جمع و تفریق کسرهای جبری. جمع و تفریق کسرهای جبری کاهش کسرهای جبری به مخرج مشترک

این درس جمع و تفریق را پوشش می دهد. کسرهای جبریبا مخرج های یکسان ما قبلاً می دانیم که چگونه کسرهای مشترک را با مخرج مشابه جمع و تفریق کنیم. معلوم می شود که کسرهای جبری از قوانین یکسانی پیروی می کنند. یادگیری کار با کسری با مخرج مشابه یکی از پایه های یادگیری نحوه کار با کسرهای جبری است. به طور خاص، درک این موضوع، تسلط بیشتر را آسان می کند موضوع دشوار- جمع و تفریق کسرها با مخرج های مختلف. به عنوان بخشی از درس، قوانین جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج مشابه را مطالعه خواهیم کرد و همچنین تعدادی مثال معمولی را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

قانون جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج مشابه

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih کسری از یک-به-تو -می دان-من-نا-ته-لا-می (مطابق با قاعده مشابه برای ضربات ضربات معمولی است): که برای جمع یا محاسبه کسرهای الگب را-ی-چه-سکیه با یک به شما است. know-me-on-the-la-mi لازم است -ho-di-mo-compile a-geb-ra-i-che-compile مربوط به مجموع اعداد، و علامت-me-na-tel را بدون هیچ گونه ترک کنید.

ما این قاعده را هم برای مثال ون-دراوهای معمولی و هم برای مثال الگب-را-ی-چه-دراوها میفهمیم.

نمونه هایی از اعمال قانون برای کسرهای معمولی

مثال 1. جمع کسرها: .

راه حل

بیایید تعداد کسرها را جمع کنیم و علامت را ثابت بگذاریم. پس از این، عدد را تجزیه کرده و به چند و ترکیب ساده وارد می کنیم. برویم بگیریمش: .

توجه: یک خطای استاندارد که هنگام حل انواع نمونه های مشابه، برای -klu-cha-et-sya در راه حل ممکن زیر مجاز است: . این یک اشتباه فاحش است، زیرا علامت همان چیزی است که در کسرهای اصلی بود.

مثال 2. جمع کسرها: .

راه حل

این یکی هیچ تفاوتی با قبلی ندارد: .

نمونه هایی از اعمال قانون برای کسرهای جبری

از درو-بیت های معمولی به الگب رای-چه-اسکیم می رویم.

مثال 3. جمع کسرها: .

راه حل: همانطور که در بالا ذکر شد، ترکیب کسری های الگب-را-ی-چه به هیچ وجه با کلمه مشابه جنگ های معمولی تفاوت ندارد. بنابراین روش حل یکسان است: .

مثال 4. شما کسر هستید: .

راه حل

شما-چی-تا-نی از الگب-را-ای-چه-سکیح کسری از جمع تنها با این واقعیت است که در عدد پی سی و ات سیا در تعداد کسرهای استفاده شده تفاوت دارد. از همین رو .

مثال 5. شما کسری هستید: .

راه حل: .

مثال 6. ساده کنید: .

راه حل: .

نمونه هایی از اعمال قانون به دنبال کاهش

در کسری که منجر به ترکیب یا محاسبه شود، ترکیب ممکن است. علاوه بر این، نباید ODZ کسرهای al-geb-ra-i-che-skih را فراموش کنید.

مثال 7. Simplify: .

راه حل: .

که در آن . به طور کلی، اگر ODZ کسرهای اولیه با ODZ کل منطبق باشد، می توان آن را حذف کرد (به هر حال، کسر در پاسخ است، همچنین با تغییرات قابل توجه مربوطه وجود نخواهد داشت). اما اگر ODZ کسرهای استفاده شده و پاسخ مطابقت نداشته باشد، ODZ باید نشان داده شود.

مثال 8. ساده کنید: .

راه حل: . در همان زمان، y (ODZ کسرهای اولیه با ODZ نتیجه منطبق نیست).

جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف

برای جمع کردن و خواندن کسری های الگب رای چه با شناخت های مختلف، آنا-لو-گیو را با کسرهای معمولی-ون-نی انجام می دهیم و آن را به الگب منتقل می کنیم. -ra-i-che-fractions.

بیایید ساده ترین مثال را برای کسرهای معمولی بررسی کنیم.

مثال 1.جمع کسرها: .

راه حل:

بیایید قوانین جمع کردن کسرها را به خاطر بسپاریم. برای شروع با کسری، لازم است آن را به یک علامت مشترک برسانیم. در نقش یک علامت کلی برای کسرهای معمولی، شما عمل می کنید کمترین مضرب مشترک(NOK) علائم اولیه.

تعریف

کوچکترین عدد که در همان زمان به اعداد و.

برای یافتن NOC، باید دانش را به مجموعه های ساده تقسیم کرد و سپس همه چیز را به روشی ساده انتخاب کرد.

; . سپس LCM اعداد باید شامل دو دو و دو سه باشد: .

پس از یافتن دانش کلی، لازم است که هر یک از کسرها یک ساکن کثرت کامل را بیابند (در واقع علامت مشترک را روی علامت کسر متناظر بریزند).

سپس هر کسر در یک ضریب نیمه پر ضرب می شود. بیایید چند کسری از همان کسرهایی که می‌شناسید، جمع کنید و بخوانید.

بیا بخوریم: .

پاسخ:.

اکنون به ترکیب کسری های الگب رای چه با علائم مختلف نگاه می کنیم. حالا بیایید به کسرها نگاه کنیم و ببینیم آیا عددی وجود دارد یا خیر.

جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف

مثال 2.جمع کسرها: .

راه حل:

الگو ریتم تصمیم ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen به مثال قبلی. گرفتن علامت مشترک کسرهای داده شده آسان است: و ضریب های اضافی برای هر یک از آنها.

پاسخ:.

بنابراین، بیایید تشکیل دهیم الگو ریتم جمع و محاسبه کسرهای الگب رای چه اسکیه با علائم مختلف:

1. کوچکترین علامت مشترک کسر را بیابید.

2. برای هر یک از کسرها ضرایب اضافی بیابید (در واقع، علامت مشترک علامت کسری -ام داده شده است).

3. تا تعداد زیادی اعداد در ضرایب تا به کامل مربوطه.

4. با استفاده از قوانین ترکیب و محاسبه کسرها با همان دانش -me-na-te-la-mi، کسرها را جمع یا محاسبه کنید.

حال بیایید به مثالی با کسری نگاه کنیم که در علامت آن حروف you -nia وجود دارد.

صادقانه بگویم، اینها فرمول هایی هستند که هر دانش آموز کلاس هفتم باید به خاطر بسپارد. جبر را حتی در سطح مدرسهو به سادگی غیرممکن است که فرمول تفاضل مربع ها یا مثلاً مجذور مجموع را ندانیم. آنها همیشه هنگام ساده سازی عبارات جبری، کاهش کسرها و حتی می توانند در محاسبات حسابی کمک کنند ظاهر می شوند. خوب، برای مثال، باید در ذهن خود محاسبه کنید: 3.16 2 - 2 3.16 1.16 + 1.16 2. اگر شروع به محاسبه آن کنید، طولانی و خسته کننده می شود، اما اگر از فرمول اختلاف مجذور استفاده کنید، در عرض 2 ثانیه به پاسخ خواهید رسید!

بنابراین، هفت فرمول جبر «مدرسه ای» که همه باید بدانند:

نام	فرمول
مربع مجموع	(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
اختلاف مربع	(A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2
تفاوت مربع ها	(A - B) (A + B) = A 2 - B 2
مکعب جمع	(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
مکعب تفاوت	(A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
مجموع مکعب ها	A 3 + B 3 = (A + B) (A 2 - AB + B 2)
تفاوت مکعب ها	A 3 - B 3 = (A - B) (A 2 + AB + B 2)

لطفا توجه داشته باشید: هیچ فرمولی برای مجموع مربع ها وجود ندارد! اجازه ندهید تخیل خود را بیش از حد دور کند.

ساده ترین راه برای به خاطر سپردن همه این فرمول ها چیست؟ خوب، بیایید بگوییم، قیاس های خاصی را ببینید. به عنوان مثال، فرمول مجذور مجموع مشابه فرمول اختلاف مجذور است (تفاوت فقط در یک علامت است) و فرمول مکعب مجموع مشابه فرمول مکعب اختلاف است. در ادامه، در فرمول های تفاضل مکعب ها و مجموع مکعب ها، چیزی شبیه به مجذور مجموع و مجذور اختلاف می بینیم (فقط ضریب 2 وجود ندارد).

اما این فرمول ها (مانند هر فرمول دیگری!) در عمل به بهترین وجه به خاطر سپرده می شوند. مثال‌های بیشتری از ساده‌سازی عبارات جبری را حل کنید، و تمام فرمول‌ها به خودی خود به خاطر سپرده می‌شوند.

دانش آموزان کنجکاو احتمالاً علاقه مند به جمع بندی حقایق ارائه شده خواهند بود. به عنوان مثال، فرمول هایی برای مربع و مکعب یک مجموع وجود دارد. اگر عباراتی مانند (A + B) 4، (A + B) 5 و زوج (A + B) n را در نظر بگیریم، که در آن n یک عدد طبیعی دلخواه است؟ آیا امکان دیدن هر الگوی در اینجا وجود دارد؟

بله، چنین الگویی وجود دارد. عبارتی از شکل (A + B) n را دو جمله ای نیوتن می نامند. من توصیه می کنم که دانش آموزان کنجکاو فرمول های (A + B) 4 و (A + B) 5 را خودشان استنباط کنند و سپس سعی کنند قانون کلی را ببینند: برای مثال، درجه دوجمله ای مربوطه و درجه هر یک از آنها را مقایسه کنید. اصطلاحاتی که با باز کردن پرانتزها به دست می آیند. درجه یک دوجمله ای را با تعداد عبارت ها مقایسه کنید. سعی کنید الگوهایی را در ضرایب پیدا کنید. ما اکنون به این موضوع نمی پردازیم (این نیاز به یک مکالمه جداگانه دارد!)، بلکه فقط نتیجه نهایی را می نویسیم:

(A + B) n = A n + C n 1 A n-1 B + C n 2 A n-2 B 2 + ... + C n k A n-k B k + ... + B n .

در اینجا C n k = n!/(k! (n-k)!).

من به شما یادآوری می کنم که n! - این 1 2 ... n است - حاصلضرب همه اعداد طبیعیاز 1 تا n این عبارت نامیده می شود فاکتوریل از n. مثلا 4 ! = 1 2 3 4 = 24. فاکتوریل صفر برابر با یک در نظر گرفته می شود!

در مورد اختلاف مربع ها، اختلاف مکعب ها و ... چه می توان گفت؟ اینجا الگو هست؟ امکان آوردن هست فرمول کلیبرای A n - B n؟

بله، تو میتونی. این فرمول است:

A n - B n = (A - B) (A n-1 + A n-2 B + A n-3 B 2 + ... + B n-1).

علاوه بر این، برای فرددرجه n یک فرمول مشابه برای جمع وجود دارد:

A n + B n = (A + B) (A n-1 - A n-2 B + A n-3 B 2 - ... + B n-1).

ما اکنون این فرمول ها را استخراج نمی کنیم (به هر حال، خیلی سخت نیست)، اما دانستن در مورد وجود آنها مطمئنا مفید است.

کسرهای معمولی

اضافه کردن کسرهای جبری

یاد آوردن!

شما فقط می توانید کسری با مخرج یکسان اضافه کنید!

شما نمی توانید کسری را بدون تبدیل اضافه کنید

می توانید کسرها را اضافه کنید

هنگام جمع کردن کسرهای جبری با مخرج مشابه:

شمارنده کسر اول به کسر دوم اضافه می شود.
مخرج ثابت می ماند

بیایید به مثالی از جمع کسرهای جبری نگاه کنیم.

از آنجایی که مخرج هر دو کسر "2a" است، به این معنی است که کسرها را می توان جمع کرد.

بیایید صورت کسر اول را با کسر دوم جمع کنیم و مخرج را به همان شکل رها کنیم. هنگام جمع کردن کسرها در صورت‌گر حاصل، موارد مشابه را ارائه می‌کنیم.

تفریق کسرهای جبری

هنگام تفریق کسرهای جبری با مخرج مشابه:

از کسر کسر دوم از کسر اول کسر می شود.
مخرج ثابت می ماند

مهم!

حتماً تمام عدد کسری را که کم می‌کنید در پرانتز قرار دهید.

در غیر این صورت هنگام باز کردن پرانتز کسری که کم می‌کنید در علامت‌ها اشتباه می‌کنید.

بیایید به مثالی از تفریق کسرهای جبری نگاه کنیم.

از آنجایی که هر دو کسر جبری دارای مخرج 2c هستند، این بدان معناست که این کسرها قابل تفریق هستند.

کسر کسر دوم "(a - b)" را از کسر اول "(a + d)" کم کنید. فراموش نکنید که شماره کسری را که از آن کم می کنید در پرانتز قرار دهید. هنگام باز کردن پرانتز از قانون باز کردن پرانتز استفاده می کنیم.

تقلیل کسرهای جبری به مخرج مشترک

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. شما باید کسرهای جبری را اضافه کنید.

کسرها را نمی توان به این شکل اضافه کرد زیرا مخرج های متفاوتی دارند.

قبل از اضافه کردن کسرهای جبری، آنها باید باشند به یک مخرج مشترک بیاورند.

قوانین کاهش کسرهای جبری به مخرج مشترک بسیار شبیه به قوانین کاهش کسرهای معمولی به مخرج مشترک است. .

در نتیجه، باید چند جمله ای به دست آوریم که بدون باقی مانده به هر یک از مخرج های قبلی کسرها تقسیم می شود.

به کسرهای جبری را به یک مخرج مشترک کاهش دهیدباید موارد زیر را انجام دهید

ما با ضرایب عددی کار می کنیم. ما LCM (کمترین مضرب مشترک) را برای همه ضرایب عددی تعیین می کنیم.
ما با چند جمله ای ها کار می کنیم. ما همه چند جمله ای های مختلف را در بزرگترین توان ها تعریف می کنیم.
حاصل ضرب ضریب عددی و همه چند جمله ای های مختلف در بزرگترین توان ها مخرج مشترک خواهد بود.
تعیین کنید که برای ضرب هر کسر جبری در چه چیزی نیاز دارید تا یک مخرج مشترک بدست آورید.

بیایید به مثال خود بازگردیم.

مخرج «15a» و «3» هر دو کسر را در نظر بگیرید و مخرج مشترکی برای آنها پیدا کنید.

ما با ضرایب عددی کار می کنیم. LCM را بیابید (کمترین مضرب مشترک عددی است که بر هر ضریب عددی بدون باقیمانده بخش پذیر است). برای "15" و "3" "15" است.
ما با چند جمله ای ها کار می کنیم. فهرست کردن همه چند جمله ای ها در بزرگترین توان ها ضروری است. در مخرج "15a" و "5" فقط وجود دارد
یک تک نام - "a".
بیایید LCM را از مرحله 1 "15" و تک جمله "a" را از مرحله 2 ضرب کنیم. ما "15a" را دریافت می کنیم. این مخرج مشترک خواهد بود.
برای هر کسری این سوال را از خود می پرسیم: "مخرج این کسر را در چه مقدار ضرب کنیم تا "15a" به دست آید؟

بیایید به کسر اول نگاه کنیم. این کسر قبلاً مخرج "15a" دارد، به این معنی که نیازی به ضرب در چیزی نیست.

بیایید به کسر دوم نگاه کنیم. بیایید این سوال را بپرسیم: "برای بدست آوردن "15a" به چه چیزی نیاز دارید تا "3" را ضرب کنید؟ پاسخ "5a" است.

وقتی کسر را به مخرج مشترک تقلیل می‌دهیم، در "5a" ضرب کنیم. هم صورت و هم مخرج.

نماد کوتاه شده برای کاهش کسری جبری به مخرج مشترک را می توان با استفاده از "خانه ها" نوشت.

برای این کار، مخرج مشترک را در نظر داشته باشید. بالای هر کسری در بالای "در خانه" می نویسیم که هر یک از کسرها را در چه چیزی ضرب می کنیم.

حالا که کسری مخرج های مشابه، کسرها را می توان اضافه کرد.

بیایید به مثالی از تفریق کسری با مخرج های مختلف نگاه کنیم.

مخرج "(x − y)" و "(x + y)" هر دو کسر را در نظر بگیرید و مخرج مشترک آنها را پیدا کنید.

ما دو تا داریم چند جمله ای های مختلفدر مخرج "(x - y)" و "(x + y)". محصول آنها مخرج مشترک خواهد بود، یعنی. "(x - y) (x + y)" مخرج مشترک است.

جمع و تفریق کسرهای جبری با استفاده از فرمول ضرب اختصاری

در برخی مثال‌ها، باید از فرمول‌های ضرب اختصاری برای کاهش کسرهای جبری به مخرج مشترک استفاده شود.

بیایید به مثالی از جمع کسرهای جبری نگاه کنیم، جایی که باید از فرمول تفاضل مربع ها استفاده کنیم.

در اولین کسر جبری مخرج "(p 2 - 36)" است. بدیهی است که می توان فرمول اختلاف مربع ها را برای آن اعمال کرد.

پس از تجزیه چند جمله ای "(p 2 - 36)" به حاصل ضرب چند جمله ای ها
"(p + 6) (p - 6)" واضح است که چند جمله ای "(p + 6)" به صورت کسری تکرار می شود. این بدان معنی است که مخرج مشترک کسرها حاصل ضرب چندجمله‌ای «(p + 6) (p - 6)» خواهد بود.

فرمول های عبارت اختصاری اغلب در عمل استفاده می شوند، بنابراین توصیه می شود همه آنها را از روی قلب یاد بگیرید. تا این لحظه صادقانه به ما خدمت می کند که توصیه می کنیم همیشه آن را چاپ کنید و در مقابل چشمان خود نگه دارید:

چهار فرمول اول از جدول کامپایل شده فرمول های ضرب اختصاری به شما امکان می دهد مجموع یا اختلاف دو عبارت را مربع و مکعب کنید. پنجمی برای ضرب مختصر تفاوت و مجموع دو عبارت در نظر گرفته شده است. و از فرمول ششم و هفتم برای ضرب مجموع دو عبارت a و b در مجذور اختلاف ناقص آنها استفاده می شود (این همان چیزی است که عبارتی از شکل a 2 −a b+b 2 نامیده می شود) و تفاضل دو. عبارات a و b به ترتیب با مجذور ناقص مجموع آنها (a 2 + a·b+b 2 ).

شایان ذکر است که هر برابری در جدول یک هویت است. این توضیح می دهد که چرا به فرمول های ضرب اختصاری، هویت ضرب اختصاری نیز گفته می شود.

هنگام حل مثال‌ها، به‌ویژه که در آن چند جمله‌ای فاکتورسازی می‌شود، FSU اغلب به شکلی استفاده می‌شود که سمت چپ و راست آن عوض شده است:

سه هویت آخر در جدول نام خود را دارند. فرمول a 2-b 2 =(a-b)·(a+b) نامیده می شود فرمول تفاوت مربع ها, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - فرمول مجموع مکعب ها، آ a 3-b 3 =(a-b)·(a 2 +a·b+b 2) - تفاوت فرمول مکعب ها. لطفاً توجه داشته باشید که ما فرمولهای مربوطه را با قسمتهای بازآرایی شده از جدول قبلی نامگذاری نکردیم.

فرمول های اضافی

اضافه کردن چند هویت دیگر به جدول فرمول‌های ضرب اختصاری ضرری ندارد.

زمینه های کاربرد فرمول های ضرب اختصاری (FSU) و مثال ها

هدف اصلی فرمول های ضرب اختصاری (fsu) با نام آنها توضیح داده شده است، یعنی شامل ضرب عبارات مختصر است. با این حال، دامنه کاربرد FSU بسیار گسترده تر است و به ضرب کوتاه محدود نمی شود. بیایید مسیرهای اصلی را فهرست کنیم.

بدون شک، کاربرد مرکزی فرمول ضرب اختصاری در انجام تبدیل‌های یکسان عبارات یافت شد. اغلب از این فرمول ها در فرآیند استفاده می شود ساده سازی عبارات.

مثال.

عبارت 9·y−(1+3·y) 2 را ساده کنید.

راه حل.

که در این بیانمربع را می توان به صورت خلاصه انجام داد، ما داریم 9 y-(1+3 y) 2 =9 y-(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). تنها چیزی که باقی می ماند این است که پرانتزها را باز کنید و اصطلاحات مشابه را بیاورید: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

در این مقاله به بررسی خواهیم پرداخت عملیات اساسی با کسرهای جبری:

کسر کسر
ضرب کسرها
تقسیم کسری

بیا شروع کنیم با کاهش کسرهای جبری.

به نظر می رسد که، الگوریتمواضح.

به کسرهای جبری را کاهش دهید، نیاز به

1. صورت و مخرج کسر را عامل کنید.

2. عوامل مساوی را کاهش دهید.

با این حال، دانش‌آموزان اغلب اشتباه می‌کنند که نه عوامل، بلکه شرایط را «کاهش» می‌کنند. به عنوان مثال، آماتورهایی هستند که کسرها را کاهش می دهند و در نتیجه به دست می آورند، که البته این درست نیست.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

1. کاهش کسر:

1. بیایید صورت را با استفاده از فرمول مجذور مجموع و مخرج را با استفاده از فرمول تفاضل مربع ها فاکتور کنیم.

2. صورت و مخرج را بر تقسیم کنید

2. کاهش کسر:

1. بیایید صورت را فاکتورسازی کنیم. از آنجایی که عدد شامل چهار عبارت است، از گروه بندی استفاده می کنیم.

2. مخرج را فاکتورسازی کنیم. می توانیم از گروه بندی نیز استفاده کنیم.

3. کسری را که به دست آوردیم بنویسیم و همان عوامل را کاهش دهیم:

ضرب کسرهای جبری

هنگام ضرب کسرهای جبری، صورت را در صورت ضرب می کنیم و مخرج را در مخرج ضرب می کنیم.

مهم!برای ضرب کردن صورت و مخرج کسری نیازی به عجله نیست. بعد از اینکه حاصل ضرب اعداد کسرها را در صورت و حاصل ضرب مخرج ها را در مخرج یادداشت کردیم، باید هر عامل را فاکتور کنیم و کسر را کاهش دهیم.