پیشرفت حسابی: چیست؟ پیشرفت حسابی کتاب درسی آزمون یکپارچه دولتی و فرمول آزمون دولتی برای یافتن پیشرفت حسابی a1

بله، بله: پیشرفت حسابی برای شما اسباب بازی نیست :)

خوب، دوستان، اگر شما این متن را می خوانید، پس شواهد سرپوش داخلی به من می گوید که شما هنوز نمی دانید پیشرفت حسابی چیست، اما واقعا (نه، مانند آن: SOOOOO!) می خواهید بدانید. بنابراین، من شما را با مقدمه های طولانی عذاب نمی دهم و مستقیماً می روم سر اصل مطلب.

ابتدا چند مثال. بیایید به چندین مجموعه از اعداد نگاه کنیم:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

وجه اشتراک همه این مجموعه ها چیست؟ در نگاه اول هیچی. اما در واقع چیزی وجود دارد. برای مثال: هر عنصر بعدی با یک عدد قبلی متفاوت است.

خودت قضاوت کن مجموعه اول به سادگی اعداد متوالی هستند که هر کدام یک عدد بیشتر از مجموعه قبلی است. در حالت دوم، تفاوت بین اعداد مجاور در حال حاضر پنج است، اما این تفاوت هنوز ثابت است. در مورد سوم، کلاً ریشه وجود دارد. با این حال، $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$، و $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$، یعنی. و در این مورد، هر عنصر بعدی به سادگی با $\sqrt(2)$ افزایش می یابد (و نترسید که این عدد غیرمنطقی است).

بنابراین: همه این دنباله ها را پیشروی های حسابی می نامند. بیایید یک تعریف دقیق ارائه دهیم:

تعریف. دنباله ای از اعداد که در آن هر عدد بعدی دقیقاً به همان میزان با اعداد قبلی تفاوت داشته باشد، پیشرفت حسابی نامیده می شود. همان مقداری که اعداد با هم تفاوت دارند، اختلاف پیشروی نامیده می شود و اغلب با حرف $d$ نشان داده می شود.

نماد: $\left(((a)_(n)) \right)$ خود پیشرفت است، $d$ تفاوت آن است.

و فقط چند نکته مهم اولاً، پیشرفت فقط در نظر گرفته می شود سفارش داده شدهدنباله ای از اعداد: آنها مجاز به خواندن دقیق به ترتیبی که نوشته شده اند - و نه چیز دیگر. اعداد را نمی توان دوباره مرتب کرد یا تعویض کرد.

ثانیاً خود دنباله می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. برای مثال، مجموعه (1؛ 2؛ 3) آشکارا یک پیشرفت محاسباتی محدود است. اما اگر چیزی را در روح بنویسید (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) - این قبلاً یک پیشرفت نامحدود است. به نظر می رسد بیضی بعد از چهار نشان می دهد که تعداد کمی دیگر در راه است. مثلا بی نهایت زیاد. :)

من همچنین می خواهم توجه داشته باشم که پیشرفت ها می تواند افزایش یا کاهش یابد. ما قبلاً شاهد افزایش آنها بوده ایم - همان مجموعه (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). در اینجا نمونه هایی از کاهش پیشرفت ها آورده شده است:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

خوب، خوب: آخرین مثال ممکن است بیش از حد پیچیده به نظر برسد. اما بقیه، فکر می کنم، متوجه می شوید. بنابراین تعاریف جدیدی را معرفی می کنیم:

تعریف. پیشرفت حسابیبه نام:

اگر هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی باشد افزایش می یابد.

اگر برعکس، هر عنصر بعدی کمتر از عنصر قبلی باشد، کاهش می یابد.

علاوه بر این، توالی های به اصطلاح "ایستا" وجود دارد - آنها از همان تعداد تکراری تشکیل شده اند. به عنوان مثال، (3; 3; 3; ...).

فقط یک سوال باقی می ماند: چگونه یک پیشرفت فزاینده را از یک روند کاهشی تشخیص دهیم؟ خوشبختانه، همه چیز در اینجا فقط به علامت عدد $d$ بستگی دارد، یعنی. تفاوت های پیشرفت:

اگر $d \gt 0$ باشد، پیشرفت افزایش می یابد.
اگر $d \lt 0$، آنگاه پیشرفت آشکارا در حال کاهش است.
در نهایت، حالت $d=0$ وجود دارد - در این مورد کل پیشرفت به دنباله ای ثابت از اعداد یکسان کاهش می یابد: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...) و غیره.

بیایید سعی کنیم تفاوت $d$ را برای سه روند کاهشی که در بالا ارائه شده است محاسبه کنیم. برای این کار کافی است هر دو عنصر مجاور (مثلاً اول و دوم) را بردارید و عدد سمت چپ را از عدد سمت راست کم کنید. شبیه این خواهد شد:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

همانطور که می بینیم، در هر سه مورد تفاوت در واقع منفی بود. و اکنون که کم و بیش تعاریف را فهمیدیم، وقت آن است که بفهمیم پیشرفت ها چگونه توصیف می شوند و چه ویژگی هایی دارند.

شرایط پیشرفت و فرمول عود

از آنجایی که عناصر دنباله های ما قابل تعویض نیستند، می توان آنها را شماره گذاری کرد:

\[\left(((a)_(n)) \راست)=\چپ$((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 ))،... \درست$\]

عناصر منفرد این مجموعه را اعضای یک پیشروی می نامند. آنها با یک عدد نشان داده می شوند: عضو اول، عضو دوم و غیره.

علاوه بر این، همانطور که قبلاً می دانیم، شرایط همسایه پیشرفت با فرمول مرتبط هستند:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\ فلش راست ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

به طور خلاصه، برای یافتن ترم $n$th یک پیشروی، باید عبارت $n-1$th و تفاوت $d$ را بدانید. این فرمول تکراری نامیده می شود، زیرا با کمک آن می توانید هر عددی را فقط با دانستن شماره قبلی (و در واقع همه موارد قبلی) پیدا کنید. این بسیار ناخوشایند است، بنابراین یک فرمول حیله گر تری وجود دارد که هر گونه محاسبات را به ترم اول و تفاوت کاهش می دهد:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\چپ(n-1 \راست)d\]

احتمالا قبلاً با این فرمول برخورد کرده اید. آنها دوست دارند آن را در انواع کتاب های مرجع و کتاب های مشکل ارائه دهند. و در هر کتاب ریاضی منطقی یکی از اولین هاست.

با این حال پیشنهاد می کنم کمی تمرین کنید.

وظیفه شماره 1. سه جمله اول پیشروی حسابی $\left(((a)_(n)) \right)$ را بنویسید اگر $((a)_(1))=8,d=-5$.

راه حل. بنابراین، اولین عبارت $((a)_(1))=8$ و تفاوت پیشرفت $d=-5$ را می دانیم. بیایید از فرمول ارائه شده استفاده کنیم و $n=1$، $n=2$ و $n=3$ را جایگزین کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\چپ(2-1 \راست)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\چپ(3-1 \راست)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \پایان (تراز کردن)\]

پاسخ: (8؛ 3؛ -2)

همین! لطفا توجه داشته باشید: پیشرفت ما در حال کاهش است.

البته، $n=1$ نمی تواند جایگزین شود - اولین عبارت از قبل برای ما شناخته شده است. با این حال، با جایگزینی وحدت، ما متقاعد شدیم که حتی برای اولین ترم فرمول ما کار می کند. در موارد دیگر، همه چیز به حساب پیش پا افتاده بود.

وظیفه شماره 2. اگر جملۀ هفتم آن برابر با 40- و جملۀ هفدهم آن برابر با 50- باشد، سه جمله اول یک تصاعد حسابی را بنویسید.

راه حل. بیایید شرط مشکل را با عبارات آشنا بنویسیم:

\[((a)_(7))=-40;\چهار ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \پایان (تراز کردن) \راست.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end (تراز کردن) \درست.\]

من علامت سیستم را گذاشتم زیرا این الزامات باید به طور همزمان برآورده شوند. حال توجه داشته باشیم که اگر معادله اول را از معادله دوم کم کنیم (از آنجایی که سیستم داریم حق انجام این کار را داریم)، به این نتیجه می رسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به همین راحتی می توان تفاوت پیشرفت را پیدا کرد! تنها چیزی که باقی می ماند این است که عدد پیدا شده را با هر یک از معادلات سیستم جایگزین کنیم. به عنوان مثال، در مورد اول:

\[\begin(ماتریس) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \پایان (ماتریس)\]

حال، با دانستن عبارت اول و تفاوت، باقی مانده است که عبارت دوم و سوم را بیابیم:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \پایان (تراز کردن)\]

آماده! مشکل حل شده است.

پاسخ: (34-؛ 35-؛ 36-)

به ویژگی جالب پیشروی که کشف کردیم توجه کنید: اگر عبارت‌های $n$th و $m$th را بگیریم و آنها را از یکدیگر کم کنیم، تفاوت پیشرفت را در عدد $n-m$ ضرب می‌کنیم:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \چپ(n-m \راست)\]

ساده اما خیلی دارایی مفید، که قطعاً باید بدانید - با کمک آن می توانید حل بسیاری از مشکلات پیشرفت را به میزان قابل توجهی سرعت بخشید. در اینجا یک مثال واضح از این موضوع وجود دارد:

وظیفه شماره 3. جمله پنجم یک پیشروی حسابی 8.4 و جمله دهم آن 14.4 است. جمله پانزدهم این پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل. از آنجایی که $((a)_(5))=8.4$، $((a)_(10))=14.4$، و ما باید $((a)_(15))$ را پیدا کنیم، به موارد زیر توجه می کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اما با شرط $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$، بنابراین $5d=6$، که از آن داریم:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \پایان (تراز کردن)\]

پاسخ: 20.4

همین! ما نیازی به ایجاد سیستم معادلات و محاسبه اولین جمله و تفاوت نداشتیم - همه چیز فقط در چند خط حل شد.

اکنون بیایید به نوع دیگری از مشکل نگاه کنیم - جستجوی عبارات منفی و مثبت یک پیشرفت. بر کسی پوشیده نیست که اگر یک پیشرفت افزایش یابد و اولین عبارت آن منفی باشد، دیر یا زود اصطلاحات مثبت در آن ظاهر می شود. و بالعکس: شرایط یک پیشرفت کاهشی دیر یا زود منفی خواهد شد.

در عین حال، همیشه نمی‌توان این لحظه را با مرور متوالی عناصر به صورت «سر به سر» پیدا کرد. اغلب، مسائل به گونه‌ای نوشته می‌شوند که بدون دانستن فرمول‌ها، محاسبات چندین ورق کاغذ را می‌گیرد - در حالی که پاسخ را پیدا می‌کنیم به سادگی می‌خوابیم. بنابراین بیایید سعی کنیم این مشکلات را با سرعت بیشتری حل کنیم.

وظیفه شماره 4. چند جمله منفی در پیشروی حسابی 38.5- وجود دارد. −35.8; ...؟

راه حل. بنابراین، $((a)_(1))=-38.5$، $((a)_(2))=-35.8$، از جایی که بلافاصله تفاوت را پیدا می کنیم:

توجه داشته باشید که تفاوت مثبت است، بنابراین پیشرفت افزایش می یابد. جمله اول منفی است، بنابراین در برخی مواقع به اعداد مثبت برخورد خواهیم کرد. تنها سوال این است که چه زمانی این اتفاق خواهد افتاد.

بیایید سعی کنیم بفهمیم: تا کی (یعنی تا چه زمانی عدد طبیعی$n$) منفی بودن شرایط حفظ می شود:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \راست. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \پایان (تراز کردن)\]

خط آخر نیاز به توضیح دارد. بنابراین می دانیم که $n \lt 15\frac(7)(27)$. از طرف دیگر، ما فقط به مقادیر صحیح عدد راضی هستیم (به علاوه: $n\in \mathbb(N)$)، بنابراین بزرگترین عدد مجاز دقیقاً $n=15$ است و در هیچ موردی 16 است. .

وظیفه شماره 5. در پیشروی حسابی $(()_(5))=-150،(()_(6))=-147$. عدد اولین جمله مثبت این پیشرفت را بیابید.

این دقیقاً همان مشکل قبلی است، اما ما $((a)_(1))$ را نمی دانیم. اما اصطلاحات همسایه شناخته شده اند: $((a)_(5))$ و $((a)_(6))$، بنابراین ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

علاوه بر این، بیایید سعی کنیم جمله پنجم را از طریق اول و تفاوت را با استفاده از فرمول استاندارد بیان کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اکنون به قیاس با کار قبلی پیش می رویم. بیایید دریابیم که اعداد مثبت در چه نقطه ای از دنباله ما ظاهر می شوند:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ فلش راست ((n)_(\min ))=56. \\ \پایان (تراز کردن)\]

حداقل راه حل عدد صحیح برای این نابرابری عدد 56 است.

لطفاً توجه داشته باشید: در آخرین کار همه چیز به نابرابری شدید منجر شد، بنابراین گزینه $n=55$ برای ما مناسب نیست.

اکنون که یاد گرفتیم چگونه مسائل ساده را حل کنیم، بیایید به مسائل پیچیده تر برویم. اما ابتدا، بیایید یکی دیگر از ویژگی های بسیار مفید پیشرفت های حسابی را مطالعه کنیم که در آینده باعث صرفه جویی در زمان و سلول های نابرابر می شود. :)

میانگین حسابی و تورفتگی مساوی

بیایید چندین ترم متوالی از پیشرفت محاسباتی فزاینده $\left(((a)_(n)) \right)$ را در نظر بگیریم. بیایید سعی کنیم آنها را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم:

شرایط یک تصاعد حسابی روی خط اعداد

من به طور خاص عبارات دلخواه را علامت گذاری کردم $((a)_(n-3))،...،((a)_(n+3))$، و نه برخی از $((a)_(1)) ،\ ((a)_(2))،\ ((a)_(3))$ و غیره. زیرا قانونی که اکنون در مورد آن به شما خواهم گفت برای هر "بخش" یکسان عمل می کند.

و قانون بسیار ساده است. بیایید فرمول تکرارشونده را به خاطر بسپاریم و آن را برای تمام عبارات علامت گذاری شده بنویسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \پایان (تراز کردن)\]

با این حال، این برابری ها را می توان به طور متفاوت بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \پایان (تراز کردن)\]

خب پس چی؟ و این واقعیت که عبارات $((a)_(n-1))$ و $((a)_(n+1))$ در فاصله یکسانی از $((a)_(n)) $ قرار دارند. . و این فاصله برابر با $d$ است. همین امر را می توان در مورد عبارات $((a)_(n-2))$ و $((a)_(n+2))$ گفت - آنها نیز از $((a)_(n) حذف شده اند. )$ در همان فاصله برابر با $2d$. ما می‌توانیم تا بی نهایت ادامه دهیم، اما معنی به خوبی توسط تصویر نشان داده شده است

شرایط پیشرفت در همان فاصله از مرکز قرار دارد

معنی این برای ما چیست؟ این بدان معنی است که اگر اعداد مجاور شناخته شده باشند، $((a)_(n))$ را می توان یافت:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ما یک جمله عالی به دست آورده ایم: هر جمله یک پیشرفت حسابی با میانگین حسابی عبارت های مجاور آن برابر است! علاوه بر این: می‌توانیم از $((a)_(n))$ خود به چپ و راست نه با یک قدم، بلکه با $k$ قدم برداریم - و فرمول همچنان درست خواهد بود:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

آن ها ما به راحتی می توانیم مقداری $((a)_(150))$ پیدا کنیم اگر $((a)_(100))$ و $((a)_(200))$ را بدانیم، زیرا $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این واقعیت چیز مفیدی به ما نمی دهد. با این حال، در عمل، بسیاری از مسائل به طور خاص برای استفاده از میانگین حسابی طراحی شده اند. نگاهی بیاندازید:

وظیفه شماره 6. تمام مقادیر $x$ را پیدا کنید که برای آنها اعداد $-6((x)^(2))$، $x+1$ و $14+4((x)^(2))$ عبارت های متوالی هستند. یک پیشرفت حسابی (به ترتیب نشان داده شده).

راه حل. از آنجایی که این اعداد اعضای یک پیشرفت هستند، شرط میانگین حسابی برای آنها برآورده می شود: عنصر مرکزی $x+1$ را می توان بر حسب عناصر همسایه بیان کرد:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

کلاسیک شد معادله درجه دوم. ریشه های آن: $x=2$ و $x=-3$ پاسخ هستند.

پاسخ: −3; 2.

وظیفه شماره 7. مقادیر $$ را بیابید که اعداد $-1;4-3;(()^(2))+1$ یک پیشروی حسابی را تشکیل می دهند (به ترتیب).

راه حل. اجازه دهید دوباره عبارت میانی را از طریق میانگین حسابی اصطلاحات همسایه بیان کنیم:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

دوباره معادله درجه دوم. و دوباره دو ریشه وجود دارد: $x=6$ و $x=1$.

پاسخ 1؛ 6.

اگر در روند حل یک مشکل با تعدادی اعداد وحشیانه مواجه شدید یا کاملاً از صحت پاسخ های یافت شده مطمئن نیستید، تکنیک فوق العاده ای وجود دارد که به شما امکان می دهد بررسی کنید: آیا مشکل را به درستی حل کرده ایم؟

فرض کنید در مسئله شماره 6 پاسخ های -3 و 2 را دریافت کردیم. چگونه می توانیم درستی این پاسخ ها را بررسی کنیم؟ بیایید آنها را به حالت اولیه وصل کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد. اجازه دهید یادآوری کنم که ما سه عدد ($-6(()^(2))$، $+1$ و $14+4(()^(2))$ داریم که باید یک پیشروی حسابی تشکیل دهند. بیایید $x=-3$ را جایگزین کنیم:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \پایان (تراز کردن)\]

ما اعداد -54 را بدست آوردیم. −2; 50 که با 52 تفاوت دارند بدون شک یک پیشرفت حسابی است. همین اتفاق برای $x=2$ نیز می افتد:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \پایان (تراز کردن)\]

باز هم یک پیشرفت، اما با اختلاف 27. بنابراین، مشکل به درستی حل شد. کسانی که مایل هستند می توانند مشکل دوم را خودشان بررسی کنند، اما من فوراً می گویم: همه چیز در آنجا نیز درست است.

به طور کلی در حین حل آخرین مشکلات به مشکل دیگری برخوردیم حقیقت جالب، که همچنین باید به خاطر داشت:

اگر سه عدد به گونه ای باشد که دومی میانگین حسابی اول و آخر باشد، این اعداد یک تصاعد حسابی را تشکیل می دهند.

در آینده، درک این بیانیه به ما این امکان را می دهد که به معنای واقعی کلمه پیشرفت های لازم را بر اساس شرایط مشکل "ساخت" کنیم. اما قبل از پرداختن به چنین «ساختی»، باید به یک واقعیت دیگر توجه کنیم، که مستقیماً از آنچه قبلاً بحث شد ناشی می شود.

گروه بندی و جمع بندی عناصر

بیایید دوباره به محور اعداد برگردیم. اجازه دهید در آنجا چندین عضو از پیشرفت را یادداشت کنیم که شاید بین آنها وجود داشته باشد. ارزش بسیاری از اعضای دیگر را دارد:

6 عنصر در خط اعداد مشخص شده است

بیایید سعی کنیم "دم سمت چپ" را از طریق $((a)_(n))$ و $d$، و "دم سمت راست" را از طریق $((a)_(k))$ و $d$ بیان کنیم. خیلی ساده است:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اکنون توجه داشته باشید که مقادیر زیر برابر است:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= اس. \پایان (تراز کردن)\]

به بیان ساده، اگر دو عنصر پیشرفت را به عنوان شروع در نظر بگیریم که در مجموع برابر با مقداری $S$ هستند و سپس شروع به گام برداشتن از این عناصر در جهت مخالف (به سمت یکدیگر یا برعکس برای دور شدن) کنیم. سپس مجموع عناصری که به آنها برخورد خواهیم کرد نیز برابر خواهد بود$S$. این را می توان به وضوح به صورت گرافیکی نشان داد:

تورفتگی های مساوی مقادیر مساوی را نشان می دهند

درك كردن این حقیقتبه ما این امکان را می دهد که مشکلات را اساساً بیشتر حل کنیم سطح بالامشکلاتی نسبت به مواردی که در بالا در نظر گرفتیم. مثلاً اینها:

وظیفه شماره 8. تفاوت یک تصاعد حسابی را که جمله اول 66 و حاصل ضرب جمله دوم و دوازدهم کوچکترین است را تعیین کنید.

راه حل. بیایید همه چیزهایی را که می دانیم بنویسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=؟ \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، ما تفاوت پیشرفت $d$ را نمی دانیم. در واقع، کل راه حل حول این تفاوت ساخته می شود، زیرا محصول $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \راست)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \پایان (تراز کردن)\]

برای کسانی که در مخزن هستند: من ضریب کل 11 را از براکت دوم برداشتم. بنابراین، محصول مورد نظر یک تابع درجه دوم با توجه به متغیر $d$ است. بنابراین، تابع $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ را در نظر بگیرید - نمودار آن یک سهمی با شاخه‌های بالا خواهد بود، زیرا اگر براکت ها را گسترش دهیم، دریافت می کنیم:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

همانطور که می بینید، ضریب بالاترین جمله 11 است - این یک عدد مثبت است، بنابراین ما واقعاً با سهمی با شاخه های رو به بالا سر و کار داریم:

برنامه تابع درجه دوم- سهمی
لطفاً توجه داشته باشید: این سهمی حداقل مقدار خود را در رأس خود با آبسیسا $((d)_(0))$ می گیرد. البته، می‌توانیم این آبسیسا را با استفاده از طرح استاندارد محاسبه کنیم (فرمول $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ وجود دارد)، اما توجه به آن بسیار معقول‌تر خواهد بود. که راس مورد نظر روی تقارن محور سهمی قرار دارد، بنابراین نقطه $((d)_(0))$ از ریشه های معادله $f\left(d \right)=0$ مساوی است:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\چهار ((د)_(2))=-6. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به همین دلیل است که من عجله خاصی برای باز کردن براکت ها نداشتم: در شکل اصلی آنها، ریشه ها بسیار بسیار آسان بود. بنابراین آبسیسا برابر با میانگین است اعداد حسابی−66 و −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

عدد کشف شده چه چیزی به ما می دهد؟ با آن، محصول مورد نیاز می گیرد کوچکترین ارزش(به هر حال، ما هرگز $((y)_(\min ))$ را محاسبه نکردیم - این از ما لازم نیست). در عین حال، این عدد تفاوت پیشروی اصلی است، یعنی. ما جواب را پیدا کردیم. :)

پاسخ: -36

وظیفه شماره 9. بین اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac(1)(6)$ سه عدد درج کنید تا همراه با این اعداد یک تصاعد حسابی تشکیل دهند.

راه حل. در اصل، ما باید دنباله ای از پنج عدد را با اولین و بسازیم آخرین شمارهقبلا شناخته شده است. بیایید اعداد گمشده را با متغیرهای $x$، $y$ و $z$ نشان دهیم:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

توجه داشته باشید که عدد $y$ "وسط" دنباله ما است - از اعداد $x$ و $z$ و از اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac فاصله دارد. (1) (6) دلار. و اگر از اعداد $x$ و $z$ وارد شویم این لحظهما نمی‌توانیم $y$ را دریافت کنیم، سپس وضعیت با انتهای پیشرفت متفاوت است. بیایید میانگین حسابی را به خاطر بسپاریم:

اکنون با دانستن $y$، اعداد باقیمانده را خواهیم یافت. توجه داشته باشید که $x$ بین اعداد $-\frac(1)(2)$ و $y=-\frac(1)(3)$ قرار دارد که به تازگی پیدا کردیم. از همین رو

با استفاده از استدلال مشابه، عدد باقیمانده را پیدا می کنیم:

آماده! ما هر سه عدد را پیدا کردیم. بیایید آنها را به ترتیبی که باید بین اعداد اصلی درج شوند، در پاسخ بنویسیم.

پاسخ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

وظیفه شماره 10. بین اعداد 2 و 42 چند عدد درج کنید که به همراه این اعداد یک تصاعد حسابی تشکیل می دهند، اگر می دانید مجموع اعداد اول، دوم و آخر اعداد درج شده 56 است.

راه حل. یک مشکل حتی پیچیده تر، که، با این حال، مطابق با همان طرح قبلی - از طریق میانگین حسابی حل می شود. مشکل این است که ما دقیقا نمی دانیم چند عدد باید درج شود. بنابراین، برای قطعیت فرض می کنیم که پس از درج همه چیز دقیقاً اعداد $n$ وجود خواهد داشت که اولین آنها 2 و آخرین آن 42 است. در این حالت، پیشرفت محاسباتی مورد نیاز را می توان به شکل زیر نشان داد:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \راست$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

البته توجه داشته باشید که اعداد $((a)_(2))$ و $((a)_(n-1))$ از اعداد 2 و 42 در لبه ها یک قدم به سمت یکدیگر به دست می آیند. یعنی . به مرکز دنباله و این به این معنی است

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

اما سپس عبارت نوشته شده در بالا را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \پایان (تراز کردن)\]

با دانستن $((a)_(3))$ و $((a)_(1))$، ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\چپ(3-1 \راست)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\arrow d=5. \\ \پایان (تراز کردن)\]

تنها چیزی که باقی می ماند یافتن شرایط باقی مانده است:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، در مرحله نهم به انتهای سمت چپ دنباله خواهیم رسید - عدد 42. در مجموع، فقط 7 عدد باید درج می شد: 7. 12; 17; 22; 27; 32; 37.

پاسخ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

مشکلات کلمه با پیشرفت

در پایان، من می خواهم چند مورد را نسبتاً در نظر بگیرم کارهای ساده. خب، به همین سادگی: برای اکثر دانش‌آموزانی که در مدرسه ریاضیات می‌خوانند و آنچه در بالا نوشته شده را نخوانده‌اند، این مشکلات ممکن است سخت به نظر برسند. با این وجود، اینها انواع مشکلاتی هستند که در OGE و آزمون دولتی واحد در ریاضیات ظاهر می شوند، بنابراین توصیه می کنم با آنها آشنا شوید.

کار شماره 11. این تیم در ژانویه 62 قسمت تولید کرد و در هر ماه بعد 14 قسمت بیشتر از ماه قبل تولید کرد. تیم در ماه نوامبر چند قسمت تولید کرد؟

راه حل. بدیهی است که تعداد قسمت‌های فهرست‌شده بر اساس ماه نشان‌دهنده یک پیشرفت محاسباتی فزاینده است. علاوه بر این:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\چپ(n-1 \راست)\cdot 14. \\ \end (تراز کردن)\]

نوامبر یازدهمین ماه سال است، بنابراین باید $((a)_(11))$ را پیدا کنیم:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

بنابراین در آبان ماه 202 قطعه تولید خواهد شد.

کار شماره 12. کارگاه صحافی در دی ماه 216 جلد کتاب صحافی کرد و در هر ماه بعد 4 جلد کتاب بیشتر از ماه قبل صحافی کرد. کارگاه در آذرماه چند کتاب صحافی کرد؟

راه حل. به همین ترتیب:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \راست)\cdot 4. \\ \end (تراز کردن)$

دسامبر آخرین و دوازدهمین ماه سال است، بنابراین ما به دنبال $((a)_(12))$ هستیم:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

پاسخ این است - 260 کتاب در دسامبر صحافی می شود.

خوب، اگر تا اینجا خوانده اید، من عجله می کنم به شما تبریک بگویم: شما "دوره مبارزان جوان" را در پیشرفت های حسابی با موفقیت به پایان رساندید. می توانید با خیال راحت به درس بعدی بروید، جایی که ما فرمول جمع پیشرفت و همچنین پیامدهای مهم و بسیار مفید آن را مطالعه خواهیم کرد.

اگر شرط $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ برآورده شود، ماتریس $A^(-1)$ معکوس ماتریس مربع $A$ نامیده می شود. که در آن $E $ ماتریس هویت است که ترتیب آن برابر با ترتیب ماتریس $A$ است.

ماتریس غیر مفرد ماتریسی است که دترمینان آن برابر با صفر نباشد. بر این اساس، ماتریس منفرد، ماتریسی است که دترمینان آن برابر با صفر باشد.

ماتریس معکوس $A^(-1)$ وجود دارد اگر و فقط اگر ماتریس $A$ غیر مفرد باشد. اگر ماتریس معکوس $A^(-1)$ وجود داشته باشد، یکتا است.

چندین راه برای یافتن معکوس یک ماتریس وجود دارد که ما به دو مورد از آنها خواهیم پرداخت. در این صفحه روش ماتریس الحاقی که در اکثر دروس ریاضیات عالی استاندارد در نظر گرفته می شود، بحث خواهد شد. روش دوم یافتن ماتریس معکوس (روش تبدیل‌های ابتدایی) که شامل استفاده از روش گاوس یا روش گاوس-جردن است، در بخش دوم مورد بحث قرار می‌گیرد.

روش ماتریس الحاقی

اجازه دهید ماتریس $A_(n\times n)$ داده شود. برای یافتن ماتریس معکوس $A^(-1)$، سه مرحله مورد نیاز است:

تعیین کننده ماتریس $A$ را پیدا کنید و مطمئن شوید که $\Delta A\neq 0$، یعنی. که ماتریس A غیر مفرد است.
مکمل های جبری $A_(ij)$ از هر عنصر ماتریس $A$ را بنویسید و ماتریس $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ را از جبری یافت شده بنویسید. تکمیل می کند.
ماتریس معکوس را با در نظر گرفتن فرمول $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ بنویسید.

ماتریس $(A^(*))^T$ اغلب به ماتریس $A$ الحاقی (مقابل، متقابل) گفته می شود.

اگر راه حل به صورت دستی انجام شود، روش اول فقط برای ماتریس های سفارشات نسبتا کوچک خوب است: دوم ()، سوم ()، چهارم (). برای پیدا کردن معکوس یک ماتریس مرتبه بالاتر، روش های دیگری استفاده می شود. برای مثال روش گاوسی که در قسمت دوم به آن پرداخته شده است.

مثال شماره 1

معکوس ماتریس $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 را پیدا کنید & -9 & 0 \end(آرایه) \راست)$.

از آنجایی که تمام عناصر ستون چهارم برابر با صفر هستند، پس $\Delta A=0$ (یعنی ماتریس $A$ مفرد است). از آنجایی که $\Delta A=0$، ماتریس معکوس برای ماتریس $A$ وجود ندارد.

پاسخ: ماتریس $A^(-1)$ وجود ندارد.

مثال شماره 2

معکوس ماتریس $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ را پیدا کنید. بررسی را انجام دهید.

ما از روش ماتریس الحاقی استفاده می کنیم. ابتدا، بیایید تعیین کننده ماتریس داده شده $A$ را پیدا کنیم:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

از آنجایی که $\Delta A \neq 0$ است، پس ماتریس معکوس وجود دارد، بنابراین راه حل را ادامه می دهیم. یافتن مکمل های جبری

\begin(تراز شده) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(تراز شده)

ماتریسی از اضافات جبری می‌سازیم: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

ماتریس حاصل را جابجا می کنیم: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the ماتریس حاصل اغلب ماتریس الحاقی یا وابسته به ماتریس $A$ نامیده می شود. با استفاده از فرمول $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$، داریم:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

بنابراین، ماتریس معکوس پیدا می شود: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\راست) $. برای بررسی صحت نتیجه کافی است صحت یکی از برابری ها را بررسی کنید: $A^(-1)\cdot A=E$ یا $A\cdot A^(-1)=E$. بیایید برابری $A^(-1)\cdot A=E$ را بررسی کنیم. برای اینکه کمتر با کسرها کار کنیم، ماتریس $A^(-1)$ را جایگزین می کنیم نه به شکل $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$، و به شکل $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( آرایه)\راست)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array )\راست) =E $$

پاسخ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

مثال شماره 3

ماتریس معکوس را برای ماتریس $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ پیدا کنید . بررسی را انجام دهید.

بیایید با محاسبه تعیین کننده ماتریس $A$ شروع کنیم. بنابراین، تعیین کننده ماتریس $A$ است:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\ end(array) \ right| = 18-36+56-12=26. $$

از آنجایی که $\Delta A\neq 0$ است، پس ماتریس معکوس وجود دارد، بنابراین راه حل را ادامه می دهیم. ما مکمل های جبری هر عنصر از یک ماتریس معین را پیدا می کنیم:

ماتریسی از اضافات جبری می سازیم و آن را جابجا می کنیم:

$$ A^*=\left(\begin(array) (cccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \راست) . $$

با استفاده از فرمول $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$، دریافت می کنیم:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(آرایه) \راست) $$

بنابراین $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. برای بررسی صحت نتیجه کافی است صحت یکی از برابری ها را بررسی کنید: $A^(-1)\cdot A=E$ یا $A\cdot A^(-1)=E$. بیایید برابری $A\cdot A^(-1)=E$ را بررسی کنیم. برای اینکه کمتر با کسرها کار کنیم، ماتریس $A^(-1)$ را جایگزین می کنیم نه به شکل $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ و به شکل $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end (array) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (cccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\ end (آرایه) \راست) =\ چپ (\شروع (آرایه) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(آرایه) \راست) =E $$

بررسی موفقیت آمیز بود، ماتریس معکوس $A^(-1)$ به درستی پیدا شد.

پاسخ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

مثال شماره 4

ماتریس معکوس ماتریس $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 را پیدا کنید & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

برای یک ماتریس مرتبه چهارم، یافتن ماتریس معکوس با استفاده از جمع های جبری تا حدودی دشوار است. با این حال، چنین نمونه هایی در تست هاملاقات.

برای پیدا کردن معکوس یک ماتریس، ابتدا باید تعیین کننده ماتریس $A$ را محاسبه کنید. بهترین راه برای انجام این کار در این شرایط، تجزیه دترمینانت در امتداد یک ردیف (ستون) است. هر سطر یا ستونی را انتخاب می کنیم و مکمل های جبری هر عنصر سطر یا ستون انتخاب شده را پیدا می کنیم.

به عنوان مثال، برای خط اول دریافت می کنیم:

$$ A_(11)=\چپ|\begin(array)(cccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\چپ|\begin(آرایه)(cccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\چپ|\begin(array)(cccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(cccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

تعیین کننده ماتریس $A$ با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(تراز شده) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end (تراز شده) $$

ماتریس متمم های جبری: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(آرایه)\راست)$.

ماتریس الحاقی: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(آرایه)\راست)$.

ماتریس معکوس:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 و 1/25 و 9/25 و -24/25 \end(آرایه) \راست) $$

بررسی را در صورت تمایل می توان به همان روشی که در مثال های قبلی انجام داد انجام داد.

پاسخ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(آرایه) \راست) $.

در بخش دوم راه دیگری را برای یافتن ماتریس معکوس در نظر خواهیم گرفت که شامل استفاده از تبدیل های روش گاوسی یا روش گاوس-جردن است.

تعیین کننده ماتریس

یافتن تعیین کننده یک ماتریس یک مشکل بسیار رایج در ریاضیات عالی و جبر است. به عنوان یک قاعده، هنگام حل نمی توان بدون مقدار تعیین کننده ماتریس کار کرد سیستم های پیچیدهمعادلات روش کرامر برای حل سیستم معادلات مبتنی بر محاسبه دترمینان یک ماتریس است. با استفاده از تعریف یک تعیین کننده، حضور و منحصر به فرد بودن یک راه حل برای یک سیستم معادلات تعیین می شود. بنابراین، دشوار است که اهمیت توانایی یافتن درست و دقیق عامل تعیین کننده یک ماتریس در ریاضیات را بیش از حد برآورد کنیم. روش‌های حل تعیین‌کننده‌ها از نظر تئوری بسیار ساده هستند، اما با افزایش اندازه ماتریس، محاسبات بسیار دشوار می‌شوند و به دقت و زمان زیادی نیاز دارند. انجام یک اشتباه جزئی یا اشتباه تایپی در چنین محاسبات پیچیده ریاضی بسیار آسان است که منجر به خطا در پاسخ نهایی می شود. بنابراین حتی اگر پیدا کنید تعیین کننده ماتریسخودتان، مهم است که نتیجه را بررسی کنید. این را می توان با سرویس ما پیدا کردن تعیین کننده یک ماتریس آنلاین انجام داد. خدمات ما همیشه نتایج کاملاً دقیق و بدون خطا یا خطاهای اداری ارائه می دهد. شما می توانید محاسبات مستقل را رد کنید، زیرا از نقطه نظر کاربردی، پیدا کردن تعیین کننده ماتریسماهیت آموزشی نیست، بلکه صرفاً به زمان زیادی و محاسبات عددی نیاز دارد. بنابراین، اگر در وظیفه شما تعریف تعیین کننده ماتریسکمکی هستند، محاسبات جانبی، از خدمات ما استفاده کنید و تعیین کننده یک ماتریس را به صورت آنلاین پیدا کنید!

تمام محاسبات به صورت خودکار با بالاترین دقت انجام می شود و کاملا رایگان است. ما یک رابط بسیار مناسب برای وارد کردن عناصر ماتریس داریم. اما تفاوت اصلی سرویس ما با موارد مشابه در امکان دریافت است راه حل دقیق. خدمات ما در محاسبه تعیین کننده یک ماتریس به صورت آنلاینهمیشه از ساده ترین و کوتاه ترین روش استفاده می کند و هر مرحله از تبدیل ها و ساده سازی ها را با جزئیات شرح می دهد. بنابراین شما نه تنها مقدار تعیین کننده ماتریس، نتیجه نهایی، بلکه یک راه حل کامل را نیز دریافت می کنید.

دنباله عددی که هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، برابر است با عضو قبلی که برای یک دنباله معین به همان عدد اضافه شده است، پیشرفت حسابی نامیده می شود. عددی که هر بار به عدد قبلی اضافه می شود فراخوانی می شود تفاوت پیشرفت حسابیو با نامه مشخص می شود د.

بنابراین، دنباله اعداد یک است. a 2; a 3; a 4; یک 5; ... و n یک تصاعد حسابی خواهد بود اگر a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d;

آنها می گویند که یک تصاعد حسابی با یک عبارت مشترک داده شده است و n. بنویسید: یک تصاعد حسابی داده شده است (a n).

یک پیشروی حسابی در صورتی تعریف شده در نظر گرفته می شود که جمله اول آن مشخص باشد یک 1و تفاوت د

نمونه هایی از پیشرفت حسابی

مثال 1. 1 3; 5 7; 9;...اینجا یک 1 = 1; د = 2.

مثال 2. 8; 5 2 -1؛ -4؛ -7; -10؛... اینجا یک 1 = 8; د =-3.

مثال 3.-16; -12; -8; -4؛... اینجا یک 1 = -16; د = 4.

توجه داشته باشید که هر جمله از پیشروی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین حسابی عبارت های همسایه خود.

در 1 مثالترم دوم 3 =(1+5): 2 ; آن ها a 2 = (a 1 + a 3) : 2 عضو سوم 5 =(3+7): 2;

یعنی a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

بنابراین فرمول معتبر است:

اما، در واقع، هر عضو یک پیشرفت حسابی، که از دومی شروع می شود، با میانگین حسابی نه تنها اعضای همسایه خود، بلکه همچنین برابر است. مساوی فاصلهاز اعضای او، یعنی.

برگردیم مثال 2. عدد -1 جمله چهارم یک پیشروی حسابی است و از جمله اول و هفتم به یک اندازه فاصله دارد (a 1 = 8 و 7 = -10).

طبق فرمول (**) داریم:

بیایید فرمول را استخراج کنیم n-ترم یک پیشرفت حسابی

بنابراین، اگر تفاوت را به اولی اضافه کنیم، ترم دوم پیشرفت حسابی را بدست می آوریم د; اگر تفاوت را به دومی اضافه کنیم جمله سوم را دریافت می کنیم دیا دو تفاوت به عبارت اول اضافه کنید د; اگر مابه التفاوت را به جمله سوم اضافه کنیم، عبارت چهارم را به دست می آوریم دیا سه تفاوت به اولی اضافه کنید دو غیره

شما آن را حدس زدید: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

فرمول حاصل a n = آ 1 + (n-1) د (***)

تماس گرفت فرمولnترم یک پیشرفت حسابی

حالا بیایید در مورد چگونگی پیدا کردن مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی صحبت کنیم. اجازه دهید این مقدار را با علامت گذاری کنیم S n.

تنظیم مجدد مکان عبارات ارزش مجموع را تغییر نمی دهد، بنابراین می توان آن را به دو صورت نوشت.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n و

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1

بیایید این دو برابری را به صورت ترم اضافه کنیم:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …

برای هر ماتریس غیر مفرد A یک ماتریس منحصر به فرد A -1 وجود دارد به طوری که

A*A -1 =A -1 *A = E،

که در آن E ماتریس هویت همان نظم های A است. ماتریس A -1 را معکوس ماتریس A می نامند.

اگر کسی فراموش کرد، در ماتریس هویت، به جز مورب پر شده با یک، تمام موقعیت های دیگر با صفر پر می شوند، نمونه ای از ماتریس هویت:

یافتن ماتریس معکوس با استفاده از روش ماتریس الحاقی

ماتریس معکوس با فرمول زیر تعریف می شود:

جایی که A ij - عناصر a ij.

آن ها برای محاسبه ماتریس معکوس باید دترمینان این ماتریس را محاسبه کنید. سپس مکمل های جبری را برای تمام عناصر آن پیدا کنید و یک ماتریس جدید از آنها بسازید. در مرحله بعد باید این ماتریس را انتقال دهید. و هر عنصر ماتریس جدید را بر تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم کنید.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

A -1 را برای یک ماتریس پیدا کنید

راه حل: بیایید A -1 را با استفاده از روش ماتریس الحاقی پیدا کنیم. ما det A = 2 داریم. بیایید مکمل‌های جبری عناصر ماتریس A را پیدا کنیم. در این حالت، مکمل‌های جبری عناصر ماتریس، عناصر مربوط به خود ماتریس خواهند بود که با علامتی مطابق با فرمول گرفته می‌شوند.

ما A 11 = 3، A 12 = -4، A 21 = -1، A 22 = 2 داریم. ماتریس الحاقی را تشکیل می دهیم.

ماتریس A* را انتقال می دهیم:

ماتریس معکوس را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

ما گرفتیم:

با استفاده از روش ماتریس الحاقی، اگر A -1 را پیدا کنید

راه حل: ابتدا تعریف این ماتریس را محاسبه می کنیم تا وجود ماتریس معکوس را تایید کنیم. ما داریم

در اینجا عناصر ردیف سوم را که قبلاً در (-1) ضرب شده بود به عناصر ردیف دوم اضافه کردیم و سپس تعیین کننده ردیف دوم را گسترش دادیم. از آنجایی که تعریف این ماتریس غیر صفر است، ماتریس معکوس آن وجود دارد. برای ساختن ماتریس الحاقی، مکمل های جبری عناصر این ماتریس را پیدا می کنیم. ما داریم

طبق فرمول

ماتریس حمل و نقل A*:

سپس طبق فرمول

یافتن ماتریس معکوس با استفاده از روش تبدیل های ابتدایی

علاوه بر روش یافتن ماتریس معکوس که از فرمول (روش ماتریس الحاقی) بر می آید، روشی برای یافتن ماتریس معکوس وجود دارد که به آن روش تبدیل های ابتدایی می گویند.

تبدیلات ماتریس ابتدایی

تبدیل‌های زیر را تبدیل‌های ماتریس ابتدایی می‌نامند:

1) تنظیم مجدد ردیف ها (ستون ها)؛

2) ضرب یک ردیف (ستون) در عددی غیر از صفر.

3) اضافه کردن عناصر یک ردیف (ستون) به عناصر مربوط به یک ردیف دیگر (ستون)، که قبلا در یک عدد معین ضرب شده است.

برای یافتن ماتریس A -1، یک ماتریس مستطیلی B = (A|E) از دستورات (n؛ 2n) می سازیم، و ماتریس هویت E را از طریق یک خط تقسیم به ماتریس A در سمت راست اختصاص می دهیم: