جدول مقادیر توابع مثلثاتی

جدول مقادیر توابع مثلثاتی برای زوایای 0، 30، 45، 60، 90، 180، 270 و 360 درجه و مقادیر زاویه مربوطه در وردیان تهیه شده است. از توابع مثلثاتی، جدول سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت، سکانت و کوسنت را نشان می دهد. برای راحتی حل مثال های مدرسه، مقادیر توابع مثلثاتی در جدول به صورت کسری نوشته می شود و در عین حال علائم استخراج جذر اعداد را حفظ می کند، که اغلب به کاهش عبارات پیچیده ریاضی کمک می کند. برای مماس و کتانژانت، مقادیر برخی زوایا را نمی توان تعیین کرد. برای مقادیر مماس و کتانژانت این گونه زوایا، یک خط تیره در جدول مقادیر توابع مثلثاتی وجود دارد. به طور کلی پذیرفته شده است که مماس و کتانژانت چنین زاویه هایی برابر با بی نهایت است. در یک صفحه جداگانه فرمول هایی برای کاهش توابع مثلثاتی وجود دارد.

جدول مقادیر تابع سینوس مثلثاتی مقادیر زوایای زیر را نشان می دهد: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 در درجه که مطابق با sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi در اندازه رادیانی زوایا. جدول سینوس های مدرسه.

برای تابع کسینوس مثلثاتی، جدول مقادیر زوایای زیر را نشان می دهد: cos 0، cos 30، cos 45، cos 60، cos 90، cos 180، cos 270، cos 360 در درجه، که مربوط به cos 0 pi است. ، cos pi در 6، cos pi در 4، cos pi در 3، cos pi در 2، cos pi، cos 3 پی در 2، cos 2 پی در اندازه گیری رادیانی زاویه ها. جدول کسینوس مدرسه.

جدول مثلثاتی برای تابع مماس مثلثاتی مقادیری را برای زوایای زیر نشان می دهد: tg 0، tg 30، tg 45، tg 60، tg 180، tg 360 در اندازه گیری درجه، که با tg 0 pi، tg pi/6 مطابقت دارد. tg pi/4، tg pi/3، tg pi، tg 2 pi در اندازه رادیانی زوایا. مقادیر زیر از توابع مماس مثلثاتی tan 90، tan 270، tan pi/2، tan 3 pi/2 تعریف نشده و برابر با بی نهایت در نظر گرفته می شوند.

برای تابع مثلثاتی همزمان در جدول مثلثاتی مقادیر زوایای زیر آورده شده است: ctg 30، ctg 45، ctg 60، ctg 90، ctg 270 در اندازه گیری درجه، که مطابق با ctg pi/6، ctg pi/4 است. , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 در اندازه رادیانی زوایا. مقادیر زیر از توابع کوتانژانت مثلثاتی ctg 0، ctg 180، ctg 360، ctg 0 pi، ctg pi، ctg 2 pi تعریف نشده اند و برابر با بی نهایت در نظر گرفته می شوند.

مقادیر توابع مثلثاتی سکانت و کوسکانت برای زوایای یکسان بر حسب درجه و رادیان سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت داده می شود.

جدول مقادیر توابع مثلثاتی زوایای غیر استاندارد مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت را برای زوایای درجات 15، 18، 22.5، 36، 54، 67.5 72 درجه و رادیان پی/12 نشان می دهد. , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 رادیان. مقادیر توابع مثلثاتی بر حسب کسری و ریشه مربع بیان می‌شوند تا کاهش کسرها در نمونه‌های مدرسه آسان‌تر شود.

سه هیولا مثلثاتی دیگر. اولی مماس 1.5 یک و نیم درجه یا پی تقسیم بر 120 است. دومی کسینوس پی تقسیم بر 240، پی/240 است. طولانی ترین کسینوس پی تقسیم بر 17، پی/17 است.

دایره مثلثاتی مقادیر توابع سینوس و کسینوس به صورت بصری علائم سینوس و کسینوس را بسته به بزرگی زاویه نشان می دهد. مخصوصاً برای مو بورها، مقادیر کسینوس با خط تیره سبز خط کشیده شده است تا سردرگمی کمتر شود. هنگامی که رادیان ها بر حسب پی بیان می شوند، تبدیل درجه به رادیان نیز به وضوح ارائه می شود.

این جدول مثلثاتی مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را برای زوایای 0 صفر تا 90 نود درجه در فواصل یک درجه نشان می دهد. برای چهل و پنج درجه اول، نام توابع مثلثاتی باید در بالای جدول دیده شود. ستون اول شامل درجه است، مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در چهار ستون بعدی نوشته شده است.

برای زوایای چهل و پنج درجه تا نود درجه، نام توابع مثلثاتی در پایین جدول نوشته شده است. ستون آخر شامل درجات است؛ مقادیر کسینوس، سینوس، کوتانژانت و مماس در چهار ستون قبلی نوشته شده است. باید مراقب باشید زیرا نام توابع مثلثاتی در پایین جدول مثلثاتی با نام های بالای جدول متفاوت است. سینوس ها و کسینوس ها مانند مماس و کوتانژانت با هم عوض می شوند. این به دلیل تقارن مقادیر توابع مثلثاتی است.

علائم توابع مثلثاتی در شکل بالا نشان داده شده است. سینوس دارای مقادیر مثبت از 0 تا 180 درجه یا 0 تا پی است. سینوس دارای مقادیر منفی از 180 تا 360 درجه یا از پی تا 2 پی است. مقادیر کسینوس از 0 تا 90 و 270 تا 360 درجه یا 0 تا 1/2 پی و 3/2 تا 2 پی مثبت است. مماس و کتانژانت دارای مقادیر مثبت از 0 تا 90 درجه و از 180 تا 270 درجه هستند که مربوط به مقادیر 0 تا 1/2 pi و pi تا 3/2 pi است. مقادیر منفی مماس و کتانژانت از 90 تا 180 درجه و از 270 تا 360 درجه یا از 1/2 پی تا پی و از 3/2 پی تا 2 پی است. هنگام تعیین نشانه های توابع مثلثاتی برای زوایای بزرگتر از 360 درجه یا 2 پی، باید از ویژگی های تناوب این توابع استفاده کنید.

توابع مثلثاتی سینوسی، مماس و کوتانژانت توابعی فرد هستند. مقادیر این توابع برای زوایای منفی منفی خواهد بود. کسینوس یک تابع مثلثاتی زوج است - مقدار کسینوس برای یک زاویه منفی مثبت خواهد بود. هنگام ضرب و تقسیم توابع مثلثاتی باید قوانین علامت رعایت شود.

1. جدول مقادیر تابع سینوس مثلثاتی مقادیر زوایای زیر را نشان می دهد

   سند

   فرمول های کاهش در یک صفحه جداگانه وجود دارد مثلثاتیکارکرد. که در جدولارزش هایبرایمثلثاتیکارکردسینوسیداده شدهارزش هایبرایبه شرح زیرگوشه ها: گناه 0، گناه 30، گناه 45 ...

2. دستگاه ریاضی پیشنهادی یک آنالوگ کامل از حساب مختلط برای اعداد ابرمختلط n بعدی با هر تعداد درجه آزادی n است و برای مدل‌سازی ریاضی غیرخطی در نظر گرفته شده است.

   سند

   ... کارکردبرابر است کارکردتصاویر. از این قضیه باید، چی برایبرای یافتن مختصات U، V کافی است محاسبه شود تابع... هندسه؛ چندنار کارکرد(آنالوگ های چند بعدی دو بعدی مثلثاتیکارکرد) خواص آنها، جداولو کاربرد؛ ...

3. مفاهیم سینوس ()، کسینوس ()، مماس ()، کوتانژانت () با مفهوم زاویه پیوند ناگسستنی دارند. برای اینکه درک درستی از این مفاهیم پیچیده در نگاه اول داشته باشیم (که باعث ایجاد حالت وحشت در بسیاری از دانش‌آموزان مدرسه می‌شود) و مطمئن شویم که «شیطان به اندازه‌ای که ترسیم می‌شود وحشتناک نیست»، اجازه دهید از اینجا شروع کنیم. در ابتدا و درک مفهوم زاویه.

   مفهوم زاویه: رادیان، درجه

   بیایید به تصویر نگاه کنیم. بردار نسبت به نقطه به مقدار معینی "چرخش" شده است. بنابراین اندازه گیری این چرخش نسبت به موقعیت اولیه خواهد بود گوشه.

   چه چیز دیگری باید در مورد مفهوم زاویه بدانید؟ خوب، البته، واحدهای زاویه!

   زاویه را هم در هندسه و هم در مثلثات می توان بر حسب درجه و رادیان اندازه گیری کرد.

   زاویه (یک درجه) زاویه مرکزی در یک دایره است که توسط یک قوس دایره ای برابر با بخشی از دایره فرو رفته است. بنابراین، کل دایره از "قطعات" کمان های دایره ای تشکیل شده است، یا زاویه توصیف شده توسط دایره برابر است.

   

   یعنی شکل بالا زاویه ای برابر را نشان می دهد، یعنی این زاویه بر روی یک قوس دایره ای به اندازه محیط قرار دارد.

   زاویه بر حسب رادیان، زاویه مرکزی در دایره ای است که توسط قوس دایره ای که طول آن برابر با شعاع دایره است، فرو رفته است. خوب متوجه شدی؟ اگر نه، پس بیایید آن را از نقاشی بفهمیم.

   

   بنابراین، شکل زاویه ای برابر با رادیان را نشان می دهد، یعنی این زاویه بر روی یک کمان دایره ای قرار دارد که طول آن برابر با شعاع دایره است (طول برابر طول یا شعاع برابر با طول قوس). بنابراین، طول قوس با فرمول محاسبه می شود:

   زاویه مرکزی بر حسب رادیان کجاست.

   خوب، با دانستن این، می توانید پاسخ دهید که در زاویه توصیف شده توسط دایره چند رادیان وجود دارد؟ بله، برای این شما باید فرمول دور را به خاطر بسپارید. او اینجاست:

   خوب، حالا بیایید این دو فرمول را به هم مرتبط کنیم و دریابیم که زاویه توصیف شده توسط دایره برابر است. یعنی با همبستگی مقدار بر حسب درجه و رادیان به آن می رسیم. به ترتیب، . همانطور که می بینید، بر خلاف "درجه"، کلمه "رادیان" حذف شده است، زیرا واحد اندازه گیری معمولاً از متن مشخص است.

   چند رادیان وجود دارد؟ درست است!

   فهمیدم؟ سپس ادامه دهید و آن را اصلاح کنید:

   داشتن مشکلات؟ سپس نگاه کنید پاسخ می دهد:

   مثلث قائم الزاویه: سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت زاویه

   بنابراین، ما مفهوم زاویه را کشف کردیم. اما سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه چیست؟ بیایید آن را بفهمیم. برای انجام این کار، یک مثلث قائم الزاویه به ما کمک می کند.

   

   اضلاع مثلث قائم الزاویه چه نام دارند؟ درست است، هیپوتنوز و پاها: هیپوتنوز سمتی است که در مقابل زاویه راست قرار دارد (در مثال ما این سمت است). پاها دو ضلع باقیمانده و (آنهایی که مجاور زاویه قائمه هستند) هستند و اگر پاها را نسبت به زاویه در نظر بگیریم، ساق پای مجاور است و ساق برعکس. خب حالا بیایید به این سوال پاسخ دهیم: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه چیست؟

   سینوس زاویه- این نسبت پای مخالف (دور) به هیپوتنوز است.

   در مثلث ما

   کسینوس زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.

   در مثلث ما

   مماس زاویه- این نسبت طرف مقابل (دور) به مجاور (نزدیک) است.

   در مثلث ما

   کتانژانت زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به مخالف (دور) است.

   در مثلث ما

   این تعاریف لازم است یاد آوردن! برای اینکه راحت‌تر به خاطر بیاورید که کدام پا را باید به چه چیزی تقسیم کنید، باید آن را به وضوح درک کنید مماسو کتانژانتفقط پاها می نشینند و هیپوتنوز فقط در داخل ظاهر می شود سینوسیو کسینوس. و سپس می توانید با زنجیره ای از انجمن ها بیایید. مثلا این یکی:

   کسینوس← لمس← لمس← مجاور;

   کوتانژانت← لمس← لمس← مجاور.

   اول از همه، باید به خاطر داشته باشید که سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث به طول این ضلع ها (در یک زاویه) بستگی ندارد. باور نکن؟ سپس با مشاهده عکس مطمئن شوید:

   

   برای مثال کسینوس یک زاویه را در نظر بگیرید. طبق تعریف، از مثلث: ، اما می توانیم کسینوس یک زاویه را از مثلث محاسبه کنیم: . ببینید طول اضلاع متفاوت است، اما مقدار کسینوس یک زاویه یکسان است. بنابراین، مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت تنها به بزرگی زاویه بستگی دارد.

   اگر تعاریف را فهمیدید، پس بروید و آنها را تثبیت کنید!

   برای مثلثی که در شکل زیر نشان داده شده است، پیدا می کنیم.

   

   خوب متوجه شدی؟ سپس خودتان آن را امتحان کنید: همان را برای زاویه محاسبه کنید.

   دایره واحد (مثلثی).

   با درک مفاهیم درجه و رادیان دایره ای با شعاع برابر در نظر گرفتیم. چنین دایره ای نامیده می شود تنها. هنگام مطالعه مثلثات بسیار مفید خواهد بود. بنابراین، اجازه دهید به آن با کمی جزئیات بیشتر نگاه کنیم.

   

   همانطور که می بینید، این دایره در سیستم مختصات دکارتی ساخته شده است. شعاع دایره برابر با یک است، در حالی که مرکز دایره در مبدا مختصات قرار دارد، موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور ثابت است (در مثال ما، این شعاع است).

   هر نقطه روی دایره مربوط به دو عدد است: مختصات محور و مختصات محور. این اعداد مختصات چیست؟ و در کل چه ربطی به موضوع مورد بحث دارن؟ برای انجام این کار، باید مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شده را به خاطر بسپاریم. در شکل بالا دو مثلث کامل قائم الزاویه را مشاهده می کنید. مثلثی را در نظر بگیرید. مستطیل است زیرا بر محور عمود است.

   مثلث برابر با چه چیزی است؟ درست است. علاوه بر این، می دانیم که شعاع دایره واحد است، که به معنای . بیایید این مقدار را با فرمول کسینوس جایگزین کنیم. این چیزی است که اتفاق می افتد:

   مثلث برابر با چه چیزی است؟ خوب البته، ! مقدار شعاع را در این فرمول جایگزین کنید و بدست آورید:

   بنابراین، آیا می توانید بگویید یک نقطه متعلق به یک دایره چه مختصاتی دارد؟ خوب، هیچ راهی؟ اگر متوجه شوید که فقط اعداد هستند چه؟ با کدام مختصات مطابقت دارد؟ خب البته مختصات! و با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ درست است، مختصات! بنابراین، دوره.

   

   پس با چه چیزهایی برابری می کنند؟ درست است، بیایید از تعاریف متناظر مماس و کوتانژانت استفاده کنیم و دریافت کنیم که، a.

   اگر زاویه بزرگتر باشد چه؟ برای مثال مانند این تصویر:

   

   چه چیزی در این مثال تغییر کرده است؟ بیایید آن را بفهمیم. برای انجام این کار، اجازه دهید دوباره به یک مثلث قائم الزاویه بچرخیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید: زاویه (در مجاورت یک زاویه). مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت برای یک زاویه چیست؟ درست است، ما به تعاریف مربوط به توابع مثلثاتی پایبند هستیم:

   خوب، همانطور که می بینید، مقدار سینوس زاویه همچنان با مختصات مطابقت دارد. مقدار کسینوس زاویه - مختصات؛ و مقادیر مماس و کتانژانت به نسبت های مربوطه. بنابراین، این روابط برای هر چرخش بردار شعاع اعمال می شود.

   قبلاً ذکر شد که موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور است. تاکنون این بردار را در خلاف جهت عقربه های ساعت چرخانده ایم، اما اگر آن را در جهت عقربه های ساعت بچرخانیم چه اتفاقی می افتد؟ هیچ چیز خارق العاده ای نیست، شما همچنین زاویه ای با مقدار مشخصی دریافت خواهید کرد، اما فقط آن منفی خواهد بود. بنابراین، هنگام چرخش بردار شعاع در خلاف جهت عقربه های ساعت، به دست می آوریم زوایای مثبتو هنگام چرخش در جهت عقربه های ساعت - منفی.

   بنابراین، می دانیم که یک دور کامل بردار شعاع حول یک دایره یا است. آیا می توان بردار شعاع را به یا به چرخاند؟ خوب، البته که می توانید! بنابراین، در حالت اول، بردار شعاع یک دور کامل می‌کند و در موقعیت یا توقف می‌کند.

   در حالت دوم، یعنی بردار شعاع سه دور کامل می‌کند و در موقعیت یا توقف می‌کند.

   بنابراین، از مثال‌های بالا می‌توان نتیجه گرفت که زوایایی که با یا (جایی که هر عدد صحیحی است) متفاوت هستند، با موقعیت یکسان بردار شعاع مطابقت دارند.

   شکل زیر یک زاویه را نشان می دهد. همان تصویر مربوط به گوشه و غیره است. این لیست را می توان به طور نامحدود ادامه داد. همه این زوایا را می توان با فرمول کلی یا (هر عدد صحیح کجاست) نوشت.

   

   حال با دانستن تعاریف توابع مثلثاتی اساسی و با استفاده از دایره واحد سعی کنید به مقادیر زیر پاسخ دهید:

   در اینجا یک حلقه واحد برای کمک به شما وجود دارد:

   

   داشتن مشکلات؟ سپس بیایید آن را بفهمیم. پس می دانیم که:

   از اینجا، مختصات نقاط مربوط به معیارهای زاویه خاص را تعیین می کنیم. خوب، بیایید به ترتیب شروع کنیم: زاویه در مربوط به یک نقطه با مختصات است، بنابراین:

   وجود ندارد؛

   علاوه بر این، با رعایت همان منطق، متوجه می شویم که گوشه ها به ترتیب با نقاط دارای مختصات مطابقت دارند. با دانستن این موضوع، تعیین مقادیر توابع مثلثاتی در نقاط مربوطه آسان است. ابتدا خودتان آن را امتحان کنید و سپس پاسخ ها را بررسی کنید.

   پاسخ ها:

   بنابراین می توانیم جدول زیر را تهیه کنیم:

   

   نیازی به یادآوری تمام این ارزش ها نیست. کافی است مطابقت بین مختصات نقاط روی دایره واحد و مقادیر توابع مثلثاتی را به خاطر بسپارید:

   اما مقادیر توابع مثلثاتی زوایا در و در جدول زیر آورده شده است. باید به یاد آورد:

   

   نترسید، اکنون یک نمونه را به شما نشان می دهیم به خاطر سپردن مقادیر مربوطه بسیار ساده است:

   برای استفاده از این روش، یادآوری مقادیر سینوس برای هر سه معیار زاویه () و همچنین مقدار مماس زاویه بسیار مهم است. با دانستن این مقادیر، بازیابی کل جدول بسیار ساده است - مقادیر کسینوس مطابق با فلش ها منتقل می شوند، یعنی:

   با دانستن این موضوع، می توانید مقادیر را بازیابی کنید. صورت " " مطابقت دارد و مخرج " " مطابقت دارد. مقادیر کوتانژانت مطابق با فلش های نشان داده شده در شکل منتقل می شوند. اگر این را فهمیدید و نمودار را با فلش ها به خاطر بسپارید، کافی است تمام مقادیر جدول را به خاطر بسپارید.

   مختصات یک نقطه روی یک دایره

   آیا می توان نقطه ای (مختصات آن) را روی یک دایره پیدا کرد؟ دانستن مختصات مرکز دایره، شعاع و زاویه چرخش آن?

   خوب، البته که می توانید! بیا بیرونش کنیم فرمول کلی برای یافتن مختصات یک نقطه.

   برای مثال، یک دایره در مقابل ما قرار دارد:

   

   به ما داده می شود که نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش آن نقطه به درجه به دست می آید، پیدا کنیم.

   همانطور که از شکل مشخص است، مختصات نقطه مطابق با طول قطعه است. طول پاره مطابق با مختصات مرکز دایره است، یعنی برابر است. طول یک قطعه را می توان با استفاده از تعریف کسینوس بیان کرد:

   سپس آن را برای مختصات نقطه داریم.

   با استفاده از همین منطق، مقدار مختصات y را برای نقطه پیدا می کنیم. بدین ترتیب،

   بنابراین، به طور کلی، مختصات نقاط با فرمول تعیین می شود:

   مختصات مرکز دایره،

   شعاع دایره،

   زاویه چرخش شعاع برداری.

   همانطور که می بینید، برای دایره واحد مورد نظر ما، این فرمول ها به طور قابل توجهی کاهش می یابد، زیرا مختصات مرکز برابر با صفر و شعاع برابر با یک است:

   خوب، بیایید این فرمول ها را با تمرین یافتن نقاط روی یک دایره امتحان کنیم؟

   1. مختصات یک نقطه را در دایره واحد که با چرخاندن نقطه روی آن به دست می آید، بیابید.

   2. مختصات یک نقطه را بر روی دایره واحد که با چرخاندن نقطه به دست می آید، پیدا کنید.

   3. مختصات یک نقطه را در دایره واحد که با چرخاندن نقطه روی آن به دست می آید، بیابید.

   4. نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش بردار شعاع اولیه به دست می آید، پیدا کنیم.

   5. نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش بردار شعاع اولیه به دست می آید، پیدا کنیم.

   آیا در یافتن مختصات یک نقطه روی یک دایره مشکل دارید؟

   این پنج مثال را حل کنید (یا در حل آنها خوب شوید) و یاد خواهید گرفت که آنها را پیدا کنید!

   خلاصه و فرمول های اساسی

   سینوس یک زاویه نسبت پای مقابل (دور) به هیپوتنوز است.

   کسینوس یک زاویه نسبت ساق مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.

   مماس یک زاویه نسبت ضلع مقابل (دور) به ضلع مجاور (نزدیک) است.

   کتانژانت یک زاویه نسبت ضلع مجاور (نزدیک) به طرف مقابل (دور) است.

   خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

   زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

   حالا مهمترین چیز.

   شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

   مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

   برای چی؟

   برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه، برای ورود به دانشگاه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.

   من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

   افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

   اما این موضوع اصلی نیست.

   نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

   اما خودت فکر کن...

   چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

   با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

   در طول امتحان از شما تئوری خواسته نمی شود.

   شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

   و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

   مانند ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

   مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل ها، تجزیه و تحلیل دقیقو تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

   شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

   برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

   چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

   1. قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید -
   2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - خرید کتاب درسی - 499 RUR

   بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

   دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.

   در نتیجه...

   اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

   "فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

   مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

   جدول توابع مثلثاتی پایه برای زوایای 0، 30، 45، 60، 90، ... درجه

   از تعاریف مثلثاتی توابع $\sin$، $\cos$، $\tan$ و $\cot$، می‌توانید مقادیر آنها را برای زوایای $0$ و $90$ دریابید:

   $\sin⁡0°=0$، $\cos0°=1$، $\tan 0°=0$، $\cot 0°$ تعریف نشده است.

   $\sin90°=1$، $\cos90°=0$، $\cot90°=0$، $\tan 90°$ تعریف نشده است.

   در یک درس هندسه مدرسه، هنگام مطالعه مثلث های قائم الزاویه، توابع مثلثاتی زاویه های $0°$، $30°$، $45°$، $60°$ و $90°$ را می بینیم.

   مقادیر توابع مثلثاتی برای زوایای نشان‌داده‌شده به ترتیب در درجه و رادیان یافت شد ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $، $\frac(\pi)(2)$) برای سهولت به خاطر سپردن و استفاده در جدولی به نام وارد می شوند. جدول مثلثاتی, جدول مقادیر پایه توابع مثلثاتیو غیره

   هنگام استفاده از فرمول های کاهش، جدول مثلثاتی را می توان تا زاویه 360°$ و بر این اساس، $2\pi$ رادیان گسترش داد:

   با استفاده از ویژگی های تناوب توابع مثلثاتی، هر زاویه ای که با زاویه شناخته شده 360 درجه دلار متفاوت است، می تواند محاسبه و در یک جدول ثبت شود. به عنوان مثال، تابع مثلثاتی برای زاویه $0°$ برای زاویه $0°+360°$، و برای زاویه $0°+2 \cdot 360°$، و برای زاویه $0°+3 \cdot 360°$ یکسان خواهد داشت. و غیره.

   با استفاده از جدول مثلثاتی، می توانید مقادیر تمام زوایای یک دایره واحد را تعیین کنید.

   در یک دوره هندسه مدرسه، شما قرار است مقادیر اولیه توابع مثلثاتی جمع آوری شده در جدول مثلثاتی را برای راحتی حل مسائل مثلثاتی به خاطر بسپارید.

   با استفاده از جدول

   در جدول کافی است تابع مثلثاتی مورد نیاز و مقدار زاویه یا رادیان هایی که این تابع برای آنها محاسبه شود را بیابید. در تقاطع سطر با تابع و ستون با مقدار، مقدار مورد نظر تابع مثلثاتی آرگومان داده شده را به دست می آوریم.

   در شکل می توانید نحوه پیدا کردن مقدار $\cos⁡60°$ را مشاهده کنید که برابر با $\frac(1)(2)$ است.

   جدول مثلثاتی توسعه یافته نیز به همین ترتیب استفاده می شود. مزیت استفاده از آن، همانطور که قبلا ذکر شد، محاسبه تابع مثلثاتی تقریباً هر زاویه است. به عنوان مثال، می توانید به راحتی مقدار $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 را پیدا کنید °$:

   جداول بردیس از توابع مثلثاتی پایه

   توانایی محاسبه تابع مثلثاتی مطلقاً هر مقدار زاویه برای یک مقدار صحیح درجه و یک مقدار صحیح دقیقه با استفاده از جداول Bradis فراهم می شود. به عنوان مثال، مقدار $\cos⁡34°7"$ را پیدا کنید. جداول به 2 قسمت تقسیم می شوند: جدول مقادیر $\sin$ و $\cos$ و جدول مقادیر $ \tan$ و $\cot$.

   جداول Bradis امکان به دست آوردن مقادیر تقریبی توابع مثلثاتی را با دقت حداکثر تا 4 رقم اعشار فراهم می کند.

   استفاده از جداول Bradis

   با استفاده از جداول Bradis برای سینوس ها، $\sin⁡17°42"$ را پیدا می کنیم. برای این کار، در ستون سمت چپ جدول سینوس ها و کسینوس ها، مقدار درجه را پیدا می کنیم - $17°$، و در خط بالایی ما ارزش دقیقه را پیدا می کنیم - $42 "$. در تقاطع آنها مقدار مورد نظر را به دست می آوریم:

   $\sin17°42"=0.304$.

   برای پیدا کردن مقدار $\sin17°44"$ باید از تصحیح سمت راست جدول استفاده کنید. در این مورد، به مقدار $42"$ که در جدول است، باید یک اصلاح برای $2 اضافه کنید. "$، که برابر با $0.0006 $ است. ما دریافت می کنیم:

   $\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$.

   برای یافتن مقدار $\sin17°47"$ از تصحیح سمت راست جدول نیز استفاده می کنیم، فقط در این حالت مقدار $\sin17°48"$ را به عنوان پایه در نظر می گیریم و تصحیح را برای $1"$ کم می کنیم. :

   $\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$.

   هنگام محاسبه کسینوس، اقدامات مشابهی انجام می دهیم، اما در ستون سمت راست به درجه ها و در ستون پایین جدول به دقیقه نگاه می کنیم. برای مثال $\cos20°=0.9397$.

   هیچ اصلاحی برای مقادیر مماس تا 90 درجه دلار و کوتانژانت زاویه کوچک وجود ندارد. مثلاً $\tan 78°37"$ را پیدا می کنیم که طبق جدول برابر با $4.967 است.

   جدول مقادیر توابع مثلثاتی
   

   توجه داشته باشید. این جدول از مقادیر تابع مثلثاتی از علامت √ برای نمایش ریشه دوم استفاده می کند. برای نشان دادن کسری، از علامت "/" استفاده کنید.
   

   همچنین ببینیدمواد مفید:

   برای تعیین مقدار یک تابع مثلثاتی، آن را در تقاطع خط نشان دهنده تابع مثلثاتی پیدا کنید. به عنوان مثال، سینوس 30 درجه - ما به دنبال ستون با عنوان sin (سینوس) می گردیم و تقاطع این ستون جدول را با ردیف "30 درجه" پیدا می کنیم، در تقاطع آنها نتیجه را می خوانیم - یک نیمه. به همین ترتیب ما پیدا می کنیم کسینوس 60درجه، سینوس 60درجه (یک بار دیگر، در تقاطع ستون sin و خط 60 درجه، مقدار sin 60 = √3/2 را پیدا می کنیم) و غیره. مقادیر سینوس ها، کسینوس ها و مماس های دیگر زوایای "محبوب" به همین ترتیب یافت می شوند.

   سینوس پی، کسینوس پی، مماس پی و زوایای دیگر بر حسب رادیان

   جدول کسینوس، سینوس و مماس زیر نیز برای یافتن مقدار توابع مثلثاتی مناسب است که آرگومان آنها به رادیان داده می شود. برای این کار از ستون دوم مقادیر زاویه استفاده کنید. به لطف این، می توانید مقدار زوایای محبوب را از درجه به رادیان تبدیل کنید. برای مثال، زاویه 60 درجه را در خط اول پیدا کرده و مقدار آن را بر حسب رادیان در زیر آن بخوانیم. 60 درجه برابر است با π/3 رادیان.

   عدد پی به طور واضح وابستگی محیط را به درجه اندازه گیری زاویه بیان می کند. بنابراین رادیان پی برابر با 180 درجه است.

   هر عددی که بر حسب پی (رادیان) بیان می شود را می توان به راحتی با جایگزینی عدد پی (π) با 180 به درجه تبدیل کرد..

   مثال ها:
   1. سینو پی.
   sin π = گناه 180 = 0
   بنابراین، سینوس پی همان سینوس 180 درجه و برابر با صفر است.

   2. کسینوس پی.
   cos π = cos 180 = -1
   بنابراین کسینوس پی همان کسینوس 180 درجه و برابر با منهای یک است.

   3. مماس پی
   tg π = tg 180 = 0
   بنابراین مماس پی همان مماس 180 درجه و برابر با صفر است.

   جدول مقادیر سینوس، کسینوس، مماس برای زوایای 0 - 360 درجه (مقادیر رایج)
   

   مقدار زاویه α (درجه)	مقدار زاویه α به رادیان (از طریق پی)	گناه (سینوس)	cos (کسینوس)	tg (مماس)	ctg (کتانژانت)	ثانیه (بخشی)	cosec (همراه)
   0	0	0	1	0	-	1	-
   15	π/12			2 - √3	2 + √3
   30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
   45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
   60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
   75	5π/12			2 + √3	2 - √3
   90	π/2	1	0	-	0	-	1
   105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
   120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
   135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
   150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
   180	π	0	-1	0	-	-1	-
   210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
   240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
   270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
   360	2π	0	1	0	-	1	-

   اگر در جدول مقادیر توابع مثلثاتی یک خط تیره به جای مقدار تابع (مماس (tg) 90 درجه، کتانژانت (ctg) 180 درجه نشان داده شده است، سپس برای یک مقدار معین از درجه زاویه، تابع ارزش خاصی ندارد اگر خط تیره وجود نداشته باشد، سلول خالی است، یعنی هنوز مقدار لازم را وارد نکرده ایم. ما علاقه مندیم که کاربران برای چه سؤالاتی به ما مراجعه می کنند و جدول را با مقادیر جدید تکمیل می کنند، علیرغم این واقعیت که داده های فعلی در مورد مقادیر کسینوس، سینوس و مماس رایج ترین مقادیر زاویه کاملاً برای حل اکثر موارد کافی است. چالش ها و مسائل.

   جدول مقادیر توابع مثلثاتی sin، cos، tg برای محبوب ترین زوایا
   0، 15، 30، 45، 60، 90 ... 360 درجه
   (مقادیر عددی "طبق جداول برادیس")
   

   مقدار زاویه α (درجه)	مقدار زاویه α بر حسب رادیان	گناه (سینوس)	cos (کسینوس)	tg (تانژانت)	ctg (کتانژانت)
   0	0
   15		0,2588	0,9659	0,2679
   30		0,5000		0,5774
   45		0,7071
   		0,7660
   60		0,8660	0,5000	1,7321
   	7π/18

   در یک نقطه متمرکز شده است آ.
   α - زاویه بیان شده در رادیان.

   تعریف
   سینوس (sin α)تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مقابل | BC| به طول هیپوتنوز |AC|.

   کسینوس (cos α)تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مجاور |AB| به طول هیپوتنوز |AC|.

   نمادهای پذیرفته شده

   ;
   ;
   .

   ;
   ;
   .

   نمودار تابع سینوس، y = sin x

   نمودار تابع کسینوس، y = cos x

   
   

   خواص سینوس و کسینوس

   دوره ای

   توابع y = گناه xو y = cos xدوره ای با دوره 2π.

   برابری

   تابع سینوس فرد است. تابع کسینوس زوج است.

   دامنه تعریف و ارزش، افراط، افزایش، کاهش

   توابع سینوس و کسینوس در دامنه تعریف خود، یعنی برای همه x پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی آنها در جدول (n - عدد صحیح) ارائه شده است.

   	y = گناه x	y = cos x
   دامنه و تداوم	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
   محدوده ارزش ها	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
   در حال افزایش است
   نزولی
   ماکسیما، y = 1
   حداقل، y = - 1
   صفر، y = 0
   نقاط قطع را با محور مختصات، x = 0	y = 0	y = 1

   فرمول های پایه

   مجموع مجذورات سینوس و کسینوس

   فرمول های سینوس و کسینوس از مجموع و تفاوت

   
   
   ;
   ;

   فرمول های حاصلضرب سینوس ها و کسینوس ها

   فرمول های حاصل جمع و تفاوت

   بیان سینوس از طریق کسینوس

   ;
   ;
   ;
   .

   بیان کسینوس از طریق سینوس

   ;
   ;
   ;
   .

   بیان از طریق مماس

   ; .

   وقتی، داریم:
   ; .

   در:
   ; .

   جدول سینوس ها و کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها

   این جدول مقادیر سینوس ها و کسینوس ها را برای مقادیر معینی از آرگومان نشان می دهد.
   

   عبارات از طریق متغیرهای پیچیده

   
   ;

   فرمول اویلر

   عبارات از طریق توابع هذلولی

   ;
   ;

   مشتقات

   ; . استخراج فرمول ها > > >

   مشتقات مرتبه n:
   { -∞ < x < +∞ }

   سکانت، متقاطع

   توابع معکوس

   توابع معکوس سینوس و کسینوس به ترتیب آرکسین و آرکوزین هستند.

   آرکسین، آرکسین

   آرکوزین، آرکوس

   منابع:
   که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.