تابع پاد مشتق و انتگرال نامعین

واقعیت 1. ادغام عمل معکوس تمایز است، یعنی بازیابی یک تابع از مشتق شناخته شده این تابع. بنابراین عملکرد بازیابی شد اف(ایکس) نامیده میشود ضد مشتقبرای عملکرد f(ایکس).

تعریف 1. تابع اف(ایکس f(ایکس) در یک فاصله زمانی ایکس، اگر برای همه مقادیر ایکساز این فاصله برابری برقرار است اف "(ایکس)=f(ایکس) یعنی این تابع f(ایکس) از مشتقات است تابع ضد مشتق اف(ایکس). .

به عنوان مثال، تابع اف(ایکس) = گناه ایکس ضد مشتق تابع است f(ایکس) = cos ایکس در کل خط اعداد، زیرا برای هر مقدار x (گناه ایکس)" = (cos ایکس) .

تعریف 2. انتگرال نامعین یک تابع f(ایکس) مجموعه تمام ضد مشتقات آن است. در این مورد از علامت گذاری استفاده می شود

∫

f(ایکس)dx

,

علامت کجاست ∫ علامت انتگرال، تابع نامیده می شود f(ایکس) - تابع یکپارچه، و f(ایکس)dx - بیان یکپارچه

بنابراین، اگر اف(ایکس) – مقداری ضد مشتق برای f(ایکس) ، آن

∫

f(ایکس)dx = اف(ایکس) +سی

جایی که سی - ثابت دلخواه (ثابت).

برای درک معنای مجموعه ضد مشتقات یک تابع به عنوان یک انتگرال نامعین، قیاس زیر مناسب است. بگذار یک در (در چوبی سنتی) باشد. عملکرد آن «دری بودن» است. درب از چه چیزی ساخته شده است؟ ساخته شده از چوب. این بدان معنی است که مجموعه ضد مشتقات انتگرال تابع "دری بودن"، یعنی انتگرال نامعین آن، تابع "درخت بودن + C" است، که در آن C یک ثابت است، که در این زمینه می تواند به عنوان مثال، نوع درخت را نشان می دهد. همانطور که یک در با استفاده از برخی ابزارها از چوب ساخته می شود، یک مشتق از یک تابع نیز از یک تابع ضد مشتق ساخته می شود. فرمول هایی که در حین مطالعه مشتق یاد گرفتیم .

سپس جدول توابع اشیاء رایج و ضد مشتقات مربوط به آنها ("در بودن" - "درخت بودن" ، "قاشق بودن" - "فلزی بودن" و غیره) شبیه جدول پایه است. انتگرال های نامعین که در زیر آورده خواهند شد. جدول انتگرال های نامعین، توابع رایج را با نشان دادن پاد مشتق هایی که این توابع از آنها ساخته شده اند، فهرست می کند. در بخشی از مسائل مربوط به یافتن انتگرال نامعین، انتگرال هایی آورده شده است که می توان آنها را مستقیماً بدون تلاش زیاد، یعنی با استفاده از جدول انتگرال های نامعین، ادغام کرد. در مسائل پیچیده تر، ابتدا باید انتگرال را تبدیل کرد تا بتوان از انتگرال های جدول استفاده کرد.

واقعیت 2. هنگام بازیابی یک تابع به عنوان یک پاد مشتق، باید یک ثابت دلخواه (ثابت) را در نظر بگیریم. سیو برای اینکه لیستی از ضد مشتق ها با ثابت های مختلف از 1 تا بی نهایت ننویسید، باید مجموعه ای از پاد مشتق ها را با یک ثابت دلخواه بنویسید. سیمثلاً به این صورت: 5 ایکس³+C. بنابراین، یک ثابت دلخواه (ثابت) در بیان ضد مشتق گنجانده شده است، زیرا ضد مشتق می تواند یک تابع باشد، به عنوان مثال، 5 ایکس³+4 یا 5 ایکس³+3 و وقتی متمایز شد، 4 یا 3 یا هر ثابت دیگری به صفر می رسد.

اجازه دهید مشکل ادغام را مطرح کنیم: برای این تابع f(ایکس) چنین تابعی را پیدا کنید اف(ایکس), مشتق آنمساوی با f(ایکس).

مثال 1.مجموعه پاد مشتق های یک تابع را بیابید

راه حل. برای این تابع، ضد مشتق تابع است

تابع اف(ایکس) یک ضد مشتق برای تابع نامیده می شود f(ایکساگر مشتق باشد اف(ایکس) برابر است با f(ایکس)، یا، که همان چیزی است، دیفرانسیل اف(ایکس) برابر است f(ایکس) dx، یعنی

(2)

بنابراین، تابع ضد مشتق تابع است. با این حال، این تنها ضد مشتق برای . آنها همچنین به عنوان توابع عمل می کنند

جایی که با- ثابت دلخواه این را می توان با تمایز تأیید کرد.

بنابراین، اگر یک ضد مشتق برای یک تابع وجود داشته باشد، برای آن نیز وجود دارد مجموعه بی نهایتضد مشتقاتی که با یک جمله ثابت تفاوت دارند. تمام آنتی مشتق های یک تابع به شکل بالا نوشته می شوند. این از قضیه زیر حاصل می شود.

قضیه (گزاره رسمی واقعیت 2).اگر اف(ایکس) - ضد مشتق برای تابع f(ایکس) در یک فاصله زمانی ایکس، سپس هر ضد مشتق دیگری برای f(ایکس) در همان بازه را می توان در فرم نشان داد اف(ایکس) + سی، جایی که با- ثابت دلخواه

در مثال بعدی به جدول انتگرال ها می پردازیم که بعد از خصوصیات انتگرال نامعین در بند 3 آورده خواهد شد. این کار را قبل از خواندن کل جدول انجام می دهیم تا اصل مطلب بالا مشخص شود. و بعد از جدول و خصوصیات، در حین ادغام از آنها به طور کامل استفاده خواهیم کرد.

مثال 2.مجموعه ای از توابع ضد مشتق را بیابید:

راه حل. ما مجموعه‌ای از توابع ضد مشتق را پیدا می‌کنیم که این توابع از آنها «ساخته شده‌اند». هنگام ذکر فرمول ها از جدول انتگرال ها، فعلاً بپذیرید که چنین فرمول هایی در آنجا وجود دارد و ما خود جدول انتگرال های نامعین را کمی بیشتر مطالعه خواهیم کرد.

1) استفاده از فرمول (7) از جدول انتگرال ها برای n= 3، می گیریم

2) با استفاده از فرمول (10) از جدول انتگرال ها برای n= 1/3، ما داریم

3) از آنجایی که

سپس طبق فرمول (7) با n= -1/4 پیدا می کنیم

این خود تابع نیست که زیر علامت انتگرال نوشته می شود. f، و محصول آن توسط دیفرانسیل dx. این کار در درجه اول به این منظور انجام می شود که مشخص شود آنتی مشتق توسط کدام متغیر جستجو می شود. مثلا،

, ;

در اینجا در هر دو مورد انتگرال برابر است با ، اما انتگرالهای نامعین آن در موارد در نظر گرفته شده متفاوت هستند. در حالت اول این تابع به عنوان تابعی از متغیر در نظر گرفته می شود ایکس، و در دوم - به عنوان تابعی از z .

فرآیند یافتن انتگرال نامعین یک تابع را یکپارچه سازی آن تابع می نامند.

معنای هندسی انتگرال نامعین

فرض کنید باید یک منحنی پیدا کنیم y=F(x)و ما قبلاً می دانیم که مماس زاویه مماس در هر یک از نقاط آن یک تابع معین است f(x)ابسیس این نقطه

مطابق با حس هندسیمشتق، مماس زاویه مماس در یک نقطه معین از منحنی y=F(x) برابر با ارزشمشتق F"(x). بنابراین ما باید چنین تابعی را پیدا کنیم F(x)، برای کدام F"(x)=f(x). عملکرد مورد نیاز در کار F(x)ضد مشتق است f(x). شرایط مسئله نه با یک منحنی، بلکه توسط خانواده ای از منحنی ها برآورده می شود. y=F(x)- یکی از این منحنی ها و هر منحنی دیگری را می توان از طریق انتقال موازی در امتداد محور به دست آورد. اوه.

بیایید نمودار تابع ضد مشتق را نام ببریم f(x)منحنی انتگرال اگر F"(x)=f(x)، سپس نمودار تابع y=F(x)یک منحنی انتگرال وجود دارد.

واقعیت 3. انتگرال نامعین از نظر هندسی با خانواده همه منحنی های انتگرال نشان داده می شود. ، مانند تصویر زیر. فاصله هر منحنی از مبدا مختصات توسط یک ثابت یکپارچه سازی دلخواه تعیین می شود سی.

خواص انتگرال نامعین

واقعیت 4. قضیه 1. مشتق یک انتگرال نامعین برابر با انتگرال و دیفرانسیل آن برابر با انتگرال است.

واقعیت 5. قضیه 2. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع f(ایکس) برابر با عملکرد f(ایکس) تا یک مدت ثابت ، یعنی

(3)

قضایای 1 و 2 نشان می دهد که تمایز و ادغام عملیات معکوس متقابل هستند.

واقعیت 6. قضیه 3. عامل ثابت در انتگرال را می توان از علامت انتگرال نامعین خارج کرد. ، یعنی

انتگرال های اصلی که هر دانش آموز باید بداند

انتگرال های فهرست شده اساس، اساس مبانی هستند. این فرمول ها را حتما باید به خاطر بسپارید. هنگام محاسبه انتگرال های پیچیده تر، باید دائماً از آنها استفاده کنید.

به فرمول های (5)، (7)، (9)، (12)، (13)، (17) و (19) توجه ویژه ای داشته باشید. فراموش نکنید که هنگام ادغام یک ثابت دلخواه C به پاسخ خود اضافه کنید!

انتگرال یک ثابت

∫ A d x = A x + C (1)

ادغام یک تابع قدرت

در واقع، می‌توانیم خود را به فرمول‌های (5) و (7) محدود کنیم، اما بقیه انتگرال‌های این گروه به قدری اتفاق می‌افتند که ارزش کمی توجه به آنها را دارد.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n≠ - 1) (7)

انتگرال توابع نمایی و توابع هذلولی

البته فرمول (8) (شاید راحت ترین برای حفظ) را می توان در نظر گرفت مورد خاصفرمول (9). فرمول های (10) و (11) برای انتگرال های سینوس هذلولی و کسینوس هذلولی به راحتی از فرمول (8) به دست می آیند، اما بهتر است این روابط را به سادگی به خاطر بسپارید.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0، a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

انتگرال های اساسی توابع مثلثاتی

اشتباهی که دانش آموزان اغلب مرتکب می شوند این است که علائم فرمول (12) و (13) را با هم اشتباه می گیرند. با یادآوری اینکه مشتق سینوس برابر با کسینوس است، به دلایلی بسیاری از مردم معتقدند که انتگرال سینوس توابع sinxبرابر cosx این درست نیست! انتگرال سینوس برابر با "منهای کسینوس" است، اما انتگرال cosx برابر با "فقط سینوس" است:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = گناه x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C (15)

انتگرال هایی که به توابع مثلثاتی معکوس تقلیل می یابند

فرمول (16)، منتهی به آرکتتانژانت، طبیعتاً یک مورد خاص از فرمول (17) برای a=1 است. به طور مشابه، (18) یک مورد خاص از (19) است.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0) (19)

انتگرال های پیچیده تر

همچنین توصیه می شود این فرمول ها را به خاطر بسپارید. آنها همچنین اغلب استفاده می شوند و خروجی آنها بسیار خسته کننده است.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

قوانین کلی ادغام

1) انتگرال مجموع دو تابع برابر با مجموعانتگرال متناظر: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) انتگرال اختلاف دو تابع برابر است با اختلاف انتگرال های متناظر: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

به راحتی می توان دریافت که ویژگی (26) به سادگی ترکیبی از ویژگی های (25) و (27) است.

4) انتگرال از تابع پیچیدهاگر تابع درونی خطی باشد: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

در اینجا F(x) یک پاد مشتق برای تابع f(x) است. لطفا توجه داشته باشید: این فرمول فقط زمانی کار می کند که تابع داخلی Ax + B باشد.

مهم: هیچ فرمول جهانی برای انتگرال حاصلضرب دو تابع و همچنین برای انتگرال یک کسری وجود ندارد:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (سی)

البته این بدان معنا نیست که یک کسری یا محصول را نمی توان یکپارچه کرد. فقط این است که هر بار که انتگرالی مانند (30) را می بینید، باید راهی برای "مبارزه کردن" با آن اختراع کنید. در برخی موارد، ادغام با قطعات به شما کمک می کند، در برخی دیگر باید متغیر را تغییر دهید، و گاهی اوقات حتی فرمول های جبر «مدرسه ای» یا مثلثات می تواند کمک کند.

یک مثال ساده از محاسبه انتگرال نامعین

مثال 1. انتگرال را بیابید: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

اجازه دهید از فرمول های (25) و (26) استفاده کنیم (انتگرال مجموع یا تفاوت توابع برابر است با مجموع یا تفاضل انتگرال های مربوطه. ما به دست می آوریم: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

به یاد داشته باشیم که ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد (فرمول (27)). عبارت به فرم تبدیل می شود

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

حالا بیایید فقط از جدول انتگرال های پایه استفاده کنیم. ما باید فرمول های (3)، (12)، (8) و (1) را اعمال کنیم. بیایید تابع توان، سینوسی، نمایی و ثابت 1 را ادغام کنیم. فراموش نکنید که یک ثابت دلخواه C را در پایان اضافه کنید:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

پس از تبدیل های ابتدایی به پاسخ نهایی می رسیم:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

خود را با تمایز آزمایش کنید: مشتق تابع حاصل را بگیرید و مطمئن شوید که با انتگرال اصلی برابر است.

جدول خلاصه انتگرال ها

🔻 A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0، a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = گناه x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 گناه 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C

∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

جدول انتگرال ها (قسمت دوم) را از این لینک دانلود کنید

اگر در دانشگاه تحصیل می کنید، اگر در ریاضیات بالاتر (تحلیل ریاضی، جبر خطی، تئوری احتمال، آمار) مشکل دارید، اگر به خدمات یک معلم واجد شرایط نیاز دارید، به صفحه معلم خصوصی ریاضی بالاتر بروید. ما با هم مشکلات شما را حل خواهیم کرد!

همچنین ممکن است که شما علاقه مند باشید به

جدول ضد مشتقات ("انتگرال"). جدول انتگرال ها انتگرال های نامعین جدولی. (ساده ترین انتگرال ها و انتگرال ها با پارامتر). فرمول های یکپارچه سازی توسط قطعات فرمول نیوتن لایب نیتس

جدول ضد مشتقات ("انتگرال"). انتگرال های نامعین جدولی. (ساده ترین انتگرال ها و انتگرال ها با پارامتر).
انتگرال تابع توان.	انتگرال یک تابع قدرت.
انتگرالی که اگر x تحت علامت دیفرانسیل هدایت شود به انتگرال تابع توان کاهش می یابد.
	انتگرال یک نمایی که a یک عدد ثابت است.
انتگرال یک تابع نمایی پیچیده.	انتگرال یک تابع نمایی.
انتگرال برابر با لگاریتم طبیعی.	انتگرال: "لگاریتم طولانی".
	انتگرال: "لگاریتم طولانی".
انتگرال: "لگاریتم بالا".	یک انتگرال، که در آن x در صورت‌گر زیر علامت دیفرانسیل قرار می‌گیرد (ثابت زیر علامت را می‌توان اضافه یا تفریق کرد)، در نهایت شبیه به یک انتگرال برابر با لگاریتم طبیعی است.
انتگرال: "لگاریتم بالا".
انتگرال کسینوس	انتگرال سینوسی.
انتگرال برابر با مماس.	انتگرال برابر با کوتانژانت.
انتگرال برابر با آرکسین و آرکوزین است
انتگرال برابر با آرکسین و آرکوزین.	یک انتگرال برابر هم با مماس قطبی و هم مماس قوسی.
انتگرال برابر با کوسکانت.	انتگرال برابر با سکانت.
انتگرال برابر با قوس الکتریکی.	انتگرال برابر با arccosecant.
انتگرال برابر با قوس الکتریکی.	انتگرال برابر با قوس الکتریکی.
انتگرال برابر با سینوس هایپربولیک.	انتگرال برابر با کسینوس هذلولی.
انتگرال برابر با سینوس هذلولی است که sinhx در نسخه انگلیسی سینوس هذلولی است.	انتگرال برابر با کسینوس هذلولی، که sinhx در نسخه انگلیسی سینوس هذلولی است.
انتگرال برابر با مماس هذلولی.	انتگرال برابر با کوتانژانت هذلولی.
انتگرال برابر با سکانت هذلولی.	انتگرال برابر با کوسکانت هذلولی.

فرمول های یکپارچه سازی توسط قطعات قوانین یکپارچه سازی

فرمول های یکپارچه سازی توسط قطعات فرمول نیوتن لایب نیتس قوانین ادغام.
ادغام یک محصول (تابع) توسط یک ثابت:
ادغام مجموع توابع:
انتگرال های نامعین:
فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات انتگرال معین:
فرمول نیوتن لایب نیتس انتگرال معین:	که در آن F(a)، F(b) مقادیر ضد مشتقات به ترتیب در نقاط b و a هستند.

جدول مشتقات. مشتقات جدولی مشتق محصول. مشتق از ضریب. مشتق تابع مختلط

اگر x یک متغیر مستقل است، آنگاه:

جدول مشتقات. مشتقات جدولی "مشتق جدول" - بله، متأسفانه، دقیقاً اینگونه است که در اینترنت جستجو می شوند
	مشتق تابع توان
	مشتق توان
مشتق تابع نمایی پیچیده	مشتق تابع نمایی
مشتق تابع لگاریتمی	مشتق لگاریتم طبیعی
	مشتق لگاریتم طبیعی یک تابع
مشتق سینوس	مشتق کسینوس
مشتق کوسکانت	مشتق از سکانت
مشتق آرکسین	مشتق کسینوس قوس
مشتق آرکسین	مشتق کسینوس قوس
مشتق مماس	مشتق کوتانژانت
مشتق متقاطع	مشتق کوتانژانت قوس
مشتق متقاطع	مشتق کوتانژانت قوس
مشتق از قوس	مشتق arccosecant
مشتق از قوس	مشتق arccosecant
مشتق سینوس هایپربولیک مشتق سینوس هایپربولیک در نسخه انگلیسی	مشتق کسینوس هذلولی مشتق کسینوس هذلولی در نسخه انگلیسی
مشتق مماس هذلولی	مشتق کوتانژانت هذلولی
مشتق سکانت هذلولی	مشتق کوسکانت هذلولی

قوانین تمایز. مشتق از محصول. مشتق از ضریب. مشتق تابع مختلط
مشتق یک محصول (تابع) توسط یک ثابت:
مشتق جمع (توابع):
مشتق محصول (توابع):
مشتق ضریب (توابع):
مشتق تابع مختلط:

خواص لگاریتم ها فرمول های اصلی لگاریتم ها اعشاری (lg) و لگاریتم طبیعی (ln).

مبانی هویت لگاریتمی
بیایید نشان دهیم که چگونه هر تابعی از شکل a b را می توان نمایی کرد. از آنجایی که تابعی از شکل e x را نمایی می نامند، پس
هر تابعی از شکل a b را می توان به عنوان توان ده نشان داد

لگاریتم طبیعی ln (لگاریتم به پایه e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

سریال تیلور بسط یک تابع سری تیلور.

معلوم می شود که اکثریت عملا مواجه شدتوابع ریاضی را می توان با هر دقتی در مجاورت یک نقطه معین به صورت سری توانی حاوی توان های یک متغیر به ترتیب افزایشی نشان داد. به عنوان مثال، در مجاورت نقطه x=1:

هنگام استفاده از سری به نام ردیف های تیلورتوابع مختلط شامل توابع جبری، مثلثاتی و نمایی را می توان به صورت توابع جبری صرف بیان کرد. با استفاده از سری، اغلب می توانید به سرعت تمایز و ادغام را انجام دهید.

سری تیلور در همسایگی نقطه a به شکل زیر است:

1) ، که در آن f(x) تابعی است که مشتقات تمام مرتبه ها را در x = a دارد. R n - عبارت باقی مانده در سری تیلور با عبارت تعیین می شود

2)

ضریب k-امین (در x k) سری با فرمول تعیین می شود

3) یک مورد خاص از سری تیلور، سری Maclaurin (=McLaren) است (انبساط حول نقطه a=0 رخ می دهد)

در a=0

اعضای سری با فرمول تعیین می شوند

شرایط استفاده از سری تیلور

1. برای اینکه تابع f(x) به یک سری تیلور در بازه (-R;R) بسط داده شود، لازم و کافی است که عبارت باقیمانده در فرمول تیلور (Maclaurin (=McLaren)) برای این کار باشد. تابع به صورت k →∞ در بازه مشخص شده (-R;R) به صفر تمایل دارد.

2. لازم است مشتقاتی برای یک تابع معین در نقطه ای که قرار است سری تیلور را در مجاورت آن بسازیم وجود داشته باشد.

ویژگی های سری تیلور.

اگر f یک تابع تحلیلی باشد، آنگاه سری تیلور آن در هر نقطه a در حوزه تعریف f به f در محله ای از a همگرا می شود.

توابع بی نهایت قابل تمایز وجود دارند که سری تیلور آنها همگرا هستند، اما در عین حال با تابع در هر همسایگی a متفاوت هستند. مثلا:

سری تیلور در تقریب استفاده می شود (تقریبی - روش علمی، که شامل جایگزینی برخی از اشیاء با برخی دیگر است، به یک معنا نزدیک به موارد اصلی، اما ساده تر) توسط چند جمله ای ها. به طور خاص، خطی سازی ((از خطی - خطی)، یکی از روش های نمایش تقریبی سیستم های غیرخطی بسته، که در آن مطالعه یک سیستم غیر خطی با تجزیه و تحلیل یک سیستم خطی، به نوعی معادل با سیستم اصلی جایگزین می شود. .) معادلات با گسترش به یک سری تیلور و قطع همه عبارت های بالاتر از مرتبه اول رخ می دهد.

بنابراین، تقریباً هر تابعی را می توان به صورت چند جمله ای با دقت معین نشان داد.

نمونه هایی از برخی بسط های متداول توابع توان در سری مکلارین (= مک لارن، تیلور در مجاورت نقطه 0) و تیلور در مجاورت نقطه 1. اولین اصطلاحات بسط توابع اصلی در سری تیلور و مک لارن.

نمونه هایی از برخی بسط های رایج توابع توان در سری Maclaurin (= مک لارن، تیلور در مجاورت نقطه 0)

نمونه هایی از بسط های متداول سری تیلور در مجاورت نقطه 1

تعریف 1

ضد مشتق $F(x)$ برای تابع $y=f(x)$ در بخش $$ تابعی است که در هر نقطه از این بخش قابل تمایز است و برابری زیر برای مشتق آن صادق است:

تعریف 2

مجموعه ای از تمام آنتی مشتقات عملکرد داده شده$y=f(x)$ تعریف شده روی یک بخش معین، انتگرال نامعین یک تابع معین $y=f(x)$ نامیده می شود. انتگرال نامعین با نماد $\int f(x)dx $ نشان داده می شود.

از جدول مشتقات و تعریف 2 جدول انتگرال های پایه را بدست می آوریم.

مثال 1

اعتبار فرمول 7 را از جدول انتگرال ها بررسی کنید:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

بیایید تفکیک کنیم سمت راست: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

مثال 2

اعتبار فرمول 8 را از جدول انتگرال ها بررسی کنید:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

بیایید سمت راست را متمایز کنیم: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

مشتق برابر با انتگرال است. بنابراین، فرمول صحیح است.

مثال 3

اعتبار فرمول 11 اینچ را از جدول انتگرال ها بررسی کنید:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

بیایید سمت راست را متمایز کنیم: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2)) \cdot \frac(a^(2)) (a^(2) +x^(2) ) \]

مشتق برابر با انتگرال است. بنابراین، فرمول صحیح است.

مثال 4

اعتبار فرمول 12 را از جدول انتگرال ها بررسی کنید:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]

بیایید سمت راست را متمایز کنیم: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $مشتق برابر با انتگرال بود. بنابراین، فرمول صحیح است.

مثال 5

اعتبار فرمول 13" را از جدول انتگرال ها بررسی کنید:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

بیایید سمت راست را متمایز کنیم: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

مشتق برابر با انتگرال است. بنابراین، فرمول صحیح است.

مثال 6

اعتبار فرمول 14 را از جدول انتگرال ها بررسی کنید:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2)) |+ C ,\, \, C=const.\]

بیایید سمت راست را متمایز کنیم: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2)) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2)) ) \]

مشتق برابر با انتگرال است. بنابراین، فرمول صحیح است.

مثال 7

انتگرال را پیدا کنید:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\راست) dx.\]

بیایید از قضیه مجموع انتگرال استفاده کنیم:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

اجازه دهید از قضیه قرار دادن یک عامل ثابت خارج از علامت انتگرال استفاده کنیم:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx.\]

طبق جدول انتگرال ها:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

هنگام محاسبه انتگرال اول، از قانون 3 استفاده می کنیم:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

از این رو،

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2))(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]