عدد π نشان می دهد که محیط یک دایره چند برابر بیشتر از قطر آن است. مهم نیست که اندازه دایره چقدر است - همانطور که حداقل 4 هزار سال پیش مشاهده شد، این نسبت همیشه یکسان است. تنها سوال این است که چه چیزی برابر است.
برای محاسبه تقریبی آن، یک نخ معمولی کافی است. ارشمیدس یونانی در قرن سوم قبل از میلاد. از روش زیرکانه تری استفاده کرد او چند ضلعی های منظم در داخل و خارج دایره کشید. ارشمیدس با اضافه کردن طول اضلاع چند ضلعی ها، چنگالی را که عدد π در آن قرار دارد، با دقت بیشتری تعیین کرد و متوجه شد که تقریباً برابر با 3.14 است.
روش چند ضلعی تقریباً 2 هزار سال پس از ارشمیدس مورد استفاده قرار گرفت؛ این امر باعث شد تا مقدار عدد π را تا 38 رقم اعشار بدانیم. یک یا دو نشانه دیگر - و شما می توانید با دقت اتمیدور دایره ای با قطری شبیه به کیهان را محاسبه کنید.
در حالی که برخی از دانشمندان از روش هندسی استفاده می کردند، برخی دیگر متوجه شدند که عدد π را می توان با جمع، تفریق، تقسیم یا ضرب اعداد دیگر محاسبه کرد. به لطف این، "دم" تا چند صد رقم اعشار رشد کرد.
با ظهور اولین رایانه ها و به ویژه رایانه های مدرن، دقت به ترتیبی افزایش یافت - در سال 2016، پیتر تروب سوئیسی ارزش عدد π را تعیین کرد. تا 22.4 تریلیون رقم اعشار. اگر این نتیجه را در یک خط 14 نقطه ای با عرض معمولی چاپ کنید، ورودی کمی کوتاهتر از فاصله متوسط زمین تا زهره خواهد بود.
در اصل، هیچ چیز ما را از دستیابی به دقت بیشتر باز نمی دارد، اما برای محاسبات علمی برای مدت طولانی نیازی به این کار نیست - به جز آزمایش رایانه ها، الگوریتم ها و تحقیق در ریاضیات. و چیزهای زیادی برای کشف وجود دارد. همه چیز حتی در مورد خود عدد π نیز مشخص نیست. ثابت شده است که به صورت یک کسر غیر تناوبی نامتناهی نوشته می شودیعنی محدودیتی برای اعداد بعد از نقطه اعشار وجود ندارد و با بلوک های تکراری جمع نمی شوند. اما مشخص نیست که آیا اعداد و ترکیبات آنها با یک بسامد ظاهر می شوند یا خیر. ظاهرا این درست است، اما هیچ کس هنوز مدرک دقیق ارائه نکرده است.
محاسبات بیشتر عمدتاً برای ورزش انجام می شود - و به همین دلیل مردم سعی می کنند تا حد ممکن تعداد اعشار را به خاطر بسپارند. رکورد متعلق به هندی راجویر مینا است که در سال 2015 او 70 هزار شخصیت را از حافظه نام برد، تقریباً ده ساعت با چشم بسته نشسته است.
احتمالاً برای پیشی گرفتن از نتیجه او به استعداد خاصی نیاز دارید. اما همه می توانند دوستان خود را با یک خاطره خوب غافلگیر کنند. نکته اصلی استفاده از یکی از تکنیک های یادگاری است که می تواند برای چیز دیگری مفید باشد.
داده های ساختار
واضح ترین راه این است که عدد را به بلوک های مساوی تقسیم کنید. به عنوان مثال، می توان π را به عنوان نشان داد دفترچه تلفنبا اعداد ده رقمی، یا شاید مانند کتاب درسی فانتزی تاریخ (و آینده)، که در آن سال ها ذکر شده است. چیز زیادی به خاطر نخواهید آورد، اما چند ده رقم اعشار برای تأثیرگذاری کافی است.
