روش تابعی – گرافیکی برای حل معادلات. روش گرافیکی تابعی برای حل معادلات و روش گرافیکی تابعی برای حل معادلات نمایی

در دوره استاندارد ریاضی مدرسهاز خصوصیات توابع عمدتاً برای ساخت نمودارهای آنها استفاده می شود. روش تابعی برای حل معادلات اگر و تنها در صورتی استفاده می شود که معادله F(x) = G(x) در نتیجه تبدیل یا جایگزینی متغیرها نتواند به یک یا آن معادله استاندارد که دارای یک الگوریتم راه حل خاص است کاهش یابد.

برخلاف روش گرافیکی، آگاهی از ویژگی‌های توابع به شما امکان می‌دهد تا ریشه‌های دقیق معادله را بدون نیاز به ساخت نمودار توابع پیدا کنید. استفاده از خواص توابع به منطقی کردن حل معادلات کمک می کند.

ویژگی های زیر تابع در کار در نظر گرفته شده است: دامنه تعریف تابع; محدوده عملکرد؛ ویژگی های یکنواختی یک تابع؛ ویژگی های تحدب یک تابع؛ خواص توابع زوج و فرد

هدف کار: انجام برخی طبقه بندی معادلات غیر استاندارد با توجه به کاربرد آنها خواص عمومیتوابع، ماهیت هر ملک را توصیف کنید، توصیه هایی برای استفاده از آن، دستورالعمل های استفاده ارائه دهید.

همه کارها با حل مشکلات خاص ارائه شده در آزمون دولتی واحد در سال های مختلف همراه است.

فصل 1. استفاده از مفهوم دامنه تعریف یک تابع.

بیایید چند تعریف کلیدی را معرفی کنیم.

دامنه تعریف تابع y = f(x) مجموعه ای از مقادیر متغیر x است که تابع برای آن معنا دارد.

اجازه دهید معادله f(x) = g(x) داده شود، که در آن f(x) و g(x) هستند توابع ابتدایی، در مجموعه های D1، D2 تعریف شده است. سپس ناحیه D مقادیر مجاز معادله مجموعه ای متشکل از مقادیر x است که به هر دو مجموعه تعلق دارد، یعنی D = D1∩ D2. واضح است که وقتی مجموعه D خالی باشد (D=∅) معادله هیچ جوابی ندارد. (پیوست شماره 1).

1. آرکسین (x+2) +2x- x2 = x-2.

ODZ:-1 =0⇔-3

پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد.

2. (x2-4x+3 +1)log5x5 + 1x(8x-2x2-6 + 1) = 0.

ODZ: x2-4x+3>=0,x>0.8x-2x2-6>=0⇔x∈(-infinity;1∪ 3;infinity),x>01

بررسی کنید: x = 1.

(1-4+3 +1)log515 + (8-2-6 + 1) = 0،

0 = 0 - درست است.

x = 3. (9-12+3+1)log535 +13(24-18-6+1) = 0، log535 +13 = 0 - نادرست است.

اغلب به نظر می رسد که کافی است نه کل دامنه تعریف یک تابع، بلکه فقط زیر مجموعه آن را در نظر بگیریم، که در آن تابع مقادیری را می گیرد که شرایط خاصی را برآورده می کند (به عنوان مثال، فقط مقادیر غیر منفی).

1. x+27-x(x-9 +1) = 1.

ODZ: x-9>=0، x>=9.

برای x>=9 x+2>0، 7-x 0، بنابراین، حاصل ضرب سه عامل سمت چپ معادله منفی است و سمت راست معادله مثبت است، یعنی معادله فاقد است. راه حل ها

پاسخ: ∅.

2. 3-x2+ x+2 = x-2.

ODZ: 3-x2>=0,x+2>=0,⇔ 3-x(3+x)>=0,x>=-2,⇔ -3=-2,⇔

در مجموعه مقادیر مجاز، سمت چپ معادله مثبت و سمت راست منفی است، به این معنی که معادله هیچ راه حلی ندارد.

پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد.

فصل 2. استفاده از مفهوم محدوده تابع.

محدوده مقادیر تابع y = f(x) مجموعه مقادیر متغیر y در ارزش های قابل قبولمتغیر x.

به یک تابع y = f(x) گفته می‌شود که در مجموعه X در زیر (مثلاً در بالا) محدود می‌شود اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که نابرابری fx>=M روی X برقرار باشد (معمولاً fx).

یک تابع y = f(x) محدود به یک بازه معین (که در دامنه تعریف آن موجود است) نامیده می شود اگر عدد M > 0 وجود داشته باشد به طوری که برای همه مقادیر آرگومان متعلق به این بازه نابرابری f(x باشد. ) دارای

اجازه دهید معادله f(x) = g(x) داده شود، که در آن g(x) توابع ابتدایی تعریف شده در مجموعه های D1، D2 هستند. اجازه دهید دامنه تغییرات این توابع را به ترتیب E1 و E2 نشان دهیم. اگر x1 جواب معادله باشد، برابری عددی f(x1) = g(x1) برقرار خواهد بود، جایی که f(x1) مقدار تابع f(x) در x = x1 و g(x1) است. مقدار تابع g(x) در x = x1 است. این بدان معنی است که اگر معادله یک راه حل داشته باشد، محدوده توابع f(x) و g(x) دارای عناصر مشترک هستند (E1∩E2 !=∅). اگر مجموعه های E1 و E2 چنین عناصر مشترکی را نداشته باشند، معادله هیچ راه حلی ندارد.

از نابرابری های اساسی برای ارزیابی عبارات استفاده می شود. (پیوست شماره 2).

اجازه دهید معادله f(x) = g(x) داده شود. اگر f(x)>=0 و g(x)

1. x2+2xsinxy+1=0.

راه حل. یک واحد در سمت چپ وجود دارد، به این معنی که می توانید از پایه استفاده کنید هویت مثلثاتی: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.

مجموع سه جمله اول یک مربع کامل است:

(x+sinxy)2+cos2xy =0.

در نتیجه، در سمت چپ مجموع مربع ها است؛ زمانی که عبارات مربع ها به طور همزمان برابر با صفر باشند، برابر با صفر است. بیایید سیستم را بنویسیم: cosxy=0,x+sinxy=0.

اگر cosxy=0 باشد sinxy= +-1، بنابراین این سیستم معادل ترکیبی از دو سیستم است: x+1=0، cosxy=0 یا x-1=0، cosxy=0.

جواب آنها جفت اعداد x=1، y = PI 2 + PIm، m∈Z، و x=-1، y = PI 2 + PIm، m∈Z است.

پاسخ: x=1، y = PI 2 + PIm، m∈Z، و x=-1، y = PI 2 + PIm، m∈Z.

اگر در بازه X بالاترین ارزشیکی از توابع y = f(x)، y = g(x) برابر A و است کوچکترین ارزشتابع دیگری نیز برابر با A است، سپس معادله f(x) = g(x) در بازه X معادل سیستم معادلات fx=A، gx=A است.

1. تمام مقادیر a را که معادله برای آنها جواب دارد، پیدا کنید

2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).

پس از جایگزینی t= 22x-x2 به معادله cos(2t+PI3)=a-12 می رسیم.

تابع t=2m افزایش می یابد، یعنی در بالاترین مقدار m به بیشترین مقدار خود می رسد. اما m=2х - x دارای بیشترین مقدار برابر با 1 است. سپس tmax = 22·1-1=2. بنابراین، مجموعه مقادیر تابع t= 22x-x2 بازه (0;2، و تابع cos(2t+PI3) بازه -1;0.5 است. در نتیجه، معادله اصلی راه‌حلی برای آن دسته از مقادیر a دارد که نابرابری‌های -1 را برآورده می‌کنند. پاسخ: -12. معادله (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5 را حل کنید.

استفاده از نابرابری های آشکار

پاسخ: x= - 5+32 اگر a=1+32 و x=-5+32 اگر a= 1-32 باشد.

می توانید معادلات دیگر را با جزئیات بیشتری در نظر بگیرید. (پیوست شماره 3).

فصل 3. استفاده از خاصیت یکنواختی یک تابع.

به یک تابع y = f(x) در مجموعه X گفته می شود که در حال افزایش (به ترتیب کاهش می یابد) در صورتی که در این مجموعه، با افزایش آرگومان، مقادیر تابع افزایش می یابد (به ترتیب کاهش می یابد).

به عبارت دیگر، تابع y = f(x) در مجموعه X اگر از x1∈X، x2∈X و x1 افزایش می‌یابد، در این مجموعه اگر از x1∈X، x2∈X و x1 f(x2 باشد، کاهش می‌یابد.

اگر x1∈X، x2∈X و x1=f(x2) یک تابع y = f(x) در X به طور غیر دقیق افزایش می‌یابد (به ترتیب، به طور غیر دقیق کاهش می‌یابد).

توابعی که روی X کم و زیاد می‌شوند، یکنواخت روی X و توابعی که روی X به شدت افزایش یا کاهش نمی‌یابند، روی X به‌طور غیر دقیق یکنواخت می‌گویند.

برای اثبات یکنواختی توابع از عبارات زیر استفاده می شود:

1. اگر تابع f در مجموعه X افزایش یابد، برای هر عدد C تابع f + C نیز در X افزایش می یابد.

2. اگر تابع f در مجموعه X و C > 0 افزایش یابد، تابع Cf نیز در X افزایش می یابد.

3. اگر تابع f در مجموعه X افزایش یابد، تابع - f در این مجموعه کاهش می یابد.

4. اگر تابع f در مجموعه X افزایش یابد و علامت را در مجموعه X حفظ کند، تابع 1f در این مجموعه کاهش می یابد.

5. اگر توابع f و g در مجموعه X افزایش یابد، مجموع f+g آنها نیز در این مجموعه افزایش می یابد.

6. اگر توابع f و g در مجموعه X افزایش و غیرمنفی باشند، حاصل ضرب آنها fg نیز روی X افزایش می یابد.

7. اگر تابع f در مجموعه X و n افزایش و غیرمنفی باشد - عدد طبیعی، سپس تابع fn نیز X افزایش می یابد.

8. اگر هر دو تابع f(x) و g(x) در حال افزایش یا کاهش باشند، تابع h(x) = f(g(x)) یک تابع افزایشی است. اگر یکی از توابع در حال افزایش باشد. و دیگری در حال کاهش است، سپس h(x) = f(g(x)) یک تابع کاهشی است.

اجازه دهید قضایای معادلات را فرموله کنیم.

قضیه 1.

اگر تابع f(x) در بازه X یکنواخت باشد، معادله f(x) = C حداکثر یک ریشه در بازه X دارد.

قضیه 2.

اگر تابع f(x) در بازه X یکنواخت باشد، آنگاه معادله f(g(x)) = f(h(x)) در بازه X معادل معادله g(x) = h(x) است. .

قضیه 3.

اگر تابع f(x) در بازه X افزایش یابد و g(x) در بازه X کاهش یابد، معادله g(x) = f(x) حداکثر یک ریشه در بازه X دارد.

قضیه 4.

اگر تابع f(x) در بازه X افزایش یابد، آنگاه معادله f(f(x)) = x در بازه X معادل معادله f(x) = x است.

1. تمام مقادیر a را که معادله دقیقاً سه ریشه دارد، پیدا کنید

4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.

راه حل. بیایید این معادله را به شکل تبدیل کنیم

2x2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).

اگر u = x2-2x، v=2x-a-1 قرار دهیم، به معادله می رسیم

2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).

تابع f (t) = 2tlog3(t+3) به صورت یکنواخت برای t>-2 افزایش می یابد، بنابراین از آخرین معادله می توانیم به معادل u = v، x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1 برویم. )2=2x -a.

این معادله همانطور که از شکل مشخص است در موارد زیر دقیقاً سه ریشه دارد:

1. راس نمودار تابع y = 2x-a در راس سهمی y = (x-1)2 قرار دارد که با a = 1 مطابقت دارد.

2. پرتو سمت چپ نمودار y = 2x-a سهمی را لمس می کند و پرتو سمت راست آن را در دو نقطه قطع می کند. این با a=12 امکان پذیر است.

3. اشعه سمت راست لمس می کند و پرتو چپ سهمی را قطع می کند که وقتی a=32 رخ می دهد.

اجازه دهید مورد دوم را توضیح دهیم. معادله اشعه سمت چپ y = 2a-2x است شیببرابر 2- است. بنابراین ضریب زاویه ای مماس بر سهمی برابر است با

2 (x -1) = -2 ⇒ x = 0 و نقطه مماس دارای مختصات (0؛ 1) است. از شرطی که این نقطه متعلق به پرتو باشد، a=12 را پیدا می کنیم.

مورد سوم را می توان به طور مشابه یا با استفاده از ملاحظات تقارن در نظر گرفت.

پاسخ: 0.5; 1; 1.5.

می توانیم معادلات دیگر را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم. (پیوست شماره 4).

فصل 4. استفاده از خواص تحدب.

اجازه دهید یک تابع f(x) در بازه X تعریف شود، آن را به شدت محدب رو به پایین (به سمت بالا) در X می نامیم اگر برای هر u و v از X، u!=v و 0 باشد.

از نظر هندسی، این بدان معنی است که هر نقطه از وتر BC (یعنی قطعه ای با انتهای نقاط B(u;f(u)) و C(v;f(v))، متفاوت از نقاط B و C، در بالا قرار دارد. (زیر) نقطه و نمودار تابع f(x)، مربوط به همان مقدار آرگومان (پیوست شماره 5).

توابعی که به شدت محدب به بالا و پایین هستند به شدت محدب نامیده می شوند.

عبارات زیر درست است.

قضیه 1.

اجازه دهید تابع f(x) در بازه X, u ,v ∈X, u به شدت رو به پایین محدب باشد

عبارت زیر از قضیه 1 به دست می آید.

قضیه 2.

اگر تابع f(x) در بازه X کاملا محدب باشد، توابع u = u(x)، v = v(x)، u1=u1(x)، v1 = v1(x) به گونه ای هستند که برای همه x از معادلات ODZ f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) مقادیر آنها u(x)، v(x)، u1(x)، v1(x) هستند. موجود در X و شرط u ارضا می شود +v = u1 +v1، سپس معادله f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) در ODZ معادل مجموعه ای از معادلات u (x) = u1(x)، u(x) = v1(x) (3).

1. 41-sin4x+41-cos4x=412.

راه حل. اگر fx= 41-x2، u=cos2x، v=sin2x، u1=v1=12 را تنظیم کنیم، این معادله به شکل (1) نوشته می شود. از آنجایی که f"x= -x24(1-x2)3، f""x=-2+x244(1-x2)7، پس تابع fx به شدت در قسمت -1;1 به سمت بالا محدب است. بدیهی است که باقیمانده شرایط قضیه 2 برآورده می شود و بنابراین، معادله معادل معادله cos2x = 0.5، x = PI4 + PIk2، که در آن k∈Z است.

پاسخ: x = PI4 + PIk2، که در آن k∈Z.

قضیه 3.

اجازه دهید تابع fx در بازه X و u,v, λv+(1-λ)u∈X کاملا محدب باشد. سپس برابری f (λv+(1-λ)u) = λf(v)+(1-λ)f(u) (4) معتبر است اگر و فقط اگر u=v یا λ=0، یا λ=1 .

مثال‌ها: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.

معادله شکل (4) دارد اگر fx=x1+x= x+x2، u=sin3x، v= cos3x، λ=sin2x.

بدیهی است که تابع fx روی R به شدت به سمت پایین محدب است. بنابراین، با قضیه 3، معادله اصلی معادل مجموعه معادلات sinx=0، sin2x=1، cos3x=sin3x است.

از اینجا می‌گیریم که راه‌حل‌های آن PIk2، PI12+PIn3، که در آن k,n∈Z خواهد بود.

پاسخ: PIk2، PI12+PIn3، که در آن k,n∈Z.

استفاده از خواص تحدب در حل و بیشتر استفاده می شود معادلات پیچیده. (پیوست شماره 6).

فصل 5. استفاده از خصوصیات زوج یا فرد توابع.

یک تابع fx فراخوانی می شود حتی اگر برای هر مقدار x گرفته شده از دامنه تعریف تابع، مقدار - x نیز به حوزه تعریف تعلق داشته باشد و برابری f-x = fx برقرار است. تابع fx فرد نامیده می شود اگر برای هر مقدار x گرفته شده از دامنه تعریف تابع، مقدار - x نیز به حوزه تعریف تعلق داشته باشد و تساوی f-x = - fx برقرار باشد.

از تعریف به دست می آید که حوزه های توابع زوج و فرد حدود صفر متقارن هستند (یک شرط ضروری).

برای هر دو مقدار متقارن آرگومان از دامنه تعریف، تابع زوج برابر است مقادیر عددی، و فرد - مساوی در قدر مطلق، اما علامت مخالف.

قضیه 1.

مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب دو تابع زوج، توابع زوج هستند.

قضیه 2.

حاصلضرب و ضریب دو تابع فرد هستند حتی توابع.

اجازه دهید معادله F(x)=0 را داشته باشیم که در آن F(x) یک تابع زوج یا فرد است.

برای حل معادله F(x) = 0، که در آن F(x) یک تابع زوج یا فرد است، کافی است ریشه های مثبت (یا منفی) متقارن با آنچه به دست آمده است را پیدا کنید. تابع فرداگر این مقدار در دامنه F(x) باشد، ریشه x = 0 خواهد بود. برای یک تابع زوج، مقدار x = 0 با جایگزینی مستقیم در معادله بررسی می شود.

ما توابع زوج در دو طرف معادله داریم. بنابراین کافی است برای x>=0 راه حل هایی پیدا کنید. از آنجایی که x=0 ریشه معادله نیست، دو بازه را در نظر بگیرید: (0;2،2;بی نهایت).

الف) در بازه (0;2) داریم:

8x= 2x+2-x+2، 23x=24، x=43.

ب) در بازه 2؛ بی نهایت داریم:

8x= 2x+2+x-2.23x=22x، x=0.

اما از آنجایی که x = 0 ریشه معادله نیست، پس برای x>0 این معادله دارای ریشه x = 43 است. سپس x = - 43 نیز ریشه معادله است.

پاسخ: 43; - 43.

نگارنده بر این باور است که این اثر می تواند مورد استفاده معلمان و دانش آموزان انواع آموزش عمومی باشد فعالیت های فوق برنامه، در آماده سازی برای المپیادهای ریاضی, قبولی در آزمون دولتی یکپارچه, امتحان ورودیبه دانشکده های فنی

هدف:مشکلات ZNO را با استفاده از روش های عملکردی- گرافیکی با استفاده از یک مثال در نظر بگیرید تابع نمایی y = a x، a>0، a1

اهداف درس:

تکرار خاصیت یکنواختی و محدودیت تابع نمایی.
تکرار الگوریتم برای ساخت نمودارهای تابع با استفاده از تبدیل.
مقادیر زیادی از یک تابع و تعاریف زیادی را بر اساس نوع فرمول و با استفاده از نمودار پیدا کنید.
تصميم گرفتن معادلات نمایی، نابرابری ها و سیستم ها با استفاده از نمودارها و ویژگی های توابع.
کار با نمودارهای تابع حاوی یک ماژول؛
به نمودارها نگاه کنید تابع پیچیدهو دامنه مقادیر آنها؛

در طول کلاس ها:

1. سخنرانی مقدماتی توسط معلم. انگیزه مطالعه این موضوع

اسلاید 1 تابع نمایی. "روش های کاربردی - گرافیکی برای حل معادلات و نابرابری ها"

روش تابعی-گرافیکی مبتنی بر استفاده از تصاویر گرافیکی، استفاده از ویژگی های یک تابع است و به شما امکان می دهد بسیاری از مسائل را در ریاضیات حل کنید.

اسلاید 2 اهداف درس

امروز با استفاده از مثال تابع نمایی y = a x, a>o, a1 به مسائل ZNO با سطوح مختلف پیچیدگی با استفاده از روش های تابعی- گرافیکی نگاه خواهیم کرد. با استفاده از یک برنامه گرافیکی، تصاویری برای مشکلات ایجاد می کنیم.

اسلاید 3 چرا دانستن خواص تابع نمایی اینقدر مهم است؟

طبق قانون عملکرد نمایی، اگر شرایط مساعدی برای این کار وجود داشته باشد، همه موجودات زنده روی زمین تولید مثل می کنند. هیچ دشمن طبیعی وجود نداشت و غذای زیادی وجود داشت. گواه این امر گسترش خرگوش هایی در استرالیا است که قبلاً وجود نداشتند. کافی بود چند نفر را آزاد کنند و بعد از مدتی نسل آنها به یک فاجعه ملی تبدیل شد.
در طبیعت، فناوری و اقتصاد فرآیندهای متعددی وجود دارد که طی آن مقدار یک کمیت به همان تعداد دفعات تغییر می کند، یعنی. طبق قانون تابع نمایی به این فرآیندها فرآیند گفته می شود رشد طبیعییا تضعیف ارگانیک.
مثلا، رشد باکتریدر شرایط ایده آل با روند رشد ارگانیک مطابقت دارد. تجزیه مواد رادیواکتیو- فرآیند تضعیف آلی.
تابع قوانین رشد ارگانیک رشد سپردهدر بانک پس انداز، ترمیم هموگلوبیندر خون اهداکننده یا مجروحی که خون زیادی از دست داده است.
مثال های خود را بیاورید
برنامه در زندگی واقعی(دوز دارو).

پیام در مورد دوز دارو:

همه می دانند که قرص هایی که پزشک برای درمان توصیه می کند باید چند بار در روز مصرف شود، در غیر این صورت بی اثر خواهند بود. نیاز به تجویز مجدد دارو برای حفظ غلظت ثابت در خون ناشی از تخریب دارو در بدن است. شکل نشان می دهد که چگونه در اکثر موارد غلظت داروها در خون یک فرد یا حیوان پس از یک بار مصرف تغییر می کند. اسلاید 4.

کاهش غلظت دارو را می توان با نمایی که توان آن حاوی زمان است تقریب زد. بدیهی است که سرعت تخریب دارو در بدن باید متناسب با شدت فرآیندهای متابولیک باشد.

یک مورد غم انگیز وجود دارد که به دلیل ناآگاهی از این اعتیاد رخ داده است. با نکته علمیداروی LSD که باعث ایجاد توهمات عجیب و غریب در افراد عادی می شود، برای روانپزشکان و فیزیولوژیست های عصبی بسیار جالب است. برخی از محققان تصمیم گرفتند واکنش فیل به این دارو را بررسی کنند. برای انجام این کار، آن‌ها مقدار LSD را که باعث عصبانیت گربه‌ها می‌شود، دریافت کردند و آن را در تعداد دفعاتی که جرم یک فیل بیشتر از جرم یک گربه است ضرب کردند، و معتقد بودند که دوز داروی تجویز شده باید مستقیماً با جرم مرتبط باشد. از حیوان تجویز چنین دوزی از ال اس دی به فیل منجر به مرگ فیل در عرض 5 دقیقه شد و نویسندگان به این نتیجه رسیدند که فیل ها نسبت به این دارو حساسیت بیشتری دارند. مروری بر این اثر که بعداً در مطبوعات منتشر شد، آن را "اشتباهی شبیه فیل" توسط نویسندگان آزمایش نامید.

2. به روز رسانی دانش دانش آموزان.

مطالعه یک تابع به چه معناست؟ (تعریف فرموله کنید، خصوصیات را توصیف کنید، نمودار بکشید)
چه تابعی را نمایی می نامند؟ مثال زدن.
چه ویژگی های اساسی تابع نمایی را می دانید؟
دامنه اهمیت (محدودیت)
دامنه
یکنواختی (شرایط افزایش و کاهش)
اسلاید 5 . انواع مقادیر تابع را مشخص کنید (طبق نقشه تمام شده)

اسلاید 6. شرط افزایش و کاهش تابع را نام ببرید و فرمول تابع را با نمودار آن مرتبط کنید

اسلاید 7. بر اساس ترسیم تمام شده، الگوریتم ساخت نمودارهای تابع را شرح دهید

اسلاید a) y=3 x + 2

ب) y=3 x-2 – 2

3-تشخیصی کار مستقل(با استفاده از کامپیوتر).

کلاس به دو گروه تقسیم می شود. بخش اصلی کلاس وظایف تستی را انجام می دهد. دانش آموزان قوی وظایف پیچیده تری را انجام می دهند.

کار مستقل در برنامهقدرت نقطه(برای بخش اصلی کلاس بر اساس نوع وظایف تستاز ZNO با فرم پاسخ بسته)
1. کدام تابع نمایی در حال افزایش است؟
2. دامنه تعریف تابع را پیدا کنید.
3. محدوده تابع را پیدا کنید.
4. نمودار تابع از نمودار تابع نمایی با ترجمه موازی در امتداد محور ... توسط ... واحد ... به دست می آید.
5. با استفاده از نقشه تمام شده، دامنه تعریف و دامنه مقدار تابع را تعیین کنید
6. تعیین کنید تابع نمایی با چه مقدار a از نقطه عبور می کند.
7. کدام شکل نمودار تابع نمایی با پایه بزرگتر از یک را نشان می دهد؟
8. نمودار تابع را با فرمول مطابقت دهید.
9. حل گرافیکی که نابرابری آن در شکل نشان داده شده است.
10. حل نابرابری به صورت گرافیکی (با استفاده از نقاشی تمام شده)
کار مستقل (برای بخش قوی کلاس)

اسلاید 8. الگوریتم ساخت نمودار یک تابع را بنویسید، دامنه تعریف، محدوده مقدار، فواصل افزایش و کاهش آن را نام ببرید.

اسلاید 9. فرمول تابع را با نمودار آن مطابقت دهید

)

دانش آموزان پاسخ های خود را بدون تصحیح اشتباه بررسی می کنند؛ کار مستقل به معلم واگذار می شود

اسلاید 10. پاسخ به وظایف تست

1) د 2) ب 3) ج 4) الف

5) D 6) C 7) B 8) 1-G 2-A 3-C 4- B

9) A 10)(2;+ )

اسلاید 11 (بررسی کار 8)

شکل نمودارهای توابع نمایی را نشان می دهد. نمودار تابع را با فرمول مطابقت دهید.

4. مطالعه کنید موضوع جدید. استفاده از روش تابعی- گرافیکی برای حل معادلات، نابرابری ها، سیستم ها، تعیین محدوده مقادیر یک تابع مختلط

اسلاید 12. روش گرافیکی کاربردی برای حل معادلات

برای حل تابعی معادله ای به شکل f(x)=g(x). روش گرافیکینیاز به:

نمودارهایی از توابع y=f(x) و y=g(x) در یک سیستم مختصات بسازید.

مختصات نقطه تقاطع نمودارهای این توابع را تعیین کنید.

پاسخ را یادداشت کنید.

کار شماره 1 حل معادلات

اسلاید 13.

آیا معادله ریشه دارد و اگر مثبت است یا منفی؟

6 x = 1/6

(4/3) x = 4

اسلاید 14

5. انجام کار عملی.

اسلاید 15.

این معادله قابل حل است به صورت گرافیکی. از دانش آموزان خواسته می شود تا تکلیف را کامل کنند و سپس به این سوال پاسخ دهند: "آیا برای حل این معادله نیاز به ساخت نمودار توابع است؟" پاسخ: "تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد و تابع کاهش می یابد. در نتیجه نمودار چنین توابعی حداکثر یک نقطه تقاطع دارند، به این معنی که معادله حداکثر یک ریشه دارد. با انتخاب متوجه می شویم که “.

معادله را حل کنید:

3 x = (x-1) 2 + 3

اسلاید 16. .راه حل:برای حل معادلات از روش تابعی استفاده می کنیم:

زیرا این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد، سپس با روش انتخاب x = 1 را پیدا می کنیم

کار شماره 2 حل نابرابری ها

روش های گرافیکی حل نابرابری های حاوی توابع مختلف را ممکن می سازد. برای انجام این کار، پس از ساخت نمودارهای توابع سمت چپ و راست نابرابری و تعیین ابسیسا نقطه تلاقی نمودارها، لازم است فاصله زمانی که تمام نقاط یکی از نمودارها در آن قرار دارند، تعیین شود. بالا (زیر 0 امتیاز دوم.

حل نابرابری:

اسلاید 17.

الف) cos x 1 + 3 x

اسلاید 1 8. راه حل:

پاسخ: ( ؛ )

نابرابری را به صورت گرافیکی حل کنید.

اسلاید 19.

(گراف تابع نمایی بالای تابع نوشته شده در سمت راست معادله قرار دارد.)

پاسخ: x>2. در باره

.
پاسخ: x>0.

وظیفه شماره 3 تابع نمایی شامل علامت مدول در توان است.

بیایید تعریف ماژول را تکرار کنیم.

(روی تخته بنویس)

اسلاید 20.

در دفترچه یادداشت بردارید:

1).

2).

یک تصویر گرافیکی در اسلاید ارائه شده است. نحوه ساخت نمودارها را توضیح دهید.

اسلاید 21.

برای حل این معادله باید خاصیت کران بودن تابع نمایی را به خاطر بسپارید. تابع مقادیر می گیرد > 1، a - 1 > 1، بنابراین برابری تنها زمانی ممکن است که هر دو طرف معادله به طور همزمان برابر با 1 باشند. این بدان معنی است که با حل این سیستم، متوجه می شویم که ایکس = 0.

وظیفه 4. یافتن محدوده مقادیر یک تابع پیچیده.

اسلاید 22.

استفاده از قابلیت ساخت نمودار تابع درجه دوم، به ترتیب مختصات راس سهمی را تعیین کنید، محدوده مقادیر را پیدا کنید.

اسلاید 23.

، راس سهمی است.

سوال:تعیین ماهیت یکنواختی تابع.

تابع نمایی y = 16 t افزایش می یابد، زیرا 16>1 است.

دقت چنین راه حلی کم است، اما با کمک یک نمودار می توانید به طور هوشمند اولین تقریبی را انتخاب کنید که از آن شروع به حل بیشتر معادله کنید. دو راه برای حل معادلات گرافیکی وجود دارد.

راه اول . تمام عبارت های معادله به سمت چپ منتقل می شوند، یعنی. معادله به شکل f(x) = 0 ارائه می شود. پس از این، نموداری از تابع y = f(x) ساخته می شود که f(x) سمت چپ معادله است. ابسیساهای نقاط تلاقی نمودار تابع y = f(x) با محور گاو نرو ریشه های معادله هستند، زیرا در این نقاط y = 0.

راه دوم . همه عبارت های معادله به دو گروه تقسیم می شوند که یکی از آنها در سمت چپ معادله و دیگری در سمت راست نوشته شده است. آن را به شکل j(x) = g(x) نشان دهید. پس از این، نمودارهای دو تابع y = j(x) و y = g(x) رسم می شوند. ابسیساهای نقاط تقاطع نمودارهای این دو تابع به عنوان ریشه های این معادله عمل می کنند. اجازه دهید نقطه تقاطع نمودارها دارای ابسیسا x o باشد، مختصات هر دو نمودار در این نقطه با یکدیگر برابر است، یعنی. j (x o) = g (x o). از این تساوی نتیجه می شود که x 0 ریشه معادله است.

جداسازی ریشه

فرآیند یافتن مقادیر تقریبی ریشه های معادله به دو مرحله تقسیم می شود:

1) جداسازی ریشه ها؛

2) پالایش ریشه ها به دقت معین.

ریشه x معادله f(x) = 0 در نظر گرفته می شود جدا از هم در بازه ای که معادله f(x) = 0 هیچ ریشه دیگری در این بازه نداشته باشد.

جدا کردن ریشه ها به معنای تقسیم کل محدوده مقادیر قابل قبول به بخش هایی است که هر کدام شامل یک ریشه است.

روش گرافیکی جداسازی ریشه - در این صورت مانند روش گرافیکی حل معادلات عمل کنید.

اگر منحنی محور x را لمس کند، در این مرحله معادله دارای یک ریشه دوگانه است (به عنوان مثال، معادله x 3 - 3x + 2 = 0 دارای سه ریشه است: x 1 = -2؛ x 2 = x 3 = 1 ).

اگر معادله دارای یک ریشه واقعی سه برابری باشد، در نقطه تماس با محور ایکس منحنی y = f(x) دارای یک نقطه عطف است (به عنوان مثال، معادله x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 دارای ریشه x 1 = x 2 = x 3 = 1 است).

روش تحلیلی جداسازی ریشه . برای انجام این کار، از برخی از ویژگی های توابع استفاده کنید.

قضیه 1 . اگر تابع f(x) روی یک قطعه پیوسته باشد و در انتهای این پاره، مقادیر نشانه های مختلف را بگیرد، در داخل قطعه حداقل یک ریشه از معادله f(x) = 0 وجود دارد.

قضیه 2. اگر تابع f(x) روی یک پاره پیوسته و یکنواخت باشد و در انتهای قطعه مقادیری از علائم مختلف را بگیرد، آن پاره شامل ریشه معادله f(x) = 0 است و این ریشه منحصر به فرد است. .

قضیه 3 . اگر تابع f(x) روی یک پاره پیوسته باشد و مقادیر نشانه های مختلف را در انتهای این قطعه بگیرد و مشتق f"(x) یک علامت ثابت را در داخل قطعه حفظ کند، در داخل قطعه یک علامت وجود دارد. ریشه معادله f(x) = 0 و علاوه بر این، یک عدد منحصر به فرد.

اگر تابع f(x) به صورت تحلیلی داده شود، پس دامنه وجود (حوزه تعریف) تابع مجموعه ای از همه آن مقادیر واقعی آرگومان است که عبارت تحلیلی که تابع را تعریف می کند معنای عددی خود را از دست نمی دهد و فقط مقادیر واقعی را می گیرد.

تابع y = f(x) فراخوانی می شود افزایش می یابد ، اگر با افزایش آرگومان، مقدار تابع افزایش یابد و در حال کاهش ، اگر با افزایش آرگومان، مقدار تابع کاهش می یابد.

تابع فراخوانی می شود یکنواخت ، اگر در یک بازه معین یا فقط افزایش یابد یا فقط کاهش یابد.

اجازه دهید تابع f(x) بر روی قطعه پیوسته باشد و مقادیر علائم مختلف را در انتهای پاره به خود بگیرد و مشتق f "(x) یک علامت ثابت در بازه نگه می دارد. سپس اگر در تمام نقاط بازه اولین مشتق مثبت است، یعنی f "(x) > 0، سپس تابع f(x) در این بازه افزایش . اگر در تمام نقاط بازه اولین مشتق منفی باشد، یعنی. f "(x)<0, то функция в этом интервале کاهش می دهد .

اجازه دهید تابع f(x) در یک بازه مشتق مرتبه دومی داشته باشد که علامت ثابتی را در کل بازه حفظ کند. سپس اگر f ""(x)>0 باشد، نمودار تابع است محدب به پایین ; اگر f ""(x)<0, то график функции является محدب .

نقاطی که اولین مشتق یک تابع برابر با صفر است و همچنین نقاطی که در آنها وجود ندارد (مثلاً به بی نهایت تبدیل می شود) اما تابع تداوم را حفظ می کند، نامیده می شوند. بحرانی .

روش جداسازی ریشه با استفاده از روش تحلیلی:

1) f "(x) - اولین مشتق را پیدا کنید.

2) با فرض یک جدول از نشانه های تابع f(x) بسازید ایکس مساوی با:

الف) مقادیر بحرانی (ریشه) مشتق یا نزدیکترین آنها؛

ب) مقادیر مرزی (بر اساس محدوده مقادیر مجاز ناشناخته).

مثال. ریشه های معادله 2 x - 5x - 3 = 0 را از هم جدا کنید.

ما f(x) = 2 x - 5x - 3 داریم. دامنه تعریف تابع f(x) کل محور عددی است.

بیایید اولین مشتق f "(x) = 2 x ln(2) - 5 را محاسبه کنیم.

این مشتق را برابر با صفر می کنیم:

2 x log(2) - 5 = 0 ; 2 x log(2) = 5 ; 2 x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)).

جدولی از علائم تابع f(x) را با این فرض جمع آوری می کنیم ایکس برابر با: الف) مقادیر بحرانی (ریشه های مشتق) یا نزدیکترین آنها. ب) مقادیر مرزی (بر اساس محدوده مقادیر مجاز ناشناخته):

ریشه های معادله در فواصل (-1.0) و (4.5) نهفته است.

ایده یک روش گرافیکی برای حل یک معادله ساده است. لازم است نمودارهایی از توابع موجود در دو طرف معادله ساخته شود و ابسیساهای نقاط تقاطع را پیدا کنیم. اما ترسیم نمودار برخی از توابع دشوار است. همیشه نیازی به ترسیم نمودارها نیست، چنین معادلاتی را می توان با استفاده از روش انتخاب ریشه و با استفاده از ویژگی های یکنواختی و کران بودن توابع حل کرد. این به شما امکان می دهد تا به سرعت وظایف ارائه شده در هنگام گذراندن آزمون دولتی واحد را حل کنید.

دانلود:

پیش نمایش:

موسسه آموزشی شهرداری

"سالن ورزشی شماره 24"

روش کارکردی – گرافیکی

حل معادلات.

تهیه شده توسط استاد

دانیلینا اولگا سرگیونا.

ماگادان 2007

« روش کاربردی - گرافیکی برای حل معادلات

هدف درس: ایجاد توانایی حل معادلات یک نوع خاص با استفاده از روش تابعی-گرافیکی، با استفاده از خواص کران و یکنواختی توابع.

ساختار درس:

سخنرانی مقدماتی معلم، مقدمه ای بر موضوع درس، تعیین هدف

به روز رسانی دانش کسب شده قبلی لازم برای تسلط بر موضوع درس

ارائه توسط ارائه دهندگان، حاوی ارائه مطالب جدید با نمونه هایی از راه حل های مختلف معادلات

به منظور تثبیت اولیه آموخته ها به صورت گروهی کار کنید

اجرای بازی مشابه بازی: «چی؟ جایی که؟ چه زمانی؟"

جمع بندی درس.

در سخنرانی مقدماتی، معلم تجربه خود را از روش جدید به اشتراک می گذارد. در مورد نیاز به تسلط بر آن، اهمیت آن، امکان کسب مهارت های بیشتر صحبت می کند تصمیم منطقیمقایسه ها
به روز رسانی دانش:: توابع افزایش و کاهش، مثال ها، خواص یکنواختی و توابع محدود.
ارائه یک مبحث جدید با استفاده از اسلایدهایی که مطالب نظری را با مثال هایی از حل معادلات نشان می دهد (پیوست را ببینید).
کار در گروه: به هر گروه کارت هایی با وظایف، نمونه هایی از راه حل ها و تکالیف داده می شود. مشاوران دانشجویی که درس را هدایت می کنند، پیشرفت تکالیف را زیر نظر دارند و در صورت لزوم به کمک می آیند. در حین کار، افرادی که به صورت گروهی کار می کنند می توانند از رایانه هایی استفاده کنند که با برنامه خاصی پیکربندی شده اند که به آنها امکان می دهد نمودارهایی از توابع بسازند. به همین دلیل، در شرایط دشوار، رایانه می تواند به عنوان یک اشاره یا به عنوان فرصتی برای نمایش واضح استفاده شود. صحت راه حل و صحت روش انتخاب شده.
حفاظت توسط نماینده گروه کارهای انجام شده، با استفاده از یک برد چند رسانه ای، که حل معادلات را با استفاده از روش گرافیکی برای تأیید صحت کار انجام شده نشان می دهد. RA
اجرای بازی. برای هر گروه یک سوال از صفحه مانیتور شنیده می شود که قبلا توسط معلمان مدارس مختلف ضبط شده است و یک دقیقه برای بحث در نظر گرفته می شود و پس از آن بچه ها باید پاسخ مستدل خود را بدهند. پس از این، معلمی که قبلاً سؤال را مطرح کرده بود، از صفحه‌ای که به تازگی روشن شده است، نسخه‌ای از پاسخ خود را ارائه می‌کند.بنابراین، تکرار مکرر استدلال در مورد موضوعی که به تازگی مطالعه شده است، به ویژه که توسط افراد مختلف به خوبی تلفظ می‌شود، مطلوب‌ترین شرایط را برای تسلط به دست می‌آورد. یک موضوع جدید. (به پیوست مراجعه کنید.)
جمع بندی: شناسایی بهترین «پنج کارشناس، بهترین بازیکن.

سوالات برای کلاس؛

در درس امروز چه آموختید؟

با استفاده از روش انتخاب چه معادلاتی را می توان حل کرد؟

در این مورد چه ویژگی هایی از توابع استفاده می شود.

سوالات برای شرکت کنندگان در بازی:

کارشناسان عزیز در یک دقیقه ریشه این معادله را پیدا کنید و ثابت کنید که تنها است.

پاسخ: مجموع دو تابع افزایشی یک تابع افزایشی است. y = - به طور یکنواخت افزایش می یابد، بنابراین معادله یک ریشه دارد، زیرا نمودار این تابع یک بار با خط مستقیم y=3 قطع می شود. وقتی x=1 برابری صحیح را بدست می آوریم. پاسخ: x=1

کارشناسان محترم در یک دقیقه توابعی که در دو طرف نامساوی موجود است را نام برده و ریشه این معادله را پیدا کنید.

پاسخ: y = - افزایش تابع نمایی بر روی مجموعه اعداد حقیقی. y=6 - x یک تابع خطی است، در مجموعه اعداد حقیقی به صورت یکنواخت کاهش می یابد. این بدان معنی است که نمودارهای توابع در یک نقطه قطع می شوند، معادله یک ریشه دارد. وقتی x=2 برابری صحیح را بدست می آوریم. پاسخ: x=2

3. کارشناسان عزیز می دانید که معادله یک ریشه دارد x=3. در یک دقیقه پاسخ دهید که این نابرابری در چه مقادیری از x وجود دارد.

پاسخ: نابرابری برای x Є برقرار است، زیرا در این بازه، نمودار تابع y = در زیر نمودار تابع y = قرار دارد

4. کارشناسان عزیز بسیاری از افراد در حل معادله مشکل دارند. در یک دقیقه ریشه این معادله را بیابید و بی نظیر بودن آن را ثابت کنید.

پاسخ: ریشه معادله x = -3 منحصر به فرد است، زیرا سمت چپ معادله دارای یک تابع کاهنده و سمت راست دارای یک تابع افزایشی است، به این معنی که نمودارهای توابع در یک نقطه قطع می شوند و معادله دارای یک تابع است. یک ریشه

5. کارشناسان محترم یک سوال سخت از شما دارم. شما به راحتی می توانید ریشه معادله را پیدا کنید. ثابت کنید که او تنها است. پاسخ: x=1 تنها ریشه است.

روش کاربردی - گرافیکی برای حل معادلات.

________________________________________________________________________

هدف درس: یادگیری حل معادلات با استفاده از روش جایگزینی با استفاده از خواص یکنواختی و کران توابع.

_________________________________________________________________________

مواد مرجع