\(\blacktriangleright\) برای پیدا کردن بزرگترین/ کوچکترین ارزشتوابع در بخش \(\) ، لازم است نمودار تابع را در این بخش به صورت شماتیک به تصویر بکشیم.
در مسائل مربوط به این موضوع فرعی، این کار را می توان با استفاده از مشتق انجام داد: فواصل افزایش (\(f">0\)) و کاهش (\(f") را پیدا کنید.<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\(\blacktriangleright\) فراموش نکنید که تابع می‌تواند بزرگترین/کوچک‌ترین مقدار را نه تنها در نقاط داخلی بخش \(\)، بلکه در انتهای آن نیز بگیرد.

\(\blacktriangleright\) بزرگترین/کوچکترین مقدار تابع مقدار مختصات \(y=f(x)\) است.

\(\blacktriangleright\) مشتق تابع مختلط \(f(t(x))\) طبق قانون پیدا می شود: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(function) f(x) & \text(مشتق) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(function) f(x) & \text(مشتق) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(آرایه)\]

وظیفه 1 #2357

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

کوچکترین مقدار تابع \(y = e^(x^2 - 4)\) را در بخش \([-10; -2]\) بیابید.

ODZ: \(x\) - دلخواه.

1) \

\ بنابراین، \(y" = 0\) برای \(x = 0\) .

3) بیایید فواصل علامت ثابت \(y"\) را در بخش مورد نظر \([-10; -2]\) پیدا کنیم:

4) طرح یک نمودار در بخش \([-10; -2]\):

بنابراین، تابع به کوچکترین مقدار خود در \([-10; -2]\) در \(x = -2\) می رسد.

\ مجموع: \(1\) - کوچکترین مقدار تابع \(y\) در \([-10; -2]\) .

پاسخ 1

وظیفه 2 #2355

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\)در بخش \([-1; 1]\) .

ODZ: \(x\) - دلخواه.

1) \

بیایید نقاط بحرانی را پیدا کنیم (یعنی نقاط داخلی دامنه تعریف تابع که مشتق آن برابر با \(0\) است یا وجود ندارد): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\فلش سمت چپ\qquad x = 0\,.\]مشتق برای هر \(x\) وجود دارد.

2) بیایید فواصل علامت ثابت \(y"\) را پیدا کنیم:

3) بیایید فواصل علامت ثابت \(y"\) را در بخش مورد نظر \([-1; 1]\) پیدا کنیم:

4) طرح یک نمودار در بخش \([-1; 1]\):

بنابراین، تابع در \([-1; 1]\) در \(x = -1\) یا در \(x = 1\) به بیشترین مقدار خود می رسد. بیایید مقادیر تابع را در این نقاط با هم مقایسه کنیم.

\ مجموع: \(2\) - بزرگترین مقدار تابع \(y\) در \([-1; 1]\) .

جواب: 2

وظیفه 3 #2356

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

کوچکترین مقدار تابع \(y = \cos 2x\) را در بخش \(\) پیدا کنید.

ODZ: \(x\) - دلخواه.

1) \

بیایید نقاط بحرانی را پیدا کنیم (یعنی نقاط داخلی دامنه تعریف تابع که مشتق آن برابر با \(0\) است یا وجود ندارد): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2)، n\in\mathbb(Z)\,.\]مشتق برای هر \(x\) وجود دارد.

2) بیایید فواصل علامت ثابت \(y"\) را پیدا کنیم:

(در اینجا تعداد بی نهایت فاصله وجود دارد که در آنها علائم مشتق متناوب است).

3) بیایید فواصل علامت ثابت \(y"\) را در بخش مورد نظر \(\) پیدا کنیم:

4) طرح یک نمودار در بخش \(\) :

بنابراین، تابع به کوچکترین مقدار خود در \(\) در \(x = \dfrac(\pi)(2)\) می رسد.

\ مجموع: \(-1\) - کوچکترین مقدار تابع \(y\) در \(\) .

پاسخ 1

وظیفه 4 #915

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

بزرگترین مقدار تابع را پیدا کنید

\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).

ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . بیایید در مورد ODZ تصمیم بگیریم:

1) بگذارید \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) را نشان دهیم، سپس \(y(t)=-\log_(17)t\) را نشان دهیم.

بیایید نقاط بحرانی را پیدا کنیم (یعنی نقاط داخلی دامنه تعریف تابع که مشتق آن برابر با \(0\) است یا وجود ندارد): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\فلش راست چپ\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– در ODZ، از آنجا ریشه \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) را پیدا می کنیم. مشتق تابع \(y\) برای \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) وجود ندارد، اما معادله داده شدهتمایز منفی، بنابراین راه حلی ندارد. برای یافتن بزرگترین/کوچکترین مقدار یک تابع، باید درک کنید که نمودار آن به صورت شماتیک چگونه به نظر می رسد.

2) بیایید فواصل علامت ثابت \(y"\) را پیدا کنیم:

3) طرح نمودار:

بنابراین، تابع در \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) به بیشترین مقدار خود می رسد:

\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),

مجموع: \(0\) - بزرگترین مقدار تابع \(y\) .

پاسخ: 0

وظیفه 5 #2344

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

کوچکترین مقدار تابع را پیدا کنید

\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).

ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . بیایید در مورد ODZ تصمیم بگیریم:

1) بگذارید \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) را نشان دهیم، سپس \(y(t)=\log_(3)t\) را نشان دهیم.

بیایید نقاط بحرانی را پیدا کنیم (یعنی نقاط داخلی دامنه تعریف تابع که مشتق آن برابر با \(0\) است یا وجود ندارد): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\فلش راست چپ\qquad 2x+8 = 0\]– در ODZ، از آنجا ریشه \(x = -4\) را پیدا می کنیم. مشتق تابع \(y\) وقتی \(x^2 + 8x + 19 = 0\) وجود ندارد، اما این معادله دارای ممیز منفی است، بنابراین راه حلی ندارد. برای یافتن بزرگترین/کوچکترین مقدار یک تابع، باید درک کنید که نمودار آن به صورت شماتیک چگونه به نظر می رسد.

2) بیایید فواصل علامت ثابت \(y"\) را پیدا کنیم:

3) طرح نمودار:

بنابراین، \(x = -4\) حداقل نقطه تابع \(y\) است و کوچکترین مقدار در آن به دست می آید:

\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .

مجموع: \(1\) - کوچکترین مقدار تابع \(y\) .

پاسخ 1

وظیفه 6 #917

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

بزرگترین مقدار تابع را پیدا کنید

\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).

از نقطه نظر عملی بیشترین علاقهنشان دهنده استفاده از مشتق برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع است. این به چه چیزی مرتبط است؟ به حداکثر رساندن سود، به حداقل رساندن هزینه ها، تعیین بار بهینه تجهیزات ... به عبارت دیگر، در بسیاری از زمینه های زندگی باید مشکلات بهینه سازی برخی از پارامترها را حل کنیم. و اینها وظایف یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع است.

لازم به ذکر است که بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع معمولاً در یک بازه خاص X جستجو می شود که یا کل دامنه تابع یا بخشی از دامنه تعریف است. خود بازه X می تواند یک قطعه، یک بازه باز باشد ، یک فاصله بی نهایت.

در این مقاله در مورد یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر به طور واضح صحبت خواهیم کرد عملکرد داده شدهیک متغیر y=f(x).

پیمایش صفحه.

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع - تعاریف، تصاویر.

بیایید به طور خلاصه به تعاریف اصلی نگاه کنیم.

بزرگترین مقدار تابع که برای هر کسی نابرابری درست است

کوچکترین مقدار تابع y=f(x) در بازه X چنین مقداری نامیده می شود که برای هر کسی نابرابری درست است

این تعاریف بصری هستند: بزرگترین (کوچکترین) مقدار یک تابع بزرگترین (کوچکترین) مقدار پذیرفته شده در بازه مورد بررسی در ابسیسا است.

نقاط ثابت- اینها مقادیر آرگومان هستند که در آن مشتق تابع صفر می شود.

چرا هنگام یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر به نقاط ثابت نیاز داریم؟ پاسخ این سوال را قضیه فرما می دهد. از این قضیه چنین استنباط می‌شود که اگر یک تابع متمایز در نقطه‌ای دارای یک اکسترموم (حداقل محلی یا حداکثر محلی) باشد، این نقطه ثابت است. بنابراین، تابع اغلب بزرگترین (کوچکترین) مقدار خود را در بازه X در یکی از نقاط ثابت از این بازه می گیرد.

همچنین، یک تابع اغلب در نقاطی که اولین مشتق این تابع وجود ندارد و خود تابع تعریف می شود، می تواند بزرگترین و کوچکترین مقادیر خود را بگیرد.

بیایید بلافاصله به یکی از رایج ترین سؤالات در مورد این موضوع پاسخ دهیم: "آیا همیشه امکان تعیین بزرگترین (کوچکترین) مقدار یک تابع وجود دارد؟ نه همیشه نه گاهی اوقات مرزهای بازه X با مرزهای دامنه تعریف تابع منطبق است یا بازه X بی نهایت است. و برخی از توابع در بی نهایت و در مرزهای دامنه تعریف می توانند مقادیر بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک داشته باشند. در این موارد نمی توان در مورد بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع چیزی گفت.

برای وضوح، ما یک تصویر گرافیکی ارائه می دهیم. به تصاویر نگاه کنید خیلی چیزها واضح تر می شود.

در بخش

در شکل اول، تابع بزرگترین (max y) و کوچکترین (min y) مقادیر را در نقاط ثابتی که در داخل قطعه قرار دارند می گیرد [-6;6].

موردی را که در شکل دوم نشان داده شده است در نظر بگیرید. بیایید بخش را به . در این مثال، کوچکترین مقدار تابع در یک نقطه ثابت و بزرگترین مقدار در نقطه ای با آبسیسا مربوط به مرز سمت راست بازه به دست می آید.

در شکل 3، نقاط مرزی قطعه [-3;2] ابسیساهای نقاط مربوط به بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع هستند.

در یک بازه باز

در شکل چهارم، تابع بیشترین (max y) و کوچکترین (min y) مقادیر را در نقاط ثابت واقع در بازه باز (-6;6) می گیرد.

در بازه زمانی، هیچ نتیجه ای در مورد بزرگترین مقدار نمی توان گرفت.

در بی نهایت

در مثال ارائه شده در شکل هفتم، تابع بیشترین مقدار (max y) را در یک نقطه ثابت با آبسیسا x=1 می گیرد و کوچکترین مقدار (min y) در مرز سمت راست بازه به دست می آید. در منهای بی نهایت، مقادیر تابع به طور مجانبی به y=3 نزدیک می شوند.

در طول بازه، تابع نه به کوچکترین و نه به بزرگترین مقدار می رسد. با نزدیک شدن x=2 از سمت راست، مقادیر تابع به منهای بی‌نهایت تمایل دارند (خط x=2 مجانبی عمودی است)، و از آنجایی که آبسیسا به اضافه بی‌نهایت تمایل دارد، مقادیر تابع به‌طور مجانبی به y=3 نزدیک می‌شوند. یک تصویر گرافیکی از این مثال در شکل 8 نشان داده شده است.

الگوریتمی برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع پیوسته در یک قطعه.

اجازه دهید الگوریتمی بنویسیم که به ما امکان می دهد بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را در یک بخش پیدا کنیم.

1. دامنه تعریف تابع را پیدا می کنیم و بررسی می کنیم که آیا کل بخش را شامل می شود یا خیر.
2. ما تمام نقاطی را می یابیم که اولین مشتق در آنها وجود ندارد و در قسمت موجود است (معمولاً چنین نقاطی در توابع با آرگومان زیر علامت مدول و در توابع قدرتبا توان کسری - گویا). اگر چنین نقاطی وجود نداشت، سپس به نقطه بعدی بروید.
3. ما تمام نقاط ثابتی را که در بخش قرار می گیرند تعیین می کنیم. برای انجام این کار، آن را با صفر برابر می کنیم، معادله حاصل را حل کرده و ریشه های مناسب را انتخاب می کنیم. اگر هیچ نقطه ثابتی وجود ندارد یا هیچ یک از آنها در بخش قرار نمی گیرند، سپس به نقطه بعدی بروید.
4. ما مقادیر تابع را در نقاط ثابت انتخاب شده (در صورت وجود)، در نقاطی که اولین مشتق در آنها وجود ندارد (در صورت وجود)، و همچنین در x=a و x=b محاسبه می کنیم.
5. از مقادیر به دست آمده تابع، بزرگترین و کوچکترین را انتخاب می کنیم - آنها به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقادیر مورد نیاز تابع خواهند بود.

بیایید الگوریتم حل یک مثال را برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک بخش تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنید

• در بخش؛
• در بخش [-4;-1].

راه حل.

دامنه تعریف یک تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است، به استثنای صفر، یعنی. هر دو بخش در حوزه تعریف قرار می گیرند.

مشتق تابع را با توجه به:

بدیهی است که مشتق تابع در تمام نقاط قطعه وجود دارد و [-4;-1].

نقاط ثابت را از معادله تعیین می کنیم. تنها ریشه واقعی x=2 است. این نقطه ثابت در بخش اول قرار می گیرد.

برای حالت اول، مقادیر تابع را در انتهای قطعه و در نقطه ثابت محاسبه می کنیم، یعنی برای x=1، x=2 و x=4:

بنابراین، بیشترین مقدار تابع در x=1 و کوچکترین مقدار به دست می آید – در x=2.

برای مورد دوم، مقادیر تابع را فقط در انتهای بخش [-4;-1] محاسبه می کنیم (زیرا حاوی یک نقطه ثابت نیست):

راه حل.

بیایید با دامنه تابع شروع کنیم. مثلث مربعمخرج کسری نباید ناپدید شود:

به راحتی می توان بررسی کرد که تمام فواصل بیان مشکل به حوزه تعریف تابع تعلق دارند.

بیایید تابع را متمایز کنیم:

بدیهی است که مشتق در کل دامنه تعریف تابع وجود دارد.

بیایید نقاط ثابت را پیدا کنیم. مشتق در صفر به صفر می رسد. این نقطه ثابت در فواصل (-3;1] و (-3;2) قرار می گیرد.

اکنون می توانید نتایج به دست آمده در هر نقطه را با نمودار تابع مقایسه کنید. خطوط نقطه‌دار آبی مجانبی را نشان می‌دهند.

در این مرحله می توانیم با یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع کار را به پایان برسانیم. الگوریتم های مورد بحث در این مقاله به شما امکان می دهد با حداقل اقدامات به نتیجه برسید. با این حال، ابتدا می‌توان فواصل افزایش و کاهش تابع را تعیین کرد و تنها پس از آن در مورد بزرگترین و کوچک‌ترین مقادیر تابع در هر بازه‌ای نتیجه‌گیری کرد. این یک تصویر واضح تر و توجیه دقیق برای نتایج می دهد.

انتخاب 1. در

1. نمودار یک تابع y=f(ایکس) در شکل نشان داده شده است.

بزرگترین مقدار را برای این تابع مشخص کنید 1

در بخش [ آ; ب]. آ 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. توابع y=f(ایکس) در بخش داده شده است [ آ; ب]. در

شکل نموداری از مشتق آن را نشان می دهد

y=f ´(ایکس). برای افراط کاوش کنید 1 ب

تابع y=f(ایکس). لطفا مقدار را در پاسخ خود ذکر کنید. آ 0 1 x

حداقل امتیاز

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. بزرگترین مقدار تابع را بیابید y= -2x2+8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. کوچکترین مقدار تابع را بیابید در بخش .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. کوچکترین مقدار تابع را بیابید y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> حداقل در نقطه است xo=1.5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.در

9. بزرگترین مقدار تابع را مشخص کنید y=f(ایکس) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=ال جی(100 – ایکس2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. کوچکترین مقدار تابع را بیابید y=2گناه-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

تست 14. افراط. بزرگترین (کوچکترین) مقدار تابع.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. نمودار تابع y=f(ایکس) در شکل نشان داده شده است.

کوچکترین مقدار را برای این تابع مشخص کنید 1

در بخش [ آ; ب]. آ ب

0 1 ایکس

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. در شکل نمودار تابع را نشان می دهد y=f(ایکس).

تابع چند امتیاز حداکثر دارد؟

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. تابع در چه نقطه ای است y=2x2+24x -25کمترین مقدار را می گیرد؟

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> در بخش [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> حداقل در نقطه است xo= -2?

; 2) -6;; 4) 6.در

9. کوچکترین مقدار تابع را مشخص کنید y=f(ایکس) ,

که نمودار آن در شکل نشان داده شده است. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. بزرگترین مقدار تابع را بیابید y=ورود به سیستم11 (121 – ایکس2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. بزرگترین مقدار تابع را بیابید y=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

پاسخ ها :

در این مقاله در مورد آن صحبت خواهم کرد الگوریتمی برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقدارتوابع، حداقل و حداکثر امتیاز.

از نظر تئوری قطعا برای ما مفید خواهد بود جدول مشتقو قوانین تمایز. همه چیز در این بشقاب است:

الگوریتم برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقدار.

برای من راحت تر است که در آن توضیح دهم مثال خاص. در نظر گرفتن:

مثال:بزرگترین مقدار تابع y=x^5+20x^3–65x را در بخش [–4;0] بیابید.

مرحله 1.مشتق را می گیریم.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

گام 2.پیدا کردن نقاط افراطی

نقطه افراطینقاطی را که تابع به بیشترین یا حداقل مقدار خود می رسد فراخوانی می کنیم.

برای پیدا کردن نقاط انتهایی، باید مشتق تابع را با صفر برابر کنید (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

اکنون این معادله دو درجه ای را حل می کنیم و ریشه های یافت شده نقاط منتهی به ما هستند.

من چنین معادلاتی را با جایگزینی t = x^2 و سپس 5t^2 + 60t - 65 = 0 حل می کنم.

بیایید معادله را 5 کاهش دهیم، بدست می آوریم: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

ما تغییر معکوس را انجام می دهیم x^2 = t:

X_(1 و 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 و 4) = ±sqrt(-13) (ما حذف می کنیم، نمی تواند وجود داشته باشد اعداد منفی، مگر اینکه در مورد اعداد مختلط صحبت کنیم)

مجموع: x_(1) = 1 و x_(2) = -1 - اینها نقاط افراطی ما هستند.

مرحله 3.بزرگترین و کوچکترین مقدار را تعیین کنید.

روش تعویض.

در شرایط، بخش [b][–4;0] به ما داده شد. نقطه x=1 در این بخش گنجانده نشده است. بنابراین ما آن را در نظر نمی گیریم. اما علاوه بر نقطه x=-1، باید مرزهای چپ و راست قطعه خود را نیز در نظر بگیریم، یعنی نقاط -4 و 0. برای این کار، هر سه نقطه را جایگزین تابع اصلی می کنیم. توجه داشته باشید که اصلی همان چیزی است که در شرط (y=x^5+20x^3–65x) داده شده است، برخی افراد شروع به جایگزینی آن با مشتق می کنند...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

این بدان معناست که بیشترین مقدار تابع [b]44 است و در نقطه [b]-1 به دست می‌آید که حداکثر نقطه تابع در قطعه [-4; 0].

ما تصمیم گرفتیم و جواب گرفتیم، ما عالی هستیم، شما می توانید استراحت کنید. اما بس کن! آیا فکر نمی کنید که محاسبه y(-4) به نوعی خیلی سخت باشد؟ در شرایط محدود بهتر است از روش دیگری استفاده کنید که من آن را اینگونه می نامم:

از طریق فواصل ثابت علامت.

این فواصل برای مشتق تابع، یعنی برای معادله دو درجه ای ما یافت می شوند.

من این کار را انجام می دهم. من یک بخش جهت دار ترسیم می کنم. من نقاط را قرار می دهم: -4، -1، 0، 1. علیرغم این واقعیت که 1 در بخش داده شده گنجانده نشده است، برای تعیین صحیح فواصل پایداری علامت باید به آن توجه داشت. بیایید عددی را چندین برابر بزرگتر از 1 در نظر بگیریم، مثلاً 100، و به طور ذهنی آن را در معادله دوگانه خود 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 جایگزین کنیم. حتی بدون شمارش چیزی، آشکار می شود که در نقطه 100 تابع دارای علامت مثبت است. یعنی برای فواصل 1 تا 100 علامت مثبت دارد. هنگام عبور از 1 (از راست به چپ می رویم) علامت به منفی تغییر می کند. هنگام عبور از نقطه 0، تابع علامت خود را حفظ می کند، زیرا این فقط مرز قطعه است و نه ریشه معادله. هنگام عبور از -1، تابع دوباره علامت را به مثبت تغییر می دهد.

از تئوری می دانیم که مشتق تابع کجاست (و دقیقاً برای آن ترسیم کردیم) علامت مثبت به منفی را تغییر می دهد (نقطه -1 در مورد ما)تابع می رسد حداکثر محلی آن (y(-1)=44، همانطور که قبلا محاسبه شد)بر این بخش(این از لحاظ منطقی بسیار قابل درک است، عملکرد متوقف شد زیرا به حداکثر خود رسید و شروع به کاهش کرد).

بر این اساس، جایی که مشتق تابع علامت منفی را به مثبت تغییر می دهد، بدست آمده است حداقل محلی یک تابع. بله، بله، ما همچنین دریافتیم که حداقل نقطه محلی 1 است و y(1) حداقل مقدار تابع در بخش است، مثلاً از -1 تا +∞. لطفاً توجه داشته باشید که این فقط یک MINIMUM محلی است، یعنی حداقل در یک بخش خاص. از آنجایی که حداقل واقعی (جهانی) تابع به جایی می رسد، در -∞.

به نظر من روش اول از نظر تئوری ساده تر است و روش دوم از نظر عملیات حسابی ساده تر است اما از نظر تئوری بسیار پیچیده تر است. از این گذشته، گاهی اوقات مواردی پیش می‌آید که هنگام عبور از ریشه معادله، علامت تغییر نمی‌کند و به طور کلی می‌توانید با این ماکزیمم‌ها و مینیمم‌های محلی، جهانی اشتباه بگیرید، اگرچه به هر حال اگر بخواهید باید به خوبی به این موضوع تسلط داشته باشید. برای ثبت نام برنامه ریزی کنید دانشگاه فنی(چرا در غیر این صورت باید در آزمون یکپارچه دولتی شرکت کنید و این کار را حل کنید). اما تمرین و فقط تمرین به شما یاد می دهد که یک بار برای همیشه چنین مشکلاتی را حل کنید. و شما می توانید در وب سایت ما آموزش دهید. اینجا .

اگر سوالی دارید یا چیزی مبهم است، حتما بپرسید. خوشحال می شوم به شما پاسخ دهم و تغییرات و اضافات را در مقاله ایجاد کنم. به یاد داشته باشید که ما این سایت را با هم می سازیم!

بیایید ببینیم چگونه یک تابع را با استفاده از یک نمودار بررسی کنیم. معلوم می شود که با نگاه کردن به نمودار، می توانیم همه چیزهایی را که مورد علاقه ما است، پیدا کنیم، یعنی:

• دامنه یک تابع
• محدوده عملکرد
• تابع صفر
• فواصل افزایش و کاهش
• حداکثر و حداقل امتیاز
• بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع در یک قطعه.

بیایید اصطلاحات را روشن کنیم:

اوکیسامختصات افقی نقطه است.
ترتیب دهید- مختصات عمودی
محور آبسیسا- محور افقی که اغلب محور نامیده می شود.
محور Y- محور عمودی، یا محور.

بحث و جدل- یک متغیر مستقل که مقادیر تابع به آن بستگی دارد. اغلب نشان داده شده است.
به عبارت دیگر، ما انتخاب می کنیم، توابع را جایگزین فرمول می کنیم و می گیریم.

دامنهتوابع - مجموعه ای از آن (و فقط آن) مقادیر آرگومان که تابع برای آنها وجود دارد.
نشان داده شده توسط: یا .

در شکل ما دامنه تعریف تابع قطعه است. روی این قطعه است که نمودار تابع رسم می شود. این تنها جایی است که این تابع وجود دارد.

محدوده عملکردمجموعه مقادیری است که یک متغیر می گیرد. در شکل ما، این یک بخش است - از کمترین تا بالاترین مقدار.

تابع صفرها- نقاطی که مقدار تابع صفر است، یعنی. در شکل ما اینها نقاط و .

مقادیر تابع مثبت هستندجایی که . در شکل ما این فواصل و .
مقادیر تابع منفی استجایی که . برای ما، این فاصله (یا بازه) از تا است.

مهمترین مفاهیم - عملکرد افزایش و کاهشدر برخی از مجموعه ها به عنوان یک مجموعه، می توانید یک قطعه، یک بازه، یک اتحادیه از فواصل، یا کل خط اعداد را بگیرید.

تابع افزایش

به عبارت دیگر، هر چه بیشتر، بیشتر، یعنی نمودار به سمت راست و بالا می رود.

تابع کاهش می دهددر یک مجموعه اگر برای هر یک و متعلق به مجموعه، نابرابری دلالت بر نابرابری دارد.

برای یک تابع کاهشی، مقدار بزرگتر با مقدار کوچکتر مطابقت دارد. نمودار به سمت راست و پایین می رود.

در شکل ما، تابع در بازه افزایش می یابد و در بازه ها کاهش می یابد.

بیایید تعریف کنیم که چیست حداکثر و حداقل امتیاز تابع.

حداکثر امتیاز- این یک نقطه داخلی از دامنه تعریف است، به طوری که مقدار تابع در آن بیشتر از همه نقاط به اندازه کافی نزدیک به آن است.
به عبارت دیگر، نقطه حداکثر نقطه ای است که در آن مقدار تابع است بیشترنسبت به همسایگان این یک "تپه" محلی در نمودار است.

در شکل ما یک نقطه حداکثر وجود دارد.

حداقل امتیاز- یک نقطه داخلی از دامنه تعریف، به طوری که مقدار تابع در آن کمتر از همه نقاط به اندازه کافی نزدیک به آن باشد.
یعنی حداقل نقطه به گونه ای است که مقدار تابع در آن کمتر از همسایگانش باشد. این یک "سوراخ" محلی در نمودار است.

در شکل ما یک حداقل نقطه وجود دارد.

نقطه مرز است. این یک نقطه داخلی حوزه تعریف نیست و بنابراین با تعریف حداکثر نقطه مطابقت ندارد. از این گذشته ، او هیچ همسایه ای در سمت چپ ندارد. به همین ترتیب، در نمودار ما نمی تواند یک حداقل نقطه وجود داشته باشد.

حداکثر و حداقل امتیاز با هم نامیده می شوند نقاط انتهایی تابع. در مورد ما این است و .

اگر نیاز به پیدا کردن دارید، برای مثال، چه کاری باید انجام دهید، حداقل عملکرددر بخش؟ در این صورت پاسخ این است: . زیرا حداقل عملکردمقدار آن در حداقل نقطه است.

به طور مشابه، حداکثر تابع ما است. در نقطه ای به آن رسیده است.

می توانیم بگوییم که منتهی الیه تابع برابر و است.

گاهی مشکلات نیاز به پیدا کردن دارند بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابعدر یک بخش داده شده آنها لزوماً با افراط و تفریط منطبق نیستند.

در مورد ما کوچکترین مقدار تابعبر روی قطعه برابر و منطبق بر حداقل تابع است. اما بیشترین مقدار آن در این بخش برابر است با . در انتهای سمت چپ بخش به آن رسیده است.

در هر صورت، بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع پیوسته در یک بخش یا در نقاط انتهایی یا در انتهای قطعه به دست می آید.