یک عدد را به داستان تبدیل کنید
اعتقاد بر این است که راحت ترین راه برای به خاطر سپردن اعداد، ارائه داستانی است که در آن با تعداد حروف در کلمات مطابقت دارد (منطقی است که صفر را با فاصله جایگزین کنیم، اما بیشتر کلمات ادغام می شوند؛ در عوض، بهتر است از کلمات ده حرفی استفاده کنید). عبارت «آیا می توانم یک بسته بزرگ دانه قهوه داشته باشم؟» بر اساس این اصل است. به انگلیسی:
مه - 3،
داشتن - 4
بزرگ - 5
ظرف - 9
قهوه - 6
لوبیا - 5
در روسیه قبل از انقلاب، آنها با یک جمله مشابه آمدند: "هر کس به شوخی و به زودی، بخواهد (ب) پی عدد را بداند، قبلاً (ب) را می داند. دقت - تا رقم دهم اعشار: 3.1415926536. اما به خاطر سپردن بیشتر آسان تر است نسخه مدرن: "او در محل کار مورد احترام بوده و خواهد بود." شعری نیز وجود دارد: "من این را می دانم و آن را کاملاً به خاطر می آورم - نه ، بسیاری از نشانه ها برای من غیر ضروری هستند ، بیهوده." و یاکوف پرلمن، ریاضیدان شوروی، دیالوگ کامل یادگاری را ساخت:
من در مورد حلقه ها چه می دانم؟ (3.1415)
بنابراین من شماره ای به نام پی را می دانم - آفرین! (3.1415927)
شماره پشت شماره را یاد بگیرید و بدانید، چگونه متوجه موفقیت شوید! (3.14159265359)
مایکل کیت، ریاضیدان آمریکایی، حتی یک کتاب کامل به نام «بیداری نیست» نوشت که متن آن حاوی اطلاعاتی درباره 10 هزار رقم اول عدد π است.
اعداد را با حروف جایگزین کنید
برخی افراد به خاطر سپردن حروف تصادفی راحت تر از اعداد تصادفی هستند. در این حالت اعداد با حروف اول الفبا جایگزین می شوند. اولین کلمه در عنوان داستان مایکل کیث Cadaeic Cadenza به این شکل ظاهر شد. در مجموع 3835 رقم پی در این اثر رمزگذاری شده است - البته به همان روشی که در کتاب بیدار نیست.
در روسی، برای اهداف مشابه، می توانید از حروف A تا I استفاده کنید (این دومی با صفر مطابقت دارد). اینکه چقدر راحت ترکیب های ساخته شده از آنها را به خاطر بسپارید، یک سوال باز است.
با تصاویر ترکیبی از اعداد بیایید
برای دستیابی به نتایج واقعاً برجسته، روش های قبلی کارساز نیستند. دارندگان رکورد از تکنیک های تجسم استفاده می کنند: به خاطر سپردن تصاویر آسان تر از اعداد است. ابتدا باید هر عدد را با یک حرف همخوان مطابقت دهید. به نظر می رسد که هر عدد دو رقمی (از 00 تا 99) با یک ترکیب دو حرفی مطابقت دارد.
بیایید بگوییم یکی n- این "n" است، چهارتا آر e - "r"، pya تیب - "ت". سپس عدد 14 "nr" و 15 "nt" است. حالا این جفت ها باید با حروف دیگری تکمیل شوند تا کلماتی تشکیل شود، به عنوان مثال، " n O آرالف" و " nو تیب". در مجموع به صد کلمه نیاز دارید - به نظر می رسد زیاد است ، اما فقط ده حرف پشت آنها وجود دارد ، بنابراین به خاطر سپردن آن چندان دشوار نیست.
عدد π به عنوان دنباله ای از تصاویر در ذهن ظاهر می شود: سه عدد کامل، یک سوراخ، یک نخ و غیره. برای به خاطر سپردن بهتر این سکانس، می توان تصاویر را ترسیم یا چاپ کرد و جلوی چشمان شما قرار داد. برخی از افراد به سادگی اقلام مربوطه را در اطراف اتاق قرار می دهند و در حالی که به فضای داخلی نگاه می کنند اعداد را به خاطر می آورند. آموزش منظم با استفاده از این روش به شما امکان می دهد صدها و حتی هزاران رقم اعشار - یا هر اطلاعات دیگری را به خاطر بسپارید، زیرا می توانید نه تنها اعداد را تجسم کنید.
مارات کوزایف، کریستینا ندکووا
پی یکی از محبوب ترین اعداد است مفاهیم ریاضی. درباره او عکس نوشته می شود، فیلم ساخته می شود، با آلات موسیقی نواخته می شود، اشعار و اعیاد به او تقدیم می شود، در متون مقدس جستجو و یافت می شود.
چه کسی پی را کشف کرد؟
چه کسی و چه زمانی برای اولین بار عدد π را کشف کرد هنوز یک راز باقی مانده است. مشخص است که سازندگان بابل باستان قبلاً از آن در طراحی خود استفاده کامل کرده بودند. لوح های میخی که هزاران سال قدمت دارند حتی مشکلاتی را که پیشنهاد شده بود با استفاده از π حل شوند حفظ می کنند. درست است، پس اعتقاد بر این بود که π برابر با سه است. این را لوحی که در شهر شوش در دویست کیلومتری بابل یافت شد، نشان می دهد که عدد π 3 1/8 نشان داده شده است.
در فرآیند محاسبه π، بابلی ها دریافتند که شعاع دایره به صورت وتر شش بار وارد آن می شود و دایره را به 360 درجه تقسیم کردند. و در عین حال با مدار خورشید هم همین کار را کردند. بنابراین، آنها تصمیم گرفتند در نظر بگیرند که 360 روز در سال وجود دارد.
که در مصر باستانπ برابر با 3.16 بود.
که در هند باستان – 3,088.
در ایتالیا در آغاز عصر، اعتقاد بر این بود که π برابر با 3.125 است.
در دوران باستان، اولین ذکری از π به مسئله معروف مربع کردن دایره اشاره دارد، یعنی عدم امکان استفاده از قطب نما و خط کش برای ساخت مربعی که مساحت آن برابر با مساحت یک دایره خاص است. ارشمیدس π را با کسری 22/7 برابر دانست.
نزدیکترین افراد به مقدار دقیق π در چین آمده اند. در قرن پنجم میلادی محاسبه شد. ه. ستاره شناس معروف چینی تزو چون ژی. π کاملاً ساده محاسبه شد. لازم بود اعداد فرد را دو بار بنویسیم: 11 33 55 و سپس با تقسیم آنها به دو نیم، اولی را در مخرج کسری و دومی را در صورت: 355/113 قرار دهیم. نتیجه با محاسبات مدرن π تا رقم هفتم مطابقت دارد.
چرا π – π؟
اکنون حتی دانش آموزان مدرسه می دانند که عدد π یک ثابت ریاضی است، برابر با نسبتطول دایره به طول قطر آن و برابر است با π 3.1415926535 ... و سپس بعد از اعشار - تا بی نهایت.
این عدد نام π را به روشی پیچیده به دست آورد: اول، این نامه یونانیدر سال 1647، ریاضیدان Outrade، محیط را نامگذاری کرد. او حرف اول کلمه یونانی περιφέρεια - "پیرامون" را گرفت. در سال 1706 ، معلم انگلیسی ویلیام جونز در کار خود "بررسی دستاوردهای ریاضیات" قبلاً نسبت محیط دایره به قطر آن را با حرف π نامید. و این نام توسط ریاضیدان قرن هجدهم، لئونارد اویلر، تثبیت شد، که در مقابل قدرت او بقیه سر خود را خم کردند. بنابراین π تبدیل به π شد.
منحصر به فرد بودن عدد
Pi یک عدد واقعا منحصر به فرد است.
1. دانشمندان معتقدند که تعداد ارقام عدد π بی نهایت است. دنباله آنها تکرار نمی شود. علاوه بر این، هیچ کس هرگز نمی تواند تکرارها را پیدا کند. از آنجایی که عدد بی نهایت است، می تواند شامل همه چیز باشد، حتی یک سمفونی راخمانینوف، کتاب عهد عتیق، شماره تلفن شما و سالی که آخرالزمان در آن رخ خواهد داد.
2. π با نظریه آشوب مرتبط است. دانشمندان پس از ایجاد برنامه کامپیوتری بیلی به این نتیجه رسیدند که نشان داد دنباله اعداد در π کاملا تصادفی است که با این نظریه مطابقت دارد.
3. تقریباً غیرممکن است که عدد را به طور کامل محاسبه کنید - زمان زیادی می برد.
4. π یک عدد غیر منطقی است، یعنی مقدار آن را نمی توان به صورت کسری بیان کرد.
5. π - عدد ماورایی. با ساختن هیچ کدام به دست نمی آید عملیات جبریبیش از اعداد کامل
6. سی و نه رقم اعشار در عدد π برای محاسبه طول دایره ای که اجرام کیهانی شناخته شده در کیهان را احاطه کرده است، با خطای شعاع اتم هیدروژن کافی است.
7. عدد π با مفهوم "نسبت طلایی" مرتبط است. در طول فرآیند اندازه گیری هرم بزرگدر جیزه، باستان شناسان دریافتند که ارتفاع آن با طول قاعده آن مرتبط است، همانطور که شعاع دایره با طول آن مرتبط است.
سوابق مربوط به π
در سال 2010، ریاضیدان یاهو، نیکلاس ژ، توانست دو کوادریلیون رقم اعشار (2x10) را در عدد π محاسبه کند. 23 روز طول کشید و این ریاضیدان به دستیاران زیادی نیاز داشت که روی هزاران رایانه کار می کردند و با استفاده از فناوری محاسبات توزیع شده متحد می شدند. این روش انجام محاسبات را با چنین سرعت خارق العاده ای امکان پذیر کرد. محاسبه یک چیز مشابه روی یک کامپیوتر بیش از 500 سال طول می کشد.
برای اینکه بتوانید همه اینها را به سادگی روی کاغذ بنویسید، به یک نوار کاغذی بیش از دو میلیارد کیلومتر نیاز دارید. اگر چنین رکوردی را گسترش دهید، پایان آن فراتر از منظومه شمسی خواهد رفت.
لیو چائو چینی رکورد به خاطر سپردن دنباله ارقام عدد π را ثبت کرد. در عرض 24 ساعت و 4 دقیقه، لیو چائو 67890 رقم اعشار را بدون یک اشتباه گفت.
π طرفداران زیادی دارد. روی آلات موسیقی نواخته می شود و معلوم می شود که عالی به نظر می رسد. آنها آن را به خاطر می آورند و تکنیک های مختلفی برای این کار ارائه می کنند. برای سرگرمی، آن را در رایانه خود دانلود می کنند و به یکدیگر مباهات می کنند که چه کسی بیشتر دانلود کرده است. یادبودهایی برای او ساخته می شود. به عنوان مثال، چنین بنای تاریخی در سیاتل وجود دارد. روی پله های روبروی موزه هنر واقع شده است.
π در دکوراسیون و طراحی داخلی استفاده می شود. اشعاری به او تقدیم شده است، او را در کتب مقدس و در حفاری ها جستجو می کنند. حتی یک "باشگاه π" وجود دارد.
در بهترین سنت های π، نه یک، بلکه دو روز کامل در سال به عدد اختصاص داده شده است! اولین باری که روز π جشن گرفته می شود 14 مارس است. شما باید دقیقاً در 1 ساعت و 59 دقیقه و 26 ثانیه به یکدیگر تبریک بگویید. بنابراین، تاریخ و زمان مطابق با اولین ارقام شماره - 3.1415926 است.
برای دومین بار، تعطیلات π در 22 ژوئیه جشن گرفته می شود. این روز با به اصطلاح "π تقریبی" مرتبط است که ارشمیدس آن را به صورت کسری یادداشت کرد.
معمولاً در این روز دانش آموزان، دانش آموزان مدرسه و دانشمندان فلش ماب ها و اقدامات خنده دار ترتیب می دهند. ریاضیدانان در حال تفریح از π برای محاسبه قوانین ساندویچ در حال سقوط استفاده می کنند و به یکدیگر جوایز طنز می دهند.
و به هر حال، π را می توان در کتب مقدس یافت. مثلاً در کتاب مقدس. و در آنجا عدد π برابر است با ... سه.
14 مارس 2012
در 14 مارس، ریاضیدانان یکی از غیر معمول ترین تعطیلات را جشن می گیرند - روز جهانی پیاین تاریخ تصادفی انتخاب نشده است: بیان عددیπ (Pi) - 3.14 (ماه سوم (مارس) 14).
برای اولین بار، دانش‌آموزان با این عدد غیرعادی روبرو می‌شوند کلاس های خردسالهنگام مطالعه دایره و دور. عدد π یک ثابت ریاضی است که نسبت محیط دایره به طول قطر آن را بیان می کند. یعنی اگر دایره ای با قطر بگیرید برابر با یک، سپس محیط برابر با عدد "Pi" خواهد بود. عدد π دارای مدت زمان ریاضی بی نهایت است، اما در محاسبات روزمره از املای ساده شده عدد استفاده می شود و تنها دو رقم اعشار باقی می ماند - 3.14.
در سال 1987 برای اولین بار این روز جشن گرفته شد. فیزیکدان لری شاو از سانفرانسیسکو متوجه شد که در سیستم آمریکاییسوابق تاریخ ها (ماه / روز) تاریخ 14 مارس - 3/14 مصادف با عدد π (π = 3.1415926...) است. معمولاً جشن‌ها در ساعت 1:59:26 بعد از ظهر آغاز می‌شوند (π = 3.14 15926 …).
تاریخچه پی
فرض بر این است که تاریخچه عدد π در مصر باستان آغاز می شود. ریاضیدانان مصری مساحت دایره ای با قطر D را به صورت (D-D/9) 2 تعیین کردند. از این مدخل مشخص می شود که در آن زمان عدد π با کسری (16/9) 2 یا 256/81 برابر بود، یعنی. π 3.160...
در قرن ششم. قبل از میلاد مسیح. در هند، در کتاب دینی جینیسم، مدخل هایی وجود دارد که نشان می دهد عدد π در آن زمان برابر بوده است. ریشه دوماز 10، که کسری 3.162 را می دهد ...
در قرن 3. قبل از میلاد ارشمیدس در اثر کوتاه خود "اندازه گیری یک دایره" سه گزاره را اثبات کرد:
- اندازه هر دایره برابر است راست گوشهکه پاهای آن به ترتیب برابر با طول دایره و شعاع آن است.
- مساحت دایره مربوط به مربعی است که با قطر 11 تا 14 ساخته شده است.
- نسبت هر دایره به قطر آن کمتر از 3 1/7 و بزرگتر از 3 10/71 است.
ارشمیدس آخرین موقعیت را با محاسبه متوالی محیط چند ضلعی های محاطی و محاطی منظم با دو برابر کردن تعداد اضلاع آنها توجیه کرد. بر اساس محاسبات دقیق ارشمیدس، نسبت محیط به قطر بین اعداد 3 * 10 / 71 و 3 * 1/7 است، یعنی عدد پی برابر با 3.1419 ... معنای واقعیاین نسبت 3.1415922653 است...
در قرن پنجم قبل از میلاد مسیح. ریاضیدان چینی Zu Chongzhi مقدار دقیق تری برای این عدد پیدا کرد: 3.1415927...
در نیمه اول قرن پانزدهم. اخترشناس و ریاضیدان کاشی، π را با 16 رقم اعشار محاسبه کرد.
یک قرن و نیم بعد در اروپا، F. Viet عدد π را تنها با 9 رقم اعشار منظم پیدا کرد: او تعداد اضلاع چندضلعی ها را 16 دو برابر کرد. F. Viet اولین کسی بود که متوجه شد π را می توان با استفاده از محدودیت های سری خاص پیدا کرد. این کشف داشت پراهمیت، محاسبه π را با هر دقتی ممکن کرد.
در سال 1706، ریاضیدان انگلیسی دبلیو جانسون، نماد نسبت محیط دایره به قطر آن را معرفی کرد و آن را تعیین کرد. نماد مدرنπ اولین حرف کلمه یونانی periferia - دایره است.
برای مدت طولانی، دانشمندان در سراسر جهان تلاش کردند تا راز این عدد مرموز را کشف کنند.
مشکل در محاسبه مقدار π چیست؟
عدد π غیر منطقی است: نمی توان آن را به صورت کسری p/q بیان کرد، جایی که p و q اعداد صحیح هستند، این عدد نمی تواند یک ریشه باشد. معادله جبری. شما نمی توانید جبری یا را مشخص کنید معادله دیفرانسیلکه ریشه آن π خواهد بود، بنابراین این عدد را ماورایی می نامند و با در نظر گرفتن هر فرآیندی محاسبه می شود و با افزایش مراحل فرآیند مورد بررسی، پالایش می شود. تلاش های متعدد برای محاسبه حداکثر تعداد ارقام عدد π منجر به این واقعیت شده است که امروزه به لطف فناوری محاسباتی مدرن، می توان دنباله را با دقت 10 تریلیون رقم پس از نقطه اعشار محاسبه کرد.
ارقام نمایش اعشاری π کاملا تصادفی هستند. در بسط اعشاری یک عدد، می توانید هر دنباله ای از ارقام را پیدا کنید. فرض بر این است که در شماره داده شدهبه صورت رمزگذاری شده همه کتاب های مکتوب و نانوشته وجود دارد، هر اطلاعاتی که بتوان تصور کرد به عدد π است.
می توانید سعی کنید راز این عدد را خودتان کشف کنید. البته نوشتن عدد "Pi" به طور کامل امکان پذیر نخواهد بود. اما برای کنجکاوترین ها، پیشنهاد می کنم 1000 رقم اول عدد π = 3 را در نظر بگیرید.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
عدد "Pi" را به خاطر بسپار
در حال حاضر استفاده می شود فناوری رایانهبه ده تریلیون رقم پی محاسبه می شود. حداکثر تعداد اعدادی که یک فرد می تواند به خاطر بسپارد صد هزار است.
برای به خاطر سپردن حداکثر تعداد ارقام عدد "پی" از "خاطرات" شاعرانه مختلفی استفاده می شود که در آن کلمات با تعداد حروف معین به ترتیب اعداد موجود در عدد "پی" مرتب شده اند: 3.1415926535897932384626433832795…. برای بازیابی عدد، باید تعداد کاراکترهای هر کلمه را بشمارید و آن را به ترتیب یادداشت کنید.
بنابراین من شماره ای به نام "پی" را می دانم. آفرین! (7 رقمی)
بنابراین میشا و آنیوتا دویدند
آنها می خواستند عدد پی را بدانند. (11 رقم)
این را من کاملاً می دانم و به خاطر دارم:
و بسیاری از نشانه ها برای من بیهوده است.
بیایید به دانش عظیم خود اعتماد کنیم
آنهایی که تعداد آرمادا را می شمردند. (21 رقم)
یک بار در کولیا و آرینا
تخت های پر را پاره کردیم.
کرک سفید در حال پرواز بود و می چرخید،
دوش گرفت، یخ زد،
راضی
به ما داد
سردرد زنان مسن.
عجب روح کرکی خطرناکه! (25 کاراکتر)
می توانید از خطوط قافیه برای به خاطر سپردن عدد مناسب استفاده کنید.
تا اشتباه نکنیم
شما باید آن را به درستی بخوانید:
نود و دو و شش
اگر واقعا سخت تلاش کنید،
بلافاصله می توانید بخوانید:
سه، چهارده، پانزده،
نود و دو و شش.
سه، چهارده، پانزده،
نه، دو، شش، پنج، سه، پنج.
برای انجام علم،
این را همه باید بدانند.
شما فقط می توانید امتحان کنید
و بیشتر تکرار کنید:
"سه، چهارده، پانزده،
نه، بیست و شش و پنج.»
هنوز سوالی دارید؟ آیا می خواهید در مورد Pi بیشتر بدانید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است
آنها به این سوال اشاره کردند که "اگر پی 4 بود چه اتفاقی برای جهان می افتاد؟" تصمیم گرفتم با استفاده از دانش (البته نه گسترده) در زمینه های مرتبط ریاضی، کمی درباره این موضوع فکر کنم. اگر کسی علاقه مند است، لطفا گربه را ببینید.
برای تصور چنین دنیایی، باید فضایی با نسبت متفاوتی از محیط دایره به قطر آن را از نظر ریاضی درک کنید. این کاری است که من سعی کردم انجام دهم.
تلاش شماره 1.
بیایید بلافاصله بگوییم که من فقط فضاهای دو بعدی را در نظر خواهم گرفت. چرا؟ زیرا دایره در واقع در فضای دو بعدی تعریف می شود (اگر بعد n>2 را در نظر بگیریم، نسبت اندازه دایره بعدی (n-1) به شعاع آن حتی ثابت نخواهد بود) .بنابراین، برای شروع، سعی کردم حداقل فضایی پیدا کنم که پی برابر با 3.1415 نباشد... برای این کار، یک فضای متریک با متریک گرفتم که در آن فاصله بین دو نقطه برابر با حداکثر باشد. در میان ماژول های تفاوت مختصات (یعنی فاصله چبیشف).
چه نوع ظاهری خواهد داشت؟ دایره واحددر این فضا؟ بیایید نقطه با مختصات (0,0) را به عنوان مرکز این دایره در نظر بگیریم. سپس مجموعه نقاط، فاصله (به معنای یک متریک معین) که از مرکز آن 1 است، 4 قطعه موازی با محورهای مختصات است که مربعی با ضلع 2 و مرکز آن در صفر است.
بله، در برخی از متریک ها دایره است!
بیایید Pi را در اینجا محاسبه کنیم. شعاع برابر با 1 است، سپس قطر، بر این اساس، برابر با 2 است. همچنین می توانید تعریف قطر را به عنوان بزرگترین فاصله بین دو نقطه در نظر بگیرید، اما حتی در این صورت برابر با 2 است. باقی مانده است که طول "دایره" ما در این متریک. این مجموع طول های هر چهار بخش است که در این متریک دارای طول max(0,2)=2 هستند. یعنی محیط 4*2=8 است. خب، پی در اینجا برابر با 8/2=4 است. اتفاق افتاد! اما آیا باید خیلی خوشحال باشیم؟ این نتیجه عملاً بی فایده است، زیرا فضای مورد بحث کاملاً انتزاعی است، زوایای و چرخش ها حتی در آن تعریف نشده است. آیا می توانید جهانی را تصور کنید که در آن چرخش در واقع تعریف نشده باشد، و جایی که دایره یک مربع است؟ راستش تلاش کردم، اما تخیل کافی نداشتم.
شعاع 1 است، اما در یافتن طول این "دایره" مشکلاتی وجود دارد. پس از کمی جستجو در اینترنت، به این نتیجه رسیدم که در فضای شبه اقلیدسی نمی توان مفهومی به نام "Pi" را به هیچ وجه تعریف کرد، که قطعا بد است.
اگر کسی در نظرات به من بگوید که چگونه به طور رسمی طول یک منحنی را در فضای شبه اقلیدسی محاسبه کنم، بسیار خوشحال خواهم شد، زیرا دانش من در مورد هندسه دیفرانسیل، توپولوژی (و همچنین جستجوی سخت کوش) برای این کار کافی نبود.
نتیجه گیری:
نمی‌دانم پس از چنین مطالعات کوتاه‌مدتی می‌توان درباره نتیجه‌گیری نوشت یا نه، اما می‌توان چیزی گفت. اول، وقتی سعی کردم فضا را با عدد پی متفاوت تصور کنم، متوجه شدم که برای مدلی از دنیای واقعی بسیار انتزاعی است. ثانیاً، هنگامی که اگر بخواهید مدل موفق تری (مشابه مدل ما) ارائه دهید، دنیای واقعی، معلوم می شود که Pi بدون تغییر باقی می ماند. اگر احتمال یک فاصله مجذور منفی (که برای آدم عادی- به سادگی پوچ)، سپس Pi به هیچ وجه تعریف نخواهد شد! همه اینها نشان می دهد که شاید جهانی با عدد پی متفاوت اصلا نمی تواند وجود داشته باشد؟ بیخود نیست که کیهان دقیقاً همینطور است. یا شاید این واقعی باشد، اما ریاضیات معمولی، فیزیک و تخیل انسان برای این کافی نیست. شما چی فکر میکنید؟به روز رسانیمن مطمئنا متوجه شدم. طول یک منحنی در فضای شبه اقلیدسی را فقط می توان بر روی برخی از زیرفضاهای اقلیدسی آن تعیین کرد. یعنی، به ویژه، برای "محیط" به دست آمده در تلاش N3، مفهومی به عنوان "طول" به هیچ وجه تعریف نشده است. بر این اساس، پی را نیز نمی توان در آنجا محاسبه کرد.
برای محاسبه تعداد زیادی از علائم پی، روش قبلی دیگر مناسب نیست. ولی اینجا هست تعداد زیادی ازتوالی ها خیلی سریعتر به Pi همگرا می شوند. برای مثال از فرمول گاوس استفاده می کنیم:
| پ | = 12 آرکتان | 1 | + 8 آرکتان | 1 | - 5 آرکتان | 1 |
| 4 | 18 | 57 | 239 |
اثبات این فرمول دشوار نیست، بنابراین آن را حذف می کنیم.
کد منبع برنامه شامل "حساب طولانی"
این برنامه NbDigits از اولین ارقام Pi را محاسبه می کند. تابع محاسبه آرکتان arccot نامیده می شود، زیرا arctan(1/p) = arccot(p)، اما محاسبه طبق فرمول Taylor به طور خاص برای arctangent، یعنی arctan(x) = x - x 3 /3 انجام می شود. + x 5 /5 - .. x=1/p، که به معنی arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... محاسبات به صورت بازگشتی رخ می دهند: عنصر قبلی مجموع تقسیم می شود و به دست می آید. بعدی.
/* ** Pascal Sebah: سپتامبر 1999 ** ** موضوع: ** ** برنامه بسیار آسان برای محاسبه پی با ارقام بسیار. ** بدون بهینه سازی، بدون ترفند، فقط یک برنامه اساسی برای یادگیری نحوه محاسبه ** با دقت چندگانه. ** ** فرمول ها: ** ** Pi/4 = arctan(1/2)+arctan(1/3) (Hutton 1) ** Pi/4 = 2*arctan(1/3)+arctan(1/ 7) (Hutton 2) ** Pi/4 = 4*arctan(1/5)-arctan(1/239) (Machin) ** Pi/4 = 12*arctan(1/18)+8*arctan(1) /57)-5*arctan(1/239) (Gauss) ** ** با arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - ... ** ** Lehmer"s اندازه گیری مجموع معکوس اعشار ** لگاریتم pk در آرکتان (1/pk) است. هرچه اندازه ** کوچکتر باشد، فرمول کارآمدتر است. ** برای مثال، با Machin"s فرمول: ** ** E = 1/log10(5)+1/log10(239) = 1.852 ** ** داده: ** ** واقعی بزرگ (یا واقعی چند دقیق) در پایه B به صورت زیر تعریف می شود: ** X = x(0) + x(1)/B^1 + ... + x(n-1)/B^(n-1) ** جایی که 0<=x(i)به جای طولانی با double کار کنید و پایه B را می توان ** به عنوان 10^8 انتخاب کرد ** => در طول تکرارها اعدادی که اضافه می کنید کوچکتر هستند ** و کوچکتر، این را در +، *، / ** در نظر بگیرید. => در تقسیم y=x/d، می توانید 1/d را از قبل محاسبه کنید و ** از ضرب در حلقه (فقط با دو برابر) اجتناب کنید ** => MaxDiv ممکن است با دو برابر به بیش از 3000 افزایش یابد ** => . .. */#عبارتند ازالبته اینها کارآمدترین راه ها برای محاسبه پی نیستند. هنوز تعداد زیادی فرمول وجود دارد. به عنوان مثال، فرمول Chudnovsky، که تغییرات آن در Maple استفاده می شود. با این حال، در برنامه‌نویسی معمولی، فرمول گاوسی کاملاً کافی است، بنابراین این روش‌ها در مقاله توضیح داده نمی‌شوند. بعید است که کسی بخواهد میلیاردها رقم پی را محاسبه کند، که یک فرمول پیچیده افزایش زیادی در سرعت ایجاد می کند.
