در درس جبر پایه هفتم به تبدیل عبارات اعداد صحیح یعنی عبارات ساخته شده از اعداد و متغیرها با استفاده از عملیات جمع، تفریق و ضرب و همچنین تقسیم بر عددی غیر از صفر پرداختیم. بنابراین، عبارات اعداد صحیح هستند

در مقابل، عبارات

آنها علاوه بر اعمال جمع، تفریق و ضرب، شامل تقسیم به عبارات دارای متغیر هستند. چنین عباراتی را عبارات کسری می نامند.

عبارات اعداد صحیح و کسری را عبارات گویا می نامند.

یک عبارت کامل برای هر مقدار از متغیرهای موجود در آن معنی دارد، زیرا برای یافتن مقدار یک عبارت کامل باید اقداماتی را انجام دهید که همیشه امکان پذیر است.

یک عبارت کسری ممکن است برای برخی از مقادیر متغیر معنی نداشته باشد. به عنوان مثال، عبارت - زمانی که a = 0 باشد معنی ندارد. برای همه مقادیر دیگر a، این عبارت معنا دارد. این عبارت برای آن مقادیر x و y زمانی که x ≠ y معنی دارد.

مقادیر متغیرهایی که عبارت برای آنها معنی دارد، مقادیر معتبر متغیرها نامیده می شود.

بیانی از فرم به عنوان کسری شناخته می شود.

کسری که صورت و مخرج آن چند جمله ای باشد، کسر گویا نامیده می شود.

نمونه هایی از کسرهای گویا کسرها هستند

که در کسر گویاقابل قبول آن دسته از مقادیر متغیرهایی هستند که در آنها مخرج کسری ناپدید نمی شود.

مثال 1.بیایید مقادیر قابل قبول متغیر را در کسری پیدا کنیم

راه حلبرای اینکه بفهمید مخرج کسر در چه مقادیری صفر می شود، باید معادله a(a - 9) = 0 را حل کنید. این معادله دو ریشه دارد: 0 و 9. بنابراین، همه اعداد به جز 0 و 9 هستند. مقادیر معتبری برای متغیر a هستند.

مثال 2.مقدار کسری در چه مقدار x است برابر با صفر؟

راه حلکسری صفر است اگر و فقط اگر a - 0 و b ≠ 0 باشد.

این مقاله نحوه یافتن مقادیر عبارات ریاضی را مورد بحث قرار می دهد. بیایید با عبارات عددی ساده شروع کنیم و سپس با افزایش پیچیدگی موارد موارد را در نظر بگیریم. در پایان عبارتی حاوی حروف، براکت ها، ریشه ها، خاص می دهیم نشانه های ریاضی، درجات، توابع و غیره طبق سنت، کل نظریه را با مثال‌های فراوان و مفصل ارائه خواهیم کرد.

چگونه مقدار یک عبارت عددی را پیدا کنیم؟

عبارات عددی، در میان چیزهای دیگر، به توصیف شرایط مشکل کمک می کنند زبان ریاضی. به طور کلی، عبارات ریاضی می توانند بسیار ساده، متشکل از یک جفت اعداد و نمادهای حسابی، یا بسیار پیچیده، حاوی توابع، قدرت، ریشه، پرانتز و غیره باشند. به عنوان بخشی از یک کار، اغلب لازم است که معنای یک عبارت خاص را پیدا کنید. نحوه انجام این کار در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

ساده ترین موارد

اینها مواردی هستند که عبارت حاوی چیزی جز اعداد و عملیات حسابی نیست. برای یافتن موفقیت آمیز مقادیر چنین عباراتی، به دانش ترتیب انجام عملیات حسابی بدون پرانتز و همچنین توانایی انجام عملیات با اعداد مختلف نیاز دارید.

اگر عبارت فقط شامل اعداد و علائم حسابی " + "، " · "، " - "، " ÷ " باشد، اعمال از چپ به راست به ترتیب زیر انجام می شود: ابتدا ضرب و تقسیم، سپس جمع و تفریق. بیایید مثال بزنیم.

مثال 1. معنی بیان عددی

اجازه دهید باید مقادیر عبارت 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 را پیدا کنید.

بیایید ابتدا ضرب و تقسیم را انجام دهیم. ما گرفتیم:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

حالا تفریق را انجام می دهیم و نتیجه نهایی را می گیریم:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

مثال 2: مقدار یک عبارت عددی

بیایید محاسبه کنیم: 0، 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

ابتدا تبدیل، تقسیم و ضرب کسر را انجام می دهیم:

0، 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

حالا بیایید جمع و تفریق را انجام دهیم. بیایید کسرها را گروه بندی کنیم و آنها را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

مقدار مورد نیاز پیدا شده است.

عبارات با پرانتز

اگر عبارتی حاوی پرانتز باشد، ترتیب عملیات در آن عبارت را مشخص می کند. اقدامات داخل براکت ها ابتدا انجام می شود و سپس تمام اقدامات دیگر انجام می شود. بیایید این را با یک مثال نشان دهیم.

مثال 3: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت 0.5 · (0.76 - 0.06) را پیدا کنیم.

عبارت حاوی پرانتز است، بنابراین ما ابتدا عمل تفریق را در پرانتز انجام می دهیم و تنها پس از آن ضرب را انجام می دهیم.

0.5 · (0.76 - 0.06) = 0.5 · 0.7 = 0.35.

معنای عبارات حاوی پرانتز در داخل پرانتز نیز بر اساس همین اصل یافت می شود.

مثال 4: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 را محاسبه کنیم.

ما اقداماتی را انجام خواهیم داد که از درونی ترین براکت ها شروع می شود و به سمت بیرونی حرکت می کنیم.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2، 5 = 1 + 2 6 = 13.

هنگام یافتن معانی عبارات با پرانتز، نکته اصلی این است که دنباله اقدامات را دنبال کنید.

عبارات با ریشه

عبارات ریاضی که باید مقادیر آنها را پیدا کنیم ممکن است حاوی علائم ریشه باشند. علاوه بر این، خود عبارت ممکن است زیر علامت ریشه باشد. در این مورد چه باید کرد؟ ابتدا باید مقدار عبارت زیر ریشه را پیدا کنید و سپس ریشه را از عددی که در نتیجه به دست می آید استخراج کنید. در صورت امکان، بهتر است از ریشه در عبارات عددی خلاص شوید و از با جایگزین کنید مقادیر عددی.

مثال 5: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت را با ریشه محاسبه کنیم - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

ابتدا عبارات رادیکال را محاسبه می کنیم.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2، 2 + 0، 1 0، 5 = 2، 2 + 0، 05 = 2، 25 = 1، 5.

اکنون می توانید مقدار کل عبارت را محاسبه کنید.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2، 2 + 0، 1 0، 5 = 2 + 3 1، 5 = 6، 5

اغلب، یافتن معنای یک عبارت با ریشه اغلب نیاز به تغییر عبارت اصلی دارد. اجازه دهید این موضوع را با یک مثال دیگر توضیح دهیم.

مثال 6: مقدار یک عبارت عددی

3 + 1 3 - 1 - 1 چیست

همانطور که می بینید، ما فرصتی برای جایگزینی ریشه با یک مقدار دقیق نداریم، که روند شمارش را پیچیده می کند. با این حال، در این مورد، می توانید فرمول ضرب اختصاری را اعمال کنید.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

بدین ترتیب:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

عبارات با قدرت

اگر عبارتی حاوی قدرت ها باشد، قبل از ادامه سایر اقدامات، مقادیر آنها باید محاسبه شود. این اتفاق می افتد که توان یا پایه درجه خود عبارت هستند. در این حالت ابتدا مقدار این عبارات و سپس مقدار درجه محاسبه می شود.

مثال 7: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 را پیدا کنیم.

بیایید به ترتیب شروع به محاسبه کنیم.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3، 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0، 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

تنها کاری که باقی می ماند این است که عملیات جمع را انجام دهیم و معنای عبارت را پیدا کنیم:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3، 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

همچنین اغلب توصیه می شود که یک عبارت را با استفاده از ویژگی های یک درجه ساده کنید.

مثال 8: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت زیر را محاسبه کنیم: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

نماها دوباره به گونه ای هستند که نمی توان مقادیر عددی دقیق آنها را به دست آورد. بیایید عبارت اصلی را ساده کنیم تا مقدار آن را پیدا کنیم.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

عبارات با کسری

اگر عبارتی شامل کسری باشد، هنگام محاسبه چنین عبارتی، همه کسری های موجود در آن باید به عنوان کسرهای معمولی نمایش داده شوند و مقادیر آنها محاسبه شود.

اگر صورت و مخرج کسری شامل عباراتی باشد، ابتدا مقادیر این عبارات محاسبه شده و مقدار نهایی خود کسر نوشته می شود. عملیات حسابی به ترتیب استاندارد انجام می شود. بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.

مثال 9: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت حاوی کسرها را پیدا کنیم: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

همانطور که می بینید، سه کسر در عبارت اصلی وجود دارد. بیایید ابتدا مقادیر آنها را محاسبه کنیم.

