از مدرسه می دانیم که سه نیمساز زوایای داخلی یک مثلث در یک نقطه - مرکز دایره محاط شده در این مثلث - قطع می شوند.

قضیه 1.نیمساز زاویه آمثلث ABCنقطه تقاطع نیمسازها به نسبت تقسیم می شود ، شمارش از سمتی که کجاست الف، ب، ج- طول های جانبی BC، AC، ABبه ترتیب.

اثباتاجازه دهید AA 1 و BB 1 - نیمسازهای زاویه آو که دربه ترتیب در یک مثلث ABC، L- نقطه تقاطع آنها، الف، ب، ج- طول های جانبی BC، AC، ABبر این اساس (شکل 62). سپس، توسط قضیه نیمساز به یک مثلث اعمال می شود ABCخواهد داشت

یا b VA 1 = ac – با VA 1، یا VA 1 (b + c)= ac، به معنای، VA 1 = با.با همان قضیه اعمال شده بر مثلث AVA 1 دریافت می کنیم آ 1 L : لس آنجلس = : با، یا = .

قضیه 2.اگر L ABCپس دایره

Ð ALB= 90 درجه + آر اس.

اثباتبا توجه به اینکه مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه و مرکز آن است Lدایره محاطی نقطه تقاطع نیمسازهای مثلث است، خواهیم داشت (شکل 62):

Ð ALB= 180 درجه - ( Ð ABL + Ð VAL) = 180 درجه - ( Ð ABC + Ð VAS) =

180 درجه - (180 درجه - Ð C) = 180 درجه - 90 درجه + آر اس= 90 درجه + آر اس.

قضیه 3.اگر L- نقطه روی نیمساز زاویه بامثلث ABCبه طوری که Ð ALB= 90 درجه + آر اس، آن L– مرکز مثلث محاطی ABCدایره.

اثباتاجازه دهید ثابت کنیم که هیچ یک از نکات L 1 بین سیو Lنمی تواند مرکز یک دایره محاط باشد (شکل 62 a).

ما داریم Ð AL 1 با 1 < Ð ALC 1، از زاویه بیرونی مثلث AL 1 Lبزرگتر از هر زاویه داخلی که مجاور آن نیست. همچنین Ð VL 1 با < Р ВЛС 1 .

از همین رو Ð AL 1 که در < Ð ALB= 90 درجه + آر اس. به معنای، L 1 مرکز دایره محاطی نیست، زیرا شرط علامت مرکز دایره محاطی برآورده نمی شود (به قضیه 2 مراجعه کنید).

اگر نکته L 2 روی نیمساز اس اس 1 متعلق به بخش نیست CL، آن Ð AL 2 که در > Ð ALB= 90 درجه + آر اسو دوباره شرط علامت مرکز دایره محاطی برقرار نمی شود. این بدان معنی است که مرکز دایره محاط شده نقطه است L.

قضیه 4.فاصله راس مثلث تا نقطه مماس دایره محاطی با ضلعی که از این راس می گذرد برابر است با نصف محیط این مثلث با ضلع مقابل کاهش می یابد.

اثباتاجازه دهید آ 1 , که در 1 , با 1- نقاط مماس دایره محاطی شده با اضلاع مثلث ABC(شکل 63)، الف، ب، ج- طول های جانبی BC، AC، ABبه ترتیب.

اجازه دهید AC 1 = ایکس، سپس AB 1 = x، خورشید 1 = ج – x = VA 1 , که در 1 با = b – x = CA 1 ,

a = BC = VA 1 + SA 1 = (c – x) + (b – x) = c + b – 2 ایکس.

سپس a + a = a + b + c – 2 ایکس، یا 2 آ = 2 آر – 2 ایکس، یا x = p – a.

قضیه 5.در هر مثلثی ABCاز طریق نقطه Lتقاطع نیمسازهای دو زاویه خارجی آن از نیمساز زاویه سوم می گذرد و نقطه Lدر فواصل مساوی از خطوط حاوی اضلاع مثلث است.

اثباتاجازه دهید L– نقطه تلاقی دو زاویه خارجی که درو بامثلث ABC(شکل 64). از آنجایی که هر نقطه از نیمساز در فاصله یکسانی از دو طرف زاویه قرار دارد، پس نقطه L ABو آفتاب، از آنجایی که متعلق به نیمساز است ВL. در همان فاصله از خطوط مستقیم قرار دارد آفتابو AC، از آنجایی که متعلق به نیمساز است CL. بنابراین اشاره کنید Lدر همان فاصله بین خطوط مستقیم است و شماو آفتاب. از آنجا که نقطه Lدر همان فاصله از خطوط قرار دارد ABو AC، آن JSC- نیمساز زاویه شما.

دایره ای که با یک ضلع مثلث و امتداد دو ضلع دیگر تماس داشته باشد، دایره این مثلث نامیده می شود.

نتیجه 1.مراکز دایره های خارج از مرکز مثلث در نقاط تقاطع جفت نیمساز زوایای خارجی آن قرار دارند.

قضیه 6.شعاع دایره محاط شده در یک مثلث برابر با نسبتاضلاع این مثلث و کسینوس نصف زاویه مقابل، ضرب در سینوس های نصف دو زاویه دیگر.

"انواع مثلث" - انواع مثلث. بر اساس طول مقایسه ای اضلاع، انواع مثلث های زیر متمایز می شوند. بر اساس اندازه زاویه ها، انواع زیر متمایز می شوند. نقاط را رئوس و پاره ها را ضلع می نامند.

"زوایای مثلث" - مثلث حاد. آیا مثلث می تواند دو زاویه قائمه داشته باشد؟ مثلث متساوی الاضلاع. مثلث متساوی الساقین. راست گوشه. مثلث مات. آیا مثلث می تواند دو زاویه کج داشته باشد؟ که در مثلث متساوی الاضلاعزوایای آن برابر با 600 است. در مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه گوشه های تیزهر کدام معادل 450

"دروس هندسه در کلاس هفتم" - حل مسئله." پاها BC و SA. طبق نقشه های آماده کار کنید. «مجموع زوایای یک مثلث. مواد جدید. راست گوشه. وظیفه شماره 1. حل مسائل با استفاده از نقشه های آماده شماره ۲۳۲ (شفاهی)، شماره ۲۳۱. ثابت کنید: زاویه ABC زاویه کمتر ADC. آزمون شفاهی. درس هندسه پایه هفتم. هیپوتنوز AB.

"مثلث راست" - اطلاعات در مورد اقلیدس بسیار کمیاب است. مثلث یک چند ضلعی با سه ضلع (یا سه زاویه) است. اقلیدس - نویسنده آثاری در زمینه نجوم، نورشناسی، موسیقی و غیره زاویه خارجی مثلث برابر با مجموعگوشه های داخلی که مجاور آن نیستند. اقلیدس اولین ریاضیدان مکتب اسکندریه است. تعاریف تست کنترل

"مثلث متساوی الساقین و خواص آن" - قاعده و اضلاع این مثلث ها را نام ببرید. اگر مقدار زاویه 2 40 درجه باشد، مقدار زاویه 1 را بیابید؟ A، C - زوایای قاعده یک مثلث متساوی الساقین. آیا مثلث ها با هم برابرند؟ در کجای زندگی مثلث متساوی الساقین یافت می شود؟ AM - میانه. به مثلثی که همه اضلاع آن با هم مساوی هستند EQUILATERAL می گویند.

"مثلث راست هندسه" - اعداد مصری: مساحت طرح مثلثی شکل یک دهقان مصری را محاسبه کنید. نقشه برداران مصریان چه می گفتند راست گوشه? سازندگان مصری: پا و هیپوتنوز در مصر فیثاغورث: ساق و هیپوتنوز در هندسه. سوالات نقشه برداران زمین: - ساق پا بزرگتر از هیپوتنوز است. پای مقابل زاویه 60 درجه برابر با نیمی از هیپوتنوز است.

• تکرار و تعمیم قضایای مورد مطالعه؛
• استفاده از آنها را در حل تعدادی از مشکلات در نظر بگیرید.
• آماده سازی دانش آموزان برای امتحان ورودیبه دانشگاه ها؛
• اجرای زیبایی شناختی نقاشی ها را برای کارها پرورش دهید.

تجهیزات: پروژکتور چند رسانه ای. پیوست 1.

در طول کلاس ها:

1. لحظه سازمانی.

2. بررسی تکالیف:

• اثبات قضایا - 2 دانشجو + 2 دانشجو - مشاور (چک)
• حل مسائل تکلیف – 3 دانش آموز;
• کار با کلاس - حل مسئله شفاهی:

نقطه C 1 ضلع AB مثلث ABC را به نسبت 2: 1 تقسیم می کند. نقطه B 1 در ادامه ضلع AC فراتر از نقطه C قرار دارد و AC = CB 1. خط مستقیم B 1 C 1 ضلع BC را به چه نسبتی تقسیم می کند؟ (در اسلاید 2).

حل: با شرط با استفاده از قضیه منلائوس، در می یابیم: .

در مثلث ABC، AD میانه، نقطه O وسط میانه است. خط مستقیم BO سمت AC را در نقطه K قطع می کند.

نقطه K با شمارش از نقطه A AC را به چه نسبتی تقسیم می کند؟ (در اسلاید 3).

راه حل:فرض کنید ВD = DC = a، АО = ОD = m. خط مستقیم BK دو ضلع و ادامه ضلع سوم مثلث ADC را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس .

در مثلث ABC، در ضلع BC، نقطه N گرفته می شود به طوری که NC = 3ВN; در ادامه سمت AC، نقطه M به عنوان نقطه A در نظر گرفته می شود به طوری که MA = AC. خط MN ضلع AB را در نقطه F قطع می کند. نسبت را پیدا کنید. (در اسلاید 4).

راه حل: با توجه به شرایط مسئله، MA = AC، NC = 3 ВN. اجازه دهید MA = AC = b، BN = k، NC = 3k. خط مستقیم MN دو ضلع مثلث ABC و ادامه ضلع سوم را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس

نقطه N در ضلع PQ مثلث PQR و نقطه L در ضلع PR با NQ = LR گرفته می شود. نقطه تقاطع بخش های QL و NR QR را به نسبت m: n تقسیم می کند، با شمارش از نقطه Q. PN: PR را پیدا کنید. (در اسلاید 5).

راه حل: با شرط NQ = LR، . اجازه دهید NA = LR = a، QF = کیلومتر، LF = kn. خط NR دو ضلع مثلث PQL و ادامه ضلع سوم را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس

3. تمرین مهارت های عملی.

1. حل مسئله:

اثبات قضیه: وسط مثلث در یک نقطه قطع می شود. نقطه تقاطع هر یک از آنها را به نسبت 2: 1 تقسیم می کند، با شمارش از راس. (شکل 1 اسلاید 6).

اثبات: فرض کنید AM 1، VM 2، CM 3 وسط مثلث ABC باشند. برای اثبات این که این بخش ها در یک نقطه تلاقی می کنند، کافی است آن را نشان دهیم سپس، طبق قضیه Cheva (برعکس)، قطعات AM 1، VM 2 و CM 3 در یک نقطه قطع می‌شوند. ما داریم:

بنابراین، ثابت شده است که وسط یک مثلث در یک نقطه قطع می شود.

بگذارید O نقطه تقاطع میانه ها باشد. خط مستقیم M 3 C دو ضلع مثلث ABM 2 و ادامه ضلع سوم این مثلث را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس

یا .

با در نظر گرفتن قضیه منلائوس برای مثلث AM 1 C و AM 2 C، به این نتیجه می رسیم که

. قضیه ثابت شده است.

قضیه را ثابت کنید: نیمسازهای مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند.(شکل 2 اسلاید 6).

اثبات: برای نشان دادن آن کافی است . سپس با قضیه Ceva (معکوس)، AL 1، BL 2، CL 3 در یک نقطه قطع می شوند. با توجه به ویژگی نیمسازهای مثلث:

. با ضرب برابری های حاصل در ترم، به دست می آید: . بنابراین، برای نیمسازهای یک مثلث، برابری Cheva برآورده می شود، بنابراین، آنها در یک نقطه قطع می شوند. قضیه ثابت شده است.

مسئله 7

قضیه را ثابت کنید: ارتفاع یک مثلث حاد در یک نقطه قطع می شود.(شکل 3 اسلاید 6).

اثبات: فرض کنید AH 1، AH 2، AH 3 ارتفاعات مثلث ABC با اضلاع a، b، c باشد. با استفاده از قضیه فیثاغورث، از مثلث قائم الزاویه ABN 2 و BSN 2، به ترتیب مربع پایه مشترک BN 2 را بیان می کنیم که نشان دهنده AH 2 = x، CH 2 = b – x است.

(VN 2) 2 = c 2 – x 2 و (VN 2) 2 = a 2 – (b – x) 2. با مساوی کردن اضلاع سمت راست تساوی های حاصل، c 2 – x 2 = a 2 – (b – x) 2 به دست می آوریم که از آنجا x = است.

سپس b –x = b - = .

بنابراین، AN 2 = , CH 2 = .

با استدلال مشابه برای مثلث های قائم الزاویه ASN 2 و VSN 3، VAN 1 و SAN 1، AN 3 =، VN 3 = و VN 1 =،

برای اثبات قضیه کافی است آن را نشان دهیم . سپس، طبق قضیه Cheva (برعکس)، بخش‌های AN 1، VN 2 و CH 3 در یک نقطه قطع می‌شوند. با جایگزین کردن عبارات طول بخش های AN 3، VN 3، VN 1، CH 1، CH 2 و AN 2 در سمت چپ برابری، متقاعد می شویم که برابری Cheva برای ارتفاعات مثلث راضی است قضیه ثابت شده است.

مسائل 5-7 راه حل مستقل توسط 3 دانش آموز. (نقاشی روی صفحه).

2. دیگران:

قضیه را ثابت کنید: اگر دایره ای در یک مثلث محاط شود، بخش هایی که رئوس مثلث را به نقاط تماس اضلاع مقابل هم متصل می کنند در یک نقطه قطع می کنند. (شکل 4 اسلاید 6).

اثبات: فرض کنید A 1، B 1 و C 1 نقاط مماس دایره محاطی مثلث ABC باشند. برای اثبات اینکه بخش های AA 1، BB 1 و CC 1 در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند، کافی است نشان دهیم که برابری Cheva برقرار است:

. با استفاده از خاصیت مماس های ترسیم شده از یک نقطه، نماد را معرفی می کنیم: BC 1 = BA 1 = x، CA 1 = CB 1 = y، AB 1 = AC 1 = z.

. برابری Cheva برآورده می شود، به این معنی که بخش های نشان داده شده (نصف سازهای مثلث) در یک نقطه قطع می شوند. این نقطه را نقطه جرگون می نامند. قضیه ثابت شده است.

3. تجزیه و تحلیل مسائل 5، 6، 7.

مسئله 9

فرض کنید AD میانه مثلث ABC باشد. در سمت AD، نقطه K گرفته می شود به طوری که AK: KD = 3: 1. خط مستقیم BK مثلث ABC را به دو قسمت تقسیم می کند. نسبت مساحت این مثلث ها را پیدا کنید. (شکل 1 در اسلاید 7)

راه حل: اجازه دهید AD = DC = a، KD = m، سپس AK = 3m. فرض کنید P نقطه تقاطع خط مستقیم BK با ضلع AC باشد. شما باید یک رابطه پیدا کنید. از آنجایی که مثلث های ABP و RVS دارای ارتفاع مساوی هستند که از راس B گرفته شده است، پس = . با توجه به قضیه منلائوس برای مثلث ADC و سکانس PB داریم: . بنابراین، = .

مسئله 10

در مثلث ABC که اطراف یک دایره است، AB = 8، BC = 5، AC = 4. A 1 و C 1 به ترتیب به اضلاع BC و BA تعلق دارند. P - نقطه تقاطع قطعات AA 1 و CC 1. نقطه P روی نیمساز BB 1 قرار دارد. AR: RA 1 را پیدا کنید.

(در اسلاید 7 شکل 2)

راه حل: نقطه تماس دایره با ضلع AC با B1 منطبق نیست، زیرا مثلث ABC مقیاسی است. اجازه دهید C 1 B = x، سپس با استفاده از خاصیت مماس هایی که از یک نقطه به یک دایره کشیده شده اند، نماد 8 – x + 5 – x = 4، x = را معرفی می کنیم (شکل را ببینید).

این یعنی C 1 B = VA 1 = , A 1 C = 5 - = , AC 1 = 8 - = .

در مثلث ABA 1 خط C 1 C دو ضلع آن و ادامه ضلع سوم را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس .

جواب: 70:9.

اضلاع مثلث 5، 6 و 7 است. نسبت بخشهایی را که نیمساز زاویه بزرگتر این مثلث به مرکز دایره محاط شده در مثلث به آنها تقسیم می شود، بیابید. (در اسلاید 7).

راه حل: اجازه دهید AB = 5، BC = 7، AC = 6 در مثلث ABC، زاویه BAC در مقابل ضلع بزرگتر در مثلث ABC قرار دارد، به این معنی که زاویه BAC زاویه بزرگتر مثلث است. مرکز دایره مثلث در محل تقاطع نیمسازها قرار دارد. O نقطه تقاطع نیمسازها باشد. شما باید AO: OD را پیدا کنید. از آنجایی که AD نیمساز مثلث ABC است، یعنی BD = 5k، DC = 6k. از آنجایی که BF نیمساز مثلث ABC است، یعنی AF = 5m، FC = 7m. خط BF دو ضلع و امتداد ضلع سوم مثلث ADC را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس .

4. حل مستقل مسائل 9، 10، 11.- 3 دانش آموز

مسئله 12 (برای همه دانش آموزان باقی مانده در کلاس):

نیمسازهای BE و AD مثلث ABC در نقطه Q قطع می شوند. اگر مساحت مثلث BQD = 1، 2AC = 3 AB، 3BC = 4 AB، مساحت مثلث ABC را پیدا کنید. (شکل 4 در اسلاید 7).

راه حل: اجازه دهید AB = a، سپس AC =، BC = . پس میلاد نیم‌ساز مثلث ABC است ، یعنی BD = 2p، DC = 3p. BE نیمساز مثلث ABC است ، AE = 3 k، EC = 4k. در مثلث BEC، خط AD دو ضلع خود و امتداد ضلع سوم را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس ... یعنی EQ = 9m، QB = 14m. مثلث QBD و EBC یک زاویه مشترک دارند، به این معنی S EBC = .

مثلث‌های ABC و BEC دارای ارتفاع‌های مساوی هستند که از راس B گرفته شده‌اند، به این معنی که S ABC = است.

5. تجزیه و تحلیل مسائل 9، 10، 11.

حل مسئله – کارگاه آموزشی:

الف- در اضلاع BC، CA، AB مثلث متساوی الساقین ABC با قاعده AB، نقاط A 1، B 1، C 1 گرفته شده است، بنابراین خطوط AA 1، BB 1، CC 1 رقابتی هستند.

ثابت کنیم که

اثبات:

با قضیه Ceva داریم: (1).

طبق قانون سینوس ها: ، از آنجا CA 1 = CA.،

، از آنجا A 1 B = AB. ، ,

از آنجا AB 1 = AB. ، ، از آنجا B 1 C = قبل از میلاد. ، از آنجایی که CA = BC بر اساس شرایط. با جایگزینی برابری های حاصل به برابری (1) به دست می آوریم:

Q.E.D.

ب- در ضلع AC مثلث ABC نقطه M به گونه ای گرفته می شود که AM = ?AC و در ادامه ضلع BC یک نقطه N وجود دارد که BN = CB. نقطه P، نقطه تقاطع قطعات AB و MN، هر یک از این قطعات را در چه رابطه ای تقسیم می کند؟

طبق قضیه منلائوس برای مثلث ABC و سکانس MN داریم:

. با شرط از این رو،

از 0.5. (-2). x = 1، - 2x = - 2، x = 1.

برای مثلث MNC و مقطع AB، طبق قضیه منلائوس داریم: با شرط

یعنی، -، از کجا، .

8. حل مستقل مسئله: گزینه 1:

1. در ادامه اضلاع AB، BC، AC مثلث ABC، به ترتیب نقاط C 1، A 1، B 1 گرفته می شود به طوری که AB = BC 1، BC = CA 1، CA = AB 1. نسبتی را پیدا کنید که در آن خط AB 1 ضلع A 1 C 1 مثلث A 1 B 1 C 1 را تقسیم می کند. (3 امتیاز).

2. روی میانه CC 1 مثلث ABC نقطه M گرفته می شود خطوط مستقیم AM و BM به ترتیب اضلاع مثلث را در نقاط A 1 و B 1 قطع می کنند. ثابت کنید که خطوط AB و A 1 B 1 موازی هستند. (3 امتیاز).

3. بگذارید نقاط C 1، A 1 و B 1 به ترتیب در ادامه اضلاع AB، BC و AC مثلث ABC گرفته شوند ثابت کنید که نقاط A 1، B 1، C 1 روی یک خط مستقیم قرار دارند اگر و فقط اگر برابری برقرار است . (4 امتیاز).

6. بگذارید نقاط C 1، A 1 و B 1 به ترتیب در اضلاع AB، BC و AC مثلث ABC گرفته شوند، به طوری که خطوط AA 1، BB 1، CC 1 در نقطه O قطع شوند. ثابت کنید که تساوی برقرار است. . (5 امتیاز).

7 . بگذارید نقاط A 1، B 1، C 1، D 1 به ترتیب روی لبه های AB، BC، CD و AD چهار ضلعی ABCD گرفته شود ثابت کنید که نقاط A 1، B 1، C 1، D 1 در یک نقطه قرار دارند. صفحه اگر و فقط اگر، زمانی که برابری برآورده شود (5 امتیاز).

گزینه 2:

1. نقاط A 1 و B 1 اضلاع BC و AC مثلث ABC را به نسبت 2: 1 و 1: 2 تقسیم می کنند. خطوط AA 1 و BB 1 در نقطه O قطع می شوند. مساحت مثلث ABC برابر با 1 است. مساحت مثلث OBC. (3 امتیاز).

2. قطعه MN که نقاط میانی اضلاع AD و BC ABCD چهار ضلعی را به هم متصل می کند توسط مورب ها به سه قسمت مساوی تقسیم می شود. ثابت کنید که ABCD یک ذوزنقه است، یکی از پایه های AB یا CD، که دو برابر بزرگتر از دیگری است. (3 امتیاز).

3. بگذارید نقاط C 1، A 1 و B 1 به ترتیب در ضلع AB و ادامه اضلاع BC و AC مثلث ABC گرفته شوند. ثابت کنید که خطوط AA 1، BB 1، СС 1 در یک نقطه قطع می شوند یا موازی هستند اگر و فقط اگر تساوی برقرار باشد. . (4 امتیاز).

4. با استفاده از قضیه Ceva ثابت کنید که ارتفاعات یک مثلث یا امتداد آنها در یک نقطه قطع می شود. (4 امتیاز).

5. ثابت کنید خطوطی که از رئوس مثلث و نقاط مماس دایره ها می گذرند در یک نقطه (نقطه ناگل) همدیگر را قطع می کنند. (به دایره ای در مثلث دایره می گویند که یک ضلع این مثلث و امتداد دو ضلع دیگر آن را لمس کند). (5 امتیاز).

6. بگذارید نقاط C 1، A 1، B 1 به ترتیب در اضلاع AB، BC و AC مثلث ABC گرفته شوند، به طوری که خطوط AA 1، BB 1 و CC 1 در نقطه O قطع شوند. ثابت کنید که تساوی برقرار است. . (5 امتیاز).

7. بگذارید نقاط A 1، B 1، C 1، D 1 به ترتیب روی لبه های AB، BC، CD و AD چهار وجهی ABCD گرفته شود ثابت کنید که نقاط A 1، B 1، C 1، D 1 در همان صفحه و تنها زمانی که برابری برآورده شود (5 امتیاز).

9. مشق شب: کتاب درسی § 3، شماره 855، شماره 861، شماره 859.