نحوه پیدا کردن حالت و میانه یک سری اعداد. ویژگی های ساختاری سری توزیع متغیر. تعریف مد در آمار

حالت و میانه- نوع خاصی از میانگین ها که برای مطالعه ساختار سری تغییرات استفاده می شود. برخلاف میانگین‌های توانی که قبلاً مطرح شد، آنها را گاهی میانگین‌های ساختاری می‌نامند.

روش- این مقدار یک مشخصه (نوعی) است که اغلب در یک جمعیت مشخص یافت می شود، یعنی. بیشترین فرکانس را دارد.

مد کاربرد عملی زیادی دارد و در برخی موارد فقط مد می تواند پدیده های اجتماعی را مشخص کند.

میانه- این یک نوع است که در وسط یک سری تغییرات سفارشی قرار دارد.

میانه حد کمی مقدار یک مشخصه متغیر را نشان می دهد که نیمی از واحدهای جمعیت به آن رسیده اند. استفاده از میانه همراه با میانگین یا به جای آن در صورت وجود بازه های باز در سری تغییرات توصیه می شود، زیرا برای محاسبه میانه، تعیین مشروط مرزهای فواصل باز مورد نیاز نیست، و بنابراین فقدان اطلاعات در مورد آنها بر دقت محاسبه میانه تأثیر نمی گذارد.

میانه همچنین زمانی استفاده می شود که شاخص های مورد استفاده به عنوان وزن ناشناخته باشند. در روش های آماری کنترل کیفیت محصول از میانه به جای میانگین حسابی استفاده می شود. مجموع انحراف مطلق گزینه ها از میانه کمتر از هر عدد دیگری است.

بیایید محاسبه مد و میانه را در یک سری تغییرات گسسته در نظر بگیریم :

حالت و میانه را تعیین کنید.

مد مو = 4 سال، زیرا این مقدار مربوط به بالاترین فرکانس f = 5 است.

آن ها بیشترین تعداد کارگران 4 سال سابقه کار دارند.

برای محاسبه میانه، ابتدا نصف مجموع فرکانس ها را پیدا می کنیم. اگر مجموع فرکانس ها یک عدد فرد باشد، ابتدا یک به این مجموع اضافه می کنیم و سپس به نصف تقسیم می کنیم:

میانه گزینه هشتم خواهد بود.

برای اینکه بفهمیم کدام گزینه از نظر عدد هشتم خواهد بود، فرکانس‌ها را جمع می‌کنیم تا مجموع فرکانس‌ها مساوی یا بیشتر از نصف مجموع فرکانس‌ها باشد. گزینه مربوطه میانه خواهد بود.

مه = 4 سال

آن ها نیمی از کارگران کمتر از چهار سال تجربه دارند، نیمی بیشتر.

اگر مجموع فرکانس های انباشته شده در برابر یک گزینه برابر با نصف مجموع فرکانس ها باشد، میانه به عنوان میانگین حسابی این گزینه و گزینه بعدی تعریف می شود.

محاسبه مد و میانه در سری تغییرات بازه ای

حالت در سری تغییرات بازه ای با فرمول محاسبه می شود

جایی که ایکس M0- مرز اولیه فاصله مودال،

ساعتمتر 0 - مقدار فاصله مودال،

fمتر 0 , fمتر 0-1 , fمتر 0+1 - فراوانی فاصله مودال قبل و بعد از فاصله مدال به ترتیب.

مدالفاصله ای که بیشترین فرکانس مربوط به آن است نامیده می شود.

مثال 1

گروه ها بر اساس تجربه	تعداد کارگران، افراد	فرکانس های انباشته شده

حالت و میانه را تعیین کنید.

فاصله مودال، زیرا با بالاترین فرکانس f = 35 مطابقت دارد. سپس:

هوم 0 =6, fm 0 =35

علاوه بر میانگین توان در آمار برای ویژگی های نسبی مقدار یک مشخصه متغیر و ساختار داخلیسری های توزیع از میانگین های ساختاری استفاده می کنند که عمدتاً با نشان داده می شوند مد و میانه.

روش- این رایج ترین نوع سری است. مثلاً در تعیین سایز لباس ها و کفش هایی که بیشترین تقاضا را در بین مشتریان دارند از مد استفاده می شود. حالت برای یک سری گسسته حالتی است که بالاترین فرکانس را دارد. هنگام محاسبه حالت برای یک سری تغییرات بازه ای، ابتدا باید فاصله مودال (بر اساس حداکثر فرکانس) و سپس مقدار مقدار مدال ویژگی را با استفاده از فرمول تعیین کنید:

میانه -این مقدار مشخصه ای است که زیر مجموعه رتبه بندی شده قرار می گیرد و این سری را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

برای تعیین میانه در یک سری مجزااگر فرکانس‌ها در دسترس هستند، ابتدا نصف مجموع فرکانس‌ها را محاسبه کنید و سپس تعیین کنید که کدام مقدار از متغیر روی آن قرار می‌گیرد. (اگر سری مرتب شده دارای تعداد فرد ویژگی باشد، عدد میانه با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

M e = (n (تعداد ویژگی ها در کل) + 1)/2،

در مورد تعداد زوج از ویژگی ها، میانه برابر با میانگین دو ویژگی در وسط ردیف خواهد بود).

هنگام محاسبه میانه برای سری تغییرات بازه ایابتدا فاصله میانه ای که میانه در آن قرار دارد را تعیین کنید و سپس مقدار میانه را با استفاده از فرمول تعیین کنید:

مثال. حالت و میانه را پیدا کنید.

راه حل:
در این مثال، فاصله مودال در گروه سنی 30-25 سال است، زیرا این فاصله بیشترین فراوانی (1054) را دارد.

بیایید بزرگی حالت را محاسبه کنیم:

یعنی سن معین دانش آموزان 27 سال است.

بیایید میانه را محاسبه کنیم. فاصله متوسط در گروه سنی 25-30 سال است، زیرا در این فاصله گزینه ای وجود دارد که جمعیت را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). بعد، داده های عددی لازم را در فرمول جایگزین می کنیم و مقدار میانه را بدست می آوریم:

یعنی نیمی از دانش آموزان زیر 27.4 سال و نیمی دیگر بالای 27.4 سال سن دارند.

علاوه بر حالت و میانه، می توان از شاخص هایی مانند چارک استفاده کرد که سری های رتبه بندی شده را به 4 قسمت مساوی، دهک ها -10 قسمت و صدک ها - به 100 قسمت تقسیم می کنند.

مفاهیم اساسی

برای داده های تجربی به دست آمده از یک نمونه، می توان سری را محاسبه کرد ویژگی های عددی(mer).

حالت مقدار عددی است که بیشتر در نمونه رخ می دهد. مد گاهی اوقات به عنوان مو

به عنوان مثال، در مقدار سری (2 6 6 8 9 9 9 10) حالت 9 است زیرا 9 بیشتر از هر عدد دیگری رخ می دهد.

حالت به جای فراوانی وقوع آن مقدار (در این مثال 3) بیشترین مقدار را نشان می دهد (9 در این مثال).

مد طبق قوانین پیدا می شود

1. در صورتی که همه مقادیر در نمونه به طور مساوی اتفاق بیفتند، به طور کلی پذیرفته شده است که این سری نمونه حالت ندارد.

به عنوان مثال 556677 - هیچ مدی در این نمونه وجود ندارد.

2. زمانی که دو مقدار مجاور (مجاور) فرکانس یکسانی داشته باشند و فرکانس آنها از بسامدهای هر مقدار دیگر بیشتر باشد، حالت به عنوان میانگین حسابی این دو مقدار محاسبه می شود.

به عنوان مثال، در نمونه 1 2 2 5 5 5 6 فرکانس مقادیر مجاور 2 و 5 منطبق است و برابر با 3 است. این فرکانس از فرکانس سایر مقادیر 1 و 6 بیشتر است برابر با 1 است).

در نتیجه حالت این سری خواهد بود.

3) اگر دو مقدار غیر مجاور (نه مجاور) در نمونه دارای فرکانس های مساوی و بزرگتر از فرکانس های هر مقدار دیگری باشند، دو حالت متمایز می شوند. به عنوان مثال، در سری 10 11 11 11 12 13 14 14 14 17 حالت ها مقادیر 11 و 14 هستند. در این حالت، نمونه گفته می شود دوحالته.

همچنین ممکن است به اصطلاح توزیع های چندوجهی وجود داشته باشد که بیش از دو رأس (حالت) دارند.

4) اگر حالت از روی مجموعه ای از داده های گروه بندی شده تخمین زده شود، برای یافتن حالت باید گروهی را با بیشترین فراوانی مشخصه تعیین کرد. این گروه نامیده می شود گروه مودال.

میانه - نشان داده شده است مهو به عنوان مقداری تعریف می شود که در رابطه با آن حداقل 50 درصد مقادیر نمونه کمتر از آن و حداقل 50 درصد بیشتر باشد.

میانه مقداری است که یک مجموعه مرتب از داده ها را به نصف تقسیم می کند.

مسئله 1. میانه نمونه 9 3 5 8 4 11 13 را بیابید

راه حل ابتدا بیایید نمونه را بر اساس مقادیر موجود در آن مرتب کنیم. می‌گیریم، 3 4 5 8 9 11 13. از آنجایی که در نمونه هفت عنصر وجود دارد، عنصر چهارم به ترتیب مقداری بزرگ‌تر از سه عنصر اول و کمتر از سه عنصر آخر خواهد داشت. بنابراین، میانه چهارمین عنصر خواهد بود - 8

مسئله 2. میانه نمونه 20، 9، 13، 1، 4، 11 را پیدا کنید.

بیایید نمونه 1، 4، 9، 11، 13، 20 را ترتیب دهیم از آنجایی که تعدادی عنصر زوج وجود دارد، دو "وسط" وجود دارد - 9 و 13. در این حالت، میانه به عنوان میانگین حسابی این مقادیر تعریف می شود.

میانگین

میانگین حسابی یک سری از n مقدار عددی به صورت محاسبه می شود

برای نشان دادن فریبکاری این شاخص، اجازه دهید یک مثال معروف بیاوریم: یک مادربزرگ 60 ساله با چهار نوه در یک محفظه کالسکه قرار می گیرد: یک - 4 ساله، دو - 5 ساله و یک - 6 ساله میانگین سنی حسابی همه مسافران این کوپه 80/5 = 16 است. در کوپه دیگر گروهی از جوانان حضور داشتند: دو 15 ساله، یکی 16 ساله و دو 17 ساله. میانگین سنی مسافران در این کوپه نیز 80/5 = 16 است. بنابراین، طبق میانگین های حسابی، مسافران این کوپه ها تفاوتی ندارند. اما اگر به اندیکاتور نگاه کنیم انحراف معیار، سپس معلوم می شود که میانگین اسپرد نسبت به میانگین سنی در حالت اول 24.6 و در حالت دوم 1 خواهد بود.

علاوه بر این، میانگین نسبت به مقادیر بسیار کوچک یا بسیار بزرگ که با مقادیر اصلی ویژگی های اندازه گیری شده متفاوت است، کاملاً حساس است. بگذارید 9 نفر از 4500 تا 5200 هزار دلار در ماه درآمد داشته باشند. ارزش متوسط درآمد آنها برابر با 4900 دلار است.اگر فردی را با درآمد 20000 هزار دلار در ماه به این گروه اضافه کنیم، میانگین کل گروه تغییر می کند و برابر با 6410 دلار می شود، البته هیچکس از کل نمونه (به جز یک نفر) در واقع چنین مبلغی را دریافت می کند.

واضح است که اگر فردی با درآمد سالیانه بسیار اندک را به این گروه اضافه کنید، می توان به تغییری مشابه، اما در جهت مخالف نیز دست یافت.

پخش نمونه

پراکنده ( محدوده) نمونه ها- تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل این سری تغییرات خاص. با حرف R مشخص می شود.

محدوده = حداکثر مقدار - حداقل مقدار

واضح است که هر چه مشخصه اندازه گیری شده بیشتر تغییر کند، مقدار R بیشتر است و بالعکس.

اما ممکن است دو سری نمونه هم میانگین و هم دامنه یکسان داشته باشند اما ماهیت تغییرات در این سری ها متفاوت باشد مثلاً دو نمونه داده می شود.

پراکندگی

واریانس متداول‌ترین اندازه‌گیری برای پراکندگی یک کمیت تصادفی (متغیر) است.

پراکندگی میانگین حسابی مجذور انحراف مقادیر یک متغیر از مقدار میانگین آن است.

همراه با مقادیر میانگین، میانگین‌های ساختاری به عنوان ویژگی‌های آماری سری تغییرات توزیع‌ها محاسبه می‌شوند. روشو میانه.
روش(Mo) نشان دهنده مقدار مشخصه مورد مطالعه است که با بیشترین فراوانی تکرار می شود، یعنی. حالت - مقدار مشخصه ای که اغلب رخ می دهد.
میانه(من) مقدار صفتی است که در وسط جمعیت رتبه بندی شده (مرتب شده) قرار می گیرد، یعنی. میانه مقدار مرکزی یک سری تغییرات است.
ویژگی اصلی میانه این است که مجموع انحرافات مطلق مقادیر مشخصه از میانه کمتر از هر مقدار دیگری است ∑|x i - Me|=min.

تعیین حالت و میانه از داده های گروه بندی نشده

در نظر بگیریم تعیین حالت و میانه از داده های گروه بندی نشده. فرض کنید یک تیم کاری متشکل از 9 نفر دارای دسته بندی تعرفه های زیر است: 4 3 4 5 3 3 6 2 6. از آنجایی که این تیپ بیشترین کارگر رده 3 را دارد، این رده تعرفه ای معین خواهد بود. مو = 3.
برای تعیین میانه، باید یک رتبه بندی انجام شود: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . کارگر مرکزی در این مجموعه کارگر رده 4 است، بنابراین این رده میانه خواهد بود. اگر سری رتبه بندی شده شامل تعداد زوج واحد باشد، میانه به عنوان میانگین دو مقدار مرکزی تعریف می شود.
اگر حالت متداول ترین نوع مقدار مشخصه را منعکس کند، آنگاه میانه عملاً توابع میانگین را برای یک جمعیت ناهمگن انجام می دهد که از قانون عادی توزیع تبعیت نمی کند. اجازه دهید اهمیت شناختی آن را با مثال زیر نشان دهیم.
فرض کنید باید میانگین درآمد یک گروه از افراد متشکل از 100 نفر را مشخص کنیم که 99 نفر از آنها در بازه 100 تا 200 دلار در ماه درآمد دارند و درآمد ماهانه دومی 50000 دلار است (جدول 1).
جدول 1 - درآمد ماهانه گروه مورد مطالعه. اگر از میانگین حسابی استفاده کنیم، میانگین درآمد تقریباً 600 تا 700 دلار به دست می‌آید که شباهت چندانی با درآمد بخش اصلی گروه ندارد. میانه که در این مورد برابر با من = 163 دلار است، به ما امکان می دهد تا توصیفی عینی از سطح درآمد 99٪ این گروه از افراد ارائه دهیم.
بیایید تعیین حالت و میانه را با استفاده از داده های گروه بندی شده (سری های توزیع) در نظر بگیریم.
فرض کنید که توزیع کارگران کل شرکت به عنوان یک کل بر اساس دسته تعرفه به شکل زیر است (جدول 2).
جدول 2 - توزیع کارگران شرکت بر اساس دسته تعرفه

محاسبه مد و میانه برای یک سری گسسته

محاسبه حالت و میانه برای سری های بازه ای

محاسبه حالت و میانه برای یک سری تغییرات

تعیین حالت از یک سری تغییرات گسسته

یک سری از مقادیر مشخصه ساخته شده قبلی، مرتب شده بر اساس مقدار، استفاده می شود. اگر اندازه نمونه فرد باشد، مقدار مرکزی را می گیریم. اگر حجم نمونه زوج باشد، میانگین حسابی دو مقدار مرکزی را می گیریم.
تعیین حالت از یک سری تغییرات گسسته: رده تعرفه 5 بیشترین فراوانی را دارد (60 نفر) بنابراین مودال است. مو = 5.
برای تعیین مقدار میانه یک مشخصه، تعداد واحد میانه سری (N Me) با استفاده از فرمول زیر به دست می آید: , که در آن n حجم جامعه است.
در مورد ما:

.
مقدار کسری حاصل، که همیشه زمانی رخ می دهد عدد زوجواحدهای جمعیتی نشان می دهد که نقطه میانی دقیق بین 95 تا 96 کارگر است. باید مشخص شود که کدام گروه کارگران با اینها هستند شماره سریال. این را می توان با محاسبه فرکانس های انباشته شده انجام داد. در گروه اول که فقط 12 نفر هستند کارگری با این اعداد وجود ندارد و در گروه دوم (12+48=60) هیچ کارگری وجود ندارد. کارگران سال 95 و 96 در گروه سوم قرار دارند (12+48+56=116) بنابراین میانه طبقه تعرفه 4 است.

محاسبه مد و میانه در سری های بازه ای

بر خلاف سری تغییرات گسسته، تعیین حالت و میانه از سری های بازه ای نیاز به محاسبات خاصی بر اساس فرمول های زیر:

, (5.6)
جایی که x 0- حد پایین بازه مودال (فاصله با بالاترین فرکانس معین نامیده می شود).
من- مقدار فاصله مودال؛
f Mo- فرکانس بازه مودال؛
f Mo -1- فرکانس فاصله قبل از مدال؛
f Mo +1- فرکانس بازه بعد از حالت مودال.

(5.7)
جایی که x 0- حد پایین بازه میانه (میانگین اولین بازه ای است که فرکانس انباشته آن بیش از نیمی از مجموع فرکانس ها است).
من- مقدار فاصله متوسط؛
S Me -1- فاصله انباشته قبل از میانه؛
f Me- فرکانس بازه میانه.
اجازه دهید کاربرد این فرمول ها را با استفاده از داده های جدول نشان دهیم. 3.
فاصله با مرزهای 60 – 80 در این توزیع معین خواهد بود، زیرا بالاترین فرکانس را دارد. با استفاده از فرمول (5.6)، حالت را تعریف می کنیم:

برای تعیین فاصله میانه، لازم است فرکانس انباشته شده هر بازه بعدی را تعیین کنیم تا زمانی که از نصف مجموع فرکانس های انباشته شده (در مورد ما 50٪) تجاوز کند (جدول 5.11).
مشخص شد که میانگین فاصله با مرزهای 100 - 120 هزار روبل است. اکنون میانه را تعیین می کنیم:

جدول 3 - توزیع جمعیت فدراسیون روسیه بر اساس سطح متوسط درآمد اسمی سرانه پولی در مارس 1994.

گروه ها بر اساس سطح متوسط درآمد سرانه ماهانه، هزار روبل.	سهم جمعیت، %
تا 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
بیش از 300	7,7
جمع	100,0

جدول 4 - تعیین فاصله میانه
بنابراین، میانگین حسابی، حالت و میانه را می توان به عنوان یک مشخصه تعمیم یافته مقادیر یک ویژگی خاص برای واحدهای یک جمعیت رتبه بندی شده استفاده کرد.
مشخصه اصلی مرکز توزیع میانگین حسابی است که با این واقعیت مشخص می شود که تمام انحرافات از آن (مثبت و منفی) به صفر می رسد. میانه با این واقعیت مشخص می شود که مجموع انحرافات از آن در مدول حداقل است و مد مقدار مشخصه ای است که اغلب رخ می دهد.
نسبت حالت، میانه و میانگین حسابی ماهیت توزیع مشخصه را در مجموع نشان می دهد و به ما امکان می دهد عدم تقارن آن را ارزیابی کنیم. در توزیع های متقارن، هر سه مشخصه منطبق هستند. هرچه اختلاف بین حالت و میانگین حسابی بیشتر باشد، سری نامتقارن تر است. برای سری های نسبتاً نامتقارن، تفاوت بین مد و میانگین حسابی تقریباً سه برابر بیشتر از اختلاف بین میانه و میانگین است، یعنی:
|Mo –`x| = 3 | من –`x|.

تعیین مد و میانه به روش گرافیکی

حالت و میانه در یک سری بازه ای را می توان به صورت گرافیکی تعیین کرد. حالت توسط هیستوگرام توزیع تعیین می شود. برای این کار بلندترین مستطیل را انتخاب کنید که در این حالت مودال است. سپس راس سمت راست مستطیل مودال را به گوشه سمت راست بالای مستطیل قبلی وصل می کنیم. و راس سمت چپ مستطیل معین - با گوشه سمت چپ بالای مستطیل بعدی. از نقطه تقاطع آنها عمود بر محور آبسیسا را پایین می آوریم. آبسیسا نقطه تقاطع این خطوط حالت توزیع خواهد بود (شکل 5.3).

برنج. 5.3. تعیین گرافیکی حالت با استفاده از هیستوگرام.

برنج. 5.4. تعیین گرافیکی میانه توسط تجمع
برای تعیین میانه از نقطه ای در مقیاس فرکانس های انباشته شده (فرکانس ها) مربوط به 50٪، یک خط مستقیم به موازات محور آبسیسا ترسیم می شود تا زمانی که با انباشته قطع شود. سپس از نقطه تقاطع، یک عمود بر محور x پایین می آید. آبسیسا نقطه تقاطع میانه است.

ربع، دهک، صدک

به طور مشابه، با یافتن میانه در سری تغییرات توزیع، می توانید مقدار ویژگی را برای هر واحد از سری رتبه بندی شده بیابید. بنابراین، برای مثال، می توانید مقدار ویژگی را برای واحدهایی که یک سری را به چهار قسمت مساوی، به 10 یا 100 قسمت تقسیم می کنند، بیابید. به این مقادیر «چارک»، «دهک»، «درصد» می گویند.
ربع ها ارزش یک ویژگی را نشان می دهند که جمعیت رتبه بندی شده را به 4 قسمت مساوی تقسیم می کند.
یک چارک پایین تر (Q 1) وجود دارد که ¼ از جمعیت را از آن جدا می کند پایین ترین مقادیرمشخصه، و چارک بالایی (Q 3)، قطع ¼ بخشی از بالاترین ارزش هاامضا کردن. این به این معنی است که 25 درصد از واحدهای جمعیت از نظر ارزش Q 1 کوچکتر خواهند بود. 25% از واحدها بین Q 1 و Q 2 قرار خواهند گرفت. 25% بین Q 2 و Q 3 است و 25% باقی مانده از Q 3 بیشتر است. چارک میانی Q2 میانه است.
برای محاسبه چارک ها با استفاده از سری تغییرات بازه ای، از فرمول های زیر استفاده می شود:

,
جایی که x Q 1- حد پایین بازه حاوی چارک پایین (فاصله با فرکانس انباشته تعیین می شود، اولین مورد بیش از 25٪).
x Q 3- حد پایین بازه حاوی چارک بالایی (فاصله با فرکانس انباشته تعیین می شود، اولین مورد بیش از 75٪).
من- اندازه فاصله؛
S Q 1-1- فرکانس انباشته فاصله قبل از بازه حاوی چارک پایین.
S Q 3-1- فرکانس انباشته فاصله قبل از بازه حاوی چارک بالایی؛
f Q 1- فرکانس بازه حاوی چارک پایین.
f Q 3- فرکانس بازه حاوی چارک بالایی.
بیایید محاسبه چارک های پایین و بالایی را با توجه به داده های جدول در نظر بگیریم. 5.10. چارک پایین در محدوده 60 تا 80 است که فراوانی تجمعی آن 33.5 درصد است. چارک بالایی در محدوده 160 تا 180 با فرکانس انباشته 75.8٪ قرار دارد. با در نظر گرفتن این موضوع دریافت می کنیم:
,
.
علاوه بر چارک ها، دهک ها را می توان در دامنه تغییرات توزیع تعیین کرد - گزینه هایی که سری تغییرات رتبه بندی شده را به ده تقسیم می کنند. قسمت های مساوی. دهک اول (d 1) جمعیت را به نسبت 1/10 به 9/10 تقسیم می کند، دهک دوم (d 1) - به نسبت 2/10 به 8/10 و غیره.
آنها با استفاده از فرمول محاسبه می شوند: