ریاضی که دوستش دارم عدد غیر قابل تصور گراهام بزرگترین عدد در جهان گراهام

اپی گراف
اگر برای مدت طولانی به ورطه نگاه کنی،
شما می توانید اوقات خوبی داشته باشید
مهندس مکانیک روح

به محض اینکه یک کودک (و این در حدود سه یا چهار سالگی اتفاق می افتد) می فهمد که همه اعداد به سه گروه "یک، دو و چند" تقسیم می شوند، بلافاصله سعی می کند بفهمد: چند نفر هستند، چند نفر با آنها متفاوت است. بسیار زیاد است، و ممکن است آنقدر زیاد باشد که دیگر اتفاق نیفتد. مطمئناً یک بازی جالب (برای آن سن) با والدین خود انجام داده اید که می توانند بیشترین نام را ببرند تعداد بزرگترو اگر جدش احمقتر از یک دانش آموز کلاس پنجمی نبود، همیشه برنده می شد و به ازای هر «میلیون» «دو میلیون» و به ازای هر «میلیارد» «دو میلیارد» یا «میلیارد بعلاوه یک» پاسخ می داد.

از قبل کلاس اول مدرسه همه اعداد را می دانند مجموعه بی نهایت، آنها هرگز پایان نمی یابند و بزرگترین عدد وجود ندارد. به ازای هر میلیون تریلیون میلیارد، همیشه می توانید بگویید «به علاوه یک» و همچنان برنده شوید. و کمی بعد این درک می رسد (باید بیاید!) که رشته های طولانی اعداد به خودی خود هیچ معنایی ندارند. همه این تریلیون ها میلیاردها تنها زمانی معنا پیدا می کنند که به عنوان نمایش تعداد معینی از اشیا یا توصیف یک پدیده خاص عمل کنند. هیچ مشکلی برای بدست آوردن یک عدد طولانی وجود ندارد که چیزی جز مجموعه ای از اعداد با صدای بلند را نشان نمی دهد؛ در حال حاضر تعداد نامحدودی از آنها وجود دارد. علم، تا حدی مجازی، در جستجوی ترکیبات بسیار خاص از اعداد در این ورطه وسیع است و به برخی از آنها می افزاید. پدیده فیزیکیمانند سرعت نور، عدد آووگادرو یا ثابت پلانک.

و بلافاصله این سوال مطرح می شود که بزرگترین عدد در جهان که به معنای چیزی است چیست؟ در این مقاله سعی خواهم کرد در مورد هیولای دیجیتالی به نام عدد گراهام صحبت کنم، اگرچه به طور دقیق، علم اعداد بزرگتر را می شناسد. عدد گراهام پرهیجان‌ترین و شاید بتوان گفت «شنیده‌شده»‌ترین عدد در میان عموم است، زیرا توضیح آن بسیار ساده است و در عین حال به اندازه‌ای بزرگ است که سرها را برگرداند. به طور کلی، در اینجا لازم است یک سلب مسئولیت کوچک (هشدار روسیه) اعلام شود. شاید شوخی به نظر برسد، اما من اصلا شوخی نمی کنم. من کاملاً جدی می گویم - کاوش دقیق در چنین اعماق ریاضی، همراه با گسترش لجام گسیخته مرزهای ادراک، می تواند تأثیر جدی بر جهان بینی، موقعیت فرد در جامعه داشته باشد (و خواهد داشت) و در نهایت، روی ژنرال وضعیت روانیچیدن، یا بیایید بیل را بیل بنامیم، راه را برای حماقت باز می کند. نیازی نیست متن زیر را با دقت زیاد بخوانید و مطالبی را که در آن توضیح داده شده خیلی واضح و واضح تصور نکنید. و بعداً نگویید که به شما هشدار داده نشده است!

انگشتان:

قبل از اینکه به سراغ اعداد هیولا برویم، ابتدا روی گربه ها تمرین کنیم. اجازه دهید یادآوری کنم که برای توصیف اعداد بزرگ (نه هیولاها، بلکه به سادگی اعداد بزرگ) استفاده از علمی یا به اصطلاح راحت است. نماد نمایی

وقتی آنها مثلاً در مورد تعداد ستارگان جهان (در جهان قابل مشاهده) صحبت می کنند، هیچ احمقی به خود زحمت نمی دهد که تعداد ستارگان به معنای واقعی کلمه را با دقت محاسبه کند. آخرین ستاره. اعتقاد بر این است که تقریباً 10 21 قطعه وجود دارد. و این یک تخمین کمتر است. این بدان معنی است که تعداد کل ستاره ها را می توان با عددی بیان کرد که 21 صفر بعد از یک دارد، یعنی. "1,000,000,000,000,000,000,000."

قسمت کوچکی از آنها (حدود 100000) به این صورت است: خوشه کرویامگا قنطورس.

به طور طبیعی، زمانی که ما در مورددر مورد چنین مقیاس هایی، اعداد واقعی نقش مهمی در عدد ندارند، همه چیز بسیار مشروط و تقریبی است. تعداد واقعی ستارگان در کیهان ممکن است "1,564,861,615,140,168,357,973" یا شاید "9,384,684,643,798,468,483,745" باشد. یا حتی "3 333 333 333 333 333 333 333"، چرا که نه، اگرچه بعید است، البته. در کیهان شناسی، علم خصوصیات جهان به عنوان یک کل، با چنین چیزهای کوچکی زحمت نمی کشیم. نکته اصلی این است که تصور کنید تقریباً این عدد از 22 رقم تشکیل شده است ، که باعث می شود آن را به عنوان یک و به دنبال آن 21 صفر در نظر بگیرید و آن را به عنوان 10 21 بنویسید. قانون کلی و بسیار ساده است. چه رقم یا عددی به جای مدرک (چاپ شده چاپ کوچکدر اینجا بالای 10)، اگر آن را به شکلی ساده، با علائم پشت سر هم و نه علمی نقاشی کنید، تعداد زیادی صفر بعد از یک در این عدد خواهد بود. برخی از اعداد دارای "اسم انسانی" هستند، به عنوان مثال ما 10 3 را "هزار"، 10 6 - "میلیون" و 10 9 - "میلیارد" می نامیم، اما برخی از آنها نه. فرض کنید 10 59 یک نام پذیرفته شده عمومی ندارد. و 10 21، به هر حال، آن را دارد - این یک "sextillion" است.

هر چیزی که به یک میلیون می رسد تقریباً برای هر شخصی به طور شهودی روشن است، زیرا چه کسی نمی خواهد میلیونر شود؟ سپس برخی افراد شروع به مشکلات می کنند. اگرچه تقریباً همه یک میلیارد را می شناسند (10 9). حتی می توانید تا یک میلیارد بشمارید. اگر درست بعد از تولد، به معنای واقعی کلمه در لحظه تولد، شروع به شمردن یک ثانیه "یک، دو، سه، چهار..." کنید و نخوابید، ننوشید، نخورید، بلکه فقط شب و روز بی‌وقفه بشمارید، بشمارید، سپس وقتی 32 ساله شدید، می‌توانید تا یک میلیارد بشمارید، زیرا 32 چرخش زمین به دور خورشید حدود یک میلیارد ثانیه طول می‌کشد.

7 میلیارد نفر تعداد افراد روی کره زمین است. بر اساس موارد فوق، شمارش همه آنها به ترتیب در طول زندگی انسان کاملاً غیرممکن است، شما باید بیش از دویست سال زندگی کنید.

100 میلیارد (10 11) - این تعداد یا چند نفر در طول تاریخ این سیاره زندگی کرده اند. مک دونالد در طول 50 سال فعالیت خود تا سال 1998 100 میلیارد همبرگر فروخت. 100 میلیارد ستاره (خوب، کمی بیشتر) در کهکشان ما هستند راه شیریو خورشید یکی از آنهاست. کیهان قابل مشاهده دارای همان تعداد کهکشان است. 100 میلیارد نورون در مغز انسان وجود دارد. و همین تعداد باکتری بی هوازی در سکوم هر کسی که این سطور را می خواند زندگی می کند.
تریلیون (10 12) عددی است که به ندرت استفاده می شود. شمردن تا یک تریلیون غیرممکن است، 32 هزار سال طول می کشد. یک تریلیون ثانیه پیش، مردم در غارها زندگی می کردند و ماموت ها را با نیزه شکار می کردند. بله، یک تریلیون ثانیه پیش ماموت ها روی زمین زندگی می کردند. تقریباً یک تریلیون ماهی در اقیانوس های این سیاره وجود دارد. کهکشان آندرومدا همسایه ما حدود یک تریلیون ستاره دارد. یک انسان از 10 تریلیون سلول تشکیل شده است. تولید ناخالص داخلی روسیه در سال 2013 بالغ بر 66 تریلیون روبل (در سال 2013 روبل) بود. از زمین تا زحل، 100 تریلیون سانتی‌متر و در مجموع به همین تعداد حروف در تمام کتاب‌هایی که تا کنون منتشر شده، چاپ شده است.

یک کوادریلیون (10 15، میلیون میلیارد) تعداد مورچه های این سیاره است. افراد عادی این کلمه را با صدای بلند نمی گویند، خوب، آن را قبول کنید، زمانی که شما آخرین بارآیا در یک مکالمه "یک چهار میلیارد چیزی" شنیدید؟

کوئینتیلیون (10 18، میلیارد میلیارد) - این تعداد تنظیمات ممکن هنگام حل یک مکعب روبیک 3x3x3 است. همچنین تعداد متر مکعب آب در اقیانوس های جهان.
Sextillion (10 21) - ما قبلاً با این عدد روبرو شده ایم. تعداد ستارگان در جهان قابل مشاهده تعداد دانه های شن در تمام بیابان های روی زمین. تعداد ترانزیستورها در تمام وسایل الکترونیکی موجود بشر، اگر اینتل به ما دروغ نمی گفت.

10 سکسیلیون (10 22) تعداد مولکول های موجود در یک گرم آب است.

10 24 جرم زمین بر حسب کیلوگرم است.

10 26 قطر جهان قابل مشاهده بر حسب متر است، اما شمارش بر حسب متر چندان راحت نیست؛ مرزهای پذیرفته شده جهان قابل مشاهده 93 میلیارد سال نوری است.
علم با ابعاد بزرگتر از جهان قابل مشاهده عمل نمی کند. ما مطمئناً می دانیم که جهان قابل مشاهده نیست کل، کل، کل کیهان. این همان بخشی است که ما، حداقل به لحاظ نظری، می توانیم آن را ببینیم و مشاهده کنیم. یا ممکن است در گذشته آن را دیده باشند. یا زمانی در آینده ای دور قادر خواهیم بود آن را ببینیم و در چارچوب علم مدرن باقی بمانیم. از بقیه جهان، حتی با سرعت نور، سیگنال ها نمی توانند به ما برسند، به همین دلیل است که این مکان ها، از نظر ما، به نظر نمی رسد وجود داشته باشند. چقدر بزرگ است جهان بزرگهیچ کس واقعا نمی داند شاید یک میلیون برابر بیشتر از Observable. یا شاید یک میلیارد. یا شاید حتی بی پایان. من به شما می گویم، این دیگر علم نیست، بلکه فال روی تفاله قهوه است. دانشمندان حدس هایی دارند، اما این بیشتر خیالی است تا واقعیت.

برای تجسم مقیاس کیهانیمطالعه این تصویر با گسترش آن به حالت تمام صفحه مفید است.

با این حال، حتی در جهان قابل مشاهده نیز می توانید بسیار بیشتر از متر جمع کنید.

10 51 اتم سیاره زمین را تشکیل می دهند.

10 80 مقدار تقریبی ذرات بنیادیدر جهان قابل مشاهده

10 90 تعداد تقریبی فوتون های موجود در کیهان قابل مشاهده است. تعداد آنها تقریباً 10 میلیارد برابر بیشتر از ذرات بنیادی، الکترون ها و پروتون ها است.
10 100 - گوگول. این عدد از نظر فیزیکی معنی خاصی ندارد، فقط گرد و زیبا است. شرکتی که هدف خود را ایندکس کردن پیوندهای گوگل قرار داده بود (البته به شوخی، این تعداد بیشتر از تعداد ذرات بنیادی در جهان است!) در سال 1998 نام گوگل را برگزید.

10122 پروتون برای پر کردن جهان قابل مشاهده تا حد ظرفیت، محکم، پروتون به پروتون، انتها به انتها مورد نیاز است.

جهان قابل مشاهده 10185 جلد پلانک را اشغال می کند. علم ما مقادیر کوچکتر از حجم پلانک (مکعبی با طول پلانک 10-35 متر) نمی شناسد. مطمئناً، مانند جهان، چیزی حتی کوچکتر در آنجا وجود دارد، اما دانشمندان هنوز فرمول های معقولی برای چنین چیزهای کوچکی ارائه نکرده اند، این فقط یک حدس و گمان است.

به نظر می رسد که 10185 یا بیشتر بزرگترین عددی است که در اصل می تواند به معنای چیزی باشد. علم مدرن. در علمی که می تواند لمس و سنجش باشد. این چیزی است که وجود دارد یا می تواند وجود داشته باشد اگر اتفاق بیفتد که ما همه چیزهایی را که باید در مورد جهان می دانستیم یاد گرفته باشیم. این عدد از 186 رقم تشکیل شده است:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

البته علم به اینجا ختم نمی‌شود، اما فراتر از آن، نظریه‌ها، حدس‌ها و حتی فقط خراش‌ها و مسابقه‌های شبه علمی وجود دارد. به عنوان مثال، احتمالاً در مورد نظریه تورم شنیده اید، که طبق آن، شاید جهان ما تنها بخشی از یک چندجهانی عمومی تر باشد، که در آن این جهان ها مانند حباب هایی در اقیانوسی از شامپاین هستند.

یا در مورد نظریه ریسمان شنیده اید که طبق آن می توان حدود 10500 پیکربندی از ارتعاشات ریسمان وجود داشته باشد که به معنای همان تعداد جهان های بالقوه است که هر کدام قوانین خاص خود را دارند.
هرچه به جنگل جلوتر می‌رویم، فیزیک نظری و علم به طور کلی در تعداد فزاینده‌ای باقی می‌ماند و در پشت ستون‌های صفر، ملکه علوم به طور فزاینده‌ای خالص و بدون ابر ظاهر می‌شود. ریاضیات فیزیک نیست، هیچ محدودیتی وجود ندارد و چیزی برای خجالت وجود ندارد، لذت ببرید، صفرها را در فرمول ها بنویسید تا زمانی که رها کنید.
من فقط به googolplex اشاره می کنم که برای بسیاری شناخته شده است. عددی که دارای یک گوگول از ارقام، ده به توان یک گوگول (10 googol)، یا ده به توان ده به توان ده به توان صد (10 10 100) است (ویرایشگر به شما اجازه نمی دهد که یک تکرار دیگر را انجام دهید. قدرت، شما باید از یک عکس استفاده کنید، یا من یک اسلش قرار می دهم (/)

.
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
من آن را با اعداد نمی نویسم. Googolplex مطلقاً معنی ندارد. یک شخص نمی تواند یک googolplex چیزی را تصور کند، از نظر فیزیکی غیرممکن است. برای نوشتن چنین عددی، به کل جهان قابل مشاهده نیاز دارید، اگر با یک "نانو قلم" مستقیماً در خلاء بنویسید، در واقع در سلول های پلانک کیهان. بیایید همه مواد را به جوهر تبدیل کنیم و جهان را فقط با اعداد جامد پر کنیم، سپس یک googolplex خواهیم داشت. اما ریاضی‌دانان (آدم‌های وحشتناک!) فقط با Googolprex خود را گرم می‌کنند، این پایین‌ترین نواری است که هیچ‌کس واقعی از آن شروع می‌کند. و اگر فکر می کنید که googolplex به قدرت googolplex چیزی است که ما در مورد آن صحبت می کنیم، نمی دانید چقدر در اشتباه هستید.
افراد زیادی Googleplex را دنبال می کنند اعداد جالببا داشتن این یا آن نقش در اثبات های ریاضی، بیایید مستقیماً به سراغ عدد گراهام برویم که به نام (خوب، طبیعتا) ریاضیدان رونالد گراهام نامگذاری شده است. ابتدا به شما می گویم که چیست و برای چه چیزی لازم است، پس از آن به صورت مجازی و روی انگشتانم اندازه آن را توصیف می کنم و سپس خود عدد را می نویسم. به طور دقیق تر، سعی می کنم آنچه را که نوشتم توضیح دهم.
شماره گراهام در مقاله ای به حل یکی از مسائل نظریه رمزی اختصاص یافته بود، و "رمزی" در اینجا یک جرون ناقص نیست، بلکه نام خانوادگی ریاضیدان دیگری به نام فرانک رمزی است. البته این کار از دیدگاه افراد غیر عادی بسیار دور از ذهن است، اگرچه خیلی پیچیده نیست و حتی به راحتی قابل درک است.
مکعبی را تصور کنید که همه رئوس آن با قطعات خطی از دو رنگ قرمز یا آبی به هم متصل شده اند. به ترتیب تصادفی متصل و رنگی شده است. برخی قبلا حدس زده اند که در مورد شاخه ای از ریاضیات به نام ترکیبیات صحبت خواهیم کرد.
6

آیا می‌توانیم پیکربندی رنگ‌ها را بسازیم و انتخاب کنیم (و فقط دو تا از آن‌ها وجود دارد - قرمز و آبی) به طوری که هنگام رنگ‌آمیزی این بخش‌ها، تمام بخش‌های همرنگ را که چهار رأس را به هم متصل می‌کنند، نگیریم. همان هواپیما؟ در این مورد، آنها چنین رقمی را نشان نمی دهند:
7

می توانید خودتان در مورد آن فکر کنید، مکعب را در تخیل خود جلوی چشمان خود بچرخانید، انجام این کار چندان دشوار نیست. دو رنگ وجود دارد، مکعب دارای 8 رأس (گوشه) است، یعنی 28 بخش وجود دارد که آنها را به هم متصل می کند، می توانید پیکربندی رنگ آمیزی را به گونه ای انتخاب کنید که شکل بالا را در هیچ کجا بدست نیاوریم، خطوط چند رنگ وجود داشته باشد. در تمام هواپیماهای ممکن
اگر ابعاد بیشتری داشته باشیم چه؟ اگر نه یک مکعب، بلکه یک مکعب چهار بعدی، یعنی. تسراکت؟ آیا می توانیم همان ترفندی را که با سه بعدی انجام دادیم انجام دهیم؟
8

من حتی توضیح نمی دهم که مکعب چهار بعدی چیست، آیا همه می دانند؟ یک مکعب چهار بعدی 16 رأس دارد. و نیازی نیست که مغز خود را جمع کنید و سعی کنید یک مکعب چهار بعدی را تصور کنید. این ریاضیات محض است. من به تعداد ابعاد نگاه کردم، آن را به فرمول وصل کردم و تعداد رئوس، لبه ها، وجه ها و غیره را بدست آوردم. بنابراین یک مکعب چهار بعدی دارای 16 رأس و 120 قطعه است که آنها را به هم متصل می کند. تعداد ترکیب های رنگ آمیزی در حالت چهار بعدی بسیار بیشتر از حالت سه بعدی است، اما حتی در اینجا نیز شمارش، تقسیم، کاهش و مواردی از این دست کار چندان دشواری نیست. به طور خلاصه، دریابید که در فضای چهار بعدی نیز می توانید خلاقیت خود را در رنگ آمیزی بخش های یک ابرمکعب به گونه ای انجام دهید که همه خطوط همرنگ که 4 راس را به هم متصل می کنند در یک صفحه قرار نگیرند.
در بعد پنجم؟ و در بعد پنجم که مکعب را پنتراکت یا پنتا مکعب می گویند نیز ممکن است.
و در شش بعدی.
و سپس مشکلاتی وجود دارد. گراهام نتوانست از نظر ریاضی ثابت کند که یک ابر مکعب هفت بعدی می تواند چنین عملیاتی را انجام دهد. هم هشت بعدی و هم نه بعدی و غیره. اما معلوم شد که این "و غیره" تا بی نهایت نمی رود، بلکه با عدد بسیار بزرگی به پایان می رسد که "عدد گراهام" نامیده می شود.
یعنی مقداری حداقل بعد از هایپرمکعب وجود دارد که در آن شرایط نقض می‌شود و دیگر نمی‌توان از ترکیب رنگ‌آمیزی بخش‌ها به‌گونه‌ای اجتناب کرد که چهار نقطه از همان رنگ در یک صفحه قرار گیرند. و این حداقل بعد قطعا بیش از شش و قطعا کمتر از عدد گراهام است، این اثبات ریاضی دانشمند است.
و اکنون تعریف آنچه در بالا در چندین پاراگراف توضیح دادم، به زبان خشک و خسته کننده (اما پر ظرفیت) ریاضیات. نیازی به درک نیست، اما نمی توانم آن را مطرح نکنم.
یک ابر مکعب n بعدی در نظر بگیرید و همه جفت رئوس را به هم متصل کنید تا یک نمودار کامل با 2n راس به دست آورید. بیایید هر لبه این نمودار را یا قرمز یا رنگ کنیم رنگ ابی. در چه کمترین مقدار n آیا هر رنگ آمیزی لزوماً حاوی یک زیرگراف کامل تک رنگ با چهار رأس است که همه آنها در یک صفحه قرار دارند؟
در سال 1971، گراهام ثابت کرد که این مشکل راه حلی دارد و این راه حل (تعداد ابعاد) بین عدد 6 و تعدادی بزرگتر است که بعدها (نه توسط خود نویسنده) به نام او نامگذاری شد. در سال 2008، اثبات بهبود یافت، کران پایین افزایش یافت، و اکنون تعداد مورد نیاز ابعاد بین عدد 13 و عدد گراهام قرار دارد. ریاضیدانان نمی خوابند، کار ادامه دارد، دامنه محدود می شود.
سال ها از دهه 70 می گذرد، آنها پیدا شدند مشکلات ریاضیکه در آن اعداد بزرگتر از گراهام ظاهر می شود، اما این اولین عدد هیولا، معاصرانی را که مقیاس مورد بحث ما را درک می کردند، چنان شگفت زده کرد که در سال 1980 در کتاب رکوردهای گینس به عنوان "بزرگترین عددی که تا به حال در یک اثبات دقیق ریاضی دخیل بوده" در کتاب رکوردهای گینس ثبت شد. آن لحظه.
بیایید سعی کنیم بفهمیم چقدر بزرگ است. بزرگترین عددی که می تواند داشته باشد معنای فیزیکی 10 185، و اگر کل جهان قابل مشاهده با مجموعه ای به ظاهر بی پایان از اعداد کوچک پر شود، چیزی متناسب با googolplex.
9

آیا می توانید این وسعت را تصور کنید؟ جلو، عقب، بالا، پایین، تا آنجا که چشم می بیند و تا آنجا که چشم می بیند تلسکوپ هابلو حتی تا آنجا که کافی نیست، به دورترین کهکشان ها و نگاه به فراتر از آنها - اعداد، اعداد، اعداد بسیار کوچکتر از یک پروتون. چنین کیهانی، البته، برای مدت طولانی نمی تواند وجود داشته باشد؛ بلافاصله به یک سیاهچاله فرو خواهد ریخت. آیا به خاطر دارید چه مقدار اطلاعات از نظر تئوری می تواند در کیهان جای بگیرد؟ من به شما گفتم.
تعداد واقعاً زیاد است، ذهن شما را به هم می زند. این دقیقاً برابر با googolplex نیست و نامی ندارد، بنابراین من آن را "dochulion" می نامم. فقط بهش فکر کردم چرا که نه تعداد سلول های پلانک در جهان قابل مشاهده و هر سلول حاوی یک عدد است. این عدد شامل 10185 رقم است و می توان آن را 10 10 185 نوشت.
dochulion = 10 10 185
بیایید درهای ادراک را کمی بازتر باز کنیم. تئوری تورم را به خاطر دارید؟ که جهان ما تنها یکی از حباب های متعدد در چندجهانی است. اگر ده ها حباب از این دست را تصور کنید چه؟ بیایید یک عدد را تا زمانی که همه چیز وجود دارد در نظر بگیریم و یک چندجهانی را با تعداد مشابهی از جهان ها تصور کنیم که ظرفیت هر یک از آنها با اعداد پوشیده شده است - یک دوچولیون از دوچولیون ها به دست می آوریم. آیا می توانید این را تصور کنید؟ چگونه در نیستی میدان اسکالر شناور میشوی و اطرافت جهانها-جهانها هستند و در آنها عدد-اعداد-اعداد... امیدوارم چنین کابوس (البته چرا کابوس؟) عذاب ندهد ( و چرا عذاب؟) یک خواننده بیش از حد تأثیرپذیر در شب.
برای راحتی، این عملیات را "تلنگر" می نامیم. یک حرف بیهوده که انگار کیهان را گرفتند و به بیرون چرخاندند، بعد از نظر اعداد داخل بود، اما حالا برعکس، به تعداد عددی که وجود دارد، ما در بیرون جهان داریم و هر جعبه پر است، خودش همه. در اعداد همانطور که پوست انار را جدا می کنید، پوسته را خم می کنید، دانه ها از داخل بیرون می آیند و در دانه ها دوباره انار وجود دارد. من هم در پرواز به این ایده رسیدم، چرا که نه، این یک سواری عالی با dokhulion بود.
من به چه چیزی می رسم؟ آیا باید سرعت خود را کاهش دهید؟ بیا، هوبا، و یک تلنگر دیگر! و اکنون به تعداد اعدادی که در جهان‌ها وجود داشت، جهان داریم که تعداد آنها برابر با یک میلیون عدد بود که جهان ما را پر کرده بود. و بلافاصله، بدون توقف، دوباره ورق بزنید. و چهارم و پنجم. دهم، هزارم. آیا با افکار خود ادامه می دهید، هنوز هم می توانید تصویر را تصور کنید؟
بیایید زمان را برای چیزهای بی اهمیت تلف نکنیم، بیایید بال های تخیل را باز کنیم، به حداکثر سرعت برسیم و تلنگرهای تلنگر را برگردانیم. ما هر کیهان را به اندازه چند ده جهان در تلنگر قبلی که یک تلنگر از جهان قبل بود، به همان اندازه به بیرون می چرخانیم که... اوه... خوب، دنبال می کنی؟ یه جایی مثل این حالا اجازه می دهیم شماره ما، مثلاً «دوهولیارد» شود.
dohuliard = تلنگر تلنگر
ما متوقف نمی‌شویم و تا زمانی که قدرت داریم به چرخش دوهولیارد ادامه می‌دهیم. تا تو چشمات تاریک بشه تا بخوای جیغ بزنی. در اینجا هر کسی پینوکیوی شجاع خودش است، کلمه امن "پنیر پنیر" خواهد بود.
پس اینجاست. این ها برای چیست؟ دوهولیون های عظیم و بی نهایت از تلنگرها و دوهولیاردهای جهان های اعداد کامل را نمی توان با عدد گراهام مقایسه کرد. آنها حتی سطح را خراش نمی دهند. اگر عدد گراهام به عنوان یک چوب نشان داده شود که به طور سنتی در سراسر جهان قابل مشاهده کشیده شده است، آن‌گاه چیزی که در اینجا به آن دست یافته‌ایم یک بریدگی ضخامت خواهد بود... خوب... چگونه می‌توانم آن را ملایم بگویم.. غیر قابل ذکر است. بنابراین، من آن را به بهترین شکل ممکن نرم کردم.
حالا بیایید استراحت کنیم و استراحت کنیم. خواندیم، شمردیم، چشمان کوچکمان خسته بود. بیایید شماره گراهام را فراموش کنیم، ما هنوز باید بخزیم و بخزیم تا به آن برسیم، بیایید تمرکز چشم‌هایمان را از بین ببریم، استراحت کنیم، روی یک عدد کوچک‌تر و کاملاً کوچک‌تر، که آن را g 1 می‌نامیم، مدیتیشن کنیم، و آن را تنها در شش ماه دیگر یادداشت کنیم. شخصیت ها:
g 1 = 33
عدد g 1 برابر است با "سه، چهار فلش، سه." چه مفهومی داره؟ این همان چیزی است که روش نوشتن به نام نماد پیکان Knuth به نظر می رسد.
برای جزئیات و جزئیات، می توانید مقاله را در ویکی پدیا بخوانید، اما فرمول هایی در آنجا وجود دارد، من به طور خلاصه آن را بازگو می کنم. به زبان ساده.
یک فلش به معنای توان معمولی است.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000
دو فلش به وضوح به معنای بالا بردن به یک قدرت یک قدرت است.
23 = 222 = 2 2/ 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3/ 3 = 3 27 = 7,625,597,484,987 (بیش از 7 تریلیون)
34 = 3333 = 3 3/ 3/ 3 = 3 7 625 597 484 987 = عددی با حدود 3 تریلیون رقم
35 = 33333 = 3 3/ 3/ 3/ 3 = 3 3/ 7 625 597 484 987 = 3 به توان یک عدد با 3 تریلیون رقم - googolplex در حال حاضر بد است
به طور خلاصه، "عدد فلش یک عدد دیگر" نشان می دهد که ارتفاع قدرت ها چقدر است (ریاضیدانان می گویند "b اشنیا") از عدد اول ساخته شده است. به عنوان مثال، 58 به معنای برج هشت پنج تایی است و به قدری بزرگ است که نمی توان آن را روی هیچ ابررایانه ای حتی در تمام رایانه های روی کره زمین به طور همزمان محاسبه کرد.
به طور خلاصه، "عدد فلش یک عدد دیگر" نشان می دهد که چه ارتفاعی از قدرت ها (ریاضیدانان می گویند "برج") از عدد اول ساخته شده است. به عنوان مثال، 58 به معنای برج هشت پنج تایی است و به قدری بزرگ است که نمی توان آن را روی هیچ ابررایانه ای حتی در تمام رایانه های روی کره زمین به طور همزمان محاسبه کرد.

بیایید به سراغ سه فلش برویم. اگر فلش دوتایی ارتفاع برج درجه را نشان می داد، به نظر می رسد فلش سه گانه نشان دهنده "ارتفاع برج ارتفاع برج" است؟ چه جهنمی! در مورد سه، ما ارتفاع برج، ارتفاع برج، ارتفاع برج را داریم (در ریاضیات چنین مفهومی وجود ندارد، تصمیم گرفتم آن را "بدون برج" بنامم). چیزی شبیه به این: 11

یعنی 33 یک برج دیوانه از سه قلوها به ارتفاع 7 تریلیون تشکیل می دهد. 7 تریلیون سه تایی که روی هم چیده شده و "دیوانه" نامیده می شوند چیست؟ اگر این متن را با دقت خوانده باشید و در همان ابتدا نخوابیدید، احتمالاً به یاد دارید که از زمین تا زحل 100 تریلیون سانتی متر فاصله دارد. سه مورد نشان داده شده روی صفحه با فونت دوازدهم، این یکی - 3 - پنج میلی متر ارتفاع دارد. این یعنی یک سری سه تایی دیوانه از صفحه نمایش شما کشیده می شود ... البته نه به زحل. حتی نمی توان به خورشید رسید، فقط یک چهارم واحد نجومی، تقریباً مشابه از زمین تا مریخ در هوای خوب. لطفاً توجه داشته باشید (نخواب!) که بی پروایی عددی به اندازه طول زمین تا مریخ نیست، بلکه برج درجه خیلی بلند. به یاد داریم که پنج سه قلو در این برج گوگول پلکس را می پوشانند، با محاسبه اولین دسی متر سه قلوها، تمام فیوزهای رایانه های سیاره می سوزد و میلیون ها کیلومتر درجه باقیمانده به نظر می رسد فایده ای نداشته باشد، آنها به سادگی خواننده را مسخره می کنند و شمارش می کنند. آنها بی فایده و غیر ممکن است.
12

اکنون مشخص است که 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 بی برج، (نه 3 به درجه بی برج، بلکه "سه تیر دیوانه" (!))، که بی پروایی بی برج نامیده می شود نه در طول و نه ارتفاع مناسب نیست. به جهان قابل مشاهده، و حتی در چند جهان فرضی قرار نخواهد گرفت.
در 35 = 33333 کلمات به پایان می رسند و در 36 = 333333 حروف پایان می یابند، اما اگر علاقه دارید می توانید تمرین کنید.
بیایید به سراغ چهار فلش برویم. همانطور که قبلاً حدس زدید، در اینجا مرد دیوانه روی مرد دیوانه می نشیند، او دیوانه ها را رانندگی می کند، و همه چیز یکسان است چه با برج و چه بدون برج. من فقط بی صدا تصویری می دهم که طرح محاسبه چهار فلش را نشان می دهد، زمانی که هر عدد بعدی از برج درجه، ارتفاع برج درجه را تعیین می کند، که ارتفاع برج درجه را تعیین می کند، که ارتفاع برج را تعیین می کند. برج درجات... و همینطور تا خود فراموشی.

محاسبه آن بی فایده است و کار نخواهد کرد. تعداد درجات در اینجا قابل شمارش نیست. تصور این عدد غیرممکن است، توصیف آن غیرممکن است. هیچ قیاس انگشتی ™ قابل استفاده نیست، به سادگی چیزی برای مقایسه عدد وجود ندارد. می توانیم بگوییم که بزرگ است، با شکوه است، به یاد ماندنی است و فراتر از افق رویدادها می نگرد. یعنی چند لقب لفظی به آن بدهید. اما تجسم، حتی آزاد و تخیلی، غیرممکن است. اگر با سه تیر هنوز هم می شد چیزی گفت، بی پروایی را از زمین به مریخ کشید، به نحوی آن را با چیزی مقایسه کرد، پس به سادگی نمی توان هیچ تشبیهی داشت. سعی کنید یک برج نازک از سه قلوها را از زمین تا مریخ تصور کنید، در کنار دیگری تقریباً مشابه، و دیگری، و دیگری... یک میدان بی پایان از برج ها به دوردست ها می رود، به بی نهایت، همه جا برج ها، همه جا برج ها. و آنچه توهین آمیز است این است که این برج ها حتی ربطی به تعداد ندارند، آنها فقط ارتفاع برج های دیگری را تعیین می کنند که برای به دست آوردن ارتفاع برج ها باید ساخته شوند. برج ها... به طوری که بعد از مدت زمان و تکرار غیرقابل تصوری به خود شماره می رسند.
این همان چیزی است که g 1 است، آن چیزی است که 33 است.
استراحت کردی؟ اکنون، از g 1، با قدرتی تازه به حمله به شماره گراهام باز می گردیم. آیا توجه کرده اید که چگونه تشدید از فلش به فلش افزایش می یابد؟
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = برج، ارتفاع زمین تا مریخ.
33 = عددی که تصور یا توصیف آن غیرممکن است.
آیا می توانید تصور کنید که چه نوع کابوس دیجیتالی رخ می دهد که تیرانداز پنج ساله است؟ چه زمانی شش نفر هستند؟ آیا می توانید تعداد زمانی که تیرانداز صد نفر باشد را تصور کنید؟ اگر می توانید عدد g 2 را که در آن تعداد این فلش ها برابر با g 1 می شود را به اطلاع شما برسانم. به یاد داشته باشید که g 1 چیست، درست است؟

هر آنچه که تا به حال نوشته شده است، این همه محاسبات، درجات و برج هایی که در چند جهان چندگانه نمی گنجد، فقط برای یک چیز لازم بوده است. برای نشان دادن تعداد فلش ها در عدد g 2. در اینجا نیازی به شمردن چیزی نیست، فقط می توانید بخندید و دست خود را تکان دهید.
من آن را پنهان نمی کنم، g 3 نیز وجود دارد که حاوی فلش های g 2 است. به هر حال، آیا هنوز مشخص است که g 3 g 2 "به قدرت" g 2 نیست، بلکه تعداد افراد دیوانه ای است که ارتفاع برج های دیوانه را تعیین می کنند که ارتفاع را تعیین می کنند ... و غیره در کل زنجیر کردن به مرگ حرارتی کیهان؟ اینجاست که می توانید شروع به گریه کنید.
چرا گریه؟ چون این کاملا درست است. همچنین عدد g 4 وجود دارد که حاوی فلش های g 3 بین سه قلوها است. g 5 هم هست، g 6 و g 7 و g 17 و g 43 هست...
به طور خلاصه، 64 مورد از این g وجود دارد. هر مورد قبلی از نظر عددی برابر با تعداد فلش های بعدی است. آخرین g 64 عدد گراهام است که همه چیز به ظاهر معصومانه با آن شروع شد. این تعداد ابعاد هایپرمکعب است که قطعاً برای رنگ آمیزی صحیح بخش ها با رنگ های قرمز و آبی کافی است. شاید کمتر، این، به اصطلاح، حد بالایی است. به صورت زیر نوشته شده است:

بزرگترین عددی که در جهان به معنای چیزی است چیست؟ در این مقاله سعی خواهم کرد در مورد یک هیولای دیجیتالی به نام عدد گراهام صحبت کنم.

sly2m.livejournal.com می نویسد

منبع:

اگر برای مدت طولانی به ورطه خیره شوید، می توانید اوقات خوبی را سپری کنید.
مهندس مکانیک روح

شماره انگشت گراهام™

به محض اینکه یک کودک (و این در حدود سه یا چهار سالگی اتفاق می افتد) می فهمد که همه اعداد به سه گروه "یک، دو و چند" تقسیم می شوند، بلافاصله سعی می کند بفهمد: چقدر زیاد است، چقدر زیاد است. با خیلی ها فرق می کند و اینکه آیا ممکن است آنقدر زیاد باشد که دیگر وجود نداشته باشد. مطمئناً شما یک بازی جالب (برای آن سن) با والدین خود انجام داده اید، که می توانند بیشترین تعداد را نام ببرند، و اگر جد شما احمق تر از یک دانش آموز کلاس پنجمی نبود، همیشه برنده بود و به ازای هر "میلیون" "دو میلیون" پاسخ می داد. ، و "دو میلیون" برای "میلیارد" - "دو میلیارد" یا "میلیارد بعلاوه یک".

از قبل کلاس اول مدرسه، همه می دانند که تعداد نامتناهی اعداد وجود دارد، آنها هرگز تمام نمی شوند و چیزی به نام بزرگترین عدد وجود ندارد. به ازای هر میلیون تریلیون میلیارد، همیشه می توانید بگویید «به علاوه یک» و همچنان برنده شوید. و کمی بعد این درک می رسد (باید بیاید!) که رشته های طولانی اعداد به خودی خود هیچ معنایی ندارند. همه این تریلیون ها میلیاردها تنها زمانی معنا پیدا می کنند که به عنوان نمایش تعداد معینی از اشیا یا توصیف یک پدیده خاص عمل کنند. هیچ مشکلی برای به دست آوردن یک عدد طولانی وجود ندارد که چیزی جز مجموعه ای از اعداد با صدای بلند را نشان نمی دهد؛ در حال حاضر تعداد نامحدودی از آنها وجود دارد. علم، تا حدی مجازی، در جستجوی ترکیب‌های بسیار خاصی از اعداد در این پرتگاه وسیع است و آنها را به برخی پدیده‌های فیزیکی، مثلاً سرعت نور، عدد آووگادرو یا ثابت پلانک، اضافه می‌کند.

و بلافاصله این سوال مطرح می شود که بزرگترین عدد در جهان که به معنای چیزی است چیست؟ در این مقاله سعی خواهم کرد در مورد هیولای دیجیتالی به نام عدد گراهام صحبت کنم، اگرچه به طور دقیق، علم اعداد بزرگتر را می شناسد. عدد گراهام پرهیجان‌ترین و شاید بتوان گفت «شنیده‌شده»‌ترین عدد در میان عموم است، زیرا توضیح آن بسیار ساده است و در عین حال به اندازه‌ای بزرگ است که سرها را برگرداند. به طور کلی، در اینجا لازم است یک سلب مسئولیت کوچک (هشدار روسیه) اعلام شود. شاید شوخی به نظر برسد، اما من اصلا شوخی نمی کنم. من کاملاً جدی می گویم - کاوش دقیق در چنین اعماق ریاضی، همراه با گسترش لجام گسیخته مرزهای ادراک، می تواند تأثیر جدی بر جهان بینی، موقعیت فرد در جامعه داشته باشد (و خواهد داشت) و در نهایت، در مورد وضعیت روانی عمومی قلع و قمع، یا، بیایید چیزها را به نام خود بنامیم - راه را برای حماقت باز می کند. نیازی نیست متن زیر را با دقت زیاد بخوانید و مطالبی را که در آن توضیح داده شده خیلی واضح و واضح تصور نکنید. و بعداً نگویید که به شما هشدار داده نشده است!

وقتی آنها مثلاً در مورد تعداد ستاره‌های جهان (در جهان قابل مشاهده) صحبت می‌کنند، هیچ احمقی به خود زحمت نمی‌دهد که تعداد ستاره‌ها را تا آخرین ستاره محاسبه کند. اعتقاد بر این است که تقریباً 1021 قطعه وجود دارد. و این یک تخمین کمتر است. این بدان معنی است که تعداد کل ستاره ها را می توان با عددی بیان کرد که 21 صفر بعد از یک دارد، یعنی. "1,000,000,000,000,000,000,000."

این چیزی است که بخش کوچکی از آنها (حدود 100000) در خوشه کروی امگا قنطورس به نظر می رسد.

طبیعتاً وقتی در مورد چنین مقیاس هایی صحبت می کنیم، اعداد واقعی در عدد نقش مهمی ندارند، بالاخره همه چیز بسیار مشروط و تقریبی است. تعداد واقعی ستارگان در کیهان ممکن است "1,564,861,615,140,168,357,973" یا شاید "9,384,684,643,798,468,483,745" باشد. یا حتی "3 333 333 333 333 333 333 333"، چرا که نه، البته بعید است. در کیهان شناسی، علم خصوصیات جهان به عنوان یک کل، با چنین چیزهای کوچکی زحمت نمی کشیم. نکته اصلی این است که تصور کنید تقریباً این عدد از 22 رقم تشکیل شده است که باعث می شود آن را به عنوان یک و 21 صفر در نظر بگیرید و آن را به عنوان 10²¹ بنویسید. قانون کلی و بسیار ساده است. هر رقم یا عددی که به جای درجه باشد (چاپ شده با حروف کوچک بالای 10)، اگر آن را به روشی ساده، با علائم پشت سر هم و نه به صورت یک خط نقاشی کنید، تعداد زیادی صفر بعد از واحد در این عدد خواهد بود. روش علمی برخی از اعداد دارای "نام انسانی" هستند، برای مثال ما 103 را "هزار"، 106 "میلیون" و 10⁹ را "میلیارد" می نامیم، اما برخی از آنها چنین نیستند. فرض کنید 1059 یک نام پذیرفته شده عمومی ندارد. و 10²¹، به هر حال، آن را دارد - این یک "sextillion" است.

هر چیزی که به یک میلیون می رسد تقریباً برای هر شخصی به طور شهودی روشن است، زیرا چه کسی نمی خواهد میلیونر شود؟ سپس برخی افراد شروع به مشکلات می کنند. اگرچه تقریباً همه یک میلیارد (10⁹) می دانند. حتی می توانید تا یک میلیارد بشمارید. اگر درست بعد از تولد، به معنای واقعی کلمه در لحظه تولد، شروع به شمردن یک ثانیه "یک، دو، سه، چهار..." کنید و نخوابید، ننوشید، نخورید، بلکه فقط شب و روز بشمار، بشمار، بی‌وقفه بشمار، سپس وقتی 32 ساله شدی، می‌توانی تا یک میلیارد بشماری، زیرا 32 چرخش زمین به دور خورشید حدود یک میلیارد ثانیه طول می‌کشد.

100 میلیارد (10¹¹) - این تعداد یا چند نفر در طول تاریخ این سیاره زندگی کرده اند. مک دونالد در طول 50 سال فعالیت خود تا سال 1998 100 میلیارد همبرگر فروخت. 100 میلیارد ستاره (خوب، کمی بیشتر) در کهکشان راه شیری ما وجود دارد و خورشید یکی از آنهاست. کیهان قابل مشاهده دارای همان تعداد کهکشان است. 100 میلیارد نورون در مغز انسان وجود دارد. و همین تعداد باکتری بی هوازی در سکوم هر کسی که این سطور را می خواند زندگی می کند.

تریلیون (10¹²) عددی است که به ندرت استفاده می شود. شمردن تا یک تریلیون غیرممکن است، 32 هزار سال طول می کشد. یک تریلیون ثانیه پیش، مردم در غارها زندگی می کردند و ماموت ها را با نیزه شکار می کردند. بله، یک تریلیون ثانیه پیش ماموت ها روی زمین زندگی می کردند. تقریباً یک تریلیون ماهی در اقیانوس های این سیاره وجود دارد. کهکشان آندرومدا همسایه ما حدود یک تریلیون ستاره دارد. یک انسان از 10 تریلیون سلول تشکیل شده است. تولید ناخالص داخلی روسیه در سال 2013 بالغ بر 66 تریلیون روبل (در سال 2013 روبل) بود. از زمین تا زحل، 100 تریلیون سانتی‌متر و در مجموع به همین تعداد حروف در تمام کتاب‌هایی که تا کنون منتشر شده، چاپ شده است.

یک کوادریلیون (10¹5، میلیون میلیارد) تعداد مورچه های روی این سیاره است. افراد عادی این کلمه را با صدای بلند نمی گویند، خوب، قبول کنید، آخرین باری که در یک مکالمه "یک چهار میلیارد چیزی" شنیدید کی بود؟

کوئینتیلیون (10¹8، میلیارد میلیارد) - این تعداد تنظیمات ممکن هنگام حل یک مکعب روبیک 3x3x3 است. همچنین تعداد متر مکعب آب در اقیانوس های جهان.

Sextillion (10²¹) - ما قبلاً با این عدد روبرو شده ایم. تعداد ستارگان در جهان قابل مشاهده تعداد دانه های شن در تمام بیابان های روی زمین. تعداد ترانزیستورها در تمام وسایل الکترونیکی موجود بشر، اگر اینتل به ما دروغ نمی گفت.

10 سکستیلیون (1022) تعداد مولکول های موجود در یک گرم آب است.

1024 - جرم زمین بر حسب کیلوگرم.

1026 قطر جهان قابل مشاهده بر حسب متر است، اما شمارش بر حسب متر چندان راحت نیست؛ مرزهای پذیرفته شده جهان قابل مشاهده 93 میلیارد سال نوری است.

علم با ابعاد بزرگتر از جهان قابل مشاهده عمل نمی کند. ما به یقین می دانیم که جهان قابل مشاهده کل، کل، کل جهان نیست. این همان بخشی است که ما، حداقل به لحاظ نظری، می توانیم آن را ببینیم و مشاهده کنیم. یا ممکن است در گذشته آن را دیده باشند. یا در آینده‌ای دور قادر خواهیم بود آن را ببینیم و در چارچوب علم مدرن باقی بمانیم. از بقیه جهان، حتی با سرعت نور، سیگنال ها نمی توانند به ما برسند، به همین دلیل است که این مکان ها، از نظر ما، به نظر نمی رسد وجود داشته باشند. هیچ کس واقعاً نمی داند که این جهان بزرگ چقدر است. شاید یک میلیون برابر بیشتر از Observable. یا شاید یک میلیارد. یا شاید حتی بی پایان. من به شما می گویم، این دیگر علم نیست، بلکه فال روی تفاله قهوه است. دانشمندان حدس هایی دارند، اما این بیشتر خیالی است تا واقعیت.

برای تجسم نسبت های کیهانی، مطالعه این تصویر مفید است و آن را به تمام صفحه گسترش می دهد.

با این حال، حتی در جهان قابل مشاهده نیز می‌توانید چیزهای دیگری غیر از متر را در خود جمع کنید.

1051 اتم سیاره زمین را تشکیل می دهند.

10⁸⁰ تعداد تقریبی ذرات بنیادی در جهان قابل مشاهده است.

10⁹⁰ تعداد تقریبی فوتون های موجود در جهان قابل مشاهده است. تعداد آنها تقریباً 10 میلیارد برابر بیشتر از ذرات بنیادی، الکترون ها و پروتون ها است.

10¹⁰⁰ - googol. این عدد از نظر فیزیکی معنی خاصی ندارد، فقط گرد و زیبا است. شرکتی که هدف خود را ایندکس کردن پیوندهای گوگل قرار داده بود (البته به شوخی، این تعداد بیشتر از تعداد ذرات بنیادی در جهان است!) در سال 1998 نام گوگل را برگزید.

10¹²2 پروتون برای پر کردن جهان قابل مشاهده تا حد ظرفیت، محکم، پروتون به پروتون، انتها به انتها مورد نیاز است.

10185 حجم پلانک توسط جهان قابل مشاهده اشغال شده است. علم ما مقادیر کوچکتر از حجم پلانک (مکعبی با طول پلانک 10-35 متر) نمی شناسد. مطمئناً، مانند جهان، چیزی حتی کوچکتر در آنجا وجود دارد، اما دانشمندان هنوز فرمول های معقولی برای چنین چیزهای کوچکی ارائه نکرده اند، این فقط یک حدس و گمان محض است.

به نظر می رسد که 10185 یا بیشتر بزرگترین عددی است که در اصل می تواند در علم مدرن معنی داشته باشد. در علمی که می تواند لمس و سنجش باشد. این چیزی است که وجود دارد یا می تواند وجود داشته باشد اگر اتفاق بیفتد که ما همه چیزهایی را که باید در مورد جهان می دانستیم یاد گرفته باشیم. این عدد از 186 رقم تشکیل شده است:

یا در مورد نظریه ریسمان شنیده اید که طبق آن می توان حدود 1055 پیکربندی از ارتعاشات ریسمان وجود داشته باشد که به معنای همان تعداد جهان های بالقوه است که هر کدام قوانین خاص خود را دارند.

هرچه به جنگل جلوتر می‌رویم، فیزیک نظری و علم به طور کلی در تعداد فزاینده‌ای باقی می‌ماند و در پشت ستون‌های صفر، ملکه علوم به طور فزاینده‌ای خالص و بدون ابر ظاهر می‌شود. ریاضیات فیزیک نیست، هیچ محدودیتی وجود ندارد و چیزی برای خجالت وجود ندارد، لذت ببرید، صفرها را در فرمول ها بنویسید تا زمانی که رها کنید.

من فقط به googolplex اشاره می کنم که برای بسیاری شناخته شده است. عددی با ارقام گوگول ده به توان گوگول یا ده به توان ده به توان صد

من آن را با اعداد نمی نویسم. Googolplex مطلقاً معنی ندارد. یک شخص نمی تواند یک googolplex چیزی را تصور کند، از نظر فیزیکی غیرممکن است. برای نوشتن چنین عددی، به کل جهان قابل مشاهده نیاز دارید، اگر با یک "نانو قلم" مستقیماً در خلاء بنویسید، در واقع در سلول های پلانک کیهان. بیایید همه مواد را به جوهر تبدیل کنیم و جهان را فقط با اعداد جامد پر کنیم، سپس یک googolplex خواهیم داشت. اما ریاضیدانان (مردم وحشتناک!) تازه با Googolprex گرم می شوند، این پایین ترین نواری است که چیزهای خوب واقعی برای آنها شروع می شود. و اگر فکر می کنید که googolplex به قدرت googolplex چیزی است که ما در مورد آن صحبت می کنیم، نمی دانید چقدر در اشتباه هستید.

بعد از googolplex، اعداد جالب زیادی وجود دارند که نقشی در اثبات ریاضی دارند، اما بیایید مستقیماً به سراغ عدد گراهام برویم که به نام (خوب، طبیعتاً) ریاضیدان رونالد گراهام نامگذاری شده است. ابتدا به شما می گویم که چیست و برای چه چیزی لازم است، پس از آن به صورت مجازی و روی انگشتانم اندازه آن را توصیف می کنم و سپس خود عدد را می نویسم. به طور دقیق تر، سعی می کنم آنچه را که نوشتم توضیح دهم.

عدد گراهام در مقاله‌ای که به حل یکی از مسائل نظریه رمزی اختصاص داشت ظاهر شد، و "رمزی" در اینجا یک جرون ناقص نیست، بلکه نام خانوادگی یک ریاضیدان دیگر، فرانک رمزی است. البته این کار از دیدگاه افراد غیر عادی بسیار دور از ذهن است، اگرچه خیلی پیچیده نیست و حتی به راحتی قابل درک است.

مکعبی را تصور کنید که تمام رئوس آن با خطوط-قطعه های دو رنگ قرمز یا آبی به هم متصل شده اند. به ترتیب تصادفی متصل و رنگی شده است. برخی از افراد قبلاً حدس زده اند که ما در مورد شاخه ای از ریاضیات به نام ترکیبات صحبت خواهیم کرد.

آیا می‌توانیم باهوش باشیم و یک پیکربندی از رنگ‌ها را انتخاب کنیم (و فقط دو تا از آنها وجود دارد - قرمز و آبی) به طوری که هنگام رنگ‌آمیزی این بخش‌ها به این نتیجه نرسیم که همه بخش‌های همرنگ، چهار رأس را به هم متصل می‌کنند. سطح؟ در این مورد، آنها چنین رقمی را نشان نمی دهند:

اگر ابعاد بیشتری داشته باشیم چه؟ اگر نه یک مکعب، بلکه یک مکعب چهار بعدی، یعنی. تسراکت؟ آیا می توانیم همان ترفندی را که با سه بعدی انجام دادیم انجام دهیم؟

در بعد پنجم؟ و در بعد پنجم که مکعب را پنتراکت یا پنتا مکعب می گویند نیز ممکن است.
و در شش بعدی.

و سپس مشکلاتی وجود دارد. گراهام نتوانست از نظر ریاضی ثابت کند که یک ابر مکعب هفت بعدی می تواند چنین عملیاتی را انجام دهد. هم هشت بعدی و هم نه بعدی و غیره. اما معلوم شد که این "و غیره" تا بی نهایت نمی رود، بلکه با عدد بسیار بزرگی به پایان می رسد که "عدد گراهام" نامیده می شود.

یعنی مقداری حداقل بعد از هایپرمکعب وجود دارد که در آن شرایط نقض می شود و دیگر نمی توان از ترکیب رنگ آمیزی بخش ها به گونه ای اجتناب کرد که چهار نقطه از همان رنگ در یک صفحه قرار گیرند. و این حداقل بعد قطعا بیش از شش و قطعا کمتر از عدد گراهام است، این اثبات ریاضی دانشمند است.

و اکنون تعریف آنچه در بالا در چندین پاراگراف توضیح دادم، به زبان خشک و خسته کننده (اما پر ظرفیت) ریاضیات. نیازی به درک نیست، اما نمی توانم آن را مطرح نکنم.

یک ابر مکعب n بعدی در نظر بگیرید و همه جفت رئوس را به هم متصل کنید تا یک نمودار کامل با 2n راس به دست آورید. بیایید هر لبه این نمودار را قرمز یا آبی رنگ کنیم. برای اینکه کوچکترین مقدار n چقدر است، هر رنگی از این دست لزوماً شامل یک زیرگراف کامل تک رنگ با چهار رأس است که همه آنها در یک صفحه قرار دارند؟

در سال 1971، گراهام ثابت کرد که این مشکل راه حلی دارد و این راه حل (تعداد ابعاد) بین عدد 6 و تعدادی بزرگتر است که بعدها (نه توسط خود نویسنده) به نام او نامگذاری شد. در سال 2008، اثبات بهبود یافت، کران پایین افزایش یافت، و اکنون تعداد مورد نیاز ابعاد بین عدد 13 و عدد گراهام قرار دارد. ریاضیدانان نمی خوابند، کار ادامه دارد، دامنه محدود می شود.

سال‌ها از دهه 70 می‌گذرد، مسائل ریاضی پیدا شده‌اند که در آنها اعداد بزرگ‌تر از گراهام ظاهر می‌شود، اما این عدد هیولای اول، معاصرانی را که مقیاس مورد بحث ما را درک کردند، چنان شگفت‌زده کرد که در سال 1980 در کتاب رکوردهای گینس گنجانده شد. "بزرگترین عددی که تا به حال در یک اثبات دقیق ریاضی دخیل بوده" در آن زمان.

بیایید سعی کنیم بفهمیم چقدر بزرگ است. بزرگترین عددی که می تواند هر معنای فیزیکی داشته باشد 10145 است و اگر کل جهان قابل مشاهده با مجموعه ای به ظاهر بی پایان از اعداد کوچک پر شود، چیزی قابل مقایسه با googolplex بدست می آوریم.

آیا می توانید این وسعت را تصور کنید؟ جلو، عقب، بالا، پایین، تا جایی که چشم می تواند ببیند و تا آنجا که تلسکوپ هابل می تواند ببیند، و حتی تا آنجا که تلسکوپ هابل می تواند، به دورترین کهکشان ها و نگاه به فراتر از آنها - اعداد، اعداد، اعداد بسیار کوچکتر از یک پروتون چنین کیهانی، البته، برای مدت طولانی نمی تواند وجود داشته باشد؛ بلافاصله به یک سیاهچاله فرو خواهد ریخت. آیا به خاطر دارید چه مقدار اطلاعات از نظر تئوری می تواند در کیهان جای بگیرد؟

تعداد واقعاً زیاد است، ذهن شما را به هم می زند. این دقیقاً برابر با googolplex نیست و نامی ندارد، بنابراین من آن را "dochulion" می نامم. فقط بهش فکر کردم چرا که نه تعداد سلول های پلانک در جهان قابل مشاهده و هر سلول حاوی یک عدد است. عدد شامل 10185 رقم است و می تواند به صورت نمایش داده شود

بیایید درهای ادراک را کمی بازتر باز کنیم. تئوری تورم را به خاطر دارید؟ که جهان ما تنها یکی از حباب های متعدد در چندجهانی است. اگر ده ها حباب از این دست را تصور کنید چه؟ بیایید یک عدد را تا زمانی که همه چیز وجود دارد در نظر بگیریم و یک چندجهانی را با تعداد مشابهی از جهان ها تصور کنیم که ظرفیت هر یک از آنها با اعداد پوشیده شده است - یک دوچولیون از دوچولیون ها به دست می آوریم. آیا می توانید این را تصور کنید؟ چگونه در نیستی میدان اسکالر شناور میشوی و اطرافت جهانها-جهانها هستند و در آنها عدد-اعداد-اعداد... امیدوارم چنین کابوس (البته چرا کابوس؟) عذاب ندهد ( و چرا عذاب؟) یک خواننده بیش از حد تأثیرپذیر در شب.

برای راحتی، این عملیات را "تلنگر" می نامیم. یک حرف بیهوده که انگار کیهان را گرفتند و به بیرون چرخاندند، بعد از نظر اعداد داخل بود، اما حالا برعکس، به تعداد عددی که وجود دارد، ما در بیرون جهان داریم و هر جعبه پر است، خودش همه. در اعداد همانطور که پوست انار را جدا می کنید، پوسته را خم می کنید، دانه ها از داخل بیرون می آیند و در دانه ها دوباره انار وجود دارد. من هم در پرواز به این ایده رسیدم، چرا که نه، این یک سواری عالی با dokhulion بود.

من به چه چیزی می رسم؟ آیا باید سرعت خود را کاهش دهید؟ بیا، هوبا، و یک تلنگر دیگر! و اکنون به تعداد اعدادی که در جهان‌ها وجود داشت، جهان داریم که تعداد آنها برابر با یک میلیون عدد بود که جهان ما را پر کرده بود. و بلافاصله، بدون توقف، دوباره ورق بزنید. و چهارم و پنجم. دهم، هزارم. آیا با افکار خود ادامه می دهید، هنوز هم می توانید تصویر را تصور کنید؟

بیایید زمان را برای چیزهای بی اهمیت تلف نکنیم، بیایید بال های تخیل را باز کنیم، به حداکثر سرعت برسیم و تلنگرهای تلنگر را برگردانیم. ما هر کیهان را به اندازه چند ده جهان در تلنگر قبلی که یک تلنگر از جهان قبل بود، به همان اندازه به بیرون می چرخانیم که... اوه... خوب، دنبال می کنی؟ یه جایی مثل این بگذارید شماره ما اکنون، مثلاً، «دوهولیارد» شود.

دوهولیارد = تلنگر تلنگر

ما متوقف نمی‌شویم و تا زمانی که قدرت داریم به چرخش دوهولیارد ادامه می‌دهیم. تا تو چشمات تاریک بشه تا بخوای جیغ بزنی. در اینجا هر کسی پینوکیوی شجاع خودش است، کلمه امن "پنیر پنیر" خواهد بود.

پس اینجاست. این ها برای چیست؟ دوهولیون های عظیم و بی نهایت از تلنگرها و دوهولیاردهای جهان های اعداد کامل را نمی توان با عدد گراهام مقایسه کرد. آنها حتی سطح را خراش نمی دهند. اگر عدد گراهام به عنوان یک چوب نشان داده شود که به طور سنتی در سراسر جهان قابل مشاهده کشیده شده است، آن‌گاه چیزی که در اینجا به آن دست یافته‌ایم یک بریدگی ضخامت خواهد بود... خوب... چگونه می‌توانم آن را ملایم بگویم.. غیر قابل ذکر است. بنابراین، من آن را به بهترین شکل ممکن نرم کردم.

حالا بیایید استراحت کنیم و استراحت کنیم. خواندیم، شمردیم، چشمان کوچکمان خسته بود. بیایید شماره گراهام را فراموش کنیم، هنوز راه درازی در پیش است، بیایید تمرکز چشمانمان را از بین ببریم، استراحت کنیم، روی یک عدد بسیار کوچکتر و حتی مینیاتوری، که آن را g1 می نامیم، مدیتیشن کنیم، و آن را تنها با شش کاراکتر یادداشت کنیم:
g1 = 33

عدد g1 برابر است با "سه، چهار فلش، سه". چه مفهومی داره؟ این همان چیزی است که روش نوشتن به نام نماد پیکان Knuth به نظر می رسد.

یک فلش به معنای توان معمولی است.

44 = 44 = 256

1010 = 10¹⁰ = 10,000,000,000

دو فلش به وضوح به معنای بالا بردن به یک قدرت یک قدرت است.

به طور خلاصه، "عدد فلش یک عدد دیگر" نشان می دهد که چه ارتفاعی از قدرت ها (ریاضیدانان می گویند "برج") از عدد اول ساخته شده است. به عنوان مثال، 58 به معنای برج هشت پنج تایی است و به قدری بزرگ است که نمی توان آن را روی هیچ ابررایانه ای حتی در تمام رایانه های روی کره زمین به طور همزمان محاسبه کرد.

بیایید به سراغ سه فلش برویم. اگر فلش دوتایی ارتفاع برج درجه را نشان می داد، به نظر می رسد فلش سه گانه نشان دهنده "ارتفاع برج ارتفاع برج" است؟ چه جهنمی! در مورد سه، ما ارتفاع برج ارتفاع برج ارتفاع برج را داریم (در ریاضیات چنین مفهومی وجود ندارد، تصمیم گرفتم آن را "بدون برج" بنامم). چیزی شبیه به این:

یعنی 33 یک برج دیوانه از سه قلوها به ارتفاع 7 تریلیون تشکیل می دهد. 7 تریلیون سه تایی که روی هم چیده شده و "دیوانه" نامیده می شوند چیست؟ اگر این متن را با دقت خوانده باشید و در همان ابتدا نخوابیدید، احتمالاً به یاد دارید که از زمین تا زحل 100 تریلیون سانتی متر فاصله دارد. سه مورد نشان داده شده روی صفحه با فونت دوازدهم، این یکی - 3 - پنج میلی متر ارتفاع دارد. این یعنی یک سری سه تایی دیوانه از صفحه نمایش شما کشیده می شود ... البته نه به زحل. حتی به خورشید نمی رسد، فقط یک چهارم واحد نجومی، در حدود فاصله زمین تا مریخ در هوای خوب. اجازه دهید توجه شما را جلب کنم (نخواب!) که یک برج دیوانه عددی به طول زمین تا مریخ نیست، برجی با درجاتی به این ارتفاع است. به یاد داریم که پنج سه قلو در این برج گوگول پلکس را می پوشانند، با محاسبه اولین دسی متر سه قلو، تمام فیوزهای رایانه های سیاره می سوزد و میلیون ها کیلومتر درجه باقی مانده به نظر بی فایده است، آنها به سادگی خواننده را مسخره می کنند. شمارش آنها بی فایده است.

اکنون مشخص است که 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 بی برج، (نه 3 به درجه بی برج، بلکه "سه تیر دیوانه"(!))، یا همان بی پروایی بی برج نه در طول و نه ارتفاع مناسب نیست. به جهان قابل مشاهده، و حتی در چند جهان فرضی قرار نخواهد گرفت.

در 35 = 33333 کلمات به پایان می رسند و در 36 = 333333 حروف پایان می یابند، اما اگر علاقه دارید می توانید تمرین کنید.

بیایید به سراغ چهار فلش برویم. همانطور که قبلا حدس زدید، اینجا مرد دیوانه روی مرد دیوانه می نشیند، او دیوانه را به اطراف می راند، و حتی با یک برج، بدون برج هم همینطور است. من فقط بی صدا تصویری می دهم که طرح محاسبه چهار فلش را نشان می دهد، زمانی که هر عدد بعدی از برج درجه، ارتفاع برج درجه را تعیین می کند، که ارتفاع برج درجه را تعیین می کند، که ارتفاع برج را تعیین می کند. برج درجات... و همینطور تا خود فراموشی.

این همان چیزی است که g1 است، همان چیزی است که 33 است.

استراحت کردی؟ اکنون، از g1، با قدرتی تازه به حمله به شماره گراهام برمی گردیم. آیا توجه کرده اید که چگونه تشدید از فلش به فلش افزایش می یابد؟

33 = 7 625 597 484 987

33 = برج، ارتفاع زمین تا مریخ.

33 = عددی که تصور یا توصیف آن غیرممکن است.

آیا می توانید تصور کنید که چه نوع کابوس دیجیتالی رخ می دهد که تیرانداز پنج ساله است؟ چه زمانی شش نفر هستند؟ آیا می توانید تعداد زمانی که تیرانداز صد نفر باشد را تصور کنید؟ اگر می توانید یک عدد g2 به شما پیشنهاد می کنم که تعداد این فلش ها برابر با g1 است. به یاد داشته باشید g1 چیست، درست است؟

من آن را پنهان نمی کنم، g3 نیز وجود دارد که حاوی تیرانداز g2 است. به هر حال، آیا هنوز مشخص است که g3 g2 "به قدرت" g2 نیست، بلکه تعداد دیوانه هایی است که قد افراد دیوانه را تعیین می کنند که قد را تعیین می کنند ... و غیره در طول کل زنجیره تا پایین مرگ حرارتی کیهان؟ اینجاست که می توانید شروع به گریه کنید.

چرا گریه؟ چون این کاملا درست است. همچنین یک عدد g4 وجود دارد که حاوی فلش های g3 بین سه تایی است. همچنین g5 وجود دارد، g6 و g7 و g17 و g43 وجود دارد...

به طور خلاصه، 64 مورد از این g وجود دارد. هر مورد قبلی از نظر عددی برابر با تعداد فلش های بعدی است. آخرین g₆4 عدد گراهام است که همه چیز به ظاهر معصومانه با آن شروع شد. این تعداد ابعاد هایپرمکعب است که قطعاً برای رنگ آمیزی صحیح بخش ها با رنگ های قرمز و آبی کافی است. شاید کمتر، این، به اصطلاح، حد بالایی است. به صورت زیر نوشته شده است:

و آن را اینگونه می نویسند.

اعدادی وجود دارند که به قدری باورنکردنی و فوق‌العاده بزرگ هستند که حتی نوشتن آنها به کل جهان نیاز دارد. اما این چیزی است که واقعاً دیوانه کننده است ... برخی از این اعداد غیرقابل درک برای درک جهان بسیار مهم هستند.

وقتی می‌گویم "بزرگترین عدد در جهان"، واقعاً منظورم بزرگترین است قابل توجهعدد، حداکثر عدد ممکن که به نوعی مفید است. مدعیان زیادی برای این عنوان وجود دارد، اما من بلافاصله به شما هشدار می دهم: واقعاً این خطر وجود دارد که تلاش برای درک همه آن، ذهن شما را منفجر کند. و علاوه بر این، با ریاضیات بیش از حد، لذت زیادی نخواهید داشت.

Googol و googolplex

ادوارد کاسنر

می‌توانیم با دو عددی که احتمالاً بزرگ‌ترین اعدادی هستند شروع کنیم، و اینها در واقع دو بزرگ‌ترین اعدادی هستند که به طور کلی تعاریف پذیرفته شده در زبان انگلیسی. (از نامگذاری نسبتاً دقیقی برای نشان دادن اعداد به اندازه دلخواه استفاده می شود، اما این دو عدد را امروزه در فرهنگ لغت نمی توانید پیدا کنید.) گوگول، از آنجایی که شهرت جهانی پیدا کرد (البته با خطا، توجه کنید. در واقع گوگول است. ) در قالب گوگل، متولد 1920 به عنوان راهی برای علاقه مند کردن کودکان به اعداد بزرگ.

برای این منظور، ادوارد کاسنر (تصویر) دو برادرزاده خود، میلتون و ادوین سیروت را برای قدم زدن در نیوجرسی پالیزیدز برد. او از آنها دعوت کرد تا هر ایده ای داشته باشند، و سپس میلتون نه ساله "گوگول" را پیشنهاد کرد. او این کلمه را از کجا آورده است، مشخص نیست، اما کاسنر تصمیم گرفت یا عددی که در آن صد صفر به دنبال واحد باشد از این پس گوگول نامیده می شود.

اما میلتون جوان به همین جا بسنده نکرد، او یک عدد حتی بزرگتر به نام googolplex را پیشنهاد کرد. به گفته میلتون، این عددی است که در آن رتبه اول 1 است و سپس هر تعداد صفر که می توانید قبل از خستگی بنویسید. در حالی که این ایده جذاب است، کاسنر به این نتیجه رسید که به تعریف رسمی تری نیاز است. همانطور که او در کتاب ریاضیات و تخیل خود در سال 1940 توضیح داد، تعریف میلتون این احتمال مخاطره آمیز را باز می گذارد که یک بوفون تصادفی بتواند ریاضیدانی برتر از آلبرت انیشتین شود، فقط به این دلیل که استقامت بیشتری دارد.

بنابراین کاسنر تصمیم گرفت که یک googolplex یا 1 باشد و سپس یک googol صفر باشد. در غیر این صورت، و با نمادی مشابه آنچه که برای اعداد دیگر با آن سروکار خواهیم داشت، خواهیم گفت که googolplex است. برای نشان دادن این جذابیت، کارل سیگان یک بار اشاره کرد که نوشتن تمام صفرهای یک googolplex از نظر فیزیکی غیرممکن است زیرا فضای کافی در جهان وجود ندارد. اگر کل حجم جهان قابل مشاهده را با ذرات گرد و غبار کوچک به اندازه تقریباً 1.5 میکرون پر کنیم، آنگاه تعداد به طرق مختلفمحل این ذرات تقریباً برابر با یک googolplex خواهد بود.

از نظر زبانی، googol و googolplex احتمالاً دو عدد مهم (حداقل در زبان انگلیسی) هستند، اما همانطور که اکنون خواهیم گفت، راه های بی نهایت زیادی برای تعریف "اهمیت" وجود دارد.

دنیای واقعی

اگر در مورد بزرگترین عدد قابل توجه صحبت کنیم، استدلال منطقی وجود دارد که این واقعاً به این معنی است که ما باید بزرگترین عدد را با مقداری که واقعاً در جهان وجود دارد پیدا کنیم. می‌توانیم با جمعیت فعلی انسان که در حال حاضر حدود 6920 میلیون نفر است شروع کنیم. تولید ناخالص داخلی جهانی در سال 2010 حدود 61960 میلیارد دلار تخمین زده شد، اما هر دوی این اعداد در مقایسه با حدود 100 تریلیون سلولی که بدن انسان را تشکیل می دهند، ناچیز است. البته هیچ یک از این اعداد قابل مقایسه نیستند شماره کاملذرات موجود در کیهان که عموماً تقریباً در نظر گرفته می شود و این تعداد آنقدر زیاد است که زبان ما کلمه ای مطابق با آن ندارد.

می‌توانیم کمی با سیستم‌های اندازه‌گیری بازی کنیم و اعداد را بزرگ‌تر و بزرگ‌تر کنیم. بنابراین جرم خورشید بر حسب تن کمتر از پوند خواهد بود. یک راه عالی برای انجام این کار استفاده از سیستم واحدهای پلانک است که کوچکترین اقدامات ممکن است که قوانین فیزیک هنوز برای آن اعمال می شود. به عنوان مثال، سن جهان در زمان پلانک حدود . اگر به اولین واحد زمان پلانک پس از انفجار بزرگ برگردیم، خواهیم دید که چگالی جهان در آن زمان بوده است. ما بیشتر و بیشتر می شویم، اما هنوز به گوگول هم نرسیده ایم.

بزرگترین عدد با هر کاربرد دنیای واقعی - یا در این مورد کاربرد دنیای واقعی - احتمالاً یکی از آخرین تخمین‌ها از تعداد جهان‌های چندجهانی است. این عدد به قدری زیاد است که مغز انسان به معنای واقعی کلمه قادر به درک همه این جهان های مختلف نخواهد بود، زیرا مغز فقط قادر به پیکربندی های تقریبی است. در واقع، این عدد احتمالاً بزرگترین عددی است که هر معنایی عملی دارد مگر اینکه ایده چندجهان را به عنوان یک کل در نظر بگیرید. با این حال، هنوز اعداد بسیار بیشتری در کمین هستند. اما برای یافتن آنها باید به حوزه ریاضیات محض برویم و هیچ جایی بهتر از اعداد اول برای شروع وجود ندارد.

اعداد اول مرسن

بخشی از چالش ارائه یک تعریف خوب از این است که عدد "معنی" چیست. یک راه این است که بر اساس اعداد اول و مرکب فکر کنیم. یک عدد اول، همانطور که احتمالاً از آن به یاد دارید ریاضیات مدرسه، هر کدام است عدد طبیعی(توجه داشته باشید نه برابر با یک) که فقط بر و خودش قابل تقسیم است. بنابراین، و اعداد اول هستند، و و اعداد مرکب هستند. این بدان معنی است که هر عدد مرکب را می توان در نهایت با عوامل اول آن نشان داد. از برخی جهات، عدد از مثلاً مهمتر است، زیرا راهی برای بیان آن بر حسب حاصل ضرب اعداد کوچکتر وجود ندارد.

بدیهی است که می توانیم کمی جلوتر برویم. به عنوان مثال، در واقع فقط است، به این معنی که در یک دنیای فرضی که دانش ما از اعداد محدود است، یک ریاضیدان هنوز می تواند عدد را بیان کند. اما عدد بعدی اول است، به این معنی که تنها راه برای بیان آن، اطلاع مستقیم از وجود آن است. این بدان معناست که بزرگترین اعداد اول شناخته شده نقش مهمی ایفا می کنند، اما مثلاً یک گوگول - که در نهایت فقط مجموعه ای از اعداد و ضرب در یکدیگر است - در واقع این کار را نمی کند. و از آنجایی که اعداد اول اساساً تصادفی هستند، هیچ روش شناخته شده ای برای پیش بینی اینکه یک عدد فوق العاده بزرگ واقعاً اول خواهد بود وجود ندارد. تا به امروز، کشف اعداد اول جدید کار دشواری است.

ریاضیدانان یونان باستانایده ای در مورد اعداد اولحداقل در اوایل 500 سال قبل از میلاد، و 2000 سال بعد، مردم هنوز می‌دانستند که کدام اعداد اول هستند تا حدود 750. متفکران در زمان اقلیدس امکان ساده‌سازی را می‌دیدند، اما تا زمان رنسانس، ریاضیدانان واقعاً نمی‌توانستند این را عملی کنند. این اعداد به اعداد مرسن معروف هستند که به افتخار دانشمند فرانسوی قرن هفدهم، مارین مرسن، نامگذاری شده است. ایده بسیار ساده است: عدد مرسن هر عددی از فرم است. بنابراین، برای مثال، و این عدد اول است، برای .

تعیین اعداد اول مرسن بسیار سریعتر و آسانتر از هر نوع اعداد اول دیگری است، و کامپیوترها در شش دهه گذشته سخت در جستجوی آنها بوده اند. تا سال 1952، بزرگترین عدد اول شناخته شده یک عدد بود - عددی با ارقام. در همان سال کامپیوتر محاسبه کرد که عدد اول است و این عدد از ارقام تشکیل شده است که آن را بسیار بزرگتر از گوگول می کند.

کامپیوترها از آن زمان در حال شکار بوده اند و در حال حاضر عدد مرسن -ام بزرگترین عدد اول است. برای بشر شناخته شده است. این عدد که در سال 2008 کشف شد، به عددی با تقریباً میلیون ها رقم می رسد. این بزرگترین عدد شناخته شده ای است که نمی توان آن را با اعداد کوچکتر بیان کرد، و اگر برای یافتن یک عدد مرسن حتی بزرگتر کمک می خواهید، شما (و رایانه شما) همیشه می توانید به جستجو در http://www.mersenne. org بپیوندید. /.

عدد کاخ

استنلی اسکوز

بیایید دوباره به اعداد اول نگاه کنیم. همانطور که گفتم، آنها اساساً اشتباه رفتار می کنند، به این معنی که هیچ راهی برای پیش بینی عدد اول بعدی وجود ندارد. ریاضی‌دانان مجبور شده‌اند به اندازه‌گیری‌های بسیار خارق‌العاده متوسل شوند تا راهی برای پیش‌بینی اعداد اول آینده، حتی به روش‌های مبهم، بیابند. موفق ترین این تلاش ها احتمالاً تابع شمارش اعداد اول است که در آن اختراع شد اواخر هجدهمقرن، کارل فردریش گاوس، ریاضیدان افسانه ای.

من از ریاضیات پیچیده تر صرف نظر می کنم - به هر حال ما چیزهای بیشتری در پیش داریم - اما اصل تابع این است: برای هر عدد صحیح، می توانید تخمین بزنید که چند عدد اول کوچکتر از . به عنوان مثال، اگر، تابع پیش‌بینی می‌کند که اعداد اول باید وجود داشته باشند، اگر اعداد اول کوچکتر از، و if، باید اعداد کوچک‌تری وجود داشته باشند که اول هستند.

ترتیب اعداد اول در واقع نامنظم است و فقط تقریبی از تعداد واقعی اعداد اول است. در واقع می دانیم که اعداد اول کوچکتر از اعداد اول کوچکتر و اعداد اول کوچکتر از . این علامت عالیمطمئن باشید، اما این همیشه فقط یک تخمین است... و به طور خاص، یک تخمین از بالا.

در تمام موارد شناخته شده تا، تابعی که تعداد اعداد اول را پیدا می کند، تعداد واقعی اعداد اول کوچکتر را کمی بیش از حد تخمین می زند. زمانی ریاضیدانان فکر می‌کردند که همیشه اینطور خواهد بود، تا بی نهایت، و این مطمئناً برای اعداد غیرقابل تصور عظیم صدق می‌کند، اما در سال 1914 جان ادنسور لیتل‌وود ثابت کرد که برای تعدادی ناشناخته و غیرقابل تصور، این تابع شروع به تولید اعداد اول کمتری می‌کند. ، و سپس بین تخمین بالا و تخمین پایین بی نهایت بار جابجا می شود.

شکار برای نقطه شروع مسابقات بود و سپس استنلی اسکیوز ظاهر شد (عکس را ببینید). در سال 1933، او ثابت کرد که حد بالایی زمانی که تابعی که تعداد اعداد اول را تقریب می‌کند، ابتدا مقدار کوچک‌تری تولید می‌کند، عدد است. حتی در انتزاعی ترین معنای واقعی درک اینکه این عدد واقعاً چه چیزی را نشان می دهد دشوار است، و از این منظر این عدد بزرگترین عددی بود که تا به حال در یک اثبات ریاضی جدی استفاده شده است. ریاضیدانان از آن زمان توانستند کران بالایی را به عدد نسبتاً کوچکی کاهش دهند، اما عدد اصلی به عنوان عدد Skewes شناخته می شود.

پس عددی که حتی گوگولپلکس قدرتمند را نیز کوتوله می کند چقدر است؟ در دیکشنری پنگوئن اعداد کنجکاو و جالب، دیوید ولز روشی را بازگو می کند که در آن هاردی ریاضیدان توانست اندازه عدد اسکوزه را درک کند:

هاردی فکر کرد که این "بزرگترین عددی است که برای هر هدف خاصی در ریاضیات استفاده شده است" و پیشنهاد کرد که اگر یک بازی شطرنج با تمام ذرات جهان به عنوان مهره انجام شود، یک حرکت شامل تعویض دو ذره خواهد بود. زمانی که همان موقعیت برای بار سوم تکرار شود، بازی متوقف می‌شود، سپس تعداد بازی‌های ممکن تقریباً برابر با تعداد Skuse خواهد بود.

آخرین مورد قبل از حرکت: ما در مورد کوچکتر از دو عدد Skewes صحبت کردیم. عدد اسکوزه دیگری نیز وجود دارد که ریاضیدان در سال 1955 آن را کشف کرد. عدد اول از این واقعیت به دست می آید که به اصطلاح فرضیه ریمان درست است - این یک فرضیه به خصوص دشوار در ریاضیات است که اثبات نشده باقی می ماند و در مورد اعداد اول بسیار مفید است. با این حال، اگر فرضیه ریمان نادرست باشد، اسکوز دریافت که نقطه شروع پرش ها به .

مشکل بزرگی

قبل از اینکه به عددی برسیم که حتی عدد Skewes را کوچک به نظر می‌رساند، باید کمی در مورد مقیاس صحبت کنیم، زیرا در غیر این صورت هیچ راهی برای ارزیابی جایی که قرار است برویم نداریم. ابتدا بیایید یک عدد را در نظر بگیریم - این یک عدد کوچک است، آنقدر کوچک که مردم واقعاً می توانند درک شهودی از معنای آن داشته باشند. تعداد بسیار کمی وجود دارد که با این توصیف مطابقت داشته باشد، زیرا اعداد بزرگتر از شش دیگر وجود ندارند اعداد جداگانهو تبدیل به "چند"، "بسیار" و غیره می شوند.

حالا بیایید بگیریم، یعنی. . اگرچه ما در واقع نمی توانیم به طور شهودی، همانطور که برای عدد انجام دادیم، بفهمیم که چیست، تصور اینکه آن چیست بسیار آسان است. تا اینجای کار خیلی خوبه. اما اگر به آنجا برویم چه اتفاقی می افتد؟ این برابر است با یا. ما خیلی دور هستیم تا بتوانیم این مقدار را تصور کنیم، مانند هر مقدار بسیار بزرگ دیگری - ما توانایی درک اجزای جداگانه را در حدود یک میلیون نفر از دست می دهیم. (واقعاً این دیوانه است تعداد زیادی ازحساب کردن تا یک میلیون از هر چیزی مدتی طول می کشد، اما واقعیت این است که ما هنوز قادر به درک آن عدد هستیم.)

با این حال، اگرچه نمی‌توانیم تصور کنیم، حداقل می‌توانیم به طور کلی بفهمیم که 7600 میلیارد چیست، شاید با مقایسه آن با چیزی مانند تولید ناخالص داخلی ایالات متحده. ما از شهود به بازنمایی به درک ساده رفته‌ایم، اما حداقل هنوز در درک خود از چیستی عدد شکاف داریم. وقتی یک پله دیگر از نردبان بالا می رویم، این در حال تغییر است.

برای انجام این کار، باید به یک نماد معرفی شده توسط Donald Knuth برویم که به نماد arrow معروف است. این نماد را می توان به صورت . هنگامی که ما سپس به، تعداد ما خواهد شد. این برابر است با جایی که مجموع سه هاست. ما اکنون بسیار و واقعاً از همه اعداد دیگری که قبلاً در مورد آنها صحبت کرده ایم، پیشی گرفته ایم. از این گذشته ، حتی بزرگترین آنها فقط سه یا چهار ترم در سری شاخص داشتند. به عنوان مثال، حتی عدد سوپر اسکوزه "فقط" است - حتی با توجه به این واقعیت که هم پایه و هم نماها بسیار بزرگتر از عدد هستند، در مقایسه با اندازه یک برج اعداد با یک میلیارد عضو، باز هم هیچ چیز نیست. .

بدیهی است که هیچ راهی برای درک چنین اعداد عظیمی وجود ندارد و با این حال، روند ایجاد آنها هنوز قابل درک است. ما نمی‌توانستیم مقدار واقعی را که توسط یک برج قدرت با یک میلیارد سه قلو داده می‌شود درک کنیم، اما اساساً می‌توانیم چنین برجی را با اصطلاحات متعدد تصور کنیم، و یک ابرکامپیوتر واقعا مناسب می‌تواند چنین برج‌هایی را در حافظه ذخیره کند، حتی اگر نمی تواند مقادیر واقعی آنها را محاسبه کند.

این روز به روز انتزاعی‌تر می‌شود، اما بدتر می‌شود. ممکن است فکر کنید که برجی از درجه که طول نمایش برابر است (در واقع، در نسخه قبلی این پست دقیقاً این اشتباه را انجام دادم) اما ساده است. به عبارت دیگر، تصور کنید که بتوانید ارزش دقیق یک برج قدرت از سه قلوها را که از عناصر تشکیل شده است محاسبه کنید، و سپس آن مقدار را گرفتید و یک برج جدید با تعداد زیادی در آن ایجاد کردید که ... که می دهد.

این فرآیند را با هر عدد بعدی تکرار کنید ( توجه داشته باشیداز سمت راست شروع کنید) تا زمانی که بارها آن را انجام دهید و سپس در نهایت به . این عددی است که به سادگی فوق‌العاده بزرگ است، اما اگر همه چیز را بسیار آهسته انجام دهید، حداقل مراحل دریافت آن قابل درک به نظر می‌رسد. ما دیگر نمی‌توانیم اعداد را درک کنیم یا روشی را که توسط آن به دست می‌آیند تصور کنیم، اما حداقل می‌توانیم الگوریتم اصلی را فقط در مدت زمان کافی درک کنیم.

حالا بیایید ذهن را آماده کنیم تا واقعاً آن را منفجر کند.

شماره گراهام (گراهام)

رونالد گراهام

به این ترتیب عدد گراهام را بدست می آورید که در کتاب رکوردهای جهانی گینس به عنوان بزرگترین عددی که تا به حال در اثبات ریاضی استفاده شده است، جای دارد. تصور اینکه چقدر بزرگ است مطلقاً غیرممکن است و توضیح دقیق اینکه دقیقاً چیست به همان اندازه دشوار است. اساساً عدد گراهام هنگام برخورد با ابر مکعب ها ظاهر می شود که تئوری هستند شکل های هندسیبا بیش از سه بعد ریاضیدان رونالد گراهام (به عکس مراجعه کنید) می خواست دریابد که در چه ابعادی برخی از خواص یک ابرمکعب ثابت می ماند. (با عرض پوزش برای چنین توضیح مبهم، اما من مطمئن هستم که همه ما باید حداقل دو مدرک ریاضی بگیریم تا آن را دقیق تر کنیم.)

در هر صورت، عدد گراهام تخمین بالایی از این حداقل تعداد ابعاد است. پس این کران بالا چقدر بزرگ است؟ بیایید به عدد برگردیم، آنقدر بزرگ که فقط می توانیم الگوریتم به دست آوردن آن را به طور مبهم درک کنیم. اکنون، به جای اینکه فقط یک سطح دیگر به بالا پرش کنیم، تعداد فلش هایی را که بین سه تای اول و آخر دارند، می شماریم. ما در حال حاضر حتی از کوچکترین درک از اینکه این عدد چیست یا حتی برای محاسبه آن چه کاری باید انجام دهیم بسیار فراتر هستیم.

حالا بیایید این روند را یک بار تکرار کنیم ( توجه داشته باشیددر هر مرحله بعدی تعداد فلش ها را برابر با تعداد به دست آمده در مرحله قبل می نویسیم).

این، خانم ها و آقایان، عدد گراهام است که تقریباً یک مرتبه بزرگتر از نقطه درک انسان است. این عددی است که بسیار بزرگتر از هر عددی است که می توانید تصور کنید - بسیار بزرگتر از هر بی نهایتی است که می توانید تصور کنید - به سادگی حتی انتزاعی ترین توصیف را به چالش می کشد.

اما اینجا یک چیز عجیب است. از آنجایی که عدد گراهام اساساً فقط سه گانه ضرب در یکدیگر است، ما برخی از ویژگی های آن را بدون محاسبه واقعی می دانیم. ما نمی‌توانیم عدد گراهام را با استفاده از نمادهای آشنا نشان دهیم، حتی اگر از کل جهان برای نوشتن آن استفاده کنیم، اما می‌توانم همین الان دوازده رقم آخر عدد گراهام را به شما بگویم: . و این تمام نیست: ما حداقل آخرین رقم های عدد گراهام را می دانیم.

البته شایان ذکر است که این عدد فقط یک کران بالایی در مسئله اصلی گراهام است. این کاملاً ممکن است که تعداد واقعی اندازه گیری های مورد نیاز برای دستیابی به خاصیت مورد نظر بسیار بسیار کمتر باشد. در واقع، از دهه 1980، به گفته اکثر متخصصان در این زمینه، اعتقاد بر این بود که در واقع تنها شش بعد وجود دارد - عددی آنقدر کوچک که ما می توانیم آن را به طور شهودی درک کنیم. کران پایینی از آن زمان به بالا رفته است، اما هنوز هم شانس بسیار خوبی وجود دارد که راه حل مشکل گراهام به عددی به بزرگی عدد گراهام نباشد.

به سوی بی نهایت

پس آیا اعدادی بزرگتر از عدد گراهام وجود دارد؟ البته برای شروع، شماره گراهام وجود دارد. در مورد تعداد قابل توجه... خوب، برخی از حوزه های شیطانی پیچیده ریاضیات (مخصوصاً حوزه ای که به نام ترکیبیاتیسم شناخته می شود) و علوم کامپیوتر وجود دارد که در آنها اعدادی حتی بزرگتر از عدد گراهام وجود دارد. اما ما تقریباً به حدی رسیده‌ایم که می‌توانم امیدوار باشم که هرگز به طور منطقی توضیح داده شود. برای کسانی که به اندازه کافی احمق هستند که حتی بیشتر از این پیش بروند، در اینجا برخی از ادبیات برای آنها وجود دارد خواندن اضافیبا ریسک خود شخص

خوب، اکنون یک نقل قول شگفت انگیز که به داگلاس ری نسبت داده می شود ( توجه داشته باشیدراستش خیلی خنده دار به نظر می رسد:

«من خوشه‌هایی از اعداد مبهم را می‌بینم که در تاریکی، پشت نقطه کوچک نوری که شمع عقل می‌دهد، پنهان شده‌اند. با هم زمزمه می کنند؛ توطئه در مورد چه کسی می داند. شاید ما را خیلی دوست نداشته باشند که برادران کوچکشان را در ذهنمان اسیر کرده ایم. یا شاید آنها به سادگی زندگی تک رقمی، خارج از درک ما دارند.

برای تصور کردن مقیاس عدد، بیایید با جزئیات بیشتری به نماد آن نگاه کنیم.

1 . بنابراین، در ریاضیات مفهوم "ابر عملگر" برای تعیین سطح عملیات حسابی وجود دارد. بنابراین، جمع یک ابر عملگر سطح اول است و یک ابر عملگر سطح دوم ضرب است که یک جمع مکرر است. یعنی ضریب عددی است که به ما می گوید چند بار باید مقدار در حال ضرب را اضافه کنیم. به عنوان مثال: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. ابرعملگر بعدی توان است، ایکس n = ایکس^n، که در اصل ضرب مکرر است. مثال: 3 3 = 3 3 3 = 27. نوشتن 3 3 در نماد کنوت مانند 33 خواهد بود. در اینجا برای وضوح باید گفت که اولین رقم در عبارت 33 مقداری است که عمل را با آن انجام می دهیم و تعداد فلش های بین اعداد یک عملیات حسابی است. در این مورد، یک فلش به معنای قدرت است. رقم دوم یعنی رقم اول به چه قدرتی باید افزایش یابد (چند بار در خودش ضرب شود).بر این اساس عبارت 74 به معنای هفت تا توان چهارم است. به عبارت دیگر، 7 باید در 7 چهار برابر شود.

2 . ابرعملگر سطح چهارم تتراسیون، توان مکرر است. در ورودی Knuth دو فلش بین اعداد وجود دارد. مثال: 33 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987. یعنی رقم دوم در حضور دو فلش به این معنی است که تعداد دفعات زیادی باید عدد اول را به توان خود برسانید. به عبارت دیگر ارتفاع دکل برق را از عدد اول به ما نشان می دهد. به عنوان مثال، مدخل 58 به معنای برج هشت پنج تایی است که مانند مکعب روی هم انباشته شده اند.

کسانی که مغزشان کاملاً از چربی متورم شده است یا فقط مشغول فکر کردن در مورد چگونگی پیدا کردن چان، تلمبه کردن جن یا خلاص شدن از شر آکنه هستند، باید به خاطر داشته باشند که عبارات در تتراسیون محاسبه می شوند. بالا پایین، یا از راست به چپ. به زبان ساده، 3 3 3 مساوی است نه لعنتی 27 3، بلکه دقیقاً یکسان است 3 27 . اکنون می بینید، دوست کوچک پشمالو من، این تتراسیون در حال حاضر یک روش نسبتاً قدرتمند برای نوشتن است که به شما امکان می دهد اعدادی را 100500 برابر بزرگتر از خود 100500 در یک عبارت کوتاه بنویسید. عدد گراهام را محاسبه کنید

3 . بیایید جلوتر برویم: ابر عملگر سطح پنجم پنتشن (تکرار تتراسیون) است. سه فلش بین اعداد. مزخرفات از اینجا شروع می شود که از آنجا افرادی که ریاضی دان حرفه ای نیستند تف روی این همه مزخرفات می اندازند و دیگر سعی در درک آن ندارند. اما شما مثل آنها نیستید، نه؟ اگر فکر می کردید که پنت بندی عدد 3 به 3 به توان 7,625,597,484,987 بسط می یابد، در اشتباهید. شما نمی دانید چقدر اشتباه می کنید. زیرا 3 به توان 7,625,597,484,987 فقط 34 است. و پنتاسیون 33 = 3(33) = 3(7,625,597,484,987) = 33…( تعداد توان - 7,625,597,484,987 بار)…3. یعنی یک برج آرام از سه قلو معلوم می شود بیش از هفت و نیم تریلیون طبقه ارتفاع دارد! به عبارت دیگر، عدد دوم با سه فلش به این معنی است که برج تتراسیون عدد اول چقدر خواهد بود. برای وضوح بیشتر: 34 را می توان به صورت 3 3 3 3 یا 3 (3 (3 3)) نوشت. و نکته اصلی در اینجا این است که درک کنیم که این برج تتراسیون یک برج درجه نیست، اینجا تشدید بسیار سریعتر است. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3.
بالاخره فهمیدی عوضی؟! 34 برابر با 3 در تتراسیون عدد است که با محاسبه دکل برق از عدد 3 با ارتفاع 7,625,597,484,987 طبقه به دست می آید. بر این اساس، اگر 34 به عنوان دکل برق سه قلو نوشته شود، تعداد طبقات این برج برابر با عددی خواهد بود که هنگام محاسبه دکل برق با ارتفاع 7625597484987 طبقه به دست می آید. تصور کردی؟ من تصور نمی کردم، البته، چنین مقادیری را نمی توان یکباره درک کرد.

اگر هنوز آرام آرام متوجه نشدید که اینجا چه خبر است، پاراگراف 2 را دوباره بخوانید.

4 . و آخرین hyperoperator مورد نیاز ما hexation است. همانطور که ممکن است حدس بزنید، چهار فلش بین سه تایی وجود دارد. بر این اساس، این پنتیشن مکرر است. عدد دوم، اگر چهار فلش وجود داشته باشد، به این معنی است که برج "پنتشن" چقدر بلند خواهد بود. 33 = 3(33) = 333…33، که در آن تعداد تتراسیون ها نتیجه محاسبه پنتاسیون 33 است. اگر هنوز چیزی متوجه نشدید، نکات 3 و 2 را دوباره بخوانید.
اگر به انتهای این زنجیره غیرقابل تصور از تتراسیون حرکت کنیم و شروع به محاسبه آن کنیم، ثلاث دوم از انتهای آن برابر با 7,625,597,484,987 در تتراسیون خواهد بود و نتیجه تتراسیون سه گانه سوم از انتهای آن عدد خواهد بود. با پنج کردن ثلاث در پاراگراف قبل به دست می آید. و پیش از ما گوگول پلکس‌ها و گوگول پلکس‌های تکراری تتراسیون‌های عدد 3 وجود دارد. در اینجا تلاش برای درک چیزی و به نوعی درک نتیجه بی‌فایده است... و در اینجا ممکن است بپرسید: «آیا این واقعاً عدد گراهام است؟ وای، چقدر بزرگ است!» اما نه، این شماره گراهام نیست. این فقط یک ضرب المثل ریاضی بود و در مقایسه با عدد گراهام بسیار ناچیز و ناچیز است.

بنابراین، هگزاسیون فقط اضافه کردن یک فلش تند به پنتاشن است، اما نتیجه با تعداد غیرقابل تصوری از مرتبه‌های بزرگ بیشتر می‌شود. و اکنون، در واقع، در حال محاسبه عدد گراهام. عدد سه در مثال‌ها به دلیلی مورد استفاده قرار گرفت، زیرا عدد گراهام اساساً سه‌قلوها ضرب شده است. بنابراین، بیایید نتیجه هگزاسیون (33) خود را G1 بنامیم. این اولین مرحله از محاسبات خواهد بود. فقط اولی و مرحله بعدی پیشرفت را تسریع می کند به طوری که افزودن یک، ده، میلیون فلش بین اعداد نشان دهنده زمان است. مرحله دوم محاسبه G2 است. حالا نتیجه هگزاسیون سه گانه را می گیریم و عبارتی می نویسیم که تعداد فلش های ابرقدرت برابر با این نتیجه باشد. G2 = 3 ... (تعداد فلش های ابرقدرت - G1) ... 3. من تعجب می کنم که هایپراپراتور این سطح چه نام دارد؟..

نوشتن نه تنها نتیجه، بلکه حتی این hyperoperator نیز بدون علامت اختصاری امکان پذیر نیست. و عدد حاصل از محاسبه آن (البته اگر امکان محاسبه آن وجود داشت) هم کائنات را پر می کرد و هم جهان های موازیو زیرفضا، و انواع دیگر صفحات اختری. و فراموش نکنید که در G1 تعداد فلش ها برابر با چهار بود - و این قبلاً عددی است که برای محاسبه و ضبط به روش معمول غیرقابل دسترسی است! و در G2 این عدد فقط تعداد فوق درجه است. خودشه. پیشرفت فوق العاده سریع است. و این تازه اولشه. مرحله بعدی محاسبه عدد G3 است که تعداد تیرهای ابرقدرت برابر با G2 خواهد بود! به همین ترتیب، 62 مرحله دیگر محاسبه می شود که نتیجه هر مرحله فقط تعداد تیرهای ابرقدرت مرحله بعدی است و عدد گراهام G64 است!

وایست، ماتان گاهی اوقات بدتر از هر داروی دیگری ارائه می دهد.

برای تصور کردن مقیاس عدد، بیایید با جزئیات بیشتری به نماد آن نگاه کنیم. مقدمه خاصی در اینجا مورد نیاز است، اما، به طور کلی، هیچ چیز خیلی پیچیده نخواهد بود، ما سعی خواهیم کرد همه چیز را تا حد امکان واضح توصیف کنیم.

1 . بنابراین، در ریاضیات مفهوم "ابر عملگر" برای تعیین سطح عملیات حسابی وجود دارد. بنابراین، افزودن یک ابر عملگر سطح اول است. ابر عملگر سطح دوم ضرب است. ضرب جمع مکرر است. یعنی ضریب عددی است که به ما می گوید چند بار باید مقدار در حال ضرب را اضافه کنیم. به عنوان مثال: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. ابرعملگر بعدی توان است، ایکس n = ایکس^n، که در اصل ضرب مکرر است. مثال: 3 3 = 3 3 3 = 27. نوشتن 3 3 در نماد Knuth مانند 33 خواهد بود. در اینجا برای وضوح باید گفت که اولین رقم در عبارت 33 مقداری است که با آن عمل را انجام می دهیم. تعداد فلش بین اعداد - این یک عملیات حسابی است، در این مورد یک فلش به معنای بالا بردن به توان است. رقم دوم یعنی رقم اول به چه قدرتی باید افزایش یابد (چند بار در خودش ضرب شود).بر این اساس، اگر عبارت 74 بود، این به معنای هفت تا توان چهارم است. به عبارت دیگر، 7 باید در 7 چهار برابر شود.

2 . ابر عملگر سطح چهارم تتراسیون است. تتراسیون توان تکراری است. در ورودی Knuth دو فلش بین اعداد وجود دارد. مثال: 33 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987. یعنی رقم دوم در حضور دو فلش به این معنی است که تعداد دفعات زیادی باید عدد اول را به توان خود برسانید. به عبارت دیگر ارتفاع دکل برق را از عدد اول به ما نشان می دهد. به عنوان مثال، مدخل 58 به معنای برج هشت پنج تایی است که مانند مکعب روی هم انباشته شده اند.

کسانی که مغزشان کاملاً از چربی متورم شده است یا فقط مشغول فکر کردن در مورد چگونگی پیدا کردن چان، تلمبه کردن جن یا خلاص شدن از شر آکنه هستند، باید به خاطر داشته باشند که عبارات در تتراسیون محاسبه می شوند. بالا پایینیا از راست به چپ. به زبان ساده، 3 3 3 مساوی است نه لعنتی 27 3، بلکه دقیقاً یکسان است 3 27 . اکنون می بینید، دوست کوچک احمق من، این تتراسیون در حال حاضر یک روش نسبتاً قدرتمند برای نوشتن است که به شما امکان می دهد اعدادی را 100500 برابر بزرگتر از خود 100500 در یک عبارت کوتاه بنویسید. عدد گراهام را محاسبه کنید

3 . بیایید جلوتر برویم: ابر عملگر سطح پنجم پنتشن (تکرار تتراسیون) است. سه فلش بین اعداد. مزخرفات از اینجا شروع می شود که از آنجا افرادی که ریاضی دان حرفه ای نیستند تف روی این همه مزخرفات می اندازند و دیگر سعی در درک آن ندارند. اما شما مثل آنها نیستید، نه؟ اگر فکر می کردید که پنت بندی عدد 3 به 3 به توان 7,625,597,484,987 بسط می یابد، در اشتباهید. شما نمی دانید چقدر اشتباه می کنید. زیرا 3 به توان 7,625,597,484,987 فقط 34 است. و پنتاسیون 33 = 3(33) = 3(7,625,597,484,987) = 33…( تعداد توان - 7,625,597,484,987 بار)…3. یعنی یک برج آرام از سه قلو معلوم می شود بیش از هفت و نیم تریلیون طبقه ارتفاع دارد! به عبارت دیگر، عدد دوم با سه فلش به این معنی است که برج تتراسیون عدد اول چقدر خواهد بود. برای وضوح بیشتر: 34 را می توان به صورت 3 3 3 3 یا 3 (3 (3 3)) نوشت. و نکته اصلی در اینجا این است که درک کنیم که این برج تتراسیون یک برج درجه نیست، اینجا تشدید بسیار سریعتر است. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3. بالاخره فهمیدی؟ 34 برابر با 3 در تتراسیون عدد است که با محاسبه دکل برق از عدد 3 با ارتفاع 7,625,597,484,987 طبقه به دست می آید. بر این اساس، اگر 34 به عنوان دکل برق سه قلو نوشته شود، تعداد طبقات این برج برابر با عددی خواهد بود که هنگام محاسبه دکل برق با ارتفاع 7625597484987 طبقه به دست می آید. تصور کردی؟ من تصور نمی کردم، البته، چنین مقادیری را نمی توان یکباره درک کرد.

اگر هنوز آرام آرام متوجه نشدید که اینجا چه خبر است، پاراگراف 2 را دوباره بخوانید.

4 . و آخرین hyperoperator مورد نیاز ما hexation است. همانطور که ممکن است حدس بزنید، چهار فلش بین سه تایی وجود دارد. بر این اساس، این پنتیشن مکرر است. عدد دوم، اگر چهار فلش وجود داشته باشد، به این معنی است که برج "پنتشن" چقدر بلند خواهد بود. 33 = 3(33) = 333...33، که در آن تعداد تتراسیون ها نتیجه محاسبه پنتاسیون 33 است. اگر باز هم چیزی متوجه نشدید، پاراگراف های 3 و 2 را دوباره بخوانید. اگر به انتها حرکت کنیم. از این زنجیره غیرقابل تصور از تتراسیون ها و محاسبه آن شروع کنید، سپس ثلاث دوم از انتها از نظر تتراسیون برابر با 7,625,597,484,987 خواهد بود. پاراگراف قبلی و پیش از ما گوگول پلکس‌ها و گوگول پلکس‌های تکراری تتراسیون‌های عدد 3 وجود دارد. در اینجا تلاش برای درک چیزی و به نوعی درک نتیجه بی‌فایده است... و در اینجا ممکن است بپرسید: «آیا این واقعاً عدد گراهام است؟ وای، چقدر بزرگ است!» اما نه، این شماره گراهام نیست. این فقط یک ضرب المثل ریاضی بود و در مقایسه با عدد گراهام بسیار ناچیز و ناچیز است.

این به معنای هگزاسیون است. این فقط یک فلش به پنتیشن اضافه می شود، اما نتیجه به تعداد غیرقابل تصوری از مرتبه های بزرگتر تبدیل می شود. و اکنون، در واقع، در حال محاسبه عدد گراهام. عدد سه در مثال‌ها به دلیلی مورد استفاده قرار گرفت، زیرا عدد گراهام اساساً سه‌قلوها ضرب شده است. بنابراین، بیایید نتیجه هگزاسیون (33) خود را G1 بنامیم. این اولین مرحله از محاسبات خواهد بود. فقط اولی و مرحله بعدی پیشرفت را تسریع می کند به طوری که افزودن یک، ده، میلیون فلش بین اعداد نشان دهنده زمان است. مرحله دوم، محاسبه G2. حالا نتیجه هگزاسیون سه گانه را می گیریم و عبارتی می نویسیم که تعداد فلش های ابرقدرت برابر با این نتیجه باشد. G2 = 3 ... (تعداد فلش های ابرقدرت - G1) ... 3. من تعجب می کنم که hyperoperator از SUCH a level چه نام دارد؟... نوشتن نه تنها نتیجه، بلکه حتی این hyperoperator دیگر بدون مخفف امکان پذیر نیست. و عدد حاصل از محاسبه آن (البته اگر امکان محاسبه آن وجود داشت) جهان، جهان های موازی، زیرفضا و هر صفحه اختری دیگر را از اعداد خود پر می کرد. و فراموش نکنید که در G1 تعداد فلش ها برابر با 4 بود! و این قبلاً عددی است که برای محاسبه و ثبت به روش معمول غیرقابل دسترسی است! و در G2 این عدد فقط تعداد فوق درجه است. خودشه. پیشرفت فوق العاده سریع است. و این تازه اولشه. مرحله بعدی محاسبه عدد G3 است که تعداد تیرهای ابرقدرت برابر با G2 خواهد بود! و همینطور بعد از این 62 مرحله دیگر محاسبه وجود دارد که حاصل هر مرحله فقط تعداد تیرهای ابرقدرت مرحله بعدی است و عدد گراهام G64 است!

وایست، ماتان گاهی اوقات بدتر از هر داروی دیگری ارائه می دهد.