستند، اما فقط دومی به زبان ساده‌تر (از نمادهای ساده‌تر استفاده می‌کند) نسبت به اولی توصیف می‌شود.

لطفاً مجدداً توجه داشته باشید: فقط اعداد مثبت در جدول ظاهر می شوند، زیرا این در تعریف 1 تصریح شده است. و اگرچه، برای مثال، (-6) 6 = 36 یک برابری صحیح است، از آن با استفاده از ریشه دوم به علامت گذاری بروید، i.e. بنویس که غیر ممکن است طبق تعریف، یک عدد مثبت به معنای = 6 است (نه -6). به همین ترتیب، اگرچه 2 4 = 16، t (-2) 4 = 16، حرکت به سمت نشانه های ریشه، باید بنویسیم = 2 (و در همان زمان ≠-2).

عملیات استخراج ریشه نیز برای یک عدد رادیکال منفی تعیین می شود، اما فقط در مورد توان ریشه فرد. به عبارت دیگر، تساوی (-2) 5 = -32 را می توان به شکل معادل به صورت =-2 بازنویسی کرد. از تعریف زیر استفاده می شود.

تعریف 2.ریشه فرد n یک عدد منفی a (n = 3.5،...) عددی منفی است که وقتی به توان n افزایش یابد، عدد a به دست می آید.

این عدد، مانند تعریف 1، با نشان داده می شود، عدد a عدد رادیکال و عدد n توان ریشه است.
بنابراین، اگر a، n=،5،7،…، آنگاه: 1) 0; 2) () n = a.

بنابراین، یک ریشه زوج فقط برای یک عبارت رادیکال غیر منفی معنی دارد (یعنی تعریف شده است). یک ریشه عجیب و غریب برای هر عبارت رادیکال منطقی است.

5. تحکیم اولیه دانش:

1. محاسبه: شماره 33.5; 33.6; 33.74 33.8 شفاهی a) ; ب)؛ V)؛ ز) .

حرف مربوطه را در کنار مثال قرار دهید.

اطلاعات کمی در مورد دانشمند بزرگ. رنه دکارت (1596-1650) نجیب زاده، ریاضیدان، فیلسوف، فیزیولوژیست، متفکر فرانسوی. رنه دکارت پایه ها را گذاشت هندسه تحلیلی، حروف x 2، y 3 را وارد کرد. همه میدانند مختصات کارتزین، عملکرد متغیر را تعریف می کند.

3 . حل معادلات: a) = -2; ب) = 1; ج) = -4

راه حل:الف) اگر = -2، y = -8. در واقع باید دو طرف معادله داده شده را مکعب کنیم. دریافت می کنیم: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. ب) با استدلال مانند مثال الف)، دو طرف معادله را تا توان چهارم بالا می بریم. دریافت می کنیم: x=1.

ج) نیازی به بالا بردن آن به توان چهارم نیست، این معادله هیچ راه حلی ندارد. چرا؟ زیرا طبق تعریف 1، ریشه زوج یک عدد غیر منفی است.
چندین کار به توجه شما ارائه می شود. وقتی این کارها را انجام دادید، نام و نام خانوادگی ریاضیدان بزرگ را خواهید آموخت. این دانشمند اولین کسی بود که علامت ریشه را در سال 1637 معرفی کرد.

6. کمی استراحت کنیم.

کلاس دستان خود را بالا می برد - این "یک" است.

سر چرخید - "دو" بود.

دست پایین، به جلو نگاه کنید - این "سه" است.

دست ها به طرفین بازتر شده و به "چهار" تبدیل شدند

فشار دادن آنها با قدرت در دستان خود یک "پنج بالا" است.

همه بچه ها باید بنشینند - "شش" است.

7. کار مستقل:

گزینه: گزینه 2:

ب) 3-. ب) 12 -6.

2. معادله را حل کنید: a) x 4 = -16; ب) 0.02x 6 -1.28=0; الف) x 8 = -3; ب) 0.3x 9 – 2.4=0;

ج) = -2; ج) = 2

8- تکرار:ریشه معادله = - x را پیدا کنید. اگر معادله بیش از یک ریشه دارد، پاسخ را با ریشه کوچکتر بنویسید.

9. بازتاب:در درس چه چیزی یاد گرفتید؟ چه جالب بود؟ چه چیزی سخت بود؟

برای استفاده موفقیت آمیز از عملیات استخراج ریشه در عمل، باید با خواص این عملیات آشنا شوید.
تمام خواص فقط برای مقادیر غیر منفی متغیرهای موجود در زیر علائم ریشه فرموله شده و ثابت می شود.

قضیه 1. ریشه n (n=2، 3، 4،...) حاصل ضرب دو تراشه غیر منفی برابر با حاصلضرب است. ریشه های نهمقدرت این اعداد:

اظهار نظر:

1. قضیه 1 برای حالتی معتبر باقی می ماند که عبارت رادیکال حاصل ضرب بیش از دو عدد غیر منفی باشد.

قضیه 2.اگر, و n یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است، پس برابری درست است

مختصرفرمول (البته نادرست) که در عمل راحت تر است: ریشه یک کسر برابر با کسری از ریشه است.

قضیه 1 به ما اجازه می دهد که t را ضرب کنیم فقط ریشه های هم درجه ، یعنی فقط ریشه هایی با شاخص مشابه.

قضیه 3.اگر ,k یک عدد طبیعی و n عدد طبیعی بزرگتر از 1 است، پس تساوی صحیح است

به عبارت دیگر، برای ایجاد ریشه در درجه طبیعی، کافی است بیان رادیکال را به این قدرت برسانیم.
این نتیجه قضیه 1 است. در واقع، به عنوان مثال، برای k = 3 به دست می آوریم: ما می توانیم دقیقاً به همان روش در مورد هر مقدار طبیعی دیگری از توان k استدلال کنیم.

قضیه 4.اگر ,k، n اعداد طبیعی بزرگتر از 1 هستند، پس تساوی درست است

به عبارت دیگر برای استخراج ریشه از ریشه کافی است شاخص های ریشه را ضرب کنیم.
مثلا،

مراقب باش!ما آموختیم که چهار عمل را می توان روی ریشه ها انجام داد: ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه (از ریشه). اما جمع و تفریق ریشه ها چطور؟ به هیچ وجه.
به عنوان مثال، به جای نوشتن Really، اما واضح است که

قضیه 5.اگر شاخص های ریشه و بیان رادیکال در همان عدد طبیعی ضرب یا تقسیم می شوند، سپس مقدار ریشه تغییر نمی کند، یعنی.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1.محاسبه

راه حل.با استفاده از اولین ویژگی ریشه ها (قضیه 1)، به دست می آوریم:

مثال 2.محاسبه
راه حل.بیایید معکوس کنیم شماره های درهمبه کسری نامناسب
استفاده از خاصیت دوم ریشه ها را داریم ( قضیه 2 )، ما گرفتیم:

مثال 3.محاسبه:

راه حل.همانطور که می دانید هر فرمول در جبر نه تنها از "از چپ به راست" بلکه از "از راست به چپ" نیز استفاده می شود. بنابراین، اولین خاصیت ریشه ها به این معنی است که می توان آنها را در شکل نشان داد و برعکس، می توان آنها را با عبارت جایگزین کرد. همین امر در مورد خاصیت دوم ریشه ها نیز صدق می کند. با در نظر گرفتن این، بیایید محاسبات را انجام دهیم.

در این مقاله به معرفی خواهیم پرداخت مفهوم ریشه یک عدد. ما به ترتیب ادامه خواهیم داد: با ریشه دوم شروع می کنیم، از آنجا به توصیف ریشه مکعب می رویم، پس از آن مفهوم ریشه را تعمیم می دهیم و ریشه n را تعریف می کنیم. ضمناً به معرفی تعاریف، نمادها، مثال هایی از ریشه ها و توضیحات و نظرات لازم می پردازیم.

جذر، جذر حسابی

برای درک تعریف ریشه یک عدد، و به طور خاص جذر، باید . در این مرحله اغلب با توان دوم یک عدد – مربع یک عدد – مواجه می شویم.

بیا شروع کنیم با تعاریف ریشه مربع.

تعریف

ریشه مربع aعددی است که مربع آن برابر با a است.

به منظور آوردن نمونه هایی از ریشه های مربعاعدادی مانند 5، −0.3، 0.3، 0 را بگیرید و آنها را مربع کنید، به ترتیب اعداد 25، 0.09، 0.09 و 0 را دریافت می کنیم (5 2 =5·5=25، (-0.3) 2 =(-0.3)·(-0.3)=0.09، (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 و 0 2 =0·0=0). سپس با تعریفی که در بالا داده شد، عدد 5 جذر عدد 25، اعداد 0.3- و 0.3 ریشه های مربع 0.09 و 0 جذر صفر است.

لازم به ذکر است که برای هیچ عدد a وجود ندارد که مربع آن برابر با a باشد. یعنی برای هر عدد منفی a هیچ عدد حقیقی b وجود ندارد که مربع آن برابر با a باشد. در واقع، تساوی a=b 2 برای هر منفی a غیرممکن است، زیرا b 2 یک عدد غیرمنفی برای هر b است. بدین ترتیب، بر روی مجموعه اعداد حقیقی، جذر یک عدد منفی وجود ندارد. به عبارت دیگر، روی مجموعه اعداد حقیقی، جذر یک عدد منفی تعریف نشده و معنی ندارد.

این منجر به یک سؤال منطقی می شود: "آیا برای هر a غیر منفی یک جذر a وجود دارد؟" پاسخ بله است. این واقعیت را می توان با روش سازنده ای که برای یافتن مقدار جذر استفاده می شود توجیه کرد.

سپس سؤال منطقی بعدی مطرح می شود: "تعداد تمام ریشه های مربع یک عدد غیر منفی a - یک، دو، سه یا حتی بیشتر" چقدر است؟ پاسخ این است: اگر a صفر باشد، تنها جذر صفر صفر است. اگر a عددی مثبت باشد، تعداد ریشه های مربع عدد a دو است و ریشه ها . بیایید این را توجیه کنیم.

بیایید با حالت a=0 شروع کنیم. ابتدا، اجازه دهید نشان دهیم که صفر در واقع جذر صفر است. این از برابری آشکار 0 2 = 0·0=0 و تعریف جذر به دست می آید.

حالا بیایید ثابت کنیم که 0 تنها جذر صفر است. از روش مخالف استفاده کنیم. فرض کنید مقداری غیرصفر b وجود دارد که جذر صفر است. سپس شرط b 2 = 0 باید برآورده شود، که غیرممکن است، زیرا برای هر b غیر صفر مقدار عبارت b 2 مثبت است. ما به یک تناقض رسیده ایم. این ثابت می کند که 0 تنها جذر صفر است.

بیایید به مواردی برویم که a یک عدد مثبت است. در بالا گفتیم که همیشه یک جذر از هر عدد غیر منفی وجود دارد، اجازه دهید جذر a عدد b باشد. فرض کنید یک عدد c وجود دارد که آن هم جذر a است. سپس، با تعریف یک جذر، تساوی b 2 =a و c 2 =a درست است، که از آن نتیجه می شود که b 2 −c 2 =a−a=0، اما چون b 2 −c 2 =( b−c)·(b+c)، سپس (b−c)·(b+c)=0. برابری حاصل معتبر است ویژگی های عملیات با اعداد واقعیتنها زمانی ممکن است که b−c=0 یا b+c=0 باشد. بنابراین، اعداد b و c برابر یا مخالف هستند.

اگر فرض کنیم که یک عدد d وجود داشته باشد که جذر دیگری از عدد a است، با استدلالی مشابه آنچه قبلا داده شد، ثابت می شود که d برابر با عدد b یا عدد c است. بنابراین، تعداد ریشه های مربع یک عدد مثبت دو است و ریشه های مربع اعداد متضاد هستند.

برای راحتی کار با ریشه های مربع، ریشه منفی از مثبت "جدا می شود". برای این منظور معرفی شده است تعریف جذر حسابی.

تعریف

جذر حسابی یک عدد غیر منفی aعددی غیر منفی است که مربع آن برابر با a است.

نماد جذر حسابی a است. علامت را علامت جذر حسابی می نامند. به آن علامت رادیکال نیز می گویند. بنابراین، گاهی اوقات می توانید هم "ریشه" و هم "رادیکال" را بشنوید که به معنای یک شی است.

عدد زیر علامت جذر حسابی نامیده می شود عدد رادیکال، و عبارت زیر علامت ریشه است بیان رادیکال، در حالی که اصطلاح "عدد رادیکال" اغلب با "بیان رادیکال" جایگزین می شود. به عنوان مثال، در نماد، عدد 151 یک عدد رادیکال است، و در نماد عبارت a یک عبارت رادیکال است.

هنگام خواندن، اغلب کلمه "حساب" حذف می شود، برای مثال، مدخل به عنوان "ریشه دوم هفت نقطه بیست و نه" خوانده می شود. کلمه "حساب" فقط زمانی استفاده می شود که بخواهند بر آن تاکید کنند ما در موردبه طور خاص در مورد جذر مثبت یک عدد.

با توجه به نماد معرفی شده، از تعریف یک جذر حسابی چنین بر می آید که برای هر عدد غیر منفی a .

جذر یک عدد مثبت a با استفاده از علامت جذر حسابی به صورت و نوشته می شود. برای مثال، جذرهای 13 عبارتند از و. جذر حسابی صفر صفر است یعنی . برای اعداد منفی a، تا زمانی که مطالعه نکنیم، معنی را به نماد متصل نمی کنیم اعداد مختلط . به عنوان مثال، عبارات و بی معنی هستند.

بر اساس تعریف جذر، خواص ریشه های مربع ثابت می شود که اغلب در عمل استفاده می شود.

در خاتمه این نکته، متذکر می شویم که ریشه های مربع عدد a نسبت به متغیر x جواب هایی به شکل x 2 =a هستند.

ریشه مکعب یک عدد

تعریف ریشه مکعبیعدد a به طور مشابه به تعریف جذر داده می شود. فقط بر اساس مفهوم مکعب یک عدد است نه مربع.

تعریف

ریشه مکعبی aعددی است که مکعب آن برابر با a است.

بدهیم نمونه هایی از ریشه های مکعبی. برای انجام این کار، چندین عدد را بگیرید، به عنوان مثال، 7، 0، −2/3، و آنها را مکعب کنید: 7 3 =7·7·7=343، 0 3 =0·0·0=0، . سپس بر اساس تعریف ریشه مکعب می توان گفت که عدد 7 ریشه مکعبی 343، 0 ریشه مکعبی صفر و 2/3 ریشه مکعبی 27/8- است.

می توان نشان داد که ریشه مکعب یک عدد، برخلاف جذر، نه تنها برای غیر منفی a، بلکه برای هر عدد حقیقی a نیز همیشه وجود دارد. برای این کار می توانید از همان روشی که در مطالعه ریشه های مربع به آن اشاره کردیم استفاده کنید.

علاوه بر این، تنها یک ریشه مکعبی وجود دارد شماره داده شدهآ. اجازه دهید بیانیه آخر را ثابت کنیم. برای این کار سه حالت را جداگانه در نظر بگیرید: a یک عدد مثبت، a=0 و a یک عدد منفی است.

به راحتی می توان نشان داد که اگر a مثبت باشد، ریشه مکعب a می تواند نه عدد منفی باشد و نه صفر. در واقع، اجازه دهید b ریشه مکعب a باشد، سپس با تعریف می توانیم برابری b 3 =a را بنویسیم. واضح است که این برابری نمی تواند برای منفی b و b=0 صادق باشد، زیرا در این موارد b 3 =b·b·b به ترتیب یک عدد منفی یا صفر خواهد بود. بنابراین ریشه مکعب یک عدد مثبت a یک عدد مثبت است.

حال فرض کنید علاوه بر عدد b، ریشه مکعب دیگری از عدد a وجود داشته باشد، آن را به c نشان می دهیم. سپس c 3 =a. بنابراین، b 3 −c 3 =a−a=0، اما b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(این فرمول ضرب اختصاری است تفاوت مکعب هااز آنجا (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. برابری حاصل تنها زمانی ممکن است که b−c=0 یا b 2 +b·c+c 2 =0 باشد. از تساوی اول b=c داریم و تساوی دوم هیچ جوابی ندارد، زیرا سمت چپ آن یک عدد مثبت برای هر عدد مثبت b و c به عنوان مجموع سه جمله مثبت b 2، b·c و c 2 است. این منحصر به فرد بودن ریشه مکعب یک عدد مثبت a را ثابت می کند.

وقتی a=0، ریشه مکعب عدد a فقط عدد صفر است. در واقع، اگر فرض کنیم که یک عدد b وجود دارد، که یک ریشه مکعبی غیر صفر صفر است، باید برابری b 3 = 0 برقرار باشد، که تنها زمانی ممکن است که b=0 باشد.

برای a منفی، آرگومان هایی مشابه حالت a مثبت می توان ارائه کرد. ابتدا نشان می دهیم که ریشه مکعب یک عدد منفی نمی تواند برابر با عدد مثبت یا صفر باشد. ثانیاً، فرض می کنیم که یک ریشه مکعب دوم از یک عدد منفی وجود دارد و نشان می دهیم که لزوماً با عدد اول منطبق خواهد شد.

بنابراین، همیشه یک ریشه مکعبی از هر عدد واقعی a وجود دارد، و یک عدد منحصر به فرد.

بدهیم تعریف ریشه مکعب حسابی.

تعریف

ریشه مکعب حسابی یک عدد غیر منفی aعددی غیر منفی است که مکعب آن برابر با a است.

ریشه مکعب حسابی یک عدد غیر منفی a را به صورت نشان می دهند، علامت را علامت ریشه مکعب حسابی می نامند، عدد 3 در این نماد نامیده می شود. شاخص ریشه. عدد زیر علامت ریشه است عدد رادیکال، عبارت زیر علامت ریشه است بیان رادیکال.

اگرچه ریشه مکعب حسابی فقط برای اعداد غیرمنفی a تعریف می شود، اما استفاده از نمادهایی که در زیر علامت ریشه مکعب حسابی قرار دارند نیز راحت است. اعداد منفی. ما آنها را به صورت زیر درک خواهیم کرد: ، که در آن a یک عدد مثبت است. مثلا، .

در مقاله کلی خواص ریشه در مورد خواص ریشه مکعبی صحبت خواهیم کرد.

محاسبه مقدار ریشه مکعب استخراج ریشه مکعب نامیده می شود؛ این عمل در مقاله استخراج ریشه ها: روش ها، مثال ها، راه حل ها مورد بحث قرار گرفته است.

برای جمع‌بندی این نکته، فرض می‌کنیم که ریشه مکعب عدد a حلی به شکل x 3 =a است.

ریشه n ام، ریشه حسابی درجه n

اجازه دهید مفهوم ریشه یک عدد را تعمیم دهیم - معرفی می کنیم تعریف ریشه n امبرای n.

تعریف

ریشه n ام aعددی است که توان n آن برابر با a است.

از جانب این تعریفواضح است که ریشه درجه اول عدد a خود عدد a است، زیرا هنگام مطالعه درجه با توان طبیعی یک =a در نظر گرفتیم.

در بالا به موارد خاصی از ریشه n برای n=2 و n=3 نگاه کردیم - ریشه مربع و ریشه مکعب. یعنی ریشه مربع یک ریشه درجه دوم و یک ریشه مکعب ریشه درجه سوم است. برای مطالعه ریشه های درجه n برای n=4، 5، 6، ...، راحت است که آنها را به دو گروه تقسیم کنیم: گروه اول - ریشه های درجات زوج (یعنی برای n = 4، 6، 8 ، ...)، گروه دوم - ریشه درجات فرد (یعنی با n=5، 7، 9، ...). این به این دلیل است که ریشه های حتی قدرت ها مشابه است ریشه دوم، و ریشه های توان های فرد - مکعب. بیایید یک به یک با آنها برخورد کنیم.

بیایید با ریشه ها شروع کنیم که قدرت های آنها هستند اعداد زوج 4، 6، 8، ... همانطور که گفتیم شبیه جذر عدد a هستند. یعنی ریشه هر درجه زوجی از عدد a فقط برای غیر منفی a وجود دارد. علاوه بر این، اگر a=0 باشد، ریشه a یکتا و برابر با صفر است و اگر a>0 باشد، آنگاه دو ریشه از درجه زوج عدد a وجود دارد که اعداد متضاد هستند.

اجازه دهید بیانیه آخر را ثابت کنیم. فرض کنید b یک ریشه زوج باشد (آن را 2·m نشان می دهیم، جایی که m مقداری طبیعی است) عدد a. فرض کنید که یک عدد c وجود دارد - یک ریشه دیگر درجه 2·m از عدد a. سپس b 2·m −c 2·m =a−a=0 . اما شکل b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) را می دانیم. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)، سپس (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. از این تساوی نتیجه می شود که b−c=0 یا b+c=0 یا b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. دو برابر اول به این معنی است که اعداد b و c مساوی هستند یا b و c مقابل یکدیگر. و آخرین برابری فقط برای b=c=0 معتبر است، زیرا در سمت چپ آن عبارتی وجود دارد که برای هر b و c به عنوان مجموع اعداد غیر منفی غیر منفی است.

در مورد ریشه های درجه n برای n فرد، آنها شبیه به ریشه مکعب هستند. یعنی ریشه هر درجه فرد از عدد a برای هر عدد واقعی a وجود دارد و برای عدد معین a منحصر به فرد است.

منحصر به فرد بودن یک ریشه با درجه فرد 2·m+1 عدد a با قیاس با اثبات منحصر به فرد بودن ریشه مکعب a ثابت می شود. فقط اینجا به جای برابری a 3-b 3 =(a-b)·(a 2 +a·b+c 2)برابری از شکل b 2 m+1 -c 2 m+1 = استفاده می شود (b-c)·(b 2·m +b 2·m-1 ·c+b 2·m-2 ·c 2 +… +c 2·m). عبارت در براکت آخر را می توان به صورت بازنویسی کرد b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m-2 + c 2 m-2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). مثلا با m=2 داریم b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 · c+b 2 · c 2 +b·c 3 + c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). وقتی a و b هر دو مثبت یا هر دو منفی هستند، حاصل ضرب آنها یک عدد مثبت است، سپس عبارت b 2 +c 2 +b·c در داخل پرانتز است. درجه بالاتودرتو، به عنوان مجموع اعداد مثبت مثبت است. اکنون، با حرکت متوالی به عبارات داخل پرانتز درجات قبلی تودرتو، متقاعد می شویم که آنها نیز به عنوان مجموع اعداد مثبت مثبت هستند. در نتیجه، برابری b 2 m+1 -c 2 m+1 = را بدست می آوریم (b-c)·(b 2·m +b 2·m-1 ·c+b 2·m-2 ·c 2 +… +c 2·m)=0تنها زمانی ممکن است که b−c=0 باشد، یعنی زمانی که عدد b برابر با عدد c باشد.

زمان آن رسیده است که نشانه گذاری ریشه های nام را درک کنید. برای این منظور داده شده است تعریف ریشه حسابی درجه n.

تعریف

ریشه حسابی درجه n یک عدد غیر منفی aعددی غیر منفی است که توان n آن برابر با a است.