حاصل ضرب اسکالر بردارها (از این پس SP نامیده می شود). دوستان عزیز! امتحان ریاضی شامل گروهی از مسائل مربوط به حل بردارها است. ما قبلاً برخی از مشکلات را در نظر گرفته ایم. می توانید آنها را در دسته "بردارها" ببینید. به طور کلی، نظریه بردارها پیچیده نیست، نکته اصلی مطالعه مداوم آن است. محاسبات و عملیات با بردار در درس ریاضیات مدرسه ساده است، فرمول ها پیچیده نیستند. نگاهی به. در این مقاله ما مسائل مربوط به SP بردارها (شامل در آزمون یکپارچه ایالت) را تحلیل خواهیم کرد. اکنون "غوطه ور شدن" در نظریه:

اچ برای پیدا کردن مختصات یک بردار، باید از مختصات انتهای آن کم کنیدمختصات مربوط به مبدأ آن

و در ادامه:

*طول بردار (مدول) به صورت زیر تعیین می شود:

این فرمول ها را باید به خاطر بسپارید!!!

بیایید زاویه بین بردارها را نشان دهیم:

واضح است که می تواند از 0 تا 180 0 متغیر باشد(یا بر حسب رادیان از 0 تا پی).

ما می توانیم در مورد علامت حاصلضرب اسکالر نتیجه گیری کنیم. طول بردارها یک مقدار مثبت دارند، این واضح است. این بدان معناست که علامت حاصلضرب اسکالر به مقدار کسینوس زاویه بین بردارها بستگی دارد.

موارد احتمالی:

1. اگر زاویه بین بردارها تند باشد (از 0 0 تا 90 0)، کسینوس زاویه مقدار مثبت خواهد داشت.

2. اگر زاویه بین بردارها منفرد باشد (از 90 0 تا 180 0)، کسینوس زاویه مقدار منفی خواهد داشت.

*در صفر درجه، یعنی زمانی که بردارها جهت یکسانی داشته باشند، کسینوس برابر با یک است و بر این اساس، نتیجه مثبت خواهد بود.

در 180 درجه، یعنی زمانی که بردارها جهت مخالف دارند، کسینوس برابر با منهای یک است.و بر این اساس نتیجه منفی خواهد بود.

حالا نکته مهم!

در 90 o یعنی زمانی که بردارها بر یکدیگر عمود هستند، کسینوس برابر با صفر است و بنابراین SP برابر با صفر است. این واقعیت (نتیجه، نتیجه) در حل بسیاری از مسائل که در مورد موقعیت نسبی بردارها صحبت می کنیم، از جمله در مسائل موجود در بانک باز وظایف ریاضیات استفاده می شود.

اجازه دهید این گزاره را فرمول بندی کنیم: حاصل ضرب اسکالر برابر با صفر است اگر و فقط اگر این بردارها روی خطوط عمود قرار گیرند.

بنابراین، فرمول برای بردارهای SP:

اگر مختصات بردارها یا مختصات نقاط آغاز و انتهای آنها مشخص باشد، در این صورت همیشه می‌توانیم زاویه بین بردارها را پیدا کنیم:

بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

27724 حاصل ضرب اسکالر بردارهای a و b را پیدا کنید.

با استفاده از یکی از دو فرمول می توانیم حاصل ضرب اسکالر بردارها را پیدا کنیم:

زاویه بین بردارها ناشناخته است، اما به راحتی می توانیم مختصات بردارها را پیدا کنیم و سپس از فرمول اول استفاده کنیم. از آنجایی که مبدا هر دو بردار با مبدأ مختصات منطبق است، مختصات این بردارها با مختصات انتهای آنها برابر است.

نحوه پیدا کردن مختصات یک بردار در توضیح داده شده است.

محاسبه می کنیم:

جواب: 40

بیایید مختصات بردارها را پیدا کنیم و از فرمول استفاده کنیم:

برای یافتن مختصات یک بردار، لازم است مختصات مربوط به ابتدای آن را از مختصات انتهای بردار کم کنیم، یعنی

ما محصول اسکالر را محاسبه می کنیم:

جواب: 40

زاویه بین بردارهای a و b را پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

بگذارید مختصات بردارها به شکل زیر باشد:

برای یافتن زاویه بین بردارها از فرمول حاصل ضرب اسکالر بردارها استفاده می کنیم:

کسینوس زاویه بین بردارها:

از این رو:

مختصات این بردارها برابر است:

بیایید آنها را در فرمول جایگزین کنیم:

زاویه بین بردارها 45 درجه است.

جواب: 45

بنابراین، طول بردار به عنوان جذر مجذور مجذور مختصات آن محاسبه می شود
. طول یک بردار n بعدی به طور مشابه محاسبه می شود
. اگر به یاد داشته باشیم که هر مختصات یک بردار تفاوت بین مختصات پایان و ابتدا است، فرمول طول قطعه را به دست می آوریم، یعنی. فاصله اقلیدسی بین نقاط

حاصلضرب عددیدو بردار در یک صفحه حاصل ضرب طول این بردارها و کسینوس زاویه بین آنها است:
. می توان ثابت کرد که حاصل ضرب اسکالر دو بردار است = (x 1، x 2) و = (y 1 , y 2) برابر است با مجموع حاصل ضرب مختصات مربوط به این بردارها:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

در فضای n بعدی، حاصل ضرب اسکالر بردارهای X= (x 1، x 2،...، x n) و Y= (y 1، y 2،...، y n) به عنوان مجموع حاصل تعریف می شود. مختصات مربوطه آنها: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

عمل ضرب بردارها در یکدیگر شبیه ضرب ماتریس سطر در ماتریس ستون است. تاکید می کنیم که نتیجه یک عدد خواهد بود نه بردار.

حاصل ضرب اسکالر بردارها دارای ویژگی های زیر است (اصول:

1) ویژگی جابجایی: X*Y=Y*X.

2) خاصیت توزیعی نسبت به جمع: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) برای هر عدد واقعی 
.

4)
، ifX یک بردار صفر نیست.
ifX یک بردار صفر است.

فضای برداری خطی که در آن یک حاصل ضرب اسکالر از بردارها که چهار اصل مربوطه را برآورده می کند، داده می شود. بردار خطی اقلیدسیفضا.

به راحتی می توان فهمید که وقتی هر بردار را در خودش ضرب می کنیم، مجذور طول آن را به دست می آوریم. بنابراین متفاوت است طولیک بردار را می توان به عنوان جذر مربع اسکالر آن تعریف کرد:.

طول برداری دارای ویژگی های زیر است:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|، که در آن یک عدد واقعی است.

3) |X*Y||X|*|Y| ( نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی);

4) |X+Y||X|+|Y| ( نابرابری مثلث).

زاویه  بین بردارها در فضای n بعدی بر اساس مفهوم حاصلضرب اسکالر تعیین می شود. در واقع اگر
، آن
. این کسر بزرگتر از یک نیست (با توجه به نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی)، بنابراین از اینجا می توانیم  را پیدا کنیم.

دو بردار نامیده می شوند قائمیا عمود بر، اگر حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر باشد. از تعریف حاصلضرب اسکالر چنین برمی‌آید که بردار صفر به هر بردار متعامد است. اگر هر دو بردار متعامد غیر صفر باشند، cos= 0، یعنی=/2 = 90 o.

بیایید دوباره به شکل 7.4 نگاه کنیم. از شکل مشاهده می شود که کسینوس زاویه میل بردار به محور افقی را می توان به صورت زیر محاسبه کرد.
و کسینوس زاویه میل بردار به محور عمودی است
. این اعداد معمولاً نامیده می شوند کسینوس جهت. به راحتی می توان تأیید کرد که مجموع مجذور کسینوس های جهت همیشه برابر با یک است: cos 2 +cos 2 = 1. به طور مشابه، مفاهیم کسینوس جهت را می توان برای فضاهای با ابعاد بالاتر معرفی کرد.

مبنای فضای برداری

برای بردارها می توانیم مفاهیم را تعریف کنیم ترکیب خطی,وابستگی خطیو استقلالمشابه نحوه معرفی این مفاهیم برای ردیف های ماتریس. همچنین درست است که اگر بردارها به صورت خطی وابسته باشند، حداقل یکی از آنها را می توان به صورت خطی بر حسب بقیه بیان کرد (یعنی ترکیب خطی آنهاست). عکس این قضیه نیز صادق است: اگر یکی از بردارها ترکیبی خطی از بردارهای دیگر باشد، همه این بردارها با هم به صورت خطی وابسته هستند.

توجه داشته باشید که اگر در بین بردارهای a l , a 2 ,...a m بردار صفر وجود داشته باشد، این مجموعه از بردارها لزوماً به صورت خطی وابسته هستند. در واقع، اگر مثلاً ضریب j را در بردار صفر برابر یک و بقیه ضرایب را صفر کنیم،  l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 به دست می آوریم. در این حالت، همه ضرایب برابر با صفر نخواهند بود ( j ≠ 0).

علاوه بر این، اگر بخشی از بردارهای مجموعه ای از بردارها به صورت خطی وابسته باشند، آنگاه همه این بردارها به صورت خطی وابسته هستند. در واقع، اگر برخی از بردارها در ترکیب خطی خود با ضرایبی که هر دو صفر نیستند، بردار صفر بدهند، می توان بردارهای باقیمانده ضرب در ضرایب صفر را به این مجموع حاصلضرب اضافه کرد و باز هم بردار صفر خواهد بود.

چگونه تعیین کنیم که آیا بردارها به صورت خطی وابسته هستند؟

برای مثال، بیایید سه بردار را در نظر بگیریم: a 1 = (1، 0، 1، 5)، a 2 = (2، 1، 3، -2) و a 3 = (3، 1، 4، 3). بیایید یک ماتریس از آنها ایجاد کنیم، که در آن آنها ستون هستند:

سپس مسئله وابستگی خطی به تعیین رتبه این ماتریس کاهش می یابد. اگر معلوم شد که برابر با سه است، هر سه ستون به صورت خطی مستقل هستند و اگر کمتر باشد، این نشان دهنده وابستگی خطی بردارها است.

از آنجایی که رتبه 2 است، بردارها به صورت خطی وابسته هستند.

توجه داشته باشید که راه‌حل مسئله همچنین می‌تواند با استدلالی آغاز شود که مبتنی بر تعریف استقلال خطی است. یعنی یک معادله برداری ایجاد کنید  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0 که به شکل l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - خواهد بود. 2) + 3 *(3، 1، 4، 3) = (0، 0، 0، 0). سپس یک سیستم معادلات بدست می آوریم:

حل این سیستم با استفاده از روش گاوسی به بدست آوردن همان ماتریس گام کاهش می یابد، فقط یک ستون دیگر - اصطلاحات آزاد خواهد داشت. همه آنها صفر خواهند بود، زیرا تبدیل خطی صفرها نمی تواند به نتیجه متفاوتی منجر شود. سیستم معادلات تبدیل شده به شکل زیر خواهد بود:

راه حل این سیستم (-с;-с; с) خواهد بود، که در آن c یک عدد دلخواه است. به عنوان مثال، (-1;-1;1). این بدان معناست که اگر  l = -1؛ 2 =-1 و 3 = 1 را بگیریم، آنگاه l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0، یعنی. بردارها در واقع به صورت خطی وابسته هستند.

از مثال حل شده مشخص می شود که اگر تعداد بردارها را بزرگتر از بعد فضا در نظر بگیریم، آنها لزوماً به صورت خطی وابسته خواهند بود. در واقع، اگر در این مثال پنج بردار بگیریم، یک ماتریس 4*5 بدست می آوریم که رتبه آن نمی تواند بیشتر از چهار باشد. آن ها حداکثر تعداد ستون های مستقل خطی هنوز از چهار بیشتر نخواهد بود. دو، سه یا چهار بردار چهار بعدی می توانند به صورت خطی مستقل باشند، اما پنج یا بیشتر نمی توانند. در نتیجه، بیش از دو بردار نمی توانند به صورت خطی مستقل در صفحه باشند. هر سه بردار در فضای دو بعدی به صورت خطی وابسته هستند. در فضای سه بعدی، هر چهار (یا بیشتر) بردار همیشه به صورت خطی وابسته هستند. و غیره.

از همین رو بعد، ابعاد، اندازهفضا را می توان به عنوان حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی که می تواند در آن باشد تعریف کرد.

مجموعه ای از n بردار مستقل خطی یک فضای n بعدی R نامیده می شود اساساین فضا

قضیه. هر بردار فضای خطی را می توان به صورت ترکیبی خطی از بردارهای پایه و به روشی منحصر به فرد نشان داد.

اثبات اجازه دهید بردارهای e l , e 2 ,...e n یک فضای پایه-بعدی R را تشکیل دهند. اجازه دهید ثابت کنیم که هر بردار X ترکیبی خطی از این بردارها است. از آنجایی که، همراه با بردار X، تعداد بردارها (n +1) می شود، این بردارها (n +1) به صورت خطی وابسته خواهند بود، یعنی. اعداد l , 2 ,..., n , وجود دارند که به طور همزمان برابر با صفر نیستند، به طوری که

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

در این مورد، 0، زیرا در غیر این صورت  l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 بدست می آوریم که در آن همه ضرایب l , 2 ,..., n برابر با صفر نیستند. این بدان معناست که بردارهای پایه به صورت خطی وابسته خواهند بود. بنابراین، می توانیم هر دو طرف معادله اول را بر دو تقسیم کنیم:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l + x 2 e 2 +... + x n e n،

که در آن x j = -( j /)،
.

اکنون ثابت می کنیم که چنین نمایشی در قالب یک ترکیب خطی منحصر به فرد است. بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی. که بازنمایی دیگری وجود دارد:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

بیایید عبارتی را که قبلاً به دست آمده بود از آن کم کنیم:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

از آنجایی که بردارهای پایه به صورت خطی مستقل هستند، به دست می آوریم که (y j - x j) = 0،
، یعنی y j = x j. بنابراین بیان یکسان شد. قضیه ثابت شده است.

عبارت X = x l e l + x 2 e 2 +... + x n e n نامیده می شود. تجزیهبردار X بر اساس e l، e 2،...e n، و اعداد x l، x 2،...x n - مختصاتبردار x نسبت به این مبنا یا در این مبنا.

می توان ثابت کرد که اگر n بردارهای غیر صفر فضای اقلیدسی n بعدی متعامد زوج باشند، آنگاه مبنایی را تشکیل می دهند. در واقع، بیایید هر دو طرف تساوی l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 را در هر بردار e i ضرب کنیم.  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 برای  i.

بردارهای e l , e 2 ,...e n فرم فضای اقلیدسی n بعدی مبنای متعارف، اگر این بردارها متعامد جفتی باشند و هنجار هر یک از آنها برابر با یک باشد، یعنی. اگر e i *e j = 0 برای i≠j и |е i | = 1 fori.

قضیه (بدون اثبات). در هر فضای اقلیدسی n بعدی یک مبنای متعارف وجود دارد.

یک مثال از یک مبنای متعارف، سیستمی از n بردار واحد e i است که مولفه i برابر با یک و اجزای باقیمانده برابر با صفر است. هر یک از این بردارها نامیده می شود ort. به عنوان مثال، بردارهای برداری (1، 0، 0)، (0، 1، 0) و (0، 0، 1) اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

زاویه بین بردارها

دو بردار داده شده $\overrightarrow(a)$ و $\overrightarrow(b)$ را در نظر بگیرید. اجازه دهید بردارهای $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ و $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ را از یک نقطه دلخواه $O$ کم کنیم، سپس زاویه $AOB$ نامیده می شود زاویه بین بردارهای $\overrightarrow(a)$ و $\overrightarrow(b)$ (شکل 1).

تصویر 1.

در اینجا توجه کنید که اگر بردارهای $\overrightarrow(a)$ و $\overrightarrow(b)$ هم جهت باشند یا یکی از آنها بردار صفر باشد، زاویه بین بردارها $0^0$ است.

نماد: $\widehat(\overrightarrow(a)،\overrightarrow(b))$

مفهوم حاصلضرب نقطه ای بردارها

از نظر ریاضی، این تعریف را می توان به صورت زیر نوشت:

حاصل نقطه در دو حالت می تواند صفر باشد:

اگر یکی از بردارها بردار صفر باشد (از آنجا که طول آن صفر است).

اگر بردارها متقابلاً عمود باشند (یعنی $cos(90)^0=0$).

همچنین توجه داشته باشید که اگر زاویه بین این بردارها تند باشد، حاصل ضرب اسکالر بزرگتر از صفر است (از $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) ، و کمتر از صفر اگر زاویه بین این بردارها منفرد باشد (از $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

مربوط به مفهوم حاصلضرب اسکالر مفهوم مربع اسکالر است.

تعریف 2

مربع اسکالر یک بردار $\overrightarrow(a)$ حاصل ضرب اسکالر این بردار با خودش است.

متوجه می شویم که مربع اسکالر برابر است با

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a) )\راست|\چپ|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

محاسبه حاصل ضرب نقطه ای از مختصات برداری

علاوه بر روش استاندارد برای یافتن مقدار حاصلضرب اسکالر که از تعریف بر می آید، راه دیگری نیز وجود دارد.

بیایید آن را در نظر بگیریم.

اجازه دهید بردارهای $\overrightarrow(a)$ و $\overrightarrow(b)$ به ترتیب مختصات $\left(a_1,b_1\right)$ و $\left(a_2,b_2\right)$ داشته باشند.

قضیه 1

حاصل ضرب اسکالر بردارهای $\overrightarrow(a)$ و $\overrightarrow(b)$ برابر است با مجموع حاصلضرب مختصات مربوطه.

از نظر ریاضی این را می توان به صورت زیر نوشت

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

اثبات

قضیه ثابت شده است.

این قضیه چندین پیامد دارد:

نتیجه 1: بردارهای $\overrightarrow(a)$ و $\overrightarrow(b)$ عمود هستند اگر و فقط اگر $a_1a_2+b_1b_2=0$

نتیجه 2: کسینوس زاویه بین بردارها برابر است با $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

ویژگی های حاصلضرب اسکالر بردارها

برای هر سه بردار و یک عدد واقعی $k$ موارد زیر صادق است:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

این ویژگی از تعریف مربع اسکالر (تعریف 2) ناشی می شود.

قانون سفر:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

این ویژگی از تعریف حاصلضرب اسکالر (تعریف 1) ناشی می شود.

قانون توزیع:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \پایان (شمارش)

با قضیه 1 داریم:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

قانون ترکیبی:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \پایان (شمارش)

با قضیه 1 داریم:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

مثالی از مسئله برای محاسبه حاصل ضرب اسکالر بردارها

مثال 1

حاصل ضرب اسکالر بردارهای $\overrightarrow(a)$ و $\overrightarrow(b)$ را پیدا کنید اگر $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ و $\left|\overrightarrow(b)\right |= 2$ و زاویه بین آنها برابر با $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$ است.

راه حل.

با استفاده از تعریف 1، دریافت می کنیم

برای $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

برای $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

برای $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

برای $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ راست)=-3\sqrt(2)\]

سخنرانی: مختصات برداری حاصل ضرب اسکالر بردارها; زاویه بین بردارها

مختصات برداری

بنابراین، همانطور که قبلا ذکر شد، یک بردار یک قطعه جهت دار است که شروع و پایان خاص خود را دارد. اگر ابتدا و انتها با نقاط خاصی نشان داده شوند، آنگاه مختصات خود را در صفحه یا در فضا دارند.

اگر هر نقطه مختصات خود را داشته باشد، می توانیم مختصات کل بردار را بدست آوریم.

فرض کنید بردار داریم که ابتدا و انتهای آن دارای نام ها و مختصات زیر است: A(A x ; Ay) و B(B x ; By)

برای بدست آوردن مختصات یک بردار معین، لازم است مختصات مربوط به ابتدا را از مختصات انتهای بردار کم کنیم:

برای تعیین مختصات یک بردار در فضا، از فرمول زیر استفاده کنید:

حاصل ضرب نقطه ای بردارها

دو روش برای تعریف مفهوم محصول اسکالر وجود دارد:

• روش هندسی. بر اساس آن، حاصل ضرب اسکالر برابر است با حاصل ضرب مقادیر این ماژول ها و کسینوس زاویه بین آنها.

• معنی جبری. از نظر جبر، حاصل ضرب اسکالر دو بردار، کمیت معینی است که از مجموع حاصلضرب بردارهای مربوطه به دست می آید.

اگر بردارها در فضا داده شوند، باید از فرمول مشابه استفاده کنید:

خواص:

• اگر دو بردار یکسان را به صورت اسکالر ضرب کنید، حاصل ضرب اسکالر آنها منفی نخواهد بود:

• اگر حاصل ضرب اسکالر دو بردار یکسان برابر با صفر باشد، این بردارها صفر در نظر گرفته می شوند:

• اگر بردار معینی در خودش ضرب شود، حاصل ضرب اسکالر برابر با مجذور مدول آن خواهد بود:

• حاصلضرب اسکالر خاصیت ارتباطی دارد، یعنی اگر بردارها مرتب شوند، حاصلضرب اسکالر تغییر نخواهد کرد:

• حاصل ضرب اسکالر بردارهای غیرصفر تنها در صورتی می تواند برابر با صفر باشد که بردارها بر یکدیگر عمود باشند:

• برای حاصل ضرب اسکالر بردارها، قانون جابجایی در مورد ضرب یکی از بردارها در عدد معتبر است:

• با حاصلضرب اسکالر، می توانید از خاصیت توزیعی ضرب نیز استفاده کنید:

زاویه بین بردارها

در مورد یک مسئله صفحه، حاصل ضرب اسکالر بردارهای a = (a x; a y) و b = (b x; b y) را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:

a b = a x b x + a y b y

فرمول حاصل ضرب اسکالر بردارها برای مسائل فضایی

در مورد یک مسئله فضایی، حاصل ضرب اسکالر بردارهای a = (a x; a y; a z) و b = (b x; b y; b z) را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

فرمول حاصل ضرب اسکالر بردارهای n بعدی

در مورد فضای n بعدی، حاصل ضرب اسکالر بردارهای a = (a 1؛ a 2؛ ...؛ a n) و b = (b 1؛ b 2؛ ...؛ b n) را می توان با استفاده از فرمول زیر:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

ویژگی های حاصلضرب اسکالر بردارها

1. حاصل ضرب اسکالر یک بردار با خودش همیشه بزرگتر یا مساوی صفر است:

2. حاصل ضرب اسکالر یک بردار با خودش برابر با صفر است اگر و فقط اگر بردار برابر با بردار صفر باشد:

a · a = 0<=>a = 0

3. حاصل ضرب اسکالر یک بردار با خودش برابر است با مجذور مدول آن:

4. عمل ضرب اسکالر ارتباطی است:

5. اگر حاصل ضرب اسکالر دو بردار غیر صفر برابر با صفر باشد، این بردارها متعامد هستند:

a ≠ 0، b ≠ 0، a b = 0<=>a ┴ ب

6. (αa) b = α(a b)

7. عمل ضرب اسکالر توزیعی است:

(a + b) c = a c + b c

نمونه هایی از مسائل برای محاسبه حاصل ضرب اسکالر بردارها

نمونه هایی از محاسبه حاصل ضرب اسکالر بردارها برای مسائل صفحه

حاصل ضرب اسکالر بردارهای a = (1; 2) و b = (4; 8) را بیابید.

راه حل: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

حاصل ضرب اسکالر بردارهای a و b را در صورتی که طول آنها |a| باشد را بیابید = 3، |b| = 6، و زاویه بین بردارها 60 درجه است.

راه حل: a · b = |a| · |ب| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

حاصل ضرب اسکالر بردارهای p = a + 3b و q = 5a - 3 b را در صورتی که طول آنها |a| = 3، |b| = 2، و زاویه بین بردارهای a و b 60 درجه است.

راه حل:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 | a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

مثالی از محاسبه حاصل ضرب اسکالر بردارها برای مسائل فضایی

حاصل ضرب اسکالر بردارهای a = (1؛ 2؛ -5) و b = (4؛ 8؛ 1) را بیابید.

راه حل: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

مثالی از محاسبه حاصل ضرب نقطه برای بردارهای n بعدی

حاصل ضرب اسکالر بردارهای a = (1؛ 2؛ -5؛ 2) و b = (4؛ 8؛ 1؛ -2) را بیابید.

راه حل: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. حاصل ضرب بردار و بردار نامیده می شود بردار سوم ، به شرح زیر تعریف می شود:

2) عمود، عمود. (1"")

3) جهت گیری بردارها به همان شکلی است که اساس کل فضا (مثبت یا منفی) است.

تعیین کننده: .

معنای فیزیکی محصول برداری

- گشتاور نیرو نسبت به نقطه O. - شعاع - بردار نقطه اعمال نیرو، سپس

علاوه بر این، اگر آن را به نقطه O منتقل کنیم، آنگاه تریپل باید به عنوان بردار پایه جهت گیری شود.