مربع متوازی الاضلاع، ساخته شده بر پایه ی بردارها، به عنوان حاصل ضرب طول این بردارها و سینوس زاویه بین آنها محاسبه می شود. اگر فقط مختصات بردارها مشخص باشد، برای محاسبه باید از آن استفاده کنید روش های مختصاتاز جمله برای تعیین زاویه بین بردارها.

شما نیاز خواهید داشت

• - مفهوم بردار؛
• - خواص بردارها؛
• - مختصات کارتزین؛
• - توابع مثلثاتی

دستورالعمل ها

• اگر طول بردارها و زاویه بین آنها مشخص باشد، برای یافتن مساحت متوازی الاضلاع، ساخته شده بر پایه ی بردارهاحاصل ضرب مدول های آنها (طول بردار) را با سینوس زاویه بین آنها پیدا کنید S=│a│ │ b│ sin(α).
• اگر بردارها در سیستم مختصات دکارتی داده شوند، برای یافتن مساحت متوازی الاضلاعساخته شده بر روی آنها، موارد زیر را انجام دهید:
• مختصات بردارها را در صورتی که فوراً داده نشده باشند، با کم کردن مختصات ابتدایی از مختصات متناظر انتهای بردارها، بیابید. به عنوان مثال، اگر مختصات نقطه شروع بردار (1;-3;2) و نقطه پایانی (2;-4;-5) باشد، مختصات بردار (2-1;-) خواهد بود. 4+3;-5-2)=(1 ;-1;-7). مختصات بردار a(x1;y1;z1)، بردار b(x2;y2;z2) را در نظر بگیرید.
• طول هر یک از بردارها را بیابید. هر یک از مختصات بردار را مربع کنید و مجموع آنها را x1²+y1²+z1² پیدا کنید. جذر نتیجه را بگیرید. برای بردار دوم نیز همین روش را انجام دهید. بنابراین، ما │a│و│b│ را دریافت می کنیم.
• حاصل ضرب نقطه ای بردارها را پیدا کنید. برای این کار، مختصات متناظر آنها را ضرب کرده و حاصلضرب های │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2 را اضافه کنید.
• کسینوس زاویه بین آنها را تعیین کنید، که حاصل ضرب اسکالر بردارهای به دست آمده در مرحله 3 بر حاصلضرب طول بردارهایی که در مرحله 2 محاسبه شدند تقسیم می شود (Cos(α)= │a b│/(│a │ │ ب│)).
• سینوس زاویه حاصل برابر با جذر اختلاف بین عدد 1 و مجذور کسینوس همان زاویه خواهد بود که در مرحله 4 محاسبه شده است (1-Cos²(α)).
• محاسبه مساحت متوازی الاضلاع، ساخته شده بر پایه ی بردارهاحاصل ضرب طول آنها را که در مرحله 2 محاسبه شده است، پیدا کرده و نتیجه را در عدد بدست آمده پس از محاسبات در مرحله 5 ضرب کنید.
• در صورتی که مختصات بردارها در صفحه داده شود، مختصات z به سادگی در طول محاسبات کنار گذاشته می شود. این محاسبه است بیان عددیحاصل ضرب برداری دو بردار

مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها برابر است با حاصل ضرب طول این بردارها و زاویه زاویه ای که بین آنها قرار دارد.

زمانی خوب است که شرایط طول این بردارها را مشخص کند. با این حال، همچنین اتفاق می افتد که فرمول مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را می توان تنها پس از محاسبات با استفاده از مختصات اعمال کرد.
اگر خوش شانس هستید و شرایط طول بردارها را مشخص می کند، فقط باید فرمولی را اعمال کنید که قبلاً در مقاله به تفصیل در مورد آن صحبت کرده ایم. مساحت برابر با حاصل ضرب ماژول ها و سینوس زاویه بین آنها خواهد بود:

بیایید مثالی از محاسبه مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را در نظر بگیریم.

وظیفه:متوازی الاضلاع بر روی بردارها و . مساحت if را پیدا کنید و زاویه بین آنها 30 درجه باشد.
بیایید بردارها را از طریق مقادیر آنها بیان کنیم:

شاید شما یک سوال داشته باشید - صفرها از کجا می آیند؟ شایان ذکر است که ما با بردارها و برای آنها کار می کنیم . همچنین توجه داشته باشید که اگر نتیجه یک عبارت باشد، به آن تبدیل می شود. اکنون محاسبات نهایی را انجام می دهیم:

اجازه دهید زمانی که طول بردارها در شرایط مشخص نشده است به مسئله برگردیم. اگر متوازی الاضلاع شما در سیستم مختصات دکارتی قرار دارد، باید کارهای زیر را انجام دهید.

محاسبه طول اضلاع یک شکل با مختصات

ابتدا مختصات بردارها را پیدا کرده و مختصات مربوط به ابتدا را از مختصات پایانی کم می کنیم. فرض کنید مختصات بردار a (x1;y1;z1) و بردار b (x3;y3;z3) باشد.
حالا طول هر بردار را پیدا می کنیم. برای انجام این کار، هر مختصات باید مربع شود، سپس نتایج به دست آمده و از را اضافه کنید عدد محدودریشه را استخراج کنید بر اساس بردارهای ما، محاسبات زیر انجام خواهد شد:


اکنون باید حاصل ضرب اسکالر بردارهای خود را پیدا کنیم. برای این کار مختصات مربوط به آنها ضرب و جمع می شود.

با داشتن طول بردارها و حاصل ضرب اسکالر آنها، می توانیم کسینوس زاویه بین آنها را پیدا کنیم. .
حالا می توانیم سینوس همان زاویه را پیدا کنیم:
اکنون ما تمام مقادیر لازم را داریم و به راحتی می توانیم مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را با استفاده از فرمول از قبل شناخته شده پیدا کنیم.

در این درس به دو عمل دیگر با بردارها نگاه خواهیم کرد: حاصلضرب برداری بردارهاو حاصلضرب مخلوط بردارها (لینک فوری برای کسانی که به آن نیاز دارند). اشکالی ندارد، گاهی اوقات اتفاق می افتد که برای خوشبختی کامل، علاوه بر حاصل ضرب اسکالر بردارها ، بیشتر و بیشتر مورد نیاز است. این اعتیاد بردار است. ممکن است به نظر برسد که ما در حال ورود به طبیعت هستیم هندسه تحلیلی. این اشتباه است. در این بخش از ریاضیات عالی به طور کلی چوب کمی وجود دارد، به جز شاید به اندازه کافی برای پینوکیو. در واقع، مواد بسیار رایج و ساده است - به سختی پیچیده تر از همان حاصلضرب عددی ، زوج وظایف معمولیکمتر وجود خواهد داشت. نکته اصلی در هندسه تحلیلی، همانطور که بسیاری متقاعد شده اند یا قبلاً متقاعد شده اند، اشتباه نکردن در محاسبات است. مثل یک طلسم تکرار کنید و خوشحال خواهید شد =)

اگر بردارها در جایی دور می درخشند، مانند رعد و برق در افق، مهم نیست، با درس شروع کنید وکتور برای آدمک برای بازیابی یا کسب مجدد دانش اولیه در مورد بردارها. خوانندگان آماده تر می توانند به طور انتخابی با اطلاعات آشنا شوند؛ من سعی کردم تا حد امکان جمع آوری کنم مجموعه کاملنمونه هایی که اغلب در آنها یافت می شود کار عملی

چه چیزی شما را بلافاصله خوشحال می کند؟ وقتی کوچک بودم، می‌توانستم با دو و حتی سه توپ دستکاری کنم. خوب کار کرد. اکنون دیگر نیازی به دستکاری نخواهید داشت، زیرا ما در نظر خواهیم گرفت فقط بردارهای فضایی، آ بردارهای مسطحبا دو مختصات حذف خواهد شد. چرا؟ به این ترتیب این کنش ها متولد شدند - بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها تعریف شده و در آن کار می کنند فضای سه بعدی. در حال حاضر آسان تر است!

این عملیات، درست مانند محصول اسکالر، شامل دو بردار. بگذار اینها حروف فنا ناپذیر باشند.

خود عمل نشان داده شده بابه روش زیر: . گزینه های دیگری نیز وجود دارد، اما من عادت دارم که حاصل ضرب برداری بردارها را به این شکل، در پرانتز مربع با یک ضربدر نشان دهم.

و بلافاصله سوال: اگر در حاصل ضرب اسکالر بردارها دو بردار درگیر هستند، و در اینجا دو بردار نیز ضرب می شوند، سپس تفاوت در چیست? تفاوت آشکار، اول از همه، در نتیجه است:

حاصل حاصل ضرب اسکالر بردارها NUMBER است:

حاصل ضرب ضربدری بردارها بردار است: یعنی بردارها را ضرب می کنیم و دوباره بردار می گیریم. باشگاه تعطیل شده در واقع، نام عملیات از اینجا آمده است. در انواع مختلف ادبیات آموزشینامگذاری ها نیز ممکن است متفاوت باشد، من از حرف استفاده خواهم کرد.

تعریف محصول متقاطع

ابتدا یک تعریف با یک تصویر وجود دارد، سپس نظرات.

تعریف: محصول برداری غیر خطیبردارها، گرفته شده است به این ترتیب به نام VECTOR، طولکه به صورت عددی است برابر مساحت متوازی الاضلاع است، بر اساس این بردارها ساخته شده است. بردار متعامد به بردارها، و به گونه ای هدایت می شود که اساس جهت گیری درست داشته باشد:

بیایید تعریف را تکه تکه کنیم، چیزهای جالب زیادی در اینجا وجود دارد!

بنابراین، می توان به نکات مهم زیر اشاره کرد:

1) بردارهای اصلی که با فلش های قرمز مشخص شده اند، طبق تعریف خطی نیست. اتفاق می افتد بردارهای خطیمناسب است که کمی بعد در نظر بگیریم.

2) بردارها گرفته می شوند به ترتیب کاملاً مشخص: – "الف" در "بودن" ضرب می شود، نه "بودن" با "الف". حاصل ضرب برداری VECTOR است که با رنگ آبی نشان داده شده است. اگر بردارها به ترتیب معکوس ضرب شوند، بردار برابر طول و مخالف جهت (رنگ تمشک) به دست می آوریم. یعنی برابری درست است .

3) حال با معنای هندسی حاصلضرب بردار آشنا می شویم. این نکته بسیار مهمی است! LENGTH بردار آبی (و بنابراین بردار زرشکی) از نظر عددی برابر با AREA متوازی الاضلاع ساخته شده روی بردارها است. در شکل، این متوازی الاضلاع به رنگ مشکی است.

توجه داشته باشید : رسم شماتیک است و طبیعتاً طول اسمی حاصلضرب بردار با مساحت متوازی الاضلاع برابر نیست.

یکی از آنها را به یاد بیاوریم فرمول های هندسی: مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها.. بنابراین، بر اساس موارد فوق، فرمول محاسبه LENGTH حاصلضرب بردار معتبر است:

تاکید می کنم که فرمول مربوط به LENGTH بردار است و نه در مورد خود بردار. معنای عملی چیست؟ و معنی این است که در مسائل هندسه تحلیلی، مساحت متوازی الاضلاع اغلب از طریق مفهوم یک محصول برداری پیدا می شود:

اجازه دهید فرمول مهم دوم را بدست آوریم. مورب متوازی الاضلاع (خط نقطه چین قرمز) آن را به دو قسمت تقسیم می کند مثلث مساوی. بنابراین، مساحت یک مثلث ساخته شده بر روی بردارها (سایه دهی قرمز) را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

4) یک واقعیت به همان اندازه مهم این است که بردار متعامد با بردارها است، یعنی . البته بردار جهت مخالف (فلش تمشک) نیز با بردارهای اصلی متعامد است.

5) بردار به گونه ای جهت داده شده است که اساس این دارد درستگرایش. در درس در مورد انتقال به یک پایه جدید من با جزئیات کافی در مورد آن صحبت کردم جهت هواپیما، و اکنون متوجه خواهیم شد که جهت گیری فضا چیست. من روی انگشتان شما توضیح خواهم داد دست راست . ذهنی ترکیب کنید انگشت اشارهبا وکتور و انگشت وسطبا وکتور انگشت حلقه و انگشت کوچکآن را در کف دست خود فشار دهید. در نتیجه شست- محصول برداری به بالا نگاه می کند. این یک مبنای راست گرا است (این یکی در شکل است). حالا بردارها را تغییر دهید ( انگشت اشاره و وسط) در بعضی جاها، در نتیجه انگشت شست به اطراف می چرخد ​​و حاصلضرب بردار از قبل به پایین نگاه می کند. این نیز یک مبنای حق مدار است. ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید: کدام پایه گرایش چپ دارد؟ "تخصیص" به همان انگشتان دست چپبردارها، و پایه سمت چپ و جهت چپ فضا را بدست آورید (در این حالت انگشت شست در جهت بردار پایینی قرار می گیرد). به بیان تصویری، این پایه ها فضا را «پیچیده» یا جهت می دهند طرف های مختلف. و این مفهوم را نباید چیزی دور از ذهن یا انتزاعی در نظر گرفت - به عنوان مثال، جهت گیری فضا توسط معمولی ترین آینه تغییر می کند، و اگر شما "شیء منعکس شده را از شیشه بیرون بکشید"، در حالت کلی ترکیب آن با "اصلی" امکان پذیر نخواهد بود. به هر حال، سه انگشت خود را به سمت آینه بگیرید و انعکاس را تجزیه و تحلیل کنید ;-)

... چقدر خوب است که اکنون از آن خبر دارید راست و چپمبانی، زیرا اظهارات برخی از اساتید در مورد تغییر جهت گیری ترسناک است =)

ضرب ضربدر بردارهای خطی

تعریف به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است، باید بدانیم وقتی بردارها هم خط هستند چه اتفاقی می افتد. اگر بردارها خطی باشند، می توان آنها را روی یک خط مستقیم قرار داد و متوازی الاضلاع ما نیز در یک خط مستقیم "تا" می شود. حوزه از جمله، همانطور که ریاضیدانان می گویند، منحطمتوازی الاضلاع برابر با صفر است. از فرمول نیز به همین صورت است - سینوس صفر یا 180 درجه برابر با صفر است، یعنی مساحت صفر است.

بنابراین، اگر، پس . به بیان دقیق، خود حاصلضرب بردار برابر با بردار صفر است، اما در عمل اغلب از این موضوع غفلت می شود و می نویسند که به سادگی برابر با صفر است.

مورد خاص– حاصلضرب برداری یک بردار با خودش:

با استفاده از حاصلضرب برداری، می توانید همخطی بردارهای سه بعدی را بررسی کنید و ما نیز این مشکل را در میان موارد دیگر تحلیل خواهیم کرد.

برای حل مثال های عملی ممکن است نیاز داشته باشید جدول مثلثاتی برای یافتن مقادیر سینوس ها از آن.

خوب، بیایید آتش را روشن کنیم:

مثال 1

الف) طول حاصل ضرب بردار بردارها را بیابید اگر

ب) مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را بیابید اگر

راه حل: نه، این اشتباه تایپی نیست، من عمداً داده های اولیه را در بندها یکسان کردم. زیرا طراحی راه حل ها متفاوت خواهد بود!

الف) با توجه به شرایط، باید پیدا کنید طولبردار (محصول متقاطع). طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

اگر از شما در مورد طول سؤال شد ، در پاسخ ما بعد - واحدها را نشان می دهیم.

ب) با توجه به شرط، باید پیدا کنید مربعمتوازی الاضلاع بر روی بردارها ساخته شده است. مساحت این متوازی الاضلاع از نظر عددی برابر است با طول حاصلضرب بردار:

پاسخ:

لطفاً توجه داشته باشید که پاسخ به هیچ وجه در مورد محصول برداری صحبت نمی کند؛ از ما در مورد آن سؤال شد مساحت شکلبر این اساس، بعد واحد مربع است.

ما همیشه به آنچه که باید بر اساس شرایط پیدا کنیم نگاه می کنیم و بر این اساس فرموله می کنیم روشنپاسخ. ممکن است به معنای واقعی کلمه به نظر برسد، اما در بین معلمان تعداد زیادی از لفظ گرایان وجود دارد و این تکلیف شانس خوبی برای بازگرداندن آن برای تجدید نظر دارد. اگر چه این یک بحث دور از ذهن نیست - اگر پاسخ نادرست باشد، این تصور را ایجاد می کند که شخص متوجه نمی شود. چیزهای سادهو/یا اصل کار را درک نکردند. این نکته همیشه باید در حل هر مسئله ای در ریاضیات عالی و همچنین در دروس دیگر تحت کنترل باشد.

حرف بزرگ "en" کجا رفت؟ در اصل، می‌توانست به راه حل اضافه شود، اما برای کوتاه کردن ورودی، این کار را نکردم. امیدوارم همه این را بفهمند و برای همین کار تعیین شوند.

یک مثال محبوب برای راه حل DIY:

مثال 2

مساحت مثلثی که بر روی بردارها ساخته شده است را پیدا کنید اگر

فرمول یافتن مساحت یک مثلث از طریق حاصلضرب بردار در نظرات تعریف شده است. راه حل و پاسخ در پایان درس است.

در عمل، این کار واقعاً بسیار رایج است؛ مثلث ها به طور کلی می توانند شما را عذاب دهند.

برای حل مشکلات دیگر نیاز داریم:

ویژگی های حاصلضرب برداری بردارها

ما قبلاً برخی از ویژگی های محصول برداری را در نظر گرفته ایم، با این حال، آنها را در این لیست قرار می دهم.

برای بردارهای دلخواه و یک عدد دلخواه، ویژگی های زیر درست است:

1) در سایر منابع اطلاعاتی معمولاً این مورد در خواص برجسته نمی شود، اما از نظر عملی بسیار مهم است. پس بگذارید باشد.

2) - ملک نیز در بالا مورد بحث قرار گرفته است، گاهی اوقات به آن می گویند ضد جابجایی. به عبارت دیگر، ترتیب بردارها مهم است.

3) – انجمنی یا انجمنیقوانین محصول برداری ثابت ها را می توان به راحتی به خارج از حاصل ضرب برداری منتقل کرد. راستی اونجا چیکار باید بکنن؟

4) – توزیع یا توزیعیقوانین محصول برداری باز کردن براکت ها هم مشکلی ندارد.

برای نشان دادن، اجازه دهید به یک مثال کوتاه نگاه کنیم:

مثال 3

پیدا کنید اگر

راه حل:این شرط دوباره مستلزم یافتن طول حاصلضرب بردار است. بیایید مینیاتور خود را نقاشی کنیم:

(1) طبق قوانین انجمنی، ثابت ها را خارج از محدوده حاصلضرب برداری می گیریم.

(2) ثابت را به خارج از ماژول منتقل می کنیم و ماژول علامت منفی را می خورد. طول نمی تواند منفی باشد.

(3) بقیه روشن است.

پاسخ:

وقت آن است که چوب بیشتری به آتش اضافه کنید:

مثال 4

مساحت مثلثی را که بر روی بردارها ساخته شده است محاسبه کنید اگر

راه حل: با استفاده از فرمول مساحت مثلث را پیدا کنید . نکته مهم این است که بردارهای "tse" و "de" خود به عنوان مجموع بردارها ارائه می شوند. الگوریتم در اینجا استاندارد است و تا حدودی یادآور مثال های شماره 3 و 4 درس است. حاصل ضرب نقطه ای بردارها . برای وضوح، ما راه حل را به سه مرحله تقسیم می کنیم:

1) در مرحله اول، حاصلضرب برداری را از طریق حاصلضرب بردار بیان می کنیم، در واقع، بیایید یک بردار را بر اساس یک بردار بیان کنیم. هنوز در مورد طول مدت صحبتی نشده است!

(1) عبارات بردارها را جایگزین کنید.

(2) با استفاده از قوانین توزیعی، براکت ها را طبق قاعده ضرب چندجمله ای ها باز می کنیم.

(3) با استفاده از قوانین انجمنی، همه ثابت ها را فراتر از محصولات برداری حرکت می دهیم. با کمی تجربه می توان مراحل 2 و 3 را به طور همزمان انجام داد.

(4) جمله اول و آخر به دلیل خاصیت nice برابر با صفر (بردار صفر) است. در عبارت دوم از خاصیت ضد جابجایی یک محصول برداری استفاده می کنیم:

(5) ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می کنیم.

در نتیجه، مشخص شد که بردار از طریق یک بردار بیان می شود، که برای دستیابی به آن نیاز بود:

2) در مرحله دوم طول حاصلضرب برداری مورد نیاز خود را پیدا می کنیم. این عمل مشابه مثال 3 است:

3) مساحت مثلث مورد نیاز را پیدا کنید:

مراحل 2-3 راه حل می توانست در یک خط نوشته شود.

پاسخ:

مشکل در نظر گرفته شده کاملاً رایج است تست ها، در اینجا یک مثال برای یک راه حل مستقل آورده شده است:

مثال 5

پیدا کنید اگر

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس. بیایید ببینیم هنگام مطالعه نمونه های قبلی چقدر دقت کردید ;-)

ضرب ضربدری بردارها در مختصات

، مشخص شده بر اساس متعارف، با فرمول بیان می شود:

فرمول واقعاً ساده است: در خط بالای تعیین کننده، بردارهای مختصات را می نویسیم، در خط دوم و سوم، مختصات بردارها را "قرار می دهیم" و می گذاریم. به ترتیب دقیق– ابتدا مختصات بردار “ve” سپس مختصات بردار “double-ve”. اگر بردارها باید به ترتیب دیگری ضرب شوند، سطرها باید تعویض شوند:

مثال 10

بررسی کنید که آیا بردارهای فضای زیر خطی هستند یا خیر:
آ)
ب)

راه حل: بررسی بر اساس یکی از عبارات این درس است: اگر بردارها به صورت خطی باشند، حاصلضرب بردار آنها برابر با صفر (بردار صفر) است: .

الف) حاصلضرب برداری را پیدا کنید:

بنابراین، بردارها خطی نیستند.

ب) حاصلضرب برداری را پیدا کنید:

پاسخ: الف) خطی نیست، ب)

در اینجا، شاید، تمام اطلاعات اولیه در مورد حاصلضرب برداری بردارها وجود دارد.

این بخش خیلی بزرگ نخواهد بود، زیرا مشکلات کمی در استفاده از حاصلضرب مخلوط بردارها وجود دارد. در واقع، همه چیز به تعریف بستگی دارد، معنی هندسیو چند فرمول کاری

کار مختلطبردارها حاصل ضرب سه بردار است:

بنابراین آنها مانند یک قطار در صف ایستادند و نمی توانند منتظر شناسایی شوند.

ابتدا یک تعریف و یک تصویر:

تعریف: کار مختلط غیر همسطحبردارها، به این ترتیب گرفته شده است، تماس گرفت حجم موازی، بر روی این بردارها ساخته شده است، اگر پایه درست باشد، با علامت "+" و اگر پایه سمت چپ باشد علامت "-" مجهز شده است.

بیایید نقاشی را انجام دهیم. خطوطی که برای ما نامرئی هستند با خطوط نقطه چین ترسیم می شوند:

بیایید به تعریف بپردازیم:

2) بردارها گرفته می شوند به ترتیب خاصی، یعنی همان طور که ممکن است حدس بزنید، بازآرایی بردارها در محصول، بدون عواقب رخ نمی دهد.

3) قبل از اظهار نظر در مورد معنای هندسی، یک واقعیت آشکار را متذکر می شوم: حاصلضرب مخلوط بردارها یک عدد است: . در ادبیات آموزشی، طراحی ممکن است کمی متفاوت باشد؛ من عادت دارم یک محصول ترکیبی را با حرف "pe" و نتیجه محاسبات را با حرف "pe" نشان دهم.

الف - مقدماتی محصول مخلوط، حجم موازی است، بر روی بردارها ساخته شده است (شکل با بردارهای قرمز و خطوط سیاه ترسیم شده است). یعنی عدد برابر با حجم یک متوازی الاضلاع معین است.

توجه داشته باشید : نقاشی شماتیک است.

4) دوباره نگران مفهوم جهت گیری مبنا و فضا نباشیم. منظور از قسمت پایانی این است که می توان یک علامت منفی به حجم اضافه کرد. به زبان ساده، محصول مخلوط می تواند منفی باشد: .

به طور مستقیم از تعریف، فرمول محاسبه حجم یک متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را دنبال می کند.