3، 2 2 = 3، 2 ÷ 2 = 1، 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

بیایید عبارت خود را بازنویسی کنیم و مقدار آن را محاسبه کنیم:

1، 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1، 6 - 0، 5 ÷ 1 = 1، 1

اغلب هنگام یافتن معنای عبارات، کاهش کسری راحت است. یک قانون ناگفته وجود دارد: قبل از یافتن مقدار آن، بهتر است هر عبارتی را تا حداکثر ساده کنید و همه محاسبات را به ساده ترین موارد کاهش دهید.

مثال 10: مقدار یک عبارت عددی

بیایید عبارت 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 را محاسبه کنیم.

ما نمی‌توانیم ریشه پنج را به طور کامل استخراج کنیم، اما می‌توانیم عبارت اصلی را از طریق تبدیل‌ها ساده کنیم.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

عبارت اصلی به شکل زیر است:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

بیایید مقدار این عبارت را محاسبه کنیم:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

عبارات با لگاریتم

هنگامی که لگاریتم در یک عبارت وجود دارد، در صورت امکان مقدار آنها از ابتدا محاسبه می شود. برای مثال در عبارت log 2 4 + 2 · 4 می توانید بلافاصله به جای log 2 4 مقدار این لگاریتم را یادداشت کرده و سپس تمام اعمال را انجام دهید. دریافت می کنیم: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

عبارات عددی را می توان در زیر خود علامت لگاریتم و در پایه آن نیز یافت. در این مورد، اولین کاری که باید انجام شود یافتن معانی آنهاست. بیایید عبارت log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 را در نظر بگیریم. ما داریم:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

اگر محاسبه مقدار دقیق لگاریتم غیرممکن باشد، ساده کردن عبارت به یافتن مقدار آن کمک می کند.

مثال 11: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 را پیدا کنیم.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

با خاصیت لگاریتم:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

با استفاده مجدد از ویژگی های لگاریتم، برای آخرین کسر در عبارت، به دست می آوریم:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

اکنون می توانید به محاسبه مقدار عبارت اصلی ادامه دهید.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

عباراتی با توابع مثلثاتی

اتفاق می افتد که عبارت شامل توابع مثلثاتی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت و همچنین توابع معکوس آنها است. مقدار از قبل از انجام سایر عملیات حسابی محاسبه می شود. در غیر این صورت، بیان ساده شده است.

مثال 12: مقدار یک عبارت عددی

مقدار عبارت را پیدا کنید: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

ابتدا مقادیر را محاسبه می کنیم توابع مثلثاتیدر بیان گنجانده شده است.

گناه - 5 π 2 = - 1

مقادیر را به عبارت جایگزین می کنیم و مقدار آن را محاسبه می کنیم:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

مقدار عبارت پیدا شده است.

اغلب، برای یافتن مقدار یک عبارت با توابع مثلثاتی، ابتدا باید آن را تبدیل کرد. با یک مثال توضیح می دهیم.

مثال 13: مقدار یک عبارت عددی

باید مقدار عبارت cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 را پیدا کنیم.

برای تبدیل استفاده خواهیم کرد فرمول های مثلثاتیکسینوس زاویه دوتاییو کسینوس جمع

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

حالت کلی یک عبارت عددی

به طور کلی، یک عبارت مثلثاتی می تواند شامل تمام عناصر توضیح داده شده در بالا باشد: براکت ها، توان ها، ریشه ها، لگاریتم ها، توابع. فرمول بندی کنیم قانون کلییافتن معانی چنین عباراتی

چگونه مقدار یک عبارت را پیدا کنیم

1. ریشه ها، توان ها، لگاریتم ها و غیره با ارزش های خود جایگزین می شوند.
2. اقدامات داخل پرانتز انجام می شود.
3. اقدامات باقی مانده به ترتیب از چپ به راست انجام می شود. اول - ضرب و تقسیم، سپس - جمع و تفریق.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 14: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت را محاسبه کنیم - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

بیان کاملا پیچیده و دست و پا گیر است. تصادفی نبود که ما فقط چنین مثالی را انتخاب کردیم و سعی کردیم تمام موارد ذکر شده در بالا را در آن جا دهیم. چگونه می توان معنای چنین عبارتی را پیدا کرد؟

مشخص است که هنگام محاسبه ارزش یک مجتمع فرم کسریابتدا مقادیر صورت و مخرج کسر به ترتیب به صورت جداگانه یافت می شود. ما به صورت متوالی این عبارت را تبدیل و ساده می کنیم.

اول از همه، بیایید مقدار عبارت رادیکال 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 را محاسبه کنیم. برای این کار باید مقدار سینوس و عبارتی که آرگومان تابع مثلثاتی است را پیدا کنید.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π 5 = π 6 + 2 π

اکنون می توانید ارزش سینوس را دریابید:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

ما مقدار عبارت رادیکال را محاسبه می کنیم:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

با مخرج کسری همه چیز ساده تر است:

حالا می توانیم مقدار کل کسر را بنویسیم:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

با در نظر گرفتن این، کل عبارت را می نویسیم:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

نتیجه نهایی:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

در این مورد، ما توانستیم مقادیر دقیق ریشه، لگاریتم، سینوس و غیره را محاسبه کنیم. اگر این امکان پذیر نیست، می توانید سعی کنید از طریق تبدیل های ریاضی از شر آنها خلاص شوید.

محاسبه مقادیر بیان با استفاده از روش های منطقی

مقادیر عددی باید به طور مداوم و دقیق محاسبه شوند. این فرآیند را می توان با استفاده از ویژگی های مختلف عملیات با اعداد منطقی و تسریع کرد. به عنوان مثال، مشخص است که یک محصول برابر با صفر است اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد. با در نظر گرفتن این خاصیت، بلافاصله می توان گفت که عبارت 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 برابر با صفر است. در عین حال، انجام اقدامات به ترتیب توضیح داده شده در مقاله بالا به هیچ وجه ضروری نیست.

همچنین استفاده از خاصیت تفریق اعداد مساوی راحت است. بدون انجام هیچ عملی می توانید دستور دهید که مقدار عبارت 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 نیز صفر باشد.

یکی دیگر از تکنیک‌های تسریع فرآیند، استفاده از دگرگونی‌های هویتی مانند گروه‌بندی اصطلاحات و عوامل و قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز است. یک رویکرد منطقی برای محاسبه عبارات با کسر، کاهش همان عبارات در صورت و مخرج است.

به عنوان مثال، عبارت 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 را در نظر بگیرید. بدون انجام عملیات داخل پرانتز، اما با کاهش کسر، می توان گفت که مقدار عبارت 1 3 است.

یافتن مقادیر عبارات با متغیرها

معنای یک عبارت تحت اللفظی و یک عبارت با متغیرها برای خاص یافت می شود مقادیر را تنظیم کنیدحروف و متغیرها

یافتن مقادیر عبارات با متغیرها

برای یافتن مقدار یک عبارت تحت اللفظی و یک عبارت با متغیرها، باید مقادیر داده شده حروف و متغیرها را به عبارت اصلی جایگزین کنید و سپس مقدار عبارت عددی حاصل را محاسبه کنید.

مثال 15: مقدار یک عبارت با متغیرها

مقدار عبارت 0, 5 x - y را با x = 2, 4 و y = 5 محاسبه کنید.

مقادیر متغیرها را در عبارت جایگزین می کنیم و محاسبه می کنیم:

0.5 x - y = 0.5 2.4 - 5 = 1.2 - 5 = - 3.8.

گاهی اوقات می توانید یک عبارت را طوری تبدیل کنید که بدون توجه به مقادیر حروف و متغیرهای موجود در آن، مقدار آن را به دست آورید. برای این کار باید در صورت امکان با استفاده از حروف و متغیرهای عبارت خلاص شوید تحولات هویتی، ویژگی های عملیات حسابی و همه روش های ممکن دیگر.

به عنوان مثال، عبارت x + 3 - x به وضوح دارای مقدار 3 است و برای محاسبه این مقدار نیازی به دانستن مقدار متغیر x نیست. معنی بیان داده شدهبرای تمام مقادیر متغیر x از ناحیه آن برابر با سه است ارزش های قابل قبول.

یک مثال دیگر مقدار عبارت x x برای همه x های مثبت برابر با یک است.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

بنابراین، اگر یک عبارت عددی از اعداد و علائم +، −، · و: تشکیل شده باشد، به ترتیب از چپ به راست باید ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق را انجام دهید که به شما امکان می دهد مقدار مورد نظر عبارت

برای روشن شدن مطلب چند مثال می زنیم.

مثال.

مقدار عبارت 14-2·15:6-3 را محاسبه کنید.

راه حل.

برای یافتن مقدار یک عبارت، باید تمام اقدامات مشخص شده در آن را مطابق با ترتیب پذیرفته شده انجام این اعمال انجام دهید. ابتدا به ترتیب از چپ به راست، ضرب و تقسیم را انجام می دهیم، به دست می آوریم 14-2·15:6-3=14-30:6-3=14-5-3. اکنون اعمال باقی مانده را نیز به ترتیب از چپ به راست انجام می دهیم: 14−5−3=9−3=6. اینطوری مقدار عبارت اصلی را پیدا کردیم که برابر با 6 است.

پاسخ:

14-2·15:6-3=6.

مثال.

معنی عبارت را پیدا کنید.

راه حل.

در این مثال، ابتدا باید ضرب 2·(-7) و تقسیم را با ضرب در عبارت انجام دهیم. با یادآوری چگونگی، 2·(-7)=-14 را پیدا می کنیم. و ابتدا اعمال در عبارت را انجام دهد ، سپس ، و اجرا کنید: .

مقادیر به دست آمده را با عبارت اصلی جایگزین می کنیم: .

اما اگر یک عبارت عددی زیر علامت ریشه وجود داشته باشد چه؟ برای به دست آوردن ارزش چنین ریشه ای، ابتدا باید ارزش عبارت رادیکال را با رعایت ترتیب پذیرفته شده انجام اقدامات پیدا کنید. مثلا، .

در عبارات عددی، ریشه ها باید به عنوان برخی اعداد درک شوند و توصیه می شود بلافاصله ریشه ها را با مقادیر آنها جایگزین کنید و سپس مقدار عبارت حاصل را بدون ریشه پیدا کنید و اقدامات را در دنباله پذیرفته شده انجام دهید.

مثال.

معنی عبارت را با ریشه پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا ارزش ریشه را پیدا می کنیم . برای انجام این کار، ابتدا مقدار عبارت رادیکال را محاسبه می کنیم −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. و ثانیاً ارزش ریشه را پیدا می کنیم.

حال بیایید مقدار ریشه دوم را از عبارت اصلی محاسبه کنیم: .

در نهایت، می‌توانیم معنای عبارت اصلی را با جایگزین کردن ریشه‌ها با مقادیر آنها پیدا کنیم: .

پاسخ:

اغلب اوقات، برای یافتن معنای یک عبارت با ریشه، ابتدا لازم است آن را تغییر دهید. بیایید راه حل مثال را نشان دهیم.

مثال.

معنای بیان چیست .

راه حل.

ما نمی توانیم ریشه سه را با مقدار دقیق آن جایگزین کنیم، که به ما اجازه نمی دهد مقدار این عبارت را به روشی که در بالا توضیح داده شده محاسبه کنیم. با این حال، ما می توانیم مقدار این عبارت را با انجام تبدیل های ساده محاسبه کنیم. مناسب فرمول اختلاف مربع: . با در نظر گرفتن، دریافت می کنیم . بنابراین، مقدار عبارت اصلی 1 است.

پاسخ:

.

با مدرک

اگر مبنا و توان اعداد باشند، مقدار آنها با تعیین درجه محاسبه می شود، به عنوان مثال، 3 2 = 3·3 = 9 یا 8 −1 = 1/8. همچنین ورودی هایی وجود دارد که پایه و/یا توان برخی از عبارات هستند. در این موارد، شما باید مقدار عبارت را در پایه، مقدار عبارت را در توان پیدا کنید و سپس مقدار خود درجه را محاسبه کنید.

مثال.

مقدار یک عبارت را با قدرت های فرم پیدا کنید 2 3·4-10 +16·(1-1/2) 3.5-2·1/4.

راه حل.

در عبارت اصلی دو توان 2 3·4-10 و (1-1/2) 3.5-2·1/4 وجود دارد. مقادیر آنها باید قبل از انجام سایر اقدامات محاسبه شود.

بیایید با توان 2 3·4-10 شروع کنیم. نشانگر آن حاوی یک عبارت عددی است، بیایید مقدار آن را محاسبه کنیم: 3·4−10=12−10=2. اکنون می توانید مقدار خود درجه را پیدا کنید: 2 3·4−10 =2 2 =4.

پایه و توان (1-1/2) 3.5-2 1/4 شامل عباراتی هستند؛ ما مقادیر آنها را محاسبه می کنیم تا سپس مقدار توان را پیدا کنیم. ما داریم (1-1/2) 3.5-2 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

اکنون به عبارت اصلی برمی گردیم، درجه های موجود در آن را با مقادیر آنها جایگزین می کنیم و مقدار عبارت مورد نیاز خود را پیدا می کنیم: 2 3·4-10 +16·(1-1/2) 3.5-2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

پاسخ:

2 3·4-10 +16·(1-1/2) 3.5-2·1/4 =6.

شایان ذکر است که موارد رایج تری وجود دارد که توصیه می شود مقدماتی انجام شود ساده سازی بیان با قدرتروی پایه .

مثال.

معنی عبارت را پیدا کنید .

راه حل.

با قضاوت بر اساس توان در این عبارت، به دست آوردن مقادیر دقیق نماها ممکن نخواهد بود. بیایید سعی کنیم عبارت اصلی را ساده کنیم، شاید این به یافتن معنای آن کمک کند. ما داریم

پاسخ:

.

قدرت در عبارات اغلب با لگاریتم همراه است، اما ما در مورد یافتن معنای عبارات با لگاریتم در یکی از آنها صحبت خواهیم کرد.

یافتن مقدار یک عبارت با کسری

عبارات عددی در ورودی آنها ممکن است شامل باشد کسری. هنگامی که شما نیاز به یافتن معنای عبارتی مانند این دارید، کسری به غیر از کسری باید با مقادیر خود قبل از ادامه مراحل دیگر جایگزین شود.

صورت و مخرج کسری (که با کسرهای معمولی متفاوت است) می تواند هم شامل اعداد و هم عبارات باشد. برای محاسبه مقدار چنین کسری، باید مقدار عبارت را در صورت محاسبه کنید، مقدار عبارت را در مخرج محاسبه کنید و سپس مقدار خود کسری را محاسبه کنید. این ترتیب با این واقعیت توضیح داده می شود که کسری a/b، که در آن a و b برخی از عبارات هستند، اساساً نشان دهنده ضریبی از شکل (a):(b) است، زیرا .

بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.

مثال.

معنی عبارت را با کسری پیدا کنید .

راه حل.

در عبارت عددی اصلی سه کسر وجود دارد و . برای یافتن مقدار عبارت اصلی، ابتدا باید این کسرها را با مقادیر آنها جایگزین کنیم. بیایید آن را انجام دهیم.

صورت و مخرج کسری شامل اعداد است. برای یافتن مقدار چنین کسری، نوار کسر را با علامت تقسیم جایگزین کنید و این عمل را انجام دهید: .

در صورت حساب کسری عبارت 7-2·3 وجود دارد، مقدار آن به راحتی پیدا می شود: 7-2·3=7-6=1. بدین ترتیب، . می توانید به یافتن مقدار کسر سوم ادامه دهید.

کسر سوم در صورت و مخرج شامل عبارات عددی است، بنابراین، ابتدا باید مقادیر آنها را محاسبه کنید و این به شما امکان می دهد مقدار خود کسر را پیدا کنید. ما داریم .

باقی مانده است که مقادیر یافت شده را در عبارت اصلی جایگزین کنید و اقدامات باقی مانده را انجام دهید: .

پاسخ:

.

اغلب، هنگام یافتن مقادیر عبارات با کسری، باید انجام دهید ساده سازی عبارات کسری، بر اساس انجام عملیات با کسر و کسر کسر.

مثال.

معنی عبارت را پیدا کنید .

راه حل.

ریشه پنج را نمی توان به طور کامل استخراج کرد، بنابراین برای یافتن مقدار عبارت اصلی، ابتدا آن را ساده می کنیم. برای این بیایید از نامعقول بودن در مخرج خلاص شویمکسر اول: . پس از این، عبارت اصلی شکل خواهد گرفت . پس از تفریق کسرها، ریشه ها ناپدید می شوند، که به ما امکان می دهد مقدار عبارت اولیه داده شده را پیدا کنیم: .

پاسخ:

.

با لگاریتم

اگر یک عبارت عددی حاوی , و اگر امکان خلاص شدن از شر آنها وجود دارد، این کار قبل از انجام سایر اقدامات انجام می شود. به عنوان مثال، هنگام یافتن مقدار عبارت log 2 4+2·3، لگاریتم log 2 4 با مقدار 2 آن جایگزین می شود، پس از آن اعمال باقی مانده به ترتیب معمول انجام می شود، یعنی log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

هنگامی که عبارات عددی در زیر علامت لگاریتم و/یا در پایه آن وجود دارد، ابتدا مقادیر آنها پیدا می شود و پس از آن مقدار لگاریتم محاسبه می شود. برای مثال، عبارتی را با لگاریتم شکل در نظر بگیرید . در پایه لگاریتم و زیر علامت آن عبارت های عددی وجود دارد که مقادیر آنها را می یابیم: . حالا لگاریتم را پیدا می کنیم و پس از آن محاسبات را کامل می کنیم: .

اگر لگاریتم ها به طور دقیق محاسبه نشده باشند، ساده سازی اولیه آن با استفاده از . در این صورت باید به مطالب مقاله تسلط کافی داشته باشید تبدیل عبارات لگاریتمی.

مثال.

مقدار یک عبارت را با لگاریتم پیدا کنید .

راه حل.

بیایید با محاسبه log 2 (log 2 256) شروع کنیم. از آنجایی که 256=2 8، پس Log 2 256=8، بنابراین، log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

لگاریتم های log 6 2 و log 6 3 را می توان گروه بندی کرد. مجموع لگاریتم های log 6 2 + log 6 3 برابر است با لگاریتم حاصلضرب log 6 (2 3)، بنابراین، log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

حالا بیایید به کسر نگاه کنیم. برای شروع، پایه لگاریتم را در مخرج به شکل بازنویسی می کنیم کسر مشترکبه عنوان 1/5، پس از آن از خواص لگاریتم استفاده می کنیم که به ما امکان می دهد مقدار کسری را بدست آوریم:
.

تنها چیزی که باقی می ماند این است که نتایج به دست آمده را با عبارت اصلی جایگزین کنیم و مقدار آن را به پایان برسانیم:

پاسخ:

چگونه مقدار یک عبارت مثلثاتی را پیدا کنیم؟

هنگامی که یک عبارت عددی حاوی یا و غیره باشد، مقادیر آنها قبل از انجام سایر اقدامات محاسبه می شود. اگر عبارات عددی زیر علامت توابع مثلثاتی وجود داشته باشد، ابتدا مقادیر آنها محاسبه می شود و پس از آن مقادیر توابع مثلثاتی پیدا می شود.

مثال.

معنی عبارت را پیدا کنید .

راه حل.

با عطف به مقاله، متوجه می شویم و cosπ=-1. ما این مقادیر را به عبارت اصلی جایگزین می کنیم، شکل می گیرد . برای یافتن مقدار آن، ابتدا باید توان را انجام دهید و سپس محاسبات را به پایان برسانید: .

پاسخ:

.

شایان ذکر است که محاسبه مقادیر عبارات با سینوس، کسینوس و غیره. اغلب نیاز به قبل دارد دگرگونی بیان مثلثاتی .

مثال.

مقدار عبارت مثلثاتی چقدر است .

راه حل.

بیایید عبارت اصلی را با استفاده از تبدیل کنیم، در این مورد به فرمول کسینوس دو زاویه و فرمول کسینوس مجموع نیاز داریم:

تغییراتی که انجام دادیم به ما کمک کرد تا معنای عبارت را پیدا کنیم.

پاسخ:

.

مورد کلی

به طور کلی، یک عبارت عددی می تواند شامل ریشه، توان، کسری، برخی از توابع و پرانتز باشد. یافتن مقادیر چنین عباراتی شامل انجام اقدامات زیر است:

• ریشه های اول، توان ها، کسرها و غیره با ارزش های خود جایگزین می شوند،
• اقدامات بعدی در پرانتز،
• و به ترتیب از چپ به راست ، عملیات باقی مانده انجام می شود - ضرب و تقسیم و به دنبال آن جمع و تفریق.

اقدامات ذکر شده تا حصول نتیجه نهایی انجام می شود.

مثال.

معنی عبارت را پیدا کنید .

راه حل.

شکل این عبارت کاملاً پیچیده است. در این عبارت کسری، ریشه، توان، سینوس و لگاریتم را می بینیم. چگونه ارزش آن را پیدا کنیم؟

با حرکت در رکورد از چپ به راست، با کسری از فرم مواجه می شویم . ما می دانیم که هنگام کار با کسری نوع پیچیده، باید مقدار صورت را جداگانه محاسبه کنیم، مخرج را جداگانه محاسبه کنیم و در نهایت مقدار کسری را پیدا کنیم.

در صورت حساب ریشه فرم را داریم . برای تعیین مقدار آن، ابتدا باید مقدار عبارت رادیکال را محاسبه کنید . اینجا یک سینوس وجود دارد. فقط پس از محاسبه مقدار عبارت می توانیم مقدار آن را پیدا کنیم . این را می توانیم انجام دهیم: . سپس از کجا و از کجا .

مخرج ساده است: .

بدین ترتیب، .

پس از جایگزینی این نتیجه در عبارت اصلی، به شکل . عبارت به دست آمده حاوی درجه است. برای پیدا کردن مقدار آن، ابتدا باید مقدار اندیکاتور را پیدا کنیم .

بنابراین، .

پاسخ:

.

اگر نمی توان مقادیر دقیق ریشه ها، قدرت ها و غیره را محاسبه کرد، می توانید سعی کنید با استفاده از برخی تبدیل ها از شر آنها خلاص شوید و سپس به محاسبه مقدار مطابق با طرح مشخص شده بازگردید.

روش های منطقی برای محاسبه مقادیر عبارات

محاسبه مقادیر عبارات عددی مستلزم سازگاری و دقت است. بله، رعایت توالی اقدامات ثبت شده در پاراگراف های قبلی ضروری است، اما نیازی به انجام کورکورانه و مکانیکی نیست. منظور ما از این این است که اغلب می توان فرآیند یافتن معنای یک عبارت را منطقی کرد. به عنوان مثال، ویژگی‌های خاصی از عملیات با اعداد می‌توانند به طور قابل توجهی یافتن مقدار یک عبارت را تسریع و ساده کنند.

به عنوان مثال، ما این خاصیت ضرب را می دانیم: اگر یکی از عوامل در حاصل ضرب برابر با صفر باشد، مقدار حاصلضرب نیز برابر با صفر است. با استفاده از این خاصیت می توان بلافاصله گفت که مقدار عبارت 0·(2·3+893-3234:54·65-79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) برابر با صفر است. اگر از ترتیب استاندارد عملیات پیروی کنیم، ابتدا باید مقادیر عبارات دست و پا گیر داخل پرانتز را محاسبه کنیم که زمان زیادی می برد و نتیجه همچنان صفر خواهد بود.

همچنین استفاده از خاصیت تفریق اعداد مساوی راحت است: اگر یک عدد مساوی را از یک عدد کم کنید، نتیجه صفر می شود. این ویژگی را می توان به طور گسترده تری در نظر گرفت: تفاوت بین دو عبارت عددی یکسان صفر است. به عنوان مثال، بدون محاسبه مقدار عبارات داخل پرانتز، می توانید مقدار عبارت را پیدا کنید. (54 6-12 47362:3)-(54 6-12 47362:3)، برابر با صفر است، زیرا عبارت اصلی تفاوت عبارات یکسان است.

محاسبه منطقی مقادیر بیان را می توان توسط تحولات هویتی. مثلا می تواند مفید باشد گروه بندی اصطلاحات و عوامل، کمتر مورد استفاده قرار نمی گیرد خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز. بنابراین مقدار عبارت 53·5+53·7-53·11+5 پس از خارج کردن ضریب 53 از پرانتز بسیار آسان است: 53·(5+7-11)+5=53·1+5=53+5=58. محاسبه مستقیم خیلی بیشتر طول می کشد.

برای نتیجه گیری این نکته، اجازه دهید به یک رویکرد منطقی برای محاسبه مقادیر عبارات با کسری توجه کنیم - عوامل یکسان در صورت و مخرج کسری لغو می شوند. مثلاً کاهش عبارات یکسان در صورت و مخرج کسری به شما امکان می دهد بلافاصله مقدار آن را که برابر با 1/2 است پیدا کنید.

یافتن مقدار یک عبارت تحت اللفظی و یک عبارت با متغیرها

معنی عبارات تحت اللفظی و متغیربرای مقادیر مشخصی از حروف و متغیرها یافت می شود. به این معنا که، ما در مورددر مورد یافتن مقدار یک عبارت تحت اللفظی برای مقادیر حروف داده شده یا در مورد یافتن مقدار یک عبارت با متغیرهایی برای مقادیر متغیر انتخاب شده.

قانونیافتن مقدار یک عبارت تحت اللفظی یا یک عبارت با متغیرهایی برای مقادیر داده شده از حروف یا مقادیر انتخاب شده متغیرها به شرح زیر است: شما باید مقادیر داده شده حروف یا متغیرها را در عبارت اصلی جایگزین کنید و محاسبه کنید. مقدار عبارت عددی حاصل؛ مقدار مورد نظر است.

مثال.

مقدار عبارت 0.5·x−y را در x=2.4 و y=5 محاسبه کنید.

راه حل.

برای یافتن مقدار مورد نیاز عبارت، ابتدا باید مقادیر داده شده متغیرها را جایگزین عبارت اصلی کنید و سپس مراحل زیر را انجام دهید: 0.5·2.4−5=1.2−5=-3.8.

پاسخ:

−3,8 .

به عنوان نکته پایانی، گاهی اوقات انجام تبدیل در عبارات تحت اللفظی و متغیر، بدون توجه به مقادیر حروف و متغیرها، مقادیر آنها را به دست می دهد. به عنوان مثال، عبارت x+3−x را می توان ساده کرد، پس از آن به شکل 3 خواهد شد. از اینجا می توان نتیجه گرفت که مقدار عبارت x+3−x برای هر مقدار متغیر x از آن برابر با 3 است. محدوده مقدار مجاز (APV). مثال دیگر: مقدار عبارت برای تمام مقادیر مثبت x برابر با 1 است، بنابراین محدوده مقادیر مجاز متغیر x در عبارت اصلی مجموعه اعداد مثبت و در این محدوده برابری است. دارای.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضیات: کتاب درسی برای کلاس پنجم آموزش عمومی موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. شابک 5-346-00699-0.
• ریاضیات.پایه ششم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [ن. Ya. Vilenkin و دیگران]. - چاپ بیست و دوم، برگردان - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. شابک 978-5-346-00897-2.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هفتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - ویرایش هفدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 240 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019315-3.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• جبر:پایه نهم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2009. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-021134-5.
• جبرو آغاز تحلیل: Proc. برای کلاس های 10-11 آموزش عمومی موسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn و دیگران؛ اد. A. N. Kolmogorov. - ویرایش چهاردهم - M.: آموزش و پرورش، 2004. - 384 ص.: بیمار - ISBN 5-09-013651-